无衍射光

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艾里光束

光束构建自会聚光束，因此着重关注它的自弯曲传输特性，以期望艾里光束在自弯曲的过程中实现能量的自会聚
• The equivalent envelope Gaussian beam (EEGB) defined as the Gaussian beam with full-width at half maximum (FWHM) equal to the diameter of the ring-Airy beam and the equivalent peak contrast Gaussian beam (ECGB), which, in the linear regime, reaches the same peak intensity contrast value at the focus
原理以及计算方法
• 理论：在量子力学框架下，描述微观粒子运动的自由空间薛定谔方程的一维形式是 • • 其中m是粒子的质量，当初始条件输入艾里光波，在演化过程中可以得到一个不扩展并且能够横向自加速的波包解。这是1979年由Berry和Balazs首次在理论上提出的，他们还解释了理论上得到的弯曲轨迹实际上是初始时刻处于不同位置粒子做直线运动得到的轨迹形成的包络，每一点的强度是相应粒子波包在此位置的相干叠加。
Figure 6 | Comparative plot of intensity distributions. Radial intensity distribution of the ring-Airy, EEGB and ECGB used in the simulations.
Figure 1 | Focus shift in the non-linear regime. Focus position as a function of the input power for the ring-Airy beam (black squares) and the two Gaussian beams with equivalent contrast (red dots) and equivalent envelope (blue triangles).

无衍射光束的传输

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无衍射光

无衍射结构光理论研究随着机械、电子及光学工业的飞速发展,几何量测量作为加工工业发展的技术基础与保证已受到越来越高的重视。

对表面形貌测量的研究也已经渗透到各个领域,测量要求不断提高,不仅要求测量范围大,分辨率高,在线测量还要求测量速度快。

而现有的表面形貌测量技术无论就是接触式还就是非接触式,都不能同时满足这些测量要求。

无衍射光束就是现代物理光学的新发现,因其具有很多优良的传播性能,人们已将其应用到的各种几何量的测量包括表面形貌测量。

但现有的无衍射光均为点光束,点扫描速度慢,不能满足在线测量的要求。

无衍射结构光就是一种新型的无衍射光源,光斑具有线性结构。

它兼具无衍射光与线结构光的优良特性。

这将为表面形貌测量提供一种优良的光源,使测量系统能同时满足测量范围大,分辨率高与测量速度快的要求。

该光源将为表面形貌测量技术注入新的生命力,应用前景广阔,就是一个值得研究的新方向。

无衍射光束的发展:衍射就是一种常见的光学现象,它对所有的传统光波场都有影响。

例如:一束准直单色光束在自由空间传播的瑞利距离ZR为:其中λ就是波长,r0 就是光束初始半径。

瑞利距离ZR后光束就明显的衍射扩散。

为了找到无衍射光束,人们做了许多努力。

1983 年,J、N、Brittingham发现了一簇新的麦克斯韦波动方程的解,这簇解对应的波以光速传播,并且始终处于聚焦状态。

这些解对应的波具有无限能量,只有理论意义而不能具体实现。

1985 年,R、W、Ziolkowskl导出了另一组新的解,并证明该组解对应的波可以以有限能量用天线发出,后来在水中用声波演示了近似的无衍射波的传播。

1987 年,J、Durnin等人发现了麦克斯韦波动方程的零阶贝塞尔(Bessel)函数形式的严格解,并在实验室中用简单光学系统与常规光学元件证明了此解所对应的波具有无衍射特性。

