《探索勾股定理》第二课时上课课件
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探索勾股定理2课件
2
25
3
4. 它们的面积有怎样的关系呢?
s s s
12
3
32 42 52
s？3=25
s1=9
？5 3
4
s2 =16
再画两直角边分别为2.3的直角三角 形,它们的边长也有上面一样的结论吗?
如图,在R t△ABC中,AB,AC,BC A 之间有怎样的关系呢?
AC 2 BC2 AB2
受台风“海棠”影响，一千年古樟在离地面6 米处断裂，大树顶部落在离大树底部8米处，损 失惨重，问大树折断之前有多高？
合作学习
1. 在表格中画一个两直角边分别为3cm,4cm 的直角三角形
2. 分别以这个直角三角形的三边为边向外作 三个正方形
3 算出这三个正方形的面积
s s S1 9
16
证明: 如图,
c2 (b a)2 4 1 ab 2
b2 2ab a2 2ab
c
b2 a2
即a2 b2 c2
bc a
直角三角形的三条边长关系的性质:
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和
等于斜边的平方.
A
如图,∠C=Rt∠,a、b是直 a c
角边，c是斜边。
C
b
B
a2 b2 = c2
例1.已知ΔABC中, ∠C=Rt∠ ,BC=a, AC=b,AB=c
(1) a=1, b=2, 求c; (2) a=15, c=17, 求b;
练习: P40 T1.
例2.一个长方形零件图,根据所给的尺寸(单 位mm),求两孔中心A、B之间的距离.
40
A
90
C1Biblioteka 0CB能用文字表示直角三角形的三边有怎样的
25
3
4. 它们的面积有怎样的关系呢?
s s s
12
3
32 42 52
s？3=25
s1=9
？5 3
4
s2 =16
再画两直角边分别为2.3的直角三角 形,它们的边长也有上面一样的结论吗?
如图,在R t△ABC中,AB,AC,BC A 之间有怎样的关系呢?
AC 2 BC2 AB2
受台风“海棠”影响，一千年古樟在离地面6 米处断裂，大树顶部落在离大树底部8米处，损 失惨重，问大树折断之前有多高？
合作学习
1. 在表格中画一个两直角边分别为3cm,4cm 的直角三角形
2. 分别以这个直角三角形的三边为边向外作 三个正方形
3 算出这三个正方形的面积
s s S1 9
16
证明: 如图,
c2 (b a)2 4 1 ab 2
b2 2ab a2 2ab
c
b2 a2
即a2 b2 c2
bc a
直角三角形的三条边长关系的性质:
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和
等于斜边的平方.
A
如图,∠C=Rt∠,a、b是直 a c
角边，c是斜边。
C
b
B
a2 b2 = c2
例1.已知ΔABC中, ∠C=Rt∠ ,BC=a, AC=b,AB=c
(1) a=1, b=2, 求c; (2) a=15, c=17, 求b;
练习: P40 T1.
例2.一个长方形零件图,根据所给的尺寸(单 位mm),求两孔中心A、B之间的距离.
40
A
90
C1Biblioteka 0CB能用文字表示直角三角形的三边有怎样的
新北师大版八年级数学上册《探索勾股定理(第2课时)》课件
第一章 勾股定理
1. 探索勾股定理（第2课时）
复习引入
• 1、勾股定理的内容 • 2、强大的台风使得一根旗杆在离地面3m处折
断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部4m处，旗 杆折断之前有多高？ • 3、求斜边长为17cm，一条直角边长为15cm 的直角三角形的面积。
合作探究
四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长 的正方形．
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
D
bc Aa
C
c a
bB
生 例题： 我方侦查员小王在距离东西向公
活 中 勾 股
路400米处侦查，发现一辆敌方汽车在公路 上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽 车与他相距400m,10 s后，汽车与他相距
定 500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
理
的
应
C
用
B
400m
A
巩固练习
1．如图是某沿江地区交通平面图，为了加快 经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q 三城市的沿江高速，已知沿江高速的建设成本 是5000万元/ km，该沿江高速的造价预计是多 少？
拼图展示
图1
图2自主Biblioteka 究ba1. 如图，你能表示大正方形 a c 的面积吗？能用两种方法表
cb
示吗？ （1） (a b)2
c
c
b
a
（2） c2 4 1 ab
2.
