相似矩阵与矩阵相似于对角阵的条件
相似矩阵和矩阵对角化的条件
3 0 0 1 ,2 ,3线性无关， 三 个 ， A ~ 0 1 0 ， 共 0 0 1 0 2 -1 相应的可逆阵 (1,2,3 ) 1 1 0 P 1 0 1
例2
1 1 0 A 4 3 0 是否和对角矩阵相似． 判断矩阵 1 0 2 若相似，求出可逆矩阵 P ，使得 P 1 AP .
三. 矩阵可对角化的条件
条件1(充要条件）：A有n个线性无关的特征向量．
证明：必要性
若 A
1 , n
~
2
则存在 阶可逆矩阵 ， n P
使得P1AP . 设P (1 , 2 ,, n )
显然， i (i 1, 2,, n) , 且1 ,2 ,,n 线性无关．
设P (1 , 2 ,, n )
由于 1 ,2 ,,n 线性无关，故Ｐ可逆．于是，
AP A(1 ,2 ,,n )
( A1 , A2 ,, An ) (11 , 22 ,, n n )
AP (11 , 22 ,, nn )
i
i 是A的特征值，i 是A的属于 i 的特征向量．
又 1 , 2 ,, n 线性无关
A有n个线性无关的特征向量
充分性
设Ａ有n个线性无关的特征向量：1 , 2 ,, n , 它们所对应的特征值依次为： 1 , 2 ,, n , 则有
Ai ii (i 1, 2,, n)
第二节
相似矩阵和矩阵对角化的条件
一．相似的定义 设A、B都是n阶方阵，若存在n阶可 逆矩阵P，使得
P AP B
记作 A B 则称A相似于B．
1
矩阵的相似与对角化
矩阵的相似与对角化矩阵是线性代数中的重要概念之一，而相似性与对角化是矩阵理论中的两个关键概念。
本文将从相似性与对角化的概念入手，探讨它们的定义、性质以及在线性代数中的应用。
1. 相似矩阵的定义与性质相似矩阵是线性代数中一个重要的概念，它描述了两个矩阵具有相同的特征值，但其特征向量的基和矩阵元素可能不同。
具体来说，如果存在一个可逆矩阵P，使得矩阵A和矩阵B满足A = PBP^(-1)，则可以称矩阵A和矩阵B是相似的。
相似矩阵的性质包括：1) 相似矩阵具有相同的特征值，即它们的特征多项式相同。
2) 相似矩阵的特征向量对应相同的特征值，但基可能不同。
3) 相似矩阵具有相同的迹、行列式和秩。
4) 相似矩阵具有相同的幂，即A^k与B^k相似。
2. 对角化的定义与性质对角化是线性代数中与相似性概念紧密相关的一个概念。
简而言之，对角化就是将一个矩阵通过相似变换变成对角矩阵的过程。
具体来说，如果一个n阶矩阵A相似于一个对角矩阵D，即存在一个可逆矩阵P，使得A = PDP^(-1)，则称矩阵A是可对角化的。
对角化的性质包括：1) 可对角化矩阵与其特征值和特征向量有关，特征向量构成的基是将矩阵对角化的基。
2) 可对角化矩阵具有简洁的形式，对角线上的元素是矩阵的特征值，其他元素都为0。
3) 可对角化矩阵的幂可以通过对特征值的幂进行对角化得到。
3. 相似与对角化的关系和应用相似的关系为矩阵的对角化提供了有力的理论基础。
具体而言，如果一个矩阵是可对角化的，那么它就必然与一个对角矩阵相似。
换句话说，对角化是相似的一种特殊情况。
相似与对角化的关系在线性代数中有广泛的应用，例如：1) 矩阵的相似性可以简化矩阵的计算，例如求解线性方程组、计算矩阵的幂等等。
2) 对角化可以简化矩阵的求幂运算，从而方便计算高阶矩阵的幂。
3) 对角化可以帮助我们理解矩阵的性质，例如特征向量的重要性、矩阵的谱分解等。
总结：本文从相似性与对角化的定义和性质出发，对相似矩阵与对角化的关系与应用进行了讨论。
矩阵相似和对角化
矩阵相似和对角化矩阵的相似和对角化是线性代数中重要的概念和技术。
它们在矩阵理论、线性变换和特征值理论等领域具有广泛的应用。
下面将对矩阵相似和对角化进行详细介绍和相关参考内容的分享。
1. 矩阵的相似性（Matrix Similarity）：矩阵相似性是指两个矩阵具有相同的特征值与特征向量。
