材料力学1轴向拉压分析
材料力学实验指导书(正文)
实验一材料在轴向拉伸、压缩时的力学性能一、实验目的1．测定低碳钢在拉伸时的屈服极限σs、强度极限σb、延伸率δ和断面收缩率 。
2．测定铸铁在拉伸以及压缩时的强度极限σb。
3．观察拉压过程中的各种现象，并绘制拉伸图。
4．比较低碳钢（塑性材料）与铸铁（脆性材料）机械性质的特点。
二、设备及仪器1．电子万能材料试验机。
2．游标卡尺。
图1-1 CTM－5000电子万能材料试验机电子万能材料试验机是一种把电子技术和机械传动很好结合的新型加力设备。
它具有准确的加载速度和测力范围，能实现恒载荷、恒应变和恒位移自动控制。
由计算机控制，使得试验机的操作自动化、试验程序化，试验结果和试验曲线由计算机屏幕直接显示。
图示国产CTM －5000系列的试验机为门式框架结构，拉伸试验和压缩试验在两个空间进行。
图1-2 试验机的机械原理图试验机主要由机械加载（主机）、基于DSP的数字闭环控制与测量系统和微机操作系统等部分组成。
（1）机械加载部分试验机机械加载部分的工作原理如图1-2所示。
由试验机底座（底座中装有直流伺服电动机和齿轮箱）、滚珠丝杠、移动横梁和上横梁组成。
上横梁、丝杠、底座组成一框架，移动横梁用螺母和丝杠连接。
当电机转动时经齿轮箱的传递使两丝杠同步旋转，移动横梁便可水平向上或相下移动。
移动横梁向下移动时，在它的上部空间由上夹头和下夹头夹持试样进行拉伸试验；在它的下部空间可进行压缩试验。
（2）基于DSP的数字闭环控制与测量系统是由DSP平台；基于神经元自适应PID算法的全数字、三闭环（力、变形、位移）控制系统；8路高精准24Bit 数据采集系统；USB1.1通讯；专用的多版本应用软件系统等。
（3） 微机操作系统试验机由微机控制全试验过程，采用POWERTEST 软件实时动态显示负荷值、位移值、变形值、试验速度和试验曲线；进行数据处理分析，试验结果可自动保存；试验结束后可重新调出试验曲线，进行曲线比较和放大。
可即时打印出完整的试验报告和试验曲线。
材料力学之轴向拉伸和压缩
铸铁经球化处理成为球 墨铸铁后, 力学性能有 显著变化, 不但有较高 的强度, 还有较好的塑 性性能。
国内不少工厂成功地用 球墨铸铁代替钢材制造 曲轴、齿轮等零件。
2.6.4 金属材料在压缩时的力学性能
低碳钢压缩时的弹性模量E和屈服极限ss都与拉
伸时大致相同。屈服阶段以后, 试样越压越扁, 横截面面积不断增大, 试样抗压能力也继续增高, 因而得不到压缩时的强度极限。
冷作时效不仅与卸载 后至加载的时间间隔 有关, 而且与试样所处 的温度有关。
2.6.3 其它金属材料在拉伸时的力学性能
工程上常用的塑性材 料, 除低碳钢外, 还有 中碳钢、高碳钢和合 金钢、铝合金、青铜、 黄铜等。
其中有些材料, 如Q345 钢, 和低碳钢一样, 有 明显的弹性阶段、屈 服阶段、强化阶段和 局部变形阶段。
并用s0.2来表示, 称为名义屈
服应力。
铸铁拉伸时的力学性能
灰口铸铁拉伸时的应 力—应变关系是一段微 弯曲线, 没有明显的直 线部分。
它在较小的拉应力下就 被拉断, 没有屈服和缩 颈现象, 拉断前的应变 很小, 伸长率也很小。 灰口铸铁是典型的脆性 材料。
铸铁拉断时的最大应力 即为其强度极限, 没有屈
比较图中的Oabcdef和d'def两条曲线, 可见在第 二次加载时, 其比例极限(亦即弹性阶段)得到了 提高, 但塑性变形和伸长率却有所降低。这种现 象称为冷作硬化。冷作硬化现象经退火后又可 消除。
工程上经常利用 冷作硬化来提高 材料的弹性阶段。 如起重用的钢索 和建筑用的钢筋, 常用冷拔工艺以 提高强度。
在屈服阶段内的 最高应力和最低 应力分别称为上 屈服极限和下屈 服极限。
材料力学第2章-1拉压
平方米） （牛顿/平方米）记作：Pa （帕斯 牛顿 平方米 记作： 记为： 记为：Mpa 记为： 记为：Gpa 矢量背离截面 矢量指向截面
返回
N/m N/m
2 2
兆帕 千兆帕
4、正应力的符号规定： 、正应力的符号规定： 与轴力相同，拉伸（ ） 与轴力相同，拉伸（+） 压缩（ 压缩（-）
5、应力的分布规律： dFN= σ dA
ε
返回
二、压缩曲线： 压缩曲线：
F D B A C
σp
σs
σb
E
O
ε=∆ L/L
1、低碳钢的压缩曲线
特点： 弹性模量E均与拉伸时相同 均与拉伸时相同， 特点：极限应力σS弹性模量 均与拉伸时相同，但得不 到强度极限。 到强度极限。
返回
铸铁压缩曲线
