1.3 简单的逻辑连结词-王后雄学案

1.3 简单的逻辑联结词教材知识检索考点知识清单1．“p 且q ”就是用联结词“ ① ”把命题p 和命题q 联结起来，得到的新命题．2．“p 或q ”就是用联结词“ ② ”把命题p 和命题q 联结起来，得到的新命题．3．对一个命题p ③ ，得到的新命题，记作ip ，读作“ ④ ”或“ ⑤ ”．4．已知p 、q 的真假时，常用下列表格判断“p 且q ”“p 或q ”“非p ”的真假．要点核心解读一、逻辑联结词“且”1．定义：用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作,q p ∧读作”，且q p其中符号“∧”读作“合取”．2．判断命题“p 且q”的真假：当p 、q 都是真命题时，“p 且q”为真命题；当p 、q 两个命题中只要有一个命题为假命题时，“p 且q”就为假命题．[注意]．逻辑联结词“且”与集合中“交集”的概念有关，与A x x B A x ∈=∈|{且}B x ∈中的“且”意义相同，即”“A x ∈”“B x ∈这两个条件都要满足，举一个与“且”有关的实际例子：电子保险门在“钥匙插入”且“密码正确”两个条件都满足时，才会开启，相应的电路，就叫与门电路．二、逻辑联结词“或”1．定义：用逻辑联结词“或”把命题 p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作,q p ∨读作“p 或q”，其中符号“∨”读作“析取”．2．判断命题“p 或q”的真假：当p 、q 两个命题中，只要有一个命题为真命题时，“p 或q”就为真命题；当p 、q 两个命题都为假命题时，“p 或q”为假命题．[注意] 对“或”的理解，可联想并集的概念，”“B A x ∈是指”“A x ∈或”“B x ∈其中至少有一个是成立的，即为”“A x ∈且”B x ∉还可以为A x ∉且”B x ∈也可以为”“A x ∈且”B x ∈逻辑联结词中的“或”的含义与“并集”中的“或”的含义是一致的，它们都不同于生活用语中的“或”的含义，生活用语中的“或”表示“不兼有”，例如“你去图书馆或去游泳馆”，两者不可能同时发生；再如，日常生活中，我们认为“苹果是长在树上或长在地里”这句话是不妥的，而我们在数学中所研究的“或”则表示“可兼有但不必须兼有”，由“或”联结两个命题p 和q 构成的复合命题“p 或q ”，在“p 真q 假”“p 假q 真”“p 真q 真”时，“p 或q ”都为真．三、逻辑联结词“非”1．定义：对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作,p ⌝读作“非p”或“p 的否定”．2．判断命题p ⌝的真假：若p 为真命题，则p ⌝必为假命题；若p 为假命题，则p ⌝必为真命题．3．对“非”的理解，可联想集合中补集的概念，若将命题p 对应集合P ，则命题“非p”就对应集合P 在全集U 中的补集.P C U 例如，“0.5是非整数”是对命题“0.5是整数”进行否定而得出的新命题，一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，下面把常用的一些词语和它的否定词语对照列表如下：[注意] (1)“都是”的否定词是“不都是”；“一定是”的否定词是“一定不是”，而不是“不一定是”．在逻辑中，“一定”只是个语气词，不能对它否定．(2)“p 且q ”的否定为”，或且（“)()()q p q p ⌝⌝=⌝“且”变为“或”；“p 或q ”的否定为)q p 或（“⌝”，且)()(q p ⌝⌝=“或”变为“且”． (3)“命题的否定”与“否命题”：这是两个完全不同又极易混淆的概念，命题的否定是,,p ⌝形式的命题，它已经不再是简单命题的形式了，它是复合命题；而否命题是对条件和结论分别都进行了否定，如果原命题是简单命题，那么它的否命题仍是简单命题．命题的否定的真假与原来的命题相反，而否命题的真假与原命题无关．四、复合命题1．定义一般地，把不含逻辑联结词的命题称为简单命题，简单命题是不含其他命题作为其组成部分（在结构上不能再分解成其他命题）的命题．由简单命题和逻辑联结词所构成的命题称为复合命题．[注意] 判断一个命题是简单命题还是复合命题时，不能只从字面上看有没有“或”“且”“非”，如“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线重合”，此命 题字面上无“且”，但可改成“等腰三角形的顶角平分线既是底边上的中线又是底边上的高线”，所以它是复合命题；又如“5的倍数的末位数字不是0就是5”，此命题字面上无“或”，但它也是复合命题．