高中数学《排列与排列数公式》公开课优秀教学设计.docx
教学设计：排列与排列数公式
排列与排列数公式教学目标：知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。
过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题。
情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题。
教学重点：排列、排列数的概念教学难点：排列数公式的推导授课类型：新授课教学过程：一、复习引入：1．分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n 类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有 11n N m m m =++种不同的方法。
2分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n 步有种不同的方法，那么完成这件事有11n N m m m =⨯⨯种不同的方法分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区别在于:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才算做完这件事应用两种原理解题:1分清要完成的事情是什么；2是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立，“步”间互相联系； 3有无特殊条件的限制二、讲解新课：1、问题：问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙，其中被取的对象叫做元素解决这一问题可分两个步骤：第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 1 人，有 3 种方法；第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的 2 人中去选，于是有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，在 3 名同学中选出 2 名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有 3×2=6 种，如图一1 所示．图一1把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素a , b ，。
排列优秀教学设计
强调：分类和分步的关键就是
看完成一件事情是分类完成还是分步完成，能否独立完成一件事
复习两个原理，为新知识的学习奠定基础
二、创设情境，引入课题
引例、假设汽车车牌号码有6位组成，号码中每一位都是从大写英文字母或阿拉伯数字中任意选择一个，这种办法共能给多少辆车上牌？
变式：假设每一位都不能重复，这种办法共能给多少辆车上牌？
-------这个问题和元素的顺序有关就是我们今天要研究的排列问题
------能求出其方法种数吗？把被取的人看成元素，是否和顺序有关，我们可以如何描述呢？
从3个不同的元素a，b，c中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？
问题2的抽象叙述：从4个不同的元素a，b，c，d中任取3个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？
②排列数：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是自然数。
回顾
问题1：
问题2：
4.排列数公式：
（1）观察及归纳：
（2）排列数公式：
n！=
规定0！=1
（3）练习：
（学生回答）
根据乘法原理：36×36×36×36×36×36
这个是我们上一节课的知识
（学生回答）利用分步计数原理：
36×35×34×33×32×31
②从5本不同的书中选3本送给3个同学，每人一本，有多少种不同的送法？
③有10个车站,共需要多少种车票？
④用1，2，3，4，5，6，7这7个数可以组成多少个无重复的四位数？
2、简单的有条件限制的排列问题
例：用0，1，2，3，4，5，6，7这8个数可以组成多少个无重复的三位数？无重复的三位偶数？
练习：
高中排列组合教学设计名师公开课获奖教案百校联赛一等奖教案
高中排列组合教学设计一、教学目标：1. 理解排列和组合的概念，能够正确运用排列和组合的方法解决问题；2. 掌握排列和组合的计算公式，能够熟练计算排列和组合的结果；3. 培养学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
二、教学重点和难点：1. 理解排列和组合的概念，区分二者的区别；2. 控制计算排列和组合时的步骤，准确运用计算公式；3. 培养学生的逻辑思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力。
三、教学内容和教学步骤：1. 排列的概念和计算方法（1）排列的定义和符号表示；（2）全排列和部分排列的区别；（3）计算全排列和部分排列的公式；（4）示例分析和计算。
2. 组合的概念和计算方法（1）组合的定义和符号表示；（2）组合与排列的区别；（3）计算组合的公式；（4）示例分析和计算。
3. 组合与排列的应用（1）排列和组合在实际问题中的应用；（2）示例分析和解决实际问题。
四、教学方法和教具准备：1. 教学方法：（1）讲授法：通过讲解排列和组合的概念、计算方法和应用示例，引导学生理解和掌握相关知识；（2）示例法：通过实例引导学生进行演算和计算，培养学生分析和解决问题的能力；（3）讨论法：组织学生进行小组或全班讨论，共同探讨排列和组合的应用。
2. 教具准备：（1）黑板、白板和彩色粉笔；（2）教科书、教辅资料和练习册；（3）计算器。
五、教学评价与作业布置：1. 教学评价：（1）参与度评价：观察学生在课堂中的积极性和主动性，评价其参与讨论和思考的程度；（2）表现评价：通过课堂讲解和练习中的表现，评价学生对排列和组合概念的理解程度、计算方法的掌握程度以及解决问题的能力；2. 作业布置：（1）巩固练习：布置一定量的排列和组合练习题，要求学生熟练运用计算公式计算结果；（2）拓展应用：布置一定量的实际问题应用题，要求学生将排列和组合的知识应用到实际情境中。
六、教学反思：本节课的教学设计主要围绕排列和组合展开，通过讲解概念、计算方法和应用示例，引导学生理解和掌握排列和组合的知识。
全国高中数学优质课 排列与排列数公式教学设计
《排列与排列数公式》（第1课时）教学设计一．教学内容解析本节课是人教版A版《数学选修2-3》第一章第2节的第一节课，排列是一类特殊而重要的计数问题，教科书从简化运算的角度提出了排列的学习任务，通过具体实例概括而得出排列的概念，应用分步计数原理得出排列数公式，对于排列，有两个想法贯穿始终，一是根据一类问题的特点和规律寻找简便的计数方法，就像乘法作为加法的简便运算一样；二是注意应用两个计数原理思考和解决问题。
本节课具有承上启下的地位，理解排列的概念是应用分步计数原理推导排列数公式的前提，对具体的排列问题的分析又为排列数公式提供了基础。
排列数公式的推导过程是分布计数原理的一个重要应用，同时，排列数公式又是推导组合数公式的主要依据。
基于学生的认知规律，本节课只是对排列和排列数公式的初步认识，在后面知识的学习过程中，逐步加深理解和灵活运用。
本节课的教学重点是排列的概念、排列数公式，教学难点是排列的概念，排列的概念有一定的抽象性，本节课结合教科书的编排，采取了由特殊到一般的归纳思想来建构概念的理解过程，通过引导学生分析三个典型事例，从中归纳出共同特征，再进一步概括出本质特征，得出排列的定义，再跟进10个具体事例多角度加深对概念的理解，并多次强调一个排列的特点，n个不同的元素，取出m个元素，元素的顺序，奠定学生对排列定义的理解基础，为后面组合概念的提出埋下伏笔。
同时通过有规律的展示分步计数原理得到的一长串排列数，为后面水到渠成得到排列数公式作好铺垫，排列数公式的简单应用体现了排列简化步骤的优点，让学生直观感受学习排列的必要。
二．教学目标设置1.通过几个具体实例归纳概括出排列的概念，并能运用排列的判断具体的的计数问题是否为排列问题；能利用分步计数原理推导排列数公式，能简化分步计数原理解决问题的步骤。
在排列数符号及其公式的产生过程中体现简化的思想。
学生学习后能够对排列或非排列问题作出准确的判断，能够分析原因，能够简单应用排列数公式。
高中数学《排列与排列数公式》公开课优秀课件
课后探究:
1.从10个不同元素选其中2个元素，有多少种不同的选法
思考：从n个不同元素选其中m(m≤n)个元素，有多少种不同的选法？
2.6名同学站成一排照相，甲乙两名同学要相邻，有多 少种不同的排法？ 3.如图，用四种颜色给五个区域着色，相邻的区域不 能使用同一种颜色，共有多少种着色方法？
2 1 3 5
树状图： 2 3 4 34242 3
1 2 重庆市 1 34 1 2 3 4 3 4141 3 24141 2 2 3 1 3 1 2
四川省 四川省
思维启迪
问题3： 6名同学站成一排照相，有多少种不同的排
法？
思维启迪
问题1：从红、黄、蓝3种颜色选出两种给地图上的
重庆市和四川省上色。 问题2：从1、2、3、4这四个数字中，每次取出3个
（5）圆上10个不同点，过每2个点，画一条弦； 不是 （6）圆上10个不同点，以其中每2个点作有向线段；是
二.概念辨析:
探究一：判断下列事件是否是排列问题？如果是， 有多少个不同的排列？
（7）1、3、5、7、11这5个质数任选两个相乘； 不是 （8）1、3、5、7、11这5个质数任选两个相除； 是
（9）一个学生有20本不同的书，这些书以不同的方式排在一 个单层的书架上； 是
（10）53位同学随机选8位派往8个不同的地方参加活动，每个 地方派一人. 是
三.排列数公式及应用:
从 n个不同元素中取出 m(m n) 个元素，按照一定
的顺序排成一列，叫做从m个不同元素中取出 n 个元素
公式一：
的一个排列（Arrangement）. 这样的所有排列的个数叫排列数,简记为
m n
规定： 0 ！ 1
课堂小结:
高中数学_排列及排列数定义教学课件设计
......
