七年级数学《乘法公式》课件
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浙江省浦江县第四中学七年级数学下册 3.4 乘法公式课件1 (新版)浙教版
1)左边为两个数的和与差的积,右边为两个 数的平方差
2)有些式子通过适当变形实质上能用公式 3)公式中的a和b可以是数,也可以是整改建一个 边长为 a(m)的正方形养鸡场, 计划纵向扩大3m,横向缩短 3m,改建为长方形养鸡场.问 改建后的养鸡场面积有没有 变化?如果有变化,变化多少?
练习2： 运用平方差公式计算:
1 、 ( 2a 3b)( 2a
2
3b)
2
( 2a) ( 3b) 2a 3b
2 2
2、5678×5680-56792 =(5679-1)(5679+1)-56792 =56792 -1 -56792 = -1
运用平方差公式计算:
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(24-1)(24+1)(28+1)+1 =(28-1)(28+1)+1 =216-1+1 =216
5米
(X+5)米
x 米
5米
(X-5)米
(1) (a+2) (a-2) =? (2) (3-x)(3+x) = ? (3) (2m+n)(2m-n) = ?
观察以上算式，你发现了什么规律？
运算出结果，你又发现了什么？ (a+b)(a-b) = a2-b2
两数和与这两数差的积， 等于这两数的平方差。
(a+b)(a-b)
= a2-b2
《乘法公式》PPT课件教学课件初中数学1
分析： (a+b)2
(a−b)2
4ab
(a+b)2 =a2+2ab+b2
a2+b2
(a−b)2
=a2−2ab+b2 ab=？
巩固练习
练习 已知(a+b)2=7，(a−b)2=3，求a2+b2的值.
解： ∵ ( a + b ) 2= a 2+ 2 a b + b 2，
(a−b)2=a2−2ab+b2，
(a±b)2 = a2±2ab+b2. (a±b)2=a2±2ab+b2． (a+b)(a−b)=a2−b2. 平方差公式：(a+b)(a−b) =a2−b2. 例 运用乘法公式计算： (a+b)(a−b) =a2−b2； = x4−8x2y2+16y4； x2+y2= (x−y)2+2xy 例 运用乘法公式计算： 两数和的完全平方公式： 乘法交换律： a×b=b×a. (1) (x+y+1)(x+y−1)
例题讲解
例 求代数式的值：
(2) 已知x−y=6，xy=−8，求x2＋y2的值.
分析： x−y , xy
x2＋y2
(x−y)2=x2−2xy+y2
x2+y2= (x−y)2+2xy
例题讲解
例 求代数式的值： (2) 已知x−y=6，xy=−8，求x2＋y2的值. 解： ∵ ( x − y ) 2= x 2− 2 x y + y 2，
= x2+6xy+9y2−x2+9y2
4.灵活运用公式：
= x2+6xy+9y2−(x2−9y2)
乘法公式 第一课时-数学七年级下册同步教学课件(冀教版)
(2)(3a－4b)(－4b－3a)＝(－4b)2－(3a)2＝16b 2－9a 2.
(3)
3 4
a
1 3
b
3 4
a
1 3
b
3 4
a
2
1 3
2
b
9 16
a2
1 9
b2 .
(4)
a2
1 2
b2
a2
1 2
b2
a2
2
1 2
b2
2
a4
1 4
b4 .
2 解下列方程：
(1)4x 2＋x－(2x－3)(2x＋3)＝1 ； (2)2(x＋3)(3－x )＋2x＋2x 2＝20. 解：(1)4x 2＋x－(2x－3)(2x＋3)＝1，
(2)你发现了什么规律？请用含有字母的式子表示出来.
解：(2)(2n－1)(2n＋1)＝4n 2－1(n 为正整数)．
4 运用平方差公式计算：(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1).
解：(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1) ＝(22－1)(22＋1)(24＋1) ＝(24－1)(24＋1) ＝28－1 ＝256－1 ＝255.
所以a 2－b 2＝(a－b)(a＋b)＝2×16＝32.
5 已知2a 2＋3a－6＝0，求式子3a (2a＋1)－(2a＋1)(2a－1)的值．
解：原式＝6a 2＋3a－4a 2＋1＝2a 2＋3a＋1， 因为2a 2＋3a－6＝0，所以2a 2＋3a＝6.
所以原式＝7.
6 探究活动： (1)如图①，可以求出阴影
(2)395×405.
解：(1)998×1 002＝(1 000－2)×(1 000＋2)＝1 0002－22
七年级数学下册第2章整式的乘法2.2乘法公式教学课件新版湘教版
3.计算： （1）202×198；
（2）49.8×50.2.