至此,“无衍射”光束的概念正式提出。

由于无衍射光的这些新颖的特性有着十分诱人的应用前景,国内外迅速掀起了对无衍射贝塞尔光束的研究热潮。

用空间光调制器产生贝塞尔光束的实验研究

用空间光调制器产生贝塞尔光束的实验研究崔超涵;赵浩淇;朱睿;冯路;赵伟;张权;朱玲;张增明;孙腊珍【摘要】贝塞尔光束因其中心光强分布随传播距离不变的性质,被称为无衍射光束.实验上获得贝塞尔光束通常对仪器参量要求很高,且得到的贝塞尔光束一般为非理想贝塞尔光束.本文利用简单的空间光调制器设计了半周期空间光相位调制方案来获得贝塞尔光束【期刊名称】《物理实验》【年(卷),期】2017(037)007【总页数】4页(P49-52)【关键词】贝塞尔光束;无衍射光束;空间光调制器;相位调制【作者】崔超涵;赵浩淇;朱睿;冯路;赵伟;张权;朱玲;张增明;孙腊珍【作者单位】中国科学技术大学少年班学院,安徽合肥 230026;中国科学技术大学少年班学院,安徽合肥 230026;中国科学技术大学少年班学院,安徽合肥 230026;中国科学技术大学少年班学院,安徽合肥 230026;中国科学技术大学物理学院,安徽合肥 230026;中国科学技术大学物理学院,安徽合肥 230026;中国科学技术大学物理学院,安徽合肥 230026;中国科学技术大学物理学院,安徽合肥 230026;中国科学技术大学物理学院,安徽合肥 230026【正文语种】中文【中图分类】O436.1单色光在自由空间中传播时的波场分布满足亥姆霍兹方程，其典型的解有平面波解和高斯波解. 1987年，J. Durnin提出了一种解形式[1]，由于其具有基于贝塞尔函数的展开形式，因此被命名为贝塞尔光束. 与常见的高斯光束不同，贝塞尔光束的截面光强分布可以在一定的传播范围内随传播距离增加而保持不变，且经过小障碍物后，具有自恢复能力[2]. 相比于有扩散和衍射的高斯光，无衍射贝塞尔光束在某些场合具有极大的优势，目前在纵深式光镊、光刻、层析扫描与光学准直等领域均有重要应用价值[3-4].J.Durnin提出的无衍射贝塞尔光束的亥姆霍兹方程解是指在垂直传播方向的任意界面上，光强分布满足第一类零阶贝塞尔函数的形式. 后来的研究表明，贝塞尔光束只是无衍射光束的其中一种形式. 零阶贝塞尔光束即理想贝塞尔光束是自由空间标量波动方程在z轴传播方向上的1组特殊解,其形式表示为ysin φ)]dφ=exp [i(βz-ωt)]J0(αρ),式中α2+β2=(ω/c)2,ρ2=x2+y2,J0为第一类0阶贝塞尔函数，α为横向波数，β为轴向波数，ω为角频率.对于(2)式的分析说明，贝塞尔光束垂直于传播方向的截面光强分布表现为中心光斑和许多同心圆环，由内到外光强递减，且在相当长一段距离内光强分布不发生变化，且中心光斑被阻挡后能自恢复.自从贝塞尔光束概念提出以来，已经有大量文献报道了多种贝塞尔光束的产生方法[5]，这些方法可分为主动式和被动式2类:主动式即通过设计谐振腔的结构，直接产生贝塞尔光束形式的出射激光;被动式则是由其他光束通过光路转换为贝塞尔光束，主要的被动式方法有环缝-透镜法、轴棱镜法和空间光调制法等[6-9]. 其中环缝-透镜法产生贝塞尔光束效率偏低，轴棱镜法虽然效率较高但对仪器精度要求很高[10].Antti Vasara[11]等人提出采用光学实验室常用的空间光调制器产生贝塞尔光束.利用空间光调制器与偏振片组合改变透过率，对入射光空间光强进行黑白两色调制，得到了近似的贝塞尔光束. 本文对此方法进行改进，利用空间光调制器对入射光波前的空间相位分布进行调制，理论上能得到更好的贝塞尔光束.实验使用GCI-770102型低成本液晶空间光调制器，适用于教学实验演示光强和相位调制过程. 这是透射式扭曲向列型空间光调制器，控制电压的改变会同时改变透过率与相位差，利用此设备进行纯相位调制，需要进行等透过强度时的相位标定，测出灰度-相位曲线.设计图1所示的马赫-曾德尔干涉光路进行相位灰度曲线标定. 调整光路产生稳定的等倾干涉条纹，在干涉光路一臂中加入空间光调制器，输入图像为如图2(a)所示的灰度对比图，通过调整图像灰度观察如图2(b)所示的条纹错开移动情况，这样通过条纹移动量的测量随图片灰度改变的关系即可标定灰度相位曲线.图3为用该方法得到的灰度相位曲线，可以看到该空间光调制器相位调制范围较小，近似在[0,π]区间. 用Matlab对半周期的相位调制产生贝塞尔光束的结果进行了模拟计算，通过图4的模拟结果可以看出半周期衍射屏并不影响一段距离后形成贝塞尔光束的能力，5 m处的截面光强分布与理想贝塞尔光束的截面光强分布近似相同，并与Antti Vasara[10]结果相符.如图5所示，利用标定的灰度-相位曲线制作出0阶贝塞尔光束复现图像. 为利用空间光调制器相位调制产生贝塞尔光束，搭建了图6所示的光路，将图5图像输入到图6(a)中的空间光调制器中，即可以获得0阶贝塞尔光束.将图5所示图片输入到空间光调制器中，调整光路在CCD中即可接收到零阶贝塞尔光束的截面光强分布如图6(b)所示，其基本符合零阶贝塞尔光束的原理分析结果且与Antti Vasara中结果相似[10].为了验证该结果是否符合零阶贝塞尔光束的光强分布特点，将图像导入Matlab软件，去除本底光与杂散光并采用Gauss曝光曲线对高光区域进行修复，恢复CCD 过曝光区域，得到各像素点光强分布如图7所示.为了方便与贝塞尔函数进行比对，从亮斑中心开始，对等半径像素区域进行光强平均，得到恢复后的归一化光强沿半径分布曲线和零阶贝塞尔函数的平方拟合曲线对比图，如图8所示，其中取最大光强处半径r=0. 可见峰值位置与大小符合度良好，说明产生的0阶贝塞尔光束效果较好.将CCD从距离空间光调制器1.00 m处移动至2.60 m处，对准光斑中心进行拍照，选取2张照片以中心光斑为中心500像素×500像素大小的区域进行比较，如图9所示，可见除了光线变得稍有模糊之外，各级条纹的相对位置与大小并未发生改变. 这反映了0阶贝塞尔光束中心光强随距离变化保持不变的特性[11].利用空间光调制器搭建了相位调制光路，通过半周期相位调制成功获得了贝塞尔光束，并通过Matlab模拟和实验对比证实了所产生贝塞尔光束的无衍射特性. 实验中还发现：虽然半周期调制产生贝塞尔光束与理论符合良好，但是还存在有效区域较窄等问题有待进一步研究. 实验中所用空间光调制器为低成本普通型号，该实验方案可以比较方便地在实验教学中搭建光路完成贝塞尔光束的产生和验证.指导教师：赵伟(1981-)，男，吉林长春人，中国科学技术大学物理学院讲师，博士，从事物理实验教学与科研工作.【相关文献】[1] Durnin J. Exact solutions for nondiffracting beams.I.The scalar theory [J]. Journal of the Optical Society of America A, 1987(4):651-654.[2] 吕百达. 对无衍射光束和相关概念的评注[J]. 应用激光,1994,14(6):273-280.[3] 吴健. 一种新的光束概念——无衍射光束[J]. 强激光与粒子束,1992,4(1):148-152.[4] 马秀波. 贝塞尔光束传播与散射特性研究[D]. 天津：天津大学,2012.[5] 周莉萍,赵斌. 无衍射贝塞尔光束的实现方法[J]. 激光杂志,1997(3):1-4.[6] Herman R M, Wiggins T A.Production and uses of diffractionless beams [J]. Journal of the Optical Society of America A, 1991,8(6):932-942.[7] McGloin D, Dholakia D. Bessel beams: Diffraction in a new light [J]. Contemporary Physics, 2005,46(1):15-28.[8] 马亮,吴逢铁,黄启禄. 一种产生无衍射贝塞尔光束的新型组合锥透镜[J]. 光学学报,2010,30(8):2417-2420.[9] 卢文和,吴逢铁,郑维涛. 透镜轴棱锥产生近似无衍射贝塞尔光束[J]. 光学学报,2010,30(6):1618-1621.[10] Vasara A, Turunen J, Friberg A T. Realization of general nondiffracting beams with computer-generated holograms[J]. Journal of the Optical Society of America A, 1985,6(11):1748-1754.[11] 赵娟莹,邓冬梅,张泽,等.自加速类贝塞尔-厄米-高斯光束的理论和实验研究[J]. 物理学报,2014,63(4):163-170.。

类无衍射光束的应用领域

类无衍射光束的应用领域全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：类无衍射光束是一种特殊类型的光束，在很多领域都有着重要的应用。

