具视觉美学形态的Mandelbrot集合分形图案
分形图形（组图）
分形图形（组图）*
对数学痛心疾首恨之入骨的同学一定不在少数呢。
说到数学都会想到昏昏欲睡的数学课、无法理解的公式、还有永远也算不出来的X 先生和α先生。
但是很少会有人知道。
其实数学也有非常柔美华丽的一面呢。
曼德尔布诺特给分形下的定义是：一个集合形状，可以细分为若
干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。
由于分形将数学的美变得更直观更平易近人，它也被很多艺术家青睐。
这里整理了艺术家Silvia Kordedda创作的分形图形。
是不是觉得如果早一些看到这些，也会想要努力学习数学呢?。
女性血清肿瘤标志物参考值范围的确定
女性血清肿瘤标志物参考值范围的确定作者：赵一举汪欣池飞燕来源：《海峡科学》2012年第08期[摘要] 目的：确定电化学发光法测定血清肿瘤标志物（AFP,CEA,CA199,CA125,CA153）在健康女性人群的参考值范围。
方法：使用雅培ARCHITECT CI-16200全自动生化分析仪，运用电化学发光免疫分析法进行检测，采用2.5%～97.5%可信区间确立参考区间。
结果：女性血清中的AFP,CEA,CA199,CA125,CA153结果呈偏态分布，AFP的参考范围为1.29～7.29ng/mL，CEA的参考范围为0.54～3.32ng/mL，CA199的参考范围为2.57～31.98U/mL，CA125的参考范围为4.44～36.4U/mL，CA153的参考范围为3.2～18.94U/mL。
结论：健康女性AFP的正常参考值为[关键词] 健康女性血清肿瘤标志物参考值范围电化学发光法随着人们生活质量的提高和实验室仪器准确度、精密度的提高，对疾病特别是癌变疾病的“早发现、早诊断、早治疗”成为可能。
AFP、CEA、CA199、CA125、CA153作为常见肿瘤标志物，已广泛应用在临床一线的肿瘤血清学筛查中。
目前对上述五种标志物的临床意义已有很多报道[1、2]。
但是也有报道[3]指出，实验室提供的正常参考值与临床所见相差甚远。
对于某一肿瘤标志物正常参考值的设定，应根据不同地区足够数量健康人及肿瘤患者两种人群确立正常参考值。
因此，本文专门针对健康女性血清中的AFP、CEA、CA199、CA125、CA153水平进行检测，建立女性人群的参考值范围。
1 材料与方法1.1 一般资料所有研究对象均满足下列条件：体格检查、心电图、全腹彩超或B超、乳腺彩超检查未发现明显异常,排除子宫、卵巢、乳房、心、肝、肾、胰等疾病。
肝功能全套、肾功能、心肌酶学、淀粉酶、血脂和血糖检查的结果均在本实验室参考范围内。
研究对象从2011年来我中心进行体检的人群中，共筛选出375名健康女性体检者，年龄24～74岁。
基于Mandlebrot集的分形图形用于丝绸图案设计
基于Mandlebrot集的分形图形用于丝绸图案设计蔡燕燕;宋晓霞【摘要】阐述了复平面上Mandlebrot集的生成方法,设计了基于Matlab相关程序,总结出不同参数下Mandlebrot集分形图形的变化规律,找出了图形结构与函数的基本关系,并运用图像处理软件XFader得到连续图案,在此基础上与法国力克的服装设计软件PrimaVision相结合,将生成的分形图形应用到丝绸图案设计中.%This paper described the generation method of Mandelbrot set, and designed the programs based on Matlab. Then, the variation about the fractal graphs of Mandelbrot set in different parameters is studied, the relationships between basic pattern and function are founded. Then the image processing software Xfader is used to get some continuous patterns, and the renderings are given after the treatment of clothing design software PrimaVision, applications of fractals in silk pattern design are discussed lastly.【期刊名称】《丝绸》【年(卷),期】2011(048)008【总页数】3页(P35-37)【关键词】Mandlebrot集;分形图形;丝绸装图案;图案设计【作者】蔡燕燕;宋晓霞【作者单位】上海工程技术大学服装学院,上海201620;上海工程技术大学服装学院,上海201620【正文语种】中文【中图分类】TS941.2图案设计是丝绸产品开发过程中一个重要的环节，传统的图案设计受到人脑想象力的限制，而且后续的修改过程也比较烦琐，往往成为产品设计中的一个瓶颈。
绝美的分形图案麦田圈？——？Mandelbrot？集合
绝美的分形图案麦田圈？——？Mandelbrot？集合绝美的分形图案麦田圈—— Mandelbrot 集合(2009-06-11 19:10:27)转载▼标签：麦田圈分形数学分类：麦田圈解析揭秘杂谈mandelbrot解密很多人都能认出上面的图形，这就是著名的分形图形——Mandelbrot集合，这个图形最早由Mandelbrot（法国数学家及分形理论家）发现，作为解释混沌理论的数学模型，是数学领域最复杂的概念之一。
分形是电脑产生的图形，同样的基本图样重复出现，且图样的尺寸无止境的不断缩小。
它的几何学概念可以理解为：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义的相似性。
从哲学角度，分形表现出的是复杂与简单的统一。
