偏微分方程课程大纲
教学大纲-偏微分方程
《偏微分方程》教学大纲课程编号：121322B课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课 专业选修课□学科基础课总学时：32 讲课学时：32 实验（上机）学时：0学分：2适用对象：数学与应用数学（金融方向）先修课程：数学分析、高等代数、实变函数与泛函分析、常微分方程（以上标题为黑体，四号字；内容为宋体，四号字）一、教学目标（黑体，小四号字）目标1：本课程是偏微分方程理论的入门课，以数学分析、高等代数、实变函数与泛函分析、常微分方程为先修课程，并且是先修课程的运用和知识的深化。
目标2：本课程具有较强的应用性，在物理、经济、金融等学科中有广泛的应用。
物理、经济、金融中的偏微分方程的学习和研究对理解相关领域前沿本质问题有深刻的作用。
目标3：本课程的学习使学生对进一步研究更深的数学、金融、经济前沿科学知识打下坚实的基础二、教学内容及其与毕业要求的对应关系（黑体，小四号字）本课程包括经典线性偏微分方程的推导、理论和应用。
精讲偏微分方程的背景和严格推导、二阶双曲型偏微分方程理论、二阶抛物型偏微分方程理论、二阶椭圆型偏微分方程理论，及偏微分方程在金融、经济中的应用等；选讲偏微分方程的变分原理、反问题等。
通过对实际问题的分析、模拟、以往知识的回顾，循序渐进讲授重点内容。
学生要活学活用已学知识认真完成课后作业。
该课程能有效地开阔学生的学术视野，增强知识能力，为进一步研究学习前沿科学厚实学识基础。
三、各教学环节学时分配（黑体，小四号字）以表格方式表现各章节的学时分配，表格如下：（宋体，小四号字）教学课时分配四、教学内容（黑体，小四号字）第一章方程的导出和定解条件第一节守恒律第二节变分原理第三节定解问题的适定性1 、重点、难点多重指标记号2、考核要求：掌握多重指标记号, 偏微分方程中的基本概念和定解问题的意义。
3、复习思考题：复习主要偏微分方程的物理背景、定解的适定性。
第二章波动方程第一节一阶线性方程的特征线解法第二节初值问题（一维情形）第三节初值问题（高维情形）第四节混合问题1 、重点、难点波动方程的解法及其初值问题和初边值解的唯一性及稳定性。
偏微分方程选讲教学大纲
第五章 双曲型方程的差分方法（3 学时） [目的要求] 1．要求学生重点掌握一阶线性双曲型方程 Cauchy 问题的特征线法和差分方法 2．理解特征方向、特征关系等基本概念 3. 掌握一阶拟线性双曲型方程 Cauchy 问题的特征线法，特征差分格式等方法
学计算能力以及解决实际问题的能力。 教学要求：
（一）从内容上，应使学生熟练掌握求解常微分方程的欧拉法、改进的欧拉法和标 准四阶龙格-库塔法；熟练掌握求解抛物型方程的六点加权隐式差分格式；熟练掌握求 解 Laplace 方程和 Poisson 方程的五点差分格式；熟练掌握求解一阶双曲型方程的特征 线法和求解双曲型方程的差分方法等内容；熟练掌握方程的导出及定解条件的确定；熟 练掌握变分原理、球平均法、傅里叶变换及叠加原理，并可以利用它们求解定解问题的 精确解。
第七章 椭圆型方程的差分方法（4 学时） [目的要求] 1．要求学生掌重点握矩形域中的 Laplace 方程、Poisson 方程 Dirichlet 边值问题的五 点差分格式，了解 Neumann 边值问题的差分思想，理解一般二阶线性椭圆型方程 的 Jacobi 迭代、Cass-Seidel 迭代和超松弛迭代等方法 2．会求收敛速度，会判断超松弛迭代法的收敛性 [主要内容] §7.1 矩形区域上的 Poisson 方程的五点差分格式、九点差分格式、极坐标下的差分
《偏微分方程选讲》教学大纲
课程名称：偏微分方程选讲 英文名称： PDEs to choose speak 课程性质：选修课 学时/学分： 2
(完整版)偏微分方程课程教学大纲
4
上课
作业
掌握思想
测验一
波动方程的有限传播速度
2
上课
作业
掌握波动方程的特性
一维波动方程初边值问题
4
上课
作业
掌握分离变量法
波动方程的能量方法
4
上课
作业
掌握PDE能量方法
期中考试
热方程的Cauchy问题
4
上课
作业
掌握Fourier变换及基本解思想
热ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程的初边值问题
2
上课
作业
掌握分离变量法
在该课程中，我们将重点讲解刻画粒子输运、波的传播、温度变化及物理场论的输运方程、波动方程、热方程及Laplace方程的理论与方法，从而了解双曲型、抛物型及椭圆型三类偏微分方程的特性及基本分析思路,为进一步学习与研究打下一定的基础。
＊课程简介(Description)
