山东省济南市槐荫区九年级数学下册第2章二次函数2.4二次函数的应用2.4.1二次函数的应用导学案新版北师大版

山东省济南市槐荫区九年级数学下册第2章二次函数2.4二次函数的应用2.4.1二次函数的应用导学案新版北师大版

2.4.1二次函数的应用

预习案

一、预习目标及范围：

1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．

2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．

预习范围：P46-47

二、预习要点

根据二次函数的一般形式求出最大值、最小值：

几何图形的几个面积公式是怎么样的？

三、预习检测

1.（2015六盘水）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（）

A. 60 m2

B. 63 m2

C. 64 m2

D. 66 m2

2. 用长6 m的铝合金条制成“日”字型矩形窗户，使窗户的透光面积最大（如图），那么这个窗户的最大透光面积是（）

A.

2

3 m2 B. 1 m2 C. 3

2

m2 D. 3 m2

3. （2014绍兴）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物

线解析式是y=-1

9

(x-6)2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是

__________________________.

探究案

一、合作探究

活动内容1：

活动1：小组合作

如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.

(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？

(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大？最大值是多少?

解：

活动2：探究归纳

先将转化为，再将所求的问题用关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出 .

活动内容2：典例精析

例题:某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?

解：

二、随堂检测

1．（包头·中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．

2．（芜湖·中考）用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．

3．（潍坊·中考）学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖．（1）要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？

（2）如图铺设白色地面砖的费用为每平方米30元，铺设绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺设广场地面的总费用最少？最少费用是多少？

4．（南通·中考）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC 上的动点（不与B，C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y．（1）求y关于x的函数关系式.

（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

（3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？

5.（河源·中考）如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形

地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x，面积为y．（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.

（2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．

参考答案

预习检测：

1.C

2.C

3.

随堂检测

1.1

2.5

2. 根据题意可得：等腰三角形的直角边为m矩形的一边长是2xm,其邻边长为

3.解; （1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意

得：4x2＋（100－2x）（80－2x）＝5 200，

整理得x2－45x＋350＝0，

解得x1＝35，x2＝10，经检验x1＝35，x2＝10均适合题意，

所以，要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，

则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米．

（2）设铺设矩形广场地面的总费用为y元，

广场四角的小正方形的边长为x米，则

y＝30[4x2＋(100－2x)(80－2x)]＋20[2x(100－2x)＋2x(80－2x)]

即y＝80x2－3 600x＋240 000，配方得

y＝80（x－22．5）2＋199 500，

当x＝22．5时，y的值最小，最小值为199 500，

所以当矩形广场四角的小正方形的边长为22．5米时，

铺设矩形广场地面的总费用最少，最少费用为199 500元．

4. ⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，

∴在Rt△BFE中，∠1+∠BFE=90°，

又∵EF⊥DE，∴∠1+∠2=90°，

∴∠2=∠BFE，

∴Rt△BFE∽Rt△CED，

∴, ∴

即

⑵当m=8时，化成顶点式:

（3）由，及得关于x的方程:

，得

∵△DEF中∠FED是直角，

∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED，

此时， Rt△BFE≌Rt△CED，

∴当EC=2时，m=CD=BE=6；当EC=6时，m=CD=BE=2.

即△DEF为等腰三角形，m的值应为6或2.

5. 解：（1）依题意得：y=(40-2x)x．

∴y=-2x2+40x．

x的取值范围是0< x <20．

（2）当y=210时，由（1）可得，-2x2+40x=210．

即x2-20x+105=0．

∵ a=1，b=-20，c=105，

∴

∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米．