双语版材料力学第四章
材料力学(双语)Bending弯曲
Chapter 4 Internal Forces in BendingMECHANICS OF MATERIALS 材料力学（双语）Content§4.1 Concept of symmetrical bending and calculation sketch of the beam §4.2 The shearing force and bending moment of the beam §4.3 The shearing-force and bending-moment equations · the shearing-force and bending-moment diagrams §4.4 Relations among the shearing force、the bending moment and the density of the distributed load and their applications §4.5 Plot the bending-moment diagram by the theorem of superposition §4.6 The internal-force diagrams of the planar rigid frames and curved rods2目录§4.1 对称弯曲的概念及梁的计算简图 §4.2 梁的剪力和弯矩 §4.3 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图 §4.4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用 §4.5 按叠加原理作弯矩图 §4.6 平面刚架和曲杆的内力图34.1 Concept of symmetrical bending and calculation sketch of the beam1. Concepts of Bending 1). BENDING(弯曲): The action of the external force or the external couple vector perpendicular to the axis of the rod makes the axis of the rod change into curve from original straight lines, this deformation is called bending. 2). BEAM（梁): The member of whose deformation is mainly bending is generally called beam.43). Practical example in engineering about bending564). Symmetric bending(平面弯曲) After deformation the curved axis of the beam is still in the same plane with the external forces. P1 q P2MThe plane of symmetry7Unsymmetrical bending： If a beam does not possess any plane of symmetry, or the external forces do not act in a plane of symmetry of the beam with symmetric planes, this kind of bending is called unsymmetrical bending.82. Calculation sketch of the beamIn general supports and external forces of the beam are very complex. We should do some necessary simplification for them for our convenient calculation and obtain the calculation sketch.1). Simplification(简化) of the beamsIn general case we take the place of the beam by its axis.2). Simplification of the loads (荷载)The loads (including the reaction) acting on the beam may be reduced into three types：concentrated force、concentrated force couple and distributed force.3). Simplification of the supports (支座条件)9①Fixed hinged support固定铰支座2 constraints，1 degree of freedom. Such as the fixed hinged support under bridges.②Movable hinged support可动铰支座1 constraint，2 degree of freedom. Such as the movable hinged support under the bridge.10θA BDB R RA A AB B B0.50.50.5P0.5PP0.50.50.5P0.5PP 0。
材料力学(I)第四章(配孙训方版)
M (x)
距右端为x的任意横截面上的剪力FS(x)和弯矩M(x)，根 据截面右侧梁段上的荷载有
FS ( x ) = qx
(0 ≤ x < l ) (0 ≤ x < l )
x qx 2 M ( x ) = − qx ⋅ = − 2 2
29
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第四章 弯曲应力