答案：（1）39996；（2）2499.96.
我思 我进步
通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴 交流。
2.2.2 完全平方公式
思考
计算下列各式，你能发现什么规律： ( a+1 )2=( a+1 )( a+1 )=a2+a+a+12=a2+2·a·1+12， ( a+2 )2=( a+2 )( a+2 )=a2+2a+2a+22=a2+2·a·2+22， ( a+3 )2=( a+3 )( a+3 )=a2+3a+3a+32=a2+2·a·3+32， ( a+4 )2=( a+4 )( a+4 )=a2+4a+4a+42=a2+2·a·4+42. 我们用多项式乘法来推导一般情况： ( a+b )2=( a+b )=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.
（2）1982.
解：（1）1042=( 100+4 )2 （2）1982=( 200-2 )2
= 1002+2×100×4+42
= 2002-2×200×2+22
= 10000+800+16
= 40000-800+16
= 10816.
= 39204.
练习
1.运用完全平方公式计算： （1）( -2a+3 )2； （3）( -x2-4y )2；
苏科版数学七年级下册乘方公式--完全平方公式课件
9.4 乘法公式（1） ——完全平方公式
学习目标： 1．会推导完全平方公式 2. 并能运用公式进行简单的计算；
一、阅读教材第75--76页的内容，并完成下列问题：
1、如果把它看成一个大正方形，那么它的
a
面积为__（__a_+_b_)_2 ______.
b
2、如果把它看成是由2个小长方形和2个小
正方形组成，那么它的面积为_a_2_+_2a_b_+_b_2.
=12a-36
3
a
四、拓展延伸：
1.如果x2+kxy+9y2是一个完全平方式，那么常数k=
；
+6 √
±6
-6 √
变式训练：
若x2+2(m-3)x+16是关于x的完全平方式，则m=
；
分析：2(m-3)=±8 ∴2(m-3)=8或2(m-3)=-8 ∴m=7 或 -1
四、拓展延伸： 2.已知：完全平方式：(六个式子需要整理到书上） 由（a+b)2=a2+2ab+b2可得：a2+b2=（a+b)2-2ab...① 由（a-b)2=a2-2ab+b2可得：a2+b2=（a-b)2+2ab...② 由①、②可得：（a+b)2=（a-b)2+4ab...③
=4x2-28xy+49y2;
(-2a-5)2=[(-2a）-5]2
逆用去括号的法则：
(-2a-5)2=[-(2a+5）]2=(2a+5）2
二、典型例题： 例3：计算： （1）9982；
（2）20012.
解：（1） 9982 ＝(1000-2)2
学习目标： 1．会推导完全平方公式 2. 并能运用公式进行简单的计算；
一、阅读教材第75--76页的内容，并完成下列问题：
1、如果把它看成一个大正方形，那么它的
a
面积为__（__a_+_b_)_2 ______.
b
2、如果把它看成是由2个小长方形和2个小
正方形组成，那么它的面积为_a_2_+_2a_b_+_b_2.
=12a-36
3
a
四、拓展延伸：
1.如果x2+kxy+9y2是一个完全平方式，那么常数k=
；
+6 √
±6
-6 √
变式训练：
若x2+2(m-3)x+16是关于x的完全平方式，则m=
；
分析：2(m-3)=±8 ∴2(m-3)=8或2(m-3)=-8 ∴m=7 或 -1
四、拓展延伸： 2.已知：完全平方式：(六个式子需要整理到书上） 由（a+b)2=a2+2ab+b2可得：a2+b2=（a+b)2-2ab...① 由（a-b)2=a2-2ab+b2可得：a2+b2=（a-b)2+2ab...② 由①、②可得：（a+b)2=（a-b)2+4ab...③
=4x2-28xy+49y2;
(-2a-5)2=[(-2a）-5]2
逆用去括号的法则：
(-2a-5)2=[-(2a+5）]2=(2a+5）2
二、典型例题： 例3：计算： （1）9982；
（2）20012.
解：（1） 9982 ＝(1000-2)2
11.2 乘法公式(第1课时 平方差公式)(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)
图①，阴影部分的面积是 a2－ b2
；比较图①，图②阴影部分的面积，可以
得到乘法公式 ( a ＋ b )( a － b )＝ a2－ b2
课堂小结
5 −3 − 2 3 − 2
6 − 2 + 2 + 2 − 2 +
=（-2x-3 ）（-2x+3）
=x²-（2y）²+（2x）²-y²
=（-2x）²-3²
= x²-4y ²+4x²-y²
=4x²-9
=5x²-5 y²
分层练习-基础
1. 下列各式能用平方差公式计算的是( B
= 42 − 92 .
