高中数学一轮复习第1讲导数的概念及其运算

合集下载

导数的概念及运算

使 b (3t 2 1)a 2t 3．则方程 2t 3 3at 2 a b 0 有三个相异的实数根．
记 g (t ) 2t 3 3at 2 a b，则 g (t ) 6t 2 6at 6t (t a).
于是，若过点 a, b 可作曲线 y f ( x) 的三条切线，
（3）.复合函数的导数: 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间关系为
ux yx yu
考点2 导数的计算
【变式】求下列函数的导数：例2.
x x （1） y x sin cos ； 2 2
（2） y x( x 1)( x 2) ；
f′ (x)＝cos x ； (3)f(x)＝sin x; 答： __________
(4)f(x)＝cos x; 答： __________ f′( x)＝－sin x； (5)f(x)＝ax 答： __________ f′ (x)＝axln a；
f′(x)＝ex ； (6)f(x)＝ex 答： __________ 1 (x)＝xln a； (7)f(x)＝logax; 答： f′ __________ 1 f′(x)＝x ； (8)f(x)＝ln x; 答： __________ ′＝f′(x)± g′(x)； (9)y＝f(x)± g(x); 答： y ________________ y′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) (10)y＝f(x)g(x); 答： ____________________________ ； f′xgx－fxg′x fx y′＝ 2 (11)y＝答： __________________. gx≠0； [ g x ] gx

高考数学一轮复习导数的概念及其意义、导数的运算

为(
)
A．y＝3x＋1
B．y＝2x＋1
5
C．y＝ x＋1
D．y＝x＋1
4
答案：A
2 x+1 −2x
x＝ 2 ＋ex，则f′(0)＝3，
＋e
x+1 2
x+1 2
解析：由题设，f′(x)＝
而f(0)＝1，故在(0，f(0))处的切线方程为y－1＝3x，则y＝3x＋1.
故选A.
(2)已知函数f(x)＝x ln x．若直线l过点(0，－1)，且与曲线y＝f(x)相切，
(2)[f(x)g(x)]′＝________________．
f ′ x g x − f x g′ x
′
g x 2
(3)
＝________________(g(x)≠0).
cf′(x)
(4)[cf(x)]′＝________(c为常数).
f（x）

g（x）

5．复合函数的导数
设 u ＝ g(x) 在 x 处可导，则复合函数 y ＝ f(g(x)) 在 x 处可导，且 y′ ＝
x－y－1＝0
则直线l的方程为________________.
解析：点(0，－1)不在曲线f(x)＝x ln x上，设切点坐标为(x0，y0)．
因为f′(x)＝1＋ln x，所以直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.
y0 = x0 ln x0
由ቊ
，
y0 + 1 = 1 + ln x0 x0
x0 = 1，
e
x
与曲线y＝ln (－x)相切于点(x2，ln (－x2))(x2<0)，则此时切线方程为y－ln (－x2)＝

第3章第1节导数的概念及其运算-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)

0 nxn－1 cos x
－sin x axln a
ex
f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
教材拓展
1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数.
2.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
解析 (1)f′(x0)表示函数f(x)的导数在x0处的值，而f[(x0)]′表示函数值f(x0)的导数，其意义不同，(1)错.
(2)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(2)错. (4)f(x)＝a3＋2ax＋x2＝x2＋2ax＋a3.∴f′(x)＝2x＋2a，(4)错.
◇教材改编
解析 v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8. 答案－9.8t＋6.5 －9.8
◇考题再现
4.已知函数f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，则x0 等于( B )
A.e2
B.1
C.ln 2
D.e
5.已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的
2.曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( C )
A.－9 B.－3 C.9
D.15
解析因为y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，则曲线y＝x3＋11 在点P(1，12)处的切线方程为y－12＝3(x－1)，令x＝0，
得y＝9.
3.在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度 (单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝ ________m/s，加速度a＝________m/s2.