具体来说，对于n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A与B相似。
矩阵相似性的特性包括：(1) 相似矩阵具有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；(2) 相似矩阵具有相同的迹、行列式和秩；(3) 相似矩阵表示相同的线性变换，只是在不同的坐标系下表示。
矩阵的相似性在计算机图形学、信号处理和网络分析等领域有广泛的应用。
下面是几篇相关的参考文献：- "Matrix Similarity and Its Applications"（作者：Yu Zhang）是一篇介绍矩阵相似性及其应用的综述文章。
它详细讨论了相似矩阵的定义、性质和计算方法，并列举了相似矩阵在网络分析和信号处理中的应用案例。
- "On Similarity of Matrices"（作者：Pe tar Rajković et al.）是一篇关于相似矩阵的形式定义和性质研究的论文。
它推导了相似矩阵的充要条件和相似变换的表达式，并给出了相似矩阵的几何解释和应用示例。
- "Graph Similarity and Matching"（作者：Michaël Defferrard et al.）是一本关于图相似性和匹配算法的专著。
它介绍了基于矩阵相似性的图匹配方法，包括谱聚类、图嵌入和子图匹配等技术，对于矩阵相似性的理解和应用具有参考价值。
2. 矩阵的对角化（Matrix Diagonalization）：矩阵的对角化是指将一个可对角化矩阵相似转化成对角矩阵的过程。
矩阵相似对角化的一个充分条件_陈飞翔
成傅氏级数．
解 ∵ l = 2，由上式可以得到傅立叶级数
∫ ∫ a0
=
1 2
2
f（ x） dx =
－2
1 2
2
qdx
0
=
1 2
·（
பைடு நூலகம்
qx）
2 0
=
q，
∫ ak
=
1 2
2
f（
－2
x）
cos
kπ2 xdx
∫ = 1 2 qcos kπxdx
20
2
[ ] =
kqπsin
kπx 2
2 0
= 0，
∫ bk
=
1 2
【参考文献】 同济大学应用数学系． 线性代数［M］． 北京： 高等教育 出版社，2007．
（ 接上页）
∫ bk
=
1 l
π
f（
－π
x）
sin
kπl xdx，
∑( ) ∴ f（ x）
=
a0 2
+
∞ k =1
ak
cos
kπx l
+
bk sin
kπx l
．
{ 例 3 将 g（ x） = 0 － 2 ≤ x ＜ 0（ q ≠ 0 常数） 展开 q 0≤x ＜ 2
四、结 论 以上我们从三个方面把 f（ x） 展开成傅立叶级数，只要 抓重点，分清层次，学生是很容易接受的． 同时又可以解数 学近似计算、物理波形讨论等实际问题． 对教学、科研具有 双重意义．
【参考文献】 ［1］吉林大学数学系． 数学分析（ 中册） ［M］． 北京人民 教育出版社，1978． ［2］华东师范大学数学系． 数学分析（ 上册） ［M］． 高等 教育出版社，2001． ［3］欧阳光中，朱学炎，秦曾复． 数学分析 （ 上册） ［M］． 上海： 上海科学技术出版社，1983． ［4］刘祖光，鲁恩权． 大学数学辅导与考研指导［M］． 北 京： 科学出版社，2002． ［5］盛骤，吴迪光，张光天． 数学分析（ 高等学校专科教 学用书） ． 浙江大学出版社，1985．
与对角矩阵相似的充要条件
与对角矩阵相似的充要条件对角矩阵是一种非常特殊的矩阵，它的主对角线上的元素非零，其它元素均为零。
对角矩阵在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
与对角矩阵相似的矩阵也具有很多重要的性质和应用。
本文将探讨与对角矩阵相似的充要条件。
