三角形角平分线部分经典题型.docx

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初一三角形角平分线经典例题

《角平分线》经典例题在直角三角形ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BE交AC于E点,过E点作ED⊥BC于D点,已知AC=10cm,ΔCDE的周长为16cm,求CD的长.〔解析〕根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AE=DE,从而求出DE+CE=AC,所以ΔCDE的周长=AC+CD,根据ΔCDE的周长及AC的长即可求得CD的长.解:∵BE为∠ABC的平分线,∠A=90°,DE⊥BC,∴AE=DE,∴DE+CE=AE+CE=AC=10cm,∵ΔCDE的周长为16cm,∴DE+CE+CD=16cm,∴CD=16-10=6(cm).如图(1)所示,已知∠ADC+∠ABC=180°,DC=BC.求证点C在∠DAB的平分线上.〔解析〕作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足分别为E,F,利用∠ADC+∠ABC=180°,∠ADC+∠CDF=180°,得出∠ABC=∠CDF,进而证得ΔCBE≌ΔCDF,得出FC=EC,即可求得结论.证明:如图(2)所示,作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足分别为E,F,∴∠BEC=∠DFC=90°,∵∠ADC+∠ABC=180°,∠ADC+∠CDF=180°,∴∠ABC=∠CDF,在ΔCBE和ΔCDF中,∴ΔCBE≌ΔCDF(AAS),∴FC=EC,∴点C在∠DAB的平分线上.如图(1)所示,已知点P 是ΔABC 三条角平分线的交点,PD ⊥AB ,若PD =5,ΔABC 的周长为20,求ΔABC 的面积.〔解析〕作PE ⊥BC 于E ,PF ⊥AC 于F ,根据角平分线的性质定理得PE =PF =PD =5,然后根据三角形面积公式和S ΔABC =S ΔPAB +S ΔPBC +S ΔPAC 得到S ΔABC =(AB +BC +AC ),再把ΔABC 的周长为20代入计算即可.解:作PE ⊥BC 于E ,PF ⊥AC 于F ,如图(2)所示,∵点P 是ΔABC 三条角平分线的交点,∴PE =PF =PD =5,∴S ΔABC =S ΔPAB +S ΔPBC +S ΔPAC=PD ·AB +PE ·BC +PF ·AC=(AB +BC +AC )=20=50.如图(1)所示,在RtΔABC 中,∠ACB =90°,且AC =b ,BC =a ,AB =c ,∠A 与∠B 的平分线交于点O ,O 到AB 的距离为OD.试探究OD 与a ,b ,c 的数量关系.〔解析〕过点O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OD=OE=OF,然后证得四边形EOFC是正方形,从而证得OE=OF=FC=EC=OD,AE=AD,BD=BF,通过AB=AC-OD+BC-OD即可求解.解:如图(2)所示,过点O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,∵∠BAC,∠ABC的平分线交于点O,OD⊥AB,∴OD=OE,OD=OF,∴OD=OE=OF,∵∠ACB=90°,∴四边形EOFC是正方形,∴OE=OF=FC=EC=OD,在RtΔOAE和RtΔOAD中,∴RtΔOAE≌RtΔOAD,∴AE=AD,同理BD=BF,∴AE+EC=AD+OD=AC=b,BF+CF=BD+OD=BC=a,∴AD=b-OD,BD=a-OD,∴AD+BD=a+b-2OD,即c=a+b-2OD,∴OD=(a+b-c).。

角平分线的性质练习题

角平分线的性质练习题一、选择题1. 在三角形ABC中，BD是角B的平分线，若AB=5，BC=7，AC=6，那么BD的长度为：A. 4B. 6C. 8D. 无法确定2. 如果角平分线将三角形分成两个面积相等的部分，那么这两个部分的底边分别是：A. 相等B. 不相等C. 一个底边是另一个的两倍D. 底边长度无法确定3. 在三角形ABC中，角A的平分线与BC相交于点D，若AD=4，AC=8，那么AB的长度可能是：A. 6B. 8C. 10D. 12二、填空题4. 在三角形ABC中，如果角A的平分线将BC分为BD和DC两段，BD=DC，那么三角形ABD与三角形ACD的面积之比为________。

5. 若角平分线定理告诉我们，在三角形ABC中，如果BD是角B的平分线，则AB：AC=______：______。

6. 在三角形ABC中，如果角A的平分线与BC相交于点D，且AD垂直于BC，那么角B和角C的度数之和为________。

三、简答题7. 描述角平分线定理的内容，并给出一个应用此定理的几何问题。

8. 解释为什么在三角形中，角平分线可以将对边分成的两段长度与相邻两边成比例。

四、计算题9. 在三角形ABC中，已知角A的平分线AD与BC相交于点D，且BD=3，DC=4，AB=6，求AC的长度。

10. 在三角形ABC中，角B的平分线BE与AC相交于点E，已知AE=4，EC=6，AB=5，求BC的长度。

五、证明题11. 证明：在三角形ABC中，如果BD是角B的平分线，那么AB/AC = BD/DC。

12. 证明：如果点D在三角形ABC的边BC上，且AD是角A的平分线，那么三角形ABD与三角形ACD的面积相等。

六、综合题13. 在三角形ABC中，已知角A的平分线AD与BC相交于点D，且AD=2，BD=3，DC=4，AB=5，求BC的长度，并证明你的结论。

14. 给定三角形ABC，其中角A的平分线AD与BC相交于点D，角B的平分线BE与AC相交于点E。

实用文库汇编之三角形角平分线部分经典题型

*实用文库汇编之1．如图1所示，在△ABC中，∠A ＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2 cm，则点D到BC的距离为________cm．*图1图22．如图2所示，在RtΔABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于D，若CD＝n，AB＝m，则ΔABD的面积是（）A．mn31B．mn21C．mn D．2mn3．如图，在△ABC中，∠C＝900，BC＝40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC∶DB＝3∶5，则点D到AB的距离是。

4．如图，已知BD是∠ABC的内角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，由D出发，作点D到BC、AC和AB 的垂线DE、DF和DG，垂足分别为E、F、G，则DE、DF、DG的关系是。

5．如图，已知AB∥CD，O为∠A、∠C的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则两平行线间AB、CD的距离等于。

6.AD是△BAC的角平分线，自D向AB、AC两边作垂线，垂足为E、F，那么下列结论中错误的是( )A、DE=DFB、AE=AFC、BD=CDD、∠ADE=∠ADF7．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）Ａ．三条中线的交点Ｂ．三条高的交点Ｃ．三条边的垂直平分线的交点Ｄ．三条角平分线的交点8.已知△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的角平分线交于O点，则∠BOC= 。

9.如图，已知相交直线AB和CD，及另一直线EF。

如果要在EF上找出与AB、CD距离相等的点，方法是，这样的点至少有个，最多有个。

第3题图DC BA10.如图所示，已知△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且AB =6 cm,则△DEB 的周长为( )。

A.9 cm B.5 cm C.6 cm D.不能确定11.如图，AB //CD ,CE 平分∠ACD ，若∠1=250，那么∠2的度数是 .12．如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（）A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP13．如图，已知AC ∥BD 、EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠ABD ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD•相等吗？说明理由．14、如图所示，已知AD 为等腰三角形ABC 的底角的平分线，∠C ＝90° 求证：AB ＝AC ＋CD ．15、如图，在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC,BD 平分∠ABC,求证：∠A+∠C=180°D16、如图，∠ACB=90°,AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE. 求证：△ACD≌△CBE.17．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形，并写出画法）18．已知：OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN．19．已知：如图，ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F.求证：一点F必在∠DAE的平分线上．20．已知：如图，A、B、C、D四点在∠MON的边上，AB＝CD，P为∠MON内一点，并且△PAB的面积与△PCD的面积相等．求证：射线OP是∠MON的平分线．ABCDE21．如图，ΔABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若△BCD与△BCA的面积比为3∶8，求△ADE与△BCA的面积之比．22．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠DAB；（2）猜想AM与DM的位置关系如何？并证明你的结论．23．已知：如图，在ΔABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有∠EDF ＋∠EAF＝180°．试判断DE和DF的大小关系并说明理由．24．如图1所示：AM∥DN，AE、DE分别平分∠MAD和∠AND，并交于E点.过点E的直线分别交AM、DN于B、C.（1）如图2，当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系：_______________________________.（2）试证明你的猜想.（3）若点B、C分别位于点AD的两侧时，试写出AD、AB、CD之间的关系，并选择一个写出证明过程。

解三角形(角平分线问题问题)(典型例题+题型归类练)(原卷版)

