第14讲 协方差与相关系数
协方差与相关系数公式详解了解变量之间的关联程度
协方差与相关系数公式详解了解变量之间的关联程度协方差与相关系数公式详解：了解变量之间的关联程度在统计学中，协方差和相关系数是了解变量之间关联程度的重要指标。
它们能够帮助我们判断两个或多个变量之间的关系以及它们对彼此的影响程度。
本文将详细解释协方差和相关系数的公式以及如何使用它们来进行分析。
一、协方差协方差用于衡量两个变量的总体误差。
它的公式如下：协方差= Σ[(Xi- X均) * (Yi - Y均)] / N其中，Xi和Yi是样本的观测值，X均和Y均是样本的均值，N是样本量。
协方差具有以下几个性质：1. 如果两个变量的协方差大于0，则它们正相关；如果协方差小于0，则它们负相关；如果协方差等于0，则它们不相关。
2. 协方差的绝对值大小不能反映出变量之间的强度和方向。
3. 协方差受到变量单位的影响，不便于比较不同数据集之间的关联程度。
二、相关系数相关系数用于衡量两个变量之间的线性关系强度和方向，它可以消除变量单位的影响。
最常用的是皮尔逊相关系数，其计算公式如下：相关系数 = 协方差 / (X标准差 * Y标准差)其中，X标准差和Y标准差分别是X和Y的标准差。
相关系数取值范围在-1到1之间，具有以下特点：1. 相关系数为1时，表示两个变量完全正相关，即存在着线性关系。
2. 相关系数为-1时，表示两个变量完全负相关，即一个变量的增加与另一个变量的减小呈线性关系。
3. 相关系数接近0时，表示两个变量之间关系较弱，接近随机关系。
4. 若相关系数为0，表示两个变量之间不存在线性关系。
通过计算相关系数，我们可以了解到变量之间关联程度的强弱。
然而，需要注意的是相关系数只能衡量线性关系，若变量之间存在非线性关系，则相关系数可能无法准确刻画它们之间的关系。
三、协方差和相关系数的应用协方差和相关系数广泛应用于金融学、经济学、社会科学等领域。
它们能够提供关于变量之间关系的重要信息，有助于数据分析和决策制定。
在金融领域，协方差和相关系数可用于评估资产之间的风险和收益关系。
协方差与相关系数 PPT
D(V ) D(2X Y ) D(2X ) D(Y ) 2Cov(2X ,Y )
4D( X ) D(Y ) 2 2 Cov( X ,Y ) 17
所以
Cov(U ,V ) Cov(2X Y , 2X Y )
Cov(2X , 2X ) Cov(2X ,Y ) Cov(Y , 2X ) Cov(Y ,Y )
所以D(t0X*-Y*)=0,由方差得性质知它等价于 P{t0X*-Y* =0}=1,即P{Y=aX+b}=1
其中a=t0σ(Y)/σ(X),b=E(Y)- t0 E(X) σ(Y)/σ(X)、
• 性质3:若X与Y相互独立,则ρXY=0、 证明 若X与Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y), 又 Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y),所以
协方差与相关系数
一、协方差得概念及性质 二、相关系数得概念及性质 三、协方差得关系式
§1 协方差
• 定义:设二维随机向量(X,Y)得数学期望 (E(X),E(Y))存在,若E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在,则称 它为随机变量X与Y得协方差,记为Cov(X,Y),即
Cov(X,Y)= E[(X-E(X))(Y-E(Y))] • 协方差有计算公式
9 ， XY
1 3
，设
U
2X
Y
，
V 2X Y ， 求 UV .
解
Cov( X ,Y ) XY
D( X ) D(Y ) 1 3
49 2
D(U ) D(2X Y ) D(2X ) D(Y ) 2Cov(2X ,Y )
4D( X ) D(Y ) 2 2 Cov( X ,Y ) 33
E( X ) (1) 0.15 1 0.35 0.20
相关系数与协方差
相关系数与协方差
相关系数和协方差是统计学中常用的两个指标，用于衡量两个变量之间的关系强度和方向性。
相关系数衡量的是两个变量之间的线性关系程度，取值范围在-1到1之间，负值表示负相关，正值表示正
相关，0表示无相关。
协方差则衡量的是两个变量之间的总体误差，取值范围为负无穷到正无穷，数值大小表示变量间的相关强度，正值表示正相关，负值表示负相关，0表示无相关。
在实际应用中，相关系数和协方差常常被用于探究变量之间的关系，从而支持决策和预测。
- 1 -。
第14讲 协方差与相关系数
XY刻画了X与Y之间线性关系的程度
(2) |XY|=1 存在常数a, b 使 P{Y= aX+b} =1
例3
（2012数学一，4分）
将长度为 1米的木棒截成两段，则两段长度的相关系数为（ ） ( A)1; 1 ( B) ； 2 1 (C ) ; 2 ( D) 1.
