半导体器件物理(第二版)第二章答案
施敏-课后习题答案2
ni (9.65 10 ) n p 5 1015 1.86 10 4 cm 3
1 qp p
2
9 2
1 1.6 10 19 5 1015 350 3.57cm
(c) 51015硼原子/cm3、1017砷原子/cm3及1017镓 原子/cm3
(a) q
a q kT n N 0 exp( ax) q a kT n N 0 exp( ax ) a kT n N D q n N D a kT q
注,可用题十中的公式:
kT dN D ( x) 1 E(x) q N ( x) dx D
4 4 22 3 2 . 2 10 cm a 3 (5.65 108 )3
密度 = 每立方厘米中的原子数× 原子量/阿伏伽德罗常数
(69.72 74.92) 3 2.2 10 g / cm 23 6.02 10
22
2.2 144.64 g / cm 3 60.2
解:在能量为dE范围内单位体积的电子数N(E)F(E)dE, 而导带中每个电子的动能为E-Ec 所以导带中单位体积电子总动能为
Ec
( E Ec ) N ( E ) F ( E )dE
N ( E ) F ( E )dE
而导带单位体积总的电子数为
Ec
导带中电子平均动能:
Ec
( E Ec ) N ( E ) F ( E )dE
Slr vth p N st 107 2 1016 1010 20cm / s
半导体器件物理 习题答案
第二章
热平衡时的能带和载流子浓度
《半导体物理》习题答案第二章
补充 1、在硅晶体的深能级图中添加铒 (Er)、钐 (Sm)、钕(Nd)及缺陷深中心(双空位、E 中心、A
第2章
中心)的能级。 (略) 补充 2、参照上列 GaN 中常见杂质及缺陷的电离能参数表(或参考书表 2-4)回答下列问题: 1)表中哪些杂质属于双性杂质? 2)表中还有哪些杂质可能跟这些杂质一样起双重作用,未发现其双重作用的可能原因是什 么? 3)Mg 在 GaN 中起施主作用的电离能为什么比 Si、C 施主的电离能大,且有两个不同值? 4)Ga 取 N 位属何种缺陷,有可能产生几条何种能级,其他能级观察不到的可能原因是什 么? 5)还能不能对此表提出其他问题?试提出并解答之。 答:1)按表中所列,Si、C、Mg 皆既为施主亦为受主,因而是双性杂质。 2)既然 II 族元素 Mg 在 N 位时能以不同电离能 0.26eV 和 0.6eV 先后释放其两个价电子,那么 表中与 Mg 同属 II 族元素的 Be、Zn、Cd、Hg 似也有可能具有类似能力,I 族元素 Li 更有可能在 N 位上释放其唯一的外层电子而起施主作用。现未发现这些杂质的施主能级,原因可能是这些元素释 放一个电子的电离能过大,相应的能级已进入价带之中。 3)Mg 在 GaN 中起施主作用时占据的是 N 位,因其外层电子数 2 比被其置换的 N 原子少很多, 因此它有可能释放其价电子,但这些电子已为其与最近邻 Ga 原子所共有,所受之约束比 Si、C 原子 取代 Ga 原子后多余的一个电子所受之约束大得多,因此其电离能较大。当其释放了第一个电子之后 就成为带正电的 Mg 离子,其第二个价电子不仅受共价环境的约束,还受 Mg 离子的约束,其电离能 更大,因此 Mg 代 N 位产生两条深施主能级。 4)Ga 取 N 位属反位缺陷,因比其替代的 N 原子少两个电子,所以有可能产生两条受主能级, 目前只观察到一条范围在价带顶以上 0.59eV1.09eV 的受主能级, 另一能级观察不到的原因可能是其 二重电离(接受第二个共价电子)的电离能太大,相应的能级已进入导带之中。 (不过,表中所列数 据变化范围太大,不合情理,怀疑符号有误,待查。 ) 5)其他问题例如: 为什么 C 比 Si 的电离能高?答:因为 C 比 Si 的电负性强。 Li 代 Ga 位应该有几条受主能级?答:Li 比 Ga 少两个价电子,应该有两条受主能级。 ……….
半导体器件基础习题答案(完美版)
p n ND N A n / 2 n ND 0 N D n / 2 ni / 2 0.707 1013 / cm 3
2.17 Q: 求在下列条件下,均匀掺杂硅样品中平衡状态的空穴和电子浓度: 1. T 300K , N A N D , N D 1015 / cm3 A: T 300 K , ni 1010 / cm 3
可认为是本征半导体 n p ni 1016 / cm 3
2.21 Q:编写计算机程序, 画出类似图 2.21 的 Ef-Ei 与 NA 或 ND 的变量关系。
(注:本题及以下相关题目的 matlab 程序不是标准答案,仅供参考! )
1062109053 杨旭一整理 (仅供参考)
3
gv ( E )[1 f ( E )]
f (E)
1 1 e
( E E F ) / kT
e ( E EF ) / kT , E EF 3kT
gc (E) f (E)
* * mn 2mn ( E Ec ) ( E EF ) / kT e 2 3 * * mn 2mn 2 3
1062109053 杨旭一整理 (仅供参考) 2
半导体器件习题答案
(e) Q: 非简并锗样品,在平衡条件下温度保持在接近室温时,已知: ni 1013 / cm3 , n 2 p, N A 0 求 n 和 ND A: 由非简并,得 n 2 np n 2 / 2 n 2n 1.414 1013 / cm3
(f) 温度趋向于 0 K 时,受主对多数载流子空穴的冻结 (g) 在不同能带上载流子的能量分布 (h) 本征半导体
(i) n 型半导体
(j) p 型半导体
半导体第二章习题解析
等m效0玻尔半径
(Ge: ,Si:
)试,计基r 算质16G相e对r,S价i浅h电施q2常2r主rm数n*0的12束缚
2-2
硅中掺入某种施主杂质,设其电子有效质
量 mn* ,0计.2算6m电0 离能为多少?若
,其电
离能又m为n* 多 0少.4?m0这两种值中哪一种更接近实验值?