第m位
n种
(n-1)种 (n-2)种(n-m+1)种
排列数公式
A
m n
n(n 1)n 2
n m 1
n,m∈N*,并且m≤n
应用新知
例题1
(1). 某年全国足球甲级(A组)联赛共有14队参加,每队都 要与其余各队在主客场分别比赛1次,共进行多少场比赛?
A2 14
（√ ）
(6)以圆上的 10 个点为端点，共可作多少条弦？ ( × )
概念形成
排列数：从 n 个不同元素中，任取 m（m≤n）个
元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 元
素的排列数，用符号 Anm 表示.
排列与排列数的区别？
概念深化
排列与排列数的区别
例：从 A、B、C 中取出两个元 素（字母）的排列:
解 每张票对应着2个车站的一个排列
N
A2 11
11 10
110
应用新知
例2 ：计算从a,b,c这三个元素中，取出3个元素的
排列数，并写出所有的排列
新知探究
问 题 3 什么叫全排列？
Ann __________________ _____ ， 规定 0!=1
问题 4 计算下列各组数的值
（1） A62 , A66 A44 ;
作业及要求：
完成：必做课本练习A组2—5题 选做课本练习B组1，2题
要求：1. 练习排列数的计算，达到熟练的程度. 2. 运用本节知识解决简单的排列问题.
教师寄语
不渴望能够一跃千里，只 希望每天能够前进一步。
重点难点
【教学重点】： 排列、排列数的概念. 【教学难点】： 排列数公式的推导，利用排列和排列数 公式解决简单的计数问题.
高中数学第一章计数原理2第一课时排列与排列数公式教学案北师大版选修2-3
第一课时排列与排列数公式[对应学生用书P6]排列的概念[例1] 下列哪些问题是排列问题：(1)从10名学生中选2名学生开会共有多少种不同的选法？(2)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘共能得几个不同的乘积？(3)以圆上的10个点为端点作弦可作多少条不同的弦？(4)10个车站，站与站间的车票种数有多少？[思路点拨] 判断是否为排列问题的关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．[精解详析] (1)选2名同学开会没有顺序，不是排列问题．(2)两个数相乘，与这两个数的顺序无关，不是排列问题．(3)弦的端点没有先后顺序，不是排列问题．(4)车票使用时，有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题．[一点通] 判定是不是排列问题，要抓住排列的本质特征，第一取出的元素无重复性，第二选出的元素必须与顺序有关才是排列问题．元素相同且排列顺序相同才是相同的排列．元素有序还是无序是判定是否为排列问题的关键．1．下列命题，①abc和bac是两个不同的排列；②从甲、乙、丙三人中选两人站成一排，所有的站法有6种；③过不共线的三点中的任两点所作直线的条数为6.其中为真命题的是( )A．①②B．①③C．②③D．①②③答案：A2．判断下列问题是不是排列，若是，写出所有排列．(1)从张红、李明、赵华三人中选出两人去参加数学竞赛有几种不同选法？(2)从(1)中的三人中选出两人分别去参加物理竞赛和数学竞赛有几种不同选法？(3)从a，b，c，d，e中取出两个字母有几种取法？解：(1)不是排列问题，因为选出两人参加数学竞赛与顺序无关．(2)是排列问题，因为选出甲、乙两人参加竞赛，甲参加物理，乙参加数学，与甲参加数学，乙参加物理是不同的结果，即与顺序有关．不同排列为张红李明；李明张红；张红赵华；赵华张红；李明赵华；赵华李明．(3)不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关．列举法解决排列问题[例2] 从得到的所有三位数．[思路点拨] 可按顺序分步解决，然后利用树形图列出所有的排列．[精解详析] 画出下列树形图，如下图．由上面的树形图知，所有的三位数为：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432.共24个三位数．[一点通] 在“树形图”操作中，先将元素按一定顺序排出，然后以安排哪个元素在首位为分类标准，进行分类，在每类中再按余下元素在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类，依次一直进行到完成一个排列，这样就能不重不漏地依照“树形图”写出所有排列．3．由1,2,3三个数字可组成________个不同数字的三位数．解析：三位数有123,132,213,231,312,321共6个．答案：64．A，B，C，D四名同学排成一行照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，试写出所有排列方法．解：因为A 不排第一，排第一位的情况有3类(可以B ，C ，D 中任选一人排)，而此时兼顾分析B 的排法，列树形图如图．所以符合题意的所有排列是：BACD ，BADC ，BCAD ，BCDA ，BDAC ，BDCA ，CABD ，CBAD ，CBDA ，CDBA ，DABC ，DBAC ，DBCA ，DCBA .排列数的计算[例3] (12分)计算下列各题：(1)A310；(2)A59＋A49A610－A510；(3)Am n －1·An n －mAn n －1.[思路点拨] 对(1)(2)，直接用排列数的连乘形式公式计算；对(3)，可利用排列数阶乘形式的公式证明．[精解详析] (1)A310＝10×9×8＝720.(4分) (2)A59＋A49A610－A510＝9×8×7×6×5＋9×8×7×610×9×8×7×6×5－10×9×8×7×6 ＝9×8×7×6×5＋110×9×8×7×6×5－1＝610×4＝320.(8分) (3)Am n －1·An n －m An n －1＝n －1！[n －1－m －1]！·(n －m )！·1n －1！＝1.(12分)[一点通] (1)排列数的第一个公式Am n ＝n (n －1)…(n －m ＋1)适用于具体计算以及解当m 较小时的含有排列数的方程和不等式．在运用该公式时要注意它的特点：从n 起连续写出m 个数的乘积即可．(2)排列数的第二个公式Am n ＝n ！n －m ！适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等．5．已知A2n ＝7A2n －4，则n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．2解析：由排列数公式，得n (n －1)＝7(n －4)(n －5)，n ∈N ＋. ∴3n 2－31n ＋70＝0，解得n ＝7或n ＝103(舍)．答案：B6．若Am 10＝10×9×…×5，则m ＝________. 解析：由排列数公式，得m ＝6. 答案：67．计算：2A59＋3A699！－A610＝________.解析：法一：原式＝2×9×8×7×6×5＋3×9×8×7×6×5×49×8×7×…×1－10×9×…×5＝2＋124×3×2－10＝1414＝1.法二：原式＝29！4！＋39！3！9！－10！4！＝24！＋33！1－104！＝2＋3×44！－10＝1.答案：18．(1)解方程A42x ＋1＝140A3x ； (2)解不等式：Ax 6<6Ax －26.解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥4，x≥3，∴x ≥3，x ∈N ＋，由A42x ＋1＝140A3x 得(2x ＋1)2x (2x －1)(2x －2)＝140x (x －1)(x －2)， 化简得，4x 2－35x ＋69＝0，解得，x 1＝3或x 2＝234(舍)，∴方程的解为x ＝3.