分析：设其中一段木棒长度为X , 另一段为Y , 则显然 X Y 1, Y X 1, Y 与X 之间有明显的线性 关系，且变化趋势相反，从而， XY 1，故选D
2）X ~ U ( 1,1), Y X 2 , 求 XY
解1)
1 1 1 1 4 E ( X ) , E (Y ) , E ( XY ) , D( X ) , D(Y ) 2 3 4 12 45 1 2) E ( X ) 0, E ( XY ) 0 12 XY 0.968 1 4 XY 0 12 45
证： cov( X Y , Z ) E[( X Y ) Z ] E ( X Y ) E ( Z ) E ( XZ YZ ) [ E ( X ) E (Y )]E ( Z )
E ( XZ ) E (YZ ) E ( X ) E ( Z ) E (Y ) E ( Z ) cov( X , Z ) cov(Y , Z ).
X 和 Y 独立时 X 和 Y 不相关， 反之不一定成立。 但对下述情形，独立与不相关是一回事： 若(X, Y )服从二维正态分布，则
X 与Y 独立的充分必要条件是X与Y不相关。 参见P70-例3.6.3： X与Y独立 XY=0
练习2 1) X ~ U (0,1), Y X 2 , 求 XY
y 1
协方差与相关系数
其余均方误差
e
D(Y
)(1
2 XY
).
从这个侧面也
能说明 XY 越接近1，e 越小. 反之， XY 越近于0，
e 就越大， Y与X的 线性相关性越小.
完
例3 设 ( X ,Y ) 的分布律为
X
Y
2 1 1 2 P{Y yi }
1
0 1/4 1/4 0
1/ 2
4
1/4 0 0 1/4 1/2
D(Y
)[1
2 XY
],
D(Y
)1
[cov( X ,Y )]2 D( X )D(Y )
D(Y
)[1
2 XY
],
由于方差
D(Y
)
是正的，
故必有
1
2 XY
0,
所以
XY 1.
性质2. 若 X 和 Y 相互独立，则 XY 0;
注意到此时 cov( X ,Y ) 0, 易见结论成立.
注： X 与Y 相互独立
完
例4 设 服从 [ , ] 上的均匀分布, 且
X sin , Y cos
判断 X 与 Y 是否不相关, 是否独立.
解
由于
E( X )
1
2
sind 0,
E(Y
)
1
2
cosd 0,
而
E(
XY
)
1
2
sin cosd 0.
2
因此
E( XY ) E( X )E(Y ),
从而 X 与 Y 不相关. 但由于 X 与 Y 满足关系:
完
例2 设连续型随机变量 ( X ,Y ) 的密度函数为
f
(
x,
什么是协方差，什么是相关系数
协⽅差就是投资组合中每种⾦融资产的可能收益与其期望收益之间的离差之积再乘以相应情况出现的概率后进⾏相加，所得总和就是该投资组合的协⽅差。
协⽅差的符号(正或负)可以反映出投资组合中两种资产之间不同的相互关系：如果协⽅差为正，那就表明投资组合中的两种资产的收益呈同向变动趋势，即在任何⼀种经济情况下同时上升或同时下降；如果协⽅差为负值，则反映出投资组合中两种资产的收益具有反向变动的关系，即在任何⼀种经济情况下，⼀种资产的收益上升另⼀种资产的收益就会下降。
如果协⽅差的值为零就表明两种⾦融资产的收益没有相关关系。
相关系数等于两种⾦融资产的协⽅差除以两种⾦融资产的标准差的乘积。
由于标准差总是正值，因此相关系数的符号取决于两个变量的协⽅差的符号。
如果相关系数为正，则表明两种资产的收益正相关；如果相关系数为负，说明两种资产的收益负相关；如果相关系数为零，说明两种资产的收益之间没有相关性。
更重要的是，可以证明相关系数总是介于-l和+1之间，这是由于协⽅差除以两个标准差乘积后使得计算结果标准化。
这有利于判断资产之间的相关性的⼤⼩。
协方差与相关系数深度剖析
协方差与相关系数深度剖析协方差和相关系数是统计学中常用的两个概念，用于衡量两个变量之间的关系。
在数据分析和金融领域中，协方差和相关系数被广泛应用于风险评估、投资组合优化、市场分析等方面。
本文将对协方差和相关系数进行深度剖析，探讨其定义、计算方法以及应用场景。
一、协方差1.1 定义协方差是衡量两个随机变量之间关系强度的统计量。
它描述了两个变量的变化趋势是否一致，以及变化幅度的大小。