解答:利用类氢原子模型:
E Di
mn* m0
E0
2 r
E0 13.6eV , 对Si : r 12
mn*
0.26m0 , Eni
第二章
PowerPoint2003
《半导体物理》第二章
2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-5(2)
2-6 2-6(2) 2-7 2-8 2-8(2)
2-1
掺入锗,硅晶体中的杂质通常有磷,铟,锑,硼, 砷,铝,镓,铋,
其中哪些是施主杂质? 哪些是受主杂质?
解答:
磷,砷,铋,锑为Ⅴ族元素,为施主杂质 硼,铝,镓,铟为Ⅲ族元素,为受主杂质。
解答: 施主能级和受主能级分别以D和A表示: 如下图:
硅晶体中(eV)
锗晶体中(eV)
类型
Au D A
Ag D A
Cu A Fe D Zn A Cd A Ni A
位置
类型
EV 0.35
D
EC 0.54
A
EV 0.32
A
EC 0.29
A EV 0.24, EV 0.37, EV 0.52
E1
a
Z
2 e ff
25 128
5 4
Z eff
E2
aZ
2 eff
将 E2 0.055 2.475 2 0.3365 eV EAi2
施敏-课后习题答案
exp(ax)
aq
kT q
n N0
exp(ax)
a kTn N0 exp(ax)
a kTn N D qn N D
akT q
注,可用题十中的公式:
E(x)
kT q
1 N D (x)
dN D (x) dx
(b) E(x) a kT 1106 0.026 260V / cm q
(1) 低温情况(77K)
由于低温时,热能不 足以电离施主杂质,大部 分电子仍留在施主能级, 从而使费米能级很接近施 主能级,并且在施主能级 之上。(此时,本征载流 子浓度远小于施主浓度)
EF
EC
ED 2
kT 2
ln
ND NC
0.027
0.022
0.005eV
(2) 常温情况(T=300K)
n
ni 2 p
(9.65109 )2 5 1015
1.86104 cm3
1 qp p
1 1.6 1019 5 1015 150 8.33cm
8. 给定一个未知掺杂的硅晶样品,霍耳测量提供了以下的 信息:W = 0.05 cm,A = 1.610-3 cm2(参考图3.8),I = 2.5 mA,且磁场为30T(1特斯拉(T)= 10-4 Wb/cm2)。若 测量出的霍耳电压为 +10 mV,求半导体样品的霍耳系数、 导体型态、多数载流子浓度、电阻率及迁移率。
因为霍耳电压为正的,所以该样品为p型半导体(空穴导电)
多子浓度:
p
IBZW qVH A
2.5103 30104 0.05 1.61019 10103 1.6103
半导体器件物理(第二版)第二章答案解析
半导体器件物理(第⼆版)第⼆章答案解析2-1.P N +结空间电荷区边界分别为p x -和n x ,利⽤2TV V i np n e=导出)(n n x p 表达式。
给出N 区空⽳为⼩注⼊和⼤注⼊两种情况下的)(n n x p 表达式。
解:在n x x =处 ()()??-=??-=KT E E n x n KT E E n x p i Fn in n FP i i nn exp exp()()VT V i Fp Fn i n n n n e n KT E E n x n x p 22exp =-= ⽽()()()000n n n n nn n n n n n n p x p p p n x n n n p x =+?≈?=+?=+ (n n n p ?=?)()()TTV Vin n n V V in n n en p n p e n n n p 2020=?+?=?+2001TV V n i n n n p n p e n n +=T V V 22n n0n i p +n p -n e =0n p =(此为⼀般结果)⼩注⼊:(0n n n p <2== ()002n n i p n n =⼤注⼊: 0n n n p >>? 且 n n p p ?= 所以 TV V ine n p 22=或 TV Vi n en p 2=2-2.热平衡时净电⼦电流或净空⽳电流为零,⽤此⽅法推导⽅程20lniad T p n n N N V =-=ψψψ。
解:净电⼦电流为()n nn nI qA D n xµε?=+?处于热平衡时,I n =0 ,⼜因为d dxψε=-所以nnd nn D dx xψµ?=?,⼜因为n T n D V µ=(爱因斯坦关系)所以dn nV d T=ψ,从作积分,则2002ln ln ln ln ln i a d n p T n T po T d T T a in N NV n V n V N V V N n ψψψ=-=-=-=2-3.根据修正欧姆定律和空⽳扩散电流公式证明,在外加正向偏压V 作⽤下,PN 结N 侧空⽳扩散区准费⽶能级的改变量为qV E FP =?。
半导体物理学简明教程答案陈志明编第二章 半导体中的载流子及其输运性质 课后习题答案
第二章 半导体中的载流子及其输运性质1、对于导带底不在布里渊区中心,且电子等能面为旋转椭球面的各向异性问题,证明每个旋转椭球内所包含的动能小于(E -E C )的状态数Z 由式(2-20)给出。
证明:设导带底能量为C E ,具有类似结构的半导体在导带底附近的电子等能面为旋转椭球面,即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-l t C m k m k k E k E 23222122)( 与椭球标准方程2221122221k k k a b c++= 相比较,可知其电子等能面的三个半轴a 、b 、c 分别为212])(2[ c t E E m b a -== 212])(2[c l E E m c -= 于是,K 空间能量为E 的等能面所包围的体积即可表示为232122)()8(3434C t l E E m m abc V -==ππ因为k 空间的量子态密度是V/(4π3),所以动能小于(E -E C )的状态数(球体内的状态数)就是2/332/122)()8(31C t l E E m m V Z -=π2、利用式(2-26)证明当价带顶由轻、重空穴带简并而成时,其态密度由式(2-25)给出。
证明:当价带顶由轻、重空穴带简并而成时,其态密度分别由各自的有效质量m p 轻和m p 重表示。
价带顶附近的状态密度应为这两个能带的状态密度之和。
即:2/132/321)()2(2)(E E m V E g V p V -= 轻π 2/132/322)()2(2)(E E m V E g V p V -=重π价带顶附近的状态密度 =)(E g V 1)(E g V 2)(E g V +即:=)(E g V 2/132/32)()2(2E E m V V p -轻π+2/132/32)()2(2E E m V V p - 重π ]2)2[()(223232212)(重轻p P V m m E E V +-=π 只不过要将其中的有效质量m p *理解为3/22/32/3*)(重轻p p p m m m +=则可得:])2)2[()2(2/32323*重轻(p p p m m m +=带入上面式子可得: 2/132/3*2)()2(2)(E E m V E g V p V -=π 3、完成本章从式(2-42)到(2-43)的推演,证明非简并半导体的空穴密度由式(2-43)决定。