2、铸铁压缩曲线的特点： 铸铁压缩曲线的特点： 1）形状与拉伸时相似。 ）形状与拉伸时相似。 2）抗压强度比抗拉强度高 ）抗压强度比抗拉强度高4~5倍。 倍 3）在较小的变形下突然破坏，破坏断面与轴线大约成 ）在较小的变形下突然破坏， 450~550角。 三、两类材料力学性能比较 塑性材料：1）破坏前变形大，有流动阶段。 塑性材料： 破坏前变形大，有流动阶段。 承受冲击的能力好。 2）承受冲击的能力好。 均相同。 3）拉压时E、 σs均相同。 脆性材料： 破坏前变形小，没有明显的流动阶段。 脆性材料：1）破坏前变形小，没有明显的流动阶段。 承受冲击的能力不好。 2）承受冲击的能力不好。 抗拉强度低，抗压强度高。 3）抗拉强度低，抗压强度高。 塑性材料适合做承拉构件，脆性材料适合做承压构件。 塑性材料适合做承拉构件，脆性材料适合做承压构件。
FN =
∫ dF
A
N
材料力学第二章-轴向拉伸与压缩
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆， 当截面变化缓慢时，横截面上旳 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系， 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n
材料力学之四大基本变形
WZ
IZ ymax
一、变形几何关系
( y)d d y
d
d
y
z
y
dx
y
CL8TU3-2
bh3
bh2
I Z 12 , WZ 6
d4
I Z 64
d3
, WZ 32
IZ
(D4 d 4)
64
D4
64
(1 4 )
WZ
D3
32
(1 4 )
（1）求支座反力
M A 0, M 0 RBl 0 M B 0, RAl M 0 0
（2）列剪力方程和弯矩方程
RB
M0 l
RA
M0 l
AC段 :
Q1
RA
M0 l
M1
RA x
M0 l
x
(0 x a)
CB段 :
Q2
返回
例3-1: 传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟，主动轮B输入功率NB= 10KW，A、 C为从动轮，输出功率分别为 NA= 4KW ， NC= 6KW，试计算该轴的扭矩。
先计算外力偶矩
A
B
C x
mA
9550
NA n
9550 4 500
76.4Nm
mB
9550 NB n
9550 10 500
四大基本变形复习
1.轴向拉伸与压缩 2.剪切 3.扭转 4.弯曲
1.轴向拉压
受力特征：受一对等值、反向的纵向力，力的作用线与杆轴线 重合。 变形特征：沿轴线方向伸长或缩短，横截面沿轴线平行移动
《建筑力学》第五章轴向拉伸和压缩研究报告
材料压缩时的力学性质 材料压缩试验的试样通常采用圆截面(金属材料)或方截面(混凝土、石料等非金 属材料)的短柱体如图 5-19 所示．为避免压弯、试样的长度与直径 d 或截面边长 b 的 比值一般规定为 1—3 倍。
图 5-19
图 5-20
（1）低碳钢的压缩试验
○ 2 断面收缩率
设试样试验段的原面积为 A，断裂后断口的最小横截面的面积为 A1 ，则比值
A A1 100%
A
（5-8）
称为断面收缩率。低碳钢 Q235 的断面收缩串为 60% 。
2、其他塑性材料拉伸时的性质 如图 5-16 所示为几种塑性材料拉伸时的应力一应变因。它们的共同特点是断裂 时均具有较大的塑性变形，不同的是有些金属材料没有明显的屈服阶段。对于不存在 明显屈服阶段的塑性材料，工程规定其产生 0. 2％的塑性应变时所对应的应力作为屈
N2 3P 2P 0 N2 P （压力） N2 得负号，说明原先假设为拉力是不正确的，应为压力，同时又表明轴力是负的。
同理，取截面 3-3 如图 5-6（d），由平衡方程 x 0 得：
N3 P 3P 2P 0 N3 2P
如果研究截面 3-3 右边一段 [图 5-6（e）]，由平衡方程 x 0 得：
• 第一，假想用一横截面将物体截为两部分，研究其 中一部分，弃去另一部分。
• 第二，用作用于截面上的内力代替弃去部分对研究 部分的作用。
• 第三，建立研究部分的平衡条件，确定未知的内力 。
A
2、应力
现在假定在受力杆件中沿任意截面 m—m 把杆件截开，取出左边部分进行分析（图
5-2），围绕截面上任意一点 M 划取一块微面积 A，如果作用在这一微面积上的内力为 p ，那么 p 对 A的比值，称为这块微面积上的平均应力，即
材料力学轴向拉压(1)
i 1
li
FNi dx EAi
n i 1
li
n i 1
FNi li EAi
2.3 拉压杆的变形
b b1
F
F 二、拉压杆的横向变形
l l1
b b1 b
b
b
横向变形
横向线应变
实验表明，在胡克定律适用的范围时，有：
or
F
F/A
即 横向线应变与轴向线应变恒异号，两者之
比的绝对值为一常数，称为泊松比。
面假设。这样，横截面上各处法向线应变相
同，切应变为零。即变形是均匀的。
物性分析：内力与变形有确定的关系，对于 连续均匀材料，从几何分析可推论横截面上 的内力为均匀分布的法向内力。即σ为常量τ 为零。
