数学建模 DVD租赁在线租赁问题

DVD 租赁问题摘要我们通过分析题目可知，在租赁过程中，网络经营者主要关注DVD 的购买和分配。

根据题目所提出的要求，本文针对在线DVD 租赁问题中的订购、分配等问题进行了研究，建立了DVD 的购买和分配0-1规划模型，给出了该问题的优化方案。

问题一：通过对调查问卷的整理分析，我们得到了1000个会员对于其中5种DVD 愿意观看的频数。

因此我们认为愿意观看各种DVD 的人数服从二项分布，从而计算出在多种可靠度下应该购买DVD 的数量，见表一。

问题二：题目要求如何进行分配，使会员获得最大满意度。

所以我们以会员的标准最大满意度∑∑==⨯1000110011000116i j ijij bx 为目标函数，建立一个0—1规划模型，得到分配方案，并使用软件LINGO 编程求解。

得到最大满意度89.13%，和前30位会员的分配方案（见表五）。

问题三：我们以会员的最大满意度和网站的最小购买量建立双目标函数。

考虑到60%的会员在一个月内由于两次租赁，而致使一部分DVD 可被重复利用，因而，我们采用了分两个阶段购买的方案，在每个购买阶段都建立了双目标整数规划模型，利用lingo 求得应购买3066张。

从而使实际购买量比网站原来的拥有量小，并且使会员的满意度达到了99.38%。

问题四：我们对新出的DVD 进行市场需求预测；利用市场预测选取购买方案，最后按会员在线的订单进行合理分配。

在这个过程中，我们追求获得最大收益。

因而一方面减少购买DVD 所需的成本，另一方面最大化满足各会员的需求。

关键词： 二项分布、0-1规划、双目标规划、满意度一、问题重述许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。

音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。

这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核，为顾客提供更为周到的服务。

顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。

会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。

网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。

每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。

会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。

请考虑以下问题：1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数。

此外，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。

假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员分别获得哪些DVD。

3）假设表2中DVD的现有数量全部为0。

经营管理人员应如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。

二、模型假设1、忽略DVD租赁过程中的磨损；2、假设以一个月为一个周期，考虑在一个周期内DVD的租赁情况；3、假设一个会员在一个月内租赁到想看的DVD的时间不影响其满意度；4、假设会员只有将第一次租赁的DVD返还网站才能进行第二次租赁；5、假设一个周期结束，所有的DVD全部归还网站，不影响下一个周期的租赁；6、假设每一个会员同一种DVD只租赁一次。

三、符号说明n：购买j种DVD光盘的数量jp：租赁j种DVD光盘的频率jx：第i人是否租赁j种DVD光盘ijb：第i人是否租赁到j种DVD光盘的满意度ijij β：第i 人对j 种光碟的偏爱程度四、问题分析题目中主要研究的是：网站对DVD 的购买和分配问题，因此我们通过预测，建立模型，最后求解可以帮助网站进行合理购买以及对DVD 的分配方案。

使得会员得到最大的满意度。

问题一：该网站会员中至少50%的人在一个月内能够看到该DVD ，为了尽可能使商家购入少的DVD 以满足需求，本文先假设在一个周期内网站内的会员对光碟都进行一次性租赁，根据可靠度的不同，求出各个可靠度下的结果。

然后再根据有60%的会员每月租赁DVD 两次，将所得结果按一定比例减小。

问题二：这是一个最优分配的问题。

根据各个会员的偏爱程度不同，网站对DVD 进行分配，建立以满意度为目标的函数，在DVD 数量一定的前提下，使其合理的分配，使目标函数达到最大值。

问题三：问题三是一个多目标函数，有两个目标：要有95%的会员得到他想看的DVD ；满意度要达到最大。

我们以会员的最大满意度和网站的最小购买量建立双目标函数。

同样利用软件LINGO 进行求解。

问题四：题目要求我们自己提出问题并给与解答。

所以我们关注对新出DVD 的购买与分配。

五、模型建立与求解问题一：针对问题一我们建立如下模型并求解。

通过题目中的表二我们可以都得到会员租赁5种DVD 的概率。

设随机变量⎩⎨⎧=，种个会员不租赁第表示第种个会员租赁第表示第DVD 0DVD,1j i j i ij ξ其中i=1,2,…,100000,显然随机变量ij ξ服从两点分布，即j ij p p ==}1{ξ , j ij p p -==1}0{ξ，其中j p 通过上表一得到。

设随机变量,5....,2,1,000,1001==∑=j i ijj ξη即j η表示100000个会员中租赁第i 张DVD 的总数，由于会员之间是否租赁该张DVD 是相互独立的，因而),,000,100(~j j p B η如果网站准备了)%50(j E η张DVD 是有数的，则满足至少50%的会员看到该DVD 的概率是{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=≤)%50()%50()%50()%50()%50(%50)%50(%50j j j j j j j j D E E D E P E P ηηηηηηηη=()2100)%50()%50(%50=Φ≈⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-j j j D E P ηηη其中约等式是由中心极限定理得到。

