陕西省西安电子科技大学附中2019-2020年高一上学期期中考试 数学(含解析)

陕西省西安电子科技大学附中2019-2020年高一上学期期中考试数学一、选择题（每小题4分,共48分）1.已知全集{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，集合{}0,1,3,5,8A =，集合{}2,4,5,6,8B =，则()()U U C A C B ⋂=（ ）A. {}5,8B. {}7,9C. {}0,1,3D. {}2,4,6【答案】B 【解析】 试题分析：{}2,4,6,7,9UA =,{}0,1,3,7,9UB =,所以()(){}7,9U U A B ⋂=，故选B.考点：集合的运算.【此处有视频，请去附件查看】2.已知{1,2,3,4}A =，{}1,2B a a =+，若{4}A B ⋂=，则a =（ ） A. 3 B. 2C. 3或2D. 3或1【答案】A 【解析】【详解】由题，{}1,2,3,4A =，{}1,2B a a =+，且{}4A B ⋂=， 当14,3,26a a a +=== ，符合题意；当24,2,13a a a ==+= ，此时{}34A B ⋂=，，不符合题意.故 3.a = 故选A. 3.函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是（ ）A. (1,)-+∞B. [1,)-+∞C. (1,1)(1,)-+∞D. [1,1)(1,)-⋃+∞【答案】C【解析】试题分析：分母不等于零，对数真数大于零，所以10{10x x +>-≠，解得(1,1)(1,)x ∈-⋃+∞.考点：定义域.4.已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, ()21f x x x=+,则()1f -= ( ) A. -2 B. 0 C. 1D. 2【答案】A 【解析】因为()f x 是奇函数，所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-，故选A. 5.已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )． A. A ∩B ＝B. A ∪B ＝RC. B ⊆AD. A ⊆B【答案】B 【解析】【详解】依题意{}|02A x x x =或， 又因为B ＝{x |5x 5， 由数轴可知A ∪B ＝R ，故选B. 【此处有视频，请去附件查看】6.设1,01,()0,0,()0,1,0x x f x x g x x x >⎧⎧⎪===⎨⎨⎩⎪-<⎩为有理数为为无理数,则f(g(π))的值为( ) A. 1 B. 0C. -1D. π【答案】B 【解析】 【详解】()0g π=，(())(0)0f g f π∴==,故选B.【此处有视频，请去附件查看】7.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是 ( ) A. 1y x =+ B. y x x =C. 1y x=D. 3y x =-【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数定义先判断出奇偶性，然后根据单调性定义判断单调性即可. 【详解】A.非奇非偶函数；B.奇函数且是单调递增函数； C.奇函数但在定义域上不是增函数；D. 奇函数，单调递减函数； 故选B【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，结合初等函数的奇偶性和单调性判断出原函数的性质，主要考查了推理能力．8.已知函数f （x ）＝2,0{1,0x x x x >+≤，若f （a ）＋f （1）＝0，则实数a 的值等于（ ）A. －3B. 1C. 3D. －1【答案】A 【解析】 【分析】先求得f （1）=2，再由f （a ）=-2，即有a +1=-2，从而可得结果．【详解】由函数f （x ）＝2,0{1,0x x x x >+≤,可得f (1)=2，且x >0时,f (x )>1，则f (a )+f (1)=0,即f (a )=−2， 则a ⩽0,可得a +1=-2， 解得a =-3. 故选：A.【点睛】对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 9.已知 1.22a =，0.81()2b -=，52log 2c =，则a, b, c 的大小关系为（ ）A. c b a <<B. c a b <<C. b a c <<D. b c a <<【答案】A 【解析】【详解】试题分析：因为0.80.81()22b -==，所以由指数函数的性质可得0.8 1.2122b a <=<=，552log 2log 41c ==<，因此c b a <<,故选A.考点：1、指数函数的性质；2、对数函数的性质及多个数比较大小问题.【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题，属于中档题. 多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常常是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以0,1为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将各个数按顺序排列. 【此处有视频，请去附件查看】10.已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a的取值范围为( ) A. (－∞，2) B. 13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. (－∞，2]D. 13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220{1(2)2()12a a -<-⨯≤-,解出138a ≤,选B.考点：分段函数的单调性.【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点2x =处,有21(2)2()12a -⨯≤-,解出138a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况.11.