(a b)2
与
2 c 2
4
1
ab
a 图1 b
有什么关系？为什么？
2
验证方法二
c
图2
1ab4(ba)2 c2 2
a2b2c2
美国总统证法
1. 探索勾股定理（第2课时）
复习引入
• 1、勾股定理的内容 • 2、强大的台风使得一根旗杆在离地面3m处折
断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部4m处，旗 杆折断之前有多高？ • 3、求斜边长为17cm，一条直角边长为15cm 的直角三角形的面积。
合作探究
四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长 的正方形．
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
D
bc Aa
C
c a
bB
生 例题： 我方侦查员小王在距离东西向公
活 中 勾 股
路400米处侦查，发现一辆敌方汽车在公路 上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽 车与他相距400m,10 s后，汽车与他相距
定 500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
理
的
应
C
用
B
400m
A
巩固练习
1．如图是某沿江地区交通平面图，为了加快 经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q 三城市的沿江高速，已知沿江高速的建设成本 是5000万元/ km，该沿江高速的造价预计是多 少？
拼图展示
图1
图2自主Biblioteka 究ba1. 如图，你能表示大正方形 a c 的面积吗？能用两种方法表
cb
示吗？ （1） (a b)2
c
c
b
a
（2） c2 4 1 ab
2.
(a b)2
与
2 c 2
4
1
ab
a 图1 b
有什么关系？为什么？
2
验证方法二
c
图2
1ab4(ba)2 c2 2
a2b2c2
美国总统证法
《探索勾股定理》勾股定理PPT(上课用)2
；
b
a
c
b
c
大正方形的面积可以表示为 也可以表示为 •÷( ) ∵ •÷ () a c a b a
；
c
b
∴
c
a
b
b
c
例 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到 一个男孩头顶正上方米处，过了秒，飞机距离 这个男孩米，飞机每小时飞行多少千米？
C B
4000
A
练习
课本习题，（要有过程）
你认为利用勾股定理可以解决什么数学 问题？
探索勾股定理
利用拼图来验证勾股定理： 、准备四个全等的直角三角形（设直角三 角形的两条直角边分别为，，斜边为）； 、你能用这四个直角三角形拼成一个正方 形吗？拼一拼试试看 、你拼的正方形中是否含有以斜边的正方 形？ 、你能否就你拼出的图说明？ c a b
大正方形的面积可以表示为 () 也可以表示为 •÷ b ∵ () •÷ a ∴ a b c c a
在直角三角形中，若已知任意边，就 可以运用勾股定理求出第三边
蚂蚁沿图中的折线从点爬到点，一共爬了多少厘米？ 只要求答案 （小方格的边长为厘米） A
B
C
D
议一议：用数格子的方法判断图中三角形的三 边长是否满足？
补充练习： 、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿 着东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行 走的速度都是米分，小红用分钟到家，小颖用 分钟到家，小红和小颖家的距离为 （ ） 、米； 、米； 、米； 、不能确定 、直角三角形两直角边分别为厘米、厘米，那 么斜边上的高是 （ ）
求① △ABC的面积；
A D
②斜边AB的长；
③斜边AB上的• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
北师大版数学八年级上册1.1探索勾股定理第2课时课件
合作探究 为了计算大正方形的面积，小明进行了适当的割补，如 图所示.
割
ac
b 补
ac b
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
探究 毕达哥拉斯证法
D
ac
Ab
证明：
∵S正方形ABCD= =4S直角三角形+ S大正方形 =4× 1 ab+c2
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
探究 赵爽弦图证法
c a
b a-b
证明： ∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(a-b)2， 又∵S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
c2 4 1 ab a b2 a2 b2.
2
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
1 探索勾股定理
第2课时
学习目标
探
1.进一步了解勾股定理，探索勾股定理的证明过程.
索
2.学会利用几何图形的截、割、补证明勾股定理.