In this course，we shall teach students how to formulate the partial differential equation models based on certain elementary laws in physics and mechanics, then purpose some analytic methods for studying qualitative and quantitative properties of solutions to several important kinds of partial differential equations,which could inspire students to understand some basic idea of modern methods and theories of partial differential equations。 By solving the explicit solutions of PDEs， it can explain some important phenomena in physics and mechanics, which could inspire the students to study further。
《应用偏微分方程》教学大纲
《应用偏微分方程》教学大纲一、课程名称应用偏微分方程(Partial Differential Equations and Their Applications）二、学时与学分学时：48 学分：3 (卓越工程师班学时：40 学分：2.5)三、授课对象光学与电子信息、电子信息与通信、自动化、经济与金融，管理等专业四、先修课程微积分、线性代数、复变函数与积分变换五、教学目的《应用偏微分方程》课程是应用数学的重要基础，大量偏微分方程模型源于现实生活。
比如，量子力学理论依赖于薛定谔方程，流体力学理论依赖于各种形式的Navier-Stokes方程，以及电磁场理论依赖于麦克思韦方程等等。
本课程各个部分形成独立的模块，重点讨论偏微分方程中四种最基本的方程：传输方程、波动方程、热传导方程和位势方程的特点和相应定解问题的求解方法，特别对偏微分方程模型在物理、力学等学科中的应用问题给予了极大的关注，目的在于将偏微分方程的基本理论与其在实际问题中的应用之间架设一座桥梁，帮助学习者了解近代物理学等学科中一些重要的偏微分方程的来龙去脉，从而掌握运用这些偏微分方程解决实际问题的基本方法。
六、主要内容、基本要求及学时分配本课程系统地介绍四种典型方程定解问题的解法及其在光学与电子信息、电子信息与通信、自动化、经济与金融，管理等专业光学与电子信息、电子信息与通信、自动化、经济与金融，管理等专业中的应用。
内容包括弦传输方程的特征线法、振动方程与定解条件、热传导方程与定解条件、拉普拉斯方程与定解条件、分离变量法、行波法与积分变换、格林函数法、贝塞尔函数及其应用、勒让德函数及其应用等。
主要内容第一章绪论（5学时）1.1典型方程和定解条件的物理背景和数学描述（2学时）1.1.1 牛顿运动定律与弦振动方程 1.1.2 能量守恒与热传导方程1.1.3 静电位势与拉普拉斯方程 1.1.4 质量守恒与连续性方程1.2 偏微分方程的基本概念（2学时）1.2.1 基本概念 1.2.2 二阶线性偏微分方程的分类1.2.3 线性方程的叠加原理1.3 定解问题的适定性（1学时）第二章传输方程（4学时）2.1 一阶线性方程的特征线法（3学时）2.1.1 一阶线性常系数偏微分方程 2.1.2 种群分析与存货量分析2.1.3 一阶线性变系数偏微分方程 2.1.4 对气体流的应用2.1.5 一阶线性方程解的参数形式 2.1.6 三维一阶线性偏微分方程2.2 传输方程（1学时）第三章波动方程（12学时）3.1 一维初值问题（4学时）3.1.1 无界弦自由振动问题的行波法3.1.2 无界弦自由振动问题的傅里叶变换法3.1.3 依赖区间,决定区域和影响区域 3.1.4 无界弦的强迫振动问题3.2 高维初值问题（2学时）3.2.1 三维波动方程的球面平均法 3.2.2 惠更斯原理3.2.3 二维波动方程的降维法与泊松公式 3.2.4 波的弥散3.3 初边值问题（6学时）3.3.1 有界弦自由振动问题的分离变量法3.3.2有界弦自由振动问题的积分变换法3.3.3 有界弦强迫振动问题的特征函数展开法3.3.4 具有非齐次边界条件的定解问题 3.3.5 圆形薄膜对称振动问题3.4 波动方程定解问题探究（自学）3.4.1 波动方程定解问题的齐次化原理 