正文一、相似矩阵的定义在矩阵论中，相似矩阵是指具有相同特征值的矩阵。
设 $A$、$B$ 为 $n$ 阶矩阵，若存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=B$，则称 $A$ 和 $B$ 相似，记作 $Asim B$。
相似矩阵的定义表明，相似矩阵具有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量。
相似矩阵的概念为矩阵的特征值和特征向量的研究提供了一种重要的工具。
二、对角矩阵的定义对角矩阵是一种非常特殊的矩阵，它的主对角线上的元素非零，其它元素均为零。
设 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶矩阵，若 $a_{ij}=0(i eq j)$，则称 $A$ 是对角矩阵。
对角矩阵可以表示为$A=begin{pmatrix}a_{1}&0&cdots&00&a_{2}&cdots&0vdots&vdots& ddots&vdots0&0&cdots&a_{n}end{pmatrix}$。
对角矩阵具有一些重要的性质，如对角矩阵的特征值就是其主对角线上的元素，对角矩阵的特征向量就是其坐标轴上的向量等。
三、与对角矩阵相似的充要条件与对角矩阵相似的充要条件是：矩阵 $A$ 与一个对角矩阵相似的充要条件是 $A$ 的特征向量组成的矩阵 $P$ 可逆。
证明：充分性证明：设 $A$ 和 $B$ 是两个相似矩阵，即存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=B$。
设 $P=(p_1,p_2,cdots,p_n)$，其中$p_i(i=1,2,cdots,n)$ 是 $A$ 的第 $i$ 个特征向量，则对于任意$i$，有 $AP=p_ilambda_i$，其中 $lambda_i$ 是 $A$ 的第 $i$ 个特征值。
矩阵的相似与对角化
矩阵的相似与对角化在线性代数中，矩阵是一种重要的数学工具，与线性变换和向量空间的理论密切相关。
矩阵的相似与对角化是矩阵理论中的两个重要概念，它们在解决特征值问题、矩阵的可对角化性和矩阵的特殊性质等方面发挥着重要作用。
一、矩阵的相似矩阵的相似是指具有相同特征值的矩阵之间存在一种关系。
设A和B是两个n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=B成立，那么就称矩阵A与B相似，记作A∼B。
相似关系是一种等价关系，它具有自反性、对称性和传递性。
相似矩阵有以下几个重要性质：1. 相似矩阵具有相同的特征值。
设A与B相似，那么它们的特征多项式和特征值都相同。
2. 相似矩阵具有相同的迹。
矩阵的迹是指主对角线上元素的和。
如果A与B相似，那么它们的迹也相等。
3. 相似矩阵具有相同的秩。
矩阵的秩是指矩阵的列空间的维度。
如果A与B相似，那么它们的秩也相等。
二、矩阵的对角化对角化矩阵是一种特殊的相似矩阵，使得矩阵在某一种特殊的变换下能够变为对角矩阵。
设A是一个n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=D成立，其中D是一个对角矩阵，那么就称矩阵A可对角化。
对角化的充要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量，即A的特征向量组成一个线性无关的向量组。
此时，矩阵A经过适当的变换后，可以将其对角化。
对角化的优点是简化了矩阵的计算和处理。
对角矩阵的运算更加方便，可以更直观地观察矩阵的性质，同时在求解线性方程组和矩阵的幂等问题时，也能够更加高效地进行计算。
三、矩阵相似与对角化的关系矩阵的相似与对角化之间存在一定的联系。
设A是一个n阶矩阵，如果A与对角矩阵D相似，那么A可对角化。