协方差可以为正、负或零，分别表示正相关、负相关或无关。
1.2 计算方法设有两个随机变量X和Y，其样本容量为n。
则协方差的计算公式如下：其中，和分别表示第i个样本点的取值，和分别表示X和Y的样本均值。
1.3 解读协方差的数值大小表示了两个变量之间的关系强度。
当协方差为正时，表示两个变量呈正相关关系，即当一个变量增大时，另一个变量也增大；当协方差为负时，表示两个变量呈负相关关系，即当一个变量增大时，另一个变量减小；当协方差接近于零时，表示两个变量无关。
二、相关系数2.1 定义相关系数是衡量两个随机变量之间线性关系强度的统计量。
它是协方差除以两个变量的标准差的乘积，用于消除不同变量单位和尺度的影响。
相关系数的取值范围在-1到1之间，绝对值越接近1表示线性关系越强。
2.2 计算方法设有两个随机变量X和Y，其样本容量为n。
则相关系数的计算公式如下：其中，和分别表示X和Y的标准差。
2.3 解读相关系数的数值大小表示了两个变量之间线性关系的强度和方向。
当相关系数为1时，表示两个变量完全正相关，即存在着完全的线性关系；当相关系数为-1时，表示两个变量完全负相关，即存在着完全的线性反关系；当相关系数接近于0时，表示两个变量之间不存在线性关系。
三、协方差与相关系数的应用3.1 风险评估在金融领域中，协方差和相关系数被广泛应用于风险评估。
通过计算不同资产之间的协方差或相关系数，可以评估投资组合的风险水平。
如果两个资产之间的协方差或相关系数较大，则说明它们的价格波动趋势相似，投资组合的风险较高；反之，如果协方差或相关系数较小，则说明它们的价格波动趋势相对独立，投资组合的风险较低。
协方差相关系数公式
协方差相关系数公式协方差和相关系数这两个概念，在咱们的数学学习中可有着相当重要的地位呢！先来说说协方差吧。
协方差呀，简单来讲就是衡量两个变量一起变化的程度。
比如说，有个班级进行了两次考试，一次是语文，一次是数学。
咱把每个同学的语文成绩和数学成绩看作两个变量，如果大部分同学语文成绩高的时候数学成绩也高，语文成绩低的时候数学成绩也低，那这两个变量的协方差就比较大，说明它们一起变化的趋势比较明显。
协方差的公式是：Cov(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] 。
这看起来有点复杂，是吧？其实呀，就是先算出每个变量与它们各自平均值的差值，然后把这两个差值乘起来，最后求个平均值。
举个例子吧，咱们假设有五个同学，他们的语文成绩分别是 80、85、90、95、100 ，数学成绩分别是 70、75、80、85、90 。
先算出语文成绩的平均值是 90 ，数学成绩的平均值是 80 。
然后呢，第一个同学语文成绩与平均值的差值就是 80 - 90 = -10 ，数学成绩与平均值的差值就是 70 - 80 = -10 ，这两个差值乘起来就是 (-10)×(-10) = 100 。
按照这样的方法把五个同学的都算出来，再求个平均值，这就是协方差啦。
再说说相关系数。
相关系数呢，其实就是把协方差标准化了一下，这样能更方便地比较不同变量之间的关系强度。
相关系数的取值范围在 -1 到 1 之间。
如果相关系数是 1 ，那就说明两个变量完全正相关，比如身高和体重，一般来说长得高的人体重也会重一些；如果是 -1 ，就是完全负相关，比如价格和需求量，价格越高，需求量往往越低；要是 0 呢，就说明这两个变量没啥关系。
相关系数的公式是：ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ(X)σ(Y)) 。
这里面的σ 表示标准差，就是衡量变量分散程度的一个指标。
记得我之前教过一个学生，他一开始对协方差和相关系数那是一头雾水。
相关系数与协方差
相关系数与协方差相关系数和协方差是统计学中常用的两个重要概念。
它们用于衡量两个变量之间的关系，提供了关于变量之间相关程度的头绪。
相关系数（correlation coefficient）是两个变量之间线性相关关系的度量。