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f a f +≤, 则a 的取值范围是（ ）A. [1,2]B. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. (0,2]【答案】C 【解析】试题分析：函数是定义在上的偶函数，∴，等价为），即．∵函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增，∴）等价为．即，∴，解得,故选项为C ．考点：（1）函数的奇偶性与单调性；（2）对数不等式.【思路点晴】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应 用根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，综合性较强.由偶函数结合对数的运算法则得：，即，结合单调性得：将不等式进行等价转化即可得到结论.【此处有视频，请去附件查看】12.若不等式2(1)log a x x -<（0a >且1a ≠）在()1,2x ∈内恒成立,则实数a 的取值范围为（ ）A. (]1,2B. 22⎛⎫⎪⎪⎝⎭C. (2D.)2，【答案】A 【解析】 【分析】函数2(1)y x =-在()1,2的图象在log ay x =的图象的下方,结合函数的图象,可求得a 的取值范围.【详解】由题意,函数2(1)y x =-在()1,2的图象在log ay x =的图象的下方,若01a <<,则log 0a x <在()1,2上恒成立,显然不符合题意,故1a >. 作出函数的图象,如下图,则()2log 221a ≥-,解得12a <≤. 故选:A.【点睛】本题考查函数图象性质的应用,考查了不等式恒成立问题,数形结合的方法是解决本题的关键,属于中档题.二、填空题（每小题4分,共16分）13.函数()212log 32y x x =-+的单调递增区间为__________．【答案】(),1-∞ 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数同增异减求得函数的单调递增区间. 【详解】由2320x x -+>解得1x <或2x >，由于12log y x =在其定义域上递减，而232y x x =-+在1x <时递减，故()212log 32y x x =-+的单调递增区间为(),1-∞. 【点睛】本小题主要考查复合函数单调区间的求法，考查对数函数定义域的求法，属于基础题. 14.若2510a b ==，则11a b+=________. 【答案】1 【解析】 【分析】将指数式化为对数式，再取倒数相加即得． 【详解】∵2a ＝5b ＝10，∴a ＝log 2 10，b ＝log 5 10，∴1a =lg 2，1b =lg 5 ∴11a b+=lg 2+lg 5＝lg （2×5）＝1， 故答案为1．【点睛】本题考查了对数的运算性质．属基础题．15.已知函数f(x)＝()14214xx f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+<⎩，，，则f(2＋log 23)＝________．【答案】124【解析】由3<2＋log 23<4，得3＋log 23>4，所以f(2＋log 23)＝f(3＋log 23)＝2233241112224log log +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝＝16.集合{}||21|xM x m =-=有4个子集,则m 的取值范围为________. 【答案】()0,1 【解析】 【分析】由集合M 有4个子集,可得M 有2个元素,即函数|1|2xy =-与y m =的图象有2个交点,结合函数图象,可求出m 的取值范围.【详解】因为集合M 有4个子集,所以集合M 有2个元素, 故函数|1|2xy =-与y m =的图象有2个交点,作出函数|1|2xy =-的图象,如下图,0x ≥时,[)|21|0,x y =-∈+∞,0x <时,()|21|0,1xy =-∈.故01m <<时,函数|1|2xy =-与y m =的图象有2个交点.故答案为:()0,1.【点睛】本题考查集合的元素个数与子集个数的关系,考查了函数的图象交点问题,利用数形结合的方法是解决本题的关键,属于中档题.三、解答题（17、18题10分,19、20、21题12分.） 17.（1）计算：112307272(lg 5)964-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）计算：83151g 1g lg12.5log 9log 428-+-⋅ 【答案】（1）4 ；（2）13.【解析】 【分析】（1）结合指数幂的运算法则,可求出答案; （2）结合对数的运算法则,可求出答案. 【详解】（1）112307272(lg 5)964-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11233123495-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎛⎫=⎪⎦++ ⎝⎭54133=++4=. （2）83151g 1g lg12.5log 9log 428-+-⋅()23182521g log 32l 2og 2523⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2341g10log l 33g 2o ⋅=-41133=-=-. 【点睛】本题考查了指数幂与对数式的运算,考查了学生的计算求解能力,属于基础题. 18.设()()()log 1log (30,1)a a f x x x a a =++->≠,且()12f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域；（2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【答案】（1）2a =，定义域()1,3-；（2）2 【解析】 【分析】（1）由()12f =,可求得a 的值,结合对数的性质,可求出()f x 的定义域; （2）先求得()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性,进而可求得函数的最大值.