分形几何的主要价值在于它在极端有序和真正混沌之间提供了一种可能性。
它最显著的性质是：本来看来十分复杂的事物，事实上大多数均可用仅含很少参数的简单公式来描述。
其实简单并不简单，它蕴含着复杂。
分形几何中的迭代法为我们提供了认识简单与复杂的辩证关系的生动例子。
分形高度复杂，又特别简单。
无穷精致的细节和独特的数学特征（没有两个分形是一样的）是分形的复杂性一面。
连续不断的，从大尺度到小尺度的自我复制及迭代操作生成，又是分形简单的一面。
下面我们来欣赏一组美妙绝伦的Mandelbrot集合分形图案，每一幅下面图片都是上面图片的局部放大：（注：以上图片由网友Matrix67提供，特此感谢。
）1991年8月，麦田圈制造者不满足于只被少数超自然现象研究者关注，决定把主流科学界的学者也拉进圈里来，方法就是给科学社群的重镇——剑桥大学附近送一个完美的且复杂的Mandelbrot集合图形麦田圈，或者另一个用意是为了纪念曾经在这里教过书的Mandelbrot吧？！负责确定该麦田圈精度的当地的农业经济及生物学家Wombwell 仔细研究图样后表示：“麦田圈实在是太精确了，每个圈都很完美，所有麦子都按照一定方向摊平，心形图形的底部缩成只有一根麦秆。
分形图形学
其实对分形的理解并没有那么神奇。可以说，虽然曼德布劳特硬是制造了分形（fractal）这个名词，是个新鲜的事情，但是，分形所反映的内容本身，其苗头确实古已有之。如前所叙述的那样，分形的重要来源，是数学上的思考，属于科学研究的产物，常常是某种离散动力系统参数分布的图示。因为表现这种参数分布须借助计算机的计算和处理；而作为处理的结果，这类图示观看起来是那么的漂亮、琢磨下去又是那么的含蓄，于是它的影响远远超出了数学的领域。分形不仅引起科学家们的注意，而且在艺术界造成了轰动。社会学家从人文的角度，分析与演绎分形的哲理；艺术大师们，以审美的观点，推崇与渲染分形的艺术特征…。
参考文献：分形理论在计算机图形学中的应用
人们谈论分形，常常有两种含义。其一，它的实际背景是什么？其二，它的确切定义是什么？数学家研究分形，是力图以数学方法，模拟自然界存在的、及科学研究中出现的那些看似无规律的各种现象。在过去的几十年里，分形在物理学、材料科学、地质勘探、乃至股价的预测等方面都得到了广泛的应用或密切的注意，并且由于分形的引入，使得一些学科焕发了新的活力。数学上所说的分形，是抽象的。而人们认为是分形的那些自然界的具体对象，并不是数学家所说的分形，而是不同层次近似。
几乎在曼德布劳特获得Barnard奖章的同时，以德国布来梅大学的数学家和计算机专家H.Peotgen与P.Richter等为代表，在当时最先进的计算机图形工作站上制作了大量的分形图案；J. Hubbard等人还完成了一部名为《混沌》的计算机动画。接着，印刷着分形的画册、挂历、明信片、甚至T恤衫纷纷出笼。80年代中期开始，首先在西方发达国家，接着在中国，分形逐渐成为脍炙人口的词汇，甚至连十几岁的儿童也迷上了计算机上的分形游戏。我国北京的北方工业大学计算机图形学小组于1992年完成了一部计算机动画电影《相似》，这部电影集中介绍了分形图形的相似性，这也是我国采用计算机数字技术完成的第一部电影，获得当年电影电视部颁发的科技进步奖。
Mandelbrot集和Julia集的分形图之matlab实现
Mandelbrot集和Julia集的分形图之matlab实现基于逃逸时间算法1. Mandelbrot集function Mandelbrot(res,iter,xc,yc,xoom) %Mandelbrot% 党$是目标分辨率，iter是循环次数，(xc,yc)是图像中心，xoom是放大倍数x0=xc-2/xoom;x1=xc+2/xoom;y0=yc-2/xoom;y1=yc+2/xoom;x=linspace(x0,x1,res);y=linspace(y0,y1,res);[xx,yy]=meshgrid(x,y);z=xx+yy*1i;C=z;N=zeros(res,res); %初始化N，最终根据N，对各点进行染色tic %显示tic和toc间的程序运行时间for k=1:iterz = zJ2+C; %对空间上每点都进行迭代N(abs(z)>4)=k; %逃逸半径为4,诺某点逃逸，记录逃逸时间k,未逃逸则时间为0 z(abs(z)>4)=0;C(abs(z)>4)=0;endimshow(N,[]);toc end>>Mandelbrot(512,100,0,0,1)>>Mandelbrot(512,128,-1.478,0,300)2.Julia 集function Julia(c,res,iter,xc,yc,xoom)%Julia>%。
为参数，皿$是目标分辨率，iter是循环次数，(xc,yc)是图像中心，xoom是放大倍数x0=xc-2/xoom;x1=xc+2/xoom;y0=yc-2/xoom;y1=yc+2/xoom;x=linspace(x0,x1,res);y=linspace(y0,y1,res);[xx,yy]=meshgrid(x,y);z=xx+yy*1i;N=zeros(res,res);C=c*ones(res,res); for k=1:iter z=z.A2+C;N(abs(z)>2)=k;C(abs(z)>2)=0;z(abs(z)>2)=0; endcolormap jet ; image(x,y,N); axis square ; end上面两张图很好的反映分形的自相似性，右图是左图关于原点放大2000倍的情况。
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何分形几何是指生物学家、数学家Mandelbrot于20世纪60年代提出的一种新的几何方法。
它主要是以图形展示自然界里颇多的自相似性和重复性，我们在自然界中可以看到很多地方都能体现出分形几何的形态。