2. 作剪力图和弯矩图 根据剪力方程和弯矩方程作出剪力图和弯矩图分别如 图b和图c。按照习惯，剪力图中正值的剪力值绘于x轴上方， 弯矩图中正值的弯矩值则绘于x轴的下方(即弯矩值绘于梁 弯曲时其受拉的边缘一侧)。 (b) FS ( x ) = qx
)(
)
M A = 96.5 kN ⋅ m
15
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第四章 弯曲应力
2. 此梁的约束力亦可将梁在中间铰C处拆开，先利用 CB段梁作为分离体求约束力FBy和AC段梁在中间铰C处作用 在CB段梁上的FCx和FCy，然后利用AC段梁作为分离体求约 束力FAx，FAy和MA。
16
37
Fb (0 < x < a ) FS ( x ) = FA = l Fb M ( x ) = FA x = x (0 ≤ x ≤ a ) l
13
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第四章 弯曲应力
于是可求得约束力如下：
∑M
− 20 × 103 N
(
C
=0 m
× 3 m × 2.5 m + 5 ×103 N ⋅ m + FBy × 5 m = 0
FBy = 29 kN
)
14
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第四章 弯曲应力
材料力学第四章
二、横截面上的应力 1．圆轴扭转的刚性平面假设：
r s T T r
s
变形前圆轴的横截面，变形后仍保持为同样 大小的圆形平面，半径仍为直线，相邻两截 面间距不变。
§4-2
等直圆杆扭转时的应力和变形
二、横截面上的应力 三关系法则 2．公式推导： 1)几何关系： 1 2
dj A C' dx —单位长度 扭转角
第四章
• §4-1 概 述
扭
转
• §4-2 等直圆杆扭转时的应力和变形 • §4-3 等直圆杆扭转时的强度和刚度计算
• §4-4 非圆截面杆的扭转
• §4-5 螺旋弹簧的计算
• 小 结
§4-1 一、工程实例 1．传动轴：
概
述
§4-1 一、工程实例 2．钻孔：
概
述
3．汽车转向轴，螺丝刀拧螺丝
§4-1
T 180 1.84o /m [ ] GI p
§4-3
等直圆杆扭转时的强度和刚度
例4-2 主传动轴外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，传递扭矩 T=1.98kN· m，材料[ ]=100MPa，G=80GPa，[ ]=2o/m， 校核轴的强度与刚度，若采用强度相同的实心轴， 试比较两者使用的材料。 2)采用实心轴时的直径(max=97.5MPa)： T 16T max 97.5 MPa d ' 46.9 mm 3 Wp ' (d ' ) 3)空心轴与实心轴的材料比： 2 2 2 1 取相同长度，只需 A空 ( D d ) (d ' ) : 0.334 比较横截面面积 A实 4 4 3 对于相同强度的受扭构件，空心轴较实心轴节省材料；
A
D
材料力学-第4章_576102068
径越小者剪应变越小。
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
设到轴线任意远ρ处的剪应变为γ（ρ），则从图中可得
到如下几何关系：
γ (ρ ) = ρ dϕ
dx
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
圆轴扭转时横截面上的 剪应力分析与强度设计
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面上的内力分 量——扭矩，但是不能确定横截面上各点剪应力的大小。为 了确定横截面上各点的剪应力，在确定了扭矩后，还必须知 道横截面上的剪应力是怎样分布的。
工程中承受扭转的圆轴
请判断哪一杆件 将发生扭转？
连接汽轮机和发 电机的传动轴将产生 扭转。
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴 外加扭力矩、扭矩与扭矩图 剪应力互等定理 剪切胡克定律 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析
与强度设计 圆杆扭转时的变形及刚度条件 结论与讨论
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
x
τ =τ′
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
剪应力互等定理 剪切胡克定律
y
材料力学第四章习题选及其解答.docx
4-1. 试求图示各梁中截面1、2、3上的剪力和弯矩，这些截面无限接近于截面C或D 。
设p 、q 、a 均为已知。
解：（c ）（1）截开1截面，取右段，加内力（22112322qaa qa a P M qaqa P Q -=⨯-⨯-==+=（3）截开2截面，取右段，加内力（4）求内力2222122qaM a qa a P M qaqa P Q -=+⨯-⨯-==+=（d ）（1）求约束反力N R N R D A 300 100==（2）截开1截面，取左段，加内力(d)B(f)B(c)M=qa 2M M M=qa 2B（3）求1截面内力NmR M N R Q A A 202.010011-=⨯-=-=-=（4）截开2截面，取左段，加内力（5）求2截面内力NmR M N R Q A A 404.010022-=⨯-=-=-=（6）截开3截面，取右段，加内力（7）求3截面内力NmP M N P Q 402.020023-=⨯-===（f ）（1）求约束反力qa R qa R D C 25 21==（2）截开1截面，取左段，加内力Q 1M 12BMB（3）求1截面内力2112121 qa a qa M qa Q -=⨯-=-=（4）截开2截面，取右段，加内力（5）求2截面内力222223qa M a P M qaR P Q D -=-⨯=-=-= 4-3. 已知图示各梁的载荷P 、q 、M0和尺寸a 。
(1)列出梁的剪力方程和弯矩方程；(2)作剪力图和弯矩图；(3)确定∣Q ∣max 和∣M ∣max 。
