电路原理 第三章 动态电路分析(2)

为二阶电路的 两个固有频率
两个固有频率s1, s2 : 两个不等负实数 Δ>0 一对共轭复数 Δ<0 两个相等的负实数 Δ=0 零输入:
y x (t ) K1e s1t K 2 e s2t
（固有响应）
由于s1，s2可有三种形式，故yx(t)有三种不同的形式。
固有响应的形式 例 RLC串联电路
duC dt
t 0
0
R＝4
uC ( t ) A1e 50 t A2t e 50 t A1 3 A1 3, A2 150 50 A1 A2 0 uC ( t ) 3e 50 t (1 50t )V ( t 0) uC ( t ) Ke 12.5 t sin(48.4t θ ) K sin 3 12.5 K sin 48.4 K cos 0
t RC
对RC串联电路 激励电压为ε(t) 在零状态下
i
C
u
1
gu(t)
g u ( t ) (1 e
) ( t )
1 g i (t ) e R
t RC
(t )
1 R
gi(t)
2. 阶跃响应的应用 对线性非时变电路，在零状态条件下 若电路对ε(t)的响应为g(t) 电路对ε(t-t0)的响应为g(t-t0)
特征根为两个相等实根 s1 s2
u c ( k1 k 2 t ) e
t
3.欠阻尼
Δ<0
1 R LC 2L
2
R2
2
L C
R 特征根为共轭复根 s1, 2 R j 1 jd 2L LC 2L
d u c R du c 1 uc 0 2 L dt LC dt
s1,2 R 1 R 2L LC 2L
s1t
2
2
R 1 s s 0 L LC
2
1 R LC 2L
2
u C (t ) k1e
k2e
s2t
t0
R＝ 1
p1 , 2 12.5 j48.4
欠阻尼
uC ( t ) Ke12.5 t sin(48.4t θ )
3. 用初值确定待定系数
uC (0) 3 V
uC ( t ) A1e
R＝5
25 t
A2 e
100 t
A1 A2 3 A1 4 A2 1 25 A1 100 A2 0 uC ( t ) 4e 25 t e 100 t V ( t 0)
其中： C 、 C 、 A 、 为实常数，由初始条件确定
欠阻尼 uc Ae t sin( d t ) 衰减振荡（阻尼振荡） 4.无阻尼
Ae t
R0
2
1 R d 02 2 LC 2 L 1 d 0 0 LC
0.04H iL (t=0) uC + 0.01F R
p2 100 过阻尼
25 t
uC ( t ) A1e
2
A2 e
100 t
R＝ 4
b 4ac 0 临界阻尼 P1 P2 50 uC ( t ) A1e50 t A2 t e50 t
b 2 4ac 9375 0
其中
d
1 R 02 2 LC 2 L
2
阻尼振荡频率
0
1 LC
s1t
自由振荡频率
s2t
此时
k1e k 2 e
或
1 2
应为实数，S1与S2共轭
响应可化为
u c (C 1 cos d t C 2 sin d t ) e t
uc Ae t sin(d t )
例 求us(t)作用RL电路时， iL 的零状态响应。 解：此题可有两种分析方法 方法一 (按两次换路分段求)：
0 t t0
为零状态响应
t
Us iL (t ) (1 e ) A R
0 t t0

L R
t t0
当t t 0
为零输入响应
t Us iL (t 0 ) (1 e ) , t t 0 R
f ( t ) ( t ) ( t t0 )
4．用阶跃函数表示单边信号 例3
f (t ) 3 (t ) 4 (t 1) (t 3)
阶跃响应及其应用
1. 阶跃响应 电路在零状态条件下，对单位阶跃函数激励的响应。 零状态
ε(t) 例
g(t) R ε(t)
1. 列方程 di L L Ri L uC dt duC C iL dt
d 2 uC R duC 1 uC 0 2 dt L dt LC
2. 求自由分量
d 2 uC R duC 1 uC 0 2 dt L dt LC
0.04H iL (t=0) uC + 0.01F R
1
k1 k 2 1
2
0

k
k1 5
2
4 1 4
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5 t 1 5t u c e e ( V) 4 4
(2) R= 2 5
s 2 2 5s 5 0
s1 s2 5
5t
临界阻尼
u c ( k1 k 2 t ) e
带入初始条件 (3) R=2
阶跃信号 1．单位阶跃函数
1 , t 0 (t ) 0 , t 0
2.4 *阶跃响应 1
0
ε(t)
2.实际意义相当于0时刻接入电路的单位电压源或单位电流源
若将直流电源表示为阶跃信号，则可省去开关：
3. 延迟单位阶跃函数
1 , t t0 (t－t0 ) 0 , t t0
u c (1 5t )e
5t
(V )
s 2 2s 5 0
s1,2 1 j 2
欠阻尼
1 u c e t (cos 2t sin 2t ) ( V) 2
也可设
u c Ae t sin(2t )
由初始条件 1 A sin 0 A sin 2 A cos
特征根为共轭虚根
R 1 s s 0 L LC
2
s1,2 j 0
u c (C1 cos 0 t C 2 sin 0 t )
u c A sin( 0 t )
自由振荡
RLC并联电路
iL iC iR 0
iC Cu' CLiL ' '
i L (t) L u(t)
4．用阶跃函数表示单边信号 uC 例1 例2 U0 0 t
ε(t)
1
0
t0
f ( t)
t
1 0 1 0 t0 t0 f ( t) t
t0 0 uC (t ) t U ( 1 e ) t0 0
( t)
t -(t-t0)
用阶跃函数将uc表示为
u c (t ) U 0 (1 e t ) (t )
5 将两式平方，解出 A 2
tg 2
tg 1 2 63.4
5 t uC e sin( 2t 63.4) ( V) 2
(3) R=0 设 解出
s2 5 0
s1,2 j 5
无阻尼
u c k1 cos 5t k 2 sin 5t
u c cos 5t ( V)
计算出iL的阶跃响应为
1 g i (t ) (1 e ) (t ) R