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1≤x≤6，1≤x－2≤6，得3≤x ≤6，且x ∈N ＋.又Ax 6<6Ax －26 ⇒6！6－x ！<6·6！6－x ＋2！⇒(8－x )(7－x )<6⇒x 2－15x ＋50<0⇒(x －10)(x －5)<0 ⇒5<x <10.综上可知x ＝6，不等式解集为{6}．排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序也有关．在判断一个问题是否是排列问题时，可按下列方法进行：[对应课时跟踪训练二]1．5A35＋4A24等于( ) A ．107 B ．323 C ．320D ．348解析：原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348. 答案：D 2.A345！等于( ) A.120B.125C.15D.110解析：A345！＝4×3×25×4×3×2×1＝15.答案：C3．设a ∈N ＋，且a <27，则(27－a )(28－a )·…·(34－a )等于( ) A ．A827－a B ．A27a 34－a C ．A734－aD ．A834－a解析：8个括号里面是连续的自然数，依据排列数的概念，选D. 答案：D4．若从4名志愿者中选出2人分别从事翻译、导游两项不同工作，则选派方案共有( )A ．16种B ．6种C ．15种D ．12种解析：4名志愿者分别记作甲、乙、丙、丁，则选派方案有：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙，即共有A24＝12种方案．答案：D5．已知9！＝362 880，那么A79＝________. 解析：A79＝9！9－7！＝362 8802＝181 440.答案：181 440 6．给出下列问题：①从1,3,5,7这四个数字中任取两数相乘，可得多少个不同的积？ ②从2,4,6,7这四个数字中任取两数相除，可得多少个不同的商？③有三种不同的蔬菜品种，分别种植在三块不同的试验田里，有多少种不同的种植方法？④有个头均不相同的五位同学，从中任选三位同学按左高右低的顺序并排站在一排照相，有多少种不同的站法？上述问题中，是排列问题的是________．(填序号)解析：对于①，任取两数相乘，无顺序之分，不是排列问题；对于②，取出的两数，哪一个作除数，哪一个作被除数，其结果不同，与顺序有关，是排列问题；对于③，三种不同的蔬菜品种任一种种植在不同的试验田里，结果不同，是排列问题；对于④，选出的三位同学所站的位置已经确定，不是排列问题．答案：②③7．(1)计算4A48＋2A58A88－A59；(2)解方程3Ax 8＝4Ax －19.解：(1)原式＝4A48＋2×4A484×3×2A48－9A48＝4＋824－9＝1215＝45.(2)由3Ax 8＝4Ax －19，得3×8！8－x ！＝4×9！10－x ！，化简，得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.又∵x≤8，且x－1≤9，∴原方程的解是x＝6.8．从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．解：从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有A34＝4×3×2＝24种不同的分法．不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次为1,2,3,4号，画出下列树形图：由树形图可知，按甲乙丙的顺序分的分法为：语数英语数物语英数语英物语物数语物英数语英数语物数英语数英物数物语数物英英语数英语物英数语英数物英物语英物数物语数物语英物数语物数英物英语物英数。
高中数学2-3第一章 1.2.1 《排列概念与排列数公式》【学案】
1.2。
1排列与排列数公式一、课前准备1．课时目标(1) 理解排列的定义，并能解决简单的排列实际应用问题；（2) 熟记排列数公式，能进行熟练的运算；2．基础预探1．一般地，从n 个不同的元素中任取m ()m n ≤个元素，按照一定的 排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列.2。
从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素的 的个数叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数，用符号表示。
3．排列数公式mn A ＝ （m ，n n m N ≤∈且,*）。
4.n 个不同的元素全部取出的 ，叫做n 个不同元素的一个全排列,nnA =__________. 5。
正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用______表示,排列数公式写成阶乘的形式为m n A=,这里规定0!= 。
二、学习引领1.学习时应注意定义中那些细节？排列要求ｎ个元素是不同的，被排列的ｍ个元素也是不同的,即从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素进行排列.定义中规定m,n n,*，如果ｍ＜ｎ，则称为∈且mN≤选排列，如果ｍ＝ｎ,则称为全排列。
2．如何判断一个问题是否是排列问题？排列定义包括两个基本条件:一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排列”。
排列问题与元素的顺序有关，与顺序无关的不是排列，如取出两个数做乘法与顺序无关，就不是排列，做除法与顺序有关，就是排列。
3。
如何判断两个排列是否是相同排列？只有元素完全相同,并且元素的排列顺序完全相同时，才是同一个排列。
元素完全相同，顺序不一样就是不同的排列.4.什么是排列数,它计算时应注意什么？“排列"与“排列数"是两个不同的概念，排列是一个具体的排法,不是数；排列数是所有可能的排列的种数，是一个数.计算排列数时注意，它公式右边是ｍ个数的连乘积，其特点是：第一个因数是ｎ，后面的每一个因数都比它前面的因数少1；最后一个因数是ｎ－ｍ＋1，一共有ｍ个连续自然数的连乘积。
高中数学优秀教案教学设计----1.2.1排列
1.2排列与组合1.2.1 排列【教学目标】知识与技能：理解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，并能利用排列和排列数公式解决简单的计数问题。
过程与方法：经历排列数公式的推导过程以及将简单的计数问题划归为排列问题的过程，从中体会“化归”的数学思想。
情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力。
【重点难点】教学重点：排列、排列数的概念。
教学难点：排列数公式的推导，利用排列和排列数公式解决简单的计数问题。
第一课时【教学过程】一.复习回顾提出问题1：前面我们学习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，请同学们回顾两个原理的内容，并谈一谈两个计数原理的区别和联系。
活动成果：1.分类加法计数原理：如果完成一件事情有k类方案，由第1类方案有n1种方法可以完成，由第2类方案有n2种方法可以完成，……由第k类方案有nk种方法可以完成。
那么，完成这件工作共有n1+n2+……+nk种不同的方法。
2. 分步乘法计数原理：如果完成一件事情可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K步有nK种不同的方法。
