大学物理B第四章振动

两矢量同向重合时：
A2 2
合振动振幅A极大；
A1 1
两矢量反向重合时：
O
x
合振动振幅A极小。
拍：合振动的振幅时强时弱的现象
9
拍现象
10
2
1
A2
O
A1
A2比A1每多转一周
合振动出现一次最强
2T 1T 2π
拍的周期 T 2π
2 1
拍的频率(简称拍频)
2 1
2π
2 1
11
从解析式来分析：
A3
3
x2 A2 cos t 2 x3 A3 cos t 3
x Acos t
A
A1
A
A2
A1 1
A2 2
An
特例:
An
A
A2 A1
A1 A2
An
A
封闭多边形: Amin 0
直线: Amax A1 A2 An6
例11: 两个同方向的简谐运动曲线(如图所示),
t
A2
A
x
A1
7
例12: 两个同方向、同频率的简谐运动,其合振动的
振幅为20cm,与第一个振动的相位差为 1 π 6 .若第
一个振动的振幅为 10 3 cm .则(1)第二个振动的振幅为多 少？(2) 两简谐运动的相位差为多少？
解：A2 A2 A12 2AA1 cos π 6
202 10
A A1 A2
x x1 x2
x Acos( t )
A1、A2、A一起以 转动，
保持相对静止。
A
A2
A1
2
1
x2 x1
x
x
(2 1)
结论：一个质点参与两个在同一直线上频率相同
的简谐运动，其合成运动仍为简谐运动。
2
A2 A12 A22 2 A1A2 cos
A12 A22 2 A1A2 cos2 1
2
3 2 2010
3 cos π 6 10 cm
A A2
sin sin π 6
A
A2
sin A sin π 20 sin π 1 π 6
A2 6 10 6
A1
π
2
2
1
π
π 2
8
2、同方向不同频率两简谐运动的合成 拍
动和设（A2，两同2A>2方相向1对），于。角A它频1的们率转所分动对别角应为速的度旋1和为转: 矢2的量2两分简别1谐为运A1
(2k 1) π
Amax A1 A2
Amin A1 A2
(k 0,1,2 )
A
1
O
A A A
1
2
A
2
x
A
1
O
A A A
x
1
2
A
2
注：常采用矢量合成来处理振动合成的问题。 4
同方向同频率振动合成
5
多个同一直线上、同频率简谐运动的合成——多边形法
则 x1 A1 cos t 1
§4-2 简谐运动的合成和分解
4-2-1 简谐运动的合成
1. 两个同方向、同频率的简谐运动的合成
某一质点在直线上同时参与两个独立的同频率 的简谐运动，其振动表达式分别表示为：
x1 A1 cos( t 1) x2 A2 cos( t 2 )
1
x1 A1 cos( t 1) x2 A2 cos( t 2 )
设 : A1 A2 A
1
wk.baidu.com
2
x1 Acos(1t )
x2 Acos(2t )
x x1 x2 Acos(1t ) Acos(2t )
2Acos 2
1
t
cos(
2
1
t
)
2
2
振幅随时间变化
振动项
12
1,2均很大， 但彼此相差很小，
当 2 1 2 1
振幅 2Acos(2 1 随t) 时间缓慢变化
22
fr
1 )
结论：两相互垂直同频率简谐运动的合成，其振动轨
迹为一椭圆(又称“椭圆运动”)。椭圆轨迹的形状取
决于振幅和相位差。
15
利萨如图 相互垂直的简谐运动的合成
两个互相垂直、不同频率的简谐运动合成时，如果它们 的频率之比为整数时，会产生的稳定的封闭曲线，其形状 与频率比和相位差有关，这种图形叫做利萨如图。
y方向的简谐运动
14
相互垂直的同频率简谐运动的合成
y
x A1 cos( t 1) y A2 cos(ωt 2)
x A1
cos t cos
1 sin t sin
1
x
y A2
cos t cos
2 sin t sin 2
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin
2 (2
级数的余弦项表示为：
O
t
x
f (t) A0 An cos(nt n ) O n1
t
：主频
O
t
O
t
O
t
n ：n 次谐频
O
t
20
频 谱 分 析
21
§4-3 阻尼振动、受迫振动和共振
4-3-1 阻尼振动
阻尼振动：振动系统在回复力和阻力作用下发 生的减幅振动。
F
v
dx dt
γ ：阻尼系数
Lissajous
1822-1880
16
在李萨如图形中：
= 曲线与平行于x轴的直线的切点数
曲线与平行于y轴的直线的切点数
两简谐运动 的频率比
其中频率为1:1 的李萨如图为 椭圆,在一定的 相位差条件下, 退化为一直线.
17
相互垂直的简谐运动的合成
利 萨 如 图 形
18
4-2-2 简谐运动的分解
(1) 求合振动的振幅; (2) 求合振动的振动方程。
x
A1 x1(t)
解: (1) A1 cos1 0
1
π 2
1
π 2
O
A2
x2 (t)
A2
cos2
0
2
π 2
2
π 2
π A A A
2
1
2
1
(2) 2π 由矢量图: π
T
2
2π π
x A A cos( t )
2
1
T2
T
A A12 A22 2 A1A2 cos tan y A1 sin 1 A2 sin 2
x A1 cos1 A2 cos2
A
A2
A1
的具体象限要根据
确定。1 , 2
3
讨论 合振动的强弱与两分振动相位差的关系
A A12 A22 2 A1A2 cos(2 1)
2k π
2 1
两个频率比为1:2的简谐运动的合成
x x1 x2 A1 cost A2 cos 2t
x
x
x1
x2 T
如果将一系列角频率是
某个基本角频率ω（亦
称主频）的整数倍的简
2T
谐运动叠加，则其合振
t 动仍然是以ω为角频率
的周期性振动，但一般
不再是简谐运动。
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一个以ω为频率的周期
x
性函数 f (t)，可以用傅里叶
2
谐振因子 cos(2 1 t 快) 速变化
2
第一项缓慢变化，第二项快速变化：“拍(beat)”
调制
拍现象的应用：
➢ 用音叉振动校准乐器 ➢ 测定超声波
➢ 测定无线电频率
➢ 调制高频振荡的振幅和频率
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3. 相互垂直的简谐运动的合成
x A1 cos( t 1)
x方向的简谐运动
y A2 cos( t 2)