静力学分析：FN A dA A dA A
FN
拉应力为正
F
A
压应力为负
拉压杆横截面上正应力计算公式
F
公式适用于轴载作用的杆件。
变截面杆或分布轴载作 (x) FN (x)
用下横截面正应力计算
A( x)
2.2 拉压杆的应力
二、斜截面上的应力
σ
σ
F
2
2
2
单向(单轴)应力状态
2
n
m
F
α
F
mm
F
p Fα
m
n
m
α
p
m
t
2
F
2
2
2
x
应讨力变横力论的相规截以定任关同面使方一系，上隔位方，即离角位斜变体α有截截形以作面面是xm轴a顺x上上均为时的各匀起针0应处的始转力法。边动逆及向因的时与线此趋针横应内势0转为截变力为正0面和均正。上切匀；应应分切
材料力学典型例题及解析 1.拉伸应力典型习题解析
轴向拉压应力与材料的力学性能典型习题解析1 图示直杆截面为正方形，边长a =200 mm ，杆长L = 4 m ，F = 10 kN ，材料密度3m /kN 20=ρ. 考虑杆的自重，计算1-1和2 -2截面轴力，并画轴力图。
解题分析：杆的自重为体积力。
当杆件重量与外载荷大小在同一数量级时，应考虑杆自重对内力、应力的影响。
为画轴力图，要先计算一些特殊截面上的轴力，如集中力作用的截面和A-A 截面。
解：1、计算1-1截面轴力：从1-1截面将杆截成两段，研究上半段。
设截面上轴力为1N F ，为压力（见图b ），则1N F 应与该杆段所受外力平衡。
杆段所受外力为杆段的自重，大小为ρ24a L ，方向向下。
于是由静力平衡条件∑=0y F 得 042N1=+−ρa L F N 800N/m 1020m 2.0m 2.04m 44332N1=××××==ρa L F 2、计算2-2截面轴力：从2-2截面将杆截成两段，研究上半段。
设截面上轴力为N2F ，为压力（见图c ），则N2F 应与该杆段所受外力平衡。
杆段所受外力为杆段的自重和集中力F ，杆段自重为ρ243a L ，方向向下。
于是由静力平衡条件∑=0y F 得(c)(a) (b)题1图(d)kN 12.4N 104.12N/m 1020m 2.0m 2.04m43N 10104333332N2=×=×××××+×=+=ρa L F F 3、计算集中力F 作用截面上的轴力：首先将杆沿力F 作用截面（B-B ）上侧截开，设截面上轴力为压力+B F N ，研究上半部分杆段。
由于只受本身重量作用，所以由静力平衡条件得F 作用截面上侧轴力为kN 1.6N 106.1N/m 1020)m 2.0(2m 4233322N =×=×××==+ρa L F B 然后将杆沿F 作用截面（B-B ）下侧截开，设截面上轴力为压力−B F N ，研究上半部分杆段。
§4—1材料在拉伸和压缩时力学性能测定实验
金属材料的拉伸、压缩实验承受轴向拉伸和压缩是工程构件最常见的受力方式之一，材料在拉伸和压缩时的力学性能也是材料最重要的力学性能之一。
常温、静载下金属材料的单向拉伸和压缩实验也是测定材料力学性能的最基本、应用最广泛、方法最成熟的试验方法。
通过拉伸实验所测定的材料的弹性指标E、μ，强度指标σs、σb，塑性指标δ、ψ，是工程中评价材质和进行强度、刚度计算的重要依据。
下面以典型的塑性材料——低碳钢和典型的脆性材料——铸铁为例介绍实验的详细过程和数据处理方法。
一、预习要求1、电子万能材料试验机在实验前需进行哪些调整？如何操作？2、简述测定低碳钢弹性模量E的方法和步骤。
3、实验时如何观察低碳钢拉伸和压缩时的屈服极限？二、材料拉伸时的力学性能测定拉伸时的力学性能实验所用材料包括塑性材料低碳钢和脆性材料铸铁。
（一）实验目的1、在弹性范围内验证虎克定律，测定低碳钢的弹性模量E。
2、测定低碳钢的屈服极限σs、强度极限σb、延伸率δ和断面收缩率ψ；测定铸铁拉伸时的强度极限σb。
3、观察低碳钢和铸铁拉伸时的变形规律和破坏现象。
4、了解万能材料试验机的结构工作原理和操作。
（二）设备及试样1、电子万能材料试验机。
2、杠杆式引伸仪或电子引伸仪。
3、游标卡尺。
4、拉伸试样。
GB6397—86规定，标准拉伸试样如图1所示。
截面有圆形(图1a)和矩形（图1b）两种，标距l0与原始横截面积A0比值为11.3的试样称为长试样，标距l0与原始横截面积A0比值为5.56的试样称为短试样。
对于直径为d0的长试样，l0=10d0；对于直径为d0的短试样，l0=5d0。
实验前要用划线机在试样上画出标距线。
（三）低碳钢拉伸实验1、实验原理与方法常温下的拉伸实验是测定材料力学性能的基本实验，可用以测定弹性模量E、屈服极限σs、强度极限σb、延伸率δ和断面收缩率ψ等力学性能指标。
这些指标都是工程设计中常用的力学性能参数。
现以液压式万能材料试验机为例说明其测量原理和方法。