第01讲导数的概念及其意义、导数的运算(十二大题型)2025年高考数学一轮复习讲练测

（
(0 +ℎ)−(0 −ℎ)
(, )，则 lim
ℎ
ℎ→0
）
A．′ 0
B．2′ 0
C．−2 ′ 0
D．0
【答案】B
0 +ℎ − 0 −ℎ
【解析】由题意知， lim
ℎ
ℎ→0
0 +ℎ − 0 −ℎ
ℎ→0 0 +ℎ − 0 −ℎ
= 2lim
故选：B
= 2′ 0 ．
变化率为（）
3
A．
300
cm/s
6π
3
B．
3
300
cm/s
5π
C．
150
cm/s
3π
3
D．
150
cm/s
2π
【答案】C
2
1
1
【解析】设注入溶液的时间为（单位：s）时，溶液的高为ℎcm，则 π ⋅ ℎ
3
5
因为ℎ′ =
1 3 150
，所以当
3 π 2
= π时，ℎ′ =
1 3 150
3
π3
即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为
1
【解析】() = ′(1) −1 − (0) + 2 2 ⇒ ′() = ′(1) −1 − (0) +
令 = 1得： (0) = 1
() =
′(1) −1
−+
1 2

2
⇒ (0) = ′(1) −1 = 1 ⇔ ′(1) =
1
得：() = − + 2 2
则 ′ (0) = 1且(0) = 0，即切线的斜率为 = 1，切点坐标为(0,0)，
所以切线方程为 = ．

第一节++导数的概念及其运算讲义-2025届高三数学一轮复习

第一节导数的概念及其运算【课标要求】了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想。

体会极限思想。

通过函数图象直观理解导数的几何意义,能根据导数定义求函数y=c,y=x ,x y x y x y ===,,32的导数,能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(f(ax+b) 的导数。

会使用导数公式表.教学目标：1.了解导数的概念,理解导数的几何意义；2.掌握基本初等函数的导数，能够用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，理解简单的复合函数的导数。

教学重点：导数的运算及导数的几何意义。

教学难点：正确求导及曲线切线的理解教学过程：环节1：知识检测2.已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)1．某市一天12小时内的气温变化图如图所示，则在区间[0,4]内温度的平均变化率为________℃/h.D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)环节2：知识梳理1.函数的平均变化率及其意义（1）函数y=f(x)在区间[]21x x 的平均变化率：平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212（2）函数y ＝f (x )的平均变化率反映了函数f (x )在区间[]21x x 上的变化快慢，（3）函数y ＝f (x )的图象在点A(()()()()2211,,,x f x B x f x A 割线的斜率，是曲线倾斜程度的“数量化”。

