函数的应用-课件ppt

解法二：
在同一坐标系中作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的图象， 如右图所示，由图象可知h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)有且只有 一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2与x轴有且只有一个交点， 即函数f(x)仅有一个零点．
规律总结：判断函数零点个数的主要方法： (1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点． (2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从 而判定零点的个数． (3)结合单调性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b) 上零点的个数． (4)转化成两个函数图象的交点问题．
生义”，认为零点就是一个点．
[正解] 解方程x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以选D. [总结] 函数的零点是一个实数，是使f(x)＝0成立的实数 x，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
易错点二 判断零点个数时出现逻辑错误 5 求函数f(x)＝x2－5x＋6在[1,4]上的零点个数．
3．函数零点的判定定理
条件 函数y＝f(x)在[a，b]上
(1)图象是_____连__续___不_的断曲线 (2)f(a)f(b) _____0＜
结论
y＝f(x)在(a，b) 内有零点
[名师点拨] 判断函数y＝f(x)是否存在零点的方法： (1)方程法：判断方程f(x)＝0是否有实数解． (2)图象法：判断函数y＝f(x)的图象与x轴是否有交点． (3)定理法：利用零点的判定定理来判断．
[思路分析] 零点不是一个点，而是函数图象与x轴交点的 横坐标，零点是一值．
[正解] 1、5 由题意，得x2－6x＋5＝0，解得x＝1或x＝5， ∴函数的零点是1,5.
1
函数f(x)＝x2－3x＋2的零点是( )
A．(1,0)
B．(2,0)
C．(1,0)，(2,0)
D．1,2
[错解] C
[错因分析] 错解的原因是没有理解零点的概念，“望文
3 判断函数f(x)＝x－3＋lnx的零点的个数．
[解析] 解法一：在同一平面直角 坐标系中画出函数y＝lnx，y＝－x＋3的 图象，如右图所示．
由图可知函数y＝lnx，y＝－x＋3的 图象只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋ lnx只有一个零点．
解法二：因为 f(3)＝ln3>0，f(2)＝－1＋ln2＝ln2e<0，所以 f(3)·f(2)<0，说明函数 f(x)＝x－3＋lnx 在区间(2,3)内有零点．
函数的应用
1.1.1 集合的概念
函数与方程
1.1.1 集合的概念
方程的根与函数的零点
1.1.1 集合的概念
1
预习导学
3 随堂测评
2
互动课堂
预习导学
●课标展示 1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系． 2．会求函数的零点． 3．掌握函数零点存在的条件，并会判断函数零点的个 数．
●温故知新
∴函数在[1,4]上有两个零点．
[错因分析] 对于错解一，是错误地类比零点存在定理， f(a)·f(b)>0时，(a，b)中的零点情况是不确定的，而错解二出现 了逻辑错误，当f(a)·f(b)<0时，(a，b)中存在零点，但个数不确 定．
[思路分析] 要想准确地判断函数零点的个数，要么把它 们全部求出来，要么利用函数图象来判断，这才是正确的方 法．
方程的根的个数
Δ＞0
2 2
Δ＝0
1 1
Δ＜0
0 0
2.函数的零点 (1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使__f(_x_)_＝__0___成立的实 数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与_x_轴__的交点的__横__坐__标__ 就是函数y＝f(x)的零点． (3)结论：方程f(x)＝0有_实__数__根___⇔函数y＝f(x)的图象与x 轴有_交__点__⇔函数y＝f(x)有_零__点__． [名师点拨] 并非所有的函数都有零点，例如，函数f(x)＝ x2＋1，由于方程x2＋1＝0无实数根，故该函数无零点．
3．函数y＝2x2－8x＋1的对称轴为_x_＝__2__，顶点坐标为 ___(_2_，__－__7_) _ ．
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新知导学 1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系
函数图象
判别式符号(设判 别式 Δ＝b2－4ac) 与 x 轴交点个数
2 判断函数零点所在的区间
2 (2013～2014广东中山模拟)函数f(x)＝ex＋x－2
的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
[分析] 函数零点附近函数值的符号相反，可据此求解．
[解析] 因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又 f(－2)＝e－2－4<0，f(－1)＝e－1－3<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－ 1>0，f(2)＝e2>0，所以f(0)·f(1)<0，故函数的零点所在的一个 区间是(0,1)．
规律总结： 1.正确理解函数的零点： (1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值 等于零． (2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的 根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方 程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔方 程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
求下列函数的零点． (1)f(x)＝4x－3； (2)f(x)＝x2－3x＋2； (3)f(x)＝2x； (4)f(x)＝log2(x＋1)． [分析] 根据函数零点的定义，令y＝0，解出定义域内的x 就是零点．
[解析] 函数零点就是相应方程的实数根，可用求根公式 或分解因式求解．
(1)由 4x－3＝0 得 x＝34，零点是34. (2)f(x)＝0，即(x－1)(x－2)＝0， ∴f(x)零点为 1 和 2. (3)函数 y＝2x 没有零点． (4)函数 y＝log2(x＋1)的零点是 x＝0.
[答案] C
规律总结：判断函数零点所在区间的方法 一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入 函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的 难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判 断．
(2013～2014中原名校高一期中)函数f(x)＝lnx＋2x－6的零
点所在的一个区间是( )
2．函数零点的求法： (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的 交点的横坐标即为函数的零点．
1 (1)指出下列函数的零点： ①f(x)＝x2－2x－3零点为________． ②g(x)＝lgx＋2零点为________． (2) 已 知 － 1 和 4 是 函 数 f(x) ＝ ax2 ＋ bx － 4 的 零 点 ， 则 f(1) ＝ ________.
