第2章3 静定结构受力分析-三铰拱

2. 4 三铰拱受力分析
轴线为曲线、 轴线为曲线、在竖向荷载作用下能产生水平反力 推力）的结构称为拱 （推力）的结构称为拱。
图2-23 静定拱的不同形式及一些名称
2. 4 三铰拱受力分析
2. 4. 1
ai FP2 a2 a1 FP1 f FAH A FAy l1 l （a） FP1 FP2 FP
i
M y = FH
Mc FH = f
M0=qlx/2-qx2 /2 =qx(l-x)/2 MC0=ql2/8 FH=ql2/8f y=4fx(l-x)/l2
抛物线
2. 4 三铰拱受力分析
试在图2-29(a)所示荷载下，确定矢高为 、跨度 所示荷载下， 例题 2-11 试在图 所示荷载下 确定矢高为f、 的三铰拱的合理拱轴。 为 l 的三铰拱的合理拱轴。
0 M K = M K − FH yK
FP2 FP1 （b） FAH A FAy
MK
FNK
t
FQ K = FAy cos ϕ K − ∑ FP i cos ϕ K − FH sin ϕ K = ( FAy − ∑ FP i ) cos ϕ K − FH sin ϕ K
0 FQ K = FAy − ∑ FP i
图2-29 例题2-11图 合理拱轴分析过程示意图
2. 4 三铰拱受力分析
（1）在沿水平线均匀 分布的竖向荷载作用下 作用下， 分布的竖向荷载作用下，三 铰拱的合理轴线为二次抛物 铰拱的合理轴线为二次抛物 线。 均匀水压力作 （2）在均匀水压力作 用下， 用下，三铰拱的合理轴线 圆弧线。 是圆弧线。 （3）在填土重量作用 填土重量作用 下，三铰拱的合理轴线是 悬链线。 悬链线。
第2章 静定结构受力分析 章
x 3m
由式（ 解:（1）反力计算 由式（2-1）知
6 + 8 × 3 + 1× 6 × 3 = 4 kN ( ↑ ) 12 1× 6 × 9 + 8 × 9 − 6 0 FBy = FBy = = 10 kN ( ↑ ) 12 0 MC 4× 6 − 6 FH = = = 4.5 kN f 4
0 FAy = FAy =
∑F
y
=0
FAy = 125 kN
CB部分： ∑ MC = 0 部分： 部分
FBH × 3 m − FBy × 5 m + 10 kN × 2.5 m + 20 kN ⋅ m = 0
FBH = 110 kN
整 体 : ： ∑ Fx = 0
FAH = 30 kN
2. 4 三铰拱受力分析
2. 4. 2
y a2 a1 F P1 FH A FAy xK ai
竖向荷载作用下等高拱内力计算公式 F C M = F x − ∑ F ( x − a ) − F F F a
Pi P2
K
Ay
K
Pi
K
i
HyKPn源自K yK l1 l （a） f x
n
FH B l2 FBy
0 M K = FAy xk − ∑ FP i ( xK − ai )
弯矩以拱内侧纤维 受拉为正； 受拉为正；剪力以 使隔离体顺时针转 动为正； 动为正；轴力以压 为正、拉为负。 为正、拉为负。
三铰拱的内力不但与荷载 及三个铰的位置有关， 及三个铰的位置有关，而且与 拱轴线的形状有关。 拱轴线的形状有关。 由于推力的存在， 由于推力的存在，拱的弯矩 比相应简支梁的弯矩要小。 比相应简支梁的弯矩要小。 三铰拱在竖向荷载作用下 轴向受压。 轴向受压。
L 0L M 3 = M 3 − FH y3 = 4 × 3 − 4.5 × 3 = −1.5 kN⋅ m R 0R M 3 = M 3 − FH y3 = 4 × 3 − 6 − 4.5 × 3 = −7.5 kN⋅ m
其余各截 面内力计 算与上述 步骤相同， 可列表计 算。
0 FQ 3 = FQ 3 cos ϕ − FH sin ϕ = 4 × 0.832 − 4.5 × 0.555 = 0.83 kN 0 FN 3 = FQ 3 sin ϕ + FH cos ϕ = 4 × 0.555 + 4.5 × 0.832 = 5.96 kN
2. 4 三铰拱受力分析
三铰拱的 M、FQ 、FN 图 、
7.5 1.5 1.5 2.0 6.0 3.5 4.0 8.0 12.0 8.0 4.0
（b）M图(kN.m) 3.33 1.2 0.66 0.83 1.83 2.92 3.0 3.91 3.66 3.33 2.99 3.6