2022版高考数学一轮复习第4章第1讲导数的概念及运算训练含解析

第四章第1讲[A 级基础达标]1．若f (x )＝x cos x ，则函数f (x )的导函数f ′(x )＝( ) A ．1－sin x B ．x －sin x C ．sin x ＋x cos x D ．cos x －x sin x【答案】D2．(2020年某某月考)设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝e x ln x ＋1x －1，则f ′(1)＝( )A ．e －3B ．e －2C ．e －1D ．e 【答案】C3．(2020年某某一中模拟)曲线f (x )＝2e x sin x 在点(0，f (0))处的切线方程为( ) A ．y ＝0 B ．y ＝2x C ．y ＝x D ．y ＝－2x 【答案】B4．一质点沿直线运动，如果由始点出发经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )A ．0秒B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末【答案】D5．(多选)下列求导数的运算正确的有( ) A ．(sin x )′＝cos x B ．⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x 2 C ．(log 3x )′＝13ln xD ．(ln x )′＝1x【答案】AD6．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．2B ．－2C ．94D ．－94【答案】D 【解析】因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x .令x＝2，则f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，所以f ′(2)＝－94.7．已知曲线y ＝1x ＋a ln x ＋ln a 在x ＝1处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为________．【答案】4 【解析】根据题意，曲线y ＝1x ＋a ln x ＋ln a ，则y ′＝－1x 2＋ax，则有y ′|x＝1＝ax ＝1处的切线的斜率k ＝ax ＝1处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则k ＝a －1＝3，解得a ＝4.8．(2020年某某模拟)函数f (x )＝x e x 的图象在点P (1，e)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为________．【答案】e4【解析】f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，所以切线斜率k ＝f ′(1)＝2e ，所以曲线y＝f (x )在(1，e)处的切线方程为y －e ＝2e(x －1)，即y ＝2e xy ＝2e x －e 与坐标轴交于点(0，－e)，⎝⎛⎭⎫12，0，所以y ＝2e x －e 与坐标轴围成的三角形面积S ＝12×e ×12＝e 4. 9．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋[f (x )]2的最大值； (2)若f (x 0)＝2f ′(x 0)，求1＋sin 2x 0cos 2x 0－sin x 0cos x 0的值．解：(1)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝cos x －sin x ，代入F (x )＝f (x )f ′(x )＋[f (x )]2，得F (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. 当2x ＋π4＝2k π＋π2⇒x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，F (x )max ＝2＋1.(2)由f (x 0)＝2f ′(x 0)，得sin x 0＋cos x 0＝2(cos x 0－sin x 0)，所以cos x 0＝3sin x 0，则tan x 0＝13. 所以1＋sin 2x 0cos 2x 0－sin x 0cos x 0＝2sin 2x 0＋cos 2x 0cos 2x 0－sin x 0cos x 0＝2tan 2x 0＋11－tan x 0＝116.10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解：(1)因为f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，所以f ′f (2)＝－2，所以曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)．因为f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，所以切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)．又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，所以x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，所以经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0.[B 级能力提升]11．已知函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12【答案】A 【解析】f ′(x )＝g ′(x )＋2x .因为y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，所以g ′f ′(1)＝g ′(1)＋2×y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为4.12．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上的任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B ．32C ．52D ． 2【答案】D 【解析】点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，当过点P 的切线和直线y ＝x －2平行时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小，直线y ＝xy ＝x 2－ln x ，得y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，故曲线y ＝x 2－ln x 上和直线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直线y ＝x －2的距离等于2，故点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 2.13．若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值X 围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B ．⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)【答案】D 【解析】f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x 2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值X围为[0，＋∞)．14．(多选)已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出下列四个函数，其中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －x C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x【答案】AC 【解析】对于A ，若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，这个方程显然有解，故A 符合要求；对于B ，若f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝－e －x ，即e －x ＝－e－x ，此方程无解，B不符合要求；对于C ，若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，若ln x ＝1x，利用数形结合法可知该方程存在实数解，C 符合要求；对于D ，若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝1cos 2x，令f (x )＝f ′(x )，可得sin x cos x ＝1，即sin 2x ＝2，无解，D 不符合要求． 15．已知函数f (x )＝1x ，g (x )＝x 2.若直线l 与曲线f (x )，g (x )都相切，则直线l 的斜率为________．【答案】－4 【解析】因为f (x )＝1x ，所以f ′(x )＝－1x 2，设曲线f (x )与l 切于点⎝⎛⎭⎫x 1，1x 1，则切线斜率k ＝－1x 21，故切线方程为y －1x 1＝－1x 21(x －x 1)，即y ＝－1x 21x ＋2x 1.与g (x )＝x 2联立，得x 2＋1x 21x －2x 1l 与曲线g (x )相切，所以⎝⎛⎭⎫1x 212－4⎝⎛⎭⎫－2x 1＝0，解得x 1＝－12，故斜率k ＝－1x 21＝－4.16．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知，得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，因为f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0. 所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0,9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)．因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)．将(0,9)代入切线方程，解得x 0＝±1.当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9；当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9. 由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11. ①由f ′(x )＝0，得－6x 2＋6x ＋12＝0，解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18；在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9，所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9. ②由f ′(x )＝12，得－6x 2＋6x ＋12＝12，解得x ＝0或x ＝1.在x ＝0处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －11；在x ＝1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －10. 所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线不是y ＝12x ＋9.综上所述，存在k ＝0，使直线m ：y ＝9是y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线．[C 级创新突破]17. 曲线y ＝－1x (x ＜0)与曲线y ＝ln x 的公切线的条数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】设(x 1，y 1)是公切线和曲线y ＝－1x 的切点，则切线斜率k 1＝1x 21，切线方程为y ＋1x 1＝1x 21(x －x 1)，整理得y ＝1x 21·x －2x 1.设(x 2，y 2)是公切线和曲线y ＝ln x 的切点，则切线斜率k 2＝1x 2，切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，整理得y ＝1x 2·x ＋ln x 21x 21＝1x 2，－2x 1＝ln x 2－1，消去x 2，得－2x 1＝ln x 21－1，设t ＝－x 1＞0，即2ln t －2t －1＝0，只需探究此方程解的个数．易知f (x )＝2ln x －2x －1在(0，＋∞)上单调递增，f (1)＝－3＜0，f (e)＝1－2e ＞0，于是f (x )＝0有唯一解，于是已知两曲线的公切线的条数为1.18．(2020年凉山州模拟)已知函数f (x )＝a ln x (a ＞0)．(1)设函数g (x )＝f (x )－x 2在点(1，g (1))处的切线方程为x －y －2＝0，求a 的值； (2)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2至少有一条公切线，求a 的取值X 围．解：(1)因为g (x )＝f (x )－x 2，所以g (x )＝a ln x －x 2，g ′(x )＝ax－2x (x >0)．又g (x )在(1，g (1))处的切线方程为x －y －2＝0，所以g ′(1)＝1，即a －2＝1，即a ＝3. (2)设公切线l 与f (x )＝a ln x 相切于点(x 0，a ln x 0)，则由f ′(x )＝a x ，得f ′(x 0)＝ax 0，所以公切线l 为y －a ln x 0＝ax 0(x －x 0) ，即y ＝axx 0－a ＋a ln x 0(x 0>0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax x 0－a ＋a ln x 0，y ＝x 2，得x 2－ax x 0＋a －a ln x ＝0.因为直线l 与曲线y ＝x 2相切，所以Δ＝a 2x 20－4(a －a ln x 0)＝0，即a ＝4x 20－4x 20ln x 0(x 0>0，a >0)，设h (x )＝4x 2－4x 2ln x (x >0)，则h ′(x )＝4x (1－2ln x )．由h ′(x )>0，得0<x <e ；又由h ′(x )<0，得x > e.所以h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，所以h (x )max ＝h (e)＝2e ，所以0<a ≤2e.所以y ＝f (x ) 与曲线y ＝x 2至少有一条公切线时，a 的取值X 围为(0,2e]．。