它以-r到1之间的数值表示两个变量之间的关系程度，具体取值范围如下：-1.0 < r < -0.7 极强的负相关-0.7 < r < -0.3 强的负相关-0.3 < r < -0.1 弱的负相关-0.1 < r < 0.1 无相关或微弱相关0.1 < r < 0.3 弱的正相关0.3 < r < 0.7 强的正相关0.7 < r < 1.0 极强的正相关其中，r=1表示两个变量完全正相关，r=-1表示两个变量完全负相关，r=0表示两个变量不存在线性关系。
协方差（covariance）是两个变量的随机变化同时偏离了各自的平均值的程度。
当变量之间存在正相关关系时，协方差为正；当变量之间存在负相关关系时，协方差为负；当变量之间没有关系时，协方差为0。
协方差的绝对值大小没有一个固定的限制，这使得它的实用价值有限。
为了让协方差具有可比性，我们可以通过将协方差除以各自的标准差，得到相对协方差，即相关系数，这样就可以将不同变量之间的关系比较一下。
相关系数和协方差的计算方法类似：都需要先计算出每个变量的平均值，然后计算每个数据点与平均值之差的乘积，最后将这些乘积相加得出结果。
相关系数还需要将结果除以两个变量各自的标准差，而协方差则不需要进行标准化处理。
尽管相关系数和协方差都可以用来衡量两个变量之间的相关性，但它们各有优缺点。
优点是，协方差可以直接反映两个变量的偏离程度，而相关系数则更加严谨地测量线性关系的强度和方向；缺点是，协方差无法比较不同单位的变量之间的相关性，而相关系数则可以将不同单位的变量标准化，使得不同变量之间的关系具有可比性。
协方差和相关系数的计算公式
协方差和相关系数的计算公式一、协方差：协方差是用来衡量两个变量之间的关系的统计量。
具体来说，它描述了两个变量的变动趋势是否一致。
协方差的计算公式如下：Cov(X, Y) = Σ((Xi - Xavg) * (Yi - Yavg)) / (n - 1)其中，Cov(X, Y)表示X和Y的协方差，Xi和Yi分别表示第i个观测值，Xavg和Yavg分别表示X和Y的平均值，n表示总观测次数。
协方差的计算方法如下：1. 计算X和Y的平均值：Xavg = ΣXi / n，Yavg = ΣYi / n2. 计算每个观测值与平均值的差：(Xi - Xavg)和(Yi - Yavg)3. 将每个差值相乘：(Xi - Xavg) * (Yi - Yavg)4. 对所有的乘积求和：Σ((Xi - Xavg) * (Yi - Yavg))5.最后将求和结果除以(n-1)即可得到协方差。
协方差的取值范围为负无穷到正无穷。
如果协方差为正值，表示X和Y之间存在正相关关系，即当X增大时，Y也增大；如果协方差为负值，表示X和Y之间存在负相关关系，即当X增大时，Y减小；如果协方差接近于零，则表示X和Y之间没有线性相关关系。
二、相关系数：相关系数是用来衡量两个变量之间线性相关程度的统计量。
具体来说，它描述了两个变量之间的线性关系的强度和方向。
相关系数的计算公式如下：ρ(X, Y) = Cov(X, Y) / (σ(X) * σ(Y))其中，ρ(X, Y)表示X和Y的相关系数，Cov(X, Y)表示X和Y的协方差，σ(X)和σ(Y)分别表示X和Y的标准差。
相关系数的计算方法如下：1. 首先计算X和Y的协方差Cov(X, Y)2. 然后计算X和Y的标准差σ(X)和σ(Y)，标准差是方差的平方根，方差的计算公式为Va r(X) = Σ((Xi - Xavg)^2) / (n - 1)3.最后将协方差除以标准差的乘积，即可得到相关系数ρ(X,Y)。
协方差公式 相关系数
协方差公式相关系数
协方差(covariance)定义为：
cov（x,x）=var（x）协方差是对x与y之间联动关系的一种测度，即测量x与y的同步性。
当x与y同时出现较大值或者较小值时，cov>0,二者正相关。
若x出现较大值时y出现较小值，cov<0，二者负相关。
该相关关系并不意味着因果关系
计算方式：
e为期望算子，\mu 为总体平均值。
从该式中我们可以发现，cov的大小与x、y的大小有关。
为
了无量纲化，要对其进行标准化。
就有了相关系数的概念。
相关系数定义为：
就是协方差除了xy各自的标准差，这样才能刻画xy之间联动性的强弱。
这里需要注意的是，相关系数应该叫线性相关系数，它只能反映线性关系。
为何只能是线性关系的测度？
证明：
给出一个线性函数，y=a+bx (b \ne0 ,x的方差存在）
则，
所以，当x与y完全线性的时候，总有相关系数为1或者为-1.