具体地说，如果存在一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=D成立，那么矩阵A可对角化。
对角化的好处在于可以将矩阵的运算和计算简化为对角矩阵的运算。
同时，对角化也能够更好地揭示矩阵的特殊性质，如特征值、特征向量和秩等。
计算矩阵的相似和对角化是解决线性代数问题的重要方法。
相似矩阵与对角化
相似矩阵与对角化矩阵是线性代数中最为重要的概念之一，相似矩阵与对角化是矩阵理论中常被提及的概念。
本文将介绍相似矩阵的定义及性质，以及对角化的概念和相关定理。
1. 相似矩阵相似矩阵是指两个矩阵具有相同特征多项式（即它们的特征值相同），这样的矩阵可以通过线性变换相互转化而得到。
具体来说，设A 和 B 是 n 阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵 P，使得 P⁻¹AP = B，则我们称矩阵 A 与 B 相似，记作 A ∼ B。
相似矩阵有以下特性：（1）相似关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性都成立。
（2）相似矩阵具有相同的特征多项式和特征值。
（3）如果 A 与 B 相似，则它们的多项式函数也相似。
2. 对角化对角化是一种将矩阵转化为对角矩阵的操作。
对于 n 阶方阵 A，如果存在一个可逆矩阵 P，使得 P⁻¹AP = D，其中 D 是一个对角矩阵，则我们称 A 可对角化。
对角化有以下几个重要的定理：（1）一个矩阵可对角化的充分必要条件是它有 n 个线性无关的特征向量。
（2）如果一个矩阵 A 有 n 个不同的特征值，则 A 是可对角化的。
（3）如果 A 是可对角化的，则 A 的幂Aⁿ 也可以对角化，其中 n是正整数。
（4）如果 A 可对角化，则存在一个对角矩阵 D，使得 A 和 D 相似。
3. 相似矩阵与对角化的联系相似矩阵和对角化之间存在着密切的联系。
具体来说，如果矩阵 A 和 B 相似，则它们可以通过线性变换相互转化，即存在一个可逆矩阵P，使得 P⁻¹AP = B。
而对角化是相似矩阵的一种特殊情况，即当 P 的选择为 A 的 n 个线性无关的特征向量时，A 可以对角化为对角矩阵 D，即 P⁻¹AP = D。
对角化的好处在于简化了矩阵的计算，对于对角矩阵，其乘法和幂运算均非常简单。
此外，对角矩阵还具有很多重要的性质，如行列式等于特征值的乘积，矩阵的迹等于特征值的和，这些性质在实际应用中有着广泛的应用。
相似矩阵与矩阵相似于对角阵的条件
A 有n 个线性无关的特征向量.
【注】 ①若矩阵 A 相似于对角阵，则称 A可相似对角化.
②证明过程给出找与 A 相似的对角阵的方法： 即用 A 的n个线性无关的特征向量 1,2 ,,n
构成可逆矩阵U，U (1 2 n ) ，则
1
U 1 AU
2
n
其中i 是属于特征 值i 的特征向量.
【注】矩阵U的列向量和对角阵中特征值的位置要
～A
【注】单位矩阵 E 只与自己相似
因为对任意可逆矩阵 U，U 1 EU E
数量矩阵 aE 只与自己相似 U 1aEU aE
2. 相似矩阵的性质 （1）基本性质
反身性，即A～A， 对称性，即A～B，则B～A 传递性， 如果A～B，B～C，则A～C
（2）相似矩阵有相同的特征多项式
相同的特征值(包括重数),迹,行列式.
【注】 逆不真,即有相同特征多项式的矩阵不一定相似.
反例1 A 1 0 0 1
B 1 1 0 1
（3）相似矩阵有相同的秩
【注】逆不真,即秩相同的矩阵不一定相似.——反例1
推论：相似矩阵同为可逆或不可逆，若可逆，逆矩阵也相似.
（4）如果 A～B，则 Ak ~ Bk（k 为非负整数）
【注】逆命题不成立.
相互对应.
例1
判断
1 A 2
2 1
2 2
是否可以相似对角化.