2025届高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用第一节导数的概念几何意义及运算

线的方程为
1
y-y0=- 2 (x-x0).
0
而点(2,0)在切线上,得02 y0=2-x0,再由 P(x0,y0)在曲线上,得 x0y0=1,联立可解得
x0=1,y0=1,因此所求直线方程为 x+y-2=0.
增素能精准突破
考点一
导数的运算
例1.(1)随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航
时,f'(x)就是x的函数,我们称它为函数y=f(x)的导函数(简称为导数),即
f'(x)=y'=
( + Δ)-()
lim
Δ→0
Δ
.
微点拨关于导数概念的理解
(1)瞬时变化率是平均变化率的极限.
(2)导数就是瞬时变化率.
(3)导数的物理意义:若物体运动的路程与时间的关系式是s(t),则s'(t)就是速
解析
9
y'=- 2,若设点

9
3π
P 为(x0,y0),则由导数几何意义可得- 2=tan =-1,解得
4
0
x0=±3,从而 y0=±3,即点 P 坐标为(3,3)或(-3,-3).
3.经过点(2,0)且与曲线y=
1
x
相切的直线方程为
.
答案 x+y-2=0
1
解析因为点(2,0)不在曲线上,所以设切点坐标为 P(x0,y0),又 y'=- 2 ,所以所求直
B.2 023×22 024
C.2 024×22 023
D.2 024×22 024
(2)(多选)下列求导运算错误的有(
A.
π
cos 3
π
'=-sin3