材料力学——第一章 轴向拉伸和压缩
形象表示轴力随截面的变化情况，发现危险面；
材料力学
例题1-1 已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画 出图示杆件的轴力图。 1 B 2 C 3 D A 解：1、计算各段的轴力。
F1 F1 F1
FN kN
1 F2
2
F3 3
F4
AB段 BC段
FN1 FN2
F
F
F
F
d变） 拉伸ε＇<0、 压缩ε’>0 ；
'
d
d
材料力学
2、泊松比 实验证明：
称为泊松比；
注意
（１）由于ε、ε‘总是同时发生，永远反号， 且均由
（２）
s 产生，
故有
＝－
‘
0 FN 1 F1 10kN
x x
F
0 FN 2 F2 F1
FN 2 F1 F2
F2
FN3
10
CD段
F4
25
10 20 10kN Fx 0
FN 3 F4 25kN
2、绘制轴力图。
10
x
材料力学
画轴力图步骤
1、分析外力的个数及其作用点； 2、利用外力的作用点将杆件分段； 3、截面法求任意两个力的作用点之间的轴力； 4、做轴力图； 5、轴力为正的画在水平轴的上方，表示该段杆件发生 拉伸变形
材料力学
例题1-3 起吊钢索如图所示，截面积分别为 A2 4 cm2， A1 3 cm2，
l1 l 2 50 m， P 12 kN， 0.028 N/cm3，
试绘制轴力图，并求
材料力学1.
HA RA
② 局部平衡求 轴力：
q
mC 0
HC
③应力：
N 26.3kN
RC
max
N A
4P
d2
N
4 26.3103 3.14 0.0162
131MPa
④强度校核与结论： max 131 MPa 170 MPa
此杆满足强度要求，是安全的。
22
二、拉（压）杆横截面上的应力
研究方法：
实验观察
作出假设
理论分析
实验验证
1、实验观察
F
a a b b
c c
F
d d
变形前： ab // cd 变形后：ab // cd // ab // cd
2、假设: 横截面在变形前后均保持为平面——平面假设。
则：横截面上每一点的纵向纤维变形相同。 即：轴向变形相等。
VBDm in
2 PL
[ ]
例题 图示结构，钢杆1：圆形截面，直径d=16mm,许用
应力 [ ]1 150 MPa ；杆2：方形截面，边长 a=100mm, [ ]2 4.5MPa ,(1)当作用在B点的载荷 F=2 吨时，校核强
度；(2)求在B点处所
1.5m B
A 1
能承受的许用载荷。 解： 一般步骤：
4
d2
150 106 30.15KN
FN 2,max A2 [ ]2 a2 4.5 106 45KN
两杆分别达到许可内力时所对应的载荷
1杆
Fmax
4 3
FN 1,m a x
4 30.15 40.2KN 3
43
工程力学(材料力学)1_3轴向拉伸与压缩
BC
D
PB PC N3 C
PC N4
5P +
–
PD D
PD D
PD
P
x
P8-9 例题
A 3F
1
2
B
C
F
2F
1
2
1
2
3F
F
1
2
3.应力
应力的表示：
（1）平均应力
(A上平均内力集度)
p平均
ΔP ΔA
P
M
A
（2）实际应力 (M点内力集度)
lim p
ΔP dP
ΔA0 ΔA dA
应力分解
垂直于截面的应力称为“正应力” (Normal Stress)；
平杆BC为2杆）用截面法取节点B为研究对象
Fx 0 Fy 0
N1 cos 45 N2 0 N1sin 45 P 0
N1 28.3kN (拉力) N2 20kN (压力)
45° B C
p
N1
y
N2 45° B x
P
(2)计算各杆件的应力
1
N1 A1
28.3103 202 106
轴力的正负规定: N 与外法线同向,为正轴力(拉力)； N
N与外法线反向,为负轴力(压力)。 N
轴力图—— N (x) 的图象表示。
N N>0 N
N<0
意 （1）轴力与截面位置的变化关系，较直观；
义
（2）最大轴力的数值及其所在面的位置，即危险截面位
置，为强度计算提供依据。 N
P
+
x
例1 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 1P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
材料力学轴向拉伸与压缩
第二章 轴向拉伸与压缩 2.2 杆旳变形
F
1.纵向变形 （1）纵向变形 （2） 纵向应变
b h
l l1
Δl l1 l
Δl
l
h1
F
b1
第二章 轴向拉伸与压缩
b
F
h
l l1
2.横向变形
h1
F
b1
（1）横向变形 （2）横向应变 3.泊松比
b b1 b
b1 b Δb
bb
A d 2 FN 4 [ ]
由此可得链环旳圆钢直径为
d
4F [ ]