（c）FQ图(kN) 7.6 5.98 6.02 5.96 5.73 5.26 4.5 3.3 3.19 8.67 9.7 10.7
M = M − FH y = 0 y = M 0 FH
0
与代梁弯矩图成比例的轴线为合理拱轴。 与代梁弯矩图成比例的轴线为合理拱轴。
2. 4 三铰拱受力分析
例题 2-10 试求图示三铰拱在竖向均布荷载作用下的合 理拱轴。 理拱轴。 q 0 0
y C f A l/2 q A ql/2 x B ql/2 l/2 B x
2. 4 三铰拱受力分析
例题 2-9
y E FA H=4.5kN A FAy =4kN
试作图示三铰拱内力图。 试作图示三铰拱内力图。拱轴线方程为
1kN/m C 6kN•m 4m D FB H =4.5kN B 3m 3m 12m （a） 3m FBy =10kN 8kN
4f y = 2 x (l − x ) l
图2-26 三铰拱内力计算
2. 4 三铰拱受力分析
竖向荷载下拱K 竖向荷载下拱 截面内力的计算公式为
0 M K = M K − FH yK
FN K FN K
0 = FQ K cos ϕ K − FH sin ϕ K 0 = FQ K sin ϕ K + FH cos ϕ K
B
C
FPn
∑F = 0 三铰拱的竖向反
f
2. 4 三铰拱受力分析
例题 2-8 解： 试求图示等高三铰拱的支座反力。 试求图示等高三铰拱的支座反力。 ∑MA =0
FBy × 10 m − 80 kN × 2.25 m − 40 kN × 2.5 m − 10 kN × 7.5 m − 30 kN/m × 5 m × 2.5 m − 20 kN ⋅ m = 0 FBy = 75 kN
拱反力计算
FPi C FPn a n
∑M
FAy =
B
=0
∑ Fp i (l − a i )
l
A
0 = FAy
∑M
FB l2 B FBy
H
=0
Pi
FBy
∑F =
l
x
ai
0 = FBy
力与其等代梁的 FAH = FBH = FH （b） 反力相等；水平 反力相等； A 图2-24 三铰拱与代梁 取拱顶铰以左部分为隔离体，由 ∑ M C = 0反力与拱轴线形 状无关。 状无关。荷载与 0 FAy l1 − ∑ FP i ( l1 − ai ) M C FA H = FB H = = 跨度一定时， 跨度一定时，水 f↘ ⇔ FH ↗ f f 平推力与矢高成 0 M 0 0 FAy = FAy , FBy = FBy , FH = C 反比。
5.9
3.74
（c）FN图(kN) 图2-27 例题2-9图
2. 4 三铰拱受力分析
2. 4. 4 合理拱轴线
使拱在给定荷载下只产生轴力的拱轴线， 使拱在给定荷载下只产生轴力的拱轴线，称为与该荷载 对应的合理拱轴 合理拱轴（ 对应的合理拱轴（reasonable axis of arch）。 ） 只受压力（ 当拱轴线为合理拱轴时，拱截面上只受压力 当拱轴线为合理拱轴时，拱截面上只受压力（弯矩和剪 力均为零），因此截面应力均匀分布，材料能充分发挥作 力均为零） 因此截面应力均匀分布， 用。 对给定竖向荷载作用的三铰等高拱 给定竖向荷载作用的三铰等高拱 等高
4f 4× 4 y3 = 2 x ( l − x ) = 2 × 3 × (12 − 3) = 3 m l 12 dy 4f 4× 4 tan ϕ3 = = 2 ( l − 2 x ) = 2 × (12 − 2 × 3) = 0.667 dx l 12 ϕ3 = 33.7o , sin ϕ = 0.555, cos ϕ = 0.832
内力计算： 轴方向分拱跨为12等份 等份， （ 2 ） 内力计算 ： 沿 x 轴方向分拱跨为 等份 ， 以 x=3m截 截 面为例
2. 4 三铰拱受力分析
1kN/m y E FA H=4.5kN A FAy=4kN x 3m B 3m 3m 12m （a） 3m FBy=10kN C 6kN•m 4m D FB H=4.5kN 8kN
C FPn B
K FQK n
FP1 FP2 （c） A K FP1 FP2 （d）
FPi
0 FQ K = FQ K cos ϕ K − FH sin ϕ K
0 FN K = ( FAy − ∑ FP i ) sin ϕ K + FH cos ϕ K = FQ K sin ϕ K + FH cos ϕ K