q(c)M 0=qa 2 (d)(f)(e) (g)q(h)1BM (a)(b) Bq解：（a ）（1）求约束反力Pa M P R A A == 2（2）列剪力方程和弯矩方程⎪⎩⎪⎨⎧∈=-⨯-+⨯=∈-=+⨯=⎩⎨⎧∈=-=∈==),0[ )(2)(],0( 2)(]2,( 02)(),0( 2)(2222211111222111a x Pa a x P M x R x M a x Pa Px M x R x M a a x P R x Q a x P R x Q A A A A A A （3）画Q 图和M 图（4）最大剪力和最大弯矩值(i)q(j)BP=20kN(l)q(k)qM xxPa M P Q ==max max 2（b ）（1）求约束反力223 qa M qa R B B ==（2）列剪力方程和弯矩方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-⨯-=∈-=⎩⎨⎧∈-=∈-=)2,[ )2()(],0[ 21)()2,[ )(],0[ )(2222121112221111a a x a x qa x M a x qx x M a a x qa x Q a x qx x Q （3）画Q 图和M 图（4）最大剪力和最大弯矩值2maxmax 23 qa M qa Q == （c ）（1）求约束反力qBxxqM 0=qa 2M2 2qa M qa R A A ==（2）直接画Q 图和M 图（3）最大剪力和最大弯矩值2max max 2qa M qa Q ==（d ）（1）求约束反力P R R B A == 0（2）直接画Q 图和M 图（3）最大剪力和最大弯矩值Pa M P Q ==max maxxxxx。
材料力学第四章轴力、剪力与弯矩
x
所以, 又可得到剪力与弯矩图的如下规律: 1) 梁上某段无分布载荷时, 该段剪力图为水平线, 弯矩图为斜线. V>0, M图递 增, V<0, M 图递减. 2) 某段有向下分布载荷时, 该段剪力图递减, 弯矩图为凹向下曲线(concave down); 反之, 则凹向上(concave up). (Vice verse) 3) 在V=0处, M=Mmax or M=Mmin 弯矩取极值. 此外, 弯矩极值也可能发生在 集中力或集中力偶作用处. 此时, 相应的曲线会有突变, 突变值等于集中力 或集中力偶. 利用以上规律可以比较方便的作出剪力图与弯矩图, 并校核其正确性.
4-2 Direct approach: axial force, shear, bending moment
要求得梁上某处的内力, 依然可用截面法. 梁平衡, 局部也平衡. 1. Axial force in beams From ∑Fx= 0 one can get the axial force P
M(x)
3. Draw the P, V, M diagrams
Example 4-2 Plot shear and a bending-moment diagrams for a simple beam with a uniformly distributed load; see Fig.. Solution: 1 Calculate the reactions 2 Calculate V(x), M(x). Study the left segment
Example 4-1 Construct axial-force, shear, and bending-moment diagrams for the cantilever loaded with an inclined force at the end; see the figure. Solution: 1. Calculate reactions 2. Calculate P, V, M. Study left segment: ∑Fx=0 P(x)=P ∑Fy=0 V(x)=P ∑MCz=0, PL-Px+M(x)=0 M(x)=-PL+Px
材料力学第四章
Q1 QC左 R A 4 KN
M 1 M C左 R A 1 4 KN.m
RA
A
10KN.m 2 1
1m 2.5m
RB
B
C 1 C
2
求 2 截面的内力： 右侧
Q2 QC右 RB ( 4) 4 KN
M 2 M C右 RB ( 2.5 1) ( 4) 1.5 6 KN.m
b
RA
记 E 截面处的剪力
A
a E c
P1
C
P2
D
RB
B
为 QE 和弯矩 ME ，
且假设 QE 和弯矩
F
d
l
QE
E
C
ME 的指向和转向
均为 正值。
RA
A
ME
b
y 0, RA QE 0
RA
A
a E c
P1
C
P2
D
RB
B
mE 0, M E R A c 0
F
d
解得
l
第四章
弯曲内力
§4-1(2) 平面弯曲的概念及计算简图 §4-2 梁的剪力和弯矩 §4-3 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
§4-4 弯矩，剪力与分布荷载集度之间的关系及应用
§4-5 平面桁架和曲杆的内力图
§4-1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
I. 弯曲的概念 弯曲变形 受力特征：外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系 （有时还包括力偶）。
横截面上的 弯矩 在数值上等于此横截面的 左侧 或 右侧 梁段上的 外力对该截面形心的力矩之代数和 。
不论在截面的 左侧 或 右侧 向上的外力均将引起 正值 的弯矩，而向下 的外力则引起 负值 的弯矩。
工程力学 材料力学 M4弯曲内力
二、梁的简化 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为 了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算 简图。 1. 构件本身的简化
通常取梁的轴线来代替梁。 2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三 种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。 3. 支座简化
《材料力学》 第4章 弯曲内力 14
M(+) M(+) M(–)
《材料力学》 第4章 弯曲内力
M(–)
39
弯曲内力—剪力和弯矩