课本例题
例2
计算：
（1） − + 1 − − 1 ;
解（1）（ − + 1 − − 1
= − 2 − 12
= 2 − 1.
2 2 − 3 −2 − 3
2 2 − 3 −2 − 3
= −3 + 2 −3 − 2
=
( − 3)
2
− ( 2)
1. 计算：
（1） 2 + 5 2 − 5 ;
解： 1 2 + 5 2 − 5
= 2 ²- 5²
=4²-25
1 2 1
+
2
3
3
3
1 2 1
+
2
3
1
2
1 4
1
−
4
9
1 2 1
−
;
2
3
1 2 1
−
2
3
1
3
= （ 2 ）²−（ ）²
=
2 1 − 2 1 + 2
；比较图①，图②阴影部分的面积，可以
得到乘法公式 ( a ＋ b )( a － b )＝ a2－ b2
课堂小结
5 −3 − 2 3 − 2
6 − 2 + 2 + 2 − 2 +
=（-2x-3 ）（-2x+3）
=x²-（2y）²+（2x）²-y²
=（-2x）²-3²
= x²-4y ²+4x²-y²
=4x²-9
=5x²-5 y²
分层练习-基础
1. 下列各式能用平方差公式计算的是( B
= 42 − 92 .
课本例题
例2
计算：
（1） − + 1 − − 1 ;
解（1）（ − + 1 − − 1
= − 2 − 12
= 2 − 1.
2 2 − 3 −2 − 3
2 2 − 3 −2 − 3
= −3 + 2 −3 − 2
=
( − 3)
2
− ( 2)
1. 计算：
（1） 2 + 5 2 − 5 ;
解： 1 2 + 5 2 − 5
= 2 ²- 5²
=4²-25
1 2 1
+
2
3
3
3
1 2 1
+
2
3
1
2
1 4
1
−
4
9
1 2 1
−
;
2
3
1 2 1
−
2
3
1
3
= （ 2 ）²−（ ）²
=
2 1 − 2 1 + 2
11.2 乘法公式(第4课时 乘法公式的应用)(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)
解：原式＝9－ a 2 －( a － a 2 )＋ a
＝9－ a 2 － a ＋ a 2 ＋ a
＝9，
∴式子(－ a ＋3)( a ＋3)－ a (1－ a )＋ a 的值与 a 的取值无关.
5. [2024承德期末]若 x － ＝3，求 x2＋
解：∵ x － ＝3，
∴
−
∴ x2＋
沪教版（2024）七年级数学上册 第十一章 整式的乘除
11.2 乘法公式
第4课时 乘法公式的应用
目录/CONTENTS
学习目标
情景导入
新知探究
分层练习
课堂反馈
课堂小结
学习目标
1. 熟练运用公式求代数式的值和计算，提高学生解决问题的能
力．（重难点）
2．通过探究过程，使学生了解“特殊—一般”的认识规律，体会数
已知实数 m ， n 满足(2 m2＋ n2＋1)(2 m2＋ n2－1)＝80，
试求2 m2＋ n2的值.
解：设2 m2＋ n2＝ t ，则原方程变为( t ＋1)( t －1)＝80，
整理得 t2－1＝80，∴ t2＝81，
∴ t ＝±9，
∵2 m2＋ n2≥0，
∴2 m2＋ n2＝9.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在
+ −
2
2
= 22 + 2 2 ,
+
2
= 9, +
2
这样， 2 + 2 =
当 +
2
+ −
2
2Leabharlann = 2 − 2 + 2 ，
＝9－ a 2 － a ＋ a 2 ＋ a
＝9，
∴式子(－ a ＋3)( a ＋3)－ a (1－ a )＋ a 的值与 a 的取值无关.
5. [2024承德期末]若 x － ＝3，求 x2＋
解：∵ x － ＝3，
∴
−
∴ x2＋
沪教版（2024）七年级数学上册 第十一章 整式的乘除
11.2 乘法公式
第4课时 乘法公式的应用
目录/CONTENTS
学习目标
情景导入
新知探究
分层练习
课堂反馈
课堂小结
学习目标
1. 熟练运用公式求代数式的值和计算，提高学生解决问题的能
力．（重难点）
2．通过探究过程，使学生了解“特殊—一般”的认识规律，体会数
已知实数 m ， n 满足(2 m2＋ n2＋1)(2 m2＋ n2－1)＝80，
试求2 m2＋ n2的值.
