高中数学一轮复习 第1讲 导数的概念及其运算

第1讲 导数的概念及其运算

1.已知函数3

2

()32f x ax x =++,若f′(-1)=4,则a 的值等于( ) A.193 B.163

C.133

D.103

【答案】 D

【解析】 f′2

()36x ax x f =+,′(-1)=3a 10643

a -=,=.

2.设y=-2e x

sinx,则y′等于( )

A.-2e x cosx

B.-2e x

sinx C.2e x

sinx

D.-2e (x

sinx+cosx) 【答案】 D

【解析】 ∵y=-2e x

sinx,

∴y′=(-2e )x

′sinx+(-2e )(x

sinx)′ =-2e x sinx-2e x cosx =-2e (x

sinx+cosx).

3.已知3

270()x m f x mx m

<,=+,且f′(1)18≥-,则实数m 等于( )

A.-9

B.-3

C.3

D.9 【答案】 B

【解析】 由于f′2

27()3x mx m =+,故f′27(1)183m m

≥-⇔+≥

-18

,

由m<0得2

27318318270m m m m

+≥-⇔++≤⇔2

3(3)m +0≤,故m=-3.

4.设曲线11

x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a 等于( )

A.2

B.12

C.12

- D.-2

【答案】 D

【解析】 因为y′22(1)

x -=

,-所以切线斜率k=y′|3

x ==1

2-,而此切线与直线ax+y+1=0垂直,

故有()1k a ⋅-=-,因此12a k

==-.

5.已知12()f x =sin2x+sinx,则f′(x)是( )

A.仅有最小值的奇函数

B.既有最大值又有最小值的偶函数

C.仅有最大值的偶函数

D.非奇非偶函数 【答案】 B

【解析】 f′12()x =cos 22x ⋅+cosx=cos2x+cosx

=2cos 21x -+cosx=2(cos 29148)x +-.

故f′(x)是既有最大值2,又有最小值98-的偶函数,选B 项.

1.下列求导运算正确的是( )

A.1()x x

+′112

x =+

B.(log 2)x ′1ln2

x =

C.(3)x

′3x

=⋅log 3e

D.2

(x cosx)′=-2xsinx

【答案】 B

【解析】 1()x x +′112

x =-

;(3)x ′3x =ln3; 2(x cosx)′=2x cos 2x x -sinx.

2.若曲线C:3

2

22y x ax ax =-+上任一点处的切线的倾斜角都是锐角,那么整数a 的值等于

( ) A.-2 B.0 C.1 D.-1 【答案】 C

【解析】 由题意,y′2

3420x ax a =-+>对x ∈R 恒成立,故3002

a ∆<⇒<<,又a ∈Z ,

∴a=1.

3.若点P 是曲线2

y x =-lnx 上任意一点,则点P 到直线y=x-2的最小距离为( ) A.1

【答案】 B

【解析】 过点P 作y=x-2的平行线,且与曲线2

y x =-lnx 相切,设200(P x x ,-ln 0)x ,则

k=y′|0x x =0120

x x =-,

∴01210

x x

-=.∴01x =或102(x =-舍去).

∴P(1,1).

∴d ==4.已知直线y=kx+1与曲线3

y x ax b =++切于点(1,3),则b 的值为( )

A.3

B.-3

C.5

D.-5

【答案】 A

【解析】 对3

y x ax b =++求导,得y′2

3x a =+,

∴k=y′|13x a ==+. 又点(1,3)为切点,

∴ 3

3113113k a b k a =⨯+,⎧⎪=+⨯+,⎨⎪=+,⎩

解得b=3.

5.已知二次函数f(x)的图象如图甲所示,则其导函数f′(x)的图象大致形状是( )

【答案】 B

【解析】 设二次函数为2

(0y ax b a =+<,b>0),则y′=2ax, 又∵a<0,故选B.

6.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的位移为32

31232

s t t t =-+,那么速度为零的时

刻是( ) A.0秒 B.1秒末

C.2秒末

D.1秒末和2秒末

【答案】 D

【解析】 ∵32

31232s t t t =-+,

∴v=s′2

()32t t t =-+.

令v=0得2

320t t -+=,解得1212t t =,=.

7.设函数y=xsinx+cosx 的图象上的点(x,y)处的切线斜率为k,若k=g(x),则函数k=g(x)的图象大致为 … ( )

【答案】 B

【解析】 k=g(x)=y′=sinx+xcosx -sinx=xcosx,故函数k=g(x)为奇函数,排除A 、C;