含参量积分汇总

第十九章含参量积分

一.填空题

1.若在矩形区域上_________,则

2.含参量反常积分

在____________上一致收敛.

3.设在上连续,若含参量反常积分

在上___________,则在上连续.

4.

5.在中如令, 则

6. 对于任何正实数函数与B函数之间的关系为

7. 在上不一致收敛是指______________.

8.

9. 设, 则

10. 利用函数定义,

二.证明题

1. 证明在上一致收敛.

2. 证明在上一致收敛.

3.证明若函数在连续, 则, 有

4.证明在上非一致收敛.

5.证明

6.证明在上一致收敛.

7. 证明在上不一致收敛.

8. 证明

9. 证明

10. 证明在R上连续.

计算题1. 求

2. 求

3.设. 求

4. 求

5.用函数与B函数求积分

6.用函数与B函数求积分

7.求积分

8.从等式出发, 计算积分

9.设. 求

10.求

填空题答案 1. 连续. 2. R 3. 一致收敛. 4.

5..

6. .

7. , 有

8. 1 9. . 10. .

证明题答案: 1. 证明: , 有

, 而收敛, 则

在上一致收敛.

2. 证: , 有,

而, 则

在上一致收敛.

3证: 已知在连续, 使.

设, 有

于是,

4.证: , 有

. 即在上非一致收敛.

5.证: 设有

.

6.证: 由于反常积分收敛,函数对每个单调, 且对任何, 都有. 故由阿贝耳判别法可知

在上一致收敛.

7. 证: 因在处不连续, 而在

内连续, 由连续性定理知, 在上不一致收敛.

8. 证: 令, 则.

9. 证: 令则,

.

10. 证：

利用含参量积分所确定函数连续性定理可得在R上连续, 则

在R上连续. ( 这里利用了).

计算题答案：1.解: 因为, 所以. 由于函数在

上连续, 则.

2. 解: 因为, 所以

. 由于及反常积分收敛,由M判别法在上一致收敛. 由于在上连续, 于是

.

3.解: 使.

二元函数与在区域

连续, 由含参量正常积分可微性知

4.解: 考虑函数

, 有. 从而二元函数在

连续. 由连续性定理, 取, 有

.

5.解: 设有

.

6.解: 令则.

原积分

.

7.解:

.

8.解; 当时, , 而收敛, 故

在上一致收敛. 又在内连续, 所以

.

9. 解: . 在

上连续, 均为可微函数. 则

在上可微, 且

.

10.解: 记. 由于都是的连续函数,

则在处连续, 所以

第十九章含参量积分

1.设, 其中关于的偏导数存在且连续, 求.

2.设, 可导, 求.

3.计算积分

.

4.设试证

5.讨论函数

的连续性, 其中为闭区间上正的连续函数.

6.计算积分

.

7.设是连续函数,

求.

8.讨论含参量反常积分

在下列区间上的一致收敛性: (1) ; (2) .

9.若在内可积, 证明

.

10.讨论下列含参量积分在指定区间内的一致收敛性:

(1);

(2);

(3);

(4).

11.若(1) 函数在内可积; (2) 函数定义在上, 对

,关于单调, 且一致有界, 则

关于在上一致收敛.

12.计算积分

.