它们的特点是不会发生衍射现象，因此具有一些独特的优势和特性，使得它们在很多实际场景中得到了广泛应用。

类无衍射光束在光通信领域有着重要的应用。

光通信是一种高速、高带宽的通信方式，通过光信号传输信息，适用于长距离通信和高速数据传输。

类无衍射光束具有较低的光散射和传输损耗，可以有效地减少信号衰减和色散，提高信号传输的稳定性和可靠性。

在光通信系统中广泛应用于光纤通信、激光通信和卫星通信等领域。

类无衍射光束在激光加工领域也有着重要的应用。

激光加工是一种高精度、高效率的材料加工技术，广泛应用于汽车制造、电子器件加工、精密仪器制造等行业。

类无衍射光束具有较小的焦散和光斑扩散，能够实现高精度、高分辨率的加工效果。

由于其能够产生高功率、高能量密度的光束，可以实现快速、高效的材料加工，大大提高生产效率。

类无衍射光束在医疗领域也有着重要的应用。

激光治疗、激光手术、激光诊断等技术已经成为现代医学的重要手段，广泛用于眼科、皮肤科、外科等领域。

类无衍射光束具有较小的热效应和组织损伤，能够实现更精准、更安全的治疗效果。

由于其能够实现高分辨率、高对比度的成像，可以帮助医生进行更准确的诊断和手术操作。

类无衍射光束还在光学测量、光学显微成像、激光雷达、光学传感、光子计算等领域有着重要的应用。

在三维形貌测量中，类无衍射光束能够实现高分辨率、高精度的测量效果；在激光雷达中，能够实现高分辨率、远距离探测；在光学传感中，能够实现高灵敏度、高精度的检测。

第二篇示例：类无衍射光束即指在远场距离条件下，其光波的幅度和相位与空间位置无关。

这种光束的特性使得它在许多应用领域中具有重要的作用。

本文将就类无衍射光束的应用领域进行探讨，并重点介绍其在科研、医疗、通信和激光加工等方面的应用。

类无衍射光束在科研领域中具有广泛的应用。

通过利用这种特殊的光束，科研人员可以研究光波的传播规律、偏振特性以及光与物质的相互作用等问题。

轴锥镜成像系统的点扩散函数分析

轴锥镜成像系统的点扩散函数分析张飘;翟中生;王选择;钟星【摘要】为了使大景深光学镜头在工业视觉检测中的测量结果更准确,必须对中间图像进行复原,点扩散函数是图像复原的关键.根据轴锥镜最大无衍射距离公式设计了无衍射成像系统,以标量衍射理论为基础,在频域范围内利用稳定相法推导出系统的点扩散函数公式.利用准单色光理论,分析非相干光照明下的点扩散函数与锥镜夹角和离焦量的关系.仿真和实验结果表明:轴锥镜夹角越大,点扩散函数中心光强越强,衍射条纹越密;离焦像差对点扩散函数的影响与之相反.【期刊名称】《应用光学》【年(卷),期】2013(034)005【总页数】5页(P849-853)【关键词】无衍射成像;点扩散函数;稳定相法;轴锥镜【作者】张飘;翟中生;王选择;钟星【作者单位】湖北工业大学机械工程学院,湖北武汉430068;湖北工业大学机械工程学院,湖北武汉430068;湖北省现代制造质量工程重点实验室,湖北武汉430068;湖北工业大学机械工程学院,湖北武汉430068;湖北省现代制造质量工程重点实验室,湖北武汉430068;湖北工业大学机械工程学院,湖北武汉430068【正文语种】中文【中图分类】TN201;O438.2引言1987年Durnin J．发现零阶贝塞尔函数形式的解，并首次提出“无衍射光束”的概念［1］。

无衍射光自提出以来不断发展，在现代光学、精密测量中发挥了重要的作用［2-6］。

轴锥镜在像距内产生的衍射光束近似为零阶贝塞尔函数，其中心光斑半径基本不变，可称为无衍射光［7-8］。

无衍射成像是指将产生无衍射光束的元件应用到成像系统中增大系统景深的过程。

普通光学成像系统受离焦的影响使得空间三维物体成像时离焦部分迅速模糊，而无衍射成像系统的衍射光斑大小形状都不随传播距离的改变而改变。

但是，无衍射成像系统中探测器所得到的是模糊的图像，需要用数字图像处理技术进行复原才能得到清晰的像，点扩散函数（point spread function，PSF）是图像复原的关键，因此，研究分析点扩散函数的特点意义重大。

非相干LED白光产生无衍射光的光源设计

中图分类号：Ｏ４３５．１文献标志码：Ａ文章编号：１００７ — ２２７６（２０１３）０１ — ０ｌ５９ — ０４
ＤｅｓｉｇｎｏｆｉｎｃｏｈｅｒｅｎｔｌｉｇｈｔｓｏｕｒｃｅＬＥＤｆｏｒｇｅｎｅｒａｔｉｎｇｎｏｎ－ｄｉｆｒａｃｔｉｎｇｂｅａｍｓ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｅｅｘｐｅｉｍｅｒｎｔｏｆｔｈｅｉｎｃｏｈｅｒｅｎｔｌｉｇｈｔｓｏｕｒｃｅｇｅｎｅｒａｔｉｎｇｎｏｎ —ｄｉｆｆｒａｃｔｉｎｇｂｅａｍｓ，ｔｈｅｕｎｉｆｏｒｍｉｔｙｏｆｈｅｔｉｎｃｉｄｅｎｔｂｅａｍｓｆｏｒｇｅｎｅｒａｔｉｎｇｈｉｇｈｑｕａｌｉｔｙｎｏｎ—ｄｉｆｆｒａｃｔｉｎｇｂｅａｍｓｉｓｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ．Ｉｎｔｈｉｓ
定用该方法设计的透镜能满足实验对入射光束均匀度的要求，并初步实验获得较高质量的零阶无衍
射Ｂｅｓｓｅｌ光，验证了该设计方法的合理性。
关键词：非相干光源；无衍射光束；光学设计；均匀光束
ＦａｎｇＸｉａｎｇ，ＪｉａｎｇＸｉｎｇｕａｎｇ，ＷｕＦｅｎｇｔｉｅ，ＣｈｅｎｇＺｈｉｍｉｎｇ，ＦａｎＤａｎｄａｎ

贝塞尔光束(大论文)精选.

贝塞尔光束传播性质的研究Study of the propagation properties ofthe Bessel beams一级学科学科专业作者姓名马秀波指导教师所在学院年月关键词：Key words:独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得天津大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。

与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。

学位论文作者签名：签字日期：年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规定。

特授权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。

同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。

（保密的学位论文在解密后适用本授权说明）学位论文作者签名：导师签名：签字日期：年月日签字日期：年月日第一章绪论1.1 贝塞尔光束的研究现状Durnin 在1987年提出的所谓无衍射光束的概念，实际上就是（第一类）零阶贝塞尔光束。

Durnin 指出，在垂直于贝塞尔光束光轴的任一截面上，光强分布具有第一类零阶贝塞尔函数的形式[1]。

无衍射光束的提出迅速在光学界掀起了研究的热潮，然而后来发现，贝塞尔光束只不过是无衍射光束中一个种类，常见的无衍射光束还有Mathieu 光束[2]、airy 光束等[3]。

迄今为止，已经有大量的文献对贝塞尔光束的传输、产生及应用进行了研究。

1.1.1理想贝塞尔光束的光强分布及性质理想的零阶贝塞尔光束的光强分布在垂直于传播方向的横截面上表现为一个中心光斑和许多同心的圆环,光强由内及外递减，并且光强分布在传播方向上不发生变化。

