静力学经典例题

F
A
图2
3
3.如图3所示，三个完全 一样的小球，重量均为 G，半径为 R＝10cm， 匀质木板AB长为 l=100cm，重量为2G， 板端A用光滑铰链固定在 墙壁上，板B端用水平细 线BC拉住，设各接触处 均无摩擦，试求水平细 线中的张力.
C
30° B A
图3
4
4.如图4所示，一长为
L的轻梯靠在墙上，梯

50cm

5R
A
3G
T
C板
E• D• •
NAx N 2G
B
图3
16
AE 3R ED 3R
AD ( 3 3)R
2
2
NAy
T
C板
E• D• •
B
AC板 5R
A NAx N 2G
对A轴有
图3
N AD 2G AC板 cos30 T ABsin 30 可解得 T 2 (3 4 3)G
所以
n 2 3 1 32 3 1
3 cos
33
25
n 2 3 1 32 3 1
3 cos
33
O3
O•
O2 r r O1
故 R nr (32 3 1)r 0.68r 33
图1
又为使第4个球不至于从下面三个球中间掉下，因此须
R

OO1

r

(2 3 3
1)r
6
6. 半径为r，质量为m 的三个相同的球放在水 平桌面上，两两相互接触，用一个高为1.5r 的 圆柱形圆筒（上下均无底）将此三个球套在筒 内，圆筒的半径取适当的值，使得各球间以及 球与圆筒壁之间均保持无形变接触. 现取一质量 也为m、半径为R的第四个球，放在三球的上 方正中，设第四个球的表面、圆筒的内壁表面 均由相同的材料构成，其相互之间的最大静摩
点就是A点.α角不大于最大摩擦角 m
F
A
O2R2C
α
α R1
O1
θ R1
B
D
G2 图1 G1
即有 m tan 1
(3)由于小圆柱受力平衡，所以它所受的三个
力作用：重力G2，大圆柱对它的作用力R1，
地面对它的作用力R2必组成一个闭合三角形.
13
m tan 1
与竖直墙壁的夹角为θ
，梯与地面，梯与墙 B 壁之间的摩擦系数都 θ
是μ，一重为G的人沿 梯而上，问这人离梯 下端的距离d最大是多
A
图4
少时梯仍能保持平衡
？ 5
5.如图5所示，一长为l重为
W0的均匀水平杆AB的A端 C
顶在竖直粗糙的墙壁上，杆
端与墙壁的静摩擦系数为μ A
θ
B
，B端用一强度足够而不可
图5
2
所以
于是据(1)式可得
ra 2
E C Aθ B DF
βN r
O
图1
以速度v持牵绳奔跑，风筝单位面积可受空气作用力垂直于风筝表
面，量值为p＝kvsin，k=8N·s/m3,为风筝平面与水平面的夹角，
风筝表面为光滑平面，各处所受空气作用力近似认为相等，取g=
10m/s2，放飞场地为足够大的水平地面，试求： A a
(1)放风筝者至少应以多大的速度持牵绳奔跑
DB
，风筝才能作水平飞行？这时风筝面与水平 面的夹角应为何值？假设通过调整绑绳长度 O
O1 N1 E
A
x O2 D
3G
30° B
图1
B
图2
15
N 2 3G , x R
N
B
2
AB板受力情况如图3所示，
O1 N1
x O2 D
AE R cot 30 3R
E
图2
A
ED 2R x 3R
2 AD AE ED (
3 3)R NAy
2
AC板＝
1 2
AB
再以4个球为整体作为研究对象，有
图2
3F1 4mg (6)