扩展到一般线性模型：y=a+bx+ \varepsilon
其中， \varepsilon满足e（\varepsilon）=0，var （\varepsilon）=\sigma^{2}
同理可证，
这里，相关系数与1之间的偏离程度就受
\sigma_{\varepsilon}^{2}/\sigma_{x}^{2} 的影响。
所以它衡量的只是线性关系，绝对值不会超过1。
随机变量的协方差和相关系数
cov(X,Y)=E[X-EX][Y-EY]=EXY-EXEY
1) 当(X,Y)是离散型随机变量时,
cov( X , Y ) ( xi EX )( y j EY ) pij量时,
cov( X , Y )
( x EX )( y EY ) f ( x, y)dxdy.
存在，称它为X的k阶中心矩. 注：均值 E(X)是X一阶原点矩, 方差D(X)是X的二阶中心矩.
设 X 和 Y 是随机变量，若
E( X Y )
k
l
k,l=1,2,… 存在，
称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合原点矩.
若 E{[ X E ( X )]k [Y E (Y )]l } 存在， 称它为X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩. 注:协方差cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.
例1 设X~N(0,1), Y=X2, 求X和Y的相关系数。
4. 若 XY 0 ，则称X和Y（线性）不相关。
定理：若随机变量X与Y的数学期望和方差都存 在，且均不为零，则下列四个命题等价： （1） XY 0 ； （2）cov(X ,Y) = 0；
（3）E(XY)=EXEY；
（4）D(X ±Y)=DX+DY。
n2
为(X1,X2, …,Xn) 的相关系数矩阵。
由于 i i
cov( X i , X i ) 1, D( X i ) D( X i )
故相关系数矩阵的主对角元素均为1.
五、 原点矩和中心矩
定义 设X和Y是随机变量，若
E ( X k ), k 1,2, 存在，称它为X的k阶原点矩，简称 k阶矩. 若 E{[ X E ( X )]k }, k 2,3,
协方差和相关分析
协方差和相关分析1.协方差协方差是用来衡量两个变量之间线性关系强度的统计量。
在协方差计算中，我们需要计算两个变量（X和Y）的每一对观测值的差异，然后将这些差异相乘求和得到最终的协方差。
协方差的计算公式如下：cov(X,Y) = Σ((xᵢ - μₓ)(yᵢ - μᵧ))/n其中，X和Y分别是两个变量的观测值，xᵢ和yᵢ分别是这两个变量的第i个观测值，μₓ和μᵧ分别是X和Y的均值，n是观测值的数量。
协方差的结果可以是正值、负值或者零。
正值表示两个变量呈正相关关系，即X增加时Y也会增加。
负值表示两个变量呈负相关关系，即X增加时Y会减少。
零表示两个变量之间没有线性关系。
2.相关分析相关分析是一种用于测量两个变量之间关系强度和方向的统计分析方法。
与协方差类似，相关系数也可以是正值、负值或者零。
相关系数的取值范围是-1到1之间，取值越接近于-1和1，表示两个变量之间的关系越强。
相关系数的计算方法有多种，其中最常用的是皮尔逊相关系数。
皮尔逊相关系数的计算公式如下：r = cov(X,Y)/(σₓ * σᵧ)其中，r是相关系数，cov(X,Y)是X和Y的协方差，σₓ和σᵧ分别是X和Y的标准差。
相关系数的取值范围如下：-1<=r<=1当r=1时，表示两个变量完全正相关；当r=-1时，表示两个变量完全负相关；当r=0时，表示两个变量没有线性关系。
3.协方差和相关分析的意义(1)揭示变量之间的关系：协方差和相关系数可以帮助我们了解两个变量之间的关系强度和方向，从而揭示出变量之间的相互作用规律，对于理解问题的本质和推断未知事物具有重要价值。
(2)预测和预测：通过分析变量之间的协方差或相关系数，我们可以进行预测和预测。
如果两个变量之间的相关性强，那么我们可以根据一个变量的观测值来估计另一个变量的值。
(3)排除冗余信息：协方差和相关系数可以帮助我们排除掉冗余信息，找到影响问题的最重要的变量。
通过分析变量之间的关系强度，我们可以识别出不必要的变量，从而提供更简单和更有效的模型。
统计学中的相关系数和协方差
统计学中的相关系数和协方差统计学是一门研究收集、整理、分析和解释数据的学科。
在统计学中，相关系数和协方差是两个重要的概念，用于衡量两个变量之间的关系和变量之间的变化程度。
本文将介绍相关系数和协方差的定义、计算方法以及它们在实际应用中的意义。
一、相关系数相关系数用于衡量两个变量之间的线性关系强度和方向。
相关系数的取值范围在-1到1之间，其中-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无相关性。
