函数的单调性与曲线的凹凸性优秀课件
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函数的单调性与曲线的凹凸性29页PPT
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数的单调性与曲线的凹凸性
31、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数的单调性与曲线的凹凸性
31、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
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函数的单调性与曲线的凹凸性PPT课件
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
函数的单调性与曲线的凹凸性
第1页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
一、函数单调性的判别法
y
y f (x) B
f ( x) 0
A
y
A y f (x) f ( x) 0
B
Oa
bx
Oa
bx
定理6.8 设函数y = f (x)在[a, b]上连续, 在
f ( x) cos x 2 , f ( x) sin x 0,
f ( x)的图形是凸的.
又f
(0)
0,
f
(
)
0,
因此f
(x)
0, 即
2
sin x 2 x.
第23页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
二、曲线的拐点及其求法
1.定义
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的
几何上
y y x3
方法：须确定单调区间 、区间端点值（或单侧极限） ，从而判定根的个数以及根所在的区间。
解
令f (x) ex| x
f
'(x)
e x e x
1， 1,
2| x2 x2
e x
e
x
x2， x2,
x2 x2
x 0是导数为零的点，x 2是导数不存在的点，
第14页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
注 (1)驻点和导数不存在的点不一定是单调区间的分
界点。
y
y x3
如, y x3 , y x0 0,
但在(,)上 单调增加.
O
x
(2):区间内有限个点（或无穷多个离散点）导数为零, 不影响区间的单调性.
函数的单调性与曲线的凹凸性
第1页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
一、函数单调性的判别法
y
y f (x) B
f ( x) 0
A
y
A y f (x) f ( x) 0
B
Oa
bx
Oa
bx
定理6.8 设函数y = f (x)在[a, b]上连续, 在
f ( x) cos x 2 , f ( x) sin x 0,
f ( x)的图形是凸的.
又f
(0)
0,
f
(
)
0,
因此f
(x)
0, 即
2
sin x 2 x.
第23页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
二、曲线的拐点及其求法
1.定义
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的
几何上
y y x3
方法：须确定单调区间 、区间端点值（或单侧极限） ，从而判定根的个数以及根所在的区间。
解
令f (x) ex| x
f
'(x)
e x e x
1， 1,
2| x2 x2
e x
e
x
x2， x2,
x2 x2
x 0是导数为零的点，x 2是导数不存在的点，
第14页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
注 (1)驻点和导数不存在的点不一定是单调区间的分
界点。
y
y x3
如, y x3 , y x0 0,
但在(,)上 单调增加.
O
x
(2):区间内有限个点（或无穷多个离散点）导数为零, 不影响区间的单调性.
函数单调性与曲线凹凸性的判别法PPT课件
般方法: ⑴确定函数的定义域; ⑵求出函数的一阶导函数, 并求出函数的驻点及不可
导点;
⑶根据驻点和导数不存在的点, 划分区间, 注意到, 导函数在每一个区间内的符号不会改变, 从而有确定的
单调性.
第十六页，课件共有37页
应用: 证明不等式.
例5 证明当 x 0时, 有 ln x 1 x2 x.
-2
-1
-2
1
2
第三十页，课件共有37页
例8 设函数 f x 2x 5 3 x2 , 求曲线的凹凸区间.
解 当 x 0时,
f x 10 x 1, f x 10 2x 1,
3 3x
9 x3 x
当 x 1 时 f x 0, 而当 x 0时, 二阶导数不存
2
在, 从而将函数 f x的定义域划分成三个区间:
x2
y f x
f x1 f x2
2
o
x1
x x x1 x2
2
2
第二十五页，课件共有37页
如果函数 f x的图形在经过点 x0 , f x0 时改变了 上下凸性, 则称点 x0 , f x0 是曲线 y f x 的一个
拐点.
y
y f x
x0 , f x0
第十三页，课件共有37页
将函数的导数符号及单调性按三个区间列表如下:
f x 10 x 1, x 0
3 3x
x ,0 0
f x
f x
0
0,1 1 1,
0 3
第十四页，课件共有37页
y
2
单调下降
-1 -2 -4 -6 -8
-10
1
2
单调上升
第十五页，课件共有37页
x 3
导点;
⑶根据驻点和导数不存在的点, 划分区间, 注意到, 导函数在每一个区间内的符号不会改变, 从而有确定的
单调性.