Durnin 指出，贝塞尔光束是自由空间标量波动方程()22221,0E r t c t ⎛⎫∂∇-= ⎪∂⎝⎭ （1.1）沿z 轴传播的一组特殊解，在可以表示为： ()2001(r,t)exp[()][(cos sin )]2exp[()]E i z t i x y d i z t J πβωαϕϕϕπβωαρ=-+=-⎰ （1.2）其中，222x y ρ=+，222(/)c αβω+=，0J 表示第一类零阶贝塞尔函数，α是横向波数，β为轴向波数，ω为光的角速度。

准无衍射Lommel-Gauss光束非傍轴传输的解析

准无衍射Lommel-Gauss光束非傍轴传输的解析董永胜;胡文弢;金洪震;钱义先;任志君【摘要】为研究准无衍射Lommel-Gauss光束的非傍轴传输,根据光束传播的独立性和叠加性原理,先将Lommel-Gauss光束展开为无穷项Bessel光束的叠加,然后利用虚源法和格林函数法引入一组能够产生Lom-mel-Gauss光束的虚光源点,利用Fourier-Bessel变换理论,通过建立对应的非齐次亥姆霍兹方程,计算得到Lommel-Gauss光束传输的非傍轴严格积分表达式.利用该积分表达式推导给出了Lommel-Gauss光束轴上光场分布的非傍轴修正解析表达式,这为定量计算Lommel-Gauss光束的传输特性提供了方便.【期刊名称】《浙江师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(042)003【总页数】7页(P287-293)【关键词】物理光学;光束传输;Lommel-Gauss光束;虚源点;Fourier-Bessel变换【作者】董永胜;胡文弢;金洪震;钱义先;任志君【作者单位】集宁师范学院凝聚态物理研究所,内蒙古乌兰察布 012000;集宁师范学院高速信号处理与物联网应用重点实验室内蒙古乌兰察布 012000;浙江省光信息检测与显示技术研究重点实验室浙江金华 321004;集宁师范学院凝聚态物理研究所,内蒙古乌兰察布 012000;浙江省光信息检测与显示技术研究重点实验室浙江金华 321004;浙江省光信息检测与显示技术研究重点实验室浙江金华 321004;浙江省光信息检测与显示技术研究重点实验室浙江金华 321004【正文语种】中文【中图分类】O4360 引言1987年，具有实用价值的无衍射Bessel光束被首次提出并由实验产生[1].经典的Bessel光束均具有中心对称的同心圆结构.2014年，Kovalev等[2]引入了一种非对称的Bessel光束，其横向强度分布形状为新月形.最近，该团队基于不同阶Bessel函数的叠加，理论上又引入了一类新形态的无衍射光束——Lommel光束.这种光束因其在数学上可通过含有2个参量的高阶Lommel函数描述而得名[3].事实上，Lommel光束是波矢量相同的一簇Bessel光束的线性叠加.Lommel光束的独特之处在于：光束的横向强度分布对笛卡尔坐标轴具有反射对称性，特别是通过光束参数的简单调整，可以连续调节光束截面的光强分布，这是Bessel光束所没有的光学特性.Lommel光束的另一个优势在于它们的轨道角动量是连续变化的，而Bessel光束的轨道角动量则是离散变化的.不同于经典的Bessel光束，Lommel光束这些独有的光学特性将在光与物质相互作用或微操纵等领域发挥新的作用.因此，研究Lommel光束的光学特性和传输特性具有重要的科学价值.与Bessel函数类似，Lommel函数平方不可积，即理想的无衍射Lommel光束要求具有无限扩展和无限能量的特点，这在物理上是不可实现的[4].与实际存在的准无衍射Bessel-Gauss光束传输特性类似[5]，本文主要针对Lommel-Gauss光束的传输特性展开研究.光束的传输问题本质是光束的衍射问题,而衍射问题是光学中遇到的最困难问题之一.在衍射理论中，由于数学上的困难,严格解是很少的,大多数情况下必须采用近似的方法.鉴于此，过去研究者通过构建虚光源点(“虚源法”)[5-10]研究了几种具有重要应用价值的准无衍射光束的传输特性，比如Bessel-Gauss光束[5]、cosh-Gaussian光束[6] 、Mathieu-Gauss光束[7] 、elegant Laguerre-Gaussian光束[8] 、Hermite-Gauss光束[9]、Laguerre-Gauss光束[10]等.显然，虚源法为精确研究光束的传输特性提供了思路.本文通过虚源法，并利用光束传播的独立性和叠加性原理，将源点放入复空间，用无穷项虚光源点叠加的方式与展开的Lommel-Gauss光束一一对应.在此基础上，利用Fourier-Bessel变换和Weber 积分公式推导，得到了任意阶Lommel-Gauss光束的非傍轴严格积分表达式.进一步利用该表达式解析得到了该光束轴上光场分布的解析表达式.该结果为把Lommel-Gauss光束更好地应用于实际的科学研究奠定理论基础.1 理论Lommel光束[2-3,11-12]在圆柱坐标系下用一系列的Bessel函数表述为(1)式(1)中：ρ是径向坐标;φ为角坐标;k(传输因子)=2π/λ是波长为λ的单色光的波数；β是光束的径向参数；c是无量纲非对称参数；n是定义轨道角动量(OAM)的整型参量，代表n阶第一类Lommel函数.根据光束传播的独立性和叠加性原理，在圆柱坐标系下，Lommel-Gauss光束能够展开为不同阶数Bessel光束的无穷项求和的形式.在z=0的平面上，Lommel-Gauss光束可用如下形式表示[13]：(2)(3)式(3)中，ω0为z=0平面上光束的束腰宽度.为研究Lommel-Gauss光束的传输，现计算z>0的场分布.根据虚源法，假设En,2p(ρ,φ,z)是由一系列位于z=zex处，半径为ρ=ρex，虚源强度为Sex(n+2p)，并有一个方位角变量的电环[4-10]所产生的，因而具体参数值取决于光束参数.设虚光源的单色标量波函数具有如下一般形式:En,2p(ρ,φ,z)=Un,2p(ρ,z)exp[i(n+2p)φ].(4)光场满足非齐次亥姆霍兹方程(5)利用极坐标系下的Fourier-Bessel变换[6]可得:(6)(7)由式(5)～式(7)联立可得(8)考虑到积分式(8)的复杂性，先对其进行近似处理.当式(8)满足η2≪k2时，可以将其作关于小量的级数展开.对展开式保留其首项k作为振幅因子，保留其前2项作为相位因子.式(8)化简为(9)由式(3)可知，ρ变化的尺度为ω0，η的变化范围为1/ω0的数量级.如果光束的束腰宽度远大于波长，那么，对于大多数光束而言，η2≪k2.而光束的束腰宽度远大于波长这个条件，除了极端情况大部分时候很容易满足.根据Weber积分公式[13-14](10)将式(10)代入式(9)计算得到(11)当z=0时,.(12)当n取偶数时，Jn+2p(x)是偶函数，故(13)通过比较式(3)和式(13)可以得到如下参数值：(14)(15)(16)式(14)～式(16)中：将式(14)～(16)代入式(11)得到如下傍轴近似解(17)式(17)中的下标P表示傍轴近似.所以，Lommel-Gauss光束传输的傍轴近似解为(18)进一步将式(14)～式(16)代入式(8)，得到关于Un,2p(ρ,z)的严格积分表达式(19)运用格林函数法进一步研究Lommel-Gauss光束传输的解析表达式.格林函数的微分方程为(20)式(20)中：(21)(22)式(20)等号两边同时乘以exp[i(n+2p)φex]，并对变量φex积分，积分区间为[0,2π]，得到(23)结合式(14)～式(16)，并将式(23)和式(5)进行比较，可得到Lommel-Gauss光束的精确解析表达式(24)式(24)中,(25)Lommel-Gauss光束的傍轴近似解式(18)和严格解析积分表达式(24)是本文推导所得的第一个重要结论.2 计算根据式(4)和式(19)，以n阶Lommel-Gauss光束为例，现计算轴上(z=0)光场，可以得到轴上光场的分布为(26)式(26)即为推导所得的Lommel-Gauss光束传输的非傍轴严格积分表达式.该解与倏逝波一样，除了包括傍轴近似解之外，还包括非傍轴场分布.研究光束传输的轴上光场分布有重要价值[7,9-10,15]，因为很多时候人们将各类光束用于科学研究时主要关注的是光束轴上的光场分布.