3.4.2 半无界弦的振动问题3.4.3 矩形区域上波动方程的初边值问题 3.4.4 圆形薄膜振动问题3.4.5 高频传输线中的电压波动问题 3.4.6 非齐次边界条件的齐次化第四章热传导方程（8学时）4.1 一维初值问题（2学时）4.1.1 无限长杆上初值问题的傅里叶变换法4.1.2 半无限长杆上初值问题的拉普拉斯变换法4.2 一维初边值问题（4学时）4.2.1 无热源有限长杆上初边值问题的分离变量法4.2.2 有热源有限长杆上初边值问题的特征函数展开法4.2.3 具有非齐次边界条件的热传导问题4.3 高维初边值问题（2学时）4.3.1 圆盘上轴对称热传导问题 4.3.2 无限长圆柱上对称热传导问题4.4 热传导方程定解问题探究（自学）4.4.1 热传导方程定解问题的齐次化原理4.4.2 球上径向对称热传导方程初边值问题4.4.3 有限长圆柱上轴对称热传导问题第五章拉普拉斯方程（8学时+4学时）5.1 二维拉普拉斯方程的边值问题（4学时）5.1.1 矩形域上拉普拉斯方程的分离变量法5.1.2 圆域上拉普拉斯方程的分离变量法5.1.3 二维泊松方程的特征函数展开法 5.1.4 泊松方程的试探法5.1.5 上半平面拉普拉斯方程的积分变换法5.2 三维拉普拉斯方程的边值问题（4学时）5.2.1 圆柱内稳定温度分布问题的分离变量法5.2.2 球域内稳定温度分布问题的分离变量法5.3 拉普拉斯方程的格林函数法（4学时）5.3.1 拉普拉斯方程的基本解 5.3.2 格林公式5.3.3 调和函数的积分表示 5.3.4 调和函数的基本性质5.3.5 格林函数 5.3.6 格林函数的基本性质5.3.7 上半平面的格林函数 5.3.8 圆域上的格林函数5.4 拉普拉斯方程定解问题探究（自学）5.4.1 长方体上拉普拉斯方程的边值问题5.4.2 球域上拉普拉斯方程的狄利克雷外问题5.4.3 上半空间的格林函数 5.4.4 球域中的格林函数第六章偏微分方程常用数学工具（7学时）6.1 傅里叶分析（自学）6.1.1 正交函数系与正交级数展开 6.1.2 傅里叶级数6.1.3 傅里叶积分 6.1.4 傅里叶变换6.2 拉普拉斯变换（自学）6.2.1 拉普拉斯变换的定义 6.2.2 拉普拉斯变换的性质6.3 常微分方程特征值问题（2学时）6.3.1 常见线性常微分方程 6.3.2 施图姆-刘维尔特征值问题6.4 贝塞尔方程与贝塞尔函数（3学时）6.4.1 贝塞尔方程的无穷级数解 6.4.2 贝塞尔函数的性质6.4.3 傅里叶-贝塞尔级数6.5 勒让德方程与勒让德多项式（2学时）6.5.1 勒让德方程的无穷级数解 6.5.2 勒让德多项式6.5.3 勒让德多项式的性质 6.5.4 傅里叶-勒让德级数基本要求通过本课程的学习，要求学生：1．掌握传输方程及其定解条件的实际背景。
偏微分方程数值解教学大纲
《偏微分方程数值解》教学大纲
一．课程的性质、教育目标及任务：
偏微分方程数值解法在数值分析中占有重要地位，在各个科技领域的应用日渐广泛。
通过本课程的学习，使学生能了解偏微分方程数值解的最基础的知识和方法，确切地理解基本概念，掌握和正确使用两类主要方法。
二．教学内容及基本要求：
（1）弄清有限差分法的基本概念和各种差分格式。
（2）掌握双曲型，抛物型、椭圆型方程的差分方法。
（3）理解数理方程的变分原理，掌握变分问题的近似计算法。
（4）掌握有限元离散方法的原理及应用。
三．作业、辅导答疑等教学环节要求：
1．作业量：每章5--6大题，共30--40题。
2．辅导答疑：1/3总课时。
四．学时分配及说明：。
《偏微分方程数值解》课程教学大纲
维情形的直接推广； 交替方向隐式格式； 分数步方法。第六章 变分原理 几个变分 问题；变分问题的
Euler-Lagrange方
程；一个守恒定律； 二次函数极值问题。
一维问题变分原理及 8 学时
其价性； 二维问题变 分原理及等价性；变 分问题的近似计算。 第七章 有限元离散 方法 一维问题的有 限元方法；子结构方 法。
√√ √
√√√ √
√√ √√
二、课程教学内容及学时分配（含实践、自学、作业、讨论等的内容及要求）
教学内容
学时
第一章 总论 微分方 4 学时
程数学模型及举例；
微分方程数值解的重
要意义和基本问题。
第二章 椭圆型方程
的差分方法 从一个
简单的例子谈起。
第 二 章 求 解 矩 形 域 6 学时
上 Poisson 方程的五
《偏微分方程数值解》课程教学大纲
课程名称：偏微分方程数值解 课程代码：MA309 学 分 / 学 时：4 学分 / 64 学时 适用专业：数学系和与科学计算相关的专业 先修课程：偏微分方程，科学计算（I） 后续课程：科学计算（II），科学计算选讲 开课单位：理学院数学系