目前，分形几何的研究成果已经被广泛运用在计算机图形学、自然科学、金融、物理学等方面，并在各个领域都取得了很好的应用效果。
分形几何不同于常规的几何学，它将几何形态转换为数学符号来分析形态的特征。
分形几何的美感与特性分形几何的美在于它具有迷人的自相似性和重复性，这个特性使得分形几何的形态无论在大小还是在宏观与微观的层次上表现出了一致性。
这种自相似性不但具有几何形态的美感，并且在自然界的很多生物和物体中都可以看到它的存在。
譬如火花、雨滴和云朵都具有分形几何的形态，对此我们可以用数学符号和计算机程序来表达和描述这些自然现象。
在分形几何中，出现的大多数形态都是基于数学方程式的操作得到，这些数学方程式需要通过反复的迭代运算才能得到最终的形态，几何学家调用的工具主要是数学符号和计算机程序。
因此，分形几何不仅展示了具有美感的自相似性和重复性，还向我们展示了无穷的变幻和生命力，在人类的审美中表现出了多姿多彩的美，可以说是几何美学中的一种绚丽多彩的表现形式。
分形几何的计算机图形学应用分形几何在计算机图形学中的应用很广泛，计算机图像能够更加真实地表现物体的特性和微观结构，分形几何的技术能够很好地表现出物体的自相似性和重复性，因此在图像处理和计算机图形学中应用颇多。
其中一个应用场景是在动画电影中，我们常常看到很多自然界中的生物，譬如花朵、藤蔓和蘑菇等生物，它们都具有分形结构，设计师用计算机图形学的方法可以让这些生物呈现出美妙的自然形态。
另外，分形几何还被广泛运用在生成式艺术中，生成式艺术是一种基于数学或人工智能算法的艺术形式，使用分形几何的技术可以生成独特的图案和模型，比如拓扑结构和有机体结构等。
分形几何中的自相似性和重复性不仅提供了美感和独特的艺术表现形式，还为我们提供了一种模拟生命活动的方式，是数学艺术范畴中一个多功能的形式。
Mandelbrot集合及其渲染
Mandelbrot集合及其渲染什么是Mandelbrot集合？Mandelbrot集合是在复数平⾯上组成分形的点的集合，它正是以数学家Mandelbrot命名。
Mandelbrot集合可以⽤复⼆次多项式f c(z)=z2+c来定义其中c是⼀个复数。
对于每⼀个c，从z=0,开始对f c(z)进⾏迭代。
序列(0,f c(0),f c(f c(0)),f c(f c(f c(0))),…)的元素的模（复数具有模的概念）或者延伸到⽆穷⼤，或者只停留在有限半径的圆盘内。
Mandelbrot集合就是使以上序列不延伸⾄⽆限⼤的所有c点的集合。
从数学上来讲，Mandelbrot集合是⼀个复数的集合。
⼀个给定的复数c或者属于Mandelbrot集合M，或者不属于。
⽐如，取c = 1，那么这个序列就是(0, 1, 2, 5, 26, ...)，显然它的值会趋于⽆穷⼤；⽽如果取c = i，那么序列就是(0, i, -1+i, -i, -1+i, -i,...)，它的值会⼀直停留在有限半径的圆盘内。
事实上，⼀个点属于Mandelbrot集合当且仅当它对应的序列（由上⾯的⼆项式定义）中的任何元素的模都不⼤于2。
这⾥的2就是上⾯提到的“有限半径”。
绘制Mandelbrot集合可以将屏幕上的⼀个像素映射为坐标系中的⼀点，如果该点属于Mandelbrot集合，就将该像素着为⿊⾊，这样逐⼀对每个像素进⾏判断和着⾊，就可以模拟绘制Mandelbrot集合了。
完成映射后来考虑如何判断⼀个点是否属于该集合。
其根据就是上⾯的结论：⼀个点属于Mandelbrot集合当且仅当它对应的序列（由上⾯的⼆项式定义）中的任何元素的模都不⼤于2，由于序列的的元素有⽆穷多个，我们只能取有限的迭代次数来模拟了，⽐如取100或1000次。
下⾯的代码shader代码完成了上⾯的思想。
其中迭代次数为200.fragCoord.xy传⼊的当前要计算颜⾊的像素点的坐标。
具视觉美学形态的Mandelbrot集合分形图案
3年第期（总第6期）具视觉美学形态的M andel br ot 集合分形图案具视觉美学形态的Man d elb ro t集合分形图案1.厦门地震勘测研究中心2.福州大学创意产业研究所蔡宗文1,2林建德2温国勋2[摘要]分形图案具有极高的视觉美学形态。
该文介绍了M andel br ot 集合分形图案的生成方法，根据复数平面逃逸时间算法生成分形图案，程序设计以V i s ual B as i c 2008程序语言及开发整合环境为发展工具，建立一个具有图案信息显示的工作系统。
应用所发展的程序，分析不同幕次M andel brot 集合所生成分形图案的形态，并据此提出色差控制与大色差控制两种分形图案的色差控制方法，产生具有极高视觉美学形态的分形图案。
[关键词]分形图案M andel br ot 集合视觉美学0引言分形几何（Fractal Geometry ）起源于19世纪，一些著名数学家对连续不可微曲线进行了研究，发现了存在一类结构及形态，与传统几何曲线有所不同的“病态”曲线，诸如Cantor 集合、Koch 曲线、Peano 曲线及Sierpinski 集合[1,2]。
到了20世纪70年代，Mandelbrot[1,2]透过对复数平面(ComplexPlane)的一个简单函数的迭代研究，得到了令人赞叹的复杂平面图案，称为Mandelbrot 集合。
该图案集合的边界具有复杂而精细的结构，在电脑的计算精度容许下，对其边界进行任意放大时，可以得到的局部图案与整体图案具有自相似性（Self-Similar ），亦即分形集合（Fractal Sets ）的自相似性结构[1,2]。
1982年，Mandelbrot 在其著作《自然界中的分形几何》中，将这类数学问题称为分形几何，而这些分形几何集合则称为分形艺术图案或分形图案（Fractal Art Pattern or Fractal Pattern ）[1-6]。
Mandelbrot集以及他的局部放大数学实验报告
Mandelbrot集以及他的局部放大数学实验报告Mandelbrot集是二维复平面上的分形数集，1980前后发现，堪称人类认识数学存在的一个里程碑。