专题05 解三角形（角平分线问题问题）(典型例题+题型归类练) 一、必备秘籍角平分线如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c 核心技巧1：内角平分线定理：AB AC BD DC =或AB BDAC DC= 核心技巧2：等面积法(使用频率最高）ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+⇒111sin sin sin 22222A A AB AC A AB AD AC AD ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯ 核心技巧3：边与面积的比值：ABD ADCSAB AC S=核心技巧4：角互补：ADB ADC π∠+∠=⇒cos cos 0ADB ADC ∠+∠=在ADB ∆中有：222cos 2DA DB AB ADB DA DB +-∠=⨯;在ADC ∆中有：222cos 2DA DC AC ADC DA DC+-∠=⨯二、典型例题例题1．如图，已知AD 是ABC ∆中BAC ∠的角平分线，交BC 边于点D .（1）用正弦定理证明：AB BDAC DC=；（2）若120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，求AD 的长.第（2）问思路点拨：本小题已知，，，求的长.可利用第（1）问结论解答过程：根据余弦定理，，即，解得利用第(1)问结论由（1）知∴，得，；在与中，根据余弦定理得，且解得，即的长为．例题2．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求角A 的大小；(2)若3AB =，1AC =，BAC ∠的内角平分线交BC 于点D ，求AD .第（2）问思路点拨：由（1）知，求角平分线长，，可优先考虑面积公式解答过程：由（1）知，由角平分线面积公式∴，∴．代入数据计算例题3．在ABC 中，3,AB =4,BC =线段BD 是B ∠的角平分线，且 6.ABDS =求BCD S △.思路点拨：已知在中，线段是的角平分线，且涉及角平分线问题，但是不知的大小，不适合直接用面积公式，但知，可考虑面积和边长的关系解答过程：平分由，代入代入例题4．在ABC中，D是BC的中点，1AB=，2AC=，32 AD=．（1）ABC的面积为________．（2）若AE为BAC∠的角平分线，E在线段BC上，则AE的长度为________．第（2）问思路点拨：由（1）知，可优先考虑面积公式解答过程：由可得即，从而.代入，计算例题5．在△ABC 中， AM 是BAC ∠的角平分线，且交BC 于M . 已知23,2,3AM BM MC ===，则AC = __________；思路点拨：在中，是的角平分线，且交于. 已知，涉及到角平分线，又，可利用,得到的关系解答过程：由是的角平分线，又，得，设，则因为，则，利用余弦定理代入得：，整理得，解得或（舍）.所以.利用角互补关系（不适合面积公式）三、题型归类练1．三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.请你认真思考，用三角形内角平分线定理解决问题：已知ABC 中，AD 为角平分线，3AB =，4AC =，5BC =，则AD =（）A ．127B ．157C ．7D ．72．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，()(sin sin )(sin sin )a b A B c C B +-=+，若角A 的内角平分线AD 的长为2，则4b c +的最小值为（） A ．10B ．12C ．16D ．183．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()sin sin sin a A c C b c B =+-，角A 的角平分线交BC 于点D ，且3AD c b ==，则a 的值为（）A ．72BC ．3D4．在ABC 中，CD 是ACB ∠的角平分线且4,||AB AD AD ==若||3CD =，则CDA ∠=__________，ABC的面积为__________．5．在ABC 中，60A ∠=，∠A 的角平分线与BC 边相交于D ．AD =BC =AB 边的长度为___．6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan tan tan 0B C B C +=． (1)求角A 的大小；(2)若2BD DC =，AD ＝2，且AD 平分∠BAC ，求△ABC 的面积．注：三角形的内角平分线定理：在△PQR 中，点M 在边QR 上，且PM 为∠QPR 的内角平分线，有PQ QMPR MR=．7．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos cos (sin sin )sin 0C A A B B +-+=． (1)求C ；(2)若a ，b 为方程210200x x -+=的两个实数根，且C 的角平分线交AB 于点D ，求CD ．8．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BD 为∠ABC 的角平分线．(1)求证：::AD AB CD CB =；(2)若2BD =且26c a ==，求△ABC 的面积．9．已知△ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++. (1)求角A 的大小；(2)设点D 为BC 上一点，AD 是ABC 的角平分线，且2AD =，3b =，求ABC 的面积.10．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，点D 在BC 边上，AD 是角平分线，222sin sin sin sin sin C B C B A ++⋅=，且ABC 的面积为(1)求A 的大小及AB AC ⋅的值； (2)若4c =，求BD 的长．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，AD 为∠BAC 的角平分线，已知2c =且222223a c b cosA bc AD ⎛⎫+-=-= ⎪⎝⎭，(1)求△ABC 的面积；12．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，a =1b =，c =M 是BC 上的点．（1）若AM 是BAC ∠的角平分线，求BMCM的值；（2）若AM 是BC 边上的中线，求AM 的长．13．已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点D 在AC 边上，BD 为ABC ∠的角平分线．32ABC ABD S S =△△．(1)求sin sin CA∠∠； (2)若BD b =，求cos ABC ∠的大小．。

(完整版)角平分线经典题型

全等三角形与角平分线1、如图所示，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD.求证：△ABE≌△ADF.2、如图，D为BC的中点，DE⊥DF，E、F分别在AB、AC边上，则BE＋CF （）A．大于EF B．小于EFC．等于EF D．与EF的大小无法比较3、（12分）如图四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠D＋∠B=180°，求证：AD＋AB=2AE．4、已知：如图，在四边形ABCD中，AB＞BC，BD平分．求证：AD=CD．5、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于O点，求证：AE＋CD=AC.6、在△ABC，∠C=90°，BC=16cm，∠A的平分线AD交BC于D，且CD︰DB=3︰5，则D到AB的距离等于（）A．6cm B．7cmC．8cm D．9cm2、如图，D是△ABC的一个外角的平分线上一点，求证：AB＋AC<DB＋DC.7、如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G，求证：BF=CG.8、如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC 于E，与CD相交于点F．H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．(1)求证：BF=AC；(2)求证：CE=BF；(3)CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论．9、如图，已知∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD，求证：∠BAP＋∠BCP=180°10、如图，△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：11、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E.求证：BD=2CE.。

角平分线的性质典型例题

【典型例题】例1. 已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．分析：由条件∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′，可以把点A看作是∠CBC′平分线上的点，由此可打开思路．证明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知），∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）．又∵AC＝AC′（已知），∴点A在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．∴∠ABC＝∠ABC′．（2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）（三角形内角和定理）．即∠BAC＝∠BAC′，∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性．例2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定理．根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出∠1＝∠2，再利用平行线推得∠3＝∠4，最后用角平分线的定义得证．解：AD平分∠BAC．∵D到PE的距离与到PF的距离相等，∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．评析：由角平分线的判定判断出PD平分∠EPF是解决本例的关键．“同理”是当推理过程相同，只是字母不同时为书写简便可以使用“同理”．例3. 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段．解：AP平分∠BAC．结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D．∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，∴PD＝PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．同理PF＝PE，∴PD＝PF．∴AP平分∠BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．例4.如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y 轴建立平面直角坐标系．（1）学校距铁路的距离是多少？（2）请写出学校所在位置的坐标．分析：因为角平分线上的点到角的两边距离相等，所以点P到铁路的距离与到公路的距离相等，也是400m；点P在第四象限，求点P的坐标时要注意符号．解：（1）∵点P在公路与铁路所夹角的平分线上，∴点P到公路的距离与它到铁路的距离相等，又∵点P到公路的距离是400m，∴点P（学校）到铁路的距离是400m．（2）学校所在位置的坐标是（400，－400）．评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等．例5.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由．分析：由于点D在∠CAB的平分线上，若过点D作DE⊥AB于E，则DE＝DC．于是有BD＋DE＝BD＋DC＝BC＝AC，只要知道AC与AE的关系即可得出结论．解：能．过点D作DE⊥AB于E，则△BDE的周长等于AB的长．理由如下：∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC＝DE．在R t△ACD和R t△AED中，，∴R t△ACD≌R t△AED（HL）．∴AC＝AE．又∵AC＝BC，∴AE＝BC．∴△BDE的周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋DC＋BE＝BC＋BE＝AE＋BE＝AB．评析：本题是一道探索题，要善于利用已知条件获得新结论，寻找与要解决的问题之间的联系．本题利用角平分线的性质将要探究的结论进行转化．这是初中几何中常用的一种数学思想．【方法总结】学过“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”与“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”这两个结论后，许多涉及角的平分线的问题用这两个结论解决很方便，需要注意的是有许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用这两个结论，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论．所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路．Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。

角平分线的性质专项练习(含解析)

角平分线的性质专项练习一、单选题知识点一：角平分线的有关证明1．在Rt ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（）A ．3B ．32C ．2D ．62．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，在AB 上截取AE ＝AC ，则△BDE 的周长为( )A ．8B ．7C ．6D ．53．如图，在ABC 中，90,C AD ∠=平分,BAC DE AB ∠⊥于点,E 给出下列结论．CD ED =①;,AC BE AB +=② ③BDE BAC ∠=∠， DA ④平分CDE ∠，::BDE ACD S S AB AC =⑤其中正确的有（）个A ．5B ．4C ．3D ．2知识点二：角平分线的性质定理4．如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（）A ．1B ．32C ．2D ．525．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则下列四个结论中：①AB 上任一点与AC 上任一点到D 的距离相等；②AD 上任一点到AB ，AC 的距离相等；③∠BDE ＝∠CDF ；④∠1＝∠2；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是（）A ．8B ．6C ．4D ．27．如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（）A．24 B．30 C．36 D．42知识点三：角平分线判定定理=，则（）8．如图，AC AD=，BC BDA．CD垂直平分AD B．AB垂直平分CDC．CD平分ACB∠D．以上结论均不对9．如图,已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°10．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（）A．一定相等B．一定不相等C．当BD=CD时相等D．当DE=DF时相等11．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A ．线段CD 的中点B ．OA 与OB 的中垂线的交点C ．OA 与CD 的中垂线的交点 D ．CD 与∠AOB 的平分线的交点知识点四：角平分线性质的实际应用12．如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．113．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，若AB=14，S △ABD=14，则CD=（）A ．4B ．3C ．2D ．114．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 长是（）A ．6B ．5C ．4D ．3知识点五：尺规作图-角平分线15．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS16．如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒17．如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ；第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是（）A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ≥，12b DE <的长18．如图,观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )A ．OE 是AOB ∠的平分线B ．OC OD =C ．点C,D 到OE 的距离不相等D ．AOE BOE ∠=∠二、填空题知识点一：角平分线的有关证明19．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．20．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。