第十六页，课件共有37页
应用: 证明不等式.
例5 证明当 x 0时, 有 ln x 1 x2 x.
-2
-1
-2
1
2
第三十页，课件共有37页
例8 设函数 f x 2x 5 3 x2 , 求曲线的凹凸区间.
解 当 x 0时,
f x 10 x 1, f x 10 2x 1,
3 3x
9 x3 x
当 x 1 时 f x 0, 而当 x 0时, 二阶导数不存
2
在, 从而将函数 f x的定义域划分成三个区间:
x2
y f x
f x1 f x2
2
o
x1
x x x1 x2
2
2
第二十五页，课件共有37页
如果函数 f x的图形在经过点 x0 , f x0 时改变了 上下凸性, 则称点 x0 , f x0 是曲线 y f x 的一个
拐点.
y
y f x
x0 , f x0
第十三页，课件共有37页
将函数的导数符号及单调性按三个区间列表如下:
f x 10 x 1, x 0
3 3x
x ,0 0
f x
f x
0
0,1 1 1,
0 3
第十四页，课件共有37页
y
2
单调下降
-1 -2 -4 -6 -8
-10
1
2
单调上升
第十五页，课件共有37页
x 3
函数单调性和凹凸性.完美版PPT
3
y
f(x 1 )f(x 2 )f(x 3 ) 0 f (x4)不存在, f(x5)0
y f(x)
o ax1 x2 x3
x4 x5 bx
确定函数单调区间的方法和步骤:
(1). 确定函数 y f(x)的定义域;
(2). 求 f (x),找使 f(x)0的点(驻点),及使 f (x) 不存在的点;
(3). 以(2)中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间, 判断在每一区间上导数的符号，由定理得出结论。
f(x) 增
减
增
函数 f ( x) 的单增区间为: (,1] , (2, ). 单减区间为:(1,2]
5
二、函数凸性的判别法
定义3.3.1 (函数的凸性)
设 f (x) 在区间I上连续，若对任意 x1,x2 I
y
f (x1) f (x2)
y
f (x1 x2 )
•2
•2
•
f ( • x1 x2 )
2
f (x1) f (x2) 2
o x1
x2
x
o x1
x2 x
f(x1x2)f(x1)f(x2)
2
2
f(x1x2)f(x1)f(x2)
2
2
图形下凸
图形上凸
6
直观观察
y
内时是上凸的.
确定曲线的凸向区间及拐点的方法和步骤：
的拐点是 (0,0).
o 定义 曲线上上凸弧与下凸弧的分界点,称为拐点.
以(2)中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间,
1. 求出 f(x),f(x);
2. 找 使 f(x)0的点及 f (x) 不存在的点;
3. 以2中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间,列表讨论.
y
f(x 1 )f(x 2 )f(x 3 ) 0 f (x4)不存在, f(x5)0
y f(x)
o ax1 x2 x3
x4 x5 bx
确定函数单调区间的方法和步骤:
(1). 确定函数 y f(x)的定义域;
(2). 求 f (x),找使 f(x)0的点(驻点),及使 f (x) 不存在的点;
(3). 以(2)中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间, 判断在每一区间上导数的符号，由定理得出结论。
f(x) 增
减
增
函数 f ( x) 的单增区间为: (,1] , (2, ). 单减区间为:(1,2]
5
二、函数凸性的判别法
定义3.3.1 (函数的凸性)
设 f (x) 在区间I上连续，若对任意 x1,x2 I
y
f (x1) f (x2)
y
f (x1 x2 )
•2
•2
•
f ( • x1 x2 )
2
f (x1) f (x2) 2
o x1
x2
x
o x1
x2 x
f(x1x2)f(x1)f(x2)
2
2
f(x1x2)f(x1)f(x2)
2
2
图形下凸
图形上凸
6
直观观察
y
内时是上凸的.
确定曲线的凸向区间及拐点的方法和步骤：
的拐点是 (0,0).
o 定义 曲线上上凸弧与下凸弧的分界点,称为拐点.