计算相关系数的方法有多种，最常用的是皮尔逊相关系数。
它的计算公式为：r = Cov(X, Y) / (σX* σY)其中，Cov(X, Y)表示变量X和Y的协方差，σX和σY分别表示变量X和Y的标准差。
通过计算相关系数，我们可以得到两个变量之间的关系强度。
如果相关系数接近1或-1，说明两个变量之间存在较强的线性关系；如果相关系数接近0，则说明两个变量之间没有线性关系。
相关系数在实际应用中具有重要的作用。
例如，在金融领域，研究人员可以使用相关系数来衡量不同股票价格的关联程度；在医学研究中，相关系数可以用于分析不同变量之间的关系，如身高和体重之间的关系。
二、协方差协方差用于衡量两个变量之间的总体变化趋势。
协方差的取值范围是无限的，因此无法直接比较不同样本之间的协方差。
协方差的计算公式为：Cov(X, Y) = Σ((Xi - X) * (Yi - Ȳ)) / n其中，Xi表示变量X的第i个观测值，X表示变量X的平均值，Yi表示变量Y的第i个观测值，Ȳ表示变量Y的平均值，n表示样本容量。
协方差的符号表示变量之间的变化趋势，正值表示变量具有正向变动趋势，负值表示变量具有负向变动趋势。
然而，由于协方差的数值大小不可比较，因此无法衡量变量之间的关系强度。
为了解决这个问题，我们可以使用相关系数来标准化协方差。
相关系数不仅表示变量之间的关系强度，还考虑了变量的尺度。
因此，相关系数比协方差更常用。
相关系数和协方差在统计学中扮演着重要的角色。
协方差及相关系数
=0
ρX X
所以 X 与 X 不相关
( 3 ) 独立性由其定义来判断
对于任意的常数 a > 0 , 事件 ( X < a ) ( X < a ), 且 P ( X < a ) > 0 , P ( X < a ) < 1,因此有 P( X < a, X < a) = P( X < a) P ( X < a)P( X < a) < P( X < a) 所以 P ( X < a , X < a ) ≠ P ( X < a ) P ( X < a ) 故 X 与 X 不独立
Cov ( X , Y ) = E ( XY ) EXEY = pq Cov ( X , Y ) ρ XY = =1 DX DY
例2 设 ( X ,Y ) ~ N ( μ1, σ12,μ2,σ22,ρ), 求 ρXY 解
令 x μ1
Cov ( X ,Y ) = ∫
σ1 y μ2 =t σ2
=s
ξ ,η 为 X , Y的线性组合
所以 ξ ,η 都服从正态分布 N ( 0, + b )σ ) (a
2 2 2
在正态分布中 , 不相关与独立是等价的
所以当 a = b 时, ξ ,η 独立 当 a ≠ b 时, ξ ,η 不独立
( 3) 当ξ ,η 相互独立时 , 即a 2 = b 2 , ξ ,η 都服从
例1 已知 X ,Y 的联合分布为 X Y 1 0 p 0 0 q 1 0 0 < p <1 p+q=1
求 Cov (X ,Y ), ρXY 解 X P 1 p 0 q Y P 1 p 0 q XY P 1 p 0 q
协方差与相关系数
协方差与相关系数
一、首先要明白这2个的定义
1、相关系数是协方差与两个投资方案投资收益标准差之积的比值，
其计算公式为：
相关系数总是在-1到+1之间的范围内变动，-1代表完全负相关，+1代表完全正相关，0则表示不相关。
2、协方差就是一个用作测量投资女团中某一具体内容投资项目相对于另一投资项目
风险的统计数据指标。
其计算公式为：
当协方差为正值时，表示两种资产的收益率呈同方向变动；协方差为负值时，表示两
种资产的收益率呈反方向变动。
二、必须分清两者的关系
1、相关系数与协方差一定是在投资组合中出现的，只有组合才有相关系数和协方差。
单个资产是没有相关系数和协方差之说的。
2、相关系数和协方差的变动方向就是一致的，相关系数的正数的，协方差一定就是
正数的。
3、（1）协方差表示两种证劵之间共同变动的程度：相关系数是变量之间相关程度的
指标根据协方差的公式可知，协方差与相关系数的正负号相同，但是协方差是相关系数和
两证券的标准差的乘积，所以协方差表示两种证劵之间共同变动的程度。
（2）相关系数就是变量之间有关程度的指标，相关系数在0至1之间，则表示两种
报酬率的快速增长就是同向的；相关系数在0至-1之间，则表示两种报酬率的快速增长就是逆向的，所以说道相关系数就是变量之间有关程度的指标。
总体来说，两项资产收益率的协方差，反映的是收益率之间共同变动的程度；而相关
系数反映的是两项资产的收益率之间相对运动的状态。
两项资产收益率的协方差等于两项
资产的相关系数乘以各自的标准差。
协方差和相关系数
ρ XY
Cov( X ,Y ) D( X ) D(Y )
称为随机变量 X 与 Y 的相关系数 .
