高中数学人教A必修四第三章全章导学案

鸡西市第十九中学学案过点P 作1PA OP ⊥，垂足为A ，过点作PM x ⊥轴，垂足为M ，鸡西市第十九中学学案2014年（）月（）日班级姓名宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

1.已知α是锐角，若sin α＝35，则2cos ⎝⎛⎭⎫α－π4=________. 2.1cos 2x x -cos x xcos x x + sin π12－3cos π12cos )x x -x xsin15cos15o o + (两种方法)【辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)】问题 请写出把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式的过程． a sin x ＋b cos x＝a 2＋b2x x ⎛⎫⎪⎭＝a 2＋b 2(sin x ＋cos x ) (想想正弦、余弦的定义) ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2)． 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2， 其中φ(a ，b )决定． 辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用．试一试 将下列各式化成A sin(ωx ＋φ)的形式，其中A >0，ω>0，|φ|<π2.(1)sin x ＋cos x ＝ ；(2)sin x －cos x ＝_________ ____；(3)3sin x ＋cos x ＝_____________；(4)3sin x －cos x ＝_____________；(5)sin x ＋3cos x ＝_____________；(6)sin x －3cos x ＝_____________. 【当堂训练】1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的最大值是2．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最小值为3．函数f (x )＝2sin x 2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的最大值等于4．求函数f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)的最大值．《辅助角公式》专题2014年（ ）月（ ）日 班级 姓名宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

【辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)】问题 请写出把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式的过程．a sin x ＋b cos x＝a 2＋b2x x ⎛⎫+⎪⎭＝a 2＋b 2(sin x ＋cos x ) (想想正弦、余弦的定义) ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2)． 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2， 其中φ(a ，b )决定．辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用． 1.化下列代数式为一个角的三角函数1sin 2αα；3cos 2xx -cos αα+；x x +sin cos αα-cos 22x x+sin()cos()6363ππαα-+-．5sin 12cos αα+sin()cos()4444ππαα-+-2．若函数()(1)cos f x x x =，02x π≤<，则()f x 的最大值为()A ．1B ．2 C1 D 23. （2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( ) A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈4.如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π8对称，那么a= ( )（A ）2（B ）-2 （C ）1 （D ）-15. 函数y ＝cos x＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最大值是________．62)cos()12123x x ππ+++=，且 02x π-<<，求sin cos x x -的值。

7. 求函数f x k x k x x ()cos()cos()sin()=+++--++613261322332πππ(,)x R k Z ∈∈的值域。

6.（2006年天津）已知函数x b x a x f cos sin )(-=（ a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是 （ ）A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 6.D9. 若sin(50)cos(20)3x x +++=，且0360x ≤<，求角x 的值。

参考答案1.（6）sin cos ))a xb x x x x ϕ+==+其中辅助角ϕ由cos sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩确定，即辅助角ϕ的终边经过点(,)a b3.答案：B解析 因为()(1)cos f x x x==cos x x =2cos()3x π-当3x π=是，函数取得最大值为2. 故选B4.答案 C解析 ()2sin()6f x x πω=+，由题设()f x 的周期为T π=，∴2ω=，由222262k x k πππππ-≤+≤+得，,36k x k k z ππππ-≤≤+∈，故选C5.解：可化为y a x =++122sin()θ。

知x =-π8时，y 取得最值±12+a ，即7. [答案]3[解析] 法一：y ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3·cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3sin π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝32cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋32sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝3⎣⎡⎦⎤32cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝3cos ⎝⎛⎭⎫π6－x －π3＝3cos ⎝⎛⎫x ＋π6≤ 3. 法二：y ＝cos x ＋cos x cos π3－sin x sin π3＝32cos x －32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x －12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 当cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1时，y max ＝ 3. 10.解：。

)2x 2sin(4]6sin )x 23cos(6cos )x 23[sin(4)x 23sin(32)x 23cos(2)x 23sin(32)x 23k 2cos()x 23k 2cos()x (f π+=π+π+π+π=+π++π=+π+-π-π++π+π= 所以函数f(x)的值域是[-4，4]。

鸡西市第十九中学学案鸡西市第十九中学学案鸡西市第十九中学学案《半角的正弦、余弦和正切》专题2015年（）月（）日班级姓名空想会想出很多绝妙的主意，但却办不成任何事情。

1：已知3sin25α=，求cosα的值。

2：若7cos 25α=，且α为锐角，则sin 2α= ， cos2α= ，tan2α= 。

问题1 ①在α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2α代α即得2sin 2α= ②在1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2α代α即得2cos 2α= ③以上结果相除得2tan2α=问题2 证明：tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.【半角公式】 (1)S2α：sin α2＝_____________；C 2α：cos α2＝_____________；(2) T2α：tan α2＝_____________ (无理形式)＝__________＝__________(有理形式)．特点：①左式中的角是右式中的角的一半。

②公式的“本质”是用α角的余弦表示2α角的正弦、余弦、正切。

③根号前均有“±”它由角“2α”所在象限来确定的，如果没有给定角的范围，“±”应保留。

注意：公式③成立的条件,,.22k k z αππ≠+∈公式①、②、③叫做半角公式，实际是二倍角公式的推论。

用于三角函数的求值、化简和证明 【当堂训练】1. 求值：（1）sin15 （2）cos15 （3）tan 8π3.已知cos α＝13，α为第四象限角，求sin α2、cos α2、tan α2.小结 在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于tan θ2，还要注意运用公式tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝1－cos θsin θ来求值．3.已知cos θ＝－35，且180°<θ<270°，求tan θ2.《三角函数的积化和差与和差化积公式》专题2015年（ ）月（ ）日 班级 姓名想不付出任何代价而得到幸福，那是神话。

—— 徐特立①()cos αβ+= ；③()sin αβ+= ；②()cos αβ-= ； ④()sin αβ-= ；①+②得()cos αβ++()cos αβ-= ；①-②得()cos αβ+-()cos αβ-= ；同理： ③+④得()sin αβ++()sin αβ-= ； ③-④得()sin αβ+-()sin αβ-= ； 即><=1______________________cos sin βα ><=2______________________sin cos βα ><=3______________________cos cos βα ><=4______________________sin sin βα公式<1><2><3><4>叫做积化和差公式。

在积化和差的公式中，如果令αβθαβϕ+=-=，， 则αθϕβθϕ=+=-22，。

把这些值代入积化和差的公式<1>中，就有()><-+=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-+52cos2sin2sin sin sin sin 2122sin 22sin 212cos2sin ϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθ·∴·同样可得，><=-><=+><=-8_______________________cos cos 7_______________________cos cos 6_______________________sin sin ϕθϕθϕθ 公式<5><6><7><8>叫做和差化积公式。