4 12.5 103 3.14 45106
m=18.8mm
第二章 轴向拉伸与压缩
[例6]如图a所示，构造涉及钢杆1和铜杆2，A、B、C处为铰链连接。 在节点A悬挂一种G=20kN旳重物。钢杆AB旳横截面面A1=75 mm2， 铜杆旳横截面面积为A2=150 mm2 。材料旳许用应力分别为 ，
GB/T 228－2023 金属材料室温拉伸试验措施
原则拉伸试样：
标距： 试样工作段旳原始长度
要求标距: l 10 d 或者
l 5d
第二章 轴向拉伸与压缩
试验设备 （1）微机控制电子万能
试验机 （2）游标卡尺
第二章 轴向拉伸与压缩
试验设备
液压式
电子式
第二章 轴向拉伸与压缩
拉伸试验
第二章 轴向拉伸与压缩
第二章 轴向拉伸与压缩
应力非均布区 应力均布区 应力非均布区
圣维南原理
力作用于杆端旳分 布方式，只影响杆端 局部范围旳应力分布， 影响区约距杆端 1～2 倍杆旳横向尺寸。
端镶入底座，横向变形 受阻，杆应力非均匀分布。
工程力学材料力学第一章
直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。
直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 k
设有一等直杆受拉力P作用。 P 求：斜截面k-k上的应力。 解：采用截面法 由平衡方程：Pα=P P P k P
α α
k Pα k
Pα 则： pα = Aα
Aα：斜截面面积；Pα：斜截面上内力。
A 由几何关系： α = cos Aα
σ 0 ( 45°斜截面上剪应力达到最大 ) |τ 当α = ± 45°时， α |max =
目 录
公式的应用条件： 公式的应用条件： 直杆、杆的截面无突变、 的距离。 直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。 圣维南( 原理： 圣维南 Saint-Venant)原理： 原理 离开载荷作用处一定距离， 离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作 用方式的影响。 用方式的影响。 应力集中（ 应力集中（Stress Concentration）： ）： 在截面尺寸突变处，应力急剧变大。 在截面尺寸突变处，应力急剧变大。
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定 义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集 度最大处开始。 2. 应力的表示： 应力的表示： ① 平均应力： 平均应力： ∆P M ∆A
ΔP pM = ΔA
全应力（总应力）： ② 全应力（总应力）：
p = lim
∆A → 0
∆P dP = ∆ A dA
目 录
目 录
目 录
例题
图示结构，已知斜杆AB长2m,横截面面积为 图示结构，已知斜杆AB长2m,横截面面积为 AB 水平杆AC的横截面面积为250mm AC的横截面面积为 200mm2。水平杆AC的横截面面积为250mm2。材料的 弹性摸量E=200GPa 载荷F=10kN 试求节点A E=200GPa。 F=10kN。 弹性摸量E=200GPa。载荷F=10kN。试求节点A的位 移。 计算各杆件的轴力。（设斜杆为1 。（设斜杆为 解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水 平杆为2 用截面法取节点A 平杆为2杆）用截面法取节点A为研究对象
材料力学(1)
1-1 工程实际中的轴向拉伸和 压缩问题
F F
工程实际中，有很多发生轴向 拉伸和压缩变形的构件。 如联接钢板的螺栓(图 a ）， 在钢板反力作用下，沿其轴 向发生伸长（图c），称为轴 向拉伸； 托架的撑杆CD（图a），在 外力的作用下，沿其轴向发 生缩短（图b），称为轴向压 缩。 产生轴向拉伸（或压缩）变 形的杆件， 简称为拉（压） 杆。
I
50kN 150kN
II
100kN
I 50kN I II FN2 100kN II FN2= −100kN FN1 FN1=50kN
I 50kN FN
II
+ −
100kN
| FN |max=100kN
1-3 轴向拉伸和压缩时的应力
应力的概念
确定了杆的内力后，还不能解决杆件的强度问题。 经验告诉我们，材料相同，直径不等的两根直杆， 在相 同的拉力F作用下， 内力相等。当力F增大时，直径小的杆 必先断，这是由于内力仅代表内力系的总和，而不能表明截 面上各点受力的强弱程度， 直径小的杆因截面积小，截面上 各点受力大，因此先断。 所以， 需引入表示截面上某点受力强弱程度的量——应 表示截面上某点受力强弱程度的量—— 表示截面上某点受力强弱程度的量——应 力，作为判断杆件强度是否足够的量。 (内力集度） 内力集度）