旧教材适用2023高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件

1．(2021·江苏沭阳高级中学模拟)2020 年 12 月 1 日 22 时 57 分，嫦娥五号探测器从距离月球表面 1500 m 处开始实施动力下降，7500 牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约 1500 m/s 降为零.12 分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为 v，相对月球纵向速度的平均变化率为 a，则( )
复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系
为
□18 y′x＝y′u·u′x
，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对
x 的导数的乘积．
1．f′(x0)与 x0 的值有关，不同的 x0，其导数值一般也不同. 2．f′(x0)不一定为 0，但[f(x0)]′一定为 0. 3．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数． 4．函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
(c 为常数).
(3)gf（（xx））′＝ □16 f′（x）g（[xg）（－x）f（]2x）g′（x）
(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量 u，y 可以表示
成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的复合函数，记作 □17 y＝f(g(x)) ．
A．v＝2152 m/s，a＝2152 m/s2 B．v＝－2152 m/s，a＝－2152 m/s2 C．v＝－2152 m/s，a＝2152 m/s2 D．v＝2152 m/s，a＝－2152 m/s2

第四章第1讲导数的概念及运算课件——2022届高三数学一轮复习

【触类旁通】
导数的运算方法 (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导． (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导． (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导． (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导． (5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．
四、【考题讲练】
考向一导数的概念及基本运算
例1 (1)(多选)(2021·济南检测)下列求导运算正确的是( )
A．ln1x′＝－xln1 x2 B．(x2ex)′＝2x＋ex
解析
对于
A，
1 ln x
′＝－ln ln
x′＝－ 1 x2 xln
，正确； x2
对于 B，(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex
期函数．
3．函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，
其绝对值的大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
4．两类切线问题的区别
(的1)区“别过：”前与者“P在(x”0，：y0曲)为线切y＝点f，(x)而“后在者点PP((xx00，，yy00))不处一的定切为线切”点与．“过点P(x0，y0)的切线” (2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．
(2)(2021·宝鸡模拟)若直线y＝kx－2与曲线y＝1＋3ln x相切，则k＝
() A．3
B．13
C．2
D．12
解析
令y＝f(x)＝1＋3ln