半导体物理学答案 第二章
第五章 金属-半导体接触1、 用不同波长的光照射置于真空中的金、银、铜三种金属和施主浓度皆为1×1016cm -3的锗、硅、砷化镓三种半导体的清洁表面,欲使其向真空发射电子,求各自的激发光临界波长。
计算时需要的相关参数见表5-1和5-2(下同)。
解:根据能量与波长关系:λγchh E ==可得Ehc =λ 金、银、铜三种金属的功函数分别为5.20eV 4.42eV 4.59eV 施主浓度皆为1×1016cm -3的锗、硅、砷化镓三种半导体的功函数分别为 4.31eV 4.25eV 4.17eV对于金:nm E hc 239106.120.51031062.619834=⨯⨯⨯⨯⨯==--λ 对于银:nm E hc 281106.142.41031062.619834=⨯⨯⨯⨯⨯==--λ对于铜:nm E hc 270106.159.41031062.619834=⨯⨯⨯⨯⨯==--λ 对于锗:nm E hc 288106.131.41031062.619834=⨯⨯⨯⨯⨯==--λ 对于硅:nm E hc 292106.125.41031062.619834=⨯⨯⨯⨯⨯==--λ对于砷化镓:nm E hc 298106.117.41031062.619834=⨯⨯⨯⨯⨯==--λ 2、 计算N D = 5×1016cm -3 的n-Si 室温下的功函数。
将其分别与铝、钨、铂三种金属的清洁表面相接触,若不考虑表面态的影响,形成的是阻挡层还是反阻挡层?分别画出能带图说明之。
解:设室温下杂质全部电离,则其费米能级由n 0=N D =5⨯1015cm -3求得:17C C C 19C 10ln 0.026ln 0.15 eV 2.810D F NE E kT E E N =+=+=-⨯ 其功函数即为:C () 4.050.15 4.20V SF W E E e χ=+-=+=若将其与功函数较小的Al (W Al =4.18eV )接触,则形成反阻挡层,若将其与功函数较大的Au (W Au =5.2eV )和Mo (W Mo =4.21eV )则形成阻挡层。
半导体器件物理(第二版)第二章答案解析
2-1.P N +结空间电荷区边界分别为p x -和n x ,利用2TV V i np n e=导出)(n n x p 表达式。
给出N 区空穴为小注入和大注入两种情况下的)(n n x p 表达式。
解:在n x x =处 ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=KT E E n x n KT E E n x p i Fn in n FP i i nn exp exp()()VT V i Fp Fn i n n n n e n KT E E n x n x p 22exp =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 而()()()000n n n n nn n n n n n n p x p p p n x n n n p x =+∆≈∆=+∆=+ (n n n p ∆=∆)()()TTV Vin n n V V in n n en p n p e n n n p 2020=∆+⇒=∆+2001TV V n i n n n p n p e n n ⎛⎫⇒+=⎪⎝⎭ T V V 22n n0n i p +n p -n e =0n p =(此为一般结果)小注入:(0n n n p <<∆)T TV V n V V n i n e p e n n p 002== ()002n n i p n n =大注入: 0n n n p >>∆ 且 n n p p ∆= 所以 TV V ine n p 22=或 TV Vi n en p 2=2-2.热平衡时净电子电流或净空穴电流为零,用此方法推导方程20lniad T p n n N N V =-=ψψψ。
解:净电子电流为()n nn nI qA D n xμε∂=+∂处于热平衡时,I n =0 ,又因为d dxψε=-所以nnd nn D dx xψμ∂=∂,又因为n T n D V μ=(爱因斯坦关系) 所以dn nV d T=ψ, 从作积分,则2002ln ln ln ln ln i a d n p T n T po T d T T a in N NV n V n V N V V N n ψψψ=-=-=-=2-3.根据修正欧姆定律和空穴扩散电流公式证明,在外加正向偏压V 作用下,PN 结N 侧空穴扩散区准费米能级的改变量为qV E FP =∆。
半导体物理课后习题解答
半导体物理课后习题解答The saying "the more diligent, the more luckier you are" really should be my charm in2006.半导体物理习题解答1-1.P 32设晶格常数为a 的一维晶格,导带极小值附近能量E c k 和价带极大值附近能量E v k 分别为:E c k=0223m k h +022)1(m k k h -和E v k= 0226m k h -0223m k h ;m 0为电子惯性质量,k 1=1/2a ;a =;试求: ①禁带宽度;②导带底电子有效质量; ③价带顶电子有效质量;④价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化; 解 ①禁带宽度Eg根据dk k dEc )(=0232m kh +012)(2m k k h -=0;可求出对应导带能量极小值E min 的k 值:k min =143k ,由题中E C 式可得:E min =E C K|k=k min =2104k m h ; 由题中E V 式可看出,对应价带能量极大值Emax 的k 值为:k max =0;并且E min =E V k|k=k max =02126m k h ;∴Eg =E min -E max =021212m k h =20248a m h=112828227106.1)1014.3(101.948)1062.6(----⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= ②导带底电子有效质量m n0202022382322m h m h m h dkE d C =+=;∴ m n =022283/m dk E d h C= ③价带顶电子有效质量m ’2226m h dk E d V -=,∴0222'61/m dk E d h m Vn -== ④准动量的改变量h △k =h k min -k max = ah k h 83431=毕1-2.P 33晶格常数为的一维晶格,当外加102V/m,107V/m 的电场时,试分别计算电子自能带底运动到能带顶所需的时间; 解 设电场强度为E,∵F =hdtdk=q E 取绝对值 ∴dt =qE h dk∴t=⎰tdt 0=⎰a qE h 210dk =aqE h 21 代入数据得: t =E⨯⨯⨯⨯⨯⨯--1019-34105.2106.121062.6=E 6103.8-⨯s当E =102 V/m 时,t =×10-8s ;E =107V/m 时,t =×10-13s; 毕3-7.P 81①在室温下,锗的有效状态密度Nc =×1019cm -3,Nv =×1018cm -3,试求锗的载流子有效质量m n 和m p ;计算77k 时的Nc 和Nv;已知300k 时,Eg =;77k 时Eg =;求这两个温度时锗的本征载流子浓度;②77k,锗的电子浓度为1017cm -3,假定浓度为零,而Ec -E D =,求锗中施主浓度N D 为多少解 ①室温下,T=300k27℃,k 0=×10-23J/K,h=×10-34J·S , 对于锗:Nc =×1019cm -3,Nv=×1018cm -3: ﹟求300k 时的Nc 和Nv : 根据3-18式:Kg T k Nc h m h T k m Nc n n 312332192340322*3230*100968.53001038.114.32)21005.1()10625.6(2)2()2(2---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⋅=⇒⋅=ππ根据3-23式:Kg T k Nv h m h T k m Nv p p 312332182340322*3230*1039173.33001038.114.32)2107.5()10625.6(2)2()2(2---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⋅=⇒⋅=ππ﹟求77k 时的Nc 和Nv : 同理:﹟求300k 时的n i : 求77k 时的n i :72319181902110094.1)771038.12106.176.0exp()107.51005.1()2exp()(---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=-=T k Eg NcNv n i ②77k 时,由3-46式得到:Ec -E D ==××10-19;T =77k ;k 0=×10-23;n 0=1017;Nc =×1019cm -3;;==-16192231917200106.610365.12)]771038.12106.101.0ex p(10[2)]2ex p([⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-=-Nc T k E Ec n N D D 毕3-8.P 82利用题7所给的Nc 和Nv 数值及Eg =,求温度为300k 和500k 时,含施主浓度N D =5×1015cm -3,受主浓度N A =2×109cm -3的锗中电子及空穴浓度为多少 解1 T =300k 时,对于锗:N D =5×1015cm -3,N A =2×109cm -3:3130211096.1)2exp()(-⨯=-=cm Tk EgNcNv n i ;159150105102105⨯≈⨯-⨯=-=A D N N n ;i n n >>0;1015213020107.7105)1096.1(⨯≈⨯⨯==n n p i ; 2T =300k 时:eV T T Eg Eg 58132.023550050010774.47437.0)0()500(242≈+⨯⨯-=+⋅-=-βα;查图3-7P 61可得:16102.2⨯≈i n ,属于过渡区,162122010464.22]4)[()(⨯=+-+-=iA D A D n N N N N n ;1602010964.1p ⨯==n n i ;此题中,也可以用另外的方法得到n i :)2exp()(500300)(500300)(0212323300'2323300'Tk EgNcNv n Nv N Nc N i k vk c-=⨯=⨯=;;求得n i 毕3-11.P 82若锗中杂质电离能△E D =,施主杂质浓度分别为N D =1014cm -3及1017cm -3,计算199%电离,290%电离,350%电离时温度各为多少 解未电离杂质占的百分比为:DD D D N NcD T kE T k E Nc N D 2_ln ex p 2_00=∆⇒∆=; 求得:116106.11038.101.019230=⨯⨯⨯=∆--T k E D ; ∴)_10ln()2102_ln(2_ln 11623152315T D N N T D N Nc D T D D D =⨯⨯⨯==(1) N D =1014cm -3,99%电离,即D_=1-99%= 即:3.2ln 23116-=T T 将N D =1017cm -3,D_=代入得:即:2.9ln 23116-=T T (2) 90%时,D_=即:T T ln 23116= N D =1017cm -3得:10ln 3ln 23116-=T T即:9.6ln 23116-=T T ;(3) 50%电离不能再用上式 ∵2DD D N n n ==+即:)exp(21)exp(21100Tk E E N T k E E N F D DF D D --+=-+ ∴)ex p(4)ex p(00Tk E E T k E E FD F D --=- 即:2ln 0T kE E DF -= 取对数后得:整理得下式:Nc N T k E D D 2ln 2ln 0=-∆-∴ NcNT k E D D ln 0=∆- 即:DD N NcT k E ln 0=∆ 当N D =1014cm -3时,得3ln 23116+=T T当N D =1017cm -3时9.3ln 23116-=T T此对数方程可用图解法或迭代法解出; 毕3-14.P 82计算含有施主杂质浓度N D =9×1015cm -3及受主杂质浓度为×1016cm -3的硅在300k 时的电子和空穴浓度以及费米能级的位置;解对于硅材料:N D =9×1015cm -3;N A =×1016cm -3;T =300k 时 n i =×1010cm -3:3150102-⨯=-=cm N N p D A ;∵D A N N p -=0且)(ex p Nv 00TK E E p FV -⋅= ∴)ex p(0Tk E E Nv N N F V DA -=-∴eV Ev eV Ev Nv N N T k Ev E D A F 224.0)(101.1102.0ln 026.0ln 19160-=⨯⨯-=--= 毕3-18.P 82掺磷的n 型硅,已知磷的电离能为,求室温下杂质一般电离时费米能级的位置和磷的浓度;解n 型硅,△E D =,依题意得: ∴D FD DN Tk E E N 5.0)exp(210=--+∴21)ex p(2)ex p(2100=--⇒=--+T k E E T k E E F D F D ∴2ln 2ln 21ln000T k E E E E T k T k E E F C C D F D =-+-⇒=-=- ∵044.0=-=∆D C D E E E∴eV T k E E T k E E C F C F 062.0044.02ln 044.02ln 00=--=-⇒--=毕3-19.P 82求室温下掺锑的n 型硅,使E F =E C +E D /2时的锑的浓度;已知锑的电离能为; 解由2DC F E E E +=可知,E F >E D ,∵EF 标志电子的填充水平,故ED 上几乎全被电子占据,又∵在室温下,故此n 型Si 