23
F1 N1 (1) F2 N2 (2) F1 F2 (3)
N2 L mgr N1L (4)
A
N2r sin mgr F2 (r r cos ) (5)
L
3F1 4mg (6)
由(3)、(5)、(6)式可得
可使风筝面与水平面成任意角度 . (2)若放 风筝者持牵绳奔跑速度为v=3m/s，调整绑 绳CO的长度等于b，为使风筝能水平稳定飞 行，AO与BO的长度应等于多少？
b
α
C
●
图8
M′
10
10. 有一半径为R的圆柱体A，静
止在水平地面上，并与竖直墙壁 相接触，现有另一质量与A相同 、半径为r的较细圆柱体B，用手 扶着圆柱A，将B放在A的上面， 并使之与竖直墙壁接触，如图10 所示，然后放手.已知圆柱A与地 面的摩擦系数为0.20，两圆柱之 间的静摩擦系数为0.30，若放手
擦因数为μ ，问R取何值时，用手轻轻竖直向
上提起圆筒即能将四个球也一起提起来？
7
7. 如图6所示，边长为a的均匀立方体对
称地放在一个半径为r的半圆柱面顶部，
假设静摩擦力足够大，足以阻止立方体
下滑，试证明这立方体稳定平衡的条件
是:
r
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a
2
图6
8
8. 如图7所示，质量一样的两个小木块由一根 不可伸长的轻绳相连放在倾角为的斜面上， 两木块与斜面之间的静摩擦系数分别为1和2 ，且1>2 , tan＝ 12 ，求绳子与斜面上最 大倾斜线AB之间的夹角应满足什么条件，两 木块才能在斜面保持静止？

C
m
RA
D m
d A
G
图2
19
例5 解：(1)AB杆受力情况如图
所示，三力的作用线必相交于BC 绳上的一点O.
因为W0的作用点O1是AB的中 点，故必有 ，而A端不滑动 的条件是
C
O
R

A
O1
T
θ
B
W0 图1
tan tan m 即 tan
(2)杆平衡时，再在AB间挂上重物W，静摩擦角 必 发生变化，若W挂在O1点与B点之间，W+W0的作用 点在O1点的右侧，此时 角减少，平衡不会受破坏.
2A
B C 图1
1 0.52 1 3 (m)
G
2
AD 2OD 2 OB 2 BD 2
2 3 1 7 (m) 4
12
例2 解：系统的受力情况如图所示.
(1)由于小圆柱既不滑动，也不滚动， 而大圆柱在小圆柱上作无滑滚动，故 B、C两处都必定有静摩擦力作用. (2)大圆柱刚离开地面时，它受三个 力作用：拉力F，重力G1，小圆柱对 它的作用力R1.由于这三个力平衡， 所以它们的作用线必相交于一点,这
L
F1 N1 (1)
F2
L
F2 N2 (2)
否则上、下球之间及球与筒壁之间会
O4 R
Cr
N2θ
发生相对滑动.
O O1
F1
θ N1
B
以球1为研究对象，取O1为轴，由力 矩平衡条件易得
F1 F2 (3)
mg
图2
22
F1 N1 (1) F2 N2 (2) F1 F2 (3)
20
若重物W挂在A点与O1点之间， C

则W+W0的作用点P在O1的左侧，
O
增大 . 当 m 时， 平衡就被 破坏.
当W>>W0时，W+W0≈W，这 时W+W0的作用点P可以认为就是 W的作用点 .要使杆仍能保持平衡
R

A
O1
T
θ
B
W0 图1
C O2
，必须满足
R
T
tan tan m
α
α R1
O1
θ R1
B
D
G2 图1 G1
R2
α R1θ
G2 图2
14
例3 解：首先，把三个球为整体作 C
为研究对象，其受力情况如图2所
示,三力作用线必共点.
由平衡条件得
A
N cos30 3G
N sin 30 N1
N
对O2轴：
N1 2Rsin 30 Nx
由以上三式可解得
N 2 3G , x R 2
奥赛典型例题 分析(静力学)
1
静力学
1.如图1所示，长为 2m的匀质杆AB的A 端用细线AD拉住， 固定于墙上D处，杆 的B端搁于光滑墙壁 A 上，DB＝1m，若杆 能平衡，试求细线 AD的长度.
D B 图1
2
2.如图2所示，放在水平 地面上的两个圆柱体相互 接触，大、小圆柱的半径 分别为R和r，大圆柱体 上缠有绳子，现通过绳子 对大圆柱体施加一水平力 F，设各接触处的静摩擦 因数都是μ，为使大圆柱 体能翻过小圆柱体，问μ 应满足什么条件？