第1讲导数的概念及其几何意义

第1讲导数的概念、运算及其几何意义【知识梳理】1.平均变化率：函数()f x 在12[,]x x 上的平均变化率为，若21x x x ∆=-， 21()()y f x f x ∆=-,则平均变化率可表示为 .2.导数的概念：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈,当x ∆无限接近于0时，比值无限趋近于一个常数A ，则称()f x 在点0x x =处可导，并称常数A 为函数()f x 在0x x =处的，记作 .3.导数的物理意义:一般地,设()s s t =是物体的位移函数,那么'()s t 的物理意义是 ;设()v v t =是物体的速度函数,那么'()v t 的物理意义是 .4.导数的几何意义: 函数()f x 在0x 处的导数0()f x '的几何意义就是曲线()y f x =在点()00,()x f x 处的 .5.解决函数切线问题时,如果切点未知,通常先把假设出来.注意求“在”一点与“过”一点的切线的区别6.常见函数的导数：C '= (C 为常数)；()n x '= ；(sin )x '= ；(cos )x '= ； ()x a '= ；()x e '= ；(log )a x '= ；(ln )x '= .7.导数的运算法则：[()()]f x g x '±= ，[()]Cf x '= (其中C 为常数)；[()()]f x g x '⋅= ，()[]()f xg x '= (()0g x ≠). 【例题分析】类型一导数的概念及运算例1 （1）函数()ln f x x =在2,e e ⎡⎤⎣⎦的平均变化率为（2）在R 内可导函数()f x 满足'(2)3f =,则k 无限趋近零时,(2)(2)3f k f k +-无限趋近于 . 变式：若0()2f x '=，则当k 趋近于0时，00()()2f x k f x k--无限趋近于 .（3）若物体位移2()32s t t t =-,(单位:米)则当3t =秒时,该物体的速度为米/秒.（4）汽车作加速直线运动,若t s 时的速度为2()3v t t =+,则汽车开出 s 后加速度为12.（5）一汽球的半径以2cm/s 的速度膨胀，半径为6cm 时，表面积对于时间的变化率是．例2（1）函数2log ()x f x x=,则该函数的导数'()f x = . （2）已知()2cos f x x x =,则'()3f π= . （3）已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '= .（4）若2ln ()1x f x x =+，则'()f x = . 类型二导数的几何意义例3（1）函数2log y x =在x e =处切线斜率为 .（2）曲线sin y x =在点1(,)62P π处的切线方程是 . （3）函数y ＝x 2＋a 的图象与直线y ＝x 相切，则切点坐标为 ,a ＝ .（4）函数31y x x =-+图象上任一点的切线的倾斜角取值范围为 .（5）过原点且与函数()ln f x x =图象相切的切线方程为 . （6）曲线313y x x =+在点413⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为．例4（1）若直线3y kx =-与曲线2ln y x =相切，则实数k =_________.变式：已知函数y =的一条切线方程为14y kx =+，则k =__________.例5 已知曲线32y x x =-（1）求在点（0，0）处的切线方程；（2）求过点（1，—1）的切线方程．类型三综合问题例6（1）在平面直角坐标系xOy 中,已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点,该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ,过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ,设线段MN 的中点的纵坐标为t ,则 t 的最大值_____________.（2）抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是__________.例7 已知0a >,函数3()(f x ax bx x =-∈R)图象上相异两点,A B 处的切线分别为12,l l ,且1l ∥2l .(1)判断函数()f x 的奇偶性;并判断,A B 是否关于原点对称;(2)若直线12,l l 都与AB 垂直,求实数b 的取值范围.【课后作业】1.函数2()f x x =在区间[1,3]的平均变化率为 .2.自由落体运动的物体位移S(m)与时间t(s)的关系为212S t =,则3t =s 时该物体的瞬时速度为 .3.函数2x y e =的导数'y = ，()cos f x x x =,则'()3f π= . 4.函数n y mx =的导数为34y x '=，则m = ，n = .5.函数cos y x =在点1(,)32π处的切线方程为 . 6.若323y x x =-的切线与直线34y x =+平行,则切点坐标为 .7.已知直线kx y =是x y ln =的切线,则k 的值为___________8.过原点作曲线xy e =的切线,则切线方程为 .9. 已知曲线2:ln S y x x =-，则作斜率为1的切线，共可作条.10.曲线x y e =在点2(2,)e 处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为 .11. 设曲线ax y e =在点(0,1)处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ..12.函数2y x x =-图象上动点A 到直线4y x =-的最小距离为 .13.设P 为曲线C ：y=x 2+2x+3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π，则点P 横坐标的取值范围为 .14.求下列函数的导数 (1)22log xy x =+ (2)tan y x = (3)32ln x x y x -=15. 已知函数3()2f x x ax =+与2()g x bx c =+的图象都过点(2,0)P ，且在点P 处有公共切线，求(),()f x g x 的表达式.16. 已知函数21()ln ,()2f x x a x a R =-∈,若函数()f x 在x =2处的切线方程为y=x+b ，求a ,b 的值.。

第一节导数的概念及其意义、导数的运算课件-2025届高三数学一轮复习

读 4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能
求简单的复合函数（限于形如f ax + b ）的导数.会使用导数公式表.
01
强基础知识回归
知识梳理
一、导数的概念
1.平均变化率
函数f x
f x2 −f x1
x2 −x1
在区间[x1 , x2 ]上的平均变化率为__________.

− − = ，得切线的斜率 = ，所以 − = ，得 = ，所以 = + .

当 = 时， = ，所以切点为 , ，将 , 代入切线方程，得 × − − = ，

解得 = ，所以 = × = .故答案为 .
（2）对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f x = f′ x0 g x + h x
（x0 为常数）的函数，解决这类问题的关键是明确f′ x0 是常数，其导数值为0,因此
先求导数f′ x .令x = x0 ，即可得到f′ x0 的值，进而得到函数解析式，求得所求导数
值.
题型二求切线方程
角度1 曲线在某点处的切线问题
A.y = −2x − 1
B.y = −2x + 1
C.y = 2x − 3
B)
D.y = 2x + 1
[解析] ∵ = − ，∴ ′ = − ，∴ = −，′ = −，∴ 所
求切线的方程为 + = − − ，即 = − + .故选B.