专题06 角平分线的性质与判定(五大类型)(题型专练)(原卷版)

专题06角平分线的性质与判定（五大类型）【题型1 角平分线的作法及应用】【题型2 角平分线性质的应用】【题型3 角平分线的性质与全等】【题型4 角平分线的判定】【题型5 角平分线的判定与性质综合】【题型1 角平分线的作法及应用】1．如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．2．如图，l1、l2交于A点，请确定M点，使它到l1、l2的距离相等．（用直尺和圆规）【题型2 角平分线性质的应用】3．（2022春•本溪期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积是（）A．24B．12C．15D．10 4．（2022秋•澄迈县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BE的长为（）A．6B．5C．4D．3 5．（2023•城厢区校级模拟）如图，OP平分∠MON，点A在射线OP上，AB ⊥ON于点B，若OA＝5，OB＝4，则点A到射线OM的距离为．6．（2023春•通道县期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC＝12，BC＝8，则AD＝．交AC于点D，S△BDC7．（2023•门头沟区二模）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，∠ABC 的平分线交CD于E，当BC＝4，△BCE的面积为2时，DE的长为．8．（2022秋•大丰区期末）如图，地块△ABC中，边AB＝40m，AC＝30m，其中绿化带AD是该三角形地块的角平分线．若地块△ABD的面积为320m2，则地块△ACD的面积为m2．9．（2023•开福区校级一模）如图，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，点E为射线BA上一动点，若OD＝6，则OE的最小值为．10．（2022秋•藁城区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．若CD＝6，则点D到AB的距离是．11．（2022秋•交口县期末）如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD 于点E，AD＝18cm，AB＝11cm，那么DE的长度为cm．12．（2022秋•雨花区期末）如图所示，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE ⊥AD于点E，AD＝10cm，AB＝7cm，那么DE的长度为cm．13．（2022秋•新华区校级期末）如图，已知OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，Q是射线OA上的一个动点，若PH＝5，则PQ长的最小值为．14．（2022秋•云梦县期末）如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是．15．（2022秋•和田市校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点D，AE平分∠DAC．（1）当∠B＝50°时，求∠AEC的度数．（2）DE＝2，AC＝6，求△ACE的面积．16．（2022秋•肇源县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，如果DE＝5cm，∠CAD＝32°，求CD的长度及∠B的度数．17．（2023春•禅城区校级月考）如图，已知△ABC中，∠B＝40°，∠C＝76°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．（1）求∠EDA的度数；．（2）若AB＝20，AC＝16，DE＝6，求S△ABC【题型3 角平分线的性质与全等】18．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．（1）求证：AE平分∠BAD；（2）判断AB、CD、AD之间的数量关系，并证明；（3）若AD＝10，CB＝8，求S．△ADE19．在△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，请解答下列问题：（1）若AD＝2cm，则D点到BC边的距离是．（2）若BC＝7cm，则△CDE的周长为．（3）连接AE，试判断线段AE与BD的位置关系，并说明理由．20．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB 于E，点F在AC上，且BD＝FD，求证：AE﹣BE＝AF．21．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AD平分∠BAC，若BE＝CF，探索AB+AC 与AE的数量关系，并证明之．22．已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC．（1）BE与DF是否相等？请说明理由．（2）若DF＝1，AD＝3，求AB的长．【题型4 角平分线的判定】23．（2022•南京模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，点P为∠ABC、∠ACB的角平分线的交点．（1）∠BPC的度数是．（2）请问点P是否在∠BAC的角平分线上？请说明理由．（3）证明：AB＝PC．24．（2023春•西安月考）如图，OC是∠AOB内的一条射线，D是OC上一点，过点D作DE⊥OA于点E，DF⊥OB于点F，已知OE＝OF，求证：OC是∠AOB的平分线．25．如图，△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于P，求证：点P在∠BAC的平分线上．26．如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF 的面积相等．求证：AD平分∠BAC．27．如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC 于D，PH⊥BA于H，（1）若点P到直线BA的距离是5cm，求点P到直线BC的距离；（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．【题型5 角平分线的判定与性质综合】28．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．29．（2022秋•秦淮区期末）如图，在△ABC中，∠ACB、∠ABC的平分线l1、l2相交于点O．（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；（2）连接OA，若AB＝AC＝5，BO＝4，AO＝2，则点O到三角形三条边的距离是．30．（2022秋•利川市期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E 为BC的中点，且AE平分∠BAD．（1）求证：DE平分∠ADC；（2）求证：AB+CD＝AD．31．如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上一点，连接AD，DE，BE，过点E向AB作垂线，交BA的延长线于点F．已知AE平分∠DAF．BE平分∠ABC，2AB＝3AD．（1）求证：DE平分∠ADC；（2）若AD＝3，CD＝7，且S△ABE ＝，求S△ADC．32．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA 平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD＝AC．。

角平分线性质典型试题

角平分线性质典型试题1.如图如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A． 3 B．4 C．6 D． 52．如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，下面四个结论：①∠AFE=∠AEF；②AD垂直平分EF；③ SBFD/SCED=BF/CE④EF 一定平行BC．其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④3．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．24．如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．再分别以点C、D为圆心，大于1/2 CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，过点E 作射线OE，连接CD．则下列说法错误的是（）A．射线OE是∠AOB的平分线B．△COD 是等腰三角形C．C、D两点关于OE所在直线对称D．O、E两点关于CD所在直线对称5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC 于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．A．1 B．2 C．3 D．46.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD 与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）A．∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55°7．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）A．6 B．7 C．8 D．98．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）A．11 B．5.5 C．7 D．3.510.如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为45°．11．如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D、E分别在边AB、BC上，将△BDE沿直线DE 翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF=80°，则∠GEC= 40°．12．如图，△BEF的内角∠EBF平分线BD与外角∠AEF的平分线交于点D，过D作DH∥BC 分别交EF、EB于G、H两点．下列结论：①S△EBD：S△FBD=BE：BF；②∠EFD=∠CFD；③HD=HF；④BH-GF=HG，其中正确结论的个数有（）A．只有①②③ B．只有①②④C．只有③④ D．①②③④13．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是15214.如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=45°，AB=6cm，∠ABC的平分线交AC于点D，DE⊥BC，垂足为E，则DC+DE= 6cm．15．如图所示．CD是∠ACB的平分线，∠ACB=40°，∠B=70°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC 的度数．16．如图，AD是△ABC的外角平分线，CD⊥AD于D，E是BC的中点．求证：（1）DE∥AB；（2）DE= 1/2（AB+AC）．17．如图，已知AD∥BC，CD⊥AD于D点，交BC于C，点E是CD上一点．（1）若AE=BE，∠AEB=90°，求证：AD+BC=CD；（2）若AE，BE分别平分∠BAD和∠ABC，求证：AD+BC=AB．18．已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．19.如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线DE 与直线AC的位置关系（不要求证明）．。

角平分线专题训练题

角平分线专题训练题1. 已知三角形ABC，角A的角平分线交BC边于点D，角B 的角平分线交AC边于点E。

若AD=DE，求证角A=2角B。

证明：由角平分线的定义，有∠DAB=∠EAC，且∠DAE=∠EAD。

在△ADE中，由角度和定理可得∠DAE+∠DEA+∠EDA=180°，即∠DAE+∠DEA+∠EAD=180°。

由已知条件AD=DE，可得∠DEA=∠EAD，代入上式得2∠DAE+∠EAD=180°，即3∠DAE=180°，解得∠DAE=60°。

同理，在△DBE中，由角度和定理可得∠EBD+∠BED+∠DEB=180°，即∠EBD+∠BED+∠EDA=180°。

由已知条件AD=DE，可得∠DEA=∠EDA，代入上式得∠EBD+2∠DEA=180°，即∠EBD+2∠DAE=180°，代入∠DAE=60°，得∠EBD+120°=180°，即∠EBD=60°。

又因为∠DAB=∠DBE，且∠DAE=∠EBD，所以，由三角形内角和定理可得∠ABD+∠DBE+∠DAE=180°。

代入∠DAE=60°，得∠ABD+60°+60°=180°，即∠ABD=60°。

所以，角A=∠DAB+∠DAD+∠DAE=∠DAB+∠ABD+∠DAE=∠DBE+∠EBD+∠DAE=∠EDC+∠CDE+∠EAD=∠EDC+∠CDE+∠A DA=∠ADC+∠CDA+∠ADA=2∠ADC。

角B=∠ABD+∠DBE+∠BED=∠ABD+∠DBE+∠EDC=∠ABD+∠DBE+∠DCE=∠ADG+∠DGE+∠DCE=∠ADE+∠DEC+∠D CE=∠DAE+∠EDA+∠DCE=∠DAE+∠EDA+∠EDA=2∠DA E。

所以，角A=2∠ADC，角B=2∠DAE，结合前面的推导可知角A=2角B。

三角形的角平分线、中线和高的专题训练50题

三角形的角平分线、中线和高的专题训练50题1. 在△ABC中，角A的角平分线交对边BC于点D，若BD=DC，求证：∠B=∠C。

【解答】设∠BAD=∠CAD=x，由于角A的角平分线BD、CD分别相交对边BC于点D，所以AD是△ABC的角平分线。

根据角平分线定理可知：$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$由于BD=CD，所以$\frac{AB}{AC}=1$，即AB=AC。

