1.3 简单的逻辑连结词-王后雄学案
人教版高中数学优质教案5:1.3简单的逻辑联结词 教学设计
1.3简单的逻辑联结词教学目标1.知识与技能了解命题的概念,理解逻辑联结词“或”,“且”,“非”的含义,掌握含有“或”,“且”,“非”的命题的构成.2.过程与方法(1)经历抽象的逻辑联结词的过程,培养学生观察,抽象,推理的思维能力.(2)通过发现式的引导,培养学生发现问题,解决问题的能力.3.情感、态度与价值观培养学生积极参与,合作交流的主体意识,并在这过程中,培养学生对数学的兴趣和爱好.重点难点重点:通过数学实例,了解逻辑联结词“或”、“且”的含义,使学生能正确地表述相关数学内容.难点:(1)正确理解命题“p∧q”“p∨q”“非p”真假的规定和判定.(2)简洁、准确地表述命题“p∧q”“p∨q”“非p”.为了突出重点,突破难点,在教学上宜采取了以下的措施:(1)从学生已有的知识出发,精心设置一组例子,逐步引导学生观察,探讨,联想,归纳出逻辑联结词的含义,从中体会逻辑的思想.(2)通过简单命题与含逻辑联结词的命题的对比,明确它们存在的区别和联系,加深对含逻辑联结词的命题构成的理解,抓住其本质特点.教学过程引入新课一、“且(and)”问题导思1.观察下列三个命题:①2是6的约数;②2是8的约数;③2是6的约数且是8的约数.它们之间有什么关系?[答案]命题③是将命题①、②用“且”联结得到的新命题.2.以上三个命题的真假情况是怎样的?[答案]均为真命题.概括定义1.定义一般地,用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来就得到一个新命题,记作p∧q.读作“p且q”.2.真假判断当p、q都是真命题时,p∧q是真命题;当p、q两个命题中有一个命题是假命题时,p ∧q是假命题.二、“或(or)”问题导思1.观察下列三个命题:①27是7的倍数;②27是3的倍数;③27是7的倍数或是3的倍数.它们之间有什么关系?[答案]命题③是将命题①②用“或”联结得到的新命题.2.以上三个命题的真假情况是怎样的?[答案]①是假命题,②③是真命题.概括定义1.定义一般地,用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作p∨q.读作“p或q”.2.真假判断当p、q两个命题有一个命题是真命题时,p∨q是真命题;当p、q两个命题都是假命题时,p∨q是假命题.三、“非(not)”问题导思1.观察下列两个命题①4是16的算术平方根;②4不是16的算术平方根.它们之间有什么关系?[答案]命题②是对命题①的全盘否定.2.以上两个命题的真假情况是怎样的?[答案]命题①为真命题,命题②为假命题.概括定义1.定义一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作非p,读作“非p”或“p的否定”.2.真假判断若p是真命题,则非p必是假命题;若p是假命题,则非p必是真命题.四、例题[解析]例1 将下列命题用“且”联结成新命题,并判断它们的真假:(1)p:平行四边形的对角线互相平分,q:平行四边形的对角线相等;(2)p:菱形的对角线互相垂直,q:菱形的对角线互相平分;(3)p:35是15的倍数,q:35是7的倍数.解: (1)p且q:平行四边形的对角线互相平分且相等.由于p是真命题,q是假命题,所以p∧q是假命题.(2)p∧q:菱形的对角线互相垂直且平分.由于p是真命题,q是真命题,所以p∧q是真命题.(3)p∧q:35是15的倍数且是7的倍数.由于p是假命题,q是真命题,所以p∧q是假命题.例2 用逻辑联结词“且”改写下列命题,并判断它们的真假:(1)1既是奇数,又是质数;(2)2和3都是质数.解:(1)改写为:1是奇数且1是质数.由于“1是质数”是假命题,所以该命题为假命题. (2)改写为:2是质数且3是质数.因为“2是质数”与“3是质数”都是真命题,所以该命题为真命题.例3 分别指出下列命题的形式并判断真假:(1)2≤2;(2) 集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集;(3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.解:(1)该命题是“p或q”形式,其中p:2=2; q:2<2;因为p是真命题,所以原命题是真命题.(2)该命题是“p或q”形式,其中p:集合A是A∩B的子集;q:集合A是A∪B的子集;因为命题q是真命题,所以原命题是真命题.(3)该命题是“p或q”形式,其中p:周长相等的两个三角形全等;q:面积相等的两个三角形全等;因为命题p,q都是假命题,所以原命题是假命题.例4 写出下列命题的否定,并判断它们的真假:(1) p: y=sin x是周期函数;(2) p: 3<2;(3) p: 空集是集合A的子集.解:(1) ﹁p : y=sin x不是周期函数,命题p是真命题, ﹁p是假命题.(2) ﹁p:3≥2,命题p是假命题, ﹁p是真命题.(3) ﹁p :空集不是集合A的子集,命题p是真命题, ﹁p是假命题.五、课堂训练1.命题“矩形的对角线相等且互相平分”是()A.“p∧q”形式的命题B.“p∨q”形式的命题C.“非p”形式的命题D.以上说法都不对[答案] A2.若p是真命题,q是假命题,则()A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题C.非p是真命题 D.非q是真命题[解析]根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确.[答案] D3.命题“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B都是锐角”的否定为________.[答案]在△ABC中,若∠C=90°,则∠A、∠B不都是锐角4.已知p:x2-x≥6,q:x∈Z,若p∧q和非q都是假命题,求x的取值集合.解:∵非q是假命题,∴q为真命题.又p∧q为假命题,∴p为假命题.因此x2-x<6且x∈Z,解之得-2<x<3且x∈Z,故x=-1,0,1,2,所以x取值的集合是{-1,0,1,2}.5. 指出下列命题的形式及构成它的简单命题:(1)方程x2-3=0没有有理根;(2)有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形;(3)±1是方程x3+x2-x-1=0的根.解:(1)这个命题是“非p”形式的命题,其中p:方程x2-3=0有有理根.(2)这个命题是“p且q”形式的命题,其中p:有两个内角是45°的三角形是等腰三角形,q:有两个内角是45°的三角形是直角三角形.(3)这个命题是“p或q”形式的命题,其中p:1是方程x3+x2-x-1=0的根,q:-1是方程x3+x2-x-1=0的根.6. 指出下列命题的构成形式:(1)菱形的对角线垂直且平分;(2)9的算术平方根不是-3;(3)不等式x2-x-2>0的解集是{x|x>2或x<-1}.解:(1)是“p∧q”形式,其中p:菱形的对角形互相垂直,q:菱形的对角线互相平分;(2)是“非p”形式,其中p:9的算术平方根是-3;(3)是“p∨q”的形式,其中p:不等式x2-x-2>0的解集是{x|x>2},q:不等式x2-x-2>0的解集是{x|x<-1}.7. 分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“非p”形式的命题,并判断其真假.(1)p:6是自然数,q:6是偶数;(2)p :等腰梯形的对角线相等,q :等腰梯形的对角线互相平分; (3)p :函数y =x 2-2x +2没有零点,q :不等式x 2-2x +1>0恒成立. 解: (1)p ∨q :6是自然数或是偶数,真命题. p ∧q :6是自然数且是偶数,真命题. 非p :6不是自然数,假命题.(2)p ∨q :等腰梯形的对角线相等或互相平分,真命题. p ∧q :等腰梯形的对角线相等且互相平分,假命题. 非p :等腰梯形的对角线不相等,假命题.(3)p ∨q :函数y =x 2-2x +2没有零点或不等式x 2-2x +1>0恒成立,真命题. p ∧q :函数y =x 2-2x +2没有零点且不等式x 2-2x +1>0恒成立,假命题. 非p :函数y =x 2-2x +2有零点,假命题.8. 分别指出下列各组命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“非p ”形式的真假; (1)p :3是无理数,q :3是实数; (2)p :4>6,p :4+6≠10.解:(1)∵p 为真命题,q 也为真命题.∴p ∨q 为真命题,p ∧q 为真命题,非p 为假命题. (2)∵p 为假命题,q 也为假命题.∴p ∨q 为假命题,p ∧q 为假命题,非p 为真命题.9. 已知a >0且a ≠1,设p :函数y =log a (x +1)在(0,+∞)上单调递减,q :曲线y =x 2+(2a -3)x +1与x 轴交于不同的两点.若p 或q 为真,p 且q 为假,求a 的取值范围.解:y =log a (x +1)在(0,+∞)内单调递减,故0<a <1. 曲线y =x 2+(2a -3)x +1与x 轴交于两点等价于 (2a -3)2-4>0,即a <12或a >52.又a >0,∴0<a <12或a >52.∵p 或q 为真,∴p ,q 中至少有一个为真. 又∵p 且q 为假,∴p ,q 中至少有一个为假, ∴p ,q 中必定是一个为真一个为假. ①若p 真,q 假.则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,12≤a ≤52且a ≠1, ∴12≤a <1. ②若p 假,q 真.则⎩⎪⎨⎪⎧a >1,0<a <12或a >52,∴a >52. 综上可知,实数a 的取值范围为[12,1)∪(52,+∞).10. 命题p :关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对一切x ∈R 恒成立,命题q :函数f (x )=-(5-2a )x 是减函数,若p 或q 为真,p 且q 为假,求实数a 的取值范围.【解】 设g (x )=x 2+2ax +4,由于关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对一切x ∈R 恒成立,所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点,故Δ=4a 2-16<0,∴-2<a <2,∴命题p 中a 应满足-2<a <2. 函数f (x )=-(5-2a )x 是减函数,则有5-2a >1,即a <2.∴命题q 中a 应满足a <2. 又由于p 或q 为真,p 且q 为假,可知p 和q 一真一假.(1)若p 真q 假,则⎩⎪⎨⎪⎧-2<a <2,a ≥2,此不等式组无解.(2)若p 假q 真,则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤-2,或a ≥2,a <2,∴a ≤-2.综上,实数a 的取值范围是a ≤-2. 六、课堂小结1.判断含有逻辑联结词的命题的真假的步骤: (1)确定含逻辑联结词的命题的构成形式; (2)判断其中简单命题p 、q 的真假; (3)由真值表判断命题的真假. 2.真值表解读真值表3.命题非p是对命题p的全盘否定,p和非p的真假性相反,要区别于命题p的否命题.逻辑联结词的意义又可结合集合的运算理解,利用p∧q,p∨q,非p形式命题的真假可以得到一些集合的关系,确定其中参数的范围.。