t
根据叠加定理，当激励为us(t)时
i L (t ) U S g i (t ) U S g i (t t 0 )
( t t0 ) Us Us iL (t ) (1 e ) (t ) (1 e ) (t t0 ) R R (冲激响应的内容请同学们自学。） t 1
1.过阻尼(损耗较大)
Δ>0
1 R LC 2L
2
L R2 C
特征根为两个不等实根 s1 , s2 0
s1 1 s2 2
u c k1 e
2.临界阻尼
1t
k2e
2 t
Δ=0
1 R LC 2L
2
L R2 C
1 L R 2 C
s1与s2为共轭复根，欠阻尼
R
s1与s2为不等实根，过阻尼
s1与s2为共轭虚根，无阻尼
二阶电路动态响应的求解步骤 1. 列写所求变量的动态方程 2. 求二阶电路的固有频率---动态方程特征方程的根
3. 由固有频率判断固有响应的形式
4. 找初始条件，确定响应中待定系数。
例
u (0) 0, 求当 R 分别为 6Ω 、2Ω、2 5Ω 和 0Ω 已知 u (0) 1V， 时，u 的零输入响应。 解 列出微分方程
s1t
s2t
二阶电路的零输入响应 齐次方程 特征方程 特征根 根据判别式
零输入响应中仅含有固有响应成分
d2y dy a1 a2 y (t ) 0 2 dt dt
s 2 a1s a2 0
a1 a1 2 s1, 2 ( ) a2 2 2 a Δ ( 1 ) 2 a2 2
i L uC C
LC电路自由振荡
du c i C dt
di uc L dt
uC
t
电场能量与磁场能量的相互转换 当电路中存在损耗，在能量交换过程中 一部分能量被消耗掉，振荡逐渐衰减； 若损耗很大，交换只能进行一次，不能 维持振荡。
i
t
例：R分别为5 、4 、1 、 0 时求uC(t)、 iL(t) ，t 0 。 0.04H iL uC + (t=0) 0.01F uC(0-) = 3V R iL(0-) = 0
i C(t) C
i R(t) R
i R u / R LiL ' / R
1 1 iL ' ' iL ' iL 0 RC LC
s1, 2 1 1 1 2 RC 2 RC LC
2
2
R
1 L 2 C
s1与s2为相等实根，临界阻尼
R 1 L 2 C
1 1 LC 2 RC
d 2 uC duC 25 R 2500 uC 0 2 dt dt
特征方程
p 2 25 Rp 2500 0
b 2 4ac 625 R 2 1000
R＝ 5
b 2 4ac 5625 0
p1 25
b 2 4ac 625 R 2 10000
0
u s (t ) 0
1
iL (t ) iL (t0 )e
1 ( t t0 )

0 ( t t0 ) Us (1 e )e R
t
A
t t0
方法二：（利用阶跃响应） 先将激励电压分解为
u s (t ) U s (t ) U s (t t 0 )
ε(t-t0) 零状态 g(t-t0) ε(t) 零状态 g(t)
若输入可以分解为延迟阶跃信号的和
f (t ) a 0 (t ) a1 (t t1 ) a 2 (t t 2 ) ...
则电路对f(t)的零状态响应为
y (t ) a 0 g (t ) a1 g (t t1 ) a 2 g (t t 2 ) ...
A
第3节 二阶动态电路方程
二阶电路固有响应
u R u L uC us
di u R Ri u L L dt duC iC dt
d 2uC du C LC RC uc u s 2 dt dt
d 2 u C R du C 1 1 uc us 2 L dt LC LC dt
一般形式
d2y dy a1 a 2 y f (t ) 2 dt dt
二阶动态方程
d y dy a1 a2 y (t ) f (t ) 2 dt dt
二阶动态响应
2
其中a1,a2为常数（与电路 结构和参数有关）
y (t ) k1e k 2 e y p (t )
固有响应 的形式由固有频率s1和s2 确定，取决于电路参数。 强迫响应 yp(t)取决于外加激励 f(t)。
C C C
d 2 u c R du c 1 uc 0 2 L dt LC dt
特征方程 (1) R=6
s2
R 1 s 0 L LC
s1， 1， 5 2
s 2 6s 5 0
过阻尼
u c k1e t k 2 e 5t
带入初始条件
k 5k