重庆市铜梁县第一中学初高中数学衔接教材试题：专题六二次函数的最值问题(附答案)

★ 专题六 二次函数的最值问题

【要点回顾】

1．二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的最值．

二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值244ac b a

-，无最小值．

2．二次函数最大值或最小值的求法．

第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值；

第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．

3．求二次函数在某一范围内的最值．

如：2y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值．

第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：0x x =；

第二步：讨论：

[1]若0a >时求最小值或0a <时求最大值，需分三种情况讨论：

①对称轴小于m 即0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧；

②对称轴0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部；

③对称轴大于n 即0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧。

[2] 若0a >时求最大值或0a <时求最小值，需分两种情况讨论： ①对称轴02

m n x +≤

，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧； ②对称轴02m n x +>，即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧； 说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况，参考例4。

【例题选讲】

例1求下列函数的最大值或最小值．

（1）5322--=x x y ； （2）432+--=x x y ．

答案：（1）4

7)2(531 例2当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．

答案：5;1min max -=-=y y

例3当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．

答案1-≥y

例4当1t x t ≤≤+时，求函数21522

y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置． 解：函数21522

y x x =

--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时：当x t =时，2min 1522y t t =--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时： 当1x =时，2m i n 1511322

y =⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =

+-+-=-．

综上所述：2213,0

23,0115,12

2t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩

【巩固练习】

1．抛物线2

(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点．

2．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．

3．设0a >，当11x -≤≤时，函数21y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b 的值．

4．已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．

5．求关于x 的二次函数221y x tx =-+在11x -≤≤上的最大值(t 为常数)．

答案：1.23142;4===m m m ；或 2.16

2

L 3.2,2-==b a 4.1-41或-

5.t y t t y t 22,022,0min max +=>-=≤