以(2)中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间,
1. 求出 f(x),f(x);
2. 找 使 f(x)0的点及 f (x) 不存在的点;
3. 以2中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间,列表讨论.
高等数学课件--D3_4单调与凹凸
由拉格朗日中值定理得
0
故
这说明
在 I 内单调递增. 证毕
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2012-10-12
同济高等数学课件
例1. 确定函数
的单调区间.
( x) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2) 解: f
令 f ( x) 0 , 得 x 1, x 2
3 解: y 4 x ,
的凹凸性.
y
故曲线
说明:
在
上是向上凹的. O
x
1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凹凸性不变 .
2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 若曲线 或不存在, 但 f (x) 在 x0 两侧异号, 则点( x0 , f ( x0 )) 是曲线
x
f (x) f (x)
( , 1)
1
0
(1 , 2)
2
0
( 2 , )
y
2
1
2 1
故
的单调增区间为 ( , 1) , (2 , );
的单调减区间为 (1 , 2).
2012-10-12 同济高等数学课件
目录
O
上页
1 2 x
下页 返回 结束
说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,
3,
3
x3 2
3
1 3
从而三个拐点为
(1 , 1) ,
( 2 3, 84 3 ), (2 3 , 84 3 )
因为
2
1 3 1 1 8 4 3
3 1
4
函数单调性和曲线凹凸性优秀课件
y
1 y=lnx
o
x
例5. 讨论曲线 y=x3 的凹凸性.
解: y=6x 当 x<0时, y<0.
故 y=x3在(, 0]内是凸弧.
当 x>0时, y >0.
故 y=x3 在 [0, +) 内是凹弧.
这里点(0, 0)称曲线 y=x3 的拐点.
y
y=x3
0
x
一般地，设f (x)C ( U ( x0) ), 若曲线 y=f (x) 在点(x0, f (x0))处左右两侧凹凸性相反，则称 (x0, f (x0)) 为该曲线的拐点.
定义1: 设f (x)C ( [a, b] ) ，x1, x2 [a, b] (x1x2) 和 t(0, 1), 若有 f ( t1 x ( 1 t ) x 2 ) t( x f 1 ) ( 1 t ) f ( x 2 )
( f ( t1 x ( 1 t ) x 2 ) t( x f 1 ) ( 1 t ) f ( x 2 ) )
y f (x)>0
0
x
y= f ( x)
思考问题 利用上面性质证明： x > 0 时 x > ln(1+ x)
二、 曲线的凹凸性及其判定法
y
y =x2
y x
o
x
y
B
A
f (x1)
o
x1
f (x2)
x x2 x
在曲线 y=f (x)上任取两点 A(x1, y1)和 B(x2, y2)，
则弦 AB 的参数方程为：
(1)若x (a,b), 有f (x)>0. 曲线y=f (x)在[a, b]上是
凹的.
(2)若x (a,b), 有f (x)<0. 曲线y=f (x)在[a, b]上是
函数的单调性与凹凸性的判别法演示精品PPT课件
f ( x) f ( ), x
f ( x) 0.
说明 f ( x) 在 (a,b) 的子区间 ( , ) 上恒为 0。矛盾！
f ( x) 严格上升。
9
例 1. 证明当x 1时，有 x ln(1 x) x，
1 x 等号成立当且仅当 x 0；
证明：当 x 0 时，显然等号成立。只 须证 1 x 0 与 x 0
则称 f ( x) 在 (a,b) 内单调递增或单调递减 。
5
定理1
设 f ( x) C[a,b]，且 f ( x) D(a,b)，则 1). f ( x) 在[a,b] 上升 f ( x) 0； 2). f ( x) 在[a,b] 下降 f ( x) 0。
证明：10. "" f ( x) 在 [a,b] 上升， x (a,b)，由
1
特别地，当 x0 0 时，有：
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn o( xn )
2!
n!
带 Peano 余项的 Maclaurin 公式。
2. 带Lagrange余项的Taylor公式：
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
13
3. 求函数f ( x) x2ex在[0,)上的最大值。
解： f ( x) 2 xex x2ex xex (2 x)
当 0 x 2 时，f ( x) 0; x 2 时，f ( x) 0.