一、课程性质和教学目标（需明确各教学环节对人才培养目标的贡献） 课程性质：本课程是理学院数学系的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过理论学习和上机实算，
数值实验 4：求解稳态热传导 问题的有限元方法。
三、教学方法
以课堂教学为主，结合自学、数学实验大作业。 1. 课堂教学主要讲解偏微分方程数值解的基本概念，基本方法和基本原理，含有限差分法、变分原理和有限元方
法等，培养学生利用计算机为工具，通过数学建模、理论分析与数值求解等步骤定量化解决实际问题的能力。 2. 数值实验大作业是本课程的重要内容。共安排 4 个数值实验大作业，包括：求解五点差分格式的快速 Fourier 方
201411213-偏微分方程-教学大纲
偏微分方程课程教学大纲一、课程基本信息课程编号：201411213课程中文名称：偏微分方程课程英文名称：Partial differential equations课程性质：专业主干课考核方式：大作业开课专业：数学与应用数学开课学期：第6学期总学时：56（其中理论56学时）总学分：3二、课程目标以三大偏微分方程为主体的偏微分方程，是大学理科数学与应用数学、信息与计算科学专业的重要课程，为该专业课程体系中的重要组成部分。
开设此课程将为其他课程打下基础。
通过此课程的学习，使学生掌握偏微分方程的基本知识，偏微分方程分析的基本方法、基本技巧，并了解现代偏微分方程的基本结果。
三、教学基本要求（含素质教育与创新能力培养的要求）偏微分方程是在自然科学和工程技术中提炼出来的，因此，不仅要求学生在掌握理论知识的同时，还应该密切联系实际并把所得的结果放到实践中进行检验。
本课程要求如下：（1）要求学生掌握偏微分方程的基本知识及基本方法，透彻理解其数学概念；（2）使学生掌握数学推理的逻辑严密性及灵活性；（3）要求学生善于运用本课程所学知识、方法及技巧去解决物理等学科中出现的实际问题，并把所得到的结果再带回到实践中进行检验。
四、教学内容与学时分配1 波动方程（28学时）导出波动方程，介绍波动方程的柯西问题、混合问题及其解法，证明波动方程解的唯一性、稳定性。
2 热传导方程（10学时）导出热传导方程，介绍热传导方程的柯西问题、混合问题及其解法，证明热传导方程解的唯一性、稳定性3 调和方程（16学时）建立调和方程，求解调和方程，证明调和方程解的唯一性。
4 现代偏微分方程理论（2学时）现代偏微分方程的泛函理论和可解性问题。
五、教学方法及手段（含现代化教学手段及研究性教学方法）主要采用理论教学，选择性地使用电子教案，并穿插习题课以及学生讨论。
六、实验（或）上机内容无七、前续课程、后续课程前续课程：微积分、常微分方程后续课程：Sobolev空间八、参考教材及学习资源教材：[1] 谷超豪、李大潜等，数学物理方程，复旦大学出版社参考资料：[1] 陈恕行、秦铁虎，数学物理方程—方法导引，复旦大学出版社[2] 梁昆淼，数学物理方法，高等教育出版社九、考核方式撰写人签字：院（系）教学院长（主任）签字：。
偏微分方程 教学大纲
数学与应用数学专业《偏微分方程》教学大纲●本课程教学的目的偏微分方程是数学专业的一门重要专业课程。
它的理论和方法，对于其他数学学科，对于物理，力学及工程技术中的某些问题，都有广泛的应用。
通过本课程的教学，使学生正确理解偏微分方程的基本概念，掌握基本理论和基本方法，培养学生分析问题和解决某些实际问题的能力。
●学习方法指导1．贯彻理论联系实际的原则，力求反映偏微分方程的实际背景及其应用，每章讲解时安排适当的应用例题。
2．注意通过典型例题的介绍，使学生理解与掌握基本概念，领会基本理论的作用与意义。
3．注意基本技能的训练，安排一定数量的练习题及难度适宜的证明题。
4．加强与有关课程的联系与配合。
通过对数学分析、高等代数、普通物理、常微分方程、复变函数、泛函分析等课程中已学过的知识的应用，使学生得到巩固和深化。
5．适当注意内容现代化。
将有关偏微分方程的最新研究动态及研究成果贯穿于相应内容的讲解中，让学生及时了解世界最前沿的有关偏微分方程的研究进展。
●本课程的重、难点偏微分方程是以建立数学模型、进行理论分析和解释客观现象并进而解决实际问题为内容的一门数学分支学科。
学习这门课程必须掌握几类经典方程的求解方法、基本理论，并能运用基本理论解释物理现象，这些内容既是偏微分方程的基本内容也是重、难点内容。
●本课程教学基本内容及课时分配和教学环节安排第一章方程的导出及定解问题的提法（7学时讲授讨论作业）【知识点提示】偏微分方程的基本概念；几个经典的偏微分方程；定解问题的提法。