3. 协方差的计算公式
(1) Cov( X ,Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ); ( 2) D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2 Cov( X ,Y ).
协方差
2. 定义
( X , Y )是二维随机变量 ,量 E{[ X E ( X )][Y E (Y )]} 称为随机变量X 与 Y 的协方差. 记为 Cov( X , Y ), 或 XY ,即 C ov( X , Y ) E{[ X E ( X )][Y E (Y )]}.
而
1
解：E ( X )
x dx dy 0 2 1 － 1-x ＋ 同理 E (Y ) ypY ( y )dy － yp ( x, y )dxdy 0
1-x 2
xp X ( x) dx
＋
－
xp( x, y )dydx
2 2 σ1
, x ,
( y μ2 ) 2
2 2σ 2
2 σ 2
, y .
2 2 E ( X ) μ1 , E (Y ) μ2 , D( X ) σ1 , D(Y ) σ 2 .
而 Cov( X , Y ) ( x μ1 )( y μ2 ) p( x , y ) d x d y
证明 (1 ) Cov( X , Y ) E {[ X E ( X )][ Y E (Y )]}
E[ XY YE ( X ) XE (Y ) E ( X ) E (Y )]
简要说明协方差和相关系数的区别
简要说明协方差和相关系数的区别下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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X 和 Y 独立时 X 和 Y 不相关， 反之不一定成立。 但对下述情形，独立与不相关是一回事： 若(X, Y )服从二维正态分布，则
X 与Y 独立的充分必要条件是X与Y不相关。 参见P70-例3.6.3： X与Y独立 XY=0
练习2 1) X ~ U (0,1), Y X 2 , 求 XY
2 1 x2 1 2 dy = 1 x -1 x 1 1 x2 f X ( x) 0, 其他 1 2 E( X ) x 1 x2 d y 0
1
E ( XY )
1
x 2 y 2 1 1 1
( xy/ ) dxdy
期望、方差、协方差的性质对比
期望
E(c)=C E(aX)=aE(X), E(X+Y) =E(X)+E(Y) 当X与Y独立时 E(XY)=E(X)E(Y)
方差
D(c)=0 D(aX)=a2D(X),
协方差
Cov(c,X)=0
Cov(aX,bY) =abCov(X,Y) D(X+Y)=D(X)+ Cov(X+Y,Z) D(Y)+2Cov(X,Y) =Cov(X,Z) +Cov(Y,Z)
y 1
1 y 2 1 y 2
xdx dy
1 0 dy 0.
所以，Cov(X, Y)= E(XY)-E(X) E(Y) = 0 . 此外，Var(X) > 0, Var(Y) > 0 . 所以，XY = 0，即 X 与 Y 不相关。 但是，在第三章已计算过: X与Y不独立。
第十四讲 协方差与相关系数
前面我们介绍了随机变量的数学期望 和方差，对于多维随机变量，反映分量之 间关系的数字特征中，最重要的，就是本 讲要讨论的 协方差和相关系数
一、协方差定义与性质
1.协方差定义 Covariance
Cov( X , Y ) E X E ( X )Y E (Y )
变量y与变量x是有关系的：变量y随变量x的增大而增大。 那么，它的协方差一定大于0。
2.协方差与均值、独立、方差的计算关系
（1）与均值的关系：
Cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y )
证: cov( X , Y ) E X E ( X )Y E (Y )
(3) 分配律： Cov(X+Y，Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y, Z);
(1) 对称性： Cov(X, Y)=Cov(Y, X); 且 Cov(X,X)=Var(X); Cov(X,c)=0 (2) 变量系数可提： Cov(aX, bY)=abCov(X, Y) (3) 分配律： Cov(X+Y，Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y, Z);
Cov( X 2Y ,3 X ) Cov( X ,3 X ) Cov(2Y ,3 X )
3Cov( X , X ) 6Cov(Y , X ) 3D( X ) 6Cov( X , Y ) 3 12 0.5 0.5 6 (1) 15
二、线性 相关系数
协方差用于衡量两个变量的总体误差,
协方差的结果有什么意义呢？
正值：两个变量的变化趋势一致
负值：两个变量的变化趋势相反
7个点： (3,5),(4,5.5),
(2,4),(6,7),
(8,10),(2,5),
(5,7.5)
4.2041, 3.7041,
3.7041 3.5612
1.定义 设D(X)>0, D(Y)>0, 称
= XY
Cov( X , Y ) D( X ) D(Y )
1.0000, 0.9573, 0.9573 1.0000
为随机变量X和Y的相关系数 .