4.分别取截面左右为研究对象进行计算（验证）
l
a
A
F B A
a
YA
F
B
x
C
x
l
FB
M
YA
x
M
F
Q
F C
y
0 : YA Q 0 Q YA
M
FB
C
0 : M YA x 0 M YA x
第4章 弯曲内力
弯曲的概念和实例 受弯杆件的简化 剪力和弯矩 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 平面曲杆的弯曲内力
《材料力学》
第4章 弯曲内力
1
第4章 弯曲内力
弯曲的概念和实例 受弯杆件的简化 剪力和弯矩 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 平面曲杆的弯曲内力
《材料力学》 第4章 弯曲内力
例题：计算约束力 q =20kN/m F MA Me=5kN· m C A B FAx D E K FBy FAy 1m 3m 1m 1m
0.5m
F F
x
0, 0,
A
FAx 0
材料力学第四章
A B x l
ql 2 x= l 处 , F ql S 2
绘出剪力图
FRA
ql/2
FRB
+
ql/2
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 x qlx qx 2 M ( x ) FRA x qx (0 x l ) 2 2 2
Fb l
+
Fa l
+
Fba l
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
在集中荷载作用处的左,右 两侧截面上剪力值(图)有突变, 突变值等于集中荷载F. 弯矩图 形成尖角,该处弯矩值最大. FRA
A a x x
F
FRB
B
C b
l
Fb l
+
Fa l
+
Fba l
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
弯矩图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧
x
O
O
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
例题5 如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用, 试作此梁 F 的剪力图和弯矩图.
A B x
解: 列出梁的剪力方程 和弯矩方程
l
FS ( x ) F M ( x ) Fx
(0 x l )
CB段
C a x l
(1) ( 2)
Fb F ( l b) Fa FS ( x ) F ( a x l ) ( 3) l l l Fb Fa M ( x) x F ( x a) ( l x ) ( a x l ) ( 4) l l
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 F Fb FRB FS ( x ) (0 x a ) (1) FRA l A B Fa C FS ( x ) ( a x l ) ( 3) b l a
材料力学-第4章 扭转
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
变 形
O
dx
ρ
R A
d
O’
( ) G G
d
dx
应变特征
B B´
A
B B´
应力分布
C
C
D D´
D D´
应力公式
BB Rd G G G AB dx
19
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
材料力学
第四章 扭 转
1
材料力学－第4章 扭转
内容提纲：
• • • • • • • • 概述及示例 外力偶矩、扭矩和扭矩图 圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转破坏与强度条件 圆轴扭转变形与刚度条件 扭转静不定问题 非圆截面轴扭转 薄壁杆扭转
2
材料力学－第4章 扭转
概述及示例
3
材料力学－第4章 扭转
9
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
• 在工程中，功率常用千瓦 Pkw (kW) 或马力 P 给出，角 速度用转速 n(r/min (转/分钟)) 给出，则外力偶矩的计算 公式为
PkW M e 9549 nr /min M e 7024 P 马力 nr /min
1 Pkw (千瓦) 1000 N m /s 1 P (马力) 735.5 N m /s
45o
32
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转破坏与强度条件
从破坏类型可见，对于脆性材料（如铸 铁），其破坏机理是斜截面上的最大拉应力 因此，本质上讲，应对斜截面上的正应力 进行强度计算。然而，由于斜截面上的正应力和 横截面上的剪应力间有固定的关系，所以，习惯 上仍按最大剪应力进行强度计算
材料力学第4章第5章
X1 A 1m 35kN
15
20
kN
20
10kN m
4m
2.5
FS x1 20kN
X2
B
0 x1 1
25kN
M x1 20x1
0 x1 1
FS x2 25 10x2
25
M
x2
25
0
x2
x2
10
4
x22 2
0 x2 4
20 31.25
kNm
例4-11 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁旳内
AC段 ：
BC段 ：
3） 作剪力图与弯矩图
例4-7 如图所示外伸梁，F、a已知，试作其 、Mz图。
解：1） 求约束反力并验算
2) 分段列内力方程 CA段 ：
DB段 ：
AD段 ： 3）画出梁旳剪力图和弯矩图
例4-8 如图所示简支梁承受均布载荷作用，载荷集度为 q，梁 旳长度为l，试作梁旳 、Mz图解。： 1） 求约束反力并验算
叠加法作弯矩图
F
q
F
q
A
BA
＋
B
A
B
l
l
l
F
F+qL
1/2qL2+FL
FL
qL
1/2qL2
第五章 弯曲应力
§1 纯弯曲
F
F
a
a
A
B
F F
Fa
纯弯曲：梁受力弯曲
F
后，如其横截面上只有弯
矩而无剪力，这种弯曲称
为纯弯曲。
AC段： 剪力弯曲
CB段：
纯弯曲