与过去研究Mathieu-Gauss光束[7]、Hermite-Gauss光束[9]、Laguerre-Gauss光束[10]等传输特性的方法一致，本文主要研究Lommel-Gauss光束传输过程中的轴上光场分布解析解.对式(26)中的振幅因子和相位因子作级数展开.对于η2≪k2的情况，二者级数展开结果中只有(kω0)-2m (m=0,1,2,…,∞)及之前的项被保留，因而获得m阶非傍轴修正项[5-10].为了获得轴上光场的二阶非傍轴修正，此时m=2，即保留m=2及之前的项.在这样的展开结果下，式(26)变形为(27)式(27)中：(28)G(0)(η,z)=1;(29)(30)(31)(32)根据Weber积分公式[13-14].(33)式(33)中：(34)Γ(n+1)=n!.(35)式(33)～式(35)中：M(α,γ,z)为合流超几何函数[13]；α,γ，z为合流超几何形式参量，此处分别对应为伽玛函数[13].对式(27)作进一步处理，得到Lommel-Gauss光束传输的二阶非傍轴修正光场为(36)对应系数如下:同理，可得到一阶非傍轴修正光场为(37)零阶非傍轴修正光场为(38)式(38)给出的零阶非傍轴修正光场就是Lommel-Gauss光束传输傍轴的近似解.利用式(36)～式(37)给出的一阶、二阶非傍轴修正光场，可用于较为精确计算Lommel-Gauss光束非傍轴传输或近场传输的轴上光场分布.图1 Lommel-Gauss光束轴上光强分布基于Lommel-Gauss光束轴上光场的零阶、一阶、二阶非傍轴修正解式(36)～式(38)，取参数λ=632.8 nm,β=80 m-1和ω0=60 μm，计算Lommel-Gauss光束传输过程中的轴上强度分布.计算过程中，为使计算结果尽可能精确，理论上p值的选取要尽可能地大，但p值越大，相应的计算时间将增大.不过综观式(36)～式(38)可知，随着p值的增大，求和表达式中的高阶项对光强分布的影响将会越来越小.实际上，p>50的高阶项基本不再影响光强分布的计算结果.本文取p=200，计算结果如图1所示.从图1中可看出，Lommel-Gauss光束在传输过程中，当传输距离较小时，发现傍轴近似结果和利用本文所推导的非傍轴修正表达式得到的结果存在较大差异.显然，基于衍射理论研究光束近场传输时，非傍轴计算结果更为精确.但是，非傍轴理论较傍轴理论数学计算过程更为复杂.本文基于虚源技术给出的Lommel-Gauss光束的非傍轴传输校正项，对于精确、解析研究任意n阶Lommel-Gauss光束的非傍轴传输有较为重要的理论价值.而随着传输距离的增加，非傍轴修正后的计算结果与傍轴近似解越来越接近.这也意味着，当研究光束的远场传输时，可以用傍轴近似解替代非傍轴修正解.以上结论与经典的光学理论的相关论述相一致[15-19].此外，非傍轴修正后的计算结果与傍轴近似解在远场计算结果的一致性，也间接证明了本文推导的Lommel-Gauss光束非傍轴传输表达式的正确性.3 结论依据光束传播的独立性和叠加性原理，准无衍射Lommel-Gauss光束可以展开为无穷项Bessel光束的叠加形式.由于Bessel函数理论非常成熟，这为我们借助Bessel光束的性质研究Lommel-Gauss光束在自由空间中的传输特性提供了便利.本文通过引入一组能够产生n阶Lommel-Gauss光束的虚光源点，利用虚源法、格林函数法和Fourier-Bessel变换理论，通过建立对应的非齐次亥姆霍兹方程，计算得到n阶Lommel-Gauss光束的非傍轴传输严格积分表达式.利用该积分表达式推导给出了Lommel-Gauss光束轴上光场分布的解析表达式.以二阶非傍轴修正为例，得到n阶Lommel-Gauss光束保留到二阶非傍轴修正项的轴上光场分布图.本文给出的准无衍射Lommel-Gauss光束非傍轴传输的解析表达式，为将这种新型光束更好地用于实际的科学研究奠定了理论基础.参考文献：【相关文献】[1]DURNIN J.Exact solutions for nondiffracting beams[J].Journal of the Optical Society of America A-optics Image Science and Vision,1987,4(4):651-654.[2]KOVALEV A A,KOTLYAR V V,SOIFER V A.Asymmetric Bessel modes[J].OptLett,2014,39(8):2395-2398.[3]KOVALEV A A,KOTLYAR V V.Lommel modes[J].Optics Communications,2015,338:117-122.[4]GUTIERREZ-VEGA J C,BANDRES M A.Helmholtz-Gauss waves[J].Journal of the Optical Society of America A-optics Image Science and Vision,2005,22(2):289-298.[5]SESHADRI S R.Virtual source for the Bessel-Gauss beam[J].OpticsLetters,2002,27(12):998-1000.[6]ZHANG Y C,SONG Y J,CHEN Z G,et al.Virtual sources for a cosh-Gaussianbeam[J].Optics Letters,2007,32(3):292-294.[7]LI D,REN Z J,DENG S Y.Virtual source for a Mathieu-Gauss beam[J].Journal of Optics,2017,19(5):055608.[8]BANDRES M A,GUTIERREZ-VEGA J C.Higher-order complex source for elegant Laguerre-Gaussian waves[J].Optics Letters,2004,29(19):2213-2215.[9]SESHADRI S R.Virtual source for a Hermite-Gauss beam[J].OpticsLetters,2003,28(8):595-597.[10]SESHADRI S R.Virtual source for a Laguerre-Gauss beam[J].OpticsLetters,2002,27(21):1872-1874.[11]KOVALEV A A,KOTLYAR V V.Family of three-dimensional asymmetric nonparaxial Lommel modes[J].Proceedings of the SPIE,2015,9448:944828.[12]BELAFHAL A,EZ-ZARIY L,HRICHA Z.A study of nondiffracting Lommel beams propagating in a medium containing spherical scatterers[J].Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer,2016,184:1-7.[13]FRANK W J O,DANIEL W L,RONALD F B,et al.NIST handbook of mathematical functions[M].New York:Cambridge University Press,2010.[14]奚定平.贝塞尔函数[M].北京:高等教育出版社,1998:161-164.[15]波恩，沃耳夫.光学原理[M].杨葭荪,译.北京：电子工业出版社,2006.[16]GOODMAN J W.Introduction to Fourier optics[M].3rd.Colaorado:Roberts & Company,2005.[17]苏显渝.信息光学[M].北京:电子工业出版社，1997.[18]胡润,吴逢铁,朱清智,等.离轴像散对高阶贝塞尔光束的影响[J].光学学报，2017，37(8)：0826002.[19]刘佳伟,李海英,吴振森,等.矢量贝塞尔涡旋波束在均匀单轴各向异性介质中的传输[J].光学学报，2018，38(2)：0226001.。

