1.2 直角三角形 第2课时教案

一、情境导入

舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．

(1)你能帮他想个办法吗？

(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？

工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？

二、合作探究

探究点：直角三角形全等的判定

【类型一】 应用“HL ”证明三角形全等

如图，已知∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB ＝CD ，BE ＝CF .

求证：Rt △ABF ≌Rt △DCE .

解析：由题意可得△ABF 与△DCE 都为直角三角形，由BE ＝CF 可得BF ＝CE ，然后运用“HL ”即可判定Rt △ABF 与Rt △DCE 全等．

证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE .∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABF 与△DCE 都

为直角三角形．在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝CE ，

AB ＝CD ，

∴Rt △ABF ≌Rt △DCE (HL)．

方法总结：利用“HL ”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．

【类型二】 利用“HL ”证明线段相等

如图，已知AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD ＝AF ，AC ＝AE .求证：

BC ＝BE .

解析：根据“HL ”证Rt △ADC ≌Rt △AFE ，得CD ＝EF ，再根据“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △ABF ，得BD ＝BF ，最后证明BC ＝BE .

证明：∵AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且AD ＝AF ，AC ＝AE ，∴Rt △ADC ≌Rt △AFE (HL)．∴CD ＝EF .∵AD ＝AF ，AB ＝AB ，∴Rt △ABD ≌Rt △ABF (HL)．∴BD ＝BF .∴BD －CD ＝BF －EF .即BC ＝BE .

方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决．直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．

【类型三】 利用“HL ”证明角相等

如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ，求证：∠1＝∠2.

解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt △ABC ≌Rt △ADC ，进而得出角相等．

证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B ＝∠D ＝90°，∴△ABC 与△ACD 为直角三角形．在Rt △ABC

和Rt △ADC 中，∵⎩

⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，

AC ＝AC ，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL)，∴∠1＝∠2.

方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．

【类型四】 利用“HL ”解决动点问题

如图，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝20，BC ＝10，PQ ＝AB .P ，Q 两点分别在线

段AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AM 上运动，且点P 不与点A ，C 重合．那么当点P 运动到什么位置时，才能使△ABC 与△APQ 全等？

解析：本题要分情况讨论：①Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝10，可据此求出P 点的位置．②Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合，不合题意．

解：根据三角形全等的判定方法HL 可知：①当P 运动到AP ＝BC 时，∵∠C ＝∠QAP ＝90°，∴在Rt △ABC 与Rt △QP A 中，AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QP A (HL)，即AP ＝BC ＝10；②当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC ，不合题意．综上所述，当点P 运动到距离点A 为10时，△ABC 与△APQ 全等．

方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．

【类型五】 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等

如图，CD ⊥AB 于D 点，BE ⊥AC 于E 点，BE ，CD 交于O 点，且AO 平分∠BAC .求证：OB

＝OC .

解析：已知BE ⊥AC ，CD ⊥AB 可推出∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°，由AO 平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据AAS 证得△AOD ≌△AOE ，△BOD ≌△COE ，即可证得OB ＝OC .

证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°.∵AO 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2.在△AOD 和△AOE 中，∵⎩⎪⎨⎪

⎧∠ADC ＝∠AEB ，∠1＝∠2，OA ＝OA ，

∴△AOD ≌△AOE (AAS)，∴OD ＝OE .在△BOD 和△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪

⎧∠BDC ＝∠CEB ，OD ＝OE ，∠BOD ＝∠COE ，∴△BOD ≌△

COE (ASA)．∴OB ＝OC .

方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL ”外，还有SSS 、SAS 、ASA 、AAS. 三、板书设计

一、选择题:

1. 两个直角三角形全等的条件是( )

A.一锐角对应相等;

B.两锐角对应相等;

C.一条边对应相等;

D.两条边对应相等

2. 如图,∠B=∠D=90°，BC=CD ，∠1=30°，则∠2的度数为( ) A. 30° B. 60° C. 30°和60°之间 D. 以上都不对

3. 如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的 依据是( )

A. AAS

B.SAS

C.HL

D.SSS

4. 已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和 △DEF 全等的是( )

A.AB=D E,AC=DF

B.AC=EF,BC=DF

C.AB=DE,BC=EF

D.∠C=∠F,BC=EF

5. 如图,AB ∥EF ∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( ) A.5对; B.4对; C.3对; D.2对

6. 要判定两个直角三角形全等,下列说法正确的有( )

①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等. A.6个 B.5个 C.4个 D.3个

1

2A B

C

D

第2题图 第5题图 第7题图 第8题图

7. 如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△的是（ ） A ．CB CD = B ．BAC DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠ D ．90B D ==︒∠∠

8. 如图，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，下列能使△ABD≌△ACD 的条件是（ ） A ． A B=AC B ． ∠BAC=90° C ． B D=AC D ． ∠B=45°

二、填空题:

B A

E

F

C

D