【重、难点提示】偏微分方程的基本概念；如何从物理现象导出几个经典的方程。
【教学目的】通过本章的教学，使学生对偏微分方程的基本概念和本课程学习的主要内容有一个大概的认识，了解如何从物理现象导出几个经典的方程及各种定解问题的提法。
【教学内容】第一节序言第二节基本概念1.1. 什么是偏微分方程1.2. 偏微分方程的解1.3. 偏微分方程的阶1.4. 线性偏微分方程1.5. 非线性偏微分方程第三节几个经典方程2.1. 弦振动方程2.2. 热传导方程2.3. 拉普拉斯(Laplace)方程第四节定解问题3.1. 定解问题3.2. 三类典型的边界条件3.3. 适定性第二章特征理论与方程的分类（7学时讲授讨论作业）【知识点提示】二阶方程的特征和分类，化方程为标准型。
偏微分方程数值解法教学大纲
《偏微分方程数值解》课程教学大纲Numerical Solution of Partial Differential Equation课程代码： 课程性质：专业基础理论课/选修适用专业：信息计算开课学期：7总学时数：48总学分数：3编写年月：2003年3月修订年月：2007年7月执笔：王琦一、课程的性质和目的《偏微分方程数值解法》是计算数学专业的一门重要专业基础课。
它不仅对学生今后从事科研具有居高临下的指导作用，而且对于学习其它后继课程和解决一些实际问题都是一门重要的工具，同时对于训练思维能力起着很大作用。
本大纲是根据教育改革发展和面向二十一世纪高等数学专业课程设置和教学内容改革的要求，针对培养目标的需要进行设计的。
二、课程教学内容及学时分配第一章常微分方程初值问题10学时第二章变分原理8学时第三章椭圆型方程----有限差分法和有限元法10学时第四章离散方程的解法8学时第五章抛物型方程和双曲型方程12学时第一章常微分方程初值问题1.1 引论1.2 Euler方法和线形多步方法1.3 稳定性，收敛性和误差估计1.4 预估—校正算法1.5 Runge—Kutta方法第二章常微分方程初值问题2.1 二次函数的极值2.2 二阶椭圆边值问题2.3 Ritz方法第三章椭圆型方程----有限差分法和有限元法3.1 差分逼近的基本概念3.2 一维差分格式，矩形网和三角网差分格式3.3 极值定理3.4 解一维问题的线形元及误差估计3.5 解二维问题的矩形元和三角形元3.6 有限元方程3.7 收敛阶的估计第四章离散方程的解法4.1 离散方程的基本特征4.2 追赶法与迭代法4.3 超松弛法4.4 共轭斜量法第五章抛物型方程和双曲型方程5.1 稳定性与收敛性5.2 分离变量法5.3 差分格式的应用5.4 交替方向隐格式5.5 线形双曲型方程的差分逼近5.6 拟线形双曲型方程组5.7 基本定解问题和特征线法5.8 特征差分格式四、本课程与其它课程的联系与分工先修课程：数学分析，高等代数，常微分方程。
《应用偏微分方程》教学大纲.doc
应用偏微分方程教学大纲(Applied Partial Differential Equations)课程代码318.031.1编写时间课程名称应用偏微分方程英文名称Applied Partial Differential Equations学分数3周学吋3任课教师* 范恩贵开课院系** 数学学院预修课程数学分析、空间解析几何、微分几何、高等代数等课程性质：本课程是数学学院专业选修课，为数学学院本科三、四年级学生或外系高年级学生选修。
基本要求和教学目的：通过本课程的学习，在大学基础知识上，使高年级学生进一步接触现代微分方程研究的前沿性领域，掌握部分求解微分方程的现代方法和技巧、为今后的学习、研究和解决实际问题奠定基础。
课程基本内容简介：本课程包括以下部分：Hirota双线性导数法、Lie群方法、Daboux变换法在求解微分方程应用。
教学方式：课堂讲授教材和教学参考资料：作者教材名称出版社出版年月教材参考资料郭百灵，庞小峰孤立子科学出版社1981G. W.Bluman andS KumeiSymmetries and DifferentialEquationsSpringer-Verlag1989P. J. Ovler,Lie groups and itsApplications to DifferentialEquationsSpringer-Verlag,1991谷超豪、胡和生、周子翔孤立子中的Darboux变换及几何应用上海科技出版社999关霭文吴文俊消元法及其应用北京理工大学出版社1997作业和考核方式：少部分作业、闭卷笔试*如该门课为多位教师共同开设，请在教学内容安排中注明。
和考虑到有时同一门课由不同院系的教师开设，请任课教师填写此栏。
偏微分方程续论课程教学大纲
课程基本信息（Course Information）