新人教A版(选修1-1)1.3《简单的逻辑联结词》word教案1
1.3简单的逻辑联结词(1)(教学设计)1.3.1 且 1.3.2 或 1.3.3 非教学目标1.知识与技能目标:(1)掌握逻辑联结词“且、或、非”的含义(2)正确应用逻辑联结词“且、或、非”解决问题(3)掌握真值表并会应用真值表解决问题2.过程与方法目标:在观察和思考中,在解题和证明题中,本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养.3.情感态度价值观目标:激发学生的学习热情,激发学生的求知欲,培养严谨的学习态度,培养积极进取的精神.通过探究学习培养学生合作交流的良好习惯和品质,培养学生独立思考锲而不舍的钻研精神。
教学重点与难点重点:通过数学实例,了解逻辑联结词“且、或、非”的含义,使学生能正确地表述相关数学内容。
难点:1、正确理解命题“ PA q”,“PV q”,“「p”真假的规定和判定.2、简洁、准确地表述命题“ PA q” “P V q” “ 一 p” .教学过程:一、复习回顾:命题:若p,则q(1)若p= q,且q r^p.则P是q的充分不必要条件(2)若p ,且q= p.则p是q的必要不充分条件⑶若p= q,且q= p.则p是q的充要条件,q也是p的充要条件(4)若p二:q,且q =二p.则p是q的既不充分与不必要条件引调:只能“已知(条件)”是“结论”的什么条件。
二、创设情境、新课引入在当今社会中,人们从事任何工作、学习,都离不开逻辑.具有一定逻辑知识是构成一个公民的文化素质的重要方面. 数学的特点是逻辑性强,特别是进入高中以后,所学的数学比初中更强调逻辑性. 如果不学习一定的逻辑知识,将会在我们学习的过程中不知不觉地经常犯逻辑性的错误.其实,同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识.在数学中,有时会使用一些联结词,如“且”“或” “非”。
在生活用语中,我们也使用这些联结词,但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。
下面介绍数学中使用联结词“且”“或” “非”联结命题时的含义和用法。
高中数学 1.3 简单的逻辑联结词教案 选修1-1
1.3简单的逻辑联结词1.3.1 且(and)1.3.2 或(or)1.3.3 非(not)(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能了解命题的概念,理解逻辑联结词“或”,“且”,“非”的含义,掌握含有“或”,“且”,“非”的命题的构成.2.过程与方法(1)经历抽象的逻辑联结词的过程,培养学生观察,抽象,推理的思维能力.(2)通过发现式的引导,培养学生发现问题,解决问题的能力.3.情感、态度与价值观培养学生积极参与,合作交流的主体意识,并在这过程中,培养学生对数学的兴趣和爱好.●重点、难点重点:通过数学实例,了解逻辑联结词“或”、“且”的含义,使学生能正确地表述相关数学内容.难点:(1)正确理解命题“p∧q”“p∨q”“綈p”真假的规定和判定.(2)简洁、准确地表述命题“p∧q”“p∨q”“綈p”.为了突出重点,突破难点,在教学上宜采取了以下的措施:①从学生已有的知识出发,精心设置一组例子,逐步引导学生观察,探讨,联想,归纳出逻辑联结词的含义,从是体会逻辑的思想.②通过简单命题与复合命题的对比,明确它们存在的区别和联系,加深对复合命题构成的理解,抓住其本质特点.(教师用书独具)●教学建议教法分析:依据现有学生的年龄特点和心理特征,结合他们的认识水平,在遵循启发式教学原则的基础上,在本节采用发现法为主,以谈话法,讲解法,练习法为辅的教学方法,意在通过老师的引导,调动学生学习知识的积极性,从而培养学生观察问题,发现问题和解决问题的能力.为此,依据新课程的改革要求,本节课采用师生互动的方式,既是以教师为主导,学生为主体的讨论式学习,真正实现新课标下的“以学生为主”的教学模式.学法分析:现代教学理论认为,教师的“教”不仅要让学生“学会知识”,更重要的是让学生“会学知识”,而正确的学法指导是培养学生这种能力的关键,因此在本节的教学中,教师指导学生运用观察,分析讨论,模拟归纳等手段来进行本节课的学习,实现对知识的理解和应用.●教学流程创设问题情境,引出命题:观察给出命题的构成有何特点?⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第10页)课标解读1.会判断命题“p∧q”、“p∨q”、“綈p”的真假.(重点)2.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.(难点)3.掌握命题的否定与否命题的区别.(易混点)“且”、“或”、“非”1.观察下面三个命题:①12能被3整除,②12能被4整除,③12能被3整除且能被4整除,它们之间有什么关系?【提示】命题③是将命题①②用“且”联结得到的.2.观察下面三个命题:①3>2;②3=2;③3≥2;它们之间有什么关系?【提示】命题③是将命题①②用“或”联结得到的.3.观察下列两个命题:①35能被5整除;②35不能被5整除;它们之间有什么关系?【提示】命题②是对命题①的否定.1.用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作p∧q,读作“p且q”.2.用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作p∨q,读作“p或q”.3记作綈p,读作“非p”或“p的否定”.含有逻辑联结词的命题的真假1.你能判断1中问题(1)描述的三个命题的真假吗?p且q的真假与p、q的真假有关系吗?【提示】①是真命题;②是真命题;③是真命题.若p、q都为真命题,则p∧q也为真命题.2.你能判断1中问题(2)描述的三个命题的真假吗?p或q的真假与p、q的真假有关系吗?【提示】①真命题;②假命题;③真命题.若p、q一真一假,则p∨q为真命题.3.你能判断1中问题(3)所描述的两个命题的真假吗?非p的真假与p的真假有关系吗?【提示】①真命题;②假命题.若p为真命题,则綈p为假命题.含有逻辑联结词的命题真假的判断方法:(1)“p∧q”形式命题:当命题p、q都是真命题时,p∧q是真命题;当p、q中有一个命题是假命题,则p∧q是假命题.(2)“p∨q”形式命题:当p、q至少有一个为真时,p∨q为真命题;当p、q均是假命题时,p∨q为假.(3)“綈p”形式命题:若p是真命题,则綈p必是假命题;若p是假命题,则綈p必是真命题.(对应学生用书第10页)用逻辑联结词构造新命题分别写出由下列命题构成的“p∧q”、“p∨q”、“綈p”的形式.(1)p:函数y=3x2是偶函数,q:函数y=3x2是增函数.(2)p:3是无理数,q:3是实数(3)p:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.q:三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.【思路探究】明确命题p、q→确定联结词→构成新命题【自主解答】(1)p∧q:函数y=3x2是偶函数且是增函数;p∨q:函数y=3x2是偶函数或是增函数;綈p:函数y=3x2不是偶函数.(2)p∧q:3是无理数且是实数;p∨q:3是无理数或实数;綈p:3不是无理数.(3)“p∧q”:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角;“p∨q”:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角;“綈p”:三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和.用“或”、“且”、“非”联结两个简单命题时,要正确理解这三个联结词的意义,通常情况下,可以直接使用逻辑联结词联结,有时为了通顺也可以适当添加词语或省略联结词.如甲是运动员兼教练员,就省略了“且”.指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题:(1)菱形的对角线互相垂直平分;(2)方程2x2+1=0没有实数根;(3)12能被3或4整除.【解】(1)是“p且q”形式.其中p为:菱形的对角线互相垂直;q: 菱形的对角线互相平分.(2)是“綈p”形式,其中p:方程2x2+1=0有实根.(3)是“p或q”形式.其中p:12能被3整除;q:12能被4整除.含有逻辑联结词的命题真假的判断分别指出下列各组命题构成的“p∧q”、“p∨q”“綈p”形式的命题的真假.(1)p:6<6,q:6=6;(2)p:梯形的对角线相等,q:梯形的对角线互相平分;(3)p:函数y=x2+x+2的图象与x轴没有公共点,q:不等式x2+x+2<0无解;(4)p:函数y=cos x是周期函数,q:函数y=cos x是奇函数.【思路探究】(1)你能分别判断p、q的真假吗?(2)判断出p、q的真假后如何判断“p∨q”,“p∧q”与“綈p”的真假?【自主解答】(1)∵p为假命题,q为真命题,∴p∧q为假命题,p∨q为真命题,綈p为真命题.(2)∵p为假命题,q为假命题,∴p∧q为假命题,p∨q为假命题,綈p为真命题.(3)∵p为真命题,q为真命题,∴p∧q为真命题,p∨q为真命题,綈p为假命题.(4)∵p为真命题,q为假命题,∴p∧q为假命题,p∨q为真命题,綈p为假命题.1.判断含逻辑联结词的命题的真假时,首先确定该命题的构成,再确定其中简单命题的真假,最后由真值表进行判断.2.真值表pq綈p p ∨pp ∧q真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假假真假假也可以概括为口诀:“p 与綈p ”一真一假,“p ∨q ”一真即真,“p ∧q ”一假就假. 判断下列命题的真假:(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边; (2)x =±1是方程x 2+3x +2=0的根; (3)集合A 不是A ∪B 的子集.【解】 (1)这个命题是“p ∧q ”的形式,其中p :等腰三角形顶角的平分线平分底边,q :等腰三角形顶角的平分线垂直于底边,因为p 真,q 真,则“p ∧q ”真,所以该命题是真命题.