高中数学教学 共线向量与共面向量

点M、N分别在BD，AE上，且分别是距B点、A点较近
的三等分点，求证：MN//平面CDE
F
E
N A
B
M
D C
例：已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B 、C , uuur uuur uuur uuur
满 足 向 量 关 系 式 OP xOA yOB zOC ( 其 中 x y z 1 )的点 P 与点 A、B 、C 是否共面?
共线向量与共面向量
复习回顾: 复一习、回共顾线:向量：
11..共共线线向向量量:: 如如果果表表示示空空间间向向量量的的有有向向线线段段所所在在的的
思直向a直量rar/量线/线．考//规2．互br规2互barr.:.的的定共相如平定a相共r 充平充:线图行平平:线oror要行要向于,行行向与与l条于条量或或量b为r任任件件记定b重定重r经一一记是作是理合理合过向向作存存a：，：r，已量量则空/空在在/ar则知baarrr这间/间实实/．这是点是b些r任任数数共些．共A向意意且线向线量两两，，平向量向叫个个使使行量量叫做向向ara非r..做共量量零共线aa向brbr线、向、..量bb向量（（ar量或bbr的r或平≠≠直行平00rr线向））行，,，
r BP
注:我们把非零
r
向量 a 叫做直线
a
uuur Or
l 的方向向量.
uuur r
⑴∵ AP // a ,∴存在唯一实数 t R ,使 AP t a .
uuur r
∴ 点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 AP t a ①
uuur uuur uuur
⑵对于任意一点 O,有 AP OP OA
uuur uuur uuur
OP xOA yOB(其中x y 1)
特别地，若P为A,B中点,则OuuPur 1
uuur uuur OA OB
2
那么空间又如何呢？
思考:如图,
l
为经过已知点
A
且平行非零向量
r a
的直线,
如何表示直线 l 上的任一点 P ?
A•
•• l
r b
C
P
它们之间存在怎样 的关系呢？
A
r a
B
二.共面向量:
1.共面向量:能平移到同一平面内的向量,叫做共面向量.
a
O
A
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空
a

间任意三个向量就不
一定共r 面r的了。
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向
ur
rr
量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有
那么 A 、B 、P 三点共线吗?
平面向量基本定理：
ur uur 如果是 e1，e2 同一平面内两个不共线的 向量r 量ar ，，ur那有么且对只uur于有这一一对平实面数内1，的任2，一使向
a 1e1 2e2
r a
思考ur 1：空间任意向
r b
量的向p 与量两ar ，个br 共不面共时线，
uuur uuur r
则点 P 在直线 l 上 uu唯ur 一r实数 t R, 使 OP OA t a ②
⑶点 B 在直线 l 上,且 AB a
uuur uuur uuur
则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t AB ③
注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式,
ur r r
序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
r b
C
ur p
P
A
r a
B
思考2：有平面ABC，若
P点在此面内，须满足什
ur
么条件？
r b
C
r
Aa
B
p
P
O
结论:空间一点P位于平面ABC内
uuur uuur uuur 存在有序实数对x,y使 AP x AB y AC
uuur uuur uuur uuur 或对空间任一点O,有 OP OA x AB y AC
即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.
例1 已知A、B、P三点共线，O为直线外
uuur uuur uuur
一点，且OP OA OB，求 的值.
解:∵
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A
、B
、P
三点共线,∴ t
uuur R ,使OP

uuur OA
uuur t AB
uuur
uuur uuur
那么如何表示直线 l 上的任一点 P ?
•l
A• r P
a
uuur uuur
我们已经知道：平面中，如图 OA、O不B共线，
uuur uuur
uuur uuur uuur
AP t AB(t R)，则可以用OA、OB表示OP如下： O
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
OP OA AP OA t AB OA t(OB OA)
uuur uuur
(1 t)OA tOB
B
结论：设O为平面上任一点，则A、P、 P
uuur
uuur uuur
B三点共线 OP (1 t)OA tOB
或：令x=1-t，y=t，则A、P、B三点共线 A
可证明或判断四点共面
练习 1:已知 OE 是以 OA、OB 、OC 为棱的平行六面
体 OADB─CFEG 的对角线,点 M 是 △ABC 的重心.
求证:点 M 在直线 OE 上. G
E
分析:
C
F
证三点共线可
尝试用向量来分析. B M
D
O'
O
A
练习2：已知矩形ABCD和ADEF所在的平面互相垂直，
练习3： 已知A、B、M三点不共线，对于平面
ABM外的任一点O，确定在下列各条件下，
点P是否与A、B、M一定共面？
uuur uuuur uuur uuur (1) OB＋OM 3OP－OA
uuur uuur uuur uuuur (2) OP 4OA OB OM
注意：
空间四点P、M、A、B共面 uuuur uuuur uuuur 存在唯一实数对（x , y）, 使得MP x MA yMB
∴ OP (1 t )OA tOB
∵
A
、B
、P
三点共线,且
uuur OP
uuur
OA

uuur
OB
又
O
为直线
AB
外一点,故
uuur OA
uuur 、OB
不共线
∴由平面向量基本定理可知 1 t , t
∴ 1
uuur uuur uuur
反过来,如果已知 OP OA OB ,且 1 ,