根据等边三角形的性质可知∠B=∠C。

2. 在△ABC中，角A的角平分线交对边BC于点D，若∠BAD=30°，求∠B和∠C的度数。

【解答】设∠BAD=∠CAD=x，根据题意可知角A的角平分线BD、CD分别相交对边BC于点D。

由于∠BAD=30°，所以x=30°。

根据角平分线定理可知：$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$由于BD=CD，所以$\frac{AB}{AC}=1$，即AB=AC。

又由等边三角形的性质可知∠B=∠C，即∠B=∠C=75°。

3. 在△ABC中，角B的角平分线交对边AC于点D，若∠BAD=80°，求∠ABC的度数。

【解答】设∠BAD=∠DAC=x，根据题意可知角B的角平分线AD相交对边AC于点D。

由于∠BAD=80°，所以x=80°。

根据角平分线定理可知：$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$又由于BD=CD，所以$\frac{AB}{AC}=1$，即AB=AC。

由等边三角形的性质可知∠ABC=∠ACB，设∠ABC=∠ACB=y，则∠ADB=∠ADC=180°-2x=20°。

再由三角形内角和为180°可知∠B+∠ADC=180°，即y+20°=180°，解得y=160°。

所以∠ABC=∠ACB=160°。

4. 在△ABC中，角A的角平分线交对边BC于点D，若∠B=70°,∠C=50°，求∠BAD的度数。

三角形的高、中线与角平分线(分层作业)(解析版)docx

11.1.2三角形的高、中线与角平分线夯实基础篇一、单选题：（每题3分，共18分）1．在△AB C中，画边BC上的高，正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【详解】解：A．此图形中AD是BC边上的高，符合题意；B．此图形中CE不是BC边上的高，不符合题意；C．此图形中BE是AC边上的高，不符合题意；D．此图形中BG是△BCG中BC边上的高，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查三角形高的画法，解题关键在理解底与高的对应关系，作钝角三角形的高是易错点．中，BC边上的高为（）2．如图，在ABCA．BD B．CF C．AE D．BF【解析】【分析】根据三角形高的定义是从一个顶点到它对边的垂线段即可判断．【详解】根据三角形的高的定义，在△AB C中，BC边上的高应是过点A垂直于BC的线段，从图中可以看出，过点A垂直于BC的线段是AE，所以AE是BC边上的高．故选：C．【点睛】本题考查了三角形高的定义，熟练掌握三角形的高概念，仔细观察图形中符合定义的线段即可．3．下列叙述中错误的一项是（）．A．三角形的中线、角平分线、高都是线段．B．三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部．C．只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形．D．三角形的三条角平分线都在三角形内部．【答案】C【解析】【分析】根据三角形的角平分线、中线、高的概念和性质进行一一判断．【详解】A：三角形的中线、角平分线、高都是线段，正确；B：锐角三角形三条高在三角形内部，直角三角形一条高在三角形内部，钝角三角形一条高在三角形内部，正确；C：只有一条高在三角形内部的三角形是钝角三角形或直角三角形，错误；D：锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的三条角平分线都在三角形内部，正确【点睛】本题考查三角形的三线，掌握高、中线、角平分线的定义是解题关键．4．已知，AE、BD是ABC的高线，AE=6cm，BD=5cm，BC=8cm，则AC的长度是（）A．8cm B．8.6cm C．9cm D．9.6cm【答案】D【解析】【分析】根据等面积法即可求解．【详解】解：∵AE、BD是ABC的高线，AE=6cm，BD=5cm，BC=8cm，∴1122AC BD AE BC，即68489.655AE BCACBDcm．故选D．【点睛】本题考查了三角形高线的相关计算，理解三角形的高线的意义是解题的关键．5．如图，在△AB C中，AB=5，AC=3，AD为BC边上的中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】【分析】根据题意，AD是△ABC的边BC上的中线，可得BD=CD，进而得出△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD，相减即可得到周长差．【详解】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴△ABD与△ACD的周长之差为：（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）=AB+BD+AD-AC-CD-AD=AB-AC=5-3=2；故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的中线、高和三角形周长的求法，熟练掌握三角形周长公式是解题的关键．的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（）6．如图，AD，AE，AF分别是ABCA ．2BC CDB ．12BAE BAC C ．90AFBD ．AE CE 【答案】D【解析】【分析】根据三角形的高线，角平分线和中线解答即可；【详解】解：A ．∵AD 是ABC 的中线∴2BC CD ，故选项正确，不符合题意；B ．∵AE 是ABC 的角平分线∴12BAE BAC 故选项正确，不符合题意；C ．∵AF 分别是ABC 的高，∴90AFB故选项正确，不符合题意；D ．AE CE 不一定成立，故选项错误，符合题意．故选：D ．【点睛】此题考查三角形的高线，角平分线和中线，关键是根据三角形的高线，角平分线和中线的定义进行判断即可．二、填空题：（每题3分，共15分）7．如图，90CBD E F ，则线段______是ABC 中BC 边上的高．【答案】AE【解析】【分析】根据三角形高线的定义判断即可；【详解】∵AE BC ，∴ABC 中BC 边上的高是AE ．故答案是AE ．【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高线，准确分析判断是解题的关键．8．如图，△AB C 中，AD 是BC 上的中线，BE 是△AB D 中AD 边的中线，若△ABC 的面积是24，AE ＝3，则点B 到直线AD 的距离为________．【答案】4【解析】【分析】由三角形的中线平分三角形面积的性质可得△ABE 的面积，再由三角形面积公式即可求得结果．【详解】∵AD 是△ABC 的BC 边上的中线，24ABC S ，∴1122ABD ABC S S ．∵BE 是△AB D 中AD 边上的中线，∴162ABE ABD S S ．设点B 到直线AD 的距离为h ，则162ABE S AE h，即1362h ，∴h =4．即点B 到直线AD 的距离为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形一边上的中线平分三角形面积的性质、三角形面积等知识，掌握三角形一9．如图，在△AB C 中，AD 、AE 分别是BC 边上的中线和高，AE ＝6，S △ABD ＝15，则CD ＝_____．【答案】5【解析】【分析】由利用三角形的面积公式可求得BD 的长，再由中线的定义可得CD =BD ，从而得解．【详解】解：∵S △ABD =15，AE 是BC 边上的高，∴12BD •AE =15，则12×6BD =15，解得：BD =5，∵AD 是BC 边上的中线，∴CD =BD =5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查三角形的中线，三角形的高，解答的关键是由三角形的面积公式求得BD 的长．10．如图，在三角形ABC 中，AB AC ，AD BC ，垂足为D ，3AB ，4AC ，5BC ，则AD ______．【答案】2.4【解析】【分析】根据面积相等可列式1122AB AC BC AD ，代入相关数据求解即可．【详解】解：∵AB AC ，AD BC ，∴1122AB AC BC AD ∵3AB ，4AC ，5BC ，∴12 2.45AB AC AD BC 故答案諀：2.4【点睛】此题主要考查了运用等积关系求线段的长，准确识图是解答本题的关键．11．已知ABC 中，30cm AC ，中线AD 把ABC 分成两个三角形，这两个三角形的周长差是12cm ，则AB 的长是__________．【答案】42cm 或18cm【解析】【分析】先根据三角形中线的定义可得BD =CD ，再求出AD 把△ABC 周长分为的两部分的差等于|AB -AC |，然后分AB ＞AC ，AB ＜AC 两种情况分别列式计算即可得解．【详解】∵AD 是△AB C 中线，∴BD =C D ．∵AD 是两个三角形的公共边，两个三角形的周长差是12cm ，∴如果AB ＞AC ，那么AB -AC =12cm ，即AB -30=12cm∴AB =42cm ；如果AB ＜AC ，那么AC -AB =12cm ，即30-AB =12cmAB =18cm ．综上所述：AB 的长为42cm 或18cm ．故答案为：42cm 或18cm ．【点睛】考查了三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．三、解答题：（每题8分，共40分）12．如图，BD 和CE 是△ABC 的中线，AE =3cm ，CD =2cm ，若△ABC 周长为15cm ，求BC 边的长．【答案】5cm【解析】【分析】根据中线定义可得AB ，AC ，根据△ABC 周长公式即可求解．【详解】∵BD 和CE 是△ABC 的中线，∴2236AB AE cm ，2224AC CD cm ，∵△ABC 周长为15cm ，即15AB AC BC cm ，∴1515645BC AB AC cm ．【点睛】本题考查三角形中线定义、三角形周长公式，解题的关键是根据三角形中线求出AB 和AC 的长．13．如图，△ABC 的周长是21cm ，AB ＝AC ，中线BD 分△ABC 为两个三角形，且△ABD 的周长比△BCD 的周长大6cm ，求AB ，B C ．【答案】AB＝9cm，BC＝3cm．【解析】【分析】由BD是中线，可得AD=CD，又由△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，△ABC的周长是21cm，AB=AC，可得AB-BC=6cm，2AB+BC=21cm，继而求得答案．【详解】解：∵BD是中线，∴AD＝CD＝12AC，∵△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，∴（AB+AD+BD）﹣（BD+CD+BC）＝AB﹣BC＝6cm①，∵△ABC的周长是21cm，AB＝AC，∴2AB+BC＝21cm②，联立①②得：AB＝9cm，BC＝3cm．【点睛】本题考查了三角形周长与三角形的中线．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．14．如图，△ABC的顶点都在边长为1的正方形方格纸的格点上，将△ABC向上平移4格．(1)请在图中画出平移后的三角形A′B′C′；(2)在图中画出三角形△ABC的高CD、中线BE；(3)△ABC的面积是．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)8【解析】【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A′B′C′即可；（2）找出线段AC的中点E，然后连接B E，再过点C向AB所在的直线作垂线，垂足为D 即可；（3）直接根据三角形的面积公式即可得出结论．(1)如图所示，三角形A′B′C′就是所要求做的图形；(2)如图所示，三角形△ABC的高CD、中线BE；(3)S △ABC ＝1144822AB CD ．故△ABC 的面积是8．【点睛】本题考查作图－平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．15．如图，已知AD ，AE 分别是ABC 的高和中线，9cm AB ，12cm AC ，15cm BC ，90BAC ．(1)求AD 的长度；(2)求ABE △的面积．【答案】(1)36cm 5(2)227cm 【解析】【分析】（1）利用等面积法，根据1122ABC S AB AC BC AD ，代值求解即可；（2）根据已知条件和（1）中求出的AD 长，利用三角形面积公式得出12ABE S BE AD ，代值求解即可．(1)解：在ABC 中，90BAC ，AD 是边BC 上的高，∵9cm AB ，12cm AC ，15cm BC ，根据1122ABC S AB AC BC AD 可得91236155cm AB AC AD BC ；(2)解：在ABC 中，BE 是边BC 上的中线，且15cm BC ，1152m 2c BE BC ，在ABE 中，AD 是边BE 上的高，且由（1）知5cm 36AD ，2111536272225cm ABE S BE AD ．