2 截面法
轴力
截面法： 用假想的截面将杆件截为两部分，任取杆 截面法 ：
件的一部分为研究对象，利用静力平衡方程求内力 的方法称为截面法。
m F1 F2 m (a) F1 F2
m m m
F3
FN
∑Fx=0 FN-F1+F2=0
F3
FN = F1 − F2
轴向拉伸与压缩
承受载荷F和变形ΔL之间的
关系，可以绘制出该材料的 拉伸应力应变σ-ε曲线。
低碳钢
曲线分析：
ob段—弹性阶段 (比例极限σp弹性极限σe )
bc段—屈服阶段
屈服强度 s
cd段—强化阶段 抗拉强度 b de段—缩颈断裂 阶段
1.材料的弹性模量E为：_102/0.5_GPa 2.屈服点σs为：_240_MPa 3.材料的抗拉强度σb为：_380_Mpa 4.强度计算时，若安全系数取为2，则材料的许用应力 [σ]=__240/2_MPa 注意计算许用应力时： 塑性材料： 屈服极限/安全系数 脆性材料： 抗拉强度极限/安全系数
例：一杆件受力如图，F1=2KN，F2=1KN， F3=3KN，（1）画出轴力图；(2)如已知杆直径 d=10mm，材料的许用正应力[σ ]＝60MPa，试 校核强度
解： 1、计算各段轴力：
（找节点，相邻两外力作用点间取截面）
FN1=2KN， FN2=1KN， FN3=4KN 2、画出轴力图 3、校核强度
FN F
方向：拉为正、压为负
轴向拉伸时杆的内力特点：内力方向沿轴向，简称轴力
14
三、拉(压)杆的轴力和轴力图
2.轴力图 轴力图：轴力随横截面变化的曲线，称为轴力 图。
m
杆轴线为横坐标表示 横截面位置，
F
m FN
F
垂直于轴线的纵坐标 表示轴力的大小
x
15
例1： 已知F=10KN，受力如图所示，试用截面 法 求图示杆件指定截面1－1、2－2、3－3 的轴力.
24
例：如图所示杆件，求各段内截面的轴力和应力，并画出 轴力图。若杆件较细段横截面面积 A1 200mm2 ，较粗 E， 200GPa L 100 mm 段 A2 300 ，材料的弹性模量 mm2 求杆件的总变形。
《材料力学》第三章 轴向拉压变形
第三章 轴向拉压变形
*四、温度应力、装配应力 一）温度应力：由温度引起杆变形而产生的应力（热应力） 。 温度引起的变形量—— L tL 1、静定问题无温度应力。 2、超静定问题存在温度应力。 二）装配应力——预应力、初应力：由于构件制造尺寸产生的制造误差，在装配时产生变形而引起的应 力。 1、静定问题无装配应力 2、超静定问题存在装配应力。 轴向拉压变形小结 一、拉压杆的变形（重点） 1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。 3、横向变形系数（泊松比） ： 4、变形——构件在外力作用下或温度影响下所引起的形状尺寸的变化。 5、弹性变形——外力撤除后，能消失的变形。 6、塑性变形——外力撤除后，不能消失的变形。 3、横向变形系数 7、位移——构件内的点或截面，在变形前后位置的改变量。 8、正应变——微小线段单位长度的变形。
4、求变形： L
FN L EA
LAB
FNAB LAB 240 3.4 104 2.67(m m) EAAB 2.114.54
LCD 0.91mm LEF 1.74mm
5、求位移,变形图如图
LGH 1.63mm
D
LEF LGH DG LGH 1.70 mm EG
第三章 轴向拉压变形
第三章
一、概念 1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。 二、分析两种变形
轴向拉压变形
§3—1 轴向拉压杆的变形
b
L F F
b1
L1
1、轴向变形：Δ L=L1-L ，
L L F L （2） 、在弹性范围内： L N A
（1） 、轴向正应变线应变：
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1.衡。
设杆(A) qρ=(B)(C)(D)2.(A)(C)3. 在A和BA和点B(A) 0；(C) 45；。
4. 可在横梁（刚性杆）为A(A) [] 2A σ(C) []Aσ；5.(A)(C)6. 三杆结构如图所示。
今欲使杆3哪一种措施？(A) 加大杆3的横截面面积； (B) 减小杆3的横截面面积； (C) 三杆的横截面面积一起加大； (D) 增大α角。
7. 图示超静定结构中，梁AB 示杆1的伸长和杆2的缩短，(A) 12sin 2sin l l αβ∆=∆； (B) 12cos 2cos l l αβ∆=∆； (C) 12sin 2sin l l βα∆=∆； (D) 12cos 2cos l l βα∆=∆。