2
2
1
A的属于特征值5的特征向量为
1
1 1
1
A的属于特征值
-1（二重）2
1
的特征向量为
0
1
3
1,2 ,3 线性无关 ，A可以相似对角化
1
0
1
令U
相似矩阵与矩阵的对角化
相似矩阵与矩阵的对角化
用A左乘式（6-11），得 x1Ap1+x2Ap2+…+xk－1Apk－1+xkApk=0 x1λ1p1+x2λ2p2+…+xk－1λk－1pk－1+xkλkpk=0（6-12） 式（6-12）减去式（6-11）的λk倍，得 x1(λ1－λk)p1+x2(λ2－λk)p2+…+xk－1(λk－1－λk)pk－1=0 按归纳法假设p1,p2,…,pk－1线性无关，故xi(λi－ λk)=0(i=1,2,…,k－1).而λi－λk≠0(i=1,2,…,k－1)，于是得 xi=0(i=1,2,…,k－1)，代入式（6-11）得xkpk=0，而pk≠0，得 xk=0.因此，向量组p1,p2,…,pm线性无关. 因此有以下定理：
相似矩阵与矩阵的对角化
解 若用3维向量xi表示第i年后从事这三种职业的人 员总数（单位：万人），则已知
相似矩阵与矩阵的对 角化
相似矩阵与矩阵的对角化
一、 相似矩阵的概念
定义6-5
对n阶方阵A，B，若存在一个n阶可逆矩阵P，使 P－1AP=B
成立，则称矩阵A与B相似或矩阵A相似于B，记作A~B. 矩阵的相似是一种等价关系c，满足以下三个性质： （1）反身性：A与自身相似. （2）对称性：若A与B相似，则B与A相似. （3）传递性：若A与B相似，B与C相似，则A与C相似.
在实际问题中，有时会将问题归结为计算一个 矩阵A的高次幂Ak，一般用矩阵乘积的行乘列法则来 计算矩阵幂是很麻烦的，特别在幂次很大时尤甚.我 们知道，从对角阵的特点可知有如下简单的结论：
相似矩阵与矩阵的对角化
自然想到，当A可对角化时，能否找到一个计算矩 阵的高次幂Ak的简单方法呢？回答是肯定的.事实上，若 A可对角化，则可建立起分解式A=PΛP－1，有
相似矩阵对角化问题
相似矩阵对角化问题
相似矩阵对角化问题是一个重要的线性代数问题，涉及到矩阵的特征值和特征向量。
如果一个矩阵A可以被相似对角化，即存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP是对角矩阵，那么矩阵A就被称为可对角化的。
可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
具体来说，如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，那么存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=∧是对角矩阵，其中∧是对角线上为A的特征值的对角矩阵。
因此，A的相似对角化可以通过求解特征值和特征向量来实现。
此外，如果矩阵A的n个特征值互不相等，那么A一定可对角化。
这是因为如果特征值互不相等，那么对应的特征向量一定线性无关，从而满足可对角化的条件。
因此，对于一个给定的矩阵A，我们可以通过求解特征值和特征向量来判断其是否可对角化，并进一步通过相似对角化来简化矩阵的表示和计算。
矩阵相似于对角矩阵的条件
矩阵相似于对角矩阵的条件
1、对角矩阵：
对角矩阵是指矩阵的非零元素只存在主对角线上，根据主对角线类型的不同，还可以将对角矩阵分为两大类：单位对角矩阵和非单位对角矩阵。
单位对角矩阵非零元素全为1；而非单位对角矩阵的非零元素有不同的系数。
2、相似于对角矩阵的条件：
一个矩阵相似于对角矩阵，就必须满足三个要素：首先，矩阵中每一行和每一列的非零元素只有一个；其次，每一行和每一列上不同的非零元素的值必须不相等；最后，每一行和每一列的不同的非零元素的位置一定是主对角线上的相邻位置，例如，第一行第一列的非零元素，只能是矩阵的第一行第二列的非零元素的相邻位置，或者是第二行第一列的非零元素的相邻位置。
3、相似于对角矩阵的例子：
一个 3×3 的矩阵：
3 4 0
5 0 8
0 9 7
此时，第一行和第一列上都只有一个非零元素 3，而在主对角线上非零元素有两个 4 和 7，并且都是相邻的位置在第一行第二列和第二行第一列，所以这个矩阵就不相似于对角矩阵。
再比如如下矩阵：
1 6 0
4 0 5
0 3 7