那么，完成这件工作共有n1×n2×……×nk种不同方法.3.相同点：都是探究“完成一件事情所用不同方法总数”的计数原理。
不同点：强调分类（不重不漏），类与类之间相互独立，每一类中的每一种方法都能独立的完成这件事。
强调分步（步骤完整，前一步方法的选择不能影响到后一步方法的选择），步与步之间相互关联，只有每一步依次完成后才能完成这件事。
设计意图：复习两个原理，为新知识的学习奠定基础。
二.探究新知提出问题2：下面三个问题有什么共同的特点？能否给这一类计数问题找到一种简便的计数方法呢？（可利用已学习的计数原理解决）1.从安丰中学高三（18）班甲、乙、丙3名同学中选2名,一名担任班长,一名担任副班长 ,则共有多少种不同的选法?2.从1，2，3，4这4个数字中，每次取3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？3.从a 、b 、c 、d 、e 5个字母中，任取4个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？活动成果：从n 个不同的元素中，任取m （ｍ≤ｎ，m,n N *∈）个元素（被取的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列。
排列与排列数公式教学设计
排列与排列数公式教学设计作者：陈海波来源：《读天下》2018年第20期摘要：《排列与排列数公式》是高中选修2-3内容，是中学数学计数方法基本公式。
本文中，在排列与排列数公式教学设计中引入探究式教学模式，用探究性的问题串引领数学概念的构建。
关键词：排列；排列数；教学设计；数学概念；构建教学过程一、问题引入1. 请你例举出一个车牌照号码！2. 随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。
交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现，字母在前，数字在后，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？二、铺垫从生活中三个简单常见的计数问题出发，激发学生探究的兴趣。
问题一：从红、黄、蓝三种颜色中选出两种给地图上的淮安市和南京市上色，有多少种不同的着色方案？问题二：从1、2、3、4、5、6这六个数字中，每次取出3个不同的数字排成一个三位数，一共可以得到多少个不同的三位数？问题三：10名同学站成一排照相，有多少种不同的排法？第一个问题以淮安市和南京市上色作为背景，让学生了解颜色区分地图的背后，蕴涵了丰富的数学知识和文化，既为抽象概括排列定义，也为最后回到着色问题埋下伏笔。
第二个问题排数问题来自教材，既为抽象概括排列定义，也为后面探究二中顺利加大排数问题的难度做好的铺垫。
第三个排队问题，排队照片为本班10名同学，激发学生对问题本身感兴趣的同时，能深入挖掘问题的本质属性，也为后面全排列概念的顺理成章地得出及课后探究中有条件的排队做好铺垫！【教师提问1】：你能利用前面所学计数原理的知识解决问题吗？【学生探究1】：巩固复习分步计数原理（可借助框图直观表示），同时会用列举法或树形图把结果一一列出。
三、特点探寻，归纳提炼【教师提问2】：这三个问题有哪些共同特征？【学生探究2】：引导学生得出都是分步计数问题，运算有规律，都是从若干个不同元素选出元素，选出的对象都要排序，顺序不同方案不同。
高二数学排列与排列数公式1省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
123 12
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Байду номын сангаас
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431 43
432
一般地说，从 n 个不同元素 中，任取 m (m≤n) 个元素（本章 只研究被取出旳元素各不相同旳 情况），按照一定旳顺序排成一 列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素旳一种排列。
Pm n
n
(n
1)
(n
2)(n
m
1)
Pn n
n (n 1)
(n 2)
•
···•3
•2
•1
Pnn n ！
例1 计算：
(1)
P3 16
;
(2)
P8 12
;
P7 12
(3) P66 .
161514 3360
121110 98 7 6 5 5 121110 98 7 6
6！=6×5×4×3×2×1=720
排列与组合
排列与排列数公式 （一）
9.2 排列
例1 北京、上海、广州 三个民航站之间旳直达航 线，需要准备多少种不同 旳飞机票？
起点站 终点站
北京
上海 广州
上海
北京 广州
广州
北京 上海
飞机票 北京 上海
北京 上海
广州 北京
上海 广州
高中数学教案排列数学教案
高中数学教案排列-数学教案一、教学目标1. 让学生理解排列的概念，掌握排列数公式及应用。
2. 培养学生运用排列知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的逻辑思维能力和创新思维能力。
二、教学内容1. 排列的定义及排列数公式2. 排列的应用3. 排列数公式的推导4. 排列数在实际问题中的应用5. 拓展练习三、教学重点与难点1. 重点：排列的概念，排列数公式及应用。
2. 难点：排列数公式的推导及在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索、发现和解决问题。
2. 运用实例分析法，让学生直观地理解排列的概念和应用。
3. 利用小组合作学习法，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4. 采用分层教学法，关注学生的个体差异，提高教学效果。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例引入排列的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 新课导入：讲解排列的定义，引导学生理解排列数公式。
3. 实例分析：分析实际问题，展示排列数公式的应用。
4. 公式推导：引导学生通过小组合作，探索排列数公式的推导过程。
5. 练习巩固：布置针对性的练习题，让学生巩固所学知识。
6. 拓展延伸：提供一些拓展性问题，激发学生的创新思维。
7. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调重点知识点。
8. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课后作业：布置适量的课后作业，巩固学生对排列知识的理解和应用。
2. 课堂练习：课堂中进行一些练习题，及时了解学生对知识的掌握情况。
3. 小组讨论：评价学生在小组合作中的表现，包括沟通能力、协作能力等。
4. 创新能力：鼓励学生提出新的解题方法或思路，评价其创新能力。
七、教学资源1. 教材：选用合适的数学教材，提供基础知识。
2. 实例：收集一些实际问题，用于引导学生运用排列知识解决。
3. 课件：制作精美的课件，辅助教学。
4. 练习题：准备一些针对性的练习题，用于巩固所学知识。
八、教学进度安排1. 第1周：排列的定义及排列数公式2. 第2周：排列的应用3. 第3周：排列数公式的推导4. 第4周：排列数在实际问题中的应用5. 第5周：拓展练习九、教学反思1. 课后及时反思教学效果，了解学生对知识的掌握情况。
高中数学《排列与排列数公式》教学设计