应为高掺杂,而且已经简并了; ∵eV E E E D C D 039.0=-=∆ 即200<-<Tk E E FC ;故此n 型Si 应为弱简并情况; ∴)exp(21)exp(21000T k E N T k E E N n n DDD F D D ∆+=-+==+∴)(106.6)026.00195.0()]026.00195.0exp(21[108.22)026.00195.0()]026.0039.0exp()026.00195.0exp(21[2)()]exp()exp(21[2)()]exp(21[2319211921021000210-⨯≈-⨯+⨯⨯=-⨯-+=-⨯∆-+=-⨯-+=cm F F NcT k E E F T k ET k E E NcT k E E F T k E E NcN C F D c F C F DF D ππππ其中4.0)75.0(21=-F毕3-20.P 82制造晶体管一般是在高杂质浓度的n 型衬底上外延一层n 型的外延层,再在外延层中扩散硼、磷而成;①设n 型硅单晶衬底是掺锑的,锑的电离能为,300k 时的E F 位于导带底下面处,计算锑的浓度和导带中电子浓度;解 ①根据第19题讨论,此时Ti 为高掺杂,未完全电离:T k E E F C 02052.0026.00=<=-<,即此时为弱简并∵)exp(2100Tk E E N n n DF DD -+=≈+其中3.0)1(21=-F毕4-1.P 113300K 时,Ge 的本征电阻率为47Ω·cm,如电子和空穴迁移率分别为3900cm 2/V ·S 和1900cm 2/V ·S,试求本征Ge 的载流子浓度;解T=300K,ρ=47Ω·cm,μn =3900cm 2/V ·S,μp =1900 cm 2/V ·S313191029.2)19003900(10602.1471)(1)(1--⨯=+⨯⨯=+=⇒+=cm q n q n p n i p n i μμρμμρ毕4-2.P 113试计算本征Si 在室温时的电导率,设电子和空穴迁移率分别为1350cm 2/V ·S 和500cm 2/V ·S;当掺入百万分之一的As 后,设杂质全部电离,试计算其电导率;比本征Si 的电导率增大了多少倍解T=300K,,μn =1350cm 2/V ·S,μp =500 cm 2/V ·S 掺入As 浓度为N D =×1022×10-6=×1016cm -3杂质全部电离,2i D n N >>,查P 89页,图4-14可查此时μn =900cm 2/V ·S毕4-13.P 114掺有×1016 cm -3硼原子和9×1015 cm -3磷原子的Si 样品,试计算室温时多数载流子和少数载流子浓度及样品的电阻率; 解N A =×1016 cm -3,N D =9×1015 cm -3 可查图4-15得到7=ρΩ·cm根据316cm 102-⨯=+D A N N ,查图4-14得ρ,然后计算可得;毕4-15.P 114施主浓度分别为1013和1017cm -3的两个Si 样品,设杂质全部电离,分别计算:①室温时的电导率;解n 1=1013 cm -3,T =300K,n 2=1017cm -3时,查图可得cm n ⋅Ω=800μ 毕5-5.P 144n 型硅中,掺杂浓度N D =1016cm -3,光注入的非平衡载流子浓度Δn =Δp =1014cm -3;计算无光照和有光照时的电导率; 解n-Si,N D =1016cm -3,Δn =Δp =1014cm -3,查表4-14得到:400,1200=≈p n μμ: 无光照:)/(92.1120010602.1101916cm S q N nq n D n ≈⨯⨯⨯===-μμσΔn =Δp<<N D ,为小注入: 有光照: 毕5-7.P 144掺施主杂质的N D =1015cm -3n 型硅,由于光的照射产生了非平衡载流子Δn =Δp =1014cm -3;试计算这种情况下准费米能级的位置,并和原来的费米能级做比较; 解n-Si,N D =1015cm -3,Δn =Δp =1014cm -3, 光照后的半导体处于非平衡状态: 室温下,Eg Si =; 比较:由于光照的影响,非平衡多子的准费米能级nF E 与原来的费米能级F E 相比较偏离不多,而非平衡勺子的费米能级p F E 与原来的费米能级F E 相比较偏离很大;毕5-16.P 145一块电阻率为3Ω·cm 的n 型硅样品,空穴寿命s p μτ5=,再其平面形的表面处有稳定的空穴注入,过剩空穴浓度313010)(-=∆cm p ,计算从这个表面扩散进入半导体内部的空穴电流密度,以及在离表面多远处过剩空穴浓度等于1012cm -3 解 cm ⋅Ω=3ρ;s p μτ5=,313010)(-=∆cm p : 由cm ⋅Ω=3ρ查图4-15可得:3151075.1-⨯≈cm N D , 又查图4-14可得:S V cm p ⋅≈/5002μ 由爱因斯坦关系式可得:S cm S cm q T k D p p /5.12/500401220=⋅==μ 所求)exp()()()(0pp p p p D xp D D q x p Lp Dp q Jp ττ-∆=∆=扩 而cm D Lp p p 36109057.7cm 1055.12-⨯≈⨯⨯==-τ 毕。
半导体器件物理(第二章 PN结答案)
且 max
qa 8k 0
d 式再积分一次得 dx
qa 4 3 2 x W x B 8k 0 3
qaW 3 qaW 3 qaW 3 B B W n x 48 16 24 k k k 2 0 0 0 3 3 3 W qaW qaW B qaW B x 48k 0 16k 0 24k 0 2
D p p pVT p , Ln Dn n nVT n
n n p0 n q , p p n0 p q , n p
n p 0 n q pV T p pn 0 ,即 N d pn 0 p q nVT n 即 n p 0 n Na , pn 0 p
12k 0 0 qaW 3 0 n p W qa 12k 0 N Na Nd N VT ln a ln a 2 ni ni ni
1
3
因为
0 VT ln
当 x xn
W W 时 , N d N a ax N d a 2 2 W W 当 x x p 时 , Na 2 2 a 2W 2 aW 2VT ln 2 4ni 2ni
N d1 ni2 N d2 ni2
令 0 n1 n2 则
0 VT ln
N d1 N d2
0 即空间电荷区两侧电势差。
2-8. (a)绘出图 2-6a 中 N BC 10 cm 的扩散结的杂质分布和耗尽层的草图。解释为何耗
14
3
尽层的宽度和 VR 的关系曲线与单边突变结的情况相符。
2 K 0 0 N a xn qN a ( N a N d )
半导体物理课后习题答案(1-12章)
=
(6.62 × 10 − 27 ) 2 =0.64eV 48 × 9.1 × 10 − 28 × (3.14 × 10 − 8 ) 2 × 1.6 × 10 − 11
② 77k 时,由(3-46)式得到: Ec - ED = 0.01eV ; T = 77k ; k0 = 1.38×10-23J/K; n0 = 1017 cm − 3 ; Nc = 1.365×1019cm-3; Po 可忽略不计,由于 n 0 = n D ,即