勾
3.能够利用勾股定理解决简单的实际问题.
股
4.在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习性，体会勾
定
股定理的应用价值.
理
准备好了吗？一起去探索吧！
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
以到达该楼的高度是( A )
A.12米
B.13米 C.14米 D.15米
3.如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚， 棚宽8m，高6m，长20m，棚的斜面用 塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，阳光透 过的最大面积是__2_0_0_m__2 __.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
王计算敌方汽车的速度吗？
鲁教版(五四制)七年级数学上册 《探索勾股定理(2)》参考课件2优秀课件PPT
如图，梯形由三个直角三角形组合而
成，利用面积公式，列出代数关系式,
得 1(ab)(ba)21ab1c2.
2
22
化简,得 a2 b2 c2.
a
bc c
a b
第一种类型：
方法三 据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。
将4个全等的直角三角形拼成边长 为 (a ＋ b) 的 正 方 形 ABCD ， 使 中 间 留 下 边长c的一个正方形洞．画出正方形 ABCD．移动三角形至图2所示的位置中，
第三种类型：
A
方法三:意大利文 艺复兴时代的著名
a
画家达·芬奇对勾
股定理进行了研究。 B
F
c
O
b
C
E
D
A
a
B
F
O
Cb D E
A′ F′
B′
E′ C′
D′
Ⅰ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅱ
例 我方侦察兵小王在距离东西向公路400m处侦查，发现
一辆敌方汽车在公路上疾驶。他赶紧拿出红外测距仪，测得
汽车与他相距400m。10s后，汽车与他相距500m。你能帮
小结反思
我最大的收获； 我表现较好的方面； 我学会了哪些知识； 我还有哪些疑惑……
课后作业
1.课本随堂练习 2.阅读课本“读一读 ” 3.习题 3.2
知识拓展
(1) 勾股定理是联系数学中数与形的第一定理。
(2) 勾股定理反映了自然界基本规律,有文明的宇宙“人”都 应该认识它，因而勾股定理图被建议作为与“外星人”联系 的信号。
(3)勾股定理导致不可通约量的发现，引发第一次数学危机。
(4)勾股定理公式是第一个不定方程，为不定方程的解 题程序树立了一个范式。
北师大版八年级数学上册课件1.1 探索勾股定理(第2课时) 勾股定理的验证及应用课件(26张PPT)
= 25 km .现要在铁路旁建一个农副产品收购站 ,使 站到 ，
两村的距离相等.你知道应该把 站建在距点 多远的地方吗？
【点拨】设 = km ,由垂直关系可以想到用勾股定理,根据 = 建立方程,
即可使问题得解.
【解】因为 = ,
所以 2 + 2 = 2 + 2 .
当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去.如果它飞行的速度
为 5 m/s ，那么它至少需要多少时间才能赶回巢中？
解：如图，
由题意知 = 3 ， = 14 − 1 = 13 ， = 24 .
过点 作 ⊥ 于点 ，则 = 13 − 3 = 10 ， = 24 .
答：教学楼走廊的宽度是 2.2 m .
作业布置
完成学生书对应课时练习
算，从理论上验证了勾股定理．
做一做
在纸上画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向
外作正方形。
c
b
a
图1－4
为了方便计算图中大正方形的面积，
C
D
对其进行适当割补：
b
S正方形ABCD= c2+2ab=（a+b）2
c
A
B
a
c2=a2+b2
图1－5
D
b
c
a
图1－6
A
C
B
S正方形ABCD= c2-2ab=（b-a）2
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第2课时 勾股定理的验证及应用
1.探索勾股定理
2.掌握勾股定理的内容，会用面积法验证勾股定理.
3.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.
探究新知
两村的距离相等.你知道应该把 站建在距点 多远的地方吗？
【点拨】设 = km ,由垂直关系可以想到用勾股定理,根据 = 建立方程,
即可使问题得解.
【解】因为 = ,
所以 2 + 2 = 2 + 2 .
当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去.如果它飞行的速度
为 5 m/s ，那么它至少需要多少时间才能赶回巢中？
解：如图，
由题意知 = 3 ， = 14 − 1 = 13 ， = 24 .