高中数学《排列与排列数公式》教学设计【学习目标】1.熟练掌握排列数公式;2.能运用排列数公式解决一些简单的应用问题.【问题导学】1.预习教材P 14-P 20,找出疑惑之处.2.复习1:什么叫排列?排列的定义包括两个方面分别是取元素和排顺序;两个排列相同的条件是元素相同,元素的排列顺序也相同复习2:排列数公式:m nA=(,,m n N m n*∈≤全排列数n n A==.复习3从5个不同元素中任取2个元素的排列数是,全部取出的排列数是.【合作探究】探究任务一:排列数公式应用的条件问题1:⑴从5本不同的书中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法?⑵从5种不同的书中买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法?解析:(13560A=(2555125⨯⨯=新知:排列数公式只能用在从n个不同元素中取出m个元素的的排列数,对元素可能相同的情况不能使用.探究任务二:解决排列问题的基本方法问题2:用0到9这10个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数(写出表达式即可?解析:法一(直接法:按无0和有0分两类,共有312929648A A A+=个.(2间接法:32109648A A-=个.问题3:7位同学按照不同的要求站成一排,求不同排队方案有多少种?(1甲必须站中间;(2甲、乙只能站两端;(3甲不站左端,乙不站右端;(1(4甲、乙两人必须相邻;(5甲、乙两人不能相邻.解析:(1看作余下6个元素的全排列,66720A=种.(2根据分布乘法计数原理,第一步,甲、乙站在两端有22A种,第二步,余下的5位同学进行全排列有55A种,所以共有5252240A A=种.(3甲、乙为特殊元素,左、右两端为特殊位置.法一(特殊元素法:甲在最右边时,其他的可全排列,有66A种,甲不在最右边时,可从余下的5个位置中任选一个,有15A种;而乙可排在除去最右边位置后剩余的5个中的一个上, 有15A种,其余人全排列,故共有115555A A A种;由分类计数原理611565553720A A A A+=种.法二(特殊位置法:先排最左边,除甲外,有16A种,余下6个位置全排列有66A种,但应剔除乙在最右边的排法1555A A种,故共有161566553720A A A A-=法三(间接法:7个人全排有77A种,其中,不合条件的有甲在最左边时66A种,乙在最右边时66A种,其中都包含了甲在最左边,同时乙在最右边的情况,有55A种.故共有765765 2A A A-+=3720.(4(捆绑法把甲、乙两人捆绑后看成一个元素.有62621440A A=种.(5法一(插空法:先让其余的5人全排列再让甲、乙在6个位置插入排列,共有52563600A A=种.法二(间接法:不考虑限制条件共有77A种.除去甲、乙相邻的排法6262A A, 所以共有7627623600A A A-=种.变式:(16男2女排成一排,2女相邻,有多少种不同的站法?(26男2女排成一排,2女不能相邻,有多少种不同的站法?(34男4女排成一排,同性别者相邻,有多少种不同的站法?(44男4女排成一排,同性别者不能相邻,有多少种不同的站法?(54男4女排成一排,甲、乙之间必须有2人.有多少种不同的站法?解析:(1先将女生捆绑在一起.2727A A=10080(2先排男生再插入女生.626730240A A=.(34424421152A A A=.(4先排男(女生,再插入女(男生,444421152A A=.(5任取2人与甲、乙组成一个整体,与余下4人全排列,故有2252657200A A A=.新知:(1位置分析法;以位置为主,特殊(受限的位置优先考虑.有两个以上的约束条件时,往往根据其中一个条件分类处理.(2元素分析法:以元素为主,先满足特殊(受限的要求,再处理其他元素,有两个以上的约束条件时,往往考虑一个元素的同时,兼顾其他元素.(3间接法:也叫排异法,直接考虑情况较多.但其对立面情况较少,比较容易解决.可考虑用间接法.(4插空法:“不相邻”问题可以用插空法.但要注意无限制条件的元素的排列数及所形成的空的个数.(5捆绑法:把要求在一起的“小集团”看成一个整体,与其他元素进行排列,同时不要忘记“小集团”内也要排列.此法适用于“相邻”问题的排列.【学习评价】●自我评价你完成本节导学案的情况为(.A.很好B.较好C.一般D.较差●当堂检测(时量:5分钟满分:10分:1.用数字1,2,3,4,6可以组成无重复数字的五位偶数有(CA.48B.64C.72D.902.5人排成一排,其中甲、乙至少一人在两端的排法种数为(BA.6B.84C.24D.48B组(你坚信你能行:3.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面,不同的安排方法共有(AA.20B.30C.40D.60解析:分甲在周一、周二、周三三类讨论或总数乘以三分之一.4.安排7位工作人员在10月1日到10月7日值班,其中甲、乙两人都不能安排在10月1日和10月2日,不同的安排方法共有2400种.5(★★.五个人排成一排,甲、乙不相邻,且甲、丙也不相邻的不同排法的种数为36.解析:分两类:一类是甲、乙、丙互不相邻,此类方法有232312A A=种;另一类是乙、丙相邻但不与甲相邻,此类方法有22223224A A A=种(先把除甲、乙、丙外的另两人排好,有22A种方法,再从这两人所形成的三个空位中任选2个作为甲和乙、丙的位置,故共有122436 +=种.【小结与反思】。
高中数学《排列与排列数公式》公开课优秀教学设计
《排列与排列数公式》（第1课时）教学设计一．教学内容解析本节课是人教版A版《数学选修2-3》第一章第2节的第一节课，排列是一类特殊而重要的计数问题，教科书从简化运算的角度提出了排列的学习任务，通过具体实例概括而得出排列的概念，应用分步计数原理得出排列数公式，对于排列，有两个想法贯穿始终，一是根据一类问题的特点和规律寻找简便的计数方法，就像乘法作为加法的简便运算一样；二是注意应用两个计数原理思考和解决问题。
本节课具有承上启下的地位，理解排列的概念是应用分步计数原理推导排列数公式的前提，对具体的排列问题的分析又为排列数公式提供了基础。
排列数公式的推导过程是分布计数原理的一个重要应用，同时，排列数公式又是推导组合数公式的主要依据。
基于学生的认知规律，本节课只是对排列和排列数公式的初步认识，在后面知识的学习过程中，逐步加深理解和灵活运用。
本节课的教学重点是排列的概念、排列数公式，教学难点是排列的概念，排列的概念有一定的抽象性，本节课结合教科书的编排，采取了由特殊到一般的归纳思想来建构概念的理解过程，通过引导学生分析三个典型事例，从中归纳出共同特征，再进一步概括出本质特征，得出排列的定义，再跟进10个具体事例多角度加深对概念的理解，并多次强调一个排列的特点，n个不同的元素，取出m个元素，元素的顺序，奠定学生对排列定义的理解基础，为后面组合概念的提出埋下伏笔。
同时通过有规律的展示分步计数原理得到的一长串排列数，为后面水到渠成得到排列数公式作好铺垫，排列数公式的简单应用体现了排列简化步骤的优点，让学生直观感受学习排列的必要。
二．教学目标设置1.通过几个具体实例归纳概括出排列的概念，并能运用排列的判断具体的的计数问题是否为排列问题；能利用分步计数原理推导排列数公式，能简化分步计数原理解决问题的步骤。
在排列数符号及其公式的产生过程中体现简化的思想。
学生学习后能够对排列或非排列问题作出准确的判断，能够分析原因，能够简单应用排列数公式。
1.2.1 排列与排列数公式 教案
简单回忆上一节课内容，进而介绍本节课主要学习的内容，将以前的分类和分布转换成这节课的排列和组合
跟着老师的引导进行回忆，进而进行思考，进入学习状态
复习以往知识
知识讲解
1.情景导入，高考调研第七页要点三，结合视频
2.给出排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
