第14讲 协方差与相关系数

变量y与变量x是有关系的：变量y随变量x的增大而增大。 那么，它的协方差一定大于0。
2.协方差与均值、独立、方差的计算关系
（1）与均值的关系：
Cov( X , Y ) E ( XY ) Байду номын сангаасE ( X ) E (Y )
证: cov( X , Y ) E X E ( X )Y E (Y )
协方差用于衡量两个变量的总体误差,
协方差的结果有什么意义呢？
正值：两个变量的变化趋势一致
负值：两个变量的变化趋势相反
7个点： (3,5),(4,5.5),
(2,4),(6,7),
(8,10),(2,5),
(5,7.5)
4.2041, 3.7041,
3.7041 3.5612
3.不相关的概念 XY=0 X与Y不相关 “X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？
X 和 Y 独立时 但其逆不真。 X 和 Y 不相关
例4：设 (X,Y) 服从单位 D={ (x, y): x2+y2≤1} 上的均匀分布，证明： XY = 0。 证明:
1/ , ( x, y ) D, f ( x, y ) ( x, y ) D. 0,
第十四讲 协方差与相关系数
前面我们介绍了随机变量的数学期望 和方差，对于多维随机变量，反映分量之 间关系的数字特征中，最重要的，就是本 讲要讨论的 协方差和相关系数
一、协方差定义与性质
1.协方差定义 Covariance
Cov( X , Y ) E X E ( X )Y E (Y )
2
XY刻画了X与Y之间线性关系的程度
(2) |XY|=1 存在常数a, b 使 P{Y= aX+b} =1
例3
（2012数学一，4分）
将长度为 1米的木棒截成两段，则两段长度的相关系数为（ ） ( A)1; 1 ( B) ； 2 1 (C ) ; 2 ( D) 1.
分析：设其中一段木棒长度为X , 另一段为Y , 则显然 X Y 1, Y X 1, Y 与X 之间有明显的线性 关系，且变化趋势相反，从而， XY 1，故选D
X
Y 0 1
-1 0.1 0.3
0 0.1 0.1
1 0.1 0.3
(3) 与独立的计算关系
设随机变量X与Y 相互独立，则： cov( X , Y ) 0. 证
因为随机变量X与Y 相互独立, E ( XY ) E ( X ) E (Y )
cov( X , Y ) E( XY ) E ( X ) E(Y ) E( X ) E(Y ) E ( X ) E (Y ) 0
练习1:设随机变量 XB（12,0.5),Y N(0,1),
Cov(X,Y)=-1, 求D(X-2Y+1) 和 Cov(X-2Y，3X)
解：D( X 2Y 1) D( X 2Y ) =D( X ) 4 D(Y ) 4 Cov( X , Y ) 12 0.5 0.5 4 1 4 11
EXY YE( X ) XE (Y ) E( X ) E (Y )
E( XY ) E(Y ) E( X ) E( X ) E(Y ) E( X ) E(Y )
例1:
E ( XY ) E ( X ) E (Y )
设(X,Y)的概率
分布如右表， 求Cov(X,Y).
(3) 分配律： Cov(X+Y，Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y, Z);
(1) 对称性： Cov(X, Y)=Cov(Y, X); 且 Cov(X,X)=Var(X); Cov(X,c)=0 (2) 变量系数可提： Cov(aX, bY)=abCov(X, Y) (3) 分配律： Cov(X+Y，Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y, Z);
证： cov( X Y , Z ) E[( X Y ) Z ] E ( X Y ) E ( Z ) E ( XZ YZ ) [ E ( X ) E (Y )]E ( Z )
E ( XZ ) E (YZ ) E ( X ) E ( Z ) E (Y ) E ( Z ) cov( X , Z ) cov(Y , Z ).
(3) 与方差的计算关系： 设X与Y是任意两个随机变量,则：
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2cov( X , Y )
证 D( X -Y ) E ( X Y )2 E ( X Y )2
D( X ) D(Y ) 2 E ( XY ) E ( X ) E (Y )
例2:设D(X)=3,D(Y)=1,Cov(X,Y)=-1,
求： Cov(X-2Y，X).
Cov( X 2Y , X ) Cov( X , X ) Cov(2Y , X )
D( X ) 2Cov( X , Y ) 3 2 (1) 5
方差与协方差的定义
期望、方差、协方差的性质对比
Cov( X 2Y ,3 X ) Cov( X ,3 X ) Cov(2Y ,3 X )
3Cov( X , X ) 6Cov(Y , X ) 3D( X ) 6Cov( X , Y ) 3 12 0.5 0.5 6 (1) 15
二、线性 相关系数
2 1 x2 1 2 dy = 1 x -1 x 1 1 x2 f X ( x) 0, 其他 1 2 E( X ) x 1 x2 d y 0
1

E ( XY )
1
x 2 y 2 1 1 1
( xy/ ) dxdy
2）X ~ U ( 1,1), Y X 2 , 求 XY
解1)
1 1 1 1 4 E ( X ) , E (Y ) , E ( XY ) , D( X ) , D(Y ) 2 3 4 12 45 1 2) E ( X ) 0, E ( XY ) 0 12 XY 0.968 1 4 XY 0 12 45
y 1
1 y 2 1 y 2
xdx dy
1 0 dy 0.
所以，Cov(X, Y)= E(XY)-E(X) E(Y) = 0 . 此外，Var(X) > 0, Var(Y) > 0 . 所以，XY = 0，即 X 与 Y 不相关。 但是，在第三章已计算过: X与Y不独立。
期望、方差、协方差的性质对比
期望
E(c)=C E(aX)=aE(X), E(X+Y) =E(X)+E(Y) 当X与Y独立时 E(XY)=E(X)E(Y)
方差
D(c)=0 D(aX)=a2D(X),
协方差
Cov(c,X)=0
Cov(aX,bY) =abCov(X,Y) D(X+Y)=D(X)+ Cov(X+Y,Z) D(Y)+2Cov(X,Y) =Cov(X,Z) +Cov(Y,Z)
X 和 Y 独立时 X 和 Y 不相关， 反之不一定成立。 但对下述情形，独立与不相关是一回事： 若(X, Y )服从二维正态分布，则
X 与Y 独立的充分必要条件是X与Y不相关。 参见P70-例3.6.3： X与Y独立 XY=0
练习2 1) X ~ U (0,1), Y X 2 , 求 XY
2Cov( X , Y )
3.协方差的性质
(1) 对称性： Cov(X, Y)=Cov(Y, X); 且 Cov(X,X)=Var(X);
Cov(X,c)=0
关于这一性质，代入均值计算公式即可得到。
(2) 变量系数可提： Cov(aX, bY)=abCov(X, Y)
将等式左边代入均值计算公式即可得到右边。
1.定义 设D(X)>0, D(Y)>0, 称
= XY
Cov( X , Y ) D( X ) D(Y )
1.0000, 0.9573, 0.9573 1.0000
为随机变量X和Y的相关系数 .
0.9573
2. 相关系数的性质
(1) |XY|1； 该性质证明用到定理 Cov ( X , Y ) D( X ) D(Y ).