课程代码 （Course Code）
*课程名称 （Course Name）
MA4124/MA330
*学时
（Credit Hours）
32
偏微分方程续论（A）
*学分 （Credits） 2
Continued on Partial Differential Equations
备注说明： 1．带*内容为必填项。 2．课程简介字数为 300-500 字；课程大纲以表述清楚教学安排为宜，字数不限。
课程教学大纲（course syllabus）
*学习目标(Learning Outcomes)
1．了解相关物理模型，包括 Maxwell 方程组，Euler 方程组，Navier-Stokes 方程组； (B2),(A3) 2．掌握方程组的分类，了解方程组的数学结构；(A4) 3．掌握能量积分方法，掌握方程组特征线的相关知识；(A4),(A5) 4．掌握间断解，激波，熵条件等相关知识；(A3),(A5) 5. 掌握拉格朗日坐标系。(A5)
教学内容 电动力学模
型 流体力学模
型 一阶拟线性
双曲组
学时 10 14 8
教学方式 面授
作业及要求 基本要求
习题
完成
考查方式 书面作业
面授
习题
完成 书面作业
面授
习题
完成 书面作业
*教学内容、进度安排 及要求
(Class Schedule & Requirements)
……
*考核方式 (Grading)
课程性质 (Course Type)
专业方向选修 A 组
《偏微分方》课程简介
《偏微分方程》课程简介061B0090 偏微分方程 2.0Partial differential equations 2.0-0.0预修课程：（多元函数）微积分，常微分方程，复变函数面向对象：一年级至四年级本科生（其中一年级本科生安排在夏季学期）《偏微分方程》是工科类及应用理科类有关专业的一门基础课。
学生通过本课程的学习，能掌握偏微分方程的基本概念、基本理论和典型的求解方法，能用所掌握的知识来解决科学和工程技术研究中出现的简单偏微分方程问题，为后续专业课的学习作必要的准备。
推荐教材或主要参考书：《数理方程》，车向凯、谢彦红、缪淑贤，高等教育出版社，出版日期：2006-5《数学物理方程与特殊函数》，杨奇林，清华大学出版社，出版日期：2004-11《数学物理方程与特殊函数》，孙金海，高等教育出版、施普林格出版，出版日期：2001-4 《工程技术中的偏微分方程》，潘祖梁、陈仲慈，浙江大学出版社，出版日期：1995-10《偏微分方程》课程大纲061B0090 偏微分方程 2.0Partial differential equations 2.0-0.0预修课程：（多元函数）微积分，常微分方程，复变函数面向对象：一年级至四年级本科生（其中一年级本科生安排在夏季学期）一、教学目的与基本要求：让学生掌握偏微分方程的基本概念、基本理论和典型的求解方法，能用所掌握的知识来解决科学和工程技术研究中出现的简单偏微分方程问题，为后续专业课的学习作必要的数学准备。
二、主要内容及学时分配：1．方程的建立与方程的一些概念 4学时方程的一般概念经典方程的导出、定解条件和定解问题、二阶线性方程的分类；2．行波法 4学时一维波动方程的初值问题、一维波动方程的半无界问题；3．固有值问题与特殊函数 8学时正交函数系与广义Fourier级数、Sturm-Liouville固有值问题、Bessel方程与Bessel函数、Legendre方程与Legendre多项式；4．分离变量法 6学时波动方程初边值问题、热传导方程初边值问题、二维Laplace方程及Poisson方程的边值问题、非齐次问题的处理；5．积分变换法 4学时Fourier变换、Fourier变换的应用；6．Green函数 6学时Green公式、Green函数、Laplace方程的Dirichlet问题；三、相关教学环节安排：课堂教学为主，由任课教师根据教学内容、教学进度安排课后习题；适当安排课外辅导时间。
《偏微分方程》课程教学大纲
《偏微分方程》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：16002102课程名称：偏微分方程英文名称：Partial Differential Equations课程类别：专业课学时：32学分： 2适用对象: 数学与应用数学、信息与计算科学考核方式：考查先修课程：数学分析、常微分方程、高等代数二、课程简介偏微分方程是以建立数学模型、进行理论分析和解释客观现象并进而解决实际问题为内容的一门数学分支学科，是现代数学的一个重要分支。
它在微分几何、物理学、计算数学和计算机图形学、金融数学等学科中都有许多重要应用。