为了提高至少满足50%的人看到该片的可靠度（即概率），我们需要改变提供的数量。

设可以保证至少50%的人看到该片的可靠度为99%，即%99)(=Φt ，由此可以得到t=2.33,则)1.(000,1033.2000,50)%50(33.2)%50(%50j j j j j j p p p D E -+=+≤ηηη同时，由于60%的会员每个月会租赁DVD 两次，40%的会员每个月会租赁DVD 一次，所以租赁两次的会员会将第一次租赁的DVD 归还，这样就可以满足其他会员租赁的要求，但是因为该张DVD 是被会员第一次租赁，还是被会员第二次租赁的情况是随机的。

我们假设这两种情况是等可能的，所以该张DVD 被再次利用的期望值为：%30021%6021=⨯+⨯ 由此我们可以得出：只需要准备所需量的70%就可以满足题目中的要求。

综上所述，我们以99%的可靠度满足可少50%的租赁会员能够看到某种DVD 所需要准备的该种DVD 的数量为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⨯+⨯)1(000,1002133.2000,50%70j j j p p p代入相关数据，我们可以得到保证至少50%的人在一个月内看到该种DVD ，网站需要准备该DVD 的张数。

我们还计算了在可靠度为50%的情况下，网站需要准备DVD 的张数。

共同结果如下表三。

为了保证在三个月内使得95%的会员看到其所想要租赁的DVD ，只需要提供一个月内使得95%的会员看到其想要租赁的DVD 的总量的31，因为每个月为一个周期，所以3个月内DVD 的流通量相当于一个月内DVD 流通了三个周期的量。

因而以99%的可靠度使得三个月内95%的会员看得到该DVD ，网站应准备的张数为[])1(000,10095.033.2%95000,100%7031j j j p p p -⋅⨯+⋅⨯⨯⨯带入相关数据，可以得到保证这少95%的会员三个月内看到该DVD ，网站需要准备该DVD 的张数。

同样我们还计算了在可靠度为50%的情况下，网站需要准备DVD 的张数。

共同结果如下表四。

问题二：本问题要求如何把网站手上现有的100张DVD ，和在线的1000为会员的需求进行合理的分配，以达到每位会员的最大满意度。

因为我们要求的是最优化问题所以我们使用LINGO ，通过分析我们建立如下模型：设：则对会员的分配矩阵为，种个会员没有分到第表示第，种个会员分到了第表示第⎩⎨⎧=DVD 0DVD 1j i j i x ij ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100021100,1000100,2100,12,10002,22,11,10001,21,1X X X x x x x x x x x x X其中i X 为一维行向量，表示对第i 个会员的DVD 的分配情况。

设ij a 表示第i 个会员对第j 张DVD 的偏爱程度，由于ij a 的数字越大，表示其偏爱程度越小，同时会员得到该DVD 的满意度越小，因而我们定义第i 个会员分配到第j 张DVD 的满意度为ij b 则⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1ijij ij ij a a a b则会员的满意度矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100021100,1000100,2100,12,10002,22,11,10001,21,1B B B b b b b b b b b b B其中i B 为一维行向量，表示第i 个会员分配到各类DVD 的满意度。

因而，第i 个会员对该方案的满意度为：ij j ij T ii b x B X ⋅=⋅∑=1001当第i 个会员得到其偏爱度为1，2，3，的三张DVD 时，他是最满意的，其满意度为++21161131=，由此可以得到第i 个会员的标准化满意度为：.1000,...,2,1,11661161110011001=⋅=⋅=⋅∑∑==i b x b xB X j ij ij j ijijTi i 为了会员获得最大的满意度，可以是他们的满意度和达到最大，由此得到目标函数为：max∑∑==⋅⨯1001100011000116j ij iji b x在分配的过程中，每种DVD 分配给会员的总数不超过网站准备的总数，即100,...,2,1,10001=≤∑=j n xi j ij再一次分配中，每个会员获得3张DVD ；如果不够3张就视为分给该会员0张DVD ，即:∑==≤≤100011000,...,2,1,30i ij i x综合上述分析，可以得到该问题的模型为max∑∑==⋅⨯1001100011000116j ij iji b x..t s ..100,...,2,1,1000,...,2,1101000,...,2,1,30100,...,2,1,1000110001====≤≤=≤∑=∑=⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧j x i x j n x ij i ij i j ij 或 根据上述模型，我们使用LINGO 软件进行求解（附录1），结果如下：目标函数的最大值为89.13%; 会员所得光盘的张数和相对应的人数，以及比率见表五。