2023版高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第一讲导数的概念及运算课件理

先化为和、差的形式,再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式,再求导
三角形式
先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导
复合形式
先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元
P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k= f ＇(x0) .相应地,切线方程为y-f(x0)=
f ＇(x0)(x-x0).
说明函数y=f(x)在某点处的导数、曲线y=f(x)在某点处切线的斜率和
倾斜角,这三者是可以相互转化的.
考点2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
导数的运算
1.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)=C(C为常数)
y=3x-1,则f(1)+f ＇(1)=
5
.
考向扫描
考向1
导数的运算
1.典例求下列函数的导数:
(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);

2
(2)y=sin (1-2cos );
2
4
2−1
1
(3)y=ln
(x> ).
2+1
2
考向1
解析
导数的运算
(1)因为y=(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,
f ＇(x)=
a
考点2
导数的运算
2.导数的四则运算法则
若f ＇(x),g＇(x)存在,则
(1)[f(x)±g(x)] ＇ =f ＇(x)±g＇(x) ;
(2)[f(x)·g(x)]＇= f ＇(x)g(x)+f(x)g＇(x) ;

第01讲一元函数的导数及其应用(讲)-2023年高考数学一轮复习(解析版)

第1讲一元函数的导数及其应用（一）本讲为重要知识点，也是高中的难点。

题型主要围绕导数的几何意义结合函数的思想考察。

基本会考察一题关于函数本身的基础题和一道导数大题，第一问对于几何意义的考察属于基础知识，必须掌握，第二问的题型相对较多，需要对于导数的应用和函数的思想相结合去理解其中的变形目的。