无衍射光

无衍射结构光理论研究随着机械、电子及光学工业的飞速发展,几何量测量作为加工工业发展的技术基础与保证已受到越来越高的重视。

对表面形貌测量的研究也已经渗透到各个领域,测量要求不断提高,不仅要求测量范围大,分辨率高,在线测量还要求测量速度快。

而现有的表面形貌测量技术无论就是接触式还就是非接触式,都不能同时满足这些测量要求。

无衍射光束就是现代物理光学的新发现,因其具有很多优良的传播性能,人们已将其应用到的各种几何量的测量包括表面形貌测量。

但现有的无衍射光均为点光束,点扫描速度慢,不能满足在线测量的要求。

无衍射结构光就是一种新型的无衍射光源,光斑具有线性结构。

它兼具无衍射光与线结构光的优良特性。

这将为表面形貌测量提供一种优良的光源,使测量系统能同时满足测量范围大,分辨率高与测量速度快的要求。

该光源将为表面形貌测量技术注入新的生命力,应用前景广阔,就是一个值得研究的新方向。

无衍射光束的发展:衍射就是一种常见的光学现象,它对所有的传统光波场都有影响。

例如:一束准直单色光束在自由空间传播的瑞利距离ZR为:其中λ就是波长,r0 就是光束初始半径。

瑞利距离ZR后光束就明显的衍射扩散。

为了找到无衍射光束,人们做了许多努力。

1983 年,J、N、Brittingham发现了一簇新的麦克斯韦波动方程的解,这簇解对应的波以光速传播,并且始终处于聚焦状态。

这些解对应的波具有无限能量,只有理论意义而不能具体实现。

1985 年,R、W、Ziolkowskl导出了另一组新的解,并证明该组解对应的波可以以有限能量用天线发出,后来在水中用声波演示了近似的无衍射波的传播。

至此,“无衍射”光束的概念正式提出。

由于无衍射光的这些新颖的特性有着十分诱人的应用前景,国内外迅速掀起了对无衍射贝塞尔光束的研究热潮。

艾里光束

原理以及计算方法
• 理论：在量子力学框架下，描述微观粒子运动的自由空间薛定谔方程的一维形式是 • • 其中m是粒子的质量，当初始条件输入艾里光波，在演化过程中可以得到一个不扩展并且能够横向自加速的波包解。这是1979年由Berry和Balazs首次在理论上提出的，他们还解释了理论上得到的弯曲轨迹实际上是初始时刻处于不同位置粒子做直线运动得到的轨迹形成的包络，每一点的强度是相应粒子波包在此位置的相干叠加。
Figure 5 | Simulations and experiments on the non-linear focus shift. (a)Focus shift for the ring-Airy as a function of the input power for propagation in air. Simulation results (black dots), empirical formula (red line), f min empirical limiting focus position (gray dashed line). Inset: comparison between expected and simulated focus position (the mean error is 1%,whereas the maximal error is 3%). (b) Experimentally measured focus shift in fused silica. (Error bars denote s.d., the dotted red curve is the empirical formula prediction).
• 而在光学的框架下，描述光场运动的麦克斯韦方程在旁轴近似下是

激光光束漂移特性研究综述知识讲解

激光光束漂移特性研究综述激光准直中光束漂移的特性研究综述引言：从产生的原因来看，激光光线主要存在三种不同类型的漂移，分别是：激光器本身发射的激光存在光线漂移；固定激光发射器的调整装置存在机械位移，导致激光光线缓慢漂移；空气扰动或折射率不均匀造成的光线漂移或者光线弯曲。

而针对这三种漂移提出的补偿方案也有很多。

本文将从实用性、价格因素以及可操作性三个方面分析各种方案总结并提出最佳方案。

一、光漂的抑制双光束准直法：采用特别设计的光学系统，将激光器发出的光束分成两束光，且当激光束发生光漂时，这两束光朝相反的方向变化，其能量中心即两路光的对称中心线不变，用具有双光电座标的检测靶检测出这条中心线的相对位置，以此作为基准线，从而起到抑制光漂的作用。