(2)这个命题是“p ∨q ”的形式,其中p :1是方程x 2+3x +2=0的根,q :-1是方程x 2+3x +2=0的根,因为p 假,q 真,则“p ∨q ”真,所以该命题是真命题.(3)这个命题是“綈p ”的形式,其中p :A ⊆(A ∪B ),因为p 真,则“綈p ”假,所以由含逻辑联结词的命题的真假 已知a >0,设命题p :函数y =a x在R 上单调递增;命题q :不等式x 2-ax +1>0对x ∈R 恒成立,若p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题,求实数a 的取值范围.【思路探究】 (1)若函数y =a x在R 上递增,则a 的取值范围是什么?(2)不等式x 2-ax +1>0对x ∈R 恒成立,则a 的取值范围是什么?(3)由p ∨q 真,p ∧q 假可推得p 、q 的真假是怎样的?【自主解答】 ∵y =a x在R 上为增函数 ∴命题p :a >1∵不等式x 2-ax +1>0在R 上恒成立, ∴应满足Δ=a 2-4<0,即0<a <2, ∴命题q :0<a <2.由p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题得p 、q 一真一假.①当p 真、q 假时,⎩⎪⎨⎪⎧a >1,a ≥2,∴a ≥2;②当p 假,q 真时,⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1,0<a <2,∴0<a ≤1.综上知,a 的取值范围为{a |a ≥2或0<a ≤1}.命题“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”真假应用的两个过程:(1)由命题“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”的真假推出p 和q 的真假,其结论如下:①若“p ∧q ”为真,则p 和q 均为真;若“p ∧q ”为假,则p 和q 至少有一个为假; ②若“p ∨q ”为真,则p 和q 至少有一个为真;若“p ∨q ”为假,则p 和q 都为假; ③命题p 和命题綈p 真假相反.(2)由p 和q 真假转化为相应的数学问题,再结合正确的逻辑推理方法求得结论. (2013·湛江高二检测)已知:p :方程x 2+mx +1=0有两个不等的负实根;q :方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实根.若p 或q 为真,p 且q 为假,求m 的取值范围.【解】 p :⎩⎪⎨⎪⎧Δ=m 2-4>0,m >0,解得m >2.q :Δ=16(m -2)2-16=16(m 2-4m +3)<0,解得1<m <3.∵p 或q 为真,p 且q 为假.∴p 为真,q 为假,或p 为假,q 为真,即⎩⎪⎨⎪⎧m >2,m ≤1或m ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2,1<m <3,所以m 的取值范围为{m |m ≥3或1<m ≤2}.(对应学生用书第12页) 混淆命题的否定与否命题致误写出命题:“若x 2-x -2≠0,则x =-1且x =2”的否定.【错解】 若x 2-x -2=0,则x ≠-1或x ≠2.【错因分析】 本题误将命题的否定写成了命题的否命题.【防范措施】 命题的否定是将命题的结论进行否定,而否命题则是将原命题的条件与结论都分别否定,书写时一定要区分开.【正解】 若x 2-x -2≠0,则x ≠-1或x ≠21.对逻辑联结词“且”、“或”、“非”的理解可以类比集合部分所学的“交集”“并集”“补集”;也可以联系电学中的“两个开关串联”“两个开关并联”“一个开关的开和关”.2.判断含逻辑联结词的命题的真假步骤: ①分析命题的构成形式; ②判断每个简单命题的真假;③根据真值表判断含逻辑联结词的命题的真假.3.命题的“否定”和它的“否命题”是两个不同的概念.从结构上看,一个命题的否定只对结论一次性否定,而它的否命题要对条件和结论都否定,即两次否定;从真假关系上看,一个命题和它的否定命题的真假性一定相反,而一个命题和它的否命题之间的真假没有任何关系.(对应学生用书第12页)1.命题“2 013≥2 012”使用逻辑联结词的情况是( )A.使用了逻辑联结词“或”B.使用了逻辑联结词“且”C.使用了逻辑联结词“非”D.以上都不对【解析】符号“≥”读作大于或等于,使用了逻辑联结词“或”.【答案】 A2.已知命题p:5≤5,q:5>6.则下列说法正确的是( ) A.p∧q为真,p∨q为真,綈p为真B.p∧q为假,p∨q为假,綈p为假C.p∧q为假,p∨q为真,綈p为假D.p∧q为真,p∨q为真,綈p为假【解析】易知p为真命题,q为假命题,由真值表可得:p∧q为假,p∨q为真,綈p 为假.【答案】 C3.若命题p:矩形的四个角都是直角,则綈p为:______.【答案】矩形的四个角不都是直角4.已知p:x2-x≥6,q:x∈Z,若p∧q和綈q都是假命题,求x的取值集合.【解】∵綈q是假命题,∴q为真命题.又p∧q为假命题.∴p为假命题.因此x2-x<6且x∈Z.解之得-2<x<3且x∈Z.故x=-1,0,1,2.所以x取值的集合是{-1,0,1,2}.一、选择题1.(2013·济南高二检测)若命题p:x∈A∩B,则“綈p”为( )A.x∈A且x∉B B.x∉A或x∉BC.x∉A且x∉B D.x∈A∪B【解析】p:x∈A∩B即x∈A且x∈B.故綈p为:x∉A或x∉B.【答案】 B2.已知命题p,q,则命题“p或q为真”是命题“q且p为真”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】p或q为真命题⇒/p且q为真命题,而p且q为真命题⇒p或q为真命题.【答案】 B3.已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则下列命题为真命题的是( )A.(綈p)∨q B.p∧qC.(綈p)∧(綈q) D.(綈p)∨(綈q) 【解析】不难判断出命题p为真命题,而命题q是假命题,结合选项,只有“(綈p)∨(綈q)”为真命题.【答案】 D4.下列判断错误的是( )A.命题“p且q”的否定是“綈p或綈q”B.|a|<1且|b|<2是|a+b|<3的充要条件C.x=1是x2-3x+2=0的充分不必要条件D.命题p:若M∪N=M(M,N为两个集合),则N⊆M,命题q:5∉{2,3},则命题“p且q”为真【解析】A正确;当a=5,b=-4时,有|a+b|<3⇒/|a|<1且|b|<2,故B错误,x=1时,x2-3x+2=0,反之不成立,C正确;对于D:p为真命题,q也为真命题;故“p 且q”为真,D对.【答案】 B5.(2013·临沂高二检测)p:点P在直线y=2x-3上;q:点P在曲线y=-x2上,则使“p∧q”为真命题的一个点P(x,y)是( )A.(0,-3) B.(1,2)C.(1,-1) D.(-1,1)【解析】要使“p∧q”为真命题,须满足p为真命题,q为真命题,即点p(x、y)即在直线上,也在曲线上,只有C满足.【答案】 C二、填空题6.下列命题①命题“-1是偶数或奇数”;②命题“2属于集合Q ,也属于集合R ”; ③命题“A ⃘A ∪B ”. 其中,真命题为________.【解析】 ①∵-1为奇数,∴为真命题;②2为无理数,2∉Q ,为假命题;③∵A ⊆(A ∪B ),∴为假命题.【答案】 ①7.设命题p :2x +y =3,q :x -y =6,若p ∧q 为真命题,则x =________,y =________.【解析】 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x +y =3,x -y =6,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =-3.【答案】 3 -38.若“x ∈[2,5]或x ∈(-x,1)∪(4,+∞)”是假命题,则x 的取值范围是________. 【解析】 ∵x ∈[2,5]或x ∈(-∞,1)∪[4,+∞),故x ∈(-∞,1)∪[2,+∞),由于该命题为假命题,所以1≤x <2,即x ∈[1,2).【答案】 [1,2) 三、解答题9.分别指出下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的命题的真假. (1)命题p :正方形的两条对角线互相垂直,命题q :正方形的两条对角线相等; (2)命题p :“x 2-3x -4=0”是“x =4”的必要不充分条件; 命题q :若函数f (x )=sin(2x +φ)的图象关于y 轴对称,则φ=π2.【解】 (1)因为p 、q 均为真命题, ∴p ∧q ,p ∨q 为真,綈p 为假命题. (2)由x 2-3x -4=0,得x =4或x =-1. ∴命题p 是真命题,又函数f (x )的图象关于y 轴对称,∴φ=k π+π2(k ∈Z ),则命题q 是假命题.由于p 真,q 假,∴綈p 、p ∧q 为假命题,p ∨q 为真命题.10.已知a >0且a ≠1,设命题p :函数y =log a (x -1)在(1,+∞)上单调递减,命题q :曲线y =x 2+(a -2)x +4与x 轴交于不同的两点.若“綈p 且q ”为真命题,求实数a的取值范围.【解】 由函数y =log a (x -1)在(1,+∞)上单调递减,知0<a <1. 若曲线y =x 2+(a -2)x +4与x 轴交于不同的两点,则(a -2)2-16>0, 即a <-2或a >6. 又a >0且a ≠1,∴a >6.又因为“綈p 且q ”为真命题,所以p为假命题,q 为真命题,于是有⎩⎪⎨⎪⎧a >1,a >6,所以a >6.因此,所求实数a 的取值范围是(6,+∞).11.已知m >0,p :(x +2)(x -6)≤0,q :2-m ≤x ≤2+m . (1)若p 是q 的充分条件,求实数m 的取值范围;(2)若m =5,“p 或q ”为真命题,“p 且q ”为假命题,求实数x 的取值范围. 【解】 p :-2≤x ≤6,q :2-m ≤x ≤2+m (m >0). (1)∵p 是q 的充分条件∴⎩⎪⎨⎪⎧2-m ≤-2,2+m ≥6,解之得m ≥4.故实数m 的取值范围是[4,+∞). (2)当m =5时,q :-3≤x ≤7.∵“p 或q ”为真命题,“p 且q ”为假命题, ∴p 、q 一真一假, ∴-3≤x <-2或6<x ≤7.因此,实数x 的取值范围是[-3,-2)∪(6,7].(教师用书独具)给出下列三个不等式:①|x -1|+|x +4|<a ;②(a -3)x 2+(a -2)x -1>0;③a >x 2+1x2.若其中至多有两个不等式的解集为空集,求实数a 的取值范围.【解】 对于 ①,因为|x -1|+|x +4|≥|(x -1)-(x +4)|=5,所以当不等式|x -1|+|x +4|<a 的解集为空集时,实数a 的取值范围是a ≤5. 对于②,当a =3时,不等式的解集为{x |x >1},不是空集;当a ≠3时,要使不等式(a -3)x 2+(a -2)x -1>0的解集为空集,则⎩⎪⎨⎪⎧a -3<0,a -22+4a -3≤0,解得-22≤a ≤2 2.对于③,因为x 2+1x2≥2x 2·1x2=2,当且仅当x 2=1x 2,即x =±1时取等号, 所以不等式a >x 2+1x2的解集为空集时,a ≤2. 因此,当三个不等式的解集都为空集时,-22≤a ≤2.所以要使三个不等式中至多有两个不等式的解集为空集,则实数a 的取值范围是(-∞,-22)∪(2,+∞).已知方程:x 2+4ax -4a +3=0,x 2+(a -1)x +a 2=0,x 2+2ax -2a =0中至少有一个方程有实根,求a 的取值范围.【解】 假设三个方程:x 2+4ax -4a +3=0,x 2+(a -1)x +a 2=0,x 2+2ax -2a =0都没有实数根, 则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1=4a 2-4-4a +3<0,Δ2=a -12-4a 2<0.Δ1=2a 2-4-2a <0.即⎩⎪⎨⎪⎧ -32<a <12,a >13或a <-1,得-32<a <-1.-2<a <0,∴a ≤-32,或a ≥-1.。