【点睛】本题考查三角形面积公式，熟练掌握三角形的中线与高线是解决问题的关键．16．请补全证明过程及推理依据．已知：如图，BC //ED ，BD 平分∠ABC ，EF 平分∠AE D ．求证：BD ∥EF ．证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，∴∠1=12∠AED，∠2=12∠ABC（______________）∵BC∥ED（________）∴∠AED=________（________________）∴12∠AED=12∠ABC∴∠1=________∴BD∥EF（________________）．【答案】角平分线的定义；已知；∠ABC；两直线平行，同位角相等；∠2；同位角相等，两直线平行【解析】【分析】根据角平分线的定义得出∠1=12∠AED，∠2=12∠ABC，根据平行线的性质定理得出∠AED=∠ABC，求出∠1=∠2，再根据平行线的判定定理推出即可．【详解】证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，∴∠1=12∠AED，∠2=12∠ABC（角平分线的定义）∵BC∥ED（已知）∴∠AED=∠ABC（两直线平行，同位角相等）∴12∠AED=12∠ABC∴∠1=∠2∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．故答案为：角平分线的定义；已知；∠ABC；两直线平行，同位角相等；∠2；同位角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质定理和判定定理等知识点，能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键．能力提升篇一、单选题：（每题3分，共9分）1．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A．7B．10C．7或11D．7或10【答案】C【解析】【分析】题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．【详解】设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，得①152122yxyy＝＝或②122152yxyy＝＝解方程组①得118xy＝＝，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形；解方程组②得710 xy＝＝，根据三角形三边关系定理此时能组成三角形，即等腰三角形的底边长是11或7；故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为15，12中包含着中线BD的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况；注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理．2．如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为（）A．13B．710C．35D．1320【答案】B【解析】【分析】连接CP．设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．根据BD：DC=2：1，E为AC的中点，得△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，进而得到△ABP的面积是4x．再根据△ABE的面积是△BCE的面积相等，得4x+x=2y+x+y，解得y=43x，再根据△ABC的面积是3即可求得x、y的值，从而求解．【详解】连接CP，设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．∵BD：DC=2：1，E为AC的中点，∴△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，∵BD：DC=2：1∴△ABD的面积是4x+2y∴△ABP的面积是4x．∴4x+x=2y+x+y，解得y=43x．又∵△ABC的面积为3∴4x+x=3 2，x=3 10．则四边形PDCE的面积为x+y=7 10．故选B．【点睛】此题能够根据三角形的面积公式求得三角形的面积之间的关系．等高的两个三角形的面积比3．如图，△ABC的面积是24，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG 的面积是（）A．9B．10C．11D．12【答案】A【解析】【分析】首先根据点E 是AD 的中点，可知ABE BDE S S ，ACE CDE S S V ，再根据点D 是BC 的中点，可得BDE CDE S S V ，即可得164ABE BDE ACE CDE ABCS S S S S V V V V ，然后根据点F ，G 是BE ，CE 的中点，得132AEF ABE S S V V ，132AEG ACE S S V V ，可知FG 是△CBE 的中位线，可得134EFG BCE S SV V ，即可得出答案．【详解】∵点E 是AD 的中点，∴ABE BDE S S ，ACE CDE S S V ．∵点D 是BC 的中点，∴BDE CDE S S V ，∴164ABE BDE ACE CDE ABCS S S S SV V V V ．∵点F ，G 是BE ，CE 的中点，∴132AEF ABE S S V V ，13AEG ACE S S V V ，∴FG 是△CBE 的中位线，∴134EFG BCES S V V ，∴+=9AFG AEF AEG EFG S S S S V V V V ．故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角形的面积和中线的关系，三角形中位线的定义和性质等，将一个三角形的面积转化为求三个小三角形的面积是解题的关键．二、填空题：（每题3分，共9分）4．如图，在ABC 中，2AB AC ，P 是BC 边上的任意一点，PE AB 于点E ，PF AC于点F .若2ABC S ，则PE PF ______．【答案】2【解析】【分析】根据1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF，结合已知条件，即可求得PE PF 的值．【详解】解：如图，连接AP ∵PE AB 于点E ，PF AC 于点F1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF 2AB AC ∵，2ABC S 1122AB PE AC PF 2PE PF 2【点睛】本题考查了三角形的高，掌握三角形的高的定义是解题的关键．5．如图，在 AB C 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且 ABC 的面积等于24cm 2，则阴影部分图形面积等于_____cm 2【答案】6【解析】【分析】因为点F是CE的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，可得△EBC的面积是△ABC面积的一半；利用三角形的等积变换可解答．【详解】解：如图，点F是CE的中点，∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=12EC，而高相等，∴S△BEF=12S△BEC，∵E是AD的中点，∴S△BDE=12S△ABD，S△CDE=12S△ACD，∴S△EBC=12S△ABC，∴S△BEF=14S△ABC，且S△ABC=24cm2，∴S△BEF=6cm2，即阴影部分的面积为6cm2．故答案为6．【点睛】本题考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，面积之比等于底边（高）之比．6．在ABC 中，90B ，8AB cm ，6BC cm ，点D 是AB 的中点，点P 从A 点出发，沿线段AD 以每秒2cm 的速度运动到B ．当点P 的运动时间t ____________秒时，PCD 的面积为26cm ．【答案】1或3【解析】【分析】分为两种情况讨论：当点P 在AD 上时，当点P 在DB 上时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可．【详解】∵8AB cm ，点D 是AB 的中点，∴AD =BD =4cm ，当点P 在AD 上时，AP =2t ，∴PD =4-2t∵PCD 的面积为26cm ，∴12PD ×BC =6，即 142662t 解得t =1s ，当点P 在BD 上时，AP =2t ，∴DP =2t -4，∵PCD 的面积为26cm ，∴12DP ×BC =6，即 124662t ，解得t =3s ，综上，当点P 运动时间t 1或3秒时，PCD 的面积为26cm ．故答案为：1或3．【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键．三、解答题：（9分）7．如图，在ABC 中，CD 、CE 分别是ABC 的高和角平分线，,()BAC B ．(1)若70,40 ，求DCE 的度数；(2)试用、的代数式表示DCE 的度数_________．【答案】(1)15DCE (2)2【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠ACB 的值，再由角平分线的性质以及直角三角形的性质求出∠DCE ．（2）由（1）的解题思路即可得正确结果．(1)解：∵70BAC ，40B180()180704070ACB BAC B ，∵CE 是ACB 的平分线， 1352ACE ACB ．∵CD 是高线，90ADC ，9020ACD BAC ，352015DCE ACE ACD ．(2)解：∵BAC ，B180()180ACB BAC B ，∵CE 是ACB 的平分线， 1118090222ACE ACB ．∵CD 是高线，90ADC ，9090ACD BAC ， 909022DCE ACE ACD．【点睛】思维拓展篇1.阅读下列材料：阳阳同学遇到这样一个问题：如图1，在ABC 中AB AC ，BD 是ABC 的高，P 是BC 边上一点，PM 、PN 分别与直线AB ，AC 垂直，垂足分别为点M 、N ．求证：BD PM PN ．阳阳发现，连接AP ，有ABC ABP ACP S S S ，即111222AC BD AB PM AC PN ．由AB AC ，可得BD PM PN ．他又画出了当点P 在CB 的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示，他猜想此时BD 、PM 、PN 之间的数量关系是：BD PN PM ．请回答：（1）请补全阳阳同学证明猜想的过程；证明：连接AP ．ABC APC S S ∵________，1122AC BD AC ________12AB ________．AB AC ∵，BD PN PM ．（2）参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题：在ABC 中，AB AC BC ，BD 是ABC 的高．P 是ABC 所在平面上一点，PM 、PN 、PQ 分别与直线AB 、AC 、BC 垂直，垂足分别为点M 、N 、Q ．①如图3，若点P 在ABC 的内部，猜想BD 、PM 、PN 、PQ 之间的数量关系并写出推理过程．②若点P 在如图4所示的位置，利用图4探究得此时BD 、PM 、PN 、PQ 之间的数量关系是：_______．（直接写出结论即可）【答案】（1）S △APB ；PN ；PM ；（2）①BD ＝PM ＋PN ＋PQ ，证明见解析②BD ＝PM ＋PQ −PN ．【解析】【分析】（1）根据图形，结合阅读材料填写即可；（2）①连接AP 、BP 、CP ，根据S △ABC ＝S △APC ＋S △APB ＋S △BPC 得出12AC •BD ＝12AC •PN ＋12AB •PM ＋12BC •PQ ，由AB ＝AC ＝BC ，即可得出BD ＝PM ＋PN ＋PQ ；②连接AP 、BP 、CP ，根据S △ABC ＝S △APB ＋S △BPC −S △APC ，得出12AC •BD ＝12AB •PM ＋1 2BC•PQ−12AC•PN，由于AB＝AC＝BC，即可证得BD＝PM＋PQ−PN．【详解】解：（1）证明：连接AP．∵S△ABC＝S△APC−S△APB，∴12AC•BD＝12AC•PN−12AB•PM．∵AB＝AC，∴BD＝PN−PM．故答案为：S△APB；PN；PM；（2）①BD＝PM＋PN＋PQ；如图3，连接AP、BP、CP，∵S△ABC＝S△APC＋S△APB＋S△BPC∴12AC•BD＝12AC•PN＋12AB•PM＋12BC•PQ，∵AB＝AC＝BC，∴BD＝PM＋PN＋PQ；②BD＝PM＋PQ−PN；如图4，连接AP、BP、CP，∵S△ABC＝S△APB＋S△BPC−S△AP C．∴12AC•BD＝12AB•PM＋12BC•PQ−12AC•PN，∵AB＝AC＝BC，∴BD＝PM＋PQ−PN．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积等，作出辅助线构建三个三角形是解题的关键．。