【详解】（1）()1log 2log l 242og a a a f =+==,解得2a =. 故()()22log 1)g 3(lo f x x x =++-,则1030x x +>⎧⎨->⎩,解得13x ,故()f x 的定义域为()1,3-.（2）函数()()()()()222log 1log 3log 31f x x x x x =++-=-+,定义域为()1,3-,()130,2,3⎡⎤⊆⎥-⎢⎣⎦,由函数2log y x =在()0,∞+上单调递增,函数()()31y x x =-+在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,可得函数()f x 在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.故()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()21log 42f ==.【点睛】本题考查了函数的定义域,考查了函数的单调性与最值,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.19.已知二次函数()223f x x ax =++.（1）若()f x 在[]1,1-上单调,求a 的取值范围； （2）求()f x 在[]1,1-上最小值．【答案】（1）4a ≤-或4a ≥;（2）当4a ≤-时,()min 5f x a =+;当4a ≥时,()min 5f x a =-;当44a -<<时,()min238f x a =-【解析】 【分析】（1）结合二次函数的性质,讨论对称轴与区间[]1,1-的关系,可求得函数()f x 的单调性; （2）先讨论()f x 的单调性,进而可求得()f x 在[]1,1-上最小值. 【详解】（1）二次函数()223f x x ax =++的对称轴为4ax =-,开口向上, 若()f x 在[]1,1-上单调递减,则14a-≥,即4a ≤-; 若()f x 在[]1,1-上单调递增,则14a-≤-,即4a ≥. 即()f x 在[]1,1-上单调,则a 的取值范围是4a ≤-或4a ≥.（2）由（1）知,若4a ≤-,()f x 在[]1,1-上单调递减,则()()min 15f x f a ==+;若4a ≥,()f x 在[]1,1-上单调递增,则()()min 15f x f a =-=-;若114a-<-<,即44a -<<,则()22min3344428f x f a a a a a ⎛⎫⎛⎫--+-+=- ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故当4a ≤-时,()min 5f x a =+;当4a ≥时,()min 5f x a =-;当44a -<<时,()min238f x a =-.【点睛】本题考查了二次函数的单调性与最值,考查了分类讨论的数学思想在解题中的应用,属于基础题.20.已知函数()f x =222,00,0,0x x x x x mx x ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩是奇函数.（1）求实数m值；（2）若函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2m =；（2）13a【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义，由0x >时的解析式得0x <时，()()f x f x =--对应的解析式，即求出实数m的值；（2）由（1）知函数()f x 在区间[]1,1-上单调递增，所以121a -<-≤，得实数的取值范围.【详解】（1）设0x <，则0x ->，22()()[()2()]2f x f x x x x x =--=---+-=+，所以2m =.（2）由()f x =222,00,0,0x x x x x mx x ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩，知()f x 在区间[1,1]-上单调递增，所以121a -<-≤，解得13a .【点睛】本题主要考查了利用函数奇偶性求解析式及研究分段函数的单调性，属于基础题.21.已知二次函数()()210f x ax bx a =++>,若()10f -=,且对任意实数x 均有()0f x ≥成立．（1）求()f x 的表达式；（2）当[]2,2x ∈-时,令()()g x f x kx =-,若()0g x ≤恒成立,求k的取值范围．【答案】（1）()221f x x x =++；（2）不存在 【解析】【分析】（1）对任意实数x 均有()0f x ≥成立,且0a >,可得240b a ∆=-=,再结合()10f -=,可求出,a b 的值,即可求得()f x 的表达式;（2）先求出()g x 的表达式,再由()0g x ≤在[]2,2x ∈-恒成立,可得()()2020g g ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩,即可求出答案. 【详解】（1）由题意,()101a b f -+==-,因为210ax bx ++≥恒成立,且0a >,所以240b a ∆=-=,联立21040a b b a -+=⎧⎨-=⎩,解得1,2a b ==. 故()221f x x x =++.（2）由题意,()()221g x x k x =+-+,因为[]2,2x ∈-时,()0g x ≤恒成立,所以()()()()()22222210222210g k g k ⎧-=---+≤⎪⎨=+-+≤⎪⎩,即1292k k ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩,显然无解,故k 不存在.【点睛】本题考查了二次函数的解析式,考查了二次函数的性质,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.。