8. 图示结构，AC 为刚性杆，杆1(A) 两杆轴力均减小； (B) 两杆轴力均增大；(C) 杆1轴力减小，杆2轴力增大； (D) 杆1轴力增大，杆2轴力减小。
9. 结构由于温度变化，则：(A) (B) (C) (D) 10. 面n-n 上的内力N F 的四种答案中哪一种是正确的？(A) pD ； (B) 2pD；(C) 4pD ； (D) 8pD 。
11.的铅垂位移12. 截面的形状为13. 一长为l挂时由自重引起的最大应力14. 图示杆112A A >是N1F F 题1-141. D 2. D 3. C 4. B 5. B 6. B 7. C 8. C 9. B 10. B11. Fl EA ；12. ab；椭圆形 13. 22gl gl E ρρ， 14. ＞，= 15. 试证明受轴向拉伸的圆截面杆，其横截面沿圆周方向的线应变s ε等于直径的相对改变量d ε。
证：()s d πππd d ddddεε+∆-∆=== 证毕。
16. 如图所示，一实心圆杆1在其外表面紧套空心圆管2。
设杆的拉压刚度分别为11E A 和22E A 。
此组合杆承受轴向拉力F ，试求其长度的改变量。
（假设圆杆和圆管之间不发生相对滑动）解: 由平衡条件 N1N2F F F += (1)变形协调条件N1N21122F l F lE A E A = (2) 由(1)、(2)得 N1111122F l F ll E A E A E A ∆==+E，17. 设有一实心钢杆，在其外表面紧套一铜管。
材料的弹性模量和线膨胀系数分别为1E2 Array证由18.解19.解20. 图示为胶合而成的等截面轴向拉杆，杆的强度由胶缝控制，已知胶的许用切应力[]τ为许用正力[]σ的1/2。
问α为何值时，胶缝处的切应力和正应力同时达到各自的许用应力。
解：2cos ασσα=≤[]σsin cos ατσαα=≤[]τ[]1tan []2τασ== 胶缝截面与横截面的夹角 57.26=α21.各杆直径为150 mm d =，许用应力[]σ=门受的水压力与水深成正比，水的质ρ=331.010 kg m ⨯，杆间的最大距离。
(取210 m s g =)解：设支杆间的最大距离为x ，闸门底部A集度为0q 。
闸门AB 的受力如图0A M ∑=，01314cos 2q F α⨯⨯=N F F =≤21[]π4d σ3cos 5α=，0330 kN m q gx x ρ== 得：9.42 m x = 22. 图示结构中AC 为刚性梁，BD 为斜撑杆，载荷F 可沿梁AC 水平移动。
试问：为使斜杆的重量最小，斜撑杆与梁之间的夹角θ应取何值？ 解：载荷F 移至C 处时，杆BD 的受力最大，如图。
θcos h FlF BD =A ≥[]cos []BD F Flh σθσ=杆BD 的体积 2sin []sin 2h FlV Aθσθ== 当sin21θ=时，V 最小即重量最轻，故π454θ==423. 图示结构，BC 为刚性梁，杆1和杆2的横截面面积均为A ，和2[]σ，且12[]2[]σσ=。
载荷F 可沿梁BC (1) 从强度方面考虑，当x 为何值时，许用载荷[]F (2) 该结构的许用载荷[]F 多大？ 解：(1) 杆BC 受力如图N1F =1[]A σ，N2F =2[]A σmaxN1N22133[][]2F F F A Aσσ=+==3lx =(2) F 在C 处时最不利 N2F F =≤2[]A σ 所以结构的许用载荷 2[][]F A σ=24. 图示结构，杆1和杆模量为E 且[]2[]σσ-+=，载荷F 虑杆的失稳，试求： (1) 结构的许用载荷[]F 。
(2) 当x 为何值时(0x <<解：(1) F 在B N12F F =(压) , N2F F =(拉)结构的许用载荷 [][]F A σ+=(2) F 在CD 正中间时能取得许用载荷最大值，此时N1N22FF F ==(压)-+N2B N2(1)12cot cos sin cos [][]l Fl l F V A A l αααασσ=+=+0d 0d Vααα==，（）2200222000sin cos 10sin cos sin ααααα--=， 即22002200sin 2cos 0sin cos αααα-=0tan α=当054.74α=时，V 最小，结构用料最省。
26. 如图所示，外径为D ，壁厚为δ，长为l 的均质圆管，由弹性模量E ，泊松比ν的材料制成。
若在管端的环形横截面上有集度为q 的均布力作用，试求受力前后圆管的长度，厚度和外径的改变量。
解：长度的改变量 l lql l E Eσε∆=== 厚度的改变量 qEδνδεδνεδ'∆==-=-外径的改变量 D qD D D Eνενε'∆==-=-27.正方形截面拉杆，边长为，弹性模量200 GPa E =，泊松比0.3ν=。