2．复合命题的真假判定判断复合命题的真假，可按如下步骤进行：(1)确定复合命题的构成形式；(2)判断其中简单命题的真假；(3)根据其真值表判断复合命题的真假．复合命题的真值表：[注意] 我们可以把上面的真值表概括为：对于“p 或q ”形式的复舍命题“有真必真”，即命题p 与命题q 两个命题只要有一个为真命题，复合命题“p 或q ”就是真命题；对于“ p 且g ”形式的复合命题“有假必假”，即命题p 与命题q 两个命题只要有一个为假命题，复合命题“p 且q ”就是假命题；对于“非p ”形式的复合命题“真假相反”， 即p 真则“非p ”假，p 假则“非P ”真.典例分类剖析考点1复合命题的构成命题规律1．用逻辑联结词“或”“且”“非”构成一个复合命题．2．分析一个复合命题的构成部分，[例1] 分别写出由下列命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p”形式的新命题．(l)p:π 是无理数，q:e 不是无理数．(2)p ：方程0122=++x x 有两个相等的实数根，q ：方程0122=++x x 两根的绝对值相等．(3)p ：正△ABC 三内角都相等，q ：正△ABC 有一个内角是直角．[答案] (l)p 或q ：π 是无理数或e 不是无理数．p 且g ：π是无理数且e 不是无理数，非p:π不是无理数．(2)p 或q ：方程0122=++x x 有两个相等的实数根或两根的绝对值相等．p 且q ：方程0122=++x x 有两个相等的实数根且两根的绝对值相等．非p ：方程0122=++x x 没有两个相等的实数根．(3)p 或q ：正△ABC 三内 角都相等，或有一个内角是直角；p 且q ：正△ABC 三内角都相等，且有一个内角是直角；非p ：正△ABC 三个内角不都相等：[点拨] 解答这类问题，应先用逻辑联结词将两个简单命题连起来，再用数学语言综合叙述．注意在写否命题时，否定词语必须添加在正确位置上．检验由简单命题构成复合命题是否正确的依据是：构成后的复合命题的真假漫．否符合真值表．母题迁移 1．分别写出由下列各组命题构成的“p 或q”“p 且q”，“非p”形式的新命题，并判断其真假．(1)p ：3是9的约数，q ：3是18的约数．(2)p ：菱形的对角线一定相等．q ：菱形的对角线互相垂直．(3)p ：方程012=-+x x 的两实根符号相同．q ：方程012=-+x x 的两实根绝对值相等．(4)p: π是有理数，q ：π是无理数．[例2] 判断下列命题中是否含有逻辑联结词“且”“或”“非”，若含有，请指出其中p 、q 的基本命题．(1)菱形的对角线互相垂直平分；(2)2是4和6的约数；(3)不等式0652>+-x x 的解为x>3或x<2． [答案]（1）是“p 且q ”形式的命题，其中p ：菱形的对角线互相垂直；q ：菱形的对角线互相平分.(2)是“p 且q ”形式的命题，其中P ：是4的约数；q:2是6的约数．(3)是简单命题，而不是用“或”联结的复舍命题“不等式0652>+-x x 的解为x>3或不等式 0652>+-x x 的解为x<2”，因为前者（原命题）是真命题，而后者（用“或”联结的复合命题）是假命题．[感悟] 对于用逻辑联结词“或”“且”“非”联结的新命题的结构特点不能仅从字面上看它是否含有“且”“或”“ 非 ”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题，如“四边相等且四角相等的由速形是正方形”不是“且”联结的新命题，因为它是真命题，而用“且”联结的命题“四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题．事实上，它 是一个复合条件的简单命题．母题迁移 2．分别指出下列复合命题的形式及构成的简单命题．(1)李明是老师，赵山也是老师；(2)1是合数或质数；(3)他是运动员兼教练员；(4)这些文学作品不仅艺术上有缺点，而且语法上也有错误，考点2复合命题真假的判定命题规律1．判定一个复合命题的真假．2．利用真值表进行逻辑推理．[例3] 指出下列命题的真假．(1)不等式Ix +2{≤0没有实数解；(2) -1是偶数或奇数；2)3(属于集合Q ，也属于集合R ；).()4(B A A ⊆/[答案] (1)此命题是”“p ⌝的形式，其中p ：不等式+x |0|2≤有实数解，因为2-=x 是该不等式的一个解，所以命题p 为真命题，即p ⌝为假命题，所以原命题为假命题．