解：设2 m2＋ n2＝ t ，则原方程变为( t ＋1)( t －1)＝80，
整理得 t2－1＝80，∴ t2＝81，
∴ t ＝±9，
∵2 m2＋ n2≥0，
∴2 m2＋ n2＝9.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在
+ −
2
2
= 22 + 2 2 ,
+
2
= 9, +
2
这样， 2 + 2 =
当 +
2
+ −
2
2Leabharlann = 2 − 2 + 2 ，
11.2 乘法公式(第2课时 完全平方公式)(教学课件)-2024-25学年七年级数学上册(沪教版)
长为( B
)
A. 9 cm
B. 8 cm
C. 7 cm
D. 6 cm
10. [新考法·整体代入法 2024·成都锦江区模拟] 若( x －1)2＝2，
则代数式3 x2－6 x －5＝
－2
.
11. [2023成都武侯区期末]如图，从边长为 a ＋4的正方形纸片中剪去一个边长为
a 的正方形( a ＞0)，将剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形(不重叠无缝
－ bc － ac 的值吗？试求出这个值.
【解】当 a ＝2 023， b ＝2 024， c ＝2 025时，
原式＝ [( a － b )2＋( b － c )2＋( c － a )2]＝ ×(1＋1＋4)＝3.
14. “任意一个个位数字是5的自然数，平方后的末两位数(即十位数字和个位数
+ ( )
4
4
3
3
1 2 1
4 2
=
− + .
16
3
9
4 ൫− 3 + 23 )2 ;
2
4 ( − 3 + 2 3 )
2
2
= ( − 3 ) + 2 ⋅ −3 ⋅ 2 3 + (23 )
= 6 − 43 3 + 4 6 .
课堂练习
5 2 + 3 2 − 3 4 2 − 9 ;
5 2 + 3 2 − 3 4 2 − 9
= 4 2 − 9 4 2 − 9
2
= (4 2 ) − 2 ⋅ 4 2 ⋅ 9 + 92
= 16 4 − 72 2 + 81.
6 + − 2.
)
A. 9 cm
B. 8 cm
C. 7 cm
D. 6 cm
10. [新考法·整体代入法 2024·成都锦江区模拟] 若( x －1)2＝2，
则代数式3 x2－6 x －5＝
－2
.
11. [2023成都武侯区期末]如图，从边长为 a ＋4的正方形纸片中剪去一个边长为
a 的正方形( a ＞0)，将剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形(不重叠无缝
－ bc － ac 的值吗？试求出这个值.
【解】当 a ＝2 023， b ＝2 024， c ＝2 025时，
原式＝ [( a － b )2＋( b － c )2＋( c － a )2]＝ ×(1＋1＋4)＝3.
14. “任意一个个位数字是5的自然数，平方后的末两位数(即十位数字和个位数
+ ( )
4
4
3
3
1 2 1
4 2
=
− + .
16
3
9
4 ൫− 3 + 23 )2 ;
2
4 ( − 3 + 2 3 )
2
2
= ( − 3 ) + 2 ⋅ −3 ⋅ 2 3 + (23 )
= 6 − 43 3 + 4 6 .
课堂练习
5 2 + 3 2 − 3 4 2 − 9 ;
5 2 + 3 2 − 3 4 2 − 9
= 4 2 − 9 4 2 − 9
2
= (4 2 ) − 2 ⋅ 4 2 ⋅ 9 + 92
= 16 4 − 72 2 + 81.
6 + − 2.
湘教版七年级数学下册第二章《运用乘法公式进行计算》课件
（1）(a+b+c)2； 解：(a+b+c)2
= [(a+b)+c]2
方公式呢？ （2）(a+b-c)2. 解：(a+b-c)2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
= [(a+b)-c]2
= a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
= (a+b)2-2(a+b)c+c2 = a2+2ab+b2-2ac-2bc+c2
湘教版数学七年级（下）
本节内容
2.2.3 运用乘法公式进行计算
我们已经学了哪些乘法公式？
（1） 平方差公式:
(a+b)（a-b）= a²-b²
（2）完全平方公式：
（a+b）2 = a²+2ab+b²
（a-b）²= a²-2ab+b² 注意： 公式中的 a 与 b既可以是数 ，又可以是单项式 和 多项式.