角平分线(练习)(解析版)-八年级数学下册

第一章三角形的证明第四节角平分线精选练习一、单选题1．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期末）小丽同学要找到到三角形三个顶点距离相等的点，根据下列各图中圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据角平分线的作图，三角形的高的作图，线段的垂直平分线的作图，逐一分析各选项即可．【详解】解：∵到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点，∴选项B中的作图是作的三角形的两边的垂直平分线，符合题意，选项A中的作图，作的一个内角的平分线，作的一边的垂直平分线，不符合题意；选项C中的作图作的是两个内角的平分线，不符合题意，选项D中的作图作的一边的垂直平分线，作的一边上的高，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质再判断作图是解本题的关键．2．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期中）如图，已知在ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分ABC 交CD 于点E ，8,3BC DE ，则BCE 的面积等于（）A ．24B ．12C ．8D ．4∵CD 是AB 边上的高线，∴DE BD ，∵BE 平分ABC ，3．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，在ABC 中，AD 平分BAC ，DE 平分ADC ，55B ，35C ，则ADE （）A ．50B ．55C ．60D ．62.5123货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处【答案】D 【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路所围成部分三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．由此即可求解．【详解】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理的应用，熟练运用角平分线的性质定理是解决问题的关键．5．（2022秋·北京平谷·八年级统考期末）如图，Rt ABC △中，90A ，BP 平分ABC 交AC 于点P ，若4cm PA ，13cm BC ，则BCP 的面积是（）A ．252cm B ．213cm C ．245cm D ．226cm 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到线段两端的距离相等，可得4cm PH PA ，即可直接求得BCP 的面积．【详解】解：过点P 作PH BC 于点H ，∵BP 平分ABC ，4cm PH PA ，∵13cm BC ，2113426cm 2BCP S△．故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，解决本题的关键是作出垂线求得BCP 的高．．（秋八年级单元测试）如图，是ABC 的角平分线，于点，且DE DG ，52ADG S ，38AED S △，则DEF 的面积为（）A ．7B ．12C ．8D ．14【答案】A 【分析】过点D 作DH AC 于H ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF DH ，然后利用“HL ”证明Rt DEF △和Rt DGH △全等，根据全等三角形的面积相等可得EDF GDH S S ，设面积为S ，然后根据ADF ADH S S V V 列出方程求解即可．【详解】解：如图，过点D 作DH AC 于H ，∵AD 是ABC 的角平分线，DF AB ，∴DF DH ，在Rt DEF △和Rt DGH △中，DE DG DF DH，∴ Rt Rt HL DEF DGH ≌ ，∴EDF GDH S S ，设面积为S ，同理Rt Rt ADF ADH ≌ ，∴ADF ADH S S V V ，即3852S S ，解得7 S ，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，证明Rt Rt DEF DGH ≌ ．二、填空题7．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，点P 是AOB 的平分线上的一点，过点P 作PC OA ∥交OB 于点C ，PD OA ，若60AOB ，8OC ，则PD ___________为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB BC 、于点D 、E ；②分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点F ；③作射线BF 交AC 于点G ．如果6AB ，8BC ，ABG 的面积为12，则CBG 的面积为________．【答案】16【分析】由作图步骤可知：BG 为ABC 的角平分线，过G 作,GH BC GM AB ，可得GM GH ，然后再结合已知条件和三角形的面积公式解答即可．【详解】解：由作图作法可知：BG 为ABC 的角平分线过G 作,GH BC GM AB ，∴GM GH∴16218ABG AB GM S AB S BC为OC 上一点，过D 作直线DE ⊥OA ，垂足为点E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示，若DE =3，则DF =_______．【答案】6【分析】过点D 作 DM OB ，垂足为M ，则3DM DE ，在Rt OEF △中，利用三角形内角和定理可求出30 DFM ，在Rt DMF △中，由30 角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF 的长，此题得解．【详解】解：过点D 作 DM OB ，垂足为M ，如图所示．OC ∵是AOB 的平分线，3DM DE ．在Rt OEF △中，90OEF ，60EOF ，30OFE ，即30 DFM ．在Rt DMF △中，90DMF ，30 DFM ，26DF DM ．故答案为：6．【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及30 角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF 的长是解题的关键．10．（2021春·贵州贵阳·八年级贵阳市第十七中学校考期中）如图，在ABC 中，90B Ð=°，AD 平分BAC ，10BC ，6CD ，则点D 到AC 的距离为______．【答案】4【分析】过点D 作DE AC 于点E ，再根据角平分线的性质，即可进行解答．【详解】解：过点D 作DE AC 于点E ，∵10BC ，6CD ，∴1064BD BC CD ，∵AD 平分BAC ，90B Ð=°，DE AC ，∴4DE BD ，即点D 到AC 的距离为4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边的距离相等．三、解答题11．（2022秋·天津南开·八年级校考期末）如图，DE AB 于E ，DF AC 于F ，AD 平分BAC ，若BD CD ，10AB ，18AC ，求BE 的长．【答案】4BE ，【分析】先证明Rt BDE 与Rt CDF 全等得BE CF ，再证明Rt ADE △与Rt ADF 全等得AE AF ，设=BE CF x ，通过等量代换列方程即可求解．【详解】解：DE AB DF AC ∵，，AD 平分BACDE DF在Rt BDE 与Rt CDF 中DE DF BD CDRt BDE Rt CDF HL BE CF在Rt ADE △与Rt ADF 中DE DF AD ADRt ADE Rt ADF HL AE AF设=BE CF x ，18AC ∵，10AB ，∴18AF AC FC x ，10AE AB BE x1810x x4x 即4BE 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质和直角三角形全等的判定．12．（2022秋·广东江门·九年级统考阶段练习）已知：如图，AD 为ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，连接EF 交AD 于点O ，求证：AD 垂直平分EF【答案】见解析【分析】根据AD 平分BAC ，DE AB ，DF AC ，可得DE DF ，90DEA DFA ，则可证DEF DFE ，并得AEF AFE ，可证得AE AF ，根据DE DF ，AE AF ，得到点D 、点A 在EF 的垂直平分线上，可证AD 垂直平分EF ．【详解】证明∵AD 平分BAC ，DE AB ，DF AC ，∴DE DF ，90DEA DFA ，∴DEF DFE ，∴DEA DEF DFA DFE ，∴AEF AFE∴AE AF ，∵DE DF ，AE AF ，∴点D 、点A 在EF 的垂直平分线上，∴AD 垂直平分EF ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键．一、填空题1．（2022秋·河南安阳·八年级统考期中）如图，AD 平分CAB ，若:4:5ACD ABD S S △△，则:AB AC ________．【答案】5:4【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等可得两个三角形的高一样，再根据三角形面积公式即可求得．【详解】∵AD 平分CAB ，∴D 到AC 、AB 的距离相等，又∵:4:5ACD ABD S S △△根据三角形面积等于底乘以高，∴:5:4AB AC ，答案为∶5:4．【点睛】此题考查了角平分线的性质和三角形面积，解题的关键是熟悉角平分线的性质和三角形面积公式．2．（2021秋·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，在ABC中，E为AC的中点，AD平分23BAC BA CA，：：，AD与BE相交于点O，若OAE△的面积比BOD的面积大2，则ABC的面积是_____∵AD平分BAC，∴DM DN，∴121ABDAB DN S BD△是线段BC 的中垂线交AE 于E ，EF AF ，若26ACB ，25CBE ，则AED ∠___________．【答案】39°【分析】连接CE ，过E 作ER AC 于R ，交CD 于Q ，AE 交BC 于O ，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出CE BE ，ER EF ，根据全等求RCE EBF ，求出26ACB QED ，求出65BED CED ，求出REF 的度数，再求出CAB ，求出CAE ，根据三角形的外角性质求出DOE ，再求出答案即可．【详解】解：连接CE ，过E 作ER AC 于R ，交CD 于Q ，AE 交BC 于O ，∵DE 是线段BC 的中垂线，∴90EDC ，CE BE ，∴ECB CBE ，∵25CBE ，∴25ECB ，∴902565DEB CED ，∵ER AC ED BC ，，∴90QRC QDE ，9090ACB CQR EQD QED ，，CQR EQD ∵，ACB QED ，26ACB ∵，26QED ，AE ∵平分CAM ER AC EF AM ，，，ER EF ，在Rt ERC 和Rt EFB △中，CE BE ER EFRt ERC Rt EFB HL ≌（），262551EBF ACE ACB ECD ，90EFB ∵，90905139BEF EBF ，266539130REF RED BED BEF ，90ARE AFE ∵，360909013050CAM ，AE ∵平分CAM ，252651DOE CAE ACB ，ED BC ∵，90EDB ，90905139AED DOE ，故答案为：39°．【点睛】本题考查角平分线性质、中垂线性质、三角形内角和180°、三角形外角等于与它不相邻内角和、全等三角形的性质与判定，掌握这些并正确添加辅助线才能解答正确．4．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）如图，在AOB 和COD △中，OA OB ，OC OD ，OA OC ，40AOB COD ．连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①40AMB ，②AC BD ，③OM 平分AOD ，④MO 平分AMD ∠．其中正确的结论有______．（填序号）【答案】①②④【分析】由SAS 证明AOC BOD △△≌得出OCA ODB ，AC BD ，②正确；由全等三角形的性质得出OAC OBD ，由三角形的外角性质得：AMB OBD OAC AOB ，得出40 AMB AOB ，①正确；作OG AM 于G ，OH DM 于H ，如图所示：则90OGA OHB ，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG OH ，由角平分线的判定方法得出MO 平分AMD ∠，④正确；假设MO 平分AOD ，则 DOM AOM ，由全等三角形的判定定理可得AMO DMO ≌ ，得AO OD ，而OC OD ，所以OA OC ，而OA OC ＜，故③错误；即可得出结论．【详解】解：∵40AOB COD ，∴AOB BOC COD BOC ，即AOC BOD ，在AOC 和BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD，∴AOC BOD △△≌ SAS ，∴OCA ODB ，AC BD ，故②正确；同时OAC OBD ，由三角形的外角性质得：AMB OBD OAC AOB ，∴40 AMB AOB ，故①正确；作OG AM 于G ，OH DM 于H ，如图所示，则90OGA OHB ，∵AOC BOD △△≌，∴OG OH ，∴MO 平分AMD ∠，故④正确；假设MO 平分AMD ∠，则 DOM AOM ，在AMO 与DMO 中，AOM DOM OM OM AMO DMO，∴AMO DMO ≌ SAS ，∴AO OD ，∵OC OD ，∴OA OC ，而OA OC ＜，故③错误；正确的个数有3个，故答案为：①②④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．5．（2022秋·山东聊城·八年级校考期末）如图，BAC 的角平分线与线段BC 的垂直平分线DG 交于点D ，DE AB ，DF AC ，垂足分别为点E 、F ．若10＝AB ，8AC ＝，则BE ______．【答案】1【分析】先根据角平分线性质定理得到DF DE ，再利用中垂线性质得到CD BD ．进而证明 Rt Rt CDF BDE HL ≌，通过线段之间的数量关系即可求解．【详解】解：如图，连接CD ，∵AD 是BAC 的平分线，DE AB ，DF AC ，∴DF DE ，90F DEB ，ADF ADE ，∴AF AE ，∵DG 是BC 的垂直平分线，∴CD BD ，在Rt CDF △和Rt BDE △中，CD BD DF DE，∴ Rt Rt CDF BDE HL ≌，∴BE CF ，∴2AB AE BE AF BE AC CF BE AC BE ，∵10AB ，8AC ，∴1BE 故答案为：1【点睛】本题考查了三角形中垂线的性质，角平分线的性质定理，还有用HL 证明两三角形全等．综合性较强，中等难度．合理的作出辅助线是解决这类图形问题的有效方法和解题关键．二、解答题6．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）如图，点C 是MAN 的平分线上一点，CE AB 于E ，B 、D 分别在AM 、AN 上，且2AE AD AB ．求证：12180 ．34 ∵，CE AM ，CF CE ，CFD CEB 1AE AD AB∵，AD AF ACE ，BD 交AC 于点F ，连接AD ．(1)当40BAC =时，求BDC 的度数．(2)请直接写出BAC 与BDC 的数量关系，并给出证明．(3)求证：AD BE ∥．【答案】(1)20(2)12BDC BAC ，证明见解析(3)见解析【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出70ABC ACB ，再利用邻补角的定义得到110ACE ，然后根据角平分线的定义可计算出1352DBC ABC ，1552ECD ACE ，再利用三角形外角性质可计算出BDC ；（2）由外角的性质得到1122BDC ABC ACE ，BAC ABC ACE ，即可得出12BDC BAC ；（3）作DM BG 于M ，DN AC 于N ，DH BE 于H ，根据角平分线的定义以及平行线的判定即可得到结论．【详解】（1）解：∵AB AC ，40BAC ，∴ 118040702ABC ACB，∴110ACE ，∵BD ，CD 分别平分EBA ，ECA ，形的性质，角平分线的定义与性质与判定，平行线的判定，熟练的利用角平分线的性质与判定进行证明是解本题的关键．8．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）己知ABC 为等边三角形，取ABC 的边,AB BC 中点,D E ，连接DE ，如图1，易证DBE 为等边三角形，将DBE 绕点B 顺时针旋转，设旋转的角度ABD ，其中080I ．(1)如图2，当60 时，连接,AD CE ，求证：AD CE ；(2)在DBE 旋转过程中，当超过一定角度时，如图3，连接,AD CE 会交于一点，记交点为点F ，AD 交BC 于点P ，CE 交BD 于点Q ，连接BF ，求证：FB 平分AFE ；(3)在第（2）问的条件下，试猜想线段,AF BF 和CF 之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)AF CF BF ，理由见解析【分析】（1）根据等边三角形性质，利用两个三角形全等的判定定理得到SAS ABD CBE V V ≌，利用全等性质即可得到答案；（2）过点B 作BN AD 于N ，过点B 作BH CE 于H ，如图所示，根据等边三角形性质，利用两个三角形全等的判定定理得到 SAS ABD CBE V V ≌，利用全等性质即可得到AD CE ，ABD CBE S S ，BAD BCE ，利用等面积得到BN BH ，再根据角平分线的判定定理即可得到答案；（3）在AF 上截取MF BF ，连接BM ，如图所示，根据等边三角形的判定与性质，利用两个三角形全等的判定定理得到 SAS ABM CBF △≌△，利用全等的性质即可得到答案．ABC ∵ ，DBE 都是等边三角形，AB BC ，BD BE ，ABC ABD CBE ，在ABD △和CBE △中，FB 平分AFE ；（3）解：AF CF BF ．理由如下：在AF 上截取MF BF ，连接BM ，如图所示：60AFB ∵，MF FB ，MFB △是等边三角形，MB BF ，60MBF ABC ，ABM CBF ，在ABM 和CBF V 中，CB AB ABM CBF BM BFSAS ABM CBF △≌△，AM CF ，AF AM MF ∵，AF CF BF ．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识，根据题意，添加恰当辅助线构造全等三角形是解决本题的关键．。