(2)此命题是,,q p ∨的形式，其中p ：-1是偶数；q ：-1是奇数．因为命题P 为假命题，命题q 为真命题，所以”∨“q p 为真命题，故原命题为真命题． (3)此命题是“”∧q p 的形式，其中.2:p 属于集合2:;q Q 属于集合R ．因为命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以“”∧q p 为假命题，故原命题为假命题．(4)此命题是”“p ⌝的形式，其中),(:B A A p⊆因为p 为真命题，所以p ⌝为假命题，故原命题为假命题，母题迁移 3．（2010年全国高考题）已知命题:1p 函数x x y --=22在R 内为增函数；:2p 函数 x x y -+=22在R 内为减函数．则在命题：∧和∨∧∨14213212211:)(:,:,:p q p p q p p q p p q ⌝)(2p ⌝中，真命题是( )． 42413231,..........,.......,........,q q D q q C q q B q q A ⋅⋅⋅⋅[例4] 以下判断是否正确：(1)命题_p 和q 都是简单命题，那么：①命题p 真，则命题“p 且q”一定真；②命题p 假，则命题“p 且q”不一定假；③命题 “P 且q”真，则命题p 一定真；④命题“p 或q”假，则命题p 一定假．(2)命题“p 或q”与命题“p 且q”都是真命题，那么：①命题q 一定是真命题；②命题q 不一定是真命题；③命题p 不一定是真命题；④命题p 与q 真假相同．(3)命题“p 或g”与命题“p 且q”都是假命题，那么：①命题“非p”与命题“非q ”真假不同；②命题“非p”与命题“非q”至少有一个是假命题；③命题“非p 且非q”是真命题；④命题q 与命题“非p”真假相同．[答案] (1) ∵对于“p 且q”一假必假，∴①②错，③正确，而对于“p 或q”一真必真，因此④正确．(2) ∵p 或q”与“p 且q”都是真命题，∴p 与q 均为真命题，．．，①④正确，②③错误． ．(3)∵ p 或q”与“p 且q”都是假命题，∴p 与q 均为假命题，而“p ⌝”的真假相反．因此①②④错，③正确 .[点拨] 解答这类逻辑推理问题关键在于充分利用真值表进行分析，也就是由给出复合命题的真假情况，利用真值表逆向思考，从而推断出组成复合命题的简单命题的真值情况，再判断相关命题正确与否． 母题迁移 4．是否存在同时满足下列三个条件的命题p 和命题q?若存在，试构造出一组这样的命题；若不存在，请说明理由．,,)1(q p ∨⋅为真；(2),,q p ∧为假；(3)”“p ⌝为假， 考点3 命题的否定与否命题命题规律1．“命题的否定”与？否命题”的辨析．2. 准确地写出一个命题的否命题．[例5] 写出下列命题的否定形式和否命题：(1)若,0=abc 则a 、b 、c 中至少有一个为零；(2)若.,022=+y x 则x 、y 全为零；(3)等腰三角形有两个内角相等；(4)自然数的平方是正数．[答案] (1)否定形式：若abc =O ，则a 、b 、c 全不为零；否命题：若abc ≠0，则a 、b 、c 全不为零．(2)否定形式：若,022=+y x 则x 、y 不全为零；否命题：若,022=/+y x 则x 、y 不全为零．(3)否定形式：等腰三角形的任意两个内角都不相等；否命题：不是等腰的三角形的任意两个内角都不相等.(4)否定形式：自然数的平方不是正数；否命题：不是自然数的数的平方不是正数．[辨析] 命题的否定(即p ⌝）与否命题是容易混淆的两个概念，准确把握它们之间的联系与区别． (1) 区别：①概念：命题的否定形式是直接对命题进行否定；而否命题则是原命题的条件和结论分别否定后所组成的命题．②构成：对于“若p ，则q ”形式的命题，其否定形式为“若p ，则q ⌝”也就是不改变条件，而否定结论；而其否命题则为“若q p ⌝⌝则,”,也就是条件和结论都否定．③真值：否定命题的真值与原命题相反；而否命题的真值与原命题无关．(2)联系：①它们都是把原命题的条锌或结论否定后组成的新命题．②它们在否定过程中，对其正面叙述的词语的否定叙述都是一样的（如“至多有一个”的否定为“至少有两个”）.母题迁移 5．写出下列命题的否定形式和命题的否命题：(1)若a>b ，则;22->-b a(2)到圆心的距离等于半径的点在圆上．考点4 复合命题的应甩命题规律1．给出简单命题及由它们组成的复合命题的真值求参数取值范围．2．复合命题的真值推理的实际应用．