解：原式=(x+1)(x-1)(x2+1) 解：原式=〔(a+3)(a-3)〕2
平 方 差
= （x2-1)(x2 +1 ) = x4-1 平方差公
式
= （a2-9）2 平方差公 = a4-18a+81 式
公
式 （3）(x+y+4)(x+y-4)
完全平方公式
解：原式= [(x+y）+4] [（x+y）-4]
3、灵活应用公式进行求值计算.
乘法公式 第二课时-数学七年级下册同步教学课件(冀教版)
归纳
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a－b)2＝a2－2ab＋b2.
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍． 这两个等式分别叫做两数和、两数差的完全平方公式.
例1 计算：
(1) (x+3y )2；
(2)
1 3
ab
cm
2
;
(3) (－4a－3b)2 .
解：(1) (x+3y )2 = x 2+2x (3y )+(3y )2 =x 2+6xy+9y 2 .
导引：对于(1)可分别利用完全平方公式计算，再合并
同类项；对于(2)可以把底数(a－b)、(a＋b)分别
看成一个整体，然后逆用积的乘方法则进行计算； 对于(3)先利用平方差公式计算前两个因式的积， 再利用完全平方公式进行计算．
解：(1)原式＝4x 2－4x＋1－(9x 2＋6x＋1) ＝4x 2－4x＋1－9x 2－6x－1 ＝－5x 2－10x；
m
2
；
(6)
2 x
1 3
2
y
.
解： (1)(1＋a)2＝1＋2a＋a 2.
(2)(2a－1)2＝4a 2－4a＋1.
(3)(3a＋b)2＝9a 2＋6ab＋b 2.
(4)
2n
1 4
2
4n2
n
1 16
.
(5)
2n
2 3
2
m
4n2
8 3
n
4 9
m2.
(6)
2 x
1 3
y
2
4x2
4 3
b
形成四块实验田，以种植
不同的新品种(如图).
3.4乘法公式 课件3(数学浙教版七年级下册)
2 2
. .
=(___)2+2(___)(___)+(___)2= 由(3)得两数差的完全平方公式： 请用文字叙述两。
4.用两数差的完全平方公式计算: (1) (a-1)2=(___)2-2(___)(___)+(___)2= (2) (2a-3b)2=(___)2-2(___)(___)+(___)2=
.
例1.用完全平方公式计算: (1) (x+3y)2 (2) (2a-3)2
(3) (-3s+t)2
(4) (-4x-3y)2
例2.选择适当的公式计算： (1)（2x-1)(-1+2x) (2) (-2x-y)(2x-y)
(3) (-a+5)(-a-5)
(4) (ab-1)(-ab+1)
例3：一花农有两块正方形茶花苗圃, 边长分别为30.1m,29. 现将这两块苗圃的边长都增加1.3m. 求各苗圃的面积分别增加了多少平方米.
1. 如图，大正方形的边长为a+b. 请用两种不同的方法计算这个大正方形的面积. 你发现了什么代数公式？
2.请用多项式与多项式相乘的法则推导
(a b) a 2ab b
2 2
2
两数和的完全平方公式： 请用文字叙述两数和的完全平方公式：
.
zxxkw
3.用两数和的完全平方公式计算(填空): (1) (a+1)2=(___)2+2(___)(___)+(___)2= (2) (2a+3b)2=(___)2+2(___)(___)+(___)2= (3) (a b) a (b)
冀教版七年级下册数学精品教学课件 第八章 整式的乘法 乘法公式 第2课时 完全平方公式 (2)
b有什么关系？它的符号与什么有关？
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 (2)(x -y)2 =x2 -y2
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
×
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 × (-x +y)2 =x2 -2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × (2x +y)2 =4x2+4xy +y2
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43. 7.已知x+y=8,x-y=4,求xy. 解：∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①;
∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②; 由①-②得 4xy=48 ∴xy=12.
课堂小结
法则
完全平方 注 意 公式
＝1002－400＋4－1002＋1＝－395； (2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152
＝(2016－2015)2＝1.
例3 已知x－y＝6，xy＝－8.求: (1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值. 解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，
(x－y)2＝x2＋y2－2xy， ∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
(2) 992. 992 = (100 –1)2
=13;1
=10404.
=9801.
方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟 记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全 平方公式的形式．
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 (2)(x -y)2 =x2 -y2
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
×
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 × (-x +y)2 =x2 -2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × (2x +y)2 =4x2+4xy +y2
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43. 7.已知x+y=8,x-y=4,求xy. 解：∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①;
∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②; 由①-②得 4xy=48 ∴xy=12.
