高二数学必修5 解三角形 ppt

A、A、S 三角形唯一
二、已知两边、一边所对的角 （正弦定理）
例题讲解 例2 在 ABC 中，已知a 4, b 4 2 , B 45 ，求 A 。 a b a sin B 1 sin A 解：由 得 sin A sin B b 2 ∵ ∴ 在 ABC 中 a b A 为锐角 B C a b A
∴ A≈84°.
√ 73· 2√5 2 ＝ . √365
4：已知向量a、b夹角为120°， B
C
120°
且|a| ＝5，|b|＝4，求|a – b| 、 b
|a＋b| 及a＋b与a的夹角. 解：在AOB中，
O
a
A
∵ |a – b|2 ＝ |a|2＋|b| 2 – 2|a||b|cos120° ＝61, ∴ |a – b|＝√61.
证明：由于正弦定理：令 a k sin A, B k sin B, c k sin C
代入左边得：
左边＝ k (sin A sin B sin A sin C sin B sin C sin B sin A sin C sin A sin C sin B) 0 =右边
0
C a
b B A
B 60或120
C 90 或30
0
二、已知两边、一边所对的角 （正弦定理）
练习: 1 在 ABC 中，已知 c 2, a 3, A 60 ，那么_____ A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定 。
sin C 1
2：在ABC中，已知a＝7，b＝10， c＝6，求A、B和C. 解： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ b2＋c2－a2 cosA＝ ＝0.725， 2bc A≈44° 2 a ＋b2－c2 cosC＝ ＝0.8071， 2ab C≈36°,
5.9 正弦定理、余弦定理
解三角形复习(1)
一、复习 正弦定理
正弦定理 相等，即
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比
a b c 2R sin A sin B sin C
1 S△ABC＝ 2
absinC
1 S△ABC＝ 2
acsinB
1 S△ABC＝ 2
bcsinA
一、复习 正弦定理
一、已知两角、一边（正弦定理）
例题讲解 例1 在 ABC 中，已知 c 10, A 45, C 30 ，求b（保 留两个有效数字）. b c 解：∵ 且 B 180 ( A C ) 105 sin B sin C
c sin B 10 sin 105 b 19 sin C sin 30
∴ 等式成立
一、复习 正弦定理
练习：
B 45, C 60, a 2( 3 1) ，求 ABC 中， 在
ABC 的面积S．
解： A 180 ( B C ) 75 A
2 2( 3 1)( h ) a sin B 2 4 ∴由正弦定理得 b sin A 三角形面积公式 B 6 2 C 4 1 1 1 1 ab sin C ac sin B bc sin3A S ABC aha 1 1 2 24 ( ) 6 2 3 S 2 ab sin C 2 2( 3 1) ABC 2 2 2
AC ＝√
∴ cosA＝
(6-4)2+(5-1)2=2
√5 ,
AB 2＋ AC 2－ BC 2 2 AB AC
,
∴ A≈84°.
3：ABC三个顶点坐标为(6，5)、 (–2，8)、(4，1)，求A. 解法二：
y
B A
∵ AB＝(–8，3)，AC＝(–2，–4).
AB· AC ∴ cosA＝ AB AC ＝ (– 8)×(– 2)＋3×(– 4) O C x
（2）在ABC 中，已知 a 2 3, b 6, A 30 ， 则 B 等于（ D ） A. 30º B. 60º C. 120º D. 60º 或120º
一、复习 正弦定理
练习： （3）在任一 ABC 中，求证： a(sin B sin C ) b(sin C sin A) c(sin A sin B) 0
正弦定理可以用来解两种类型的三角问题：
(1) 已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一 角； (2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形 的其他的边和角。
二、复习 余弦定理
1.余弦定理是解三角形的又一重要工具 2＋c2－a2 b ; c2=a2＋b2－2abcosC; cosA＝ 2bc 2＋a2－b2 c ; b2=c2＋a2－2cacosB; cosB＝ 2ca 2＋b2－c2 a a2=b2＋c2－2bccosA; cosC＝ . 2ab 2.余弦定理可解以下两种类型的三角形：
A 30
二、已知两边、一边所对的角 （正弦定理）
例题讲解 例3 在
ABC 中，已知
得
a 6, b 6 3, A 30 ，求 C 。
a b 解：由 sin A sin B
sin B
b sin A 3 a 2
60
∵ ∴
在 ABC 中 a b B 为锐角或钝角 B
4：已知向量a、b夹角为120°， B
C
120°
且|a| ＝5，|b|＝4，求|a – b| 、 b
|a＋b| 及a＋b与a的夹角. 在OAC中， ＝21, ∴ a＋b ＝√21. ∵ cos∠COA＝ a 2＋ a＋b 2 – b 2
O
a
A
∵ |a + b|2 ＝ |a|2＋|b| 2 – 2|a||b|cos60°
≈0.6546,
2 a a＋b ∴ ∠COA即a＋b与a的夹角约为49°.
一、复习 正弦定理
练习： （1）在 ABC 中，一定成立的等式是（ C ）
A. a sin A b sin B C . a sin B b sin A B . a cos A b cos B D. a cos B b cwenku.baidu.coms A
三 （、 余 弦已 定 理知 ）三 边
(
B＝180°－(A＋C)≈100°. c sinA ∵sinC＝ a ≈0.5954, ∴ C ≈ 36°或144°(舍).
)
3：ABC三个顶点坐标为(6，5)、 (－2，8)、(4，1)，求A. y 解法一： B ∵ AB ＝√[6-(-2)]2+(5-8)2 =√73 , BC ＝√(-2-4)2+(8-1)2 =√85 , A O 2 ＝ √365 C x
（1）已知三边；
（2）已知两边及夹角.
在三角形中由已知的边与角求出未知 的边与角，称为解三角形. 三个独立的条件确定一个三角形. C C b b b a a （1）已知两角一边； B A A cc A （2）已知两边及其中一边的对角；
（3）已知三边；(余弦定理) （4）已知两边及夹角.(余弦定理)