本课程主要内容包括：偏微分方程的基本概念，二阶方程的特征理论和分类，分离变量法，双曲型、抛物型及椭圆型方程的求解方法及基本理论。
通过本课程的学习使学生初步认识如何从实际问题出发建立微分方程模型，培养学生分析问题和解决某些实际问题的能力，为日后的学习和工作打下坚实的基础，提供强有力的工具。
Partial differential equation is a branch of mathematics that establishes mathematical models, analyzes and interprets objective phenomena and then solves practical problems, is an important branch of modern mathematics. It also has many important applications in differential geometry, physics, computational mathematics and computer graphics, financial mathematics and other disciplines. The main contents of this course include: the basic concept of partial differential equation, the characteristic theory and classification of the second order equations, the method of separation of variables, the methods of solving hyperbolic，parabolic and elliptic equations and the basic theory of them. Through learning of this course makes students to know how to establish a differential equation model starting from the practical problems, to cultivate students' ability to analyze problems and solve some practical problems, lay a solid foundation for future study and work and provide a powerful tool.三、课程性质与教学目的课程性质：专业选修教学目的：偏微分方程是数学专业的一门重要专业课程。
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《偏微分方程》课程大纲
一、课程简介
教学目标：
“偏微分方程”是重要的数学基础课程，它在数学的其它分支和自然科学与工程技术中的广泛应用是众所周知的。
本课程将尽可能地结合物理背景，系统地对几类典型方程数学结构、求解方法、解的性质以及物理意义进行详细阐述，为学生日后的学习和工作打下坚实的基础，提供强有力的工具，并为进一步了解和应用现代偏微分方程的有关内容提供重要帮助。
主要内容：
1. 了解几类典型方程及其定解条件的物理背景
2．掌握方程的分类及其化简方法
3. 熟练掌握各类方程的求解方法（包括具有普适性的方法，如分离变量法,Fourier变换法和
Green函数法等，以及针对某类方程的特定方法，如特征线法）
4. 会用一些基本方法（如能量积分法、极值原理等）讨论解的性质并掌握解的重要性质
二、教学内容(其中带*的部分可能随堂调整)
第一章引论
主要内容：
1、偏微分方程简介
a)偏微分方程的历史、现状和用途
b)什么是偏微分方程？介绍有关偏微分方程基本概念和研究内容
c)例子：简单而多样的例子帮助学生初步了解偏微分方程
2、二阶线性偏微分方程的分类和特征理论
a)两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与化简，椭圆型、双曲型和抛物型的
标准形式与典型例子，混合型方程
b)多个自变量的二阶线性偏微分方程方程的分类及其例子
c)二阶线性方程的特征理论*
3、四类典型方程的数学模型：包括波动方程、热传导方程、调和方程、和一阶方程
4、其他预备知识：线性方程的叠加原理、Sturm-Liouville原理*
重点与难点：通过化标准型将二阶方程进行分类、特征的概念（这是偏微分方程中最基本也是最重要的概念）、各类方程及其定解条件的物理意义