新人教A版(选修21)1.3《简单的逻辑联结词》(第3课时)word学案
学校:临清一中学科:数学编写人:范丽娜审稿人:贾志安1.3简单的逻辑联结词1.3.3非课前预习学案(一)学习目标:(1)预习逻辑联结词“非”的含义(2)会正确应用逻辑联结词“非”解决问题(3)掌握真值表并会应用真值表解决问题(二)学习重点与难点重点:通过数学实例,了解逻辑联结词“非”的含义,使学生能正确地表述相关数学内容. 难点: 1、正确理解命题“¬P”真假的规定和判定.2、简洁、准确地表述命题“¬P”. (三)教学过程学生探究过程:1、思考、分析问题1:下列各组命题中的两个命题间有什么关系?(1)①35能被5整除;②35不能被5整除;(2)①方程x2+x+1=0有实数根。
②方程x2+x+1=0无实数根。
答:2、归纳定义定义:_____________________________,记作___¬p读作_________3、命题“¬p”与命题p的真假间的关系命题“¬p”与命题p的真假之间有什么联系?根据前面所举例子中命题p与命题¬p的真假性,概括出这两个命题的真假之间的关系的一般规律。
答:若p是真命题,则¬p必是假命题;若p是假命题,则¬p必是__命题;4、命题的否定与否命题的区别思考:命题的否定与原命题的否命题有什么区别?答:例:如果命题p:5是15的约数,那么命题¬p:p的否命题:显然,命题p为真命题,而命题p的否定¬p与否命题均为__命题。
5.例题分析例1例2:写出下列命题的否定,判断下列命题的真假(1)p:y = sinx 是周期函数;(2)p:3<2;(3)p:空集是集合A的子集。
6.巩固练习:P20 练习第3题7.教学反思:(1)正确理解命题“¬P”真假的规定和判定.(2)简洁、准确地表述命题“¬P”.8.作业P20:习题1.3A组第3题。
1.3简单的逻辑联结词导学案新人教a版选修
§1.3 简单的逻辑联结词主备人:李彦鹏2013年 月 日 总 课时学习目标:1.了解简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义;2.能正确地利用“或”、“且”、 “非”表述相关的数学内容;3.知道命题的否定与否命题的区别.重点: 理解逻辑联结词的含义.难点: 如何表述新命题p q ∧,p q ∨,p ⌝.课前预习:1.一般地,用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来,就得到一个新命题,记作 读作(一假必假)2.一般地,用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来,就得到一个新命题,记作 读作(一真必真)3.一般地,对一个命题全盘否定,就得到一个新命题,记作 读作(真假相反)p q p 且q 真 真 真 假 假 真 假 假 p q P 或q 真 真 真 假 假 真 假 假 p 非p 真 假正面= > 是 都是 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 否定≠ ≤ 不是 不都是 至少有两个 一个也没有 某个 某些合作探究展示点评:探究一:命题真假的判断例1:分别指出由下列各组命题构成的p或q、p且q、非p形式的复合命题的真假:(1)p:2+2=5;q:3>2(2)p:9是质数;q:8是12的约数;(3)p:1∈{1,2};q:{1} {1,2}探究二:应用例2已知p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根,q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,若p或q为真,p且q为假,求m的取值范围。
当堂检测:1.如果命题p是假命题,命题q是真命题,则下列错误的是()A.“p且q”是假命题 B.“p或q”是真命题C.“非p”是真命题 D.“非q”是真命题2.命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”是()A.简单命题 B.非p形式的命题 C.p或q形式的命题 D.p且q的命题3.用“或”、“且”、“非”填空,使命题成为真命题:(1)若x∈A∪B,则x∈A________x∈B;(2)若x∈A∩B,则x∈A________x∈B;(3)若ab=0,则a=0________b=0;(4)a,b∈R,若a>0________b>0,则ab>0.4.设命题p:2x+y=3;q:x-y=6.若p∧q为真命题,则x=________,y=________.5.命题“若a<b,则2a<2b”的否命题为________,命题的否定为________.作业:习题1.3A组第1,2题,3(1)(2).反思:。
1.3 组合-王后雄学案
张喜林制1.3 组 合教材知识检索考点知识清单1.-般地, 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合,从排列与组合的定义可知,排列与取出元素的顺序 关,而组合与取出元素的顺序 关. 2. 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,用符号 表示.3.若,,+∈N n m 且,n m ≤则==mm n m nA A C 或=mn C (用阶乘表示). =m n C .4=+-1.5m n m n C C要点核心解读1.组合的定义一般地,从n 个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的一个组合.比如从红球、黄球、白球中选出两个小球,就是从这3个元素中,取出2个元素的所有组合的问题,其中红球、黄球、白球就是元素,红球和黄球、红球和白球、黄球和白球是不同的组合,而红球和黄球、黄球和红球是同一种选法.说明:(1)如果两个组合中的元素完全相同,不管它们的顺序如何,都是相同的组合,组合的定义中包含两个基本内容:一是“取出元素”;二是“并成一组”,“并成一组”即表示与顺序无关.(2)当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同),就是不同的组合,例如从a 、b 、c 三个不同的元素中取出两个元素的所有组合有3个.ba 、ab 是相同的组合,而ab 、ac 是不 同的组合.(3)组合与排列问题的共同点:都要“从n 个不同元素中,任取m (m≤n)个不同元素”;不同点:前者是“不管顺序并 成一组”,而后者要“按照一定顺序排成一列”.(4)根据定义区分排列问题、组合问题.根据排列与组合的定义,前者是从n 个不同元素中选取玎(m≤n)个不同元素后,还要按照一定的顺序排成一列,而后名只要从n 个不同元素中选取m 个不同的元素并成一组即可,所以区分某一问题是排列问题还是组合问题,关键看选出的元素与顺序是否有关,若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则 是排列问题;若交换任意两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题,也就是说排列问题与选取元素的顺序有关,组合问题与选取元素的顺序无关.例如在数的运算当中,加、乘运算是组合问题,减、除运算是排列问题,比赛为“双循环”(甲一乙、乙一甲,甲、乙两队各一主场一客场)是排列问题,“单循环”是组合问题等. 2.组合数的定义从n,个不同元素中取出m(m≤n,)个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,用符号C :表示.“组合”与“组合数”是两个不同的概念,一个组合是指“从n 个不同的元素中取出m(m≤n)个元素并成一组”,它不是一个数,而是具体的一件事;组合数是指“从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数”,它是一个数,例如在前面的例子中,从3个不同元素a ,b ,c 中取出2个元素的组合为ab ,ac ,bc ,其中每一种都叫做一个组合,而数字 就是组合数.求组合数的问题也可以从集合的角度进行解释.例如从3个不同元素a ,b ,c 中任取2个的组合数问题,就是求集合A={ ab ,ac ,bc}的元素个数问题,即card(A)=3.由于不考虑字母的排列顺序,ab 与ba 是同一元素,我们看到,当从集合的角度来认识组合时,由于集合中元素是互不相同的,各种组合之间的互异性显现得更加明显. 3.组合数的公式及推导一般地,求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数.mn A 可以按以下两步来考虑: 第一步,先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素的组合数;m n C 第二步,求每一个组合中m 个元素的全排列数.m m A 根据分步计数原理,得到.m m m n m n A C A ⋅=因此这里,,+∈N m n 且,n m ≤这个公式叫做组合数公式, 因为,)!(!m n n A mn -=所以组合数公式还可表示为:=mn C ⋅-)!(!!m n m n 说明:(1)组合数公式推导的思路是依据分步计数原理,遵循从特殊到一般的原则,将求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数分成先“求组合数”,后求“全排列数”两步来完成,这样就清楚地揭示出组合与排列的对应关系,从而利用这种对应关系和已知排列数公式得到组合数公式. 