° m0 q 4 ε 0 h2 = 13.6 e V a = = 0.53A , 0 8ε r2 h2 m0 e2π
∗ 当 ε r = 11.1 , m p = 0.86m0 时
m∗p E0 13.6 ∆ EA = � 2 � 0.86 m0 ε r 11.12 r1, p = ε r (
9.49 10− 2 eV
( 2mdn ) 4π V
h3
32
(E−
Ec ) 2
1
蝌
E1
E2
dZ = 4π
32
( 2mdn )
h3
32
骣 h2 Ec + 100 琪 ∗ 2 琪8 m L 桫 n Ec 3 2
(E−
Ec ) 2 dE
1
( 2mdn )
h3
2 骣 h2 创 琪100 ∗ 2 3 桫 8mn L
故: Z=1000π 3L3 7. ① 在室温下,锗的有效状态密度 Nc=1.05×1019cm-3,Nv=5.7×1018cm-3, 试求锗的载流子有效质量 mn*和 mp*。计算 77k 时的 Nc 和 Nv。已知 300k 时,Eg=
半导体物理学第二章答案
半导体物理学第2章习题及答案1. 实际半导体与理想半导体间的主要区别是什么?答:(1)理想半导体:假设晶格原子严格按周期性排列并静止在格点位置上,实际半导体中原子不是静止的,而是在其平衡位置附近振动。
(2)理想半导体是纯净不含杂质的,实际半导体含有若干杂质。
(3)理想半导体的晶格结构是完整的,实际半导体中存在点缺陷,线缺陷和面缺陷等。
2. 以As掺入Ge中为例,说明什么是施主杂质、施主杂质电离过程和n型半导体。
As有5个价电子,其中的四个价电子与周围的四个Ge原子形成共价键,还剩余一个电子,同时As原子所在处也多余一个正电荷,称为正离子中心,所以,一个As 原子取代一个Ge原子,其效果是形成一个正电中心和一个多余的电子.多余的电子束缚在正电中心,但这种束缚很弱,很小的能量就可使电子摆脱束缚,成为在晶格中导电的自由电子,而As原子形成一个不能移动的正电中心。
这个过程叫做施主杂质的电离过程。
能够施放电子而在导带中产生电子并形成正电中心,称为施主杂质或N型杂质,掺有施主杂质的半导体叫N型半导体。
3. 以Ga掺入Ge中为例,说明什么是受主杂质、受主杂质电离过程和p型半导体。
Ga有3个价电子,它与周围的四个Ge原子形成共价键,还缺少一个电子,于是在Ge 晶体的共价键中产生了一个空穴,而Ga原子接受一个电子后所在处形成一个负离子中心,所以,一个Ga原子取代一个Ge原子,其效果是形成一个负电中心和一个空穴,空穴束缚在Ga原子附近,但这种束缚很弱,很小的能量就可使空穴摆脱束缚,成为在晶格中自由运动的导电空穴,而Ga原子形成一个不能移动的负电中心。
这个过程叫做受主杂质的电离过程,能够接受电子而在价带中产生空穴,并形成负电中心的杂质,称为受主杂质,掺有受主型杂质的半导体叫P型半导体。
4. 以Si在GaAs中的行为为例,说明IV族杂质在III-V族化合物中可能出现的双性行为。
Si 取代GaAs 中的Ga 原子则起施主作用; Si 取代GaAs 中的As 原子则起受主作用。
半导体物理习题答案
第一章半导体中的电子状态例1.证明:对于能带中的电子,K状态和-K状态的电子速度大小相等,方向相反。
即:v(k)= -v(-k),并解释为什么无外场时,晶体总电流等于零。
解:K状态电子的速度为:(1)同理,-K状态电子的速度则为:(2)从一维情况容易看出:(3)同理有:(4)(5)将式(3)(4)(5)代入式(2)后得:(6)利用(1)式即得:v(-k)= -v(k)因为电子占据某个状态的几率只同该状态的能量有关,即:E(k)=E(-k)故电子占有k状态和-k状态的几率相同,且v(k)=-v(-k)故这两个状态上的电子电流相互抵消,晶体中总电流为零。
例2.已知一维晶体的电子能带可写成:式中,a为晶格常数。
试求:(1)能带的宽度;(2)能带底部和顶部电子的有效质量。
解:(1)由E(k)关系(1)(2)令得:当时,代入(2)得:对应E(k)的极小值。
当时,代入(2)得:对应E(k)的极大值。
根据上述结果,求得和即可求得能带宽度。
故:能带宽度(3)能带底部和顶部电子的有效质量:习题与思考题:1 什么叫本征激发?温度越高,本征激发的载流子越多,为什么?试定性说明之。
2 试定性说明Ge、Si的禁带宽度具有负温度系数的原因。
3 试指出空穴的主要特征。
4 简述Ge、Si和GaAs的能带结构的主要特征。
5 某一维晶体的电子能带为其中E0=3eV,晶格常数a=5×10-11m。
求:(1)能带宽度;(2)能带底和能带顶的有效质量。
6原子中的电子和晶体中电子受势场作用情况以及运动情况有何不同?原子中内层电子和外层电子参与共有化运动有何不同?7晶体体积的大小对能级和能带有什么影响?8描述半导体中电子运动为什么要引入“有效质量”的概念?用电子的惯性质量描述能带中电子运动有何局限性?9 一般来说,对应于高能级的能带较宽,而禁带较窄,是否如此?为什么?10有效质量对能带的宽度有什么影响?有人说:“有效质量愈大,能量密度也愈大,因而能带愈窄。
半导体器件物理(第二版)第二章答案
2—1.P N +结空间电荷区边界分别为p x -和n x ,利用2T V Vi np n e =导出)(n n x p 表达式。
给出N 区空穴为小注入和大注入两种情况下的)(n n x p 表达式.解:在n x x =处 ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=KT E E n x n KT E E n x p i Fn in n FP i i nn exp exp()()VT V i Fp Fn i n n n n e n KT E E n x n x p 22exp =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 而()()()000n n n n nn n n n n n n p x p p p n x n n n p x =+∆≈∆=+∆=+ (n n n p ∆=∆)()()TTV V in n n V V in n n en p n p e n n n p 2020=∆+⇒=∆+2001TV V n i n n n p n p e n n ⎛⎫⇒+=⎪⎝⎭ T V V 22n n0n i p +n p -n e =0n p =(此为一般结果) 小注入:(0n n n p <<∆)T T V V n V V n i n e p e n n p 002== ()002n n i p n n =大注入: 0n n n p >>∆ 且 n n p p ∆= 所以 TV V inen p 22=或 TV Vi n en p 2=2-2.热平衡时净电子电流或净空穴电流为零,用此方法推导方程20lni ad T p n n N N V =-=ψψψ。
解:净电子电流为()n nn nI qA D n xμε∂=+∂ 处于热平衡时,I n =0 ,又因为 d dxψε=-所以nn d n n D dx x ψμ∂=∂,又因为n T nDV μ=(爱因斯坦关系) 所以dn nV d T=ψ, 从作积分,则2002ln ln ln ln ln i a d n p T n T po T d T T a in N NV n V n V N V V N n ψψψ=-=-=-=2-3.根据修正欧姆定律和空穴扩散电流公式证明,在外加正向偏压V 作用下,PN 结N 侧空穴扩散区准费米能级的改变量为qV E FP =∆。