pure bending
试验现象：
F
mn
材料力学第4章杆件的基本变形课件
材料力学第4章杆件的基本变形课件第一篇：材料力学第4章杆件的基本变形课件重点：材料力学的任务，变形固体性质的基本假设难点：理解强度、刚度、稳定性的概念第4章§4.1 材料力学的任务建筑物承受荷载而起骨架作用的部分，称为结构。
组成结构或机械的单个部分则称为构件或零件。
如：桥梁的桥墩、桥面等。
每一构件都应满足一定的条件，这些条件主要是指经济与安全。
所谓经济是指构件应采用适当的材料并使截面尺寸最小（消耗最少的材料）；安全则是指构件在受力或受外界因素（如温度改变、地基沉陷等）影响时，应同时满足强度、刚度及稳定性三方面的要求。
即：安全包括三个方面：（1）足够的强度──构件具有足够的抵抗破坏的能力；（2）足够的刚度──构件具有足够的抵抗变形的能力，即要把变形控制在一定的范围内；（3）足够的稳定性──构件具有足够的保持原有平衡形式的能力。
构件在强度、刚度和稳定性三方面所具有的能力统称为构件的承载能力。
经济与安全是一对矛盾的两个方面。
而材料力学就是要解决这一矛盾，即是研究构件在各种外力或外界因素影响下的强度、刚度和稳定性的原理及计算方法的科学。
包括对材料的力学性质的研究。
这就是材料力学的任务。
§4.2 可变形固体的性质及其基本假设任何固体在外力作用下都要产生形状及尺寸的改变──即变形。
外力大到一定程度构件还会发生破坏，这种固体称为“变形固体”。
承认构件的变形，是材料力学研究问题、解决问题的基本前提。
变形包括：（1）弹性变形──外力去掉后可消失的变形；（2）塑性变形──外力去掉后不能消失的变形。
关于变形固体性质的基本假设：1．连续性假设：材料内部连续、密实地充满着物质而毫无空隙；2．均匀性假设：材料沿各部分的力学性能完全相同；3．各向同性假设：材料沿各方向的力学性能完全相同。
这样的材料称为各向同性材料，否则称为各向异性材料。
4．小变形假设：认为受力后构件的变形与其本身尺寸相比很小。
小变形包括两方面含义：（1）变形与原始尺寸在量级上进行比较，很小；（2）变形对外力的影响很小──不会显著改变外力的作用位置或不产生新的外力成分。
材料力学双语教学学习资料(英汉对照)
材料力学双语教学学习资料第一章绪论Chapter 1 Introduction§1-1 材料力学的任务The Tasks of Mechanics of Materials1＊. 材料力学: Mechanics of Materials2. 构件: Structural Members3. 变形: Deformation4＊. 强度: Strength5＊. 刚度: Rigidity6＊. 稳定性: Stability§1-2 变形固体的基本假设Fundamental Assumptions of SolidDeformation Bodies1. 连续性假设: Continuity2. 均匀性假设: Homogeneity3. 各向同性假设: Isotropy§1.3 外力及其分类External Forces and Classification1. 分布力: Distributed Force2. 集中力: Point Force3. 静载荷: Static Load4. 动载荷: Dynamic Load§1.4 内力、截面法和应力的概念Concepts of Internal Forces，Method ofSection and Stress1＊. 内力: Internal Force2＊. 截面法: Method of Section3. 截面法的三个步骤：截开，代替，平衡Three steps of method of section: cut off, substitute , and equilibrium.4＊. 应力: Stress5. 平均应力：Average stress6. 应力（全应力）：Whole stress（sum stress）7＊. 正应力: Normal Stress8＊. 剪应力(切应力)：Shearing Stress§1.5 变形与应变Deformation and Strain1．线应变: Strain2．剪应变: Shearing Strain§1.6 杆件变形的基本形式Basic Types of Deformations of Rods1＊. 拉伸或压缩: Tension or Compression2＊. 剪切: Shear3＊. 扭转: Torsion4＊. 弯曲: Bending第二章拉伸、压缩与剪切Chapter 2 Tension，Compression andShear§2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例The Concept and Examples of AxialTension and Compression1. 拉杆: Tensile Rod2. 压杆: Compressive Rod3. 受力特点：外力合力的作用线与杆轴线重合Characteristic of the External Forces: The acting line of the resultant of external forces is coincided with the axis of the rod.4. 变形特点：杆沿轴向伸长或缩短Characteristic of Deformation: Rod will elongate or contract along the axis of the rod.§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力Internal Force and Stress of Axial Tension or Compression on the Cross Section1＊. 横截面: Cross Section2＊. 轴力: Normal Force3＊. 轴力图: Diagram of Normal Force§2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力Stress of Axial Tension or Compressionon the Skew Section1. 