过点 作 ⊥ 于点 ，则 = 13 − 3 = 10 ， = 24 .
答：教学楼走廊的宽度是 2.2 m .
作业布置
完成学生书对应课时练习
算，从理论上验证了勾股定理．
做一做
在纸上画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向
外作正方形。
c
b
a
图1－4
为了方便计算图中大正方形的面积，
C
D
对其进行适当割补：
b
S正方形ABCD= c2+2ab=（a+b）2
c
A
B
a
c2=a2+b2
图1－5
D
b
c
a
图1－6
A
C
B
S正方形ABCD= c2-2ab=（b-a）2
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第2课时 勾股定理的验证及应用
1.探索勾股定理
2.掌握勾股定理的内容，会用面积法验证勾股定理.
3.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.
探究新知
北师大版八年级数学上册课件1.1探索勾股定理(第2课时)(19张PPT)
于是推得 AB2 AC 2 BC 2
课堂小结
勾股定理的验证
探索勾股 定理
勾股定理的简单运用
1. 勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 .如果用a，b 和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2 .
2. 我国历史上将弦上的正方形称为弦图（如图）.
1. 已知一个等边三角形的边长为6 cm，则以它的高为边长的正方形的面 积为( B )
2
22
a 化简,得
b
B
a2 b2 c2.
欧几里得证明勾股定理
如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE， 并交 DE 于 L，交 BC 于 M.通过证 明△BCF≌△BDA，利用三 角形面积与长方形面积的关 系，得到正方形ABFG与矩形 BDLM等积，同理正方形 ACKH与 矩形MLEC也等积，
A. 36 cm2 B. 27 cm2 C. 18 cm2 D. 12 cm2
2. 一个直角三角形的两条边的长分别是9和40，则第三条边的长的平方是
（C）
A. 1 681
B. 1 781 C. 1 519或1 681 D. 1 519
3. 一个直角三角形三条边的长为三个连续的自然数，则这三条边的长分
【基础训练】
1. 如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，
CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF∥BC交AC于M，
若CM=4，则CE2+CF2的值为( D )
A.8 B.16 C.32 D.64
2. 已知Rt△ABC的两直角边分别是6 cm，8 cm，则Rt△ABC斜边上
的高是（ A ）
A. 4.8cm
B.2.4cm
C.48cm
课堂小结
勾股定理的验证
探索勾股 定理
勾股定理的简单运用
1. 勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 .如果用a，b 和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2 .
2. 我国历史上将弦上的正方形称为弦图（如图）.
1. 已知一个等边三角形的边长为6 cm，则以它的高为边长的正方形的面 积为( B )
2
22
a 化简,得
b
B
a2 b2 c2.
欧几里得证明勾股定理
如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE， 并交 DE 于 L，交 BC 于 M.通过证 明△BCF≌△BDA，利用三 角形面积与长方形面积的关 系，得到正方形ABFG与矩形 BDLM等积，同理正方形 ACKH与 矩形MLEC也等积，
A. 36 cm2 B. 27 cm2 C. 18 cm2 D. 12 cm2
2. 一个直角三角形的两条边的长分别是9和40，则第三条边的长的平方是
（C）
A. 1 681
B. 1 781 C. 1 519或1 681 D. 1 519
3. 一个直角三角形三条边的长为三个连续的自然数，则这三条边的长分
【基础训练】
1. 如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，
CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF∥BC交AC于M，
若CM=4，则CE2+CF2的值为( D )
A.8 B.16 C.32 D.64
2. 已知Rt△ABC的两直角边分别是6 cm，8 cm，则Rt△ABC斜边上
的高是（ A ）
A. 4.8cm
B.2.4cm
C.48cm
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于是这位中年人不再散步，立即回家， 潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反 复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理， 并给出了简洁的证明方法。 1876年4月1日，他在《新英格兰教育日 志》上发表了他对勾股定理的这一证法。 1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美 国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对 勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明， 就把这一证法称为“总统”证法。
6米
补充练习：
1、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东 南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都 是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家， 小红和小颖家的距离为 （ C ）
A、600米； B、800米； C、1000米； D、不能确定
2、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么 斜边上的高是 （ D ） A、6厘米； B、 8厘米； D、 60/13厘米； C、 80/13厘米；