第一行和第一列同样只有一个非零元素 1，且主对角线上非零元素有 6 和 7，这两个非零元素在第一行第二列和第二行第一列互为相邻，这个矩阵就相似于对角矩阵。
矩阵与对角矩阵相似的充要条件
矩阵与对角矩阵相似的充要条件设$A$是$n$阶方阵，$D$ 是 $n$ 阶对角矩阵，且 $A$ 与 $D$ 相似，即存在一个可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP=D$。
充分性：如果存在一个可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP=D$，则 $A$ 与$D$ 相似。
证明如下：因为 $P$ 可逆，所以 $P^{-1}$ 存在。
将 $A$ 用 $D$ 和$P$ 表示：$$A=PDP^{-1}$$左乘 $P$，右乘 $P^{-1}$，得到：$$PAP^{-1}=D$$因此 $A$ 与 $D$ 相似。
必要性：如果 $A$ 与 $D$ 相似，即存在一个可逆矩阵 $P$ 使得$P^{-1}AP=D$，则 $A$ 必须是一个可对角化矩阵。
证明如下：因为 $A$ 与 $D$ 相似，所以 $A$ 和 $D$ 有相同的特征值。
设$lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n$ 是 $A$ 的 $n$ 个特征值，$d_1,d_2,cdots,d_n$ 是 $D$ 的对角线上的元素。
由于 $D$ 是对角矩阵，所以其特征值就是对角线上的元素，即$lambda_i=d_i$，$i=1,2,cdots,n$。
由于 $A$ 与 $D$ 相似，所以 $A$ 和 $D$ 有相同的特征向量。
设$boldsymbol{v}_1,boldsymbol{v}_2,cdots,boldsymbol{v}_n$ 是$A$ 的 $n$ 个特征向量，$P$ 的列向量分别为$boldsymbol{v}_1,boldsymbol{v}_2,cdots,boldsymbol{v}_n$。
由于 $P$ 可逆，所以$boldsymbol{v}_1,boldsymbol{v}_2,cdots,boldsymbol{v}_n$ 线性无关。
因此，$A$ 可对角化，即存在一个对角矩阵 $D$ 和一个可逆矩阵 $P$，使得 $A=PDP^{-1}$。
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【注】 逆不真,即有相同特征多项式的矩阵不一定相似.
反例1 A 1 0 0 1
B 1 1 0 1
（3）相似矩阵有相同的秩
【注】逆不真,即秩相同的矩阵不一定相似.——反例1
推论：相似矩阵同为可逆或不可逆，若可逆，逆矩阵也相似.
（4）如果 A～B，则 Ak ~ Bk（k 为非负整数）
【注】逆命题不成立.
1
1 0 2
例2 判断 A 1 2 1 是否可以相似对角化.
1
3
0
解： 解出A的特征值为 1 1 ，2 1(二重)
属于特征值-1的特征向量为
3
1 1
0
属于特征值 1 的特征向量为
1
2 0
1
因为仅有2个线性无关的特征向量
所以，A不能相似于对角阵.
定理2 矩阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关.
P(a0 Bn a1 Bn1 an1 B an E) P1
P(B) P1.
若A～B , 则 ( A) ~ (B)
特别地,若可逆矩阵P使 P1 AP 为对角矩阵,
Ak P k P1, ( A) P() P1. 对于对角矩阵,有
k
1
( )
1
k
k 2
,
()
( ) 2
,
定理3 设 是矩阵 A 的 k 重特征值，则A 的属于的
线性无关的特征向量最多 k 个.
即 设 A 的不同的特征值：
1，2，… m
重数分别为：
k1，k2，… km
线性无关特征向量的个数： s1，s2，… sm
则有 si ki ， i=1,2,…,m，及
s1＋ s2＋ … ＋ sm k1＋ k2＋ … ＋ km n
3 3 1 3 5 2
3
1 3 6
3 1 2 1
（2）AT与A有相同的特征值1，2，3
U 1 AU
1
2
U T
AT
(U 1 )T
AT
(U
T
的线性无关的特征向量最多 k 个.
【推论】 (1)若n阶矩阵A在数域F上有n个不同的特征值，
A可以相似对角化. (充分条件, 不必要) (2) k1 k2 km n A不能相似对角化.