题目
排列的概念及简单排列问题
时间
2021.4.7
节次
第三节
教师
来源
数学高考调研
课型
新授课
授课对象
高二5，6班
目标确立依据
课标摘录及分析
熟记排列的定义，以及排列公式的计算，排列数公式的计算，熟练掌握排列的应用。
考纲摘录及分析
排列数公式的计算和应用
教材分析
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列； 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m)表示.A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!(规定0!=1)
跟着老师的思路一起学习，将高考调研上的书读百遍中的三个要点的空填满
学习新知识
练习反馈
1.题型一，排列概念（p7例一和思考题一)
2.题型二，简单的排列问题（p8例二和思考题二）
3.题型三，排列数公式（p8例三和思考题三）
做练习题用来巩固和检测所学知识
疑难提出
对于排列数公式的计算不够熟练
对于不懂的地方进行提问
学情分析
学生第一次接触这个新的知识点，这种类型的计算可以有很多种解法，更能够引起学生学习的兴趣，有助于学生理解后面的概率问题。
《7.2.1 排列与排列数公式》教案
《7.2.1 排列与排列数公式》教案【教学目标】①了解排列和排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题；②培养归纳概括能力；③从中体会“化归”的数学思想【教学重点】排列、排列数的概念【教学难点】排列数公式的推导 一、课前预习1.我们把被取得对象叫做_________.2.从n 个______的元素中______________个元素，按照____________排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 两个排列相同的含义为：________________________________.3.从n 个______的元素中______________个元素的所有排列的_______，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号______表示.且排列数公式为)*,,.(___________n m N m n A m n ≤∈=特殊的，n 个______的元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列，此时m=n ，则___________==n nA . 规定 0！=_________. 排列数公式的阶乘表示式为.________=m nA 4.[思考] 排列与排列数的区别：二、课上学习例1、（1）写出从甲、乙、丙三个元素种任取两个元素的所有排列：（2）写出由1，2，3这三个数字组成的没有重复数字的所有三位数.例2、（1）计算：5988584824A A A A -+ （2）解方程：3412140x x A A =+ （3）解不等式：2996->x x A A例3、用0，1，2，3，4，5六个数字.能组成多少个无重复数字的四位偶数？其中小于4000的有多少个？ 能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？例4、有5名男生，4名女生排成一排.（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若甲男生不站排头，乙女生不站排尾，则有多少种不同的排法？（3）要求女生必须站在一起，有多少种不同的排法？（4）若四名女生互不相邻，有多少种不同的排法？（5）若男生甲必须站在女生乙的右边（甲、乙可以不相邻），有多少种不同的站法？（6）男生和女生间隔排列的方法有多少种？例5、在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，共有多少种安排方法？三、课后练习1.有小麦、大麦品种各一种，在5块不同土质的试验田里引种试验，要求小麦品种有3块试验田，大麦品种有2块试验田，问有多少种不同的试验方法？2.5名同学站成一排，（1）甲、乙两名同学不能站在一起的不同排法总数有多少种？（2）甲不能站在两端，乙不能站在中间的不同排法有多少种？（3）甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列种数有多少种？（4）甲、乙、丙3人要站在一起，且要求乙、丙分别站在甲的两边，有多少种不同的排法？3.4棵柳树和4棵杨树，栽成一行，且杨树和柳树逐一相间的栽法共有多少种？4.计划在某画廊展出10幅不同的画，其中一幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，不同的成列方式有多少种？5.（1）8名学生站成两排，前排4人，后排4人，有多少种不同的站法？（2）8人分两排坐，每排4人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？6.5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法种数是（ ）.A 18种 .B 24种 .C 36种 .D 48种7.一环形花坛分成A,B,C,D 四块.现有四种不同的花供选择，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法种数为（ ） .A 96 .B 84 .C 60.D 488.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两人不能从事翻译工作，则选派方案有多少种？9.六个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法种数为（ ）44.A A 36.A B 46.A C 33.A D10.（1）4个同学，分配到3个课外小组中去活动，共有几种分配方法？（2）4个同学争夺3项竞赛的冠军，冠军获得者共有几种可能情况？。
课题：排列数公式教案
③ 无重复数字的四位数且能被 5 整除；
④ 个位数字大于十位数字的四位数.
小结：解有条件限制的 排列问题思路：①正确选择原理；②处理好特殊元 素和特殊位置， 先让特殊元素战位，或 特殊位置选元素；③再考虑其余元素或其余位 置 ；④数字的
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课题：排列数公式教案 排列问题，0 不能排在首位 2）、三个男生和四个女生安下列条件排成一排有多少种排法？ ①男生排在一起，女生排在一起有； ②男女生间隔相排； ③男生互不相邻； ④甲乙两人必须相邻. 小结：解决相邻问题 通常用捆绑的办法；不相邻问题通常用插入 的办法.
各不相同）按照一．定．的．顺．序．排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一．个．排．列．
2、什么叫不同的排列？（元素和顺序至少有一个不同）.
3、什么叫相同的排列？（元素和顺序都相同的排列）.
4、排列数的符号表示
（从 n 个不同元素中取出 m 个元素的所有排列的个数，叫做 n 个不同元素中取出 m
试证明 1） Anm nAnm11
（1）
2） A75 A66 A77 A66
5
（）
16
2） Anm mAnm1 Anm1
3）
A11
2A22
3A33
nAnn
An1 n1
1
【例 3】 解方程
1） 2 An3 3An21 6An1 （5）
例
题
2）
3
An1 8
4
An1 9
（6）
讲
小结：解有关排列数的方程关键在于用排列数公式将方程转化为关于 x 的一元方程.