[例6] 已知,1,0=/>a a 设p ：函数)1(l o g +=x y a 在∈x ),0(+∞内单调递减；q ：曲线1)32(2+-+=x a x y 与x 轴交于不同的两点，如果p 和q 有且只有一个正确，求a 的取值范围．[答案] 当10<<a 时，函数)1(log +=x y a 在),0(∞+ 内单调递减；当a>l 时，函数)1(log +=x y a在),0(+∞内不是单调递减．曲线1)32(2+-+=x a x y 与x 轴交于两点等价于,04)32(2>--a 即21<a 或⋅>25a 解法一：(1)若p 正确且q 不正确，即函数)1(lo g +=x y a 在),0(+∞∈x 内单调递减，曲线1)32(2+-+=x a x y 与x 轴不交于两点，因此]),25,1()1,21([)1,0( ∈a 即⋅∈)1,21[a (2)若 p 不正确且q 正确，即函数)1(log +=x y a 在,0（∈x )∞+内不是单调递减，曲线1)32(2+-+=x a x y 与x 轴交于两点，因此 ),1(+∞∈a )],,25()21,0[(+∞ 即∈a ⋅+∞),25( 综上，a 的取值范围为⋅+∞),25()1,21[ 解法二：设====)}(|{),1,0()}(|{a q a B a p a A ⋅+∞),25()21,0(∴ p 和q 有且只有一个正确B A a ∈⇔且,B A a ∉故a 的取值范围为⋅+∞),25()1,21[ [点拨] 解答这类问题，应先由每个简单命题为真，确定参数的取值范围，再由复合命题的真值，得参数所满足的条件，进而确定参数的取值范 围， 在综合参数的取值范围时，有时利用集合来处理，可以简化解题过程．如本例的解法二，就较为简捷，母题迁移 6．已知命题p ：方程012=++mx x 有两个不等的正实数根，命题q ：方程 01)2(442=+++x m x 无实数根，若“p 或q”为真命题，求实数m 的取值范围，[例7] 现有张三、李四、王五三人，张三说李四在说谎，李四说王五在说谎，王五说张三和李四都在说谎，其中只有一人说真话，请问：张三、李四、王五谁在说谎？谁说的是真话？[解析] 可先假设 其中一人说真话，从而可推知其他人的情况，再进行综合分析，探寻矛盾．[答案] 设张三为A ，李四为 B ，王五为C ，说真话为1，说谎话为0，（1）若A=1，即张三说真话，由于张三说李四说谎，可得;0=B 而李四说王五说谎，所以王五说的为真话，故,1=C 由于王五说张三和李四都说谎，可知,0,0==B A 这与1=A 矛盾，故1=A 不成立．(2)若,0=A 依题意知,1=B 李四说王五说谎，因此,0=C 由于王五说张三和李四都说谎，而由0=C 可知1,1==B A 或,0,11,0====B A B A 或只要这三种情况，中有一种成立，都可说明王五说的是假的，因为在这三种情况中至少有一人说的是真话，由这三种情况可以挑选出0,1,0===C B A 符合要求，结论：张三、王五说谎，李四说真话．[点拨] 解决这类复合命题的真值推理应用问题，一般使用分类讨论方法来处理，即以某命题真与假为分类标准，进行分类讨论，进而研究其他命题的真值，解答这类问题易错地方是忽视其中某种情况．这类问题往往涉及_较多的命题，因此直接分析有时较为复杂，利用真值表有时可简化分析过程，如本例解答的思维过程列表如下：母题迁移 7．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中有一位获奖，有人采访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”；乙说：“甲未获奖，丙也未获奖”；丙说：“我获奖了”；丁说：“是乙获奖”， 四位歌手的话中有两句是对的，则获奖的歌手是谁？优化分层测训学业水平测试1．命题“2011≥2010”使用逻辑联结词的情况是( ）．A ．使用了逻辑联结词“或” B.使用了逻辑联结词“且”C ．使用了逻辑联结词“非”D ．以上都不对2．下列命题中是真命题的为( )．2332.<<且A 1325.<<或B e C ≥π. 321.=/+D3．已知命题p:2是偶数，命题q:2是3的约数，则下列命题为真命题的是( )． q p A ∧⋅ q p B ∨⋅ p C ⌝. )()(q p D --⋅∧4．判断下列命题的形式（从””和“”“p q p q p ⌝∧∨中选填一种）． (1)π不是整数：:86)2(≤(3)2是偶数且2是素数：5．已知命题,0:R p ∈则p ⌝是6．