0.15r
结合上面两式可知第4个球的半径必须满足下式
( 2 3 1)r R (32 3 1)r
3
33
26
例7 解：方法1（回复力矩法）
E
C
如图1所示，当立方体偏离一个很小
Aθ
的角度β时，它沿圆柱体无滑滚动地
B DF
使接触点从B移到D，如图可见
βN
BD r
因为 BD AD
AD a tan a
5
17
例4 解：平衡时，梯与人组成的系统的
受力情况如图2所示 .三力的作用线必相 交于一点C，而且RA，RB与法线的夹角 必不大于最大静摩擦角m .
临界平衡时，在∆BCD和∆ACD中 利用正弦定理可得
sin CBD sin BCD
CD
BD
sin CAD sin ACD
CD
AD
B
θ
如图2所示，同样应该有
m tan 1 由图2 知 所以由上面三式得 m tan 1
由图1得 BD 2 (R r 2 )2 (R r)2 4Rr
所以 tan BD 4Rr r
AD 2R R
于是 r
R
F
A
O2R2C
F2 4sin
N2 1 4 cos
再结合(2)式可得
4sin 1 4 cos



F2 O4 R
Cr
N2θ O O1
L
F1
θ N1
B
3
mg
图2
15
两边平方，整理后可得
128cos2 24cos 77 0
24
4sin 3
A
1 4 cos
15
L
128cos2 24cos 77 0
F2
L
O4 R
由此可解得
Cr
F1
cos 11 （另一解 cos 7 舍去） O
N2θ O1
θ N1
B
16
8
设 R＝nr ,由图2的几何关系可得
mg
23
图2
cos OO1
3
r
23
O1O4 (1 n)r 3(1 n)
以图2中的A为轴，可得
N2L mgr N1L (4)
由此式易知，N1 > N2 ,所以只要(2) 式得到满足，(1)式就自然得到满足.
又以图2中的B为轴，可得
A
L
F2 O4 R
Cr
N2θ O O1
L
F1
θ N1
B
N2r sin mgr F2 (r r cos ) (5)
mg
A 图1
B
RB
m

C
m
RA
D m
d A
G
图2
18
即 sin( 90 m ) sin( 90 m )
CD
BD
sin( m ) sin m
CD
AD
又 tan m
由以上三式可解得
AD d max
l 1 2
( cot )
B
RB
m
伸长的绳子悬挂，绳的另一 端固定在墙壁的
C点，绳与杆的夹角为θ，(1)求能保持平衡时
，μ与θ满足的条件；(2)杆平衡时，杆上有一
点P存在，若在A点与P点间任一点悬挂一重
物，则当重物的重量W足够大时总可以使平
衡破坏，而在P点与B点之间任一点悬挂任意
重的重物，都不可能使平衡破坏，求出这一P
点与A点的距离.
故
2
r
a
2 (1)
r
O
图1
2
显然，当重心C在过D点的竖直线的左方时，重力矩
会使立方体恢复到原来位置.此时应有 AED
因为 NDO (平行线内错角相等)
NDF ADE (对顶角相等)
EAD ODF 90
所以 AED NDO
27
r a (1) AED NDO
后两圆柱能保持图示的平衡，问 圆柱B与墙壁的静摩擦系数和圆 柱B的半径r的值各应满足什么条 件？
B A
图10
11
例1 解：以杆为研究对象，作出其受力图（如图）.
由于杆处于平衡状态，所以它所受的三
D
个力的作用线必相交于AD线上的同一
点O.
NO
1m
由几何关系得
T
OB BC 2 OC 2 BC 2 ( BD )2
A
●1
● 2
B

图7
9
9. 长方形风筝如图8所示，其宽度a＝40cm,长度b＝40cm,质量M
＝200g（其中包括以细绳吊挂的纸球“尾巴”的质量M′＝20g，
纸球可当作质点），AO、BO、CO为三根绑绳，AO=BO，C为底
边的中点，绑绳以及放风筝的牵绳均不可伸缩，质量不计，放风
筝时，设地面的风速为零，牵绳保持水平拉紧状态，且放风筝者

AP
θ
B
由图2可见
图2
tan O2 P (l AP) tan
AP
AP
由以上两式可解得 AP
l
1 cot
W+W0≈W
21
例6 解：由图1可见，
O3
OO1

23 3
r
图2为球1的受力图.
O•
O2 r r O1
当竖直向上提起圆筒时，能把4个球
图1 A
一起提起，下面两式应得到满足