复数的概念 人教版

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复数的概念
【学习目标】
1．理解复数的概念．
2．掌握一个复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件．
3．掌握复数相等的概念及其应用，了解不全是实数的两个复数不能比较大小． 【学习障碍】
1．对虚数单位i 的理解不深导致概念理解不透． 2．应用复数概念时，没有掌握好数集的结构．
3．应用复数相等，联立方程组求解变量时，没有注意变量的取值范围、取舍等问题． 【学习策略】
1．在处理复数有关判断问题时，通常采用特例法，帮助理解复数概念．
2．在应用复数相等的条件时，思维过程要严密，要保证实部、虚部有意义，充分掌握好数集结构． 对于复数f (m )＋g (m )i 有如下判断： (1)表示实数：g (m )＝0
(2)表示纯虚数：f (m )＝0且g (m )≠０ (3)虚数：g (m )≠０
3、要注意变量取值范围，比如：对数式中应真数大于0；分式分母不为0；无理式中开偶次方根的被开方数大于等于0．
【例题分析】
［例1］判断各式的对错． (1)若z ∈C ，则z 2≥0 (2)若a >b ，则a ＋i >b ＋i
(3)若z 1，z 2∈C ，且z 1－z 2>0，则z 1>z 2
分析：虚数与实数的一个重要区别：虚数不能比较大小，因此，不等式的性质在复数集中部分不适用． 方法：特例法——除解决复数问题，在解决不等式、三角函数等有关问题，也常采用特例法． 解：(1)z 2≥0，当且仅当z ∈R 时成立．如设z ＝i ，则z 2＝－1<0，故(1)错 (2)因a >b ，故a 、b ∈R ，故a ＋i 与b ＋i 都是虚数，不能比较大小，故(2)错
(3)反例：设z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋2i ，满足z 1－z 2>0，但z 1，z 2不能比较大小，故(3)错 ［例2］已知复数z ＝(1＋i )m 2＋(5－2i )m ＋6－15i ，实数m 分别为何值时， ①z 是实数；②z 是虚数；③z 是纯虚数 分析：本题直接考查数集的分类：
复数a ＋bi (a ，b ∈R )⎪⎩
⎪⎨
⎧⎩⎨⎧≠=≠=非纯虚数
纯虚数虚数实数
0 0 0 0a a b b 在判断一个复数类型时，首先一定要分清所给复数的实部和虚部．
方法：如学习策略2，联立方程组或不等式组． 解：z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i
∵m ∈R ，∴z 的实部m 2＋5m ＋6，虚部m 2－2m －15
(1)由m 2－2m －15＝0(m ∈R )∴m ＝5或m ＝－3，∴当m ＝5或m ＝－3时，z 为实数 (2)由m 2－2m －15≠0(m ∈R )∴m ≠5且m ≠－3， ∴当m ≠5且m ≠－3时，z 为虚数
2
(3)由⎪⎩⎪⎨⎧=++≠--0
65015222m m m m
∴m ＝－2，∴当m ＝－2时，z 是纯虚数
［例3］求适合下式的实数x ，y 的值：x 2＋(1＋i )xy ＋(y 2－40)i ＝24．
分析：本题涉及到的新知识是复数相等的充要条件，也是解法的依据，把问题化归为解二元方程组． 方法：变形化为a ＋bi ＝c ＋di 转化方程组⎩⎨
⎧==d
b c
a (其中a ，
b ，
c ，
d ∈R )
解：已知条件变形为(x 2＋xy )＋(xy ＋y 2)i ＝24＋40i 由两个复数相等的条件，得
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+40
242
2y xy xy x ①＋②得(x ＋y )2＝64∴x ＋y ＝±8
当x ＋y ＝8时，x ＝8－y 代入①得x ＝3，y ＝5 当x ＋y ＝－8时，解得x ＝－3，y ＝－5
∴所求的x ，y 的值为⎩
⎨
⎧-=-=⎩⎨⎧==53
,53y x y x 点评：解题时，应注意：一是题中x ，y 均为实数，二是复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等．本
题体现了转化的数学思想．
变形：已知复数lg(x 2－3)＋(x 2－2x )i ＝lg2x ＋3i ，求实数x 的值．
分析：在这里利用复数相等将问题转化成实数方程组，但容易忽视变量的取值范围． 解：由复数相等的条件得：
⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⎪⎩⎪⎨⎧=-=-3
223322lg )3lg(22
2
2x x x
x x x x x 即 解得x ＝－1或x ＝3．又⎩⎨⎧>>-0
2032x x 解得x ＞3
∴x 的值为3．
点评：在解恒等式时，不能忽视对数式、三角函数式、分式、无理式等变量的取值范围，注意转化的等价性．
【同步达纲练习】 一、选择题
1．设C ＝{复数}，R ＝{实数}，M ＝{纯虚数}，则有下列四个结论，其中结论正确的有( )
①M ∪R ＝C ②
C M ∪R ＝C
③C ∩
CR ＝M
④C ∩
C M ＝R
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．a ＝0是复数z ＝a ＋bi (ab ∈R )为纯虚数的( )条件( ) A ．充分但不必要 B ．必要但不充分 C ．充要
D ．既不充分又不必要 3．复数(m 2－m )＋(m 3－2m 2－m ＋2)i 是纯虚数，则实数m 的值是( ) A ．1 B ．0或1 C ．0
D ．－1，1，2
①
②
3
4．已知集合M ＝{1、2、(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i }，N ＝{－1、3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为( ) A ．－1或6 B ．－1或4 C ．－1 D ．4 5．已知实数a 、x 、y 满足a 2＋(2＋i )a ＋2xy ＋(x －y )i ＝0，则点(x ，y )的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆心在原点的圆 C ．圆心不在原点的圆 D ．椭圆 二、判断下列各题是否正确
1．虚数单位i 是一个数，且i 2＝－1( ) 2．复数集与虚数集是同一个集合( ) 3．1＋3i ＜3＋4i ( )
4．设复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i (a 1，b 1，a 2，b 2∈R )，则z 1≠z 2⇔a 1≠a 2且b 1≠b 2( ) 三、填空题
1．复数z ＝(m 2＋1)－(m －2)i 的实部与虚部相等，则实数m ＝___________． 2．若
21x ＋y ＋(5x ＋3
2
y )i ＝－4＋16i (x ，y ∈R )，则x ＝___________y ＝________． 四、解答题 设m ∈R ，复数z ＝
3
)
2(++m m m ＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z 是实数 (2)z 是虚数 (3)z 是纯虚数
探索：使复数z ＝n 2
－n －6＋4
15
22
2--+n n n i 为纯虚数的实数n 是否存在？若存在，求出n 值；若不存在，说明理由．
参考答案
【同步达纲练习】 一、 1．A
2．B 3．C 4．C 5．C
二、 1．√
2．×
3．× 4．×
三、
1．m ＝
2
5
1±-
2．x ＝4，y ＝－6
四、(1)m ＝1 (2)m ≠－3且m ≠1 (3)m ＝0或m ＝－2 探索性：不存在。