指出下列 命题各是由哪些命题和逻辑联结词构成的．(1)李强是篮球运动员且是跳高运动员；(2)△ABC 是等腰三角形或△ABC 是直角三角形；⋅22)3(不是分数． 高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项）1．命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是( ).A.、简单命题 B ．“p 或g”形式的复合命题C ．“p 且g”形式的复合命题D ．“非P”形式的命题2．如果命题“q p ∨”与命题“p ⌝”都是真命题，那么( )．A ．命题p 不一定是假命题B ．命题q 一定为真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 与命题q 的真假相同3．命题),,(0:22R b a b a p ∈<+命题),,(0:22R b a b a q ∈≥+下列结论正确的是( )．”∨“q p A .为真 ”∧“q p B .为真 ”“p C ⌝.为假 ”“q D ⌝为真 4．已知全集,,,U B U A R U ⊆⊆=如果命题,:B A a p ∈则命题“非p”是( )．A ．非A a p ∉:B ．非BC a p U ∈: C ．非B A a p ∉:D ．非)()(:B C A a p U U ￠∈5．命题p ：若,,R b a ∈则1||||>+b a 是1||>+b a 的充分而不必要条件，命题q ：函数|2|1--=x y的定义域是,∞-（),,3[]1+∞-则( )． A ．“p 或q”为假 B ．“p 且q”为真 C.p 真q 假 D.p 假q 真6．（2010年海南、宁夏高考题）已知命题:1p 函数x x y --=22在R 上为增函数，:2p 函数x x y -+=22 在R 上为减函数，则在命题213212211)(,:,:p p q p p q p p q ∨∧∨⌝和∧14:p q )(2p ⌝中，真命题是( )．31,q q A ⋅ 32,q q B ⋅ 41,q q C ⋅ 42,q q D ⋅7．(2008年广东高考题)已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )．q p A ∨).(⌝ q p B ∧⋅ )().(q p C ⌝⌝∧ )().(q p D ⌝⌝∨8．（2011年北京高考题）若P 是真命题，q 是假命题，则( )．q p A ∧⋅是真命题 q p B ∨⋅是假命题p C ⌝是真命题 q D ⌝.是真命题二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．答案须填在题中横线上）9．若命题p ：不等式0>+b ax 的解集为}|{a b x x ->命题q ：关于x 的不等式0))((<--b x a x 的解集为},|{b x a x <<则p q p q p ⌝,,∧∨形式的复合命题中的真命题是10.已知命题,:,2|:|2Z x q x x p ∈≤-如果””与““p q p ⌝∧同时为假命题，则x 的取值范围为11.设有两个命题：p:关于x 的不等式0422>++ax x 对一切∈x R 恒成立，q ：函数x a y )25(--=在R 上是减函数，若“p 且q”为真命题，则实数a 的取值范围是三、解答题（本大题共4小题，12，13，14题每小题11分，15题12分，共45分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）12．分别写出由下列各组命题构成的p q p q p ⌝、∧、∨形式的复合命题：2:)1(p 是无理数，;12:大于q;0:,:)2(N q Z N p ∈⊆.41:,41:)3(22-<+->+x x q x x p13.分别指出由下列各组命题构成的p 或q 、p 且q 、-p 形式的复合命题的真假：;23:,522:)1(>=+q p(2)p ：9是质数，q ：8是12的约数；张喜林制 11}.0{:},0{:)3(=∅≠⊂∅q p14．命题p:l 是集合}|{2a x x <中的元素；q:2是集合}|{2a x x <中的元素，则a 为何值时，“p 或q”为真?a 为何值时，“p 且g”为真？15.已知命题p ：方程012=++mx x 有两个不等的正实数根，命题q ：方程01)2(442=+++x m x 无实数根．若“p 或q”为真命题，求实数m 的取值范围．。