课堂小结
法则
完全平方 注 意 公式
＝1002－400＋4－1002＋1＝－395； (2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152
＝(2016－2015)2＝1.
例3 已知x－y＝6，xy＝－8.求: (1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值. 解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，
(x－y)2＝x2＋y2－2xy， ∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
(2) 992. 992 = (100 –1)2
=13;1
=10404.
=9801.
方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟 记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全 平方公式的形式．
江苏省徐州市王杰中学七年级数学下册课件：9.4乘法公式 第3课时(共10张PPT)
（3）2a bb 2a a 3b2
(3)(2a b)(b 2a) (a 3b)2
解：原式 (b 2a)(b 2a) (a 3b)2先构造出平方差的形式
b2 4a2 (a2 6ab 9b2 ) 进行平方差完全平方计 算
9.4 乘法公式（3）
做一做
例1 计算：
（1）x 3x 3x2 9
（2）2x 32 2x 32
（3）2a bb 2a a 3b2
做一做
例1 计算：
（1）x 3x 3x2 9
（2）2x 32 2x 32
想一想
如何运用完全平方公式计算 (a b c)2 ？
（1）把 (a b) 看成一个整体，
(a b c)2 = (a b) c2
（2）把 (a c)看成一个整体，
(a b c)2 = (a c) b2
（3）把 (b c) 看成一个整体，
(a b c)2 = a (b c)2
（3）2a bb 2a a 3b2
(1) (x 3)( x 3)( x2 9)
将第一个因式与第二个因式计 算，可运用平方差公式计算得
解：原式 (x2 9)( x2 9)
到 (x2 9) ，
(x2)2 92
x4 81
再与 (x2 9) 相乘，将看成一 个整体，运用平方差公式计
b2 4a2 a2 6ab 9b2 去括号
5a2 6ab 8b2
合并同类项
议一议 如何计算 (x y 4)(x y 4) ？
将 (x y) 看成一个整体a
想一想
计算：
(3)(2a b)(b 2a) (a 3b)2
解：原式 (b 2a)(b 2a) (a 3b)2先构造出平方差的形式
b2 4a2 (a2 6ab 9b2 ) 进行平方差完全平方计 算
9.4 乘法公式（3）
做一做
例1 计算：
（1）x 3x 3x2 9
（2）2x 32 2x 32
（3）2a bb 2a a 3b2
做一做
例1 计算：
（1）x 3x 3x2 9
（2）2x 32 2x 32
想一想
如何运用完全平方公式计算 (a b c)2 ？
（1）把 (a b) 看成一个整体，
(a b c)2 = (a b) c2
（2）把 (a c)看成一个整体，
(a b c)2 = (a c) b2
（3）把 (b c) 看成一个整体，
(a b c)2 = a (b c)2
（3）2a bb 2a a 3b2
(1) (x 3)( x 3)( x2 9)
将第一个因式与第二个因式计 算，可运用平方差公式计算得
解：原式 (x2 9)( x2 9)
到 (x2 9) ，
(x2)2 92
x4 81
再与 (x2 9) 相乘，将看成一 个整体，运用平方差公式计
b2 4a2 a2 6ab 9b2 去括号
5a2 6ab 8b2
合并同类项
议一议 如何计算 (x y 4)(x y 4) ？
将 (x y) 看成一个整体a
想一想
计算：
乘法公式——完全平方公式(课件)七年级数学下册课件(浙教版)
= a2+2ab +b2 -2ac -2bc +c2
= 4x2-25y2+30y-9.
= a2+b2+c2 +2ab -2bc -2ac.
例5 若式子 x2+(m+7)x+25 是完全平方式，则m的值是______．
解：∵
式子x2+(m+7)x+25
是完全平方式，
∴ x2+(m+7)x+25 = x2±10x+25=（x±5)2 ,
(1)用多项式乘法证明：
(a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2
(a-b)2 =(a-b)(a-b) =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2
将(ɑ-b)2看成[ɑ+(-b)]2
转化
思想
[ɑ+(-b)]2
= ɑ2 +2ɑ(-b) +(-b)2
(2) 借助几何图形证明：
故选B.
2.已知 a,b 满足a2+b2-4a-6b+13=0,求(2a+b)(2a-b)-(b-2a)2的值.