同时也要注意到组合数公式推导的思路,在解一些应用题时常常用到.(2)与排列数一样有两个公式,组合数的另一个公式=mn C ,)!(!!m n m n -当m 、n 数值较大时,借助科学计算器,利用此公式进行计算较为方便,或当含有字母的组合数公式要进行变形论证时,利用此公式也较方便.4.组合数的两个性质(1)性质l 及其证明,性质1:mn nm n C C -= 证法一:因为,)!(!!m n m n C mn -=,)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=-所以mn nm n C C -= 证法二:由组合的定义直接得出.因为从n 个不同的元素中取出m 个元素后,剩下n —m 个元素,因此从n 个不同元素中取出m 个元素的方法,与从n 个不同元素中取出n-m 个元素的方法是一一对应的,也就是说从n 个不同的元素中取出m 个元素的每一个组合,都对应着从n 个不同元素中取出n-m 个元素的一个组合,反过来也一样,即从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C 等于从n 个不同的元素中取出H -m 个元素的组合数,mn n C -也就是 =m n C mn nC - (2)性质2及其证明,性质2:11-++=m nm n m n C C C证法一:1-+m nm n C C )]!1([)!1(!)!(!!---+-=m n m n m n m n )!1(!)1(!)!1(!!)1(!+-++-=+-++-=m n m m m n n m n m m n m n n ,]!)1[(!)!1(1m n C m n m n +=-++=所以11-+⋅+=m nm n m n C C C 证法二:可以根据组合的定义与加法原理得出,从,,,21 a a 1+n a 这n+l 个不同的元素中取出m 个元素的组合数是,1mn C +这些组合可以分成两类,一类含有,1a 一类不含⋅1a 含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m-1个元素与1a 组成的,共有1-m n C 个;不含1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m 个元素组成的,共有m n C 个.根据加法原理,得.11m n m nm n C C C +=-+ 性质1突出了从n 个不同元素中取出m 个元素与从n 个不同元素中取出n-m 个元素是一一对应的关系,当2n m >时,一般情况下,不计算m n C 而改为计算m n n C -为使性质1在n m =的情况下也成立,规定.10=n C 对于性质2,要注意它的各种变形,不妨自己变一下,在解题过程中灵活地加以应用,性质l 、性质2在有关组合数的计算、化简、证明以及后面学的二项式定理中,有着广泛的应用. 5.纯组合问题常有两类题型变化(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.如:现从5位男同学、4位女同学中选出5名代表,若男甲、女A 都必须当选,有多少种不同的选法?由于男甲、女A 必须当选,只需从剩下7人中任选3人即可满足题目的要求,故有3537=C 种不同的选法.(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型:解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解,用直接法和间接法都可以求解,但通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.如(1)中,将问题改为至少有一名女同学当选,有多少种不同的选法?则在全部的选法中,排除全部男生当选的情况即可,故有1255559=-C C 种不同的选法.6.几种典型的排列组合问题的处理方法(1)平均分堆到指定位置用“填空法”:如将6本不同的书平均分给三位同学,求不同的分法数.解:甲同学得2本有26C 种分法,乙同学得2本有24C 种分法,丙同学得2本有22C 种分法,总分法数为90222426=⋅⋅C C C (种). (2)平均分堆不到指定位置,其分法数为:堆数的阶乘平分到指定位置例如将6本不同的书平均分成三份,每份两本,求不同的分法数.解:依据上述公式,其分法为15!3222426=C C C (种). (3)分堆但不平均到指定位置,其分法数为⋅积相同数量的堆数阶乘之分到指定位置例如,将12本不同的书分成五份,分别为2本、2本、2本、3本、3本,求不同的分法数,解:分到指定位置数为.333628210212C C C C C其中两本的有三堆,故除以31;3本的有两堆,要除以2!,故分法数为!2!3333628210212⋅C C C C C(4)定序问题.对于某些元素的顺序固定的排列问题,可先全排,苒除以定序元素的全排,或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列,然后对其他元素进行排列. .例:5人站成一排,如果甲必须站在乙的左边,则不同的排法有多少种?[解法一] 5人不加限制的排列方法有55A 种,“甲在乙的左边”和“甲在乙的右边”的排法是相对的,所以甲必须在乙的左边的排法有602155=A (种). [解法二] 第一步,在5个位置中选2个位置给甲、乙二人有25C 种选法; 第二步,剩下三个位置由剩下三人全排,有33A 种排法,共有603325=⋅A C (种); [解法三]从5个位置选3个位置由除甲、乙两人之外的三人排列有6035=A 种(剩下两个位置,甲、乙随之确定).(5)指标问题用“隔板法”:如,将10个保送生预选指标分配给某重点中学高三年级六个班,每班至少一名,共有多少种分配方案?解:将10个名额并成一排,名额之间有9个空,用5块隔板插入9个 空,就可将10个名额分为6部分,每一种插法就对应一种分配法,故有59C 种方案.注意:隔板法与插空法是不同的,要予以“区分”.隔板法只适用于相同元素的分配问题. 7.注意的问题处理排列、组合综合题时,应遵循三大原则,掌握基本类型,突出转化思想, 三大原则是:先特殊后一般的原则、先取后排的原则、先分类后分步的原则,基本类型主要包括:排列 中的“在与不在”问题,“相邻与不相邻” 问题,组合的“含与不含”问题,“分组与不分组”问题等.转化思想就是把一些排列、组合问题通过合理的分类或分步将其与基本类型相联系,从而把这些问题转化为基本类型,然后加以解决.典例分类剖析考点1 区分排列与组合 命题规律排列与顺序有关,组合与顺序无关.[例1] 判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)设集合},,,,,{e d c b a A =则集合A 的子集中含有3个元素的有多少个?(2)某铁路线上有5个车站,则这条线上共需准备多少种车票?多少种票价? (3)3人去干5种不同的工作,每人干一种,有多少种分工方法?(4)把3本相同的书分给5个学生,每人最多得1本,有几种分配方法?[解] (1)因为本问题与元素顺序无关,故是组合问题.(2)因为甲站到乙站车票与乙站到甲站车票是不同的,故是排列问题,但票价与顺序无关,甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价,故是组合问题. (3)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种,按一定次序分给3个人去干,故是排列问题. (4)因为3本书是相同的,无论把3本书分给哪三人,都不需考虑他们的顺序,故是组合问题.[点拨] 区分排列与组合问题,关键是利用排列与组合的定义,组合是“只选不排、并成一组,与顺序无关”.母题迁移 1.(1)从1,3,5,7中任取两个数相除,可以得到多少个不同的商? (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘,可以得到多少个不同的积?以上两个问题有何区别? 考点2“圈示法”的应用 命题规律写出从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有组合.[例2] (1)已知a ,b ,c ,d 这四个元素,写出每次取出2个元素的所有组合. (2)已知A ,B ,C ,D ,E 五个元素,写出每次取出3个元素的所有组合.[解] (1)可按d c b a →→→顺序写出,即∴ 所有组合为ab ,ac ,ad ,bc ,bd,cd(2)可按CD BD BC AD AC AB →→→→→顺序写出,即∴ 所有组合为,,,,,,,,BCE BCD ADE ACE ACD ABE ABD ABC .,CDE BDE[点拨] 对于给出的组合问题,要求写出所有的组合,一般将元素按一定的顺序排好,然后按照顺序用图示的方法逐个地将各个组合标示出来,如本题的做法,这样做直观、明了、清楚,以防重复和遗漏, 母题迁移 2.a ,b ,c ,d 排成一行,其中a 不排第一,b 不排第二,c 不排第三,d 不排第四的不同排法有 种.考点3 组合数及组合数性质的运用命题规律(1)组合数mn C 中;,,N m N n m n ∈∈≥+(2)运用m n n m n C C -=及m n m n m n C C C 11+-=+简化计算过程.[例3]计算:;)1(915n n n n C C -+-+.51292)2(5432n n n n C C C C +++[解析] 在组合数m n C 中,要求,,n m N m N n ≤≡∈∈+而(2)题显然是要利用组合数的性质,11-++=m n m n m n C C C 但需要“重组”.[解].540919055)1(≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+≤-≥-≤-n n n n n nn.54,或=∴∈+n N n当4=n 时,原式;55514=+=C C当5=n 时,原式.164605=+=C C(2)原式)(5)(7)(2544332n n n n n n C C C C C C +++++= )(5)(251414131+++++++=n n n n C C C C 524252+++=n n C C!5)2)(1()1)(2(5!4)1()1)(2(2--+++-++=n n n n n n n nn24)1)(1)(2(2-++=n n n n[点拨] 对于组合数性质,如果加以逆用,常常可以起到化繁为简的目的,并能减少运算,本题(2)虽不能直接运用此性质,但可以通过拆项重新组合,即可运用性质,而在有些题目中,也经常使用,10==n n n C C 以便顺利运用性质定理进行解题.