它是由一个简单复函数f(Z)=Z2+C迭代运算而形成的收敛数集（Z是迭代复变数，C是点位复常数），谁做这样的迭代运算都能得到形态一样的数集，见下图，这便是Mandelbrot集。
分形实在很美，于是读《分形理论与应用》尝试绘制Mandelbrot Set 曼德勃罗集。
naive idea: 空间上的分形和时间上的混沌有相似性。
一个动力方程是时间上的混沌，会收敛到吸引子，根据此画出的动力平面和参数平面是空间上的分形。
Mandelbrot Set1. 复迭代有一个关于z的复映射with 参数c如下：[公式]我们想要知道在参数平面中临界点[公式] 的轨迹是否有界，即对于一个c，根据迭代规则[公式]生成的序列[公式] ,则无界,[公式] 如果序列有界，则[公式]。
另外我们还想要知道在动力平面中[公式] ，不同z0 的值产生的轨迹是否有界，此时[公式] 如果序列有界，[公式] 如果序列无界。
2. Algorithm 逃逸时间算法为了绘制参数平面中的M集，我们需要确定每个c是否属于M 集，这里用到了逃逸时间算法。
逃逸准则对于一个复数[公式] , 模[公式] 。
我们claim：如果对于一个复数序列[公式] 有[公式] 则序列将逃逸到无穷大。
证明当[公式] , 则由[公式] 可知[公式] for [公式][公式]因此，我们得到[公式]那么在k次迭代后，我们得到[公式]序列趋于无穷如果[公式] ，可得[公式][公式] 因为[公式]那么对于任意[公式] , 假设[公式] , 我们有[公式] ，对于[公式]那么根据数学归纳法，我们知道序列趋于无穷。
z需要判断大于2来证明这是个无界序列吗？不用。
逃逸时间算法对于每个复参数平面上的点c，我们生成一个序列Z，怎么判断这个序列是否有界呢？根据逃逸准则，我们规定R为逃逸半径，在[公式] 里，如果[公式] ，判断有界（但其实也有可能这个序列是无界的），反之，这个序列无界。
曼德勃罗集合
查看文章曼德勃罗集合。
2009-05-12 13:17曼德勃罗集合是 Mandelbrot set ，简称 M 集。
M 集也是一个著名的分形集合，有关其详细说明，请参考Mandelbrot Set。
依然使用上一篇的方法，对f c(z) = z^2 + c 进行迭代，不同的是z 初始值指定0 。
上图的M 集和下图J 集是不是有些相似呢？参考范围，起始位置：(-2.5,-1.35) ，最大尺寸：(3.6,2.7) ，不应当超出该范围。
下面的例子绘制的初始坐标-.4297,-.5801 ，尺寸 .0036,.0027 的M 集。
C# Code - :// 复数类，见上篇。
// 绘制图像，包含 unsafe codeColor[] p = new Color[256]; // 调色板Complex z, c;Bitmap b = new Bitmap(400, 300); // 创建位图BitmapData d = b.LockBits(new Rectangle(Point.Empty, b.Size), ImageLockMode.WriteOnly, PixelFormat.Format32bppArgb); // 锁定图像int* v = (int*)d.Scan0; // 像素首地址for (int i = 0; i < p.Length; i++) p[i] = Color.FromArgb(i, i, 0); // 调色板for (int x = 0; x < b.Height; x++){for (int y = 0, k = 0; y < b.Width; y++, k = 0){c = new Complex(-.4297 + x * (3.6 / (b.Width / (.0036 / 3.6))), -.5801 + y * (2.7 / (b.Height / (.0027 / 2.7))));z = new Complex(0, 0);// 进行迭代，不超过 200 次while (k++ < 199 && Math.Sqrt(z.real * z.real + z.imaginary * z.imaginary) < 2) { z = (z * z) + c; }v[y * b.Width + x] = p[(int)((k / 200f) * 255)].ToArgb(); // 着色}}b.UnlockBits(d); // 解锁放大的 M 集 (迭代 1000 次)，要获得较好的艺术效果，得选择很好的着色方案：。
基于分形理论中Mandelbrot集变换的印花图案设计
中 图 分 类 号 ： Ｐ ９ Ｔ ３１ 文 献 标 志 码 ： Ａ
Ｐｒ ｎ ｉ ｔｅ ｎｓ ｄ ｓｇ ｓ ｄ ｏ ａ ｅ ｂ ｏ ｅ ｎ ｆ ａ ｔ ｌｔ ｅ ｒ ｉ ｔｎｇ ｐａ ｔ ｒ ｅ ｉ ｎ ｂａ ｅ ｎ Ｍ ｎｄ ｌ ｒ ｔ ｓ ｔ ｉ ｒ ｃ ａ ｈ ｏ ｙ
ｔａ ｓｏｍ ａｉ ｎ ｍｏ ｅ ｏ ａ ｄｅｂ ｏ ｓ ｔ ｒ ｎ ｆｒ ｔｏ ｄ ｓ ｆ Ｍ ｎ ｌ ｒ ｔ ｅ ｗｅ ｅ ｒ ｄｉｃ ｓ ｅ ｔ ｍａ ｅ ｐ ｈｅ ｅａ ｌｓ ｎ ｒｄｉ ｏ ｌ ａ ｒｃ ｓ ｕ ｓｄ ｏ ｋ ｕ ｔ ｄ ｆ ｕ ｔ ｉ ｔａ ｔ ｎａ ｆ ｂ ｉ ｉ ｐ ｔ ｒ ｓ ｄ ｓｇ ａｔ ｎ ｅ ｉ ｎ， ｗｈｉｈ ｅ ｕｉｅ ｏ ｇ ｒ ｃ ｎ ｅ ｔ ｎ ｎ ｄ ｓｇ ｔｍｅ Ａｎ ａ ｏ ｅ ａ ｐ ｏ ｃ ｏ ａ ｒｃ ｅ ｃ ｒ ｑ ｒ ｄ ｌ ｎ ｅ ｏ ｃ ｐ ｉ ａ ｄ ｅ ｉ ｎ ｉ ． ｏ ｄ ｎ ｖ ｌ ｐ ｒ ａ ｈ ｆ ｒ ｆ ｂ ｉ
Ａ ｂ ｔ ａ ｔ Ｂａ ｅ ｎ ｒ ｃ ａ ｈ ｏ ｙ ｎ ｇ ａ ｈ ｃ ｌ ｅ ｈ ｏ ｏ ｙ ｆ ｃ ｍｐ ｔ ｒ ｔ ｅ ｆ ｒ ｔｏ ｒ ｎ ｉ ｌ ｎ ｓｒ ｃ ｓ ｄ ｏ ｆａ ｔ ｌ ｔ ｅ ｒ ａ ｄ ｒ ｐ ｉ ａ ｔ ｃ ｎ ｌ ｇ ｏ ｏ ｕ ｅ ， ｈ ｏ ｍａ ｉ ｎ ｐ ｉ ｃ ｐ ｅ ａ ｄ