当杆受到轴向拉力作用后，横截面对角线缩短了0.012 mm ，试求该杆的轴向拉力F 的大小。
解：对角线上的线应变0.0120.000340ε-'==- 则杆的纵向线应变0.001εεν'=-=杆的拉力160 kN F EA ε==28. 图示圆锥形杆的长度为l ，材料的弹性模量为E ，质量密度为ρ，试求自重引起的杆的伸长量。
解：x 处的轴向内力 ()()()N 13F x gV x g A x x ρρ==⋅杆的伸长量N00()d ()d ()3()l l F x x gA x x l x EA x EA x ρ⋅∆==⎰⎰20d 36l gx x gl E Eρρ==⎰29. 设图示直杆材料为低碳钢，弹性模量200 GPa E =，杆的横截面面积为25 cm A =，杆长 1 m l =，加轴向拉力150 kN F =，测得伸长 4 mm l ∆=。
试求卸载后杆的残余变形。
解：卸载后随之消失的弹性变形e 1.5 mm Fll EA∆== 残余变形为p e 2.5 mm l l l ∆=∆-∆=30. 图示等直杆，已知载荷F ，BC 段长l ，横截面面积A ，弹性模量E ，质量密度ρ，考虑自重影响。
试求截面B 的位移。
解：由整体平衡得43C F gAl ρ=BC 段轴力()N 43F x gA x l ρ⎛⎫=- ⎪⎝⎭截面B 的位移 ()N 020d 453d ()6lB BC l F x xΔl EA gA x l gl x EA Eρρ=∆=⎛⎫- ⎪⎝⎭==-↓⎰⎰ 31. 已知图示结构中三杆的拉压刚度均为EA ，设杆AB 为刚体，载荷F ，杆AB 长l 。
试求点C 的铅垂位移和水平位移。
解：杆AB 受力如图N20F =, N1N32FF F ==132y FlΔl l EA=∆=∆=因为杆AB 作刚性平移，各点位移相同，且N20F =，杆2不变形。
又沿45由A 移至A '。
所以 2x y FlΔΔEA==32. 电子秤的传感器是一个空心圆筒，承受轴向拉伸或压缩。
已知圆筒外径80 mm D =，壁厚9 mm δ=，材料的弹性模量210 GPa E =。
在称某重物时，测得筒壁的轴向应变647610ε-=-⨯，试问该物重多少？l=1kNN3'xΔ解：圆筒横截面上的正应力FE Aσε== ()221π4F EA E D d εε==⋅-262 mm d D δ=-= 该物重 200.67 kN F =33. 图示受力结构，AB 为刚性杆，CD 为钢制斜拉杆。
已知杆CD 的横截面面积2100 mm A =，弹性模量200 GPa E =。
载荷1 5 kN F =，210 kN F =，试求： (1) 杆CD 的伸长量l ∆； (2) 点B 的垂直位移B ∆。
解：杆AB 受力如图0A M =∑，N2120F F F --=)N 212F F F =+=N 2 mm F ll EA∆==2 5.66 mm B C ΔΔl ===34. 如图示，直径16 mm d =的钢制圆杆ABB 处铰接。
当D 处受水平力F 0.0009ε=。
已知钢材拉伸时的弹性模量E =(1) 力F 的大小； (2) 点D 的水平位移。
解：折杆BCD 受力如图（1）0C M ∑=，N 1.520F F ⨯-⨯=N1.5 1.528.5kN 22F F E A ε=== （2）0.0018 m 1.8 mm l l ε∆=== 2 1.5Dx Δl∆=2 2.4 mm 1.5Dx Δl ε==11B35. 如图示等直杆AB 在水平面内绕A 端作匀速转动，角速度为ω，设杆件的横截面面积为A ，质量密度为ρ。
则截面C 处的轴力N C F = 。
答：22x A x l ρω⎛⎫- ⎪⎝⎭36. 如图示，两端固定的等直杆AB ，已知沿轴向均匀分布的载荷集度为q ，杆长为l ，拉压刚度为EA ，试证明任意一截面的位移()2x qx l x EA δ-=，最大的位移2max 8ql EA δ=。
证：由平衡条件得0A B F F ql +-=()2 N 0 0d d 2ll AA F qx x F x F l ql l EA EA EA EA-∆===-⎰⎰ 由变形协调条件0l ∆=，得2A qlF =22d 222xA A x F qx F x qx ql x qx x EA EA EA EA EA δ-==-=-=⎰令0x δ'=，20ql qx -= 即当2lx =时，杆的位移最大，2max 2228l l q l qlEA EAδ⎛⎫- ⎪⎝⎭==证毕。
37. 图示刚性梁AB ，在BD 两点用钢丝悬挂，钢丝绕进定滑轮G 、F ，已知钢丝的弹性模量210 GPa E =，横截面面积2100 mm A =，在C处受到载荷20 kN F =的作用，不计钢丝和滑轮的摩擦，求C 点的铅垂位移。
解：设钢丝轴力为N F ，杆AB 受力如图示。