解 【例 4】 解不等式
1） Am22 m ＞2 （ m ≥4 的正整数）
2022年教学教材《 排列与排列数 》优秀教案
排列与排列数第1课时排列与排列数1．排列的概念1一般地，从n个不同对象中，任取mm≤n个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列．2特别地，m＝n时的排列即取出所有对象的排列称为全排列．思考：两个排列相同的条件是什么？[提示]两个排列相同那么应具备排列的对象及排列的顺序均相同．2．排列数及排列数公式“排列〞与“排列数〞是两个不同的概念，“排列〞是指“从n个不同对象中取出mm≤n个对象，按照一定的顺序排成一列，它不是数，而是具体的一件事；而“排列数〞是上述完成这件事所有不同的排列个数，它是一个数．1．思考辨析正确的打“√〞，错误的打“×〞1a，b，c与b，a，c是同一个排列．2从1,2,3,4中任选两个元素，就组成一个排列．3同一个排列中，同一个元素不能重复出现．4在同一个排列中，假设交换两个元素的位置，那么该排列不发生变化．[答案]1×2×3√4×2．89×90×91×92×…×100可表示为A．B．C．D．C[＝100×99×98×...×100－12＋1＝100×99×98× (89)3．甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有A．3种B．4种C．6种D．12种C[由排列的定义可知，共有A错误!＝3×2×1＝6种排列方法．]4．教材[提示]n，m∈N且m≤n2．等式A错误!＝n A错误!成立吗？[提示]∵A错误!＝，A错误!＝，∴A错误!＝＝n A m－1n－1【例3】1计算：错误!；2求中的[思路点拨]1可直接运算，也可采用阶乘式；2借助阶乘式求解，注意的范围．[解]1法一：错误!＝错误!＝错误!＝错误!二：错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!原方程可化为，即＝，化简，得2－19＋78＝0，解得1＝6，2＝13由题意知错误!解得≤8所以原方程的解为＝61．排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数因式的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．2．应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．错误!3．155－n56－n…69－nn∈N*，且n＜55用排列数可表示为________；2不等式的解集为________．1A错误!2{2,3,4,5,6,7}[1由69－n－55－n＋1＝15可知，55－n56－n…69－n＝A错误!2原不等式可化为，化简得2－21＋104＞0，解得＜8或＞13又错误!得2≤≤9且∈N，∴原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7}．]1．判断一个问题是否是排列问题的关键是看该问题中的元素是否与顺序有关，有关为排列问题，否那么，不是排列问题．2．排列数公式A错误!＝nn－1n－2…n－m＋1适合m的排列数计算，而A错误!＝常用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等．求解时务必注意隐含条件：n，m∈N，m≤n1．从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题A．1 B．2C．3D．4B[因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题．而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题．]2．4×5×6×…×n－1×n等于A．A错误!B．A错误!C．n！－4! D．A错误!D[4×5×6×…×n－1×n中共有n－4＋1＝n－3个因式，最大数为n，最小数为4，故4×5×6×…×n－1×n＝A错误!]3．5本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，那么不同的分配方法有________种．12021利用排列的概念可知不同的分配方法有A错误!＝12021]4．A错误!－6A错误!＋5A错误!＝________12021原式＝A错误!－A错误!＋A错误!＝A错误!＝5×4×3×2×1＝120215．从0,1,2,3这四个数中，每次取3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于2021所有三位数．[解]大于2021三位数的首位是2或3，所以共有：20212021210,213,230,231,301,302,310,312,3202121。
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《排列与排列数公式》（第 1 课时）教学设计一．教学内容解析本节课是人教版A 版《数学选修 2-3》第一章第 2 节的第一节课，排列是一类特殊而重要的计数问题，教科书从简化运算的角度提出了排列的学习任务，通过具体实例概括而得出排列的概念，应用分步计数原理得出排列数公式，对于排列，有两个想法贯穿始终，一是根据一类问题的特点和规律寻找简便的计数方法，就像乘法作为加法的简便运算一样；二是注意应用两个计数原理思考和解决问题。
本节课具有承上启下的地位，理解排列的概念是应用分步计数原理推导排列数公式的前提，对具体的排列问题的分析又为排列数公式提供了基础。
排列数公式的推导过程是分布计数原理的一个重要应用，同时，排列数公式又是推导组合数公式的主要依据。
基于学生的认知规律，本节课只是对排列和排列数公式的初步认识，在后面知识的学习过程中，逐步加深理解和灵活运用。
本节课的教学重点是排列的概念、排列数公式，教学难点是排列的概念，排列的概念有一定的抽象性，本节课结合教科书的编排，采取了由特殊到一般的归纳思想来建构概念的理解过程，通过引导学生分析三个典型事例，从中归纳出共同特征，再进一步概括出本质特征，得出排列的定义，再跟进10 个具体事例多角度加深对概念的理解，并多次强调一个排列的特点， n 个不同的元素，取出 m个元素，元素的顺序，奠定学生对排列定义的理解基础，为后面组合概念的提出埋下伏笔。
同时通过有规律的展示分步计数原理得到的一长串排列数，为后面水到渠成得到排列数公式作好铺垫，排列数公式的简单应用体现了排列简化步骤的优点，让学生直观感受学习排列的必要。
二．教学目标设置1.通过几个具体实例归纳概括出排列的概念，并能运用排列的判断具体的的计数问题是否为排列问题；能利用分步计数原理推导排列数公式，能简化分步计数原理解决问题的步骤。
在排列数符号及其公式的产生过程中体现简化的思想。
学生学习后能够对排列或非排列问题作出准确的判断，能够分析原因，能够简单应用排列数公式。
2.在教学过程中，通过排列的概念、排列数公式的得到培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力，以及解决与计数有关的问题时主动联系排列相关知识的能力，体会排列知识在实际生活中的应用，增强学生学习数学的兴趣。
3.让学生学会通过对各种事情现象、本质的分析，得出一般的规律，通过由简到繁的着色问题、由繁到简的数学符号的引入过程体会丰富的数学文化.三．学生学情分析学生对两个计数原理已很好的掌握，但凡计数的问题能够往分类或分步的方向进行思考，学生的层次决定了学生有较强的理解、分析、解决问题的能力，有着大量的生活中诸如设置密码、车牌号、排队、参加活动、接力赛...与计数问题有关的经验，对数学中归纳化归、有特殊到一般的思想方法比较敏感，但抽象概括的能力较弱，排列概念的得到，要独立将颜色、数字、人抽象为元素，对着色的方案抽象出顺序有一定的困难，需在独立思考加协作讨论的基础上再由老师引导突破教学难点。
四．教学策略分析在本节课的教学过程中将数学文化和数学知识、实际生活有机的融合，让抽象的数学概念形成的过程丰富多元，避免单调枯燥。