第二章波动方程
主要内容：
1、弦振动方程Cauchy问题的存在性：D’Alembert求解公式，传播波，依赖区域、决
定区域和影响区域，特征线法（行波法）的其他应用和例子，Duhamel齐次化原理
及其物理解释
2、弦振动方程初边值问题的存在性：分离变量法求解齐次问题及解的存在性讨论，分
离变量法求解的物理意义，多种边界条件的例子，非齐次方程的情形，非齐次边界
条件的情形，高维波动方程分离变量法的例子
3、高维波动方程Cauchy问题的求解：三维波动方程的球平均法，二维波动方程的降
维法
4、波的传播与衰减：依赖区域、决定区域和影响区域，Huygens原理与波的弥散，波
动方程解的长时间性态
5、能量不等式与唯一性和稳定性：初边值问题解的唯一性和稳定性，Cauchy问题解的
唯一性和稳定性
重点与难点：
针对于波动方程：特征线与特征锥、特征线方法、波的有限传播速度；
适用于各种方程的普遍方法：能量积分方法、分离变量法
第三章热传导方程
主要内容：
1、求解初边值问题的分离变量法：一维情形，高维的例子
2、Cauchy问题解的存在性：Fourier变换及其基本性质，用Fourier变换法求解Cauchy
问题及解的存在性讨论，Fourier变换法的其他应用
3、极值原理与唯一性和稳定性：有界区域的极值原理，无界区域的极值原理，初边值
问题解的唯一性和稳定性，Cauchy问题解的唯一性和稳定性
4、解的渐近性态：初边值问题解的渐近性态，Cauchy问题解的渐近性态
重点与难点：Fourier变换方法、极值原理、关注与波动方程的区别
第四章调和方程
主要内容：
1、调和函数的基本性质：Green公式，Neumann问题解的自由度与可解性条件，调和
方程的基本解，变分原理、基本积分公式，平均值定理，极值原理、边值问题解的
唯一性和稳定性
2、Green函数：定义和性质，用静电源像法求一些特殊区域的Green函数，一般单连
通区域的Green函数，用Green函数法求解调和方程与Poisson方程
3、调和函数的进一步性质―――Harnack定理，可去奇点定律，解析性定理、强极值
原理、Neumann边值问题解的唯一性。
重点与难点：Green函数、调和方程解的性质，关注与波动方程、热传导方程的区别
第五章三类方程的总结与比较
主要内容：
1、定解问题提法的比较
2、解的性质的比较：解的光滑性，解的极值性质，影响区域与依赖区域，关于时间的
反演，解的渐近性态等
3、解的先验估计：热传导方程与Poisson方程解的最大模估计，一般的二阶线性双曲、
抛物和椭圆型方程解的能量估计
重点与难点：通过三类方程的比较进一步加深对三类方程定解问题的理解
第六章一阶偏微分方程（组）理论简介
主要内容：
1、一阶偏微分方程组的例子
2、两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论：特征方程与特征线，分类，严
格双曲组的对角化
3、两个自变量的线性双曲型方程组的Cauchy问题：化为积分方程组，存在性与唯一
性，对初值的连续依赖性，依赖区域、影响区域和决定区域
4、两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题：广义Cauchy问题，Goursat问题，
一般角状域上的边值问题等
5、幂级数解法与柯西－柯瓦列夫斯卡娅定理*
6、非线性偏微分方程和激波理论初步*
重点与难点：两个自变量的一阶线性双曲型方程组的特征理论与Cauchy问题
四、课程考核及说明
最终成绩由平时成绩、考试成绩(含期中和期末考试)组合而成。
各部分所占比例如下：
平时成绩：30% （作业、思考题和上课参与程度）。
主要考核对知识点的掌握程度、口头及文字表达能力、分析解决问题、创造性工作、处理信息等方面的能力。
考试成绩：70%（期中占20～30%，期末占40～50%）。
主要考核对偏微分的基本原理和方法的掌握以及用分析的方法处理问题的能力
五、教材与参考书
教材：《数学物理方程》（第二版），谷超豪、李大潜、陈恕行、郑宋穆、谭永基，高等教育出版社，2002年
参考书目：
1．《Partial Differential Equations: An Introduction》，Walter Strauss, John Wiley & Sons, Inc: New York,1992
2．《Partial Differential Equations》，Lawrence C. Evans,
3．《偏微分方程》，F. John编，朱汝金译，科学出版社，1986
4．《数学物理方程讲义》（第二版），姜礼尚，陈亚浙，刘西垣、易法槐，高等教育出版社，1996。