国际调查组报告
勾股定理与第一次数学危机 • 约 公 元 前 500 年 ， 毕 达 哥 拉 斯 学 派 的 弟 子 希 帕 索 斯 (Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度 是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是 1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比， 这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何 线段都可公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危 机由此爆发。据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、 恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海。 不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达. 芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文“irrational”原义就是 “不可比”。第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立 以后才圆满解决。
1.1 探索勾股定理（2）
复习旧知
勾股定理：
(1)文字语言：直角三角形两直角边的平方 和等于斜边的平方。 (2)符号语言：
C 90 (已知)
B
a
C
c b
A
a b c (勾股定理)
2 2 2
请同学们画四个与右图全等的 a 直角三角形，并把它剪下来。
用这四个三角形拼一拼、摆一摆，看看 是否得到一个含有以斜边c为边长的正方 形，你能利用它说明勾股定理吗？并与 同伴交流。
美国总统证法：
D c a
C
c b a B
b
A
例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好 飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20 秒，飞机距离这个男孩5000米，飞机每小时 飞行多少千米？
C B
4000
4000
A
例2 蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多 少厘米？（小方格的边长为1厘米）
②斜边AB的长；
③斜边AB上的高CD的长。
B
C
家庭作业： 全品第二课时
课堂作业：
1.一轮船以16海里/小时的速度离A港向东北 方向航行，另一艘轮船同时以12海里/小时的 速度离A港向西北方向航行，2小时后，两船 相距多少海里？
2.如图在△ABC中，∠ACB=90º ， CD⊥AB， A D为垂足，AC=2.1cm,BC=2.8cm. D 求① △ABC的面积；
A B E
G
C
F
D
练一练
1 、下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积
15厘米 17厘米
解：设正方形的边长为x厘米 , 则 x2=172-152 x2=64 答：正方形的面积是64平方厘米。
拓展练习
2、如图，受台风麦莎影响，一棵高 18m的大树断裂，树的顶部落在离树根 底部6米处，这棵树折断后有多高？
c2
；
a
c b b
c
=2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2
∴a2+b2=c2
1 4• ab +(b-a)2 2
a
a
a
b
c
b c
追溯历史
国内调查组报告
用图 2 验证勾股定理的方法，据 载最早是 三国时期数学家赵爽在为 《周髀算经》作注时给出的，我国 历史上将图 2 弦上的正方形称为弦 图。 2002 年 的 数 学 家 大 会 （ ICM2002 ）在北京召开，这届大会会标 的中央图案正是经过艺术处理的弦 图，这既标志着中国古代的数学成 就 ，又像一只转动的风车，欢迎来 自世界各地的数学家们！
1
？
1
•
勾股定理的
在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华 盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏 的美景……他走着走着，突然发现附近的一个小 石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么， 时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使 他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底 在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在 地上画着一个直角三角形……
3、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个 A 三角形的面积
解：设这个三角形为ABC， 高为AD，设BD为X，则AB 为（16-X），
8
由勾股定理得：
X2+82=(16-X)2
B
X
D
C
即X2+64=256-32X+X2 ∴ X=6 ∴ S∆ABC=BC•AD/2=2 •6 •8/2=48
课堂练习： 一、判断题. 1.ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( ) 2. ABC的a=6,b=8,则c=10 ( ) 二填空题 1.在 ABC中,C=90°, (1)若c=10,a:b=3:4,则a=____,b=___. 6 8 (2)若a=9,b=40,则c=______. 41 2.在 ABC中, C=90°,若AC=6,CB=8,则ABC 24 斜边为上的高为______. 面积为_____, 4.8
c
b
2 (a+b) 大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为 c2 +4•ab/2 a a b ∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab/2 a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴a2+b2=c2 a b c
a
b
b
c
c
c
大正方形的面积 ∵ c2=