(3)当 k1 k2 km n 时 A ki si (i 1, 2, , m)
[选择题] 如果( D ), 则矩阵A与B相似.
反例2 A 0 1 0 0
B 0 0 0 0
说明 性质(2)~(4)不能用来判断矩阵相似,但可判断不相似.
利用相似矩阵计算矩阵多项式 A的多项式
( A) a0 An a1 An1 an1 A an E
a0 P Bn P1 a1 P Bn1 P1 an1 PB P1 an PE P1
相互对应.
例1
判断
1 A 2
2 1
2 2
是否可以相似对角化.
2
2
1
A的属于特征值5的特征向量为
1
1 1
1
A的属于特征值
-1（二重）2
1
的特征向量为
0
1
3
1,2 ,3 线性无关 ，A可以相似对角化
1
0
1
令U
1 1
1
1 1
1 0 ,
则
0
1
5
U
1 AU
1
A 有n 个线性无关的特征向量.
【注】 ①若矩阵 A 相似于对角阵，则称 A可相似对角化.
②证明过程给出找与 A 相似的对角阵的方法： 即用 A 的n个线性无关的特征向量 1,2 ,,n
构成可逆矩阵U，U (1 2 n ) ，则
1
U 1 AU
2
n
其中i 是属于特征 值i 的特征向量.
【注】矩阵U的列向量和对角阵中特征值的位置要
（1）求矩阵 A;
1
3 3
6
（2）求AT的特征值及所属的特征向量. 【注】这是由特征值和特征向量求矩阵的问题，
是由矩阵求特征值和特征向量的反问题.
解 （1）
1 1 1
令U
(1 ,2 ,3 )
1
2
3
,
则
1
3
6
1
U
1 AU
2
3
1 A U 2
U
1
1 1
1 2
1 1 3
2
§5.2 相似矩阵与矩阵相似于对角阵的条件
一、相似矩阵的概念与性质 1．定义 设A,B为n阶方阵，如果存在可逆矩阵U，
使得 U 1 AU B，则称A与B相似，记作A～B .
例 A 1 1
2 4
，取 U 1 1
1 2
U
1
2 1
1
1
U
1 AU
2 1
1
1
1 2
1 1 1 2 0 4 1 2 0 3
【推论】每个特征值的线性无关的特征向量（即相应齐
次线性方程组的基础解系）构成的向量组线性无关.
即：若1，2，… m是 A 的不同的特征值， 设属于i的线性无关的特征向量有si个:
1 11 ,12 , ,1s1
2 21 ,22 , ,2s2
m m1 ,m2 , ,msm
共 s1 s2 sm 个向量是线性无关的.
k n
(
)
n
利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式 ( A) .
*两个常用公式*
➢ P1 A1A2 P P1A1P P1A2P .
➢ P1 k1A1 k2 A2 P k1P1A1P k2P1A2P
其中k1 , k2是任意常数.
二、矩阵相似于对角矩阵的条件
定理1 数域 F 上的n 阶矩阵 A 相似于对角阵
n 阶矩阵 A的特征值为：1, 2 , , m 特征值的重数为：k1, k2 , , km
所属无关特征向量个数为： s1, s2 , , sm 定理1 数域 F 上的n 阶矩阵 A 相似于对角阵
A 有n 个线性无关的特征向量. 定理2 矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量线性无关.
定理3 设 是矩阵 A 的 k 重特征值，则A 的属于
～A
【注】单位矩阵 E 只与自己相似
因为对任意可逆矩阵 U，U 1 EU E
数量矩阵 aE 只与自己相似 U 1a性质
反身性，即A～A， 对称性，即A～B，则B～A 传递性， 如果A～B，B～C，则A～C
（2）相似矩阵有相同的特征多项式
相同的特征值(包括重数),迹,行列式.
(A) A B
(B) r( A) r(B)
(C) A与B有相同的特征多项式
(D) n阶矩阵A与B有相同的特征值且n个特征值各不相同
可对角化矩阵的应用1: 由特征值及特征向量反求矩阵
例3 已知三阶矩阵 A 的三个特征值1, 2, 3以及分别属
于它们的特征向量
1
1 1
1
1
2 2
3