优点：受大气扰动的影响小，光束漂移小，准直基线的稳定性较好，精度达到10-6缺点：所用元件较多，调整困难。

单模光纤法: 激光束经显微镜聚焦，将光点耦合进入单模光纤，光纤出射端位于准直物镜的焦点上，使出射光为准直光束，即采用一根光纤建立新的光发射基准。

理论计算表明，光束经单模光纤后，其模式重新分布，激光束的平漂、角漂只会影响耦合效率，不会影响出射光强分布。

精度达到1.5x10-6优点：，此方法可以完全消除光漂，而且，在保证单模传输情况下，通过光纤后的光束质量也有提高；成本相当低。

缺点：由于机械装置的漂移，长时间后光束会偏离光纤，需重新耦合。

固定点补偿法：采用两个或多个光靶来实时测量激光的漂移量，然后据此对测量值进行修正以实现补偿。

缺点：，光漂监测和测量不能同时进行，使得各测量点的光漂相关性降低。

光线弯曲和大气抖动的影响造成的误差会随着测量距离的增加而增大。

莫尔条纹激光准直法：激光器、空间滤波器、扩束镜和锥镜形成无衍射光，利用无衍射光所形成的、不随传播距变化的贝塞耳函数光环作直线基准Z轴。

该光圆环光栅相迭，产生的莫尔条纹被CCD采集后存储于计算机。

被测物移动过程中相对贝塞耳函数中心线的偏移将会改变莫尔条纹，计算机根据莫尔条纹中心的二维偏移量就可以直接测量出贝塞耳函数光束中心与圆环光栅中心的距离。

二维艾里光束飞秒成丝特性研究

二维艾里光束飞秒成丝特性研究李媛丽;吴云龙;宣齐天【摘要】艾里光束因具有无衍射、自愈和、横向自加速等奇异特性,自被发现以来便成为一个研究热点.对艾里光束的基本理论进行了简单的介绍.利用常用的分步傅里叶数值法对二维艾里光束在空气中的飞秒成丝特性进行了研究.重点计算了二维艾里光束在一定条件下初始光场随传播距离的演化过程.仿真结果表明:当入射的飞秒激光能量足够大时,二维艾里光束在传播很短的距离后便表现出强烈的成丝特性.光丝能量在一定传播距离内会维持较高水平,之后急剧衰减直至光丝消失.所做工作对后续开展相关实验研究具有一定指导意义.%The study of Airy beams has attracted plenty of interests as the beams have the fantastic characteristics of non-diffraction,self-healing and transverse acceleration.The basic theory of Airy beams is briefly introduced.The common split-step Fourier method is utilized to study the femtosecond laser filamentation characteristics of two-dimensional Airy beams in the air.The evolution process of two-dimensional Airy beams' initial light field under certain condition is calculated and analyzed in detail.The simulation results indicate that the two-dimensional Airy beams would show strong filamentation characteristics after propagating short distance when the incident energy of femtosecond laser is enough high.The energy of light filaments would keep relatively high during certain propagation distance.But after that,the energy would decrease rapidly and the light filaments would disappear at last.The work will have some guidance significance to the following experimental study.【期刊名称】《激光与红外》【年(卷),期】2017(047)003【总页数】4页(P273-276)【关键词】艾里光束;分步傅里叶数值法;飞秒;成丝【作者】李媛丽;吴云龙;宣齐天【作者单位】电子工程学院软件测评中心,安徽合肥230037;电子工程学院脉冲功率激光技术国家重点实验室,安徽合肥230037;电子工程学院军务处,安徽合肥230037【正文语种】中文【中图分类】TN241979年,Berry 和Balazs 从理论上证明了一维自由粒子的薛定谔方程存在一个特殊的无衍射解,该解称为艾里波包[1]。