[例4] 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-+.113,112y x y x yx y x C C C C [解析] 由于,m n n m n C C -=所以本题中的yx y x C C 2=有两种情况:⇒==⇒=2y 2C ;2x y r y x y x C y y C C y y x C C y x y x x 22=-⇒=-(就y x C 讨论与就yxC 2讨论结论一致). [解] 由yx y x C C 2=可知,,2y y =或⋅=-y y x 2若,2y y =则,0=y 代入,11311-+=y x y x C C 不合题意,舍去;若,2y y x =-则,3y x =代入,11311-+=y x y x C C 得,)!12()!1()!3(11)12)(1()!3(3+-⨯=-+⨯y y y y y y即.052=-y y.153,5,0===∴=/y x y y∴ 原方程组的解是⎩⎨⎧==.5,15y x[例5] 解不等式⋅<-543211nn n C C C [解] n 的取值范围是}.,5ln {+∈≥N n n5432C 11nn n C C <-<------∴)3)(2)(1(24)2)(1(6n n n n n n n ⋅----)4)(3)(2)(1(240n n n n n又,0)4)(3)(2)(1(=/----n n n n n,012ln 12<--∴n解得.121<<-n结合n 的取值范围,得.11,10,9,8,7,6,5=n ∴ 原不等式的解集为}.11,10,9,8,7,6,5{[特别提示] 两边同时乘以).3)(2)(1(---n n n n ).4(-n 不会找两边的公因式,你就无法解答此类问题.母题迁移 3.求证:;)1(11--=m n mn C mn C +++110)2(n n C C .11122-+--++=++m m n m m n n C C C 考点4 有关组合应用题 命题规律(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型. (2)“至少”或“至多”含有n 个元素的题型,解决这类题型的关键是需准确理解“至少”与“至多”的含义,要防止漏解的情况,用直接分类求解或逆向思考的间接处理.(3)与几何有关的题型,解决这类题型首先把握好图形的位置关系,从图形的构成设计计数程序,合理进行分类或分步求解.[例6]课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各指定一名队长.现从中选 5人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法?(1)只有一名女生当选; (2)两队长当选;(3)至少有一名队长当选; (4)至多有两名女生当选;(5)既要有队长,又要有女生当选.[解] (1) 一名女生,四名男生,故共有3504815=⋅C C 种.(2)将两队长作为一类,其他11人作为一类,故共有.22C 165311=C 种.(3)至少有一名队长含有两类:只有一名队长和两名队长,故共有8253112241112=⋅+⋅C C C C 种,或采用排除法:-513C 825511=C 种. (4)至多有两名女生含有三类:有两名女生、只有一名女生、没有女生.故共有9665848153825=+⋅+⋅C C C C C 种.(5)分两类:第一类女队长当选:;412C第二类女队长不当选:.44173427243714C C C C C C C +⋅+⋅+⋅ 故共有79044173427243714412=+⋅+⋅+⋅+C C C C C C C C 种.[点拨] (5)中若女队长当选,即同时满足既有队长又有女生,故只需从其余12人中任选4人,若女队长不当选,则必选男队长,此时只需满足有女生当选即可,也可尝试间接法.母题迁移 4.200件产品中有5件是次品,现从中任意抽取4件,按下列条件,各有多少种不同的抽法(只要求列式)?(1)都不是次品;(2)至少有1件次品;(3)不都是次品.[例7] 某篮球队有12名队员,有6名打前锋,4名打后卫,甲、乙两人既能打前锋又能打后卫(出场阵容为3名前锋,2名后卫)共有多少种出场阵容?[解析]本题中的甲、乙两名队员为“多面手”,应优先考虑.甲、乙两人是否上场,且上场后是前锋还是后卫,以此为分类标准.[解] 以2名既能打前锋又能打后卫的队员是否上场,且上场后是前锋还是后卫作分类标准:①甲、乙都不上场有1202436=C C (种); ②甲、乙有一名上场,作前锋有)(242612C C C 种,作后卫有)(143612C C C 种,共)()(143612242612C C C C C C + 340=(种);③甲、乙都上场,都作前锋有246C C l 种,都作后卫有0436C C ⋅种,一个作前锋一个作后卫有)(142612C C C 种,共有++04362416C C C C 176)(142612=C C C (种). 据分类计数原理,共有636176340120=++(种).[点拨]本题部分同学由于分类标准的混乱而导致重复或遗漏,从而出错.[例8] 已知M 、N 是两个平行平面,在M 内取4个点,在N 内取5个点,这9个点中再无其他4点共面,则(1)这些点最多能确定几个平面?(2)以这些点为顶点,能作多少个三棱锥,多少个四棱锥? [解析] 直接法(1)在平面M 内取2个点有24C 种方法,在平面N 内取1个点有15C 种方法,这3个点肯定不共线,可构成1524C C 个平面;在平面M 内取1个点,在平面Ⅳ内取2个点,可构成2514C C 个平面,再有就是M 、N 这两个平面.(2)在平面M 内取3个点有34C 种方法,在平面N 内取1个点有15C 种方法,这4个点可构成1534C C 个三棱锥;在平面M 内取2个点,在平面N 内取2个点;还可在平面M 内取1个点,在平面N 内取3个点. 要构成四棱锥,由于底面的4个顶点必须共面,因此只能从平面M 内取4个点(平面N 内取1个点)或在平面N 内取4个点(平面M 内取1个点). 排除法,(1)从9个点中任取3个点的方法有39C 种,其中从平面M 内4个点中任取3个点,即34C 种,从平面内5个点中任取3个点,即35C 种,这34C 及35C 表示的都仅仅是平面M 及平面N .(2)从9个点中任取4个点的方法49C 中去掉从平面M 内4个点取4个及从平面N 内5个点任取4个点这两类构不成三棱锥(仅是平面M 或平面N )的情况.从9个点中任取5个点的方法59C 中去掉构不成四棱锥的三类情况:平面M 中取3个点同时平面N 中取2个点;平面M 中取2 个点同时平面N 中取3个点;平面N 中全取5个点.[解] 解法一:(1)共有72225141524=++C C C C 个平面; (2)可构成120351425241534=++C C C C C C 个三棱锥: 可构成2545141544=+C C C C 个四棱锥.解法二:(1)能构成722353439=+--C C C 个平面;(2)能构成120454449=--C C C 个三棱锥; 能构成25553524253459=---C C C C C C 个四棱锥.[点拨] (1)直接法及排除法都容易将M 、N 这两个平面丢掉.特别是在排除法中从39C 中去掉重复的平面,更易将平面M 、N 忘记.(2)构成四棱锥底面的4个顶点必须共面,这点很容易忽视,而错写成.59C母题迁移 5.如图1-3 -1所示,在排成4x4方阵的16个点中,中心4个点在某一圆内,其余12个点在圆外,在16个点中任选3个点构成三角形,其中至少有1个顶点在圆内的三角形共有 个(用数字作答).[例9] 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学,按下列条件,各有多少种不同的分法? (1)每人各得两本;(2)甲得一本,乙得两本丙得三本; (3)-人一本,一人两本,一人三本; (4)甲得四本,乙得一本,丙得一本; (5)-人四本,另两人各一本.[解] (1)共有分法90222426=C C C (种). (2)共有分法60332516=C C C (种). (3)由于没指明谁得几本,在(2)的基础上,对甲、乙、丙作全排.∴ 共有分法36033332516=A C C C (种). (4)共有分法30111246=C C C (种). (5)由于没指明谁得四本,在(4)的基础上,还有13A 种分法. ∴ 共有分法9013111246=A C C C (种). [点拨] (5)中,区别在谁得四本上,另外两人都得一本是没有区别的;而(3)中谁得一本、两本、三本都是有区别的.这就是乘以3313A A 和的区别. 母题迁移 6.(1)4名乒乓球选手,分为两组举行双打比赛,共有多少种分组方法?(2)10名篮球队员,分成两队各5人,有多少种分组方法?(3)将1,2,3,4,5,6六个数字平分为3份,每份两个数字,共有多少种不同的分组方法?学业水平测试9598969897982.1C C C ++等于( ). 9799.C A 97100.C B 9899.C C 98100.C D },5,4,3,2,1{.2=M 在由M 到M 的一一映射中,至少有两个数字与自身对应的映射的个数为( ).35.A 31.B 41.C 21.D3.从正方体////D C B A ABCD -的8个顶点中选取4个,作为四面体的顶点,可得到不同的四面体的个数为( ).12.48-C A 8.48-C B 6.48-C C 4.48-C D4.三名教师教六个班的课,每人教两个班,分配方案共有( ).A .18种B .24种 C.45种 D .90种 5.若,211543nn n C C C ≤-则n 的集合共有 个元素,分别为 6.若,3632252423=++++n C C C C 则自然数=n7.在一次考试的选做题部分,要求在第1题的4个小题中选做3个小题,在第2题的3个小题中选做2个小题,在第3题的2个小题中选做1个小题,有多少种不同的选法?高考能力测试(测试时间:60分钟测试满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的不同的选法有( ). A .27种 B.48种 C .21种 D .24种2.(2008年上海高考题)组合数).,1(z r n r n C rn ∈≥>恒等于( ).1111.--++r n C n r A 11)1)(1.(--++r n C r n B 11.--r n nrc C 11--⋅r n C rn D 3.在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为偶数的共有( ). A .36个 B .24个 C .18个 D.6个4.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( ).A .10种B .20种C .36种 D.52种5.将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有(). A .30种 B .90种 C.180种 D .270种 6.