0.9573
2. 相关系数的性质
(1) |XY|1； 该性质证明用到定理 Cov ( X , Y ) D( X ) D(Y ).
3.不相关的概念 XY=0 X与Y不相关 “X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？
X 和 Y 独立时 但其逆不真。 X 和 Y 不相关
例4：设 (X,Y) 服从单位 D={ (x, y): x2+y2≤1} 上的均匀分布，证明： XY = 0。 证明:
1/ , ( x, y ) D, f ( x, y ) ( x, y ) D. 0,
EXY YE( X ) XE (Y ) E( X ) E (Y )
E( XY ) E(Y ) E( X ) E( X ) E(Y ) E( X ) E(Y )
例1:
E ( XY ) E ( X ) E (Y )
设(X,Y)的概率
分布如右表， 求Cov(X,Y).
2）X ~ U ( 1,1), Y X 2 , 求 XY
解1)
1 1 1 1 4 E ( X ) , E (Y ) , E ( XY ) , D( X ) , D(Y ) 2 3 4 12 45 1 2) E ( X ) 0, E ( XY ) 0 12 XY 0.968 1 4 XY 0 12 45
X
Y 0 1
-1 0.1 0.3
0 0.1 0.1
1ห้องสมุดไป่ตู้0.1 0.3
(3) 与独立的计算关系
设随机变量X与Y 相互独立，则： cov( X , Y ) 0. 证
因为随机变量X与Y 相互独立, E ( XY ) E ( X ) E (Y )
cov( X , Y ) E( XY ) E ( X ) E(Y ) E( X ) E(Y ) E ( X ) E (Y ) 0
证： cov( X Y , Z ) E[( X Y ) Z ] E ( X Y ) E ( Z ) E ( XZ YZ ) [ E ( X ) E (Y )]E ( Z )
E ( XZ ) E (YZ ) E ( X ) E ( Z ) E (Y ) E ( Z ) cov( X , Z ) cov(Y , Z ).
2
XY刻画了X与Y之间线性关系的程度
(2) |XY|=1 存在常数a, b 使 P{Y= aX+b} =1
例3
（2012数学一，4分）
将长度为 1米的木棒截成两段，则两段长度的相关系数为（ ） ( A)1; 1 ( B) ； 2 1 (C ) ; 2 ( D) 1.
分析：设其中一段木棒长度为X , 另一段为Y , 则显然 X Y 1, Y X 1, Y 与X 之间有明显的线性 关系，且变化趋势相反，从而， XY 1，故选D
2Cov( X , Y )
3.协方差的性质
(1) 对称性： Cov(X, Y)=Cov(Y, X); 且 Cov(X,X)=Var(X);
Cov(X,c)=0
关于这一性质，代入均值计算公式即可得到。
(2) 变量系数可提： Cov(aX, bY)=abCov(X, Y)
将等式左边代入均值计算公式即可得到右边。
(3) 与方差的计算关系： 设X与Y是任意两个随机变量,则：
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2cov( X , Y )
证 D( X -Y ) E ( X Y )2 E ( X Y )2
D( X ) D(Y ) 2 E ( XY ) E ( X ) E (Y )
例2:设D(X)=3,D(Y)=1,Cov(X,Y)=-1,
求： Cov(X-2Y，X).
Cov( X 2Y , X ) Cov( X , X ) Cov(2Y , X )
D( X ) 2Cov( X , Y ) 3 2 (1) 5
方差与协方差的定义
期望、方差、协方差的性质对比
练习1:设随机变量 XB（12,0.5),Y N(0,1),
Cov(X,Y)=-1, 求D(X-2Y+1) 和 Cov(X-2Y，3X)
解：D( X 2Y 1) D( X 2Y ) =D( X ) 4 D(Y ) 4 Cov( X , Y ) 12 0.5 0.5 4 1 4 11