产生长距离Mathieu光束的方法

产生长距离Mathieu光束的方法冯聪;张鹫;吴逢铁;王硕琛【摘要】We have designed and simulated an optical system to increase non-diffracting distance of Mathieu beam.According to the traditional method,we focused a plane wave modulated by elliptical Gaussian amplitude to get the Mathieu beam.And based on the divergence characteristics to the beam by using the concave lens,the concave lens was placed in front of the axicon to increase the non-diffracting distance of Mathieu beam.The simulation was carried out by using software Mathcad,the new system and the traditional method wascompared.Results show that the Mathieu beam with longer distance and higher quality can be obtained by the new system.%设计一套提高Mathieu 光束无衍射距离的光学系统,并进行数值模拟.根据传统的方法,利用轴棱锥聚焦椭圆高斯振幅调制的平面波产生Mathieu光束;同时,基于凹透镜对光束的发散特性,将其放置在轴棱锥的前方,使Mathieu光束的无衍射距离得到提高.使用Mathcad软件进行模拟,并将新系统与传统方法对比.结果表明:利用凹透镜系统,可以得到无衍射距离大、质量较高的Mathieu光束.【期刊名称】《华侨大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(038)004【总页数】5页(P541-545)【关键词】Mathieu光束;凹透镜;光学系统;光路优化【作者】冯聪;张鹫;吴逢铁;王硕琛【作者单位】华侨大学信息科学与工程学院, 福建厦门 361021;华侨大学福建省光传输与变换重点实验室, 福建厦门 361021;华侨大学信息科学与工程学院, 福建厦门 361021;华侨大学福建省光传输与变换重点实验室, 福建厦门 361021;华侨大学信息科学与工程学院, 福建厦门 361021;华侨大学福建省光传输与变换重点实验室, 福建厦门 361021;华侨大学信息科学与工程学院, 福建厦门 361021;华侨大学福建省光传输与变换重点实验室, 福建厦门 361021【正文语种】中文【中图分类】O436.1无衍射光束的概念是由Durnin等[1]在1987年首次提出，这是一种在自由空间传播过程中横向光场分布不随传播距离发生变化且光场能量集中的光束.由于光束具有无衍射和自重建的特性成为国内外学者研究的热点[2-3]，被广泛应用在激光成像[4]、光学微操作[5]和安全质量检测[6]等领域.事实上，Durnin提出的无衍射Bessel光束只是无衍射光束家族中的一员[7]，是自由空间波动方程在圆柱坐标下的一组特解.2005年，Gutierrezvega等[8]提出自由空间的标量波动方程能在直角坐标系、圆柱坐标系、椭圆坐标系和抛物线坐标系4组坐标系下进行分离变量求得无衍射解，分别对应Cosine光束、Bessel光束、Mathieu光束和Parabolic 光束.目前，对Bessel光束的研究较多，而对Mathieu光束等研究较少.2014年，李冬等[9]提出一种基于轴棱锥产生零阶无衍射Mathieu光束的新方法，并研究了Mathieu光束的自重建特性[10].越来越多的研究证明，Mathieu光束可以被用于光学微操作和光通信等领域[11-12].随着不断研究，产生Mathieu光束的方法也越来越多.例如，计算机相位全息法[13]、环缝透镜组方法[14]和柱透镜-轴棱锥法[9].其中，相位全息法操作繁琐，成本高；环缝透镜法光能利用率低；而柱透镜-轴棱锥法不仅方便简单，成本低，且光能利用率高.无衍射光束的无衍射距离往往由轴棱锥的底角大小所限制，在超过无衍射距离后，光束就失去了中心不发散的特性，所以提高Mathieu光束的无衍射距离在实际应用中显得非常重要.减小轴棱锥底角的大小增加了光学元件的加工难度并提高了成本，限制了Mathieu光束的实际应用.因此，通过优化光路提高无衍射距离便尤为重要.文中根据凹透镜对光束的发散特性，将凹透镜加入柱透镜-轴棱锥系统中，设计一套新的光学系统，用Mathcad 模拟仿真，并利用实验进行验证.自由空间中的标量波动方程可以表示为2U+k2U=0.用Whittaker解[15]可以表示为式(1)中:kt是平面波的径向波矢分量，kt=ksin θ;kz是轴向波矢分离，kz=kcos θ,θ是波矢与z轴的夹角，波数k=2π/λ；A(φ)是理想无衍射光的复角谱分布.由式(1)可知：当A(φ)取不同的值时，可以得到不同的衍射光场.在椭圆坐标系中，当A(φ)取零阶角Mathieu分布ce0(φ;q)时，对式(1)积分后，获得零阶Mathieu 光分布为式(2)中:ξ∈[0,∞],η∈[0,2π]为径向变量和角向变量，与直角坐标系关系为x=h(cos h)ξ(sin η),y=h(sin h)ξ(sin η),z=z,2h为椭圆柱坐标中椭圆两个焦点之间的距离；Jθ0(ξ;q)代表第一类零阶径向Mathieu函数，.采用柱透镜调制高斯光束得到椭圆高斯振幅调制的平面波，将其近似为零阶角Mathieu函数振幅调制的平面波，从而获得Mathieu光束.实验原理图，如图1所示.椭圆高斯振幅调制的平面波可以表示为让椭圆高斯振幅调制的平面波入射到轴棱锥上，根据菲涅尔衍射积分理论，轴棱锥后的无衍射光场分布可以表示为式(4)中:n为轴棱锥的折射率;γ是轴棱锥的底角;R为孔径光阑半径.Mathieu光束的形成是通过轴棱锥聚焦椭圆高斯振幅调制的平面波，与Bessel光束的唯一区别是入射到轴棱锥上的平面波具有不同的振幅调制模式，故计算Mathieu光束的最大无衍射距离与计算Bessel光束的无衍射距离的几何模型一致.计算无衍射距离的几何模型，如图2所示.图2中：带有椭圆高斯振幅调制的平面波入射到轴棱锥上，经轴棱锥聚焦会在后方形成无衍射光束，菱形ABCD便代表无衍射Mathieu光束产生区域.由几何光学可知，最大无衍射距离AD的大小为Zmax=R/((n-1)γ).当R为2 mm，折射率为1.47;当γ为1°时，Zmax=243 mm. 由此可知，最大无衍射距离与光斑半径R成正比，与轴棱锥底角γ成反比，与透镜折射率成反比.对于给定的轴棱锥，底角γ和折射率n即给定，光斑半径R越大，最大无衍射距离Zmax也越大.根据凹透镜对平面波的扩散作用，加入平凹透镜，当平面波照射在凹透镜上，得到发散的球面波，轴棱锥聚焦的光束的光斑半径也将扩大，通过这种方式提高无衍射距离.当球面波经过轴棱锥聚焦后，无衍射距离变为Z2[16]，即式(5)中:R2为入射到平凹透镜后形成球面波的半径;z0为球面波到轴棱锥的距离.根据几何光学可知，平凹透镜曲率半径为r，厚度为d，折射率为n，则像方焦距为当平凹透镜与轴棱锥相距50 mm时，曲率半径r=200 mm，R2=2.47 mm，z0=475.5 mm，带入式(5)，可得Z2=638 mm.为了验证加入凹透镜的新系统对最大无衍射距离的影响，并与原本柱透镜轴棱锥系统(图1)相比，设计出新的Mathieu光束产生光路.在原系统的基础上加入平凹透镜，将平凹透镜置于光阑与轴棱锥之间，使平凹透镜与轴棱锥距离为50 mm.凹透镜系统，如图3所示.利用Mathcad软件对新系统和原系统分别进行光强分布模拟，参数如下：He-Ne 激光器波长为632.8 nm；柱透镜焦距为135 mm；扩束准直系统中的透镜f1焦距为15 mm；透镜f2焦距为190 mm；光阑半径为2 mm；凹透镜和轴棱锥折射率都为1.47；平凹透镜的曲率半径为200 mm；轴棱锥底角为1°.从光线传播的角度来看，柱透镜是非对称光学元件.当光路中存在柱透镜时，该系统为非轴对称光学系统，可用4×4变换矩阵描述非轴对称光学系统[17]，在近轴近似条件下,空间域中的广义惠更斯-菲涅尔衍射积分为式(7)中:A,B,C,D均为2×2矩阵.已知透镜、轴棱锥和自由空间的ABCD矩阵分别为 .其中,r为轴棱锥半径，r=17 mm.对传统柱透镜-轴棱锥系统进行模拟，结果如图4所示.按照图3所示设计光路，将凹透镜加在轴棱锥之前，使凹透镜与轴棱锥距离50 mm.对这个新系统进行模拟，结果如图5所示.由图5可知：Mathieu光束在观察面的光强分布呈带状分布，在横向方面呈周期性分布，且中心光强比较高，在纵向分布较为集中，整体类似一个x型；加入凹透镜后的新系统在原本最大无衍射距离243 mm处并没有发散，无衍射特性明显，证明了凹透镜能够提高无衍射距离；最终发现在640 mm处，Mathieu光束的无衍射特性丢失，与式(5)所得结果近似.根据图1,3设计光路，对上述模拟进行实验验证.同样的，使用He-Ne激光器波长为632.8 nm，柱透镜焦距为135 mm，扩束准直系统中的透镜f1焦距为15 mm，透镜f2焦距为190 mm，光阑半径为2 mm，凹透镜和轴棱锥折射率均为1.47，平凹透镜的曲率半径为200 mm，轴棱锥底角为1°.利用电荷耦合元件(CCD)记录在轴棱锥后不同距离处光强分布图，如图6所示.由图6可知：随着距离增加，衍射光场过渡到Mathieu光束光场分布;在距离243 mm时，光束丢失了无衍射特性.因此，可以认为Mathieu光束的无衍射距离为243 mm，与模拟结果近似.加入轴棱锥后产生的Mathieu光束,如图7所示.由图7可知：在距离为640 mm 处，Mathieu光束已近乎消失，所以认为新系统产生Mathieu光束的无衍射距离为640 mm.进而证明，加入凹透镜可使无衍射光束的质量更好，传播距离更远.在前人设计的柱透镜-轴棱锥系统产生Mathieu光束的基础上，结合凹透镜的几何光学性质，设计模拟并通过实验验证了一套可以提高Mathieu光束衍射距离的光学系统.经过巧妙的改动，对Mathieu光束的传输质量有显著的提高，且光路简单，凹透镜成本低廉，方便获取.此外，还可以根据不同的需求设置参数，采用不同的凹透镜，获得不同性质的Mathieu光束.相对于其他提高Mathieu光束的方法，该系统简单高效，在实际生活中也具有极高的应用前景.【相关文献】[1] DURNIN J,MICELI J J,EBERLY J H.Diffraction-free beams[J].Physical ReviewLetters,1987,58(15):1499-1501.[2] FAHRBACH F O,ROHRBACH A.Propagation stability of self-reconstructing Bessel beams enables contrast-enhanced imaging in thick media[J].Nature Communications,2012,3(6):632-639.[3] 张前安，吴逢铁，郑维涛,等.高阶贝塞尔-高斯光束的自重建特性[J].中国科学 G辑:物理学力学天文学,2011,41(10):1131-1137.[4] PLANCHON T A,GAO L,MILKIE D E,et al.Rapid three-dimensional isotropic imaging of living cells using Bessel beam plane illumination[J].Nature Methods,2011,8(5):417-423. 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