斜截面: Skew Section2.ασσα2cos = αστα2s i n 2=§2.4 材料在拉伸时的力学性能Mechanical Properties of Materialswith Tensile Load1. 标准试件: Specimen2. 低碳钢(C ≤0.3%): Low Carbon Steel3. 弹性阶段:Elastic Region4. 屈服阶段:Yielding Stage5. 强化阶段:Hardening Stage6. 颈缩阶段: Necking Stage 7＊.σp ----比例极限: Proportional Limit 8＊.σe ----弹性极限: Elastic Limit 9＊.σs ----屈服极限: Yielding Stress 10＊.σb ----强度极限: Ultimate Stress 11. 延伸率: Percent Elongation12. 断面收缩率: Percent Reduction of Area 13. 塑性材料: Ductile Materials 14. 脆性材料: Brittle Materials 15. 铸铁:Cast iron§2.7 失效、安全系数和强度计算 Failure, Safety factor and Strengthcalculation1＊. 许用应力: Allowable Stress 2. 安全系数: Safety Factor 3＊. 强度条件: Strength Condition][max σσ≤=AF N4＊. 强度校核: Check strength][max σσ≤5＊. 截面设计: Section design][σNF A ≥6＊. 确定许可载荷:Determine allowable load][σA F N ≤§2.8 轴向拉伸或压缩时的变形 Deformation in Axial Tension orCompression1. 弹性变形: Elastic Deformation2. 塑性变形: Plastic Deformation3. 纵向应变: Longitudinal Strainll l l l -=∆=1ε 4. 横向应变: Lateral Straindd d d d -=∆=''ε5．线弹性变形:Linear Elastic Deformation6.泊松比:Poisson’s ratioεεμ'=7＊.弹性模量-E ：表示材料抵抗拉压变形的 能力 E - modulus of elasticity ：Indicates the capability of materials for resisting tension or compression 8＊.抗拉刚度-EA :表示构件抵抗拉压变形的能力EA -the axial rigidity: Indicates the capability of constructive members for resisting tension or compression 9＊. 胡克定律（Hooke’s Law ）:当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比.The stress is proportional to the strain within the elastic region.εσE =§2.12 应力集中的概念The Concept of Stress Concentration 1.由于截面尺寸的突然变化，使截面上的应力分布不再均匀，在某些部位出现远大于平均值的应力，称应力集中。
材料力学 第四章
解：支反力为
M F
y
A
0
FB 2a 3Fa F a 0
FB 2 F ()
0
FB FA F
FA 3F ()
y
F a 1A2 1 2 FA 截面1—1 F 1 C1
Me =3Fa
3 4 3 4 B a
y
x FB
2a
FS1 F M1 F a 0 M1 C1 M 1 Fa ( 顺 ) 1 FS1 截面2—2 Fy 0 FS2 FA F 0 F FS2 FA F 2 F C2 2 M 2 FA 2 F MC2 0 M 2 F a 0 S2 M 2 Fa ( 顺 )
例4-5 图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作 梁的剪力图和弯矩图。q
A FA x B
l
FB
解：1、求支反力
2、列剪力方程和弯矩方程 q M(x) F x F qx ql qx S A A FA
ql FA FB 2
x
2 x qlx qx 2 FS(x) M x FA x qx 2 2 2
3、作剪力图和弯矩图 q
A
l
FS ql 2
ql FS x qx 2 B qlx qx 2 M x 2 2
FS,max
ql 2
ql2 8 M
l/2
M max
ql 2 8
例4-6 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪 力图和弯矩图。
a
F C
l
b
A FA
x
B FB
解：1、求支反力
Fb FA l
Fa FB l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
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对称弯曲（如下图）—— 平面弯曲的特例。
P1 q P2
M
纵向对称面
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Unsymmetrical bending— if a beam does not possess any plane of symmetry, or the external forces do not act in a plane of symmetry of the beam with symmetric planes, this kind of bending is called unsymmetrical bending. In later chapters we will mainly discuss the bending stresses and deformations of the beam under symmetric bending. 29