解：(1) (2a+b)(2a-b)-(b-2a)2
= 4a2 - b2 - (b2 - 4ab + 4a2)
= 4a2 - b2 - b2 + 4ab - 4a2
= 4ab - 2b2 ,
注意
2.不能直接应用公式进行计算
的式子，需要先添括号变形
3.弄清完全平方公式和平方差
公式的不同点（从公式结构特
乘法公式的综合应用课件
乘法公式的综合应用课件
• 乘法公式基础 • 乘法公式在数学中的应用 • 乘法公式在实际生活中的应用 • 乘法公式的扩展应用 • 乘法公式的注意事项与陷阱
01
乘法公式基础
乘法交换律
总结词
乘法交换律是指两个数的乘积不改变，只改变它们的排列顺 序。
详细描述
乘法交换律是基本的数学定理之一，表示乘法满足交换律， 即无论两个数的排列顺序如何，它们的乘积都是相同的。例 如，a × b = b × a。
概率问题
概率的基本性质
在概率论中，乘法公式可以用来计算两个事件同时发生的概率。例如，A和B同时发生的概率是$P(A cap B) = P(A) times P(B | A)$。
贝叶斯定理
在贝叶斯定理中，乘法公式是一个重要的工具，它可以用来计算条件概率。例如，在给定事件A发生的条件下， 事件B发生的概率是$P(B | A) = frac{P(A cap B)}{P(A)}$。
矩阵乘法的本定义
矩阵乘法是线性代数中的一种基本运算，它按照一定的规则将两个矩阵
相乘，得到一个新的矩阵。
02
矩阵乘法的规则
矩阵乘法需要满足结合律、交换律和分配律，并且要求第一个矩阵的列
数等于第二个矩阵的行数。
03
矩阵乘法的计算方法
矩阵乘法需要按照一定的顺序逐步计算，首先计算前两行第一列的元素
，然后计算前两行第二列的元素，以此类推，直到得到整个结果矩阵。
乘法公式在资源分配中也有着重要的应用， 它可以用来计算每个项目或部门所需的资源 量，从而实现资源的合理分配。
详细描述
在资源分配中，需要将有限的资源合理地分 配给各个项目或部门。利用乘法公式，可以 更准确地计算出每个项目或部门所需的资源 量，从而实现资源的合理分配。
• 乘法公式基础 • 乘法公式在数学中的应用 • 乘法公式在实际生活中的应用 • 乘法公式的扩展应用 • 乘法公式的注意事项与陷阱
01
乘法公式基础
乘法交换律
总结词
乘法交换律是指两个数的乘积不改变，只改变它们的排列顺 序。
详细描述
乘法交换律是基本的数学定理之一，表示乘法满足交换律， 即无论两个数的排列顺序如何，它们的乘积都是相同的。例 如，a × b = b × a。
概率问题
概率的基本性质
在概率论中，乘法公式可以用来计算两个事件同时发生的概率。例如，A和B同时发生的概率是$P(A cap B) = P(A) times P(B | A)$。
贝叶斯定理
在贝叶斯定理中，乘法公式是一个重要的工具，它可以用来计算条件概率。例如，在给定事件A发生的条件下， 事件B发生的概率是$P(B | A) = frac{P(A cap B)}{P(A)}$。
矩阵乘法的本定义
矩阵乘法是线性代数中的一种基本运算，它按照一定的规则将两个矩阵
相乘，得到一个新的矩阵。
02
矩阵乘法的规则
矩阵乘法需要满足结合律、交换律和分配律，并且要求第一个矩阵的列
数等于第二个矩阵的行数。
03
矩阵乘法的计算方法
矩阵乘法需要按照一定的顺序逐步计算，首先计算前两行第一列的元素
，然后计算前两行第二列的元素，以此类推，直到得到整个结果矩阵。
乘法公式在资源分配中也有着重要的应用， 它可以用来计算每个项目或部门所需的资源 量，从而实现资源的合理分配。
详细描述
在资源分配中，需要将有限的资源合理地分 配给各个项目或部门。利用乘法公式，可以 更准确地计算出每个项目或部门所需的资源 量，从而实现资源的合理分配。
人教版初中数学乘法公式完整版课件
类型五 巧用乘法公式定个位数字 8．求(2 －1)(2 ＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)＋1 的个位数 字． 解：原式＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)＋1＝(24－1)(24 ＋1)(28＋1)…(232＋1)＋1＝264－1＋1＝264；∵21＝2，22＝4，23＝8， 24＝16，个位数按照2，4，8，6依次循环，而64＝16×4，∴原式的 个位数为6
•
7.家具的主体建构中所占比例较大。 建筑中 的木构 是梁柱 系统， 家具中 的木构 是框架 系统， 两个结 构系统 之间同 样都靠 榫卯来 连接， 构造原 理相同 。根据 建筑物 体积、 材质、 用途等 方面的 不同， 榫卯呈 现出不 同的连 接构建 方式。