(2009年全国高考题)甲组有5名男同学、3名女同学,乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( ). A.150种 B .180种 C .300种 D .345种 7.掷下4枚编了号的硬币,至少有2枚正面朝上的情况有( ).).(443424C C C A ++种 ).(443424A A A B ++种 4221.⋅C 种 D .不同于A 、B 、C 的结论8.平面直角坐标系xOy 中,平行直线)5,,2,1,0( ==n n x 与平行直线)5,,2,1,0( ==n n y 组成的图形中,矩形共有 ( ).A.25个B.36个C.100个 D .225个二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)9.方程22161617+=-x x x C C C 的解集是 10.“壹圆”“贰圆”“伍圆”“拾圆”的人民币各1张,一共可以组成 种币值.11.(2011年北京高考题)用数字2,3组成四位数且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有____个.(用数字作答) 三、计算题(共45分)12.(9分)求值:;)1(81035241302C C C C C +++++.)2(2726252423C C C C C ++++13.(9分)(1)解方程:;10711765xx x C C C =- (2)解不等式.3818x x C C >-14.(9分)上一个10级的台阶,每步可上一级或两级,共有多少种上台阶的方法?15.(9分)在200件产品中,有2件次品,从中任取5件.(注:可以只列式子,不必求结果) (1)“其中恰有2件次品”的抽法有多少种?(2)“其中恰有1件次品”的抽法有多少种? (3)“其中没有次品”的抽法有多少种?(4)“其中至少有1件次品”的抽法有多少种?16.(9分)有4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内. (1)共有多少种放法?(2)恰有一个盒子不放球,有多少种放法?(3)恰有一个盒子放2个球,有多少种放法? (4)恰有两个盒子不放球,有多少种放法?参考答案。
高中数学人教版A版选修1-1学案:1.3 简单的逻辑联结词
[学习目标]1.了解联结词“且”“或”“非”的含义.2.会用联结词“且”“或”“非”联结或改写某些数学命题,并判断新命题的真假.3.通过学习,明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假.知识点一且“p且q”就是用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,得到的新命题,记作p∧q.知识点二或“p或q”就是用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,得到的新命题,记作p∨q.知识点三非一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作綈p,读作“非p”或“p的否定”.知识点四含有逻辑联结词的命题的真假判断思考(1)逻辑联结词“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同?(2)命题的否定与否命题有什么区别?答案(1)生活用语中的“或”表示不兼有,而在数学中所研究的“或”则表示可兼有但不一定必须兼有.(2)命题的否定只否定命题的结论,而否命题既否定命题的条件,又否定命题的结论.题型一p∧q命题及p∨q命题例1分别写出下列命题构成的“p∧q”“p∨q”的形式,并判断它们的真假.(1)p:函数y=3x2是偶函数,q:函数y=3x2是增函数;(2)p:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,q:三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角;(3)p:3是无理数,q:3是实数;(4)p:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根,q:方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等. 解(1)p∧q:函数y=3x2是偶函数且是增函数;∵p真,q假,∴p∧q为假.p∨q:函数y=3x2是偶函数或是增函数;∵p真,q假,∴p∨q为真.(2)p∧q:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角;∵p真,q真,∴p∧q为真.p∨q:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角;∵p真,q真,∴p∨q为真.(3)p∧q:3是无理数且是实数;∵p真,q真,∴p∧q为真.p∨q:3是无理数或是实数;∵p真,q真,∴p∨q为真.(4)p∧q:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等;∵p真,q真,∴p∧q为真.p∨q:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等;∵p真,q真,∴p∨q为真.反思与感悟(1)判断p∧q形式的命题的真假,首先判断命题p与命题q的真假,然后根据真值表“一假则假,全真则真”进行判断.(2)判断p∨q形式的命题的真假,首先判断命题p与命题q的真假,只要有一个为真,即可判定p∨q形式命题为真,而p与q均为假命题时,命题p∨q为假命题,可简记为:有真则真,全假为假.跟踪训练1指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题:(1)李明是男生且是高一学生.(2)方程2x2+1=0没有实数根.(3)12能被3或4整除.解(1)是“p且q”形式.其中p:李明是男生;q:李明是高一学生.(2)是“非p”形式.其中p:方程2x2+1=0有实根.(3)是“p或q”形式.其中p:12能被3整除;q:12能被4整除.题型二綈p命题例2写出下列命题的否定形式.(1)面积相等的三角形都是全等三角形;(2)若m2+n2=0,则实数m、n全为零;(3)若xy=0,则x=0或y=0.解(1)面积相等的三角形不都是全等三角形.(2)若m2+n2=0,则实数m、n不全为零.(3)若xy=0,则x≠0且y≠0.反思与感悟綈p是对命题p的全盘否定,对一些词语的正确否定是写綈p的关键,如“都”的否定是“不都”,“至多两个”的反面是“至少三个”、“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”等.跟踪训练2写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)p:y=sin x是周期函数;(2)p:3<2;(3)p:空集是集合A的子集;(4)p:5不是75的约数.解(1) 綈p:y=sin x不是周期函数.命题p是真命题,綈p是假命题;(2) 綈p:3≥2.命题p是假命题,綈p是真命题;(3) 綈p:空集不是集合A的子集.命题p是真命题,綈p是假命题;(4) 綈p:5是75的约数.命题p是假命题,綈p是真命题.题型三p∨q、p∧q、綈p命题的综合应用例3已知命题p:方程x2+2ax+1=0有两个大于-1的实数根,命题q:关于x的不等式ax2-ax+1>0的解集为R,若“p∨q”与“綈q”同时为真命题,求实数a的取值范围.解命题p :方程x 2+2ax +1=0有两个大于-1的实数根,等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ=4a 2-4≥0,x 1+x 2>-2,(x 1+1)(x 2+1)>0,⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1≥0,-2a >-22-2a >0,,解得a ≤-1.命题q :关于x 的不等式ax 2-ax +1>0的解集为R ,等价于a =0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ<0.由于⎩⎨⎧a >0Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0,a 2-4a <0,解得0<a <4, 所以0≤a <4.因为“p ∨q ”与“綈q ”同时为真命题,即p 真且q 假,所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤-1,a <0或a ≥4,解得a ≤-1.故实数a 的取值范围是(-∞,-1].反思与感悟由真值表可判断p ∨q 、p ∧q 、綈p 命题的真假,反之,由p ∨q ,p ∧q ,綈p 命题的真假也可判断p 、q 的真假情况.一般求满足p 假成立的参数范围,应先求p 真成立的参数的范围,再求其补集.跟踪训练3已知命题p :方程x 2+ax +1=0有两个不等的实根;命题q :方程4x 2+2(a -4)x +1=0无实根,若“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,求实数a 的取值范围. 解∵“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,∴p 与q 一真一假, 由a 2-4>0得a >2或a <-2. 由4(a -4)2-4×4<0得2<a <6.①若p 真q 假,则有⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <-2,a ≤2或a ≥6,∴a <-2或a ≥6;②若p 假q 真,则有⎩⎪⎨⎪⎧-2≤a ≤2,2<a <6,通过分析可知不存在这样的a .综上,a <-2或a ≥6.分类讨论思想的应用例4已知命题p :关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对一切x ∈R 恒成立,命题q :函数f (x )=(3-2a )x 是增函数.若p ∨q 为真,p ∧q 为假,求实数a 的取值范围.分析首先求出p ,q 为真时a 的取值范围,然后利用命题的实际真假列不等式组求解. 解设g (x )=x 2+2ax +4.因为关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对一切x ∈R 恒成立,所以函数g (x )的图象开口向上,且与x 轴没有交点,故Δ=4a 2-16<0,所以-2<a <2. 又因为函数f (x )=(3-2a )x 是增函数,所以3-2a >1,即a <1. 又因为p ∨q 为真,p ∧q 为假,所以p 和q 一真一假.