分式的大小比较

内容 基本要求

略高要求

较高要求

分式的概念 了解分式的概念，能确定分式有意义

的条件

能确定使分式的值为零的条件

分式的性质

理解分式的基本性质，并能进行简单

的变型

能用分式的性质进行通分和约分

分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则 会进行简单的分式加、减、乘、除运算，

会运用适当的方法解决与分式有关的问

题

【例1】 语句“若x y <，则22x y <”显然是不正确的。试分别按照下列要求，将它改为正确的语句：

（1）增加条件，使结论不变；（2）条件不变，改变结论。 【考点】整式的大小比较 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】答案不唯一

【答案】（1）可增加条件：x y ，都是正数，或0x =，或||||x y <等

（2）可改变结论：33x y <，也可改变22

x y

<等。

【例2】 若实数1a <，则实数221

33

a a M a N P ++===

，，的大小关系为( ) A ．P N M >> B ．M N P >> C ．N P M >> D ．M P N >> 【考点】整式的大小比较 【难度】4星 【题型】选择 【关键词】作差法

【解析】本题主要考查代数式大小的比较有两种方法：其一，由于选项是确定的，我们可以用特值法，取

1a >内的任意值即可；其二，•用作差法和不等式的传递性可得M N P ，

，的关系． 中考要求

分式的大小比较

例题精讲

方法一：取2a =，则45

233

M N P ===，，，由此知M P N >>，应选D ．

方法二：由1a >知10a ->．

又211

033

a a M P a +--=-=>，∴M P >；

2121

0333

a a a P N ++--=-=>，∴P N >．

∴M P N >>，应选D ．

【答案】D

【例3】 比较下列各题中的两个式子的大小：

⑴a b +与a b -； ⑵221(2)2a b -+与221

(21)3

a b -+． 【考点】整式的大小比较 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】作差法

【解析】比较两个代数式的大小一般用求差法，即：若0A B ->，则A B >；若0A B -<，则A B <；若

0A B -=，则A B =，在比较的过程中，常常需借助非负数的性质来判断差的符号，当差的符号

无法确定时，应分情况进行讨论． ⑴()()2a b a b a b a b b +--=+-+= 当0b >时，20b >，∴a b a b +>-； 当0b <时，20b <，∴a b a b +<-；

当0b =时，20b =，∴a b a b +=-； ⑵222222111

(2)(21)(4)236a b a b a b -+--+=++ ∵20a ≥，20b ≥

∴2240a b ++>即221

(4)06

a b ++>

∴222211

(2)(21)23

a b a b -+>-+ 当所比较的两个代数式“同号”时，也可用求商法，看其商与1的大小关系是什么，进而判断代断式的大小．

【答案】（1）当0b >时，a b a b +>-；

当0b <时，a b a b +<-；

当0b =时，a b a b +=-；

（2）222211

(2)(21)23

a b a b -+>-+

【例4】 已知x ，y ，z 是三个互不相同的非零实数，设222a x y z =++，b xy yz zx =++，222

111

c x y z =

++

，

111d xy yz zx

=

++．则a 与b 的大小关系是 ；c 与d 的大小关系是 ． 【考点】分式的大小比较 【难度】4星 【题型】填空

【关键词】作差法,第15届,希望杯,第1试

【解析】∵,,x y z 是三个互不相同的非零实数，

∴222()a b x y z xy yz zx -=++-++2221

()()()02

x y y z z x ⎡⎤=-+-+->⎣⎦．∴a b >． 又∵222111111c d x y z xy yz zx ⎛⎫-=++-+

+ ⎪⎝⎭222

111111102x y y z z x ⎡⎤

⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+->⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥

⎝⎭⎝⎭⎣⎦

， ∴.c d > 【答案】a b >，.c d >

【例5】 已知a ，b ，c 为正数，且a b ≠，若111

x a b c =

+

+

，y =

，则x 与y 的大小关系是( )．

A ．x y >

B ．x y <

C ．x y -

D ．随a ，b ，c 的取值而变化

【考点】根式的大小比较 【难度】4星 【题型】选择

【关键词】第10届，希望杯，第2试，作差法

【解析】由题意有22222x y a b c -=++

1111()()a b b c =++

+11()c a +--+

222=++

又∵a b =/，

∴20-

>

，20

≥

，2

0≥．

∴0x y ->，x y >．选A ．

【答案】A

【例6】 已知正实数a b c d 、、、满足a b c d <<<且1ac =，且S abcd =，'S a a a =

+，'S b b b =+，'S

c c c

=+，'s

d d d

=

+，求''''a b c d 、、、的大小关系． 【考点】分式的大小比较

【难度】5星 【题型】解答

【关键词】河北省，初中数学竞赛