ｐ ｉｔｎ ａｔｒ ｄ ｓｇ ｓ ｒ ｐ ｓ ｄ， ｔ ｅ ｅ ｙ ｂ ｎ ａ ｔ ａ ｔ ｓｉ ｒｃ ａ ｔｅ ｎ ， Ｊ ｌａ ａｔｒ ｓ ｒｎ ｉ ｇ ｐ ｔｅ ｎ ｅ ｉｎ ｗａ ｐ ｏ ｏ ｅ ｈ ｒ ｂ ａ ｕ ｄ ｎ ｆｎ ａ ｔｃ ｆａ ｔｌ ｐａｔｒ ｓ ｕ ｉ ｐ ｔｅ ｎ ｗｅ ｅ ｒ
曼德勃罗集合分形图案
曼德勃罗集合分形图案三、曼德勃罗集合（Mandelbrot Set）曼德勃罗集合（Mandelbrot Set）或曼德勃罗复数集合，是⼀种在复平⾯上组成分形的点的集合，因由曼德勃罗提出⽽得名。
曼德博集合可以使复⼆次多项式进⾏迭代来获得。
其中，c是⼀个复参数。
对于每⼀个c，从z = 0 开始对f c(z)进⾏迭代。
序列的值或者延伸到⽆限⼤，或者只停留在有限半径的圆盘内（这与不同的参数c有关）。
曼德布洛特集合就是使以上序列不延伸⾄⽆限⼤的所有c点的集合。
最后，我们给出⼀个利⽤C语⾔⽣成Mandelbrot集合并绘制图形的程序（该程序来⾃⽂献【1】）：#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <complex.h>#define width_size 800#define height_size 600#define Maxval 255static const float orig_x = width_size * 2/3;static const float orig_y = height_size * 1/2;static const pixel dim_gray = { 105, 105, 105 };typedef struct _pixel {unsigned char r;unsigned char g;unsigned char b;} pixel;static unsigned char iteration(int x, int y){const int limit = Maxval + 1;int i;complex c = ((x - orig_x) / (width_size / 3)) +((orig_y - y) / (height_size / 2)) * I;complex z = 0;for (i = 0; i < limit; i++) {/* basic formula */z = z * z + c;if (creal(z) > 2 || cimag(z) > 2)break;}return (unsigned char) (i == limit ? 0 : i);}int main(){FILE *f = fopen("mandelbrot.ppm", "w+");/* PPM header */fprintf(f,"P6\n"/* PPM magic number */"#Mandelbrot Set\n""%d "/* width, in ASCII decimal */"%d\n"/* height, in ASCII decimal */"%d\n", /* maximum color value, in ASCII decimal */width_size, height_size, Maxval);/* Write every pixel generated by Mandelbrot Set */for (int i = 0; i < height_size; i++) {for (int j = 0; j < width_size; j++) {unsigned char iter = iteration(j, i);if (iter) {pixel p = {.r = iter,.g = (float) abs(j - orig_x) / width_size * Maxval,.b = (float) abs(i - orig_y) / height_size * Maxval };fwrite(&p, sizeof(pixel), 1, f);} else {fwrite(&dim_gray, sizeof(pixel), 1, f);}}}fclose(f);return0;}上述程序所⽣成的图像结果如下图所⽰，需要补充说明的是：该图像⽂件格式为ppm，在Windows下你可以使⽤Photoshop 来查看这种类型的图像⽂件，在OS X系统下你可以使⽤免费的GIMP软件来查看它。
神奇的曼德布洛特集合，绚丽的分形艺术图像（1）
神奇的曼德布洛特集合，绚丽的分形艺术图像（1）
分形（Fractal），是耶鲁大学数学家曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。
由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。
应用一个方程去等于一个数字，然后让同样的方程去计算相同的结果，一遍遍的重复这个过程。
当结果被转换成几何形态，便会产生了包含着同样的形态不同的比例，生成惊人的自我衍生图像。
这种运用曼德布洛特集合，由程序迭代（iterative）而产生图像的过程，称为分形（fractal）艺术。
分形艺术不同于普通的“电脑绘画”，普通的“电脑绘画”概念是用电脑为工具从事美术创作，创作者要有很深的美术功底，且作品的创作几乎完全依赖于作者的个人意愿。
而“分形艺术”则是利用分形几何学原理，借助计算机强大的运算能力，将数学公式反复迭代运算，再结合作者的审美及艺术性的塑造，从而将抽象神秘的数学公式变成一幅幅精美绝伦的艺术画作。
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何分形几何是一门结合数学和艺术的学科，它研究自相似性和无限重复的图形。
分形是一种可以通过递归运算生成的图形，其每个部分都与整体具有相似的形状和属性。