半导体物理学-微电子器件基础-第二章习题解答
2.2 As(砷)是5价元素,将其掺杂到半导体锗晶体中,砷占据格点位置, (替位式杂质),砷的4个价电子与最近邻4个锗原子形成共价键,剩 余1个价电子受到砷离子(除该价电子以外形成的砷离子)的轻微束缚, 只要比较小的能量就可以摆脱束缚(电离),成为自由电子,表现出 施主性,掺入一定浓度的砷杂质,使半导体锗的导带电子浓度大大增 加,远大于价带空穴浓度,使半导体成为N型半导体。
第二章 习题解答参考
2.1 理想半导体是一种模型,是研究的出发点。在绝对零度下,理想半导体的 导带为空(没有电子),价带为满带(没有空穴),所以没有载流子。 实际半导体与理想半导体的主要区别是: 1、在一定温度下,半导体格点原子不是静止在平衡位置上,而是围绕其 平衡位置振动,热统计涨落使部分原子迁移,形成空位、间隙基质原子等 本征缺陷。理想半导体忽略本征缺陷。 2、实际半导体总存在一定种类、一定量的杂质。而理想半导体忽略杂质 存在。 3、实际半导体中存在各种缺陷(空位、间隙原子、位错、层错等),而 理想半导体忽略缺陷存在。
Ge As
锗晶体中砷杂质性质的能带图表示,
释放到导带的电子
Ec
ED Ec ED 束缚电子
施主电离
砷离子 + +
ED 施主能级
Ei
E
2.5 施主杂质和受主杂质在提供有效载流子方面具有的相互抵消作用的 性质称为杂质补偿。实际半导体的导电类型、载流子(导带电子、价带 空穴)浓度由杂质补偿决定,半导体的特性参数(迁移率、寿命等)与 杂质补偿存在密切关系。杂质补偿是制作各种半导体器件的基础。
A、弱补偿 N D N A
Ec ED
EA
导带电子浓度,
施主释放的电子填满
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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2-1.P N +结空间电荷区边界分别为p x -和n x ,利用2TV V i np n e=导出)(n n x p 表达式。
给出N 区空穴为小注入和大注入两种情况下的)(n n x p 表达式。
解:在n x x =处 ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=KT E E n x n KT E E n x p i Fn in n FP i i nn exp exp()()VT V i Fp Fn i n n n n e n KT E E n x n x p 22exp =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 而()()()000n n n n nn n n n n n n p x p p p n x n n n p x =+∆≈∆=+∆=+ (n n n p ∆=∆)()()TTV Vin n n V V in n n en p n p e n n n p 2020=∆+⇒=∆+2001TV V n i n n n p n p e n n ⎛⎫⇒+=⎪⎝⎭ T V V 22n n0n i p +n p -n e =0n p =(此为一般结果)小注入:(0n n n p <<∆)T TV V n V V n i n e p e n n p 002== ()002n n i p n n =大注入: 0n n n p >>∆ 且 n n p p ∆= 所以 TV V inen p 22=或 TV Vi n en p 2=2-2.热平衡时净电子电流或净空穴电流为零,用此方法推导方程20lni ad T p n n N N V =-=ψψψ。
解:净电子电流为()n nn nI qA D n xμε∂=+∂ 处于热平衡时,I n =0 ,又因为 d dxψε=-所以nnd nn D dx xψμ∂=∂,又因为n T n D V μ=(爱因斯坦关系) 所以dn nV d T=ψ, 从作积分,则2002ln ln ln ln ln i a d n p T n T po T d T T a in N NV n V n V N V V N n ψψψ=-=-=-=2-3.根据修正欧姆定律和空穴扩散电流公式证明,在外加正向偏压V 作用下,PN 结N 侧空穴扩散区准费米能级的改变量为qV E FP =∆。
证明:n P PdP J qD (1)dx=-P P P FP P d J (x)dxdE P(2)dxϕσμ=-=(1)(2)=FP P nP n nTn dE qD dP dx P dxdP 1qV P dxμ-==-从12x x →积分:n 2n 1P (x )FP T nP (x )E qV ln P ∆=-将Tn 2n0V /V 1n0P (x )P Pn(x )P e=⎧⎪⎨=⎪⎩代入 得FP E qV ∆=2-4. 硅突变结二极管的掺杂浓度为:31510-=cm N d ,320104-⨯=cm N a ,在室温下计算:(a )自建电势(b )耗尽层宽度 (c )零偏压下的最大内建电场。
解:(a )自建电势为V n N N V i d a T p n 913.01025.210410ln 026.0ln 20201520=⨯⨯⨯==-=ψψψ (b )耗尽层宽度为14114002219152211.88.854100.913()() 1.09101.61010n d k W x cm qN εψ---⨯⨯⨯⨯====⨯⨯⨯ (с) 零偏压下最大内建电场为191544140 1.61010 1.0910 1.6710V/cm 11.88.85410d n m qN x k εε---⨯⨯⨯⨯=-=-=⨯⨯⨯2–5.若突变结两边的掺杂浓度为同一数量级,则自建电势和耗尽层宽度可用下式表示)(2)(020d a p n d a N N K x x N qN ++=εψ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=)(200d aa a n N N qN N K x ψε2100)(2⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=d aa d p N N qN N K x ψε试推导这些表示式。
