1.3 简单的逻辑连结词-王后雄学案

1.3 简单的逻辑联结词

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考点知识清单

1．“p 且q ”就是用联结词“ ① ”把命题p 和命题q 联结起来，得到的新命题．

2．“p 或q ”就是用联结词“ ② ”把命题p 和命题q 联结起来，得到的新命题．

3．对一个命题p ③ ，得到的新命题，记作ip ，读作“ ④ ”或“ ⑤ ”．

4．已知p 、q 的真假时，常用下列表格判断“p 且q ”“p 或q ”“非p ”的真假．

要点核心解读

一、逻辑联结词“且”

1．定义：用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作,q p ∧读作”，且q p

其中符号“∧”读作“合取”．

2．判断命题“p 且q”的真假：当p 、q 都是真命题时，“p 且q”为真命题；当p 、q 两个命题中只要有一个命题为假命题时，“p 且q”就为假命题．

[注意]．逻辑联结词“且”与集合中“交集”的概念有关，与A x x B A x ∈=∈|{

且}B x ∈中的“且”意义相同，即”“A x ∈”“B x ∈这两个条件都要满足，

举一个与“且”有关的实际例子：电子保险门在“钥匙插入”且“密码正确”两个条件都满足时，才会开启，相应的电路，就叫与门电路．

二、逻辑联结词“或”

1．定义：用逻辑联结词“或”把命题 p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作,q p ∨读

作“p 或q”，其中符号“∨”读作“析取”．

2．判断命题“p 或q”的真假：当p 、q 两个命题中，只要有一个命题为真命题时，“p 或q”就为真命题；当p 、q 两个命题都为假命题时，“p 或q”为假命题．

[注意] 对“或”的理解，可联想并集的概念，”“B A x ∈是指”“A x ∈或”“B x ∈其中至少有一

个是成立的，即为”“A x ∈且”B x ∉还可以为A x ∉且”B x ∈也可以为”“A x ∈且”B x ∈逻辑联结词中

的“或”的含义与“并集”中的“或”的含义是一致的，它们都不同于生活用语中的“或”的含义，生活

用语中的“或”表示“不兼有”，例如“你去图书馆或去游泳馆”，两者不可能同时发生；再如，日常生活中，我们认为“苹果是长在树上或长在地里”这句话是不妥的，而我们在数学中所研究的“或”则表示“可兼有但不必须兼有”，由“或”联结两个命题p 和q 构成的复合命题“p 或q ”，在“p 真q 假”“p 假q 真”“p 真q 真”时，“p 或q ”都为真．

三、逻辑联结词“非”

1．定义：对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作,p ⌝读作“非p”或“p 的否定”．

2．判断命题p ⌝的真假：若p 为真命题，则p ⌝必为假命题；若p 为假命题，则p ⌝必为真命题．

3．对“非”的理解，可联想集合中补集的概念，若将命题p 对应集合P ，则命题“非p”就对应集合P 在全集U 中的补集.P C U 例如，“0.5是非整数”是对命题“0.5是整数”进行否定而得出的新命题，一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，下面把常用的一些词语和它的否定词语对照列表如下：

[注意] (1)“都是”的否定词是“不都是”；“一定是”的否定词是“一定不是”，而不是“不一定是”．在逻辑中，“一定”只是个语气词，不能对它否定．

(2)“p 且q ”的否定为”，

或且（“)()()q p q p ⌝⌝=⌝“且”变为“或”；“p 或q ”的否定为)q p 或（“⌝”，

且)()(q p ⌝⌝=“或”变为“且”． (3)“命题的否定”与“否命题”：这是两个完全不同又极易混淆的概念，命题的否定是,,p ⌝形式的命题，它已经不再是简单命题的形式了，它是复合命题；而否命题是对条件和结论分别都进行了否定，如果原命题是简单命题，那么它的否命题仍是简单命题．命题的否定的真假与原来的命题相反，而否命题的真假与原命题无关．

四、复合命题

1．定义

一般地，把不含逻辑联结词的命题称为简单命题，简单命题是不含其他命题作为其组成部分（在结构上不能再分解成其他命题）的命题．由简单命题和逻辑联结词所构成的命题称为复合命题．

[注意] 判断一个命题是简单命题还是复合命题时，不能只从字面上看有没有“或”“且”“非”，如“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线重合”，此命 题字面上无“且”，但可改成“等腰三角形的顶角平分线既是底边上的中线又是底边上的高线”，所以它是复合命题；又如“5的倍数的末位数字不是0就是5”，此命题字面上无“或”，但它也是复合命题．

2．复合命题的真假判定

判断复合命题的真假，可按如下步骤进行：(1)确定复合命题的构成形式；(2)判断其中简单命题的真假；(3)根据其真值表判断复合命题的真假．

复合命题的真值表：

[注意] 我们可以把上面的真值表概括为：对于“p 或q ”形式的复舍命题“有真必真”，即命题p 与命题q 两个命题只要有一个为真命题，复合命题“p 或q ”就是真命题；对于“ p 且g ”形式的复合命题“有假必假”，即命题p 与命题q 两个命题只要有一个为假命题，复合命题“p 且q ”就是假命题；对于“非p ”形式的复合命题“真假相反”， 即p 真则“非p ”假，p 假则“非P ”真.

典例分类剖析

考点1复合命题的构成

命题规律

1．用逻辑联结词“或”“且”“非”构成一个复合命题．

2．分析一个复合命题的构成部分，

[例1] 分别写出由下列命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p”形式的新命题．

(l)p:π 是无理数，q:e 不是无理数．

(2)p ：方程0122=++x x 有两个相等的实数根，q ：方程0122

=++x x 两根的绝对值相等．

(3)p ：正△ABC 三内角都相等，q ：正△ABC 有一个内角是直角．

[答案] (l)p 或q ：π 是无理数或e 不是无理数．p 且g ：π是无理数且e 不是无理数，非p:π不是无理数．

(2)p 或q ：方程0122=++x x 有两个相等的实数根或两根的绝对值相等．

p 且q ：方程0122=++x x 有两个相等的实数根且两根的绝对值相等．

非p ：方程0122=++x x 没有两个相等的实数根．

(3)p 或q ：正△ABC 三内 角都相等，或有一个内角是直角；

p 且q ：正△ABC 三内角都相等，且有一个内角是直角；

非p ：正△ABC 三个内角不都相等：

[点拨] 解答这类问题，应先用逻辑联结词将两个简单命题连起来，再用数学语言综合叙述．注意在写否命题时，否定词语必须添加在正确位置上．检验由简单命题构成复合命题是否正确的依据是：构成后的复合命题的真假漫．否符合真值表．

母题迁移 1．分别写出由下列各组命题构成的“p 或q”“p 且q”，“非p”形式的新命题，并判断其真假．

(1)p ：3是9的约数，q ：3是18的约数．

(2)p ：菱形的对角线一定相等．

q ：菱形的对角线互相垂直．

(3)p ：方程012=-+x x 的两实根符号相同．

q ：方程012=-+x x 的两实根绝对值相等．

(4)p: π是有理数，q ：π是无理数．

[例2] 判断下列命题中是否含有逻辑联结词“且”“或”“非”，若含有，请指出其中p 、q 的基本命题．(1)菱形的对角线互相垂直平分；