分形几何广泛应用于自然界、科学、艺术和计算机图形学等领域。
分形几何的概念最早由波兰数学家曼德博勒特·曼德博勒特于20世纪70年代提出。
他通过迭代运算生成了一种被称为“曼德博集合”的分形图形，该图形具有无限复杂的细节和自相似性。
曼德博勒特的研究成果开创了分形几何的研究领域，吸引了许多科学家和艺术家的关注。
分形几何的魅力在于它展现了自然界中许多复杂的形态和规律。
分形几何可以用来描述云朵、山脉、树木、海岸线等自然景观的形状和纹理。
这些自然景观往往具有层次分明、规则重复的结构，正是分形几何的特点所能很好地解释和模拟这种现象。
在艺术领域，分形几何为艺术家们提供了一种新的创作方式和表现手法。
艺术家可以使用分形生成软件来创作出具有分形特征的艺术作品。
这些作品通常具有随机性、复杂性和自相似性，给观者带来一种与众不同的观感和感官体验。
分形艺术常常被赋予一种神秘、浪漫和超现实的风格，使人沉浸其中。
分形几何的应用还扩展到计算机图形学和图像处理领域。
分形图形可以被用来生成真实感模拟、虚拟现实和特效动画。
通过分形算法，计算机可以生成具有高度精细化和无限细节的图像，使得图像更加逼真、生动，并且可以实现无尽的变化。
除了在科学、艺术和计算机图形学中的应用，分形几何还对理解自然界的一些现象和规律具有重要意义。
分形几何揭示了许多自然界中的分形结构，如闪电、河流、植物的分枝、肺部的支气管等。
了解并研究这些自然现象的分形特征，对于深入理解它们的内在规律和运行机制具有重要意义。
分形几何是一门有着深厚学术背景和广泛应用前景的学科。
它不仅仅是一门数学理论，更是一门艺术表现和探索自然界的工具。
通过分形几何的研究和应用，人们可以更好地理解自然现象、创造艺术作品、设计复杂图形和模拟现实世界。
分形几何学：自然界的复杂之美
分形几何学是一门独特而又神秘的数学学科，它研究的是自然界中那些看似无法描述的复杂结构。
从山脉的峰与谷到树叶的纹理，从雷电的闪电路径到心电图的波动曲线，我们可以在各个领域中发现分形的存在。
它的研究成果让我们深刻地感受到了自然界的复杂之美。
分形几何学的概念最早由波兰数学家曼德尔博士在20世纪70年代提出。
他研究了一个叫做“曼德勃罗集(Mandelbrot Set)”的特殊分形，这个集合包含了无穷多个复数点。
曼德勃罗集的图像以其形状复杂而美丽而著称于世。
看似小小的一个图案却包含了无穷多的细节，无论怎么进行放大，每一次放大都会揭示出更多的分形结构，仿佛进入了一个无限迷宫。
这个发现引起了人们对分形几何学的极大兴趣。
自然界中的分形结构十分常见，从大到小，无处不在。
比如我们常见的树枝结构，无论是从整体还是局部上看，都呈现出分形特征。
一棵大树的枝干不仅有树枝，树枝上还有更小的分支，这些分支上又有更细小的枝条，它们以类似的方式重复出现，形成了树的层级结构。
类似的分形结构还存在于河流的模式中，从主河道到支流再到小溪，每一级都是满足分形特征的。
即使在人类体内，血管、神经系统等也具备分形特征，这使得我们的身体更加灵活和高效。
分形结构不仅存在于自然界，还在科学和艺术领域产生了极大的影响。
科学家们发现，用分形几何学理论可以更好地描述许多自然现象，例如云的形状、风暴的路径等。
而在艺术创作中，分形图案被广泛应用，它们展示了令人惊叹的美感。
许多艺术家通过计算机生成算法来创造分形艺术作品，这些作品呈现出无限的细节和复杂性，使观众深陷其中。
然而，分形几何学的研究远远没有结束。
虽然我们已经在自然界和艺术中发现了许多分形结构，但这只是冰山一角。
未来还有许多未知的领域值得我们去探索。
随着计算机技术的进步，我们能够更深入地研究分形几何学。
通过模拟和计算，我们可以以更高的精度和更快的速度生成分形图像。
这将有助于我们更好地理解分形的本质和应用。
曼德尔布罗特--奇妙的分形几何
奇妙的分形几何：噪音也可形成美丽图案(图)2010年10月21日 13:38据国外媒体报道，2010年10月14日，著名数学家、“分形几何之父”伯努瓦-曼德尔布罗特在美国因病逝世，享受85岁。
他所提出的“分形几何”理论和出版的《大自然的分形几何》一书，不仅仅为世人带来一个神奇绝妙的美丽世界，而且分形几何在数学、物理学、生物学等许多科学领域中都得到了广泛的应用，甚至对流行文化领域也产生了重要影响。
让我们通过如下这组不断放大的美丽分形几何图案来纪念这位天才数学家。
1. 曼德尔布罗特集合曼德尔布罗特集合曼德尔布罗特集合最经常被用来说明何为分形几何，它已成为分形几何的标志性图案，它可以帮助我们更好地理解我们周围不规则和粗糙的世界。
它的名称就来源于“分形几何之父”伯努瓦-曼德尔布罗特。
分形几何理论认为，许多领域(如物理学、生物学以及金融等)中的复杂现象，都可以以这种美丽的图案进行处理。
2. 伯努瓦-曼德尔布罗特伯努瓦-曼德尔布罗特伯努瓦-曼德尔布罗特在1982年的照片。
曼德尔布罗特出生于波兰华沙。
当时，为了逃避纳粹的追杀，他们全家移居法国。
曼德尔布罗特先后供职于全球多家最著名的研究机构，不过在职业生涯的大部分时间里，他都是IBM的一名研究员。
在IBM，曼德尔布罗特第一次遇到不规则问题，这一问题导致他提出了最著名的分形几何理论。
20世纪60年代，IBM科学家们被电子“噪音”所困扰，这种“噪音”可能会干扰数据传输，导致错误的发生。
尽管当时没有能够对这种“噪音”有更深入的认识，但曼德尔布罗特发现，“噪音”会形成一种图案，而且它们被检测时距离越靠近，形成的图案也更复杂。
3. 第一步靠近第一步靠近一个新词汇--“分形”(fractal)。
“fractal”来自拉丁文“fractus”，原意为“碎片”。
4. 进一步靠近曼德尔布罗特根据他的观测结果，撰写了《大自然的分形几何》一书，该书发表于1982年。
在《大自然的分形几何》一书中，他创造了进一步靠近要想理解曼德尔布罗特所观察到的奇怪现象，最好的方法就是去思考如下这个非常简单问题的答案，即“英国海岸线有多长”。
基于Mandlebrot集的分形图形用于丝绸图案设计
