具视觉美学形态的Mandelbrot集合分形图案

具视觉美学形态的Mandelbrot集合分形图案

作者：蔡宗文林建德温国勋

来源：《海峡科学》2012年第08期

[摘要] 分形图案具有极高的视觉美学形态。该文介绍了Mandelbrot集合分形图案的生成方法，根据复数平面逃逸时间算法生成分形图案，程序设计以Visual Basic 2008程序语言及开发整合环境为发展工具，建立一个具有图案信息显示的工作系统。应用所发展的程序，分析不同幕次Mandelbrot集合所生成分形图案的形态，并据此提出色差控制与大色差控制两种分形图案的色差控制方法，产生具有极高视觉美学形态的分形图案。

[关键词] 分形图案 Mandelbrot集合视觉美学

0 引言

分形几何（Fractal Geometry）起源于19世纪，一些著名数学家对连续不可微曲线进行了研究，发现了存在一类结构及形态，与传统几何曲线有所不同的“病态”曲线，诸如Cantor集合、Koch曲线、Peano曲线及Sierpinski集合[1, 2]。到了20世纪70年代，Mandelbrot[1,2]透过对复数平面(Complex Plane)的一个简单函数的迭代研究，得到了令人赞叹的复杂平面图案，称为Mandelbrot集合。该图案集合的边界具有复杂而精细的结构，在电脑的计算精度容许下，对其边界进行任意放大时，可以得到的局部图案与整体图案具有自相似性（Self-Similar），亦即分形集合（Fractal Sets）的自相似性结构[1,2]。1982年，Mandelbrot在其著作《自然界中的分形几何》中，将这类数学问题称为分形几何，而这些分形几何集合则称为分形艺术图案或分形图案（Fractal Art Pattern or Fractal Pattern）[1-6]。

分形艺术图案在装饰艺术设计、广告设计、服装设计、陶瓷设计等设计领域中已有部份应用[7-14]。应用分形几何理论于艺术图案与纺织纹样设计，可以得到一些具有特殊的线条、图案与色彩的分形艺术图案。

1 复数平面上的Mandelbrot集合

在众多的分形模型中，复数平面分形系统所生成的分形图案具有令人心动的视觉美学形态。图1为由Mandelbrot集合进行迭代计算后所产生的图案，图案的形态表现出无限细分、重复对称与自相似的分形性质，具有极高的视觉美学形态。

图1 Mandelbrot集合分形图案

1.1 二次Mandelbrot集合

Mandelbrot集合的二次复数函数的数学表达式为，变量与都是复数形式，分别为与。其迭代过程写成，其中，为第次迭代后的复数值；为定常复数，即及，整理后可得及。

Mandelbrot集合中，复数的值是控制复数函数在复数平面上迭代值，亦即在平面上以点为函数的搜寻迭代点序列。因此，Mandelbrot集合的生成，是在迭代过程中给定初值后，在复数平面上依复数的实部与虚部相对应取值，范围分别为：（实部）及（虚部）；再由及得到。

Mandelbrot集合的迭代过程实际上是观察在复数平面上，定常复数的对应原点（初值）是否会远离原点与远离原点的速度，可以用迭代点与原点的模（距离）表示，即。反复上述过程，可以得到一系列数集合，称为Mandelbrot集合。

以上说明了Mandelbrot集合的数集合产生过程，以不同的定常复数进行迭代时，迭代点序列可能发生两种情况：(1) 迭代点序列自由地朝向无穷远的方向发散；(2) 迭代点序列收敛到复数平面上一定的区域内。将这些数集合以电脑绘图案式显示，并以不同的色彩对应不同类型数集合的点，则可以得到Mandelbrot集合图案，称为逃逸时间演算法（Escape Time Algorithm）。

1.2 高次Mandelbrot集合

对于高次（如三、四至次）复数函数的Mandelbrot集合可表示如下：

三次Mandelbrot集合为，则在Mandelbrot集合的逃逸时间演算法中迭代式分别为及。

四次Mandelbrot集合为，则在Mandelbrot集合的逃逸时间演算法中迭代式分别为及。

次Mandelbrot集合为，即。显然，此式是一种复数的迭代乘积，可以用一迭代演算法取代。

2 Mandelbrot集合分形图案生成的程序设计

根据上述Mandelbrot集合的迭代过程，本文发展Mandelbrot集合的逃逸时间算法的视窗程序。程序设计以Visual Basic 2008程序语言及开发整合环境为发展工具，建立一个具有图案信息显示的工作系统。图2所示为视窗程序的Mandelbrot集合分形图案生成环境，设置集合控制参数的输入项目及三个按钮项目：(1)色差绘图；(2)大色差绘图；(3)结束程序。

图2 Mandelbrot集合分形图案生成程序界面

在色彩控制上采用色差控制和大色差控制两种方法。色彩控制实际上是依据逃逸时间算法的基本原理，由逃逸时间算法的结果决定绘图点的色彩。若以 , 及分别表示电脑色彩中的红、

绿及蓝三主色彩的值（0～255），则 , 及将是逃逸时间算法的最终迭代次数的函数；当不同时，绘图点的色彩也不相同。

本文提出色差控制方法，将不同逃逸时间的绘图点进行色彩差异增大。以 , 及分别表示电脑色彩中的红、绿及蓝三主色彩的色差控制参数，则 , 及的色差控制分别为 , ，。

大色差控制方法以 , 及分别表示电脑色彩中的红、绿及蓝三主色彩的色差控制参数，则 , 及的大色差控制分别为 , ，。图3所示为在大色差控制方法调节时，当 , 及时所产生的Mandelbrot集合分形图案，明显地，发散区域中不同的逃逸时间的绘图点显示出清晰的不同色彩层次，具有极高的视觉美学形态。

图3 大色差控制方法调节Mandelbrot集合分形图案

生成程序界面

表1为复数平面上不同幂次的Mandelbrot集合的分形图案生成，分别以色差控制与大色差控制进行图案生成。由表1可知，不同幂次Mandelbrot集合所生的分形图案明显具有不同的构造，幂次数目与图案的对称角成正比，具有极高的视觉美学形态。

3 结论

自相似性是分形理论的重要特征，分形图案的生成就是因为具有自相似性的特征，而分形图案的自相似性就是指图案的局部与整体间，具有规则的几何相似性，或者是不规则的统计自相似性，图案的局部中有其局部，整体与局部间结构不断重复与相似，在视觉表现上成为了无限精细的结构。因此，分形图案产生强烈的视觉艺术性，特别是经由Mandelbrot集合所生成的分形图案，形成一种新颖的艺术风格，又与传统艺术风格一样具有和谐与对称的美学特征，其对称更是在传统艺术仅有的上、下、左、右及中心对称之外，揭示另一种相似性的对称表现。本文结果说明了分形图案不但具有艺术美学性质，其自相似的视觉特征与表现，可以作为实际图案设计的应用。

参考文献:

[1] Mandelbrot, B.B. Fractal: Form, Chance, and Dimension [M]. San Francisco: W.H. Freeman, 1977.

[2] Mandelbrot, B.B. The Fractal Geometry of Nature [M]. San Francisco: W.H. Freeman, 1982.

[3] Mandelbrot, B.B., Passoja, D.E., A. Paully. Fractal character of fracture surfaces of metals [J]. Nature, 1984, 308: 721-722.

[4] Falconer, K.J. The Geometry of Fractal Sets [M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1985.