7
定理2 f ( x) 在 [a,b] 上严格单调上升或下降
1). f ( x) 0 或 f ( x) 0； 2). f ( x) 不在 (a,b) 的任意子区间内恒为 0。
证明： ""设 f ( x) 在 [a,b] 上严格上升，由 th.1 知，10 成立。
f ( x) 0.
说明 f ( x) 在 (a,b) 的子区间 ( , ) 上恒为 0。矛盾！
f ( x) 严格上升。
9
例 1. 证明当x 1时，有 x ln(1 x) x，
1 x 等号成立当且仅当 x 0；
证明：当 x 0 时，显然等号成立。只 须证 1 x 0 与 x 0
则称 f ( x) 在 (a,b) 内单调递增或单调递减 。
5
定理1
设 f ( x) C[a,b]，且 f ( x) D(a,b)，则 1). f ( x) 在[a,b] 上升 f ( x) 0； 2). f ( x) 在[a,b] 下降 f ( x) 0。
证明：10. "" f ( x) 在 [a,b] 上升， x (a,b)，由
1
特别地，当 x0 0 时，有：
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn o( xn )
2!
n!
带 Peano 余项的 Maclaurin 公式。
2. 带Lagrange余项的Taylor公式：
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
13
3. 求函数f ( x) x2ex在[0,)上的最大值。
解： f ( x) 2 xex x2ex xex (2 x)
当 0 x 2 时，f ( x) 0; x 2 时，f ( x) 0.
7
定理2 f ( x) 在 [a,b] 上严格单调上升或下降
1). f ( x) 0 或 f ( x) 0； 2). f ( x) 不在 (a,b) 的任意子区间内恒为 0。
证明： ""设 f ( x) 在 [a,b] 上严格上升，由 th.1 知，10 成立。
高等数学课件——函数的单调性与曲线的凹凸性
1.讨论曲线y ln x的凹凸性.
2.讨论曲线y x3的凹凸性.
3.讨论曲线y 3 x的凹凸性.
注：y f ( x)凹凸区间的分界点可能是 使f ''( x) 0的点； 或者f ''( x)不存在的点.
def :曲线上有一点( x0 , f ( x0 )),曲线在该点一边是上凸的， 在另一边是上凹的.称该点为曲线的拐点.
证： 不妨设 0 x1 x2
f ( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f (0) f ( 2 ) x1 f (1 ) x1 ( x2 2 x1 x2 , 0 1 x1 ) x1 f ( )( 2 1 ) 0 (1 2 )
4.讨论函数f ( x) 2x3 9x2 12x 3的单调性.
解：D f R. f '( x) 6 x 2 18 x 12. 令f '( x) 0得：x1 1, x2 2. x1 1, x2 2将D f 划分为(-,1],[1, 2],[2, ). 在(-,1)内，f '( x) 0. f ( x)在(-,1]上单调递增； 在(1，内， 2) f '( x) 0. f ( x)在[1, 2]上单调递减； 在(2, )内，f '( x) 0. f ( x)在[2, )上单调递增.
§3-4函数的单调性与曲线的凹凸性
函数的单调性 曲线的凹凸性
一、函数的单调性
已观察：f ( x)单调增加，则f '( x) 0; f ( x)单调减少，则f '( x) 0.
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2
即
ex sin x 1 x2 .
2
11
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
单调性的应用: (2) 确定某些方程实根的个数
(a) 方程根的存在性：零点定理 (b) 方程根的唯一性：Rolle定理或单调性 (c) 方程根的个数：须确定单调区间，由区间 端点的单侧极限，结合零点定理确定根的个 数以及根所在的区间。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
函数的单调性与曲线的凹凸性 优秀课件
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
一、函数单调性的判别法
y
y f (x) B
f ( x) 0
A
y
A y f (x)
f ( x) 0
B
Oa
bx
Oa
bx
定理6.8 设函数y = f (x)在[a, b]上连续, 在
(a, b)内可导.
注 此定理不论对于开、闭、有限或无穷
区间都正确.
3
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
例 讨论函数y ex x 1的单调性.