（ ｌ ｇ ｆ ａｈｏ ， ｈｎ ｈ ｉ ｉｅｓｙｏ Ｅ ｇｎｅｉｇＳ ｉ ｃ ， ｈ ｇ ａ ０ ６ ０ Ｃ ｉａ Ｃｏｌ ｅ Ｆ ｓｉｎ Ｓ ａｇ ａ ｖ ｒｉ ｆ ｎ ｉｅｒ ｃｅ ｅ Ｓ ａ ｈ ｉ １２ ， ｈｎ ） ｅ ｏ Ｕｎ ｔ ｎ ｎ ｎ ２
规律 ，找出 了图形 结构与 函数 的基本关 系，并运 用 图像 处理软 件Ｘ ａ ｅ 得到连 续图案 ，在此基础 上与法 国力克 的服 装设计 软件 Ｆ ｄｒ
Ｐ ｉａ ｉ ｉｎ 结合 ，将 生 成 的分 形 图形 应 用 到 丝 绸 图案 设 计 中 。 ｒ ｍ Ｖ ｓｏ 相
关 键 词 ：Ｍ ｎ ｌｂ ｏ 集 ：分 形 图形 ；丝 绸 装 图案 ； 图案 设计 ａｄｅｒ ｔ
中 图 分 类 号 ：Ｔ ９ １２ Ｓ ４ ． 文 献 标Fra bibliotek志 码 ：Ｂ
文章 编 号 ： １０ — ０ ３（０ １０ — ０ ５ ０ ０ １ ７０ ２ １） ８ ０ ３ — ３
Ａｐ ｌｃ ｔｏ ｆｆａ ｔ ｌ ｒ ｐ ｓｉ ｉ ｐ ｔｅ ｓｇ ａ ｅ ｎＭ ａ ｄ ｌ ｏ ｅ ｐ ｉａｉ ｎ ｏ ｃ ａ ａ ｈ ｎ ｓｌ ａｔｍ ｄｅ ｉ ｎｂ ｓ ｄ ｏ ｎ ｅｂｒ ｔｓ ｔ ｒ ｇ ｋ
ｉ ｓ ｄ ｔ ｔ ｓ ｍ ｅ ｃ ｔｎ ｕｓ ｐ ｔｅ ｎｓ ｎ ｈｅ ｒ ｎ ｒｎ ｒ ｖｅ ｆｅ ｈｅ ｔｅ ｔ ｅ ｌ ｔ ｉ ｓｇ ｓ ｕ ｅ ｏ ｇｅ ｏ ｏｎ ｉ ｕｏ ａ ｔ ｒ ，ａ ｄ ｔ ｅ ｄｅ ｉ ｇｓ ａ ｅ ｇｉ ｎ ａ ｔ ｒ ｔ ｒ ａ ｍ ｎｔｏｆｃ ｏ ｈ ｎｇ ｄｅ ｉ ｎ
续 的修 改过程 也 比较烦琐 ，往 往成为产 品设计 中的一 个瓶颈 。而利 用分形 的 自相似 性 ，再 结合 计算机 ，可 以在短 时问 内构造 出千变万化 而又具有任 意高分辨率
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
具视觉美学形态的Mandelbrot集合分形图案作者：蔡宗文林建德温国勋来源：《海峡科学》2012年第08期[摘要] 分形图案具有极高的视觉美学形态。
该文介绍了Mandelbrot集合分形图案的生成方法，根据复数平面逃逸时间算法生成分形图案，程序设计以Visual Basic 2008程序语言及开发整合环境为发展工具，建立一个具有图案信息显示的工作系统。
应用所发展的程序，分析不同幕次Mandelbrot集合所生成分形图案的形态，并据此提出色差控制与大色差控制两种分形图案的色差控制方法，产生具有极高视觉美学形态的分形图案。
[关键词] 分形图案 Mandelbrot集合视觉美学0 引言分形几何（Fractal Geometry）起源于19世纪，一些著名数学家对连续不可微曲线进行了研究，发现了存在一类结构及形态，与传统几何曲线有所不同的“病态”曲线，诸如Cantor集合、Koch曲线、Peano曲线及Sierpinski集合[1, 2]。
到了20世纪70年代，Mandelbrot[1,2]透过对复数平面(Complex Plane)的一个简单函数的迭代研究，得到了令人赞叹的复杂平面图案，称为Mandelbrot集合。
该图案集合的边界具有复杂而精细的结构，在电脑的计算精度容许下，对其边界进行任意放大时，可以得到的局部图案与整体图案具有自相似性（Self-Similar），亦即分形集合（Fractal Sets）的自相似性结构[1,2]。
1982年，Mandelbrot在其著作《自然界中的分形几何》中，将这类数学问题称为分形几何，而这些分形几何集合则称为分形艺术图案或分形图案（Fractal Art Pattern or Fractal Pattern）[1-6]。
分形艺术图案在装饰艺术设计、广告设计、服装设计、陶瓷设计等设计领域中已有部份应用[7-14]。
应用分形几何理论于艺术图案与纺织纹样设计，可以得到一些具有特殊的线条、图案与色彩的分形艺术图案。
1 复数平面上的Mandelbrot集合在众多的分形模型中，复数平面分形系统所生成的分形图案具有令人心动的视觉美学形态。
图1为由Mandelbrot集合进行迭代计算后所产生的图案，图案的形态表现出无限细分、重复对称与自相似的分形性质，具有极高的视觉美学形态。
图1 Mandelbrot集合分形图案1.1 二次Mandelbrot集合Mandelbrot集合的二次复数函数的数学表达式为，变量与都是复数形式，分别为与。
其迭代过程写成，其中，为第次迭代后的复数值；为定常复数，即及，整理后可得及。
Mandelbrot集合中，复数的值是控制复数函数在复数平面上迭代值，亦即在平面上以点为函数的搜寻迭代点序列。
因此，Mandelbrot集合的生成，是在迭代过程中给定初值后，在复数平面上依复数的实部与虚部相对应取值，范围分别为：（实部）及（虚部）；再由及得到。
Mandelbrot集合的迭代过程实际上是观察在复数平面上，定常复数的对应原点（初值）是否会远离原点与远离原点的速度，可以用迭代点与原点的模（距离）表示，即。
反复上述过程，可以得到一系列数集合，称为Mandelbrot集合。
以上说明了Mandelbrot集合的数集合产生过程，以不同的定常复数进行迭代时，迭代点序列可能发生两种情况：(1) 迭代点序列自由地朝向无穷远的方向发散；(2) 迭代点序列收敛到复数平面上一定的区域内。
将这些数集合以电脑绘图案式显示，并以不同的色彩对应不同类型数集合的点，则可以得到Mandelbrot集合图案，称为逃逸时间演算法（Escape Time Algorithm）。
1.2 高次Mandelbrot集合对于高次（如三、四至次）复数函数的Mandelbrot集合可表示如下：三次Mandelbrot集合为，则在Mandelbrot集合的逃逸时间演算法中迭代式分别为及。
四次Mandelbrot集合为，则在Mandelbrot集合的逃逸时间演算法中迭代式分别为及。
次Mandelbrot集合为，即。