三角形内外角平分线定理例题

三角形内外角平分线定理例题
1. 嘿，来看这道题！在三角形 ABC 中，AD 是角 A 的平分线，那是不是就能用三角形内角平分线定理啦？比如说角 A 是 60 度，AB 长 5，AC 长 3，那 BD 和 DC 的比不就好求啦！
2. 哇哦，这道题也很典型呀！三角形 DEF 中，EF 边上有角平分线DG，已知一些边长，这不就是三角形内外角平分线定理大显身手的时候嘛！
3. 嘿呀，想想看这个三角形 MNO，角 M 的平分线 NP，通过这个定理就能算出好多线段的关系呢，就像找到了宝藏的钥匙！
4. 哎呀呀，在三角形 PQR 中，QR 上的角平分线 PS，这道题用定理来做不就轻而易举嘛，难道不是吗？
5. 哟呵，看看这个三角形 STU，角 S 的平分线 TV，根据定理马上就能知道相关线段的比例啦，是不是很神奇！
6. 哈哈，这道关于三角形 VWX 的题，角 V 的平分线 WY，利用定理就能快速解题啦，超有趣的呢！
7. 哇塞，三角形 YZA 中，ZA 边上的角平分线 YB，这不就是三角形内外角平分线定理发挥作用的好例子嘛！
8. 嘿嘿，这个三角形 abc 中，bc 边上的角平分线 ad，用定理来解决简直太爽啦，不信你试试！
9. 哎呀，三角形 def 中，ef 边上的角平分线 dg，有了定理，这些题都变得好简单呀！
10. 哇哦，三角形 ghi 中，hi 边上的角平分线 gj，定理一用，答案马上就出来啦，真的很棒呢！
我的观点结论就是：三角形内外角平分线定理在解题中超级好用，能让我们快速找到答案，大家一定要好好掌握呀！。

三角形角平分线部分经典题型-精品.pdf

1．如图1所示，在△ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，AD ＝2 cm ，则点D 到BC 的距离为________cm ．图1图22．如图2所示，在Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则ΔABD 的面积是（）A ．B ．C ．mnD ．2mn3．如图，在△ABC 中，∠C ＝900，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ∶DB ＝3∶5，则点D 到AB 的距离是。

4．如图，已知BD 是∠ABC 的内角平分线，CD 是∠ACB 的外角平分线，由D 出发，作点D 到BC 、AC 和AB 的垂线DE 、DF 和DG ，垂足分别为E 、F 、G ，则DE 、DF 、DG 的关系是。