解 定义域为(, ). 因为 y ex 1. 在(,0)内, y 0,
所以 函数在(,0]单调减少; 在(0, )内, y 0,
所以 函数在[0, )单调增加.
4
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
二、函数单调区间的求法
问题 如上例, 函数在定义区间上不是单调的, 但在各个部分区间上单调.
若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 则该区间称为函数的单调区间.
导数等于零的点和不可导点, 可能是单调区间 的分界点．
方法 用方程 f ( x) 0的根及 f ( x)不存在 的点划分函数f (x)的定义区间, 然后判定区间内导 数的符号.
(1) 如果在(a,b)内 f ( x) 0, 那末函数y = f (x) 在[a, b]上 单调增加;
(2) 如果在(a,b)内 f ( x) 0, 那末函数y = f (x)
在[a, b]上 单调减少.
2
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
证 x1, x2 [a, b], 且 x1 x2 , 拉氏定理
如, y x sin x在(, )内可导,且
y 1 cos x 0,等号只在 x (2k 1) (k 0, 1,)
(无穷多个离散点)处成立, 故 y x sin x在(, ) 内单调增加.
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
单调性的应用: (1) 证明不等式.
例 当x 0时,试证 x ln(1 x)成立. 证 设f ( x) x ln(1 x), 且f (0) 0
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 )
(1) 若在(a, b)内, f ( x) 0, 则 f ( ) 0, 因为 f ( x2 ) f ( x1), 所以y = f (x)在[a, b]上单调增加;
(2) 若在(a, b)内, f ( x) 0, 则 f ( ) 0, 因为 f ( x2 ) f ( x1), 所以y = f (x)在[a, b]上单调减少.
f ( x)
f (x)
单调减少区间为 (,0], 单调增加区间为 [0,).
7
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
注 (1)驻点和导数不存在的点不一定是单调区间
的分界点。
y
y x3
如, y x3 , y x0 0,
但在(,)上 单调增加.
O
x
(2):区间内有限个点（或无穷多个离散点）导数为 零,不影响区间的单调性.
f (x) x . f ( x) 0, 1 x
所以在[0,)上单调增加;
所以当x 0时, f ( x) f (0) 0,
x ln(1 x) 0, 即 x ln(1 x).
9
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
例 证明 0 x 1, ex sin x 1 x2 . 2
证 设f ( x) 1 x2 ex sin x 且f (0) 0 2 定不出符号
5
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
例 确定函数 f ( x) 2x3 9x2 12x 3的
单调区间.
解 定义域 (,). f ( x) 6x2 18x 12 6( x 1)(x 2)
解方程 f ( x) 0 得, x1 1, x2 2.
y
x (,1) (1,2) (2,)
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
例讨论方程 x3 x2 2x 1 0在(0,1)内的实根。
解 令f (x) x3 x2 2x 1, 则f (x)在[0,1]上连续， 因f (0) 1, f (1) 3, 由零点定理，
f (x)在0,1内至少有一个零点。
x 0,1时，f '(x) 3x2 2x 2 0
f ( x) x ex cos x
f ( x)在[0,1]上单调增加
当0 x 1时,有f ( x) f (0) 0. 0 x 1, f ( x) 0, f ( x)C[0,1].
所以f ( x)在[0,1]上单调增加.
当0 x 1时,有f ( x) f (0) 0.
1 x2 ex sin x 0
f ( x) x ex cos x 且f (0) 0 f ( x) 1 ex sin x 0
0 x 1, f ( x) 0, f ( x) C[0,1]. 所以f ( x)在[0,1]上单调增加.
10
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
f ( x) 1 x2 ex sin x 2
f ( x) f (x)来自21O
1
2
x
单调区间为 (,1], [1,2], [2,).
6
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
例 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 定义域 (, ).
f ( x) 2 , ( x 0) 33 x
当x 0时,导数不存在.
y y 3 x2
O
x
x (,0) (0, )
所以，f (x)在0,1内单调递增，因此，f (x)的图形与 x轴至多有一个交点， f (x)在0,1内至多有一个零点。 所以，f (x)在0,1内有且只有一个零点，
即原方程有且仅有一个根。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
例 判断方程 e x | x 2 | 0