[答案] (1)①3，－1 ②1100 (2)－6
[解析] (1)①f(x)＝(x－3)(x＋1)的零点为 3 和－1， ②由 lgx＋2＝0 得，lgx＝－2，∴x＝1100. 故 g(x)的零点为1100. (2)由条件知ff4－＝10＝0 ，∴a16－ab＋－44b＝ －04＝0 ， ∴ab＝ ＝1－3 ，∴f(1)＝a＋b－4＝－6.
3．函数 f(x)＝x－x 1的零点是(
)
A．(1,0)
B．0
C．1
D．0 和 1
[答案] C
[解析] 令x－x 1＝0，解得 x＝1，则函数 f(x)的零点是 1.
4．函数f(x)＝x2＋x－b2的零点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．无数
[答案] C
[解析] ∵一元二次方程x2＋x－b2＝0的根的判别式Δ＝1
[正解] 由题意，得x2－5x＋6＝0， ∴x＝2，x＝3， ∴函数的零点是2,3 ∴函数在[1,4]上的零点的个数是2.
函数 f(x)＝2－ 4－x2(x∈[－1,1])的零点个数为________．
[错解] 因为 f(－1)＝2－ 3＞0，f(1)＝2－ 3＞0，所以函 数没有零点，故填 0.
A．(1,2)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．(4,5)
[分析]
计算f1，f2，f3， f4与f5的值，并 判断它们的符号
→
若满足fa·fb＜0， 则零点在区间a，b内
[答案] B [解析] 因为f(1)＝ln1＋2×1－6＝－4＜0，f(2)＝ln2＋ 2×2－6＜ln e2－2＝0，f(3)＝ln3＋2×3－6＝ln3＞0，f(4)＝ln4 ＋2×4－6＝2ln2＋2＞0，f(5)＝ln5＋2×5－6＝ln5＋4＞0，所 以f(2)·f(3)＜0，又函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，故 函数f(x)的零点所在的一个区间是(2,3).
[分析]
函数零点个数的判断 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
[解析] 解法一：因为f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋ lg3 － 2≈2.48>0 ， 所 以 由 函 数 零 点 存 在 性 判 定 定 理 知 ， f(x) 在 (0,2)上必定存在零点．
又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，故f(x) ＝0有且只有一个实根，即函数f(x)仅有一个零点．
又 f(x)＝x－3＋lnx 在(0，＋∞)内是增函数，所以原函数只 有一个零点．
●误区警示 易错点一 混淆了零点与点的概念
4 函数f(x)＝x2－6x＋5的零点是________． [错解] (1,0)，(5,0) 由题意，得x2－6x＋5＝0，∴x＝1，x＝5， ∴函数的零点是(1,0)和(5,0)． [错因分析] 该解法中混淆了零点与点的概念．
●自我检测
1．已知二次函数y＝x2－x－1，则使y＝0成立的实数x有
()
A．0个
B．1个
C．2个
D．无数个
[答案] C [解析] 判别式Δ＝1＋4＝5＞0，则方程x2－x－1＝0有两
个不等式的实数根，即使y＝0成立的实数x有2个．
2．已知函数y＝f(x)有零点，下列说法不正确的是( ) A．f(0)＝0 B．方程f(x)＝0有实根 C．函数f(x)的图象与x轴有交点 D．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的实数根 [答案] A
[错因分析] 由于f(x)在定义域内是大于等于0的，所以该 题不宜用零点的存在性定理求解．
[正解] 令 2－ 4－x2＝0，解得 x＝0，所以函数仅有一个 零点，故填 1.
[总结] 当函数y＝f(x)的图象在闭区间[a，b]上是一条连续 不 断 的 曲 线 ， 但 是 不 满 足 f(a)·f(b) ＜ 0 时 ， 函 数 y ＝ f(x) 在 区 间 (a，b)内可能存在零点，也可能不存在零点．
＋4b2＞0，∴函数f(x)＝x2＋x－b2有2个零点．
5．函数f(x)＝kx－2x在(0,1)上有零点，则实数k的取值范围 是________．
[答案] (2，＋∞) [解析] f(0)＝－1，f(1)＝k－2，由于f(0)·f(1)＜0，则－(k －2)＜0，故k＞2.
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●典例探究
求函数的零点
随堂测评
1．下列函数的图象中没有零点的是( )
[答案] D [解析] 从图中观察知，只有D中函数图象与x轴没有交 点，故选D. [规律总结] 根据函数零点的概念，函数有零点，即函数 的图象与x轴有交点．函数图象与x轴有几个交点，函数就有几 个零点．
2．函数 f(x)＝－2x＋m 的零点为 4，则实数 m 的值为( )
[错解] 错解一：由题意，得f(1)＝2>0，f(4)＝2>0，因此 函数f(x)＝x2－5x＋6在[1,4]上没有零点，即零点个数是0.
错解二：∵f(1)＝2>0，f(2.5)＝－0.25<0，∴函数在(1,2.5) 内有一个零点；
又∵f(4)＝2>0，f(2.5)＝－0.25<0，∴函数在(2.5，4)内有 一个零点，
旧知再现 1．方程2x＋1＝0的根为x＝_x_＝__－__12__，函数y＝2x＋1与x轴
的交点为__(－__12_，__0_)__ ．
2．方程x2－2x－3＝0的根为_x_1＝__－__1_，__x_2_＝__3__ ；函数y＝x2 －2x－3与x轴的交点为_(_－__1_,0_)_，__(_3_,0_)__ ．