解:由泊松方程得:()()220220p an dd x qN dxk d x qN dx k ψεψε⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩()()n p x x x x ≤≤≤≤-00积分一次得()()12p an d d x qN x c dxk d x qNx c dx k ψεψε=+=-+()()n px x x x≤≤≤≤-00由边界条件()()00pn p x x n x x d x dx d x dx ψψ=-=⎧=⎪⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩⇒1020a p d nqN c x k qN c x k εε⎧=⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩所以()()()()00p ap n d n d x qN x x dxk d x qN x xdx k ψεψε⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩()()n p x x x x ≤≤≤≤-00 再积分一次得()()()()21022022a p p d n n qN x x x D k qN x x x D k ψεψε⎧=++⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩()()n p x x o x x ≤≤≤≤-0令 ()()00p p n n x x ψψψ⎧-=⎪⎨=⎪⎩得:10D = , 20D ψ=于是()()()()2020022a pp d nn qN x x x k qN x x x k ψεψψε⎧=+⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩()()n p x x o x x ≤≤≤≤-0再由电势的连续性,当x =0时 , ()()00p n ψψ=: 所以 ()22002a p d n q N x N x k ψε=+ 再由 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=nd p a np x N x N x x W 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=d a d p da a n N N W N x N N W N x 故 ()()()22222020022a d n p a dd a a d a d qN N x x N N W N N W q k k N N N N ψεε⎡⎤++==⎢⎥++⎢⎥⎣⎦ 将 p a n dx N x N =代入上式,得()12002d p a a d k N x qN N N εψ⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦ ()12002a n d a d k N x qN N N ψε⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦2–6.推导出线性缓变PN 结的下列表示式:(a )电场(b )电势分布(c )耗尽层宽度(d )自建电势。
解:在线性缓变结中,耗尽层内空间电荷分布可表示为 N d -N a =ax a 为杂质浓度斜率设 2W x x p n == 由泊松方程得 22d qax dx k ψε=- 积分为22d qa x A dx k ψε=-+ 当 2Wx ±=时 ε=0, 即20W x d dxψ=±= ⇒ 028εk qaW A =所以()22048d qax W dx k ψε=-- ()()2222max 0448qa x W x W k εεε=-=- 且max 08qak εε= 对d dxψ式再积分一次得 320483qa x W x B k ψε⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭33320003332000481624481624W n x W x qaW qaW qaW B Bk k k qaW qaW qaW B B k k k ψεεεψεεε==⎧=-++=+⎪⎪⎪⎨⎪⎪=-+=-+⎪⎩⇒ 30012n p qaWk ψψψε=-=⇒310012⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=qa k W ϕε 因为 02ln ln ln a d a aT T i i i N N N N V V n n n ψ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭当 2W x x n ==时 , a W N ax N N d a d 2=⇒=- 当 2W x x p -=-=时 , 2WN a =故2202ln 2ln 42T Ti ia W aWV V n n ψ== 2-7.推导出N N +结(常称为高低结)内建电势表达式。
解:+N N 结中两边掺杂浓度不同(d1d2N >N ),于是+N 区中电子向N 区扩散,在结附近+N 区形成+d N ,N 区出现多余的电子。
二种电荷构成空间电荷,热平衡时:d1n1T 2i N =V lnn ψ d2n2T 2i N =V ln n ψ n1n2>ψψ令0n1n2ψψψ≡- 则d10T d2N V lnN ψ= 0ψ即空间电荷区两侧电势差。
2-8.(a )绘出图2-6a 中31410-=cm N BC 的扩散结的杂质分布和耗尽层的草图。
解释为何耗尽层的宽度和R V 的关系曲线与单边突变结的情况相符。
(b )对于31810-=cm N m 的情况,重复(a )并证明这样的结在小R V 的行为像线性结,在大R V 时像突变结。
2-9. 对于图2-6(b )的情况,重复习题2-8。
2–10.(a )PN 结的空穴注射效率定义为在0=x 处的0/I I p ,证明此效率可写成np p n p L L II σσγ/11+==(b )在实际的二极管中怎样才能使γ接近1。
证明(a ): ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1exp 0T pn p n p V VL p qAD x I ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1exp 0Tpno p n p n V VL p qAD L n qAD I0011p n p p p n n I In L p L γμμ==+而q n n p n μσ0=,q p p n p μσ0=所以 np p n p L L II σσγ+==11(b )1→γ则1n pn pp n p nL L L L σσσσ⇒因为 p T p p p p V D L τμτ==,n T n n n n V D L τμτ==而 q n n p n μσ0=,q p p n p μσ0=,p n ττ≈所以 即 0p n n p n p μμ所以 00p n n p ,即d a N N ,即 受主杂质浓度远大与施主杂质浓度。
2-11.长PN 结二极管处于反偏压状态,求:(1)解扩散方程求少子分布)(x n p 和)(x p n ,并画出它们的分布示意图。
(2)计算扩散区内少子贮存电荷。
(3)证明反向电流0I I -=为PN 结扩散区内的载流子产生电流。
解:(1)n n x x w ≤≤ 2n n0n p 2pp p d p D 0dx τ--= 其解为pp-x L x L n n012p -p =K e +K e(1)边界条件:n n n n n0x =x , p =0x =w ,p -p =0⎧⎨⎩有 px L n n012p -p K e (K 0)-==n p-x L n01-p =K e将n px L 1n0K =-p e代入(1):n p-(x-x )L n n0n0p -p =-p e(2)此即少子空穴分布。