5．如图，已知AB ∥CD ，O 为∠A 、∠C 的角平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE=2，则两平行线间AB 、CD 的距离等于。

6.AD 是△BAC 的角平分线，自D 向AB 、AC 两边作垂线，垂足为E 、F ，那么下列结论中错误的是( )A 、DE=DF B、AE=AF C 、BD=CDD 、∠ADE=∠ADF 7．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）Ａ．三条中线的交点Ｂ．三条高的交点Ｃ．三条边的垂直平分线的交点Ｄ．三条角平分线的交点8.已知△ABC 中，∠A=80°，∠B 和∠C 的角平分线交于O 点，则∠BOC= 。

9.如图，已知相交直线AB 和CD ，及另一直线EF 。

如果要在EF 上找出与AB 、CD 距离相等的点，方法是，这样的点至少有个，最多有个。

mn31mn213题图DCBA10.如图所示，已知△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且AB =6 cm,则△DEB 的周长为( )。

三角形角平分线专项 1 好打印

三角形角平分线专项1如图，已知在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，若∠A＝，则∠BOC＝2如图所示，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，根据下列条件，求出∠BOC的度数．（1）已知∠ABC+∠ACB=100°，则∠BOC= ．（2）已知∠A=90°，求∠BOC的度数．（3）从上述计算中，你能发现∠BOC与∠A的关系吗？请直接写出∠B0C与∠A的关系．3如图所示，已知ΔABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点，的平分线交于点依次类推，的平分线交于点求的大小.4如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．（1）∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由．（2）题（1）中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC的度数．（3）若∠A＝n°，求∠BOC的度数．5 （探究）如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．（1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠A=度，∠P=度（2）∠A与∠P的数量关系为，并说明理由．（应用）如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为．6、在△ABC中，∠A＝40°．（1）如图(1)BO、CO是△ABC的内角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；（2）如图(2)若BO、CO是△ABC的外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；（3）如图(3)若BO、CO分别是△ABC的一内角和一外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；（4）根据上述三问的结果，当∠A＝n°时，分别可以得出∠BOC与∠A有怎样的数量关系(只需写出结论)．。

三角形角平分线专项 2 好打印

三角形角平分线专项7（1）已知△ABC中，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，且BO、CO相交于点O，试探索∠BOC与∠A 之间的数量关系，并说明理由．（2）已知BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分线，BO、CO相交于O，试探索∠BOC与∠A 之间的数量关系，并说明理由．（3）已知：BD为△ABC的角平分线，CO为△ABC的外角平分线，它与BO的延长线交于点O，试探索∠BOC 与∠A的数量关系，并说明理由．8、1)探究2；如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．(2)探究3：如图3中, O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）(3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）9 （Ⅰ）（1）问题引入如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝（用α表示）；（2）如图②，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，试求∠BOC的度数（用α表示）.（3）归纳猜想若BO、CO分别是△ABC的∠ABC、∠ACB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝（用α表示）.（Ⅱ）类比探索（1）特例思考如图③，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，求∠BOC的度数（用α表示）.（2）一般猜想若BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝（用α表示）.10 已知△ABC中，∠A=50°．（1）如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC= °．（2）如图②，∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C= °．（3）如图③，∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…O n﹣1（内部有n﹣1个点），求∠BO n﹣1C（用n的代数式表示）．（4）如图③，已知∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…O n﹣1，若∠BO n﹣1C=60°，求n的值．。

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1如图1所示，在△ ABC中，∠ A= 90°, BD平分∠ ABC AD= 2 Cm ,则点D到BC的距离为___________ cm.
2. 如图2所示，在Rt Δ ABC中，∠ C = 90°, BD是∠ ABC的平分线，交
AC于D,若CD = n, AB = m, 则Δ ABD的面积是（）
1 1
A . -mn B. — mn C. mn D. 2mn
3 2
3. 如图，在△ ABC中，∠ C= 900, BC= 40, AD是∠ BAC的平分线交BC于D,且DC：
DB= 3 : 5,则点D到AB的距离是________ 。

4. 如图，已知BD是∠ ABC的内角平分线，CD是∠ ACB的外角平分线，由D出发，作点D到
BC3题题图和AB
的垂线DE DF和DG垂足分别为 E F、G贝U DE DF、DG的关系是__________________________
5. _________________________________ 如图，已知AB//
CD O为∠ A∠ C的角平分线的交点, 则两平行线间AB CD的
距离等于______________________________ 。

6. AD是厶BAC的角平分线，自D向AB AC两边作垂线，垂足为E、F,那么下列结论中错误的是
（）
A DE=DF
B 、AE=AF C、BD=CD D∠ ADE玄ADF
7. 到三角形三条边的距离都相等的点
是这个三角形的（）
A.三条中线的交点 E.三条高的交点
C.三条边的垂直平分线的交点
D.三条角平分线的交点
8. 已知△ ABC中，∠ A=80°,∠ B和∠ C的角平分线交于O点，则∠ BOC= ___ 。

9. 如图，已知相交直线AB和CD及另一直线EF。

如果要在EF上找出与AB CD距离相等的点，方
法
是___________ ,这样的点至少有________ 个，最多有___ 个。

OEL AC于E,且0E=2
10.如图所示，已知△ ABC中，∠ C=90°, AC=BC AD平分∠ CAB 交BC于点D,DELAB于点E,且AB=6 cm,则厶DEB勺周长为（）。

A.9 Cm
B.5 Cm
C.6 Cm
D.不能确定
11.如图,
AB/ CDCE
D
平分∠ ACD
若∠ 1=250,
那么∠ 2的
12 .如图,
OP平分
AoB ,
PA OA ,
PB OB ,
垂足分别
为A, B.下
列结论中
不一定成
立的是（）
A. PA PB B . PO 平分APB C. OA
CAB和∠ ABD CD过点E,则AB与AC+BD相等吗？说
明理由.
OB D . AB垂直平分OP
13.如图，已知AC// BD EA EB分别平分∠
14、如图所示，已知AD为等腰三角形ABC的底角的平分线，∠ C= 90°
求证：AB= AC+ CD
15、如图，在四边形ABCD中，BC>BA AD=DC,BD平分∠ ABC,求证：∠
A+∠
C=180°并写出画法）
18. 已知：OD平分∠ PoQ ,在OP、OQ边上取OA = OB, CM丄AD于M , CN丄BD于N. 求证：
CM = CN .
19. 已知：如图，ΔABC的外角∠ CBD和∠ BCE的平分线BF、CF交于点F.
求证：一点F必在∠ DAE的平分线上.
16、如图，∠ ACB=90 ,AC=BC BE⊥ CE AD⊥ CE.求证：△ACD^△ CBE.
17.已知：如图，△ ABC中，∠ C = 90° ,试在AC上找一点P,使P到斜边的距离等于
20. 已知：如图， A 、B 、C 、D 四点在∠ MON 的边上，AB = CD , P 为∠ MON 内一点，并且△ PAB 的面积与厶
PCD 的面积相等.
求证：射线 OP 是∠ MON 的平分线.
21 .如图，Δ ABC 中，∠ C = 90°, BD 平分∠ ABC , DE 丄AB 于丘，若厶BCD 与厶BCA 的面积比为 3 : 8, 求
厶ADE 与厶BCA 的面积之比.
22.已知：如图，∠ B =∠ C = 90°, M 是BC 的中点，DM 平分∠ ADC .
(1) 求证：AM 平分∠ DAB ;
2)猜想AM 与DM 的位置关系如何？并证明你的结论.
23 .已知：如图，在Δ ABC 中，AD 是厶ABC 的角平分线，E 、F 分别是 + ∠ EAF = 180°.试判断 DE 和DF 的大小关系并说明理由.
24 .如图1所示：AMy DN AE DE 分别平分∠ MAD∏∠ AND 并交于E 点. 过点E 的直线分别交AM DNf B 、C.
(1 )如图2 ,当点 B 、C 分别位于点 AD 的同侧时，猜想 AD AB 、CD 之间的存在的数量关系
:
Af
EDF
(2) 试证明你的猜想
(3) 若点B、C分别位于点AD的两侧时，试写出AD AB CD之间的关系，并选择一个写出证明过程。

2 ,当点C在X轴正半轴上运动，点A在y轴正半轴上运动，点试判断°C―B D
OA
OA
结论: 证明:
26. 如图，△ ABC中，∠ ABC=42 ,D 是BC边上一点，DC=A D .且
工
(1 )△ ABC是 ___________ 三角形；
(2)证明你的结论。

27 .在△ ABC中，AB AC ,点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作
△ ADE ,使AD AE, DAE BAC ,连接CE .
(1)如图1 ,当点D在线段BC上，如果BAC 90°,则BCE _______________ 度；
(2)设BAC , BCE .
①如图2,当点D在线段BC上移动，贝U , 之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.
25. 已知：在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A C分别在y轴、X 轴上，且∠ ACB=90 ,AC=BC.
(1)如图 1 ,当A(Q l 2),C(1,0),点B在第四象限时，则点B的坐标为*y
B在第四象限时，作BD⊥ y轴于点D,
与°C B D哪一个是定值，
并说明定值是多少？请证明你的结论
(2)如图
图1
图 2
Ay
A
B=27。

28.已知：如图，在△
∠ PCA=120 —
备用图
ABC中，AB=AC ∠ BAC= ,■且60° <
(1) 用含的代数式表示∠
(2) 求证：∠ BAPg PCB
(3) 求∠ PBC的度数.
证明：(2)
APq 得∠ APC =
备用图
<120 ° . P为厶ABC内部一点，且PC=AC。