针对学生的认知水平，为培养学生抽象概括的能力，本节课采取导学案和 PPT相结合的方式组织教学，为让学生充分体验概念形成的过程，通过三个例子高度抽象概括出排列的定义，刻意在学案上不出现排列的定义，也让学生避开教材以免学生对概念的认识不够深刻。
本节课排列定义的得出比较抽象，需要引导学生逐一抽象概括寻找共同点，教学过程采取学生独立思考、相互讨论、老师以问题串引导的方式突破难点，紧接着通过大量例子加深对概念的理解，对于概念理解不够深刻的同学也通过同学的辨析对概念有了深刻的认识。
排列数符号的得出通过引导学生类比小学乘号的得来，自然而然需要引入排列数符号简化有规律的运算。
学生的认知水平决定了排列数公式的推导完全可由学生独立总结，老师只需适当补充说明，公式的简单应用让学生在独立思考的过程中，体会排列如何简化分步计数原理繁琐的步骤，体现其优越性。
在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识、学会学习，发展能力。
五．教学过程（一）问题引入随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。
交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有 3 个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字，并且 3 个字母必须合成一组出现， 3 个数字也必须合成一组出现，字母在前，数字在后，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？开门见山给出学习本节课的目的，对于这个前面已经利用分步计数原理解决的计数问题，解题步骤机械重复，能否改进和简化？为了解决这一类问题，进入今天研究的课题。
（二）铺垫从生活中三个简单常见的计数问题出发，激发学生探究的兴趣。
问题一：从红、黄、蓝三种颜色中选出两种给地图上的重庆市和四川省上色，有多少种不同的着色方案？问题二：从1、 2、3、 4 这四个数字中，每次取出 3 个不同的数字排成一个三位数，一共可以得到多少个不同的三位数？问题三： 6 名同学站成一排照相，有多少种不同的排法？第一个问题以重庆直辖，地图上要用不同的颜色将川渝两地加以区分作为背景，让学生了解颜色区分地图的背后，蕴涵了丰富的数学知识和文化，既为抽象概括排列定义，也为最后回到着色问题埋下伏笔。
第二个问题排数问题来自教材，既为抽象概括排列定义，也为后面探究二中顺利加大排数问题的难度作好的铺垫。
第三个排队问题，排队照片为本班六名同学，激发学生对问题本身感兴趣的同时，能深入挖掘问题的本质属性，也为后面全排列概念的顺理成章的得出及课后探究中有条件的排队作好铺垫！【教师提问1】：你能利用前面所学计数原理的知识解决问题吗？【学生探究1】：巩固复习分步计数原理（可借助框图直观表示），同时会用列举法或树形图把结果一一列出。
（三）特点探寻归纳提炼【教师提问2】：这三个问题有哪些共同特征？【学生探究 2】：引导学生得出都是分步计数问题，运算有规律，都是从若干个不同元素选出元素，选出的对象都要排序，顺序不同方案不同。
难点突破：引导学生从三个问题的事情本身出发，将颜色、数字、同学抽象为元素，元素顺序不同结果就不一样。
（四）探究归纳，形成概念排列：从 n 个不同元素中取出m（m n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列（Arrangement ），这样的所有排列的个数叫排列数。
【教师提问3】：这三个问题有无不同点？【学生探究3】：学生探究得出全排列、选排列的定义。
（五）概念辨析，引出排列数符号引导学生对排列定义的再理解，让学生归纳出值得注意的关键词：（1） n 个不同的元素；（2）取出 m（m n）个元素； (3) 一定的顺序。
对排列定义的巩固，判定下面问题哪些是排列问题，如果是排列数是多少？（1）从四个男生中，任选两名同学组成一队参加年级乒乓球男双比赛；（2）从四位男同学中，任选两位同学分别参加上下午的活动；（ 3）从 0-9 这 9 个数字中，任选 4 个不同的数字（可重复）作为手机的密码；（ 4）从 8 名同学中选 4 人参加 4100 米接力赛；（ 5）圆上 10个不同点，过每 2个点，画一条弦；（ 6）圆上 10个不同点，以其中每 2 个点作有向线段；（7） 1、 3、5、 7、 11 这 5 个质数任选两个相乘；（8） 1、 3、5、 7、 11 这 5 个质数任选两个相除；（9）一个学生有 20 本不同的书，这些书以不同的方式排在一个单层的书架上；(10) 53 位同学随机选8 位派往 8 个不同的地方参加活动，每个地方派一人.学生争论辨析判定后再追问，其中的排列问题各有多少个不同的排列？类比问题一、二、三用分步计数原理解决问题，分别得到：4 3， 8 7 6 5， 10 9，5 4， 4 3，2019181721，535251504746【教师提问4】：结合前面的三个问题，这些排列数有哪些共同特征？【学生探究4】：学生找出规律的同时，指出书写繁琐的共同点，类比小学引入乘号简化加法运算，自然引入数学符号A n m，对比运算符号A n m更简洁，从而体现了数学符合的简洁美，随之简单介绍排列数符号的发明者法国数学家范德蒙德，体现数学丰厚的文化背景。
（六）揭示规律，导出公式【教师提问5】：A32、A43，A104、A84，A n2、A n3表示什么？等于多少，继续追问更为一般的A n m表示什么？等于多少？【学生探究5】：学生独立思考分析解决并展示。
A n m n(n 1)(n 2) (n m 1)，(m, n N * , 且m n) .引导学生对公式的理解：（1）从 n 开始依次递减连续 m 个正整数的积；（2）m、n 都是正整数且m n；m这样，一个问题若是排列问题，就可用上式求出具体的排列个数。
（简化了运算过程）说明特殊情况A n n n(n 1)(n 2) 3 2 1。
简单记为 n！，读作n的阶乘，强调这个符号更为简洁的同时，顺提阶乘符号的发明者法国数学家基斯顿 .卡曼。
（七）公式应用，突出优越性探究二：从0-9 这 10 个数字中，可以组成多少个没有重复数字的三位数？学生结合所学知识多角度对问题进行思考，对比分步计数原理的解题方法，突现排列优化步骤的特点，并进一步跟进对引例步骤的优化：随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。
交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有 3 个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字，并且 3 个字母必须合成一组出现， 3 个数字也必须合成一组出现，字母在前，数字在后，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？学生独立思考并完成优化 6 个步骤简化为 2 个步骤，再次让学生体会排列的优越性。
（八）强化公式，跟进新公式383！A87学生计算排列数（ 1）；（）；（）A ；（） .A825374！A54【教师提问6】：学生给出答案后问，有何数学发现？【学生探究6】：猜测出一般的结论A n m！, ( nn！m)根据课堂时间让学生尝试证明，让学生展示并点评，否则作为课后作业，顺便说明公式中如n n！nn! ,故规定0！1.果 m n 时，A n，A n0！（九）小结1.本节课我们学到了哪些基本概念和公式？2.研究过程中体会了哪些数学思想和方法？3.通过本节课的学习有哪些收获和困惑？（十）课后探究：1.从 10 个不同元素选其中 2 个元素，有多少种不同的选法？思考：从 n 个不同元素选其中 m(m≤ n) 个元素，有多少种不同的选法？2.6 名同学站成一排照相，甲乙两名同学要相邻，有多少种不同的排法？3.如图，用四种颜色给五个区域着色，相邻的区域不能使用同一种颜色，共有多少种着色方法？2125135344最后介绍四色问题激发学生探索数学问题的兴趣：任意一幅地图都可以用四种颜色染色，使得没有两个相邻的国家染的颜色相同。