•
8.正是在大米的哺育下，中国南方地 区出现 了加速 度的文 明发展 轨迹。 河姆渡 文化之 后，杭 嘉湖地 区兴盛 起来的 良渚文 化，在 东亚大 陆率先 迈上了 文明社 会的台 阶，成 熟发达 的稻作 农业是 其依赖 的社会 经济基 础。
感谢观看，欢迎指导！
类型六 巧用乘法公式解决实际问题 9．解放街幼儿园有一块游戏场和一个葡萄园，所占地的形状都是 正方形，面积也相同，后来重新改建，扩大了游戏场，缩小了葡萄 园，扩大的游戏场仍为正方形，边长比原来增多了3米，缩小后的 葡萄园也为正方形，边长比原来减少了2米，设它们原来的边长均 为x米，请表示出扩大后的游戏场比缩小后的葡萄园的面积多多少 平方米，并计算当x＝12时的值． 解：(x＋3)2－(x－2)2＝x2＋6x＋9－x2＋4x－4＝10x＋5，当x＝12 时，原式＝120＋5＝125
•
9.考查对文章内容信息的筛选有效信 息的能 力。这 类试题 ，首先 要明确 信息筛 选的方 向，即 挑选的 范围和 标准， 其次要 对原文 语句进 行加工 ，用凝 练的语 言来作 答。
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(a+b)(a-b)
=
a2 -
2
ab + ba - b
=
a2
-
2
b
現在我們四種乘法 公式都學過啦， 一起複習一下吧！
10
二項式乘積公式： (a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd 和的完全平方公式：
（a+b)2 = a2 + 2ab +b2 差的完全平方公式：
（a-b)2 = a2 - 2ab +b2 平方差公式：
a-b
（a-b)2 =
a 2b -
2ab
+b 2
這個公式是怎麼來的呢a2 -？ab
2
+b
-ab
a-b
(讓（請注我a-意們b看）2用圖形以中下淺的黃色圖部形分來的=面說a2積-明2變a：化b )+b2
ab a
b
ab
b2 b
（a-b)2 = a2 - 2ab +b2
7
差的(完全)平方公式：
同樣的，我們也用代數的方式來證明一次
a2
ab a
(a+b)2= a2 +2ab +b2
讓我們用左邊的
ab
b2 b
圖形來說明
5
和的(完全)平方公式：
我們可以用代數的方式得到同樣的結果
(a+b)(a+b) = a 2 + ab + ba + b2 = a 2 + 2ab + b2
= a2 ab
ab
b2
a2 + ab ba + b2
6
差的(完全)平方公式：
3
二項式乘積公式：
由乘法對加法的分配律，我們可以得到以下的式子
(a+b)(c+d) = ac + ad + bc+ bd
ac bc
ac
bc
ad
bd
Hale Waihona Puke adbd4和的(完全)平方公式：
若將二項式成績公式中的
a
b
c用a代換，d用b代換 我們可以得到以下的結果
(a+b)(ac+bd)= aac + abd + bac + bbd = a2 + ab + ba + b2
(a-b)(a-b) = a 2 - ab - ba + b2 = a 2 - 2ab + b2
瞭解了嗎 ？
8
平方差公式：
a
(a+b)(a-b) =
a2- b2
b
a+b
這個公式是怎麼來的呢？
讓我們用以下的圖形來說明：
a-b
a2a2- b2
(a+b)(a-b) =b2a2- b2
9
平方差公式：
同樣的，我們也用代數的方式來證明一次
a
這個公b式是怎麼我來們的可呢以用？兩種方式來
讓我們用以下的圖表形示來大說長方明形：的面積：
用原長方形的長×寬來算
ac
bc
c 長×寬＝ （a+b）（c+d）
甲 ad
乙
丙 bd d
丁
用（甲+ 乙+ 丙+ 丁）的面 積來算 （甲+ 乙+ 丙+ 丁）的面積 ＝ ac + ad + bc + bd
（a+b）（c+d）= ac + ad + bc + bd
(a+b)(a-b) = a2- b2
11
乘法公式
1
乘法公式
二項式乘積公式： (a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd 和的完全平方公式：
（a+b)2 = a2 + 2ab +b2 差的完全平方公式：
（a-b)2 = a2 - 2ab +b2 平方差公式：
(a+b)(a-b) = a2- b2
2
二項式乘積公式：
（a+b)(c+d）= ac + ad + bc + bd