考点一导数的概念及运算1．导数的概念一般地，函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率0000()()lim limx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数，记作f′(x 0)或y′0|x x =即f′(x 0)＝0000()()limlimx x f x x f x yx x ∆→∆→+∆-∆=∆∆. 称函数f′(x)＝000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆为f(x)的导函数．2．导数的几何意义函数f(x)在点x 0处的导数f′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f(x)上点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数 f(x)＝c(c 为常数) f′(x)＝0 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝e xf′(x)＝x e f(x)＝ln x f′(x)＝1xf(x)＝x α(α∈Q *) f′(x)＝αx α－1f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝a x (a>0，a≠1) f′(x)＝a xln_a f(x)＝log a x(a>0，a≠1)f′(x)＝1ln x x4.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)2()'()()()'()'()[()]f x f x g x g x g x g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦(g(x)≠0)． 5.常用结论1.f′(x 0)代表函数f(x)在x ＝x 0处的导数值；(f(x 0))′是函数值f(x 0)的导数，且(f(x 0))′＝0.2.1()f x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦′＝－2'()[()]f x f x . 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.考点二利用导数研究函数的单调性1.函数的单调性与导数的关系函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内可导，(1)若f′(x)>0，则f(x)在区间(a ，b)内是单调递增函数； (2)若f′(x)<0，则f(x)在区间(a ，b)内是单调递减函数； (3)若恒有f′(x)＝0，则f(x)在区间(a ，b)内是常数函数．讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.2.常用结论汇总——规律多一点(1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(2)可导函数f(x)在(a ，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a ，b)上的任何子区间内都不恒为零．考点三利用导数解决函数的极值最值1．函数的极值 (1)函数的极小值：函数y ＝f(x)在点x ＝a 的函数值f(a)比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a 叫做函数y ＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.①函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点).②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．3常用结论1.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.2.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.3.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.考点四利用导数研究生活中的优化问题1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路是什么？答案上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．4.对于优化问题，建立模型之后需要对模型进行最大值最小值的求解，从而转化为导数求极值最值问题.高频考点一导数的概念及其意义例1、函数()y f x =的图象如图所示，f x 是函数()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是（）A ．()()()()235325f f f f ''<-<B ．()()()()232553f f f f ''<<-C ．()()()()532325f f f f ''-<<D ．()()()()232553f f f f ''<<-【答案】A【详解】由图知：(5)(3)(3)(5)53f f f f -''<<-，即2(3)(5)(3)2(5)f f f f ''<-<.故选：A 1、若函数()ln bf x a x x=-在点（1，f （1））处的切线的斜率为1，则22a b +的最小值为（）A ．12 B ．22C 3D ．34【答案】A【详解】由已知2()a b f x x x '=+，所以(1)1f a b '=+=， 222()122b a a b +≥=+，当且仅当12a b ==时等号成立．故选：A ．高频考点二导数的运算例1、已知()ln 3(e)f x x f x '=-，求(e)f =（） A ．3-B ．13e-C ．1e -D ．14【答案】D【详解】由()ln 3(e)f x x f x '=-得1()3(e)f x f x ''=-，将e x =代入1()3(e)f x f x''=-得11(e)3(e)(e)=e 4ef f f '''=-⇒，故3()ln 4e f x x x =-，因此331(e)ln e e=1=4e 44f =-⨯-，故选：D 【变式训练】1、函数()()ln 1f x x x =-的图像在点()2,0处的切线方程为（） A ．24y x =- B ．21y x =+ C ．23y x =- D ．21y x =-【答案】A【详解】对函数()()ln 1f x x x =-求导，得()()ln 11xf x x x '=-+-，所以()22ln121f '=+=，即函数()()ln 1f x x x =-的图像在点()2,0处的切线斜率为2，所以函数()()ln 1f x x x =-的图像在点()2,0处的切线方程为()22y x =-，即24y x =-. 故选：A 高频考点三导数在研究函数中的应用例1、已知函数1()e 2xf x =，直线y kx =与函数()f x 的图象有两个交点，则实数k 的取值范围为（） A ．1e 2⎛ ⎝B ．(e,)+∞C ．(e,)+∞D ．1e,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【详解】当过原点的直线y kx =与函数()f x 的图象相切时，设切点为1,e 2m P m ⎛⎫⎪⎝⎭，由()1e 2xf x '=，可得过点P 的切线方程为()11e e 22m m y x m -=-，代入点()0,0可得11e e 22m mm -=-，解得1m =，此时切线的斜率为1e 2，由函数()f x 的图象可知，若直线y kx =与函数()f x 的图象有两个交点，直线的斜率k 的取值范围为1e,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故答案选：D 【变式训练】1、已知函数()2e 2ln xf x k x kx x=-+，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值集合是（）A ．2e ,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．2e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【详解】函数()f x 定义域为()0,∞+，()()()2243e 2e 2e 2x x x kx x x x kf x k x x x+--'=-+=，由题意可得，2x =是方程()0f x '=唯一变号的根，令()2e x h x kx =+，则()h x 在()0,∞+上没有变号零点，令()0h x =得2e xk x-=，令()()2e 0xg x x x =>，则()()3e 2x x g x x-'=，当2x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当02x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，故当2x =时，()g x 取得最小值()2e 24g =，故2e 4k -即2e 4k -．。

2022版高考数学一轮复习第4章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件

ex x＋a
，得f′(x)＝
exx＋a－1 x＋a2
，所以f′(1)＝
ae 1＋a2
＝4e，解得a＝1.
6．曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为________．【答案】y＝2x 【解析】因为y′＝x＋2 1，所以在点(0,0)处切线的斜率为k＝2，则所求的切线方程为y＝2x.
(2)由y＝ln x＋x＋1，得y′＝1x＋1，令1x＋1＝2，解得x＝1.所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
导数几何意义的综合应用
已知函数f(x)＝2x3－3x. (1)求f(x)在区间[－2,1]上的最大值； (2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围．
1)．因为y′＝2ax＋(a＋2)，所以y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．
由2aax20x＋0＋aa＋＋22x0＝＋21，＝2x0－1，
解得x0＝－21， a＝8.
【解题技巧】 1．求切线方程的方法 (1)求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程； (2)求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程． 2．处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2) 切点在切线上；(3)切点在曲线上．
3x0，且切线斜率为k＝6x
2 0
－3，所以切线方程为y－y0＝(6x
2 0
－3)(x－x0)，
因此t－y0＝(6x20－3)·(1－x0)．整理得4x30－6x20＋t＋3＝0.
设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相