显然，此式是一种复数的迭代乘积，可以用一迭代演算法取代。
2 Mandelbrot集合分形图案生成的程序设计根据上述Mandelbrot集合的迭代过程，本文发展Mandelbrot集合的逃逸时间算法的视窗程序。
程序设计以Visual Basic 2008程序语言及开发整合环境为发展工具，建立一个具有图案信息显示的工作系统。
图2所示为视窗程序的Mandelbrot集合分形图案生成环境，设置集合控制参数的输入项目及三个按钮项目：(1)色差绘图；(2)大色差绘图；(3)结束程序。
图2 Mandelbrot集合分形图案生成程序界面在色彩控制上采用色差控制和大色差控制两种方法。
色彩控制实际上是依据逃逸时间算法的基本原理，由逃逸时间算法的结果决定绘图点的色彩。
若以 , 及分别表示电脑色彩中的红、绿及蓝三主色彩的值（0～255），则 , 及将是逃逸时间算法的最终迭代次数的函数；当不同时，绘图点的色彩也不相同。
本文提出色差控制方法，将不同逃逸时间的绘图点进行色彩差异增大。
以 , 及分别表示电脑色彩中的红、绿及蓝三主色彩的色差控制参数，则 , 及的色差控制分别为 , ，。
大色差控制方法以 , 及分别表示电脑色彩中的红、绿及蓝三主色彩的色差控制参数，则 , 及的大色差控制分别为 , ，。
图3所示为在大色差控制方法调节时，当 , 及时所产生的Mandelbrot集合分形图案，明显地，发散区域中不同的逃逸时间的绘图点显示出清晰的不同色彩层次，具有极高的视觉美学形态。
图3 大色差控制方法调节Mandelbrot集合分形图案生成程序界面表1为复数平面上不同幂次的Mandelbrot集合的分形图案生成，分别以色差控制与大色差控制进行图案生成。
由表1可知，不同幂次Mandelbrot集合所生的分形图案明显具有不同的构造，幂次数目与图案的对称角成正比，具有极高的视觉美学形态。
3 结论自相似性是分形理论的重要特征，分形图案的生成就是因为具有自相似性的特征，而分形图案的自相似性就是指图案的局部与整体间，具有规则的几何相似性，或者是不规则的统计自相似性，图案的局部中有其局部，整体与局部间结构不断重复与相似，在视觉表现上成为了无限精细的结构。
因此，分形图案产生强烈的视觉艺术性，特别是经由Mandelbrot集合所生成的分形图案，形成一种新颖的艺术风格，又与传统艺术风格一样具有和谐与对称的美学特征，其对称更是在传统艺术仅有的上、下、左、右及中心对称之外，揭示另一种相似性的对称表现。
本文结果说明了分形图案不但具有艺术美学性质，其自相似的视觉特征与表现，可以作为实际图案设计的应用。
参考文献:[1] Mandelbrot, B.B. Fractal: Form, Chance, and Dimension [M]. San Francisco: W.H. Freeman, 1977.[2] Mandelbrot, B.B. The Fractal Geometry of Nature [M]. San Francisco: W.H. Freeman, 1982.[3] Mandelbrot, B.B., Passoja, D.E., A. Paully. Fractal character of fracture surfaces of metals [J]. Nature, 1984, 308: 721-722.[4] Falconer, K.J. The Geometry of Fractal Sets [M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1985.[5] Falconer, K.J. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Application [M]. New York: John Wiley and Sons Press, 1991.[6] Falconer, K.J. Techniques in Fractal Geometry [M]. New York: John Wiley and Sons Press, 1997.[7] 屈世显，罗俊，张建华. 分形图案与花色设计[J]. 纺织基础科学学报，1994, 7(2): 127-131.[8] 陈有卿. 分形艺术与服装面料图案设计[J]. 纺织学报，2003, 24(3): 88-89.[9] 杨旭红，李栋高，颜晓华，张聿. 基于分形L系统的纺织品图案的自动生成[J]. 纺织学报，2003, 24(3): 13-15.[10] 田旭桐. 装饰图案[M]. 合肥：安徽美术出版社，2005.[11] Lam, K.T., Wen, K.H., Lee Y.Y., Y.L. Hsu. The generation and application of Julia set fractal patterns - the computer generation of Chinese dragon-shaped patterns [C]// Proceedings of 2009 Global Chinese Industrial Design Conference. Taiwan, 2009, (1): 13-17.[12] Lam, K.T., K.H. Wen. Application of Julia set on the generation of Chinese dragon-shaped patterns [J]. Journal of Design Education, 2010, 1(3): 45-54.[13] Chang, B.J., Ho, M.C., K.T. Lam. Application of Lindenmayer system to generating fractal patterns [J]. Journal of Design Education, 2010, 1(2): 33-40.。