§4–1 Concepts of planar bending and calculation sketch of the beam
§4–2 The shearing force and bending moment of the beam §4–3 The shearing-force and bending-moment equations
诚实是力量的一种 象征，它显示着一个人 的高琳· 卡瑟
1
走正直诚实的生 活道路，定会有一个 问心无愧的归宿。 ——高尔基
2
Mechanics of Materials
3
第四章
弯曲内力
4
CHAPTER 4
INTERNAL FORCES IN BENDING
9
3. 工程实例
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13
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4).Planar bending：After deformation the curved axis of the beam is still in the same plane with the external forces.
the shearing-force and the bending-moment diagrams
§4–4 Relations among the shearing force、the bending moment and the density of the distributed load and their applications §4–5 Plot the bending-moment diagram by the theorem of superposition
非对称弯曲—— 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在对称面内，这种
弯曲则统称为非对称弯曲。
下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变 形计算。
30
2、Calculation sketch of the beam In general supports and external forces of the beam are very complex. We should do some necessary simplification for them for our convenient calculation and obtain the calculation sketch. 1). Simplification of the beams
1). BENDING: The action of the external force or the external couple vector perpendicular to the axis of the rod makes the axis of the rod change into curve from original straight lines, this deformation is called bending. 2).BEAM：The member of which the deformation is mainly bending is generally called beam.
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用
§4–5 按叠加原理作弯矩图 §4–6 平面刚架和曲杆的内力图 弯曲内力习题课
6
§4–1
CONCEPTS OF PLANAR BENDING AND CALCULATION SKETCH OF THE BEAM
1、CONCEPTS OF BENDING
In general case we take the place of the beam by its axis.
2). Simplification of the loads The loads (including the reaction) acting on the beam may be reduced into three types：
Symmetric bending（as shown in the following figure） — a special example of the planar bending. P1 q
P2
M
The plane of symmetry
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4. 平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一 平面内。
7
§4–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
一、弯曲的概念 1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。
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3).Practical examples in engineering about bending
§4–6 The internal-force diagrams of the planar rigid theorem
for frames and curved rods Exercise lessons about the internal force of bending
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第四章
弯曲内力
§4–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图 §4–2 梁的剪力和弯矩 §4–3 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图