若p 真q 假,则⎩⎪⎨⎪⎧-2<a <2,a ≥1,所以1≤a <2;若p 假q 真,则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤-2或a ≥2,a <1,所以a ≤-2.综上所述,实数a 的取值范围是1≤a <2或a ≤-2.解后反思由p ,q 的真假,可以判断“p ∨q ”“p ∧q ”的真假;反之,由“p ∨q ”“p ∧q ”的真假,也能推断p ,q 的真假,如“p ∧q ”为假,则包括“p 真q 假”“p 假q 真”“p 假q 假”三种情况.1.命题p :“x >0”是“x 2>0”的必要不充分条件,命题q :△ABC 中,“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件,则() A.p 真q 假B.p ∧q 为真 C.p ∨q 为假D.p 假q 真 答案D解析命题p 假,命题q 真. 2.给出下列命题: ①2>1或1>3;②方程x 2-2x -4=0的判别式大于或等于0; ③25是6或5的倍数;④集合A ∩B 是A 的子集,且是A ∪B 的子集. 其中真命题的个数为() A.1B.2C.3D.4 答案D解析①由于2>1是真命题,所以“2>1或1>3”是真命题;②由于方程x 2-2x -4=0的Δ=4+16>0,所以“方程x 2-2x -4=0的判别式大于或等于0”是真命题;③由于25是5的倍数,所以命题“25是6或5的倍数”是真命题;④由于A∩B⊆A,A∩B⊆A∪B,所以命题“集合A∩B是A的子集,且是A∪B的子集”是真命题.3.已知命题p1:函数y=2x-2-x在R上为增函数,p2:函数y=2x+2-x在R上为减函数.则在命题q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(綈p1)∨p2和q4:p1∧(綈p2)中,为真命题的是() A.q1,q3B.q2,q3C.q1,q4D.q2,q4答案C解析p1是真命题,则綈p1为假命题;p2是假命题,则綈p2为真命题;∴q1:p1∨p2是真命题,q2:p1∧p2是假命题,∴q3:(綈p1)∨p2为假命题,q4:p1∧(綈p2)为真命题.∴为真命题的是q1,q4.4.已知命题p:1∈{x|(x+2)(x-3)<0},命题q:∅={0},则下列判断正确的是()A.p假q真B.“p∨q”为真C.“p∧q”为真D.“綈p”为真答案B解析由(x+2)(x-3)<0得-2<x<3,∵1∈(-2,3),∴p真.∵∅≠{0},∴q假,∴“p∨q”为真.5.若p是真命题,q是假命题,则()A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题C.綈p是真命题D.綈q是真命题答案D解析根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确.1.正确理解逻辑联结词是解题的关键,日常用语中的“或”是两个中任选一个,不能都选,而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个.2.判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤:(1)逐一判断命题p,q的真假.(2)根据“且”“或”的含义判断“p∧q”,“p∨q”的真假.p∧q为真⇔p和q同时为真,p∨q为真⇔p和q中至少一个为真.3.若命题p为真,则“綈p”为假;若p为假,则“綈p”为真,类比集合知识,“綈p”就相当于集合p在全集U中的补集∁U p.因此(綈p)∧p为假,(綈p)∨p为真.4.注意区别命题的否定与否命题,命题的否定只否定结论,否命题既否定结论又否定条件.。
学案6:1.3 简单的逻辑联结词
1.3 简单的逻辑联结词导学目标:1.了解逻辑联结词“或、且、非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.课前准备区——回扣教材夯实基础【自主梳理】1.逻辑联结词命题中的叫做逻辑联结词.“p且q”记作,“p或q”记作,“非p”记作.2.命题p∧q,p∨q,﹁p的真假判断3.全称量词与存在量词(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做,并用符号“ ”表示.含有全称量词的命题,叫做,可用符号简记为,它的否定(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做,并用符号“ ”表示.含有存在量词的命题,叫做,可用符号简记为,它的否定【自我检测】1.命题“∃x∈R,x2-2x+1<0”的否定是()A.∃x∈R,x2-2x+1≥0 B.∃x∈R,x2-2x+1>0C.∀x∈R,x2-2x+1≥0 D.∀x∈R,x2-2x+1<02.若命题p:x∈A∩B,则﹁p是()A.x∈A且x∉B B.x∉A或x∉BC.x∉A且x∉B D.x∈A∪B3.若p、q是两个简单命题,且“p∨q”的否定是真命题,则必有()A.p真q真B.p假q假C.p真q假D.p假q真4.下列命题中的假命题是( ) A .∀x ∈R,2x -1>0 B .∀x ∈N *,(x -1)2>0 C .∃x ∈R ,lg x <1 D .∃x ∈R ,tan x =2 5.下列4个命题:p 1:∃x ∈(0,+∞),(12)x <(13)x ;p 2:∃x ∈(0,1),log 12x >log 13x ;p 3:∀x ∈(0,+∞),(12)x >log 12x ;p 4:∀x ∈(0,13),(12)x <log 13x .其中的真命题是( )A .p 1,p 3B .p 1,p 4C .p 2,p 3D .p 2,p 4课堂活动区——突破考点 研析热点探究点一 判断含有逻辑联结词的命题的真假【例1】 写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”、“p ∧q ”、“﹁p ”形式的复合命题,并判断真假. (1)p :1是素数;q :1是方程x 2+2x -3=0的根;(2)p :平行四边形的对角线相等;q :平行四边形的对角线互相垂直;(3)p :方程x 2+x -1=0的两实根的符号相同;q :方程x 2+x -1=0的两实根的绝对值相等.变式迁移1 已知命题p :∃x ∈R ,使tan x =1,命题q :x 2-3x +2<0的解集是{x |1<x <2},给出下列结论:①命题“p ∧q ”是真命题;②命题“p ∧﹁q ”是假命题;③命题“﹁p ∨q ”是真命题;④命题“﹁p ∨﹁q ”是假命题,其中正确的是( ) A .②③ B .①②④ C .①③④ D .①②③④探究点二 全(特)称命题及真假判断 【例2】 判断下列命题的真假. (1)∀x ∈R ,都有x 2-x +1>12.(2)∃α,β使cos(α-β)=cos α-cos β. (3)∀x ,y ∈N ,都有x -y ∈N . (4)∃x 0,y 0∈Z ,使得2x 0+y 0=3.变式迁移2 下列四个命题中,其中为真命题的是( ) A .∀x ∈R ,x 2+3<0 B .∀x ∈N ,x 2≥1 C .∃x ∈Z ,使x 5<1 D .∃x ∈Q ,x 2=3探究点三 全称命题与特称命题的否定【例3】 写出下列命题的“否定”,并判断其真假. (1)p :∀x ∈R ,x 2-x +14≥0;(2)q :所有的正方形都是矩形; (3)r :∃x ∈R ,x 2+2x +2≤0; (4)s :至少有一个实数x ,使x 3+1=0.变式迁移3 命题“存在x 0∈R,2x 0≤0”的否定是( ) A .不存在x 0∈R,2x 0>0 B .存在x 0∈R,2x 0≥0 C .对任意的x ∈R,2x ≤0 D .对任意的x ∈R,2x >0转化与化归思想的应用【例】已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x0∈R,x20+2ax0+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,求实数a的取值范围.课堂小结1.逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解.(1)“或”与日常生活用语中的“或”意义有所不同,日常用语“或”带有“不可兼有”的意思,如工作或休息,而逻辑联结词“或”含有“同时兼有”的意思,如x<6或x>9.(2)命题“非p”就是对命题“p”的否定,即对命题结论的否定;否命题是四种命题中的一种,是对原命题条件和结论的同时否定.2.判断复合命题的真假,要首先确定复合命题的构成形式,再指出其中简单命题的真假,最后根据真值表判断.3.全称命题“∀x∈M,p(x)”的否定是一个特称命题“∃x∈M,﹁p(x)”,特称命题“∃x∈M,p(x)”的否定是一个全称命题“∀x∈M,﹁p(x)”.答 案自主梳理1.或,且,非 p ∧q p ∨q ﹁p 3.全称量词与存在量词(1)全称量词 “∀” 全称命题 ∀x ∈M ,p (x ) ∃x ∈M ,﹁p (x ) (2)存在量词 “∃” 特称命题 ∃x ∈M ,p (x ) ∀x ∈M ,﹁p (x )自我检测 1. 【答案】 C【解析】 因要否定的命题是特称命题,而特称命题的否定为全称命题.对x 2-2x +1<0的否定为x 2-2x +1≥0,故选C. 2. 【答案】 B【解析】 ∵“x ∈A ∩B ”⇔“x ∈A 且x ∈B ”, ∴﹁p :x ∉A 或x ∉B . 3.【答案】 B【解析】 ∵“p ∨q ”的否定是真命题, ∴“p ∨q ”是假命题,∴p ,q 都假. 4.【答案】 B【解析】 对于B 选项x =1时,(x -1)2=0. 5. 【答案】 D【解析】 取x =12,则log 12x =1,log 13x =log 32<1,p 2正确.当x ∈(0,13)时,(12)x <1,而log 13x >1,p 4正确.课堂活动区——突破考点 研析热点例1【答案】解 (1)p ∨q :1是素数或是方程x 2+2x -3=0的根.真命题. p ∧q :1既是素数又是方程x 2+2x -3=0的根.假命题. ﹁p :1不是素数.真命题.(2)p ∨q :平行四边形的对角线相等或互相垂直.假命题. p ∧q :平行四边形的对角相等且互相垂直.假命题. ﹁p :有些平行四边形的对角线不相等.真命题.(3)p ∨q :方程x 2+x -1=0的两实根的符号相同或绝对值相等.假命题. p ∧q :方程x 2+x -1=0的两实根的符号相同且绝对值相等.假命题.﹁p :方程x 2+x -1=0的两实根的符号不相同.真命题.变式迁移1 【答案】D【解析】命题p :∃x ∈R ,使tan x =1是真命题,命题q :x 2-3x +2<0的解集是{x |1<x <2}也是真命题,∴①命题“p ∧q ”是真命题;②命题“p ∧﹁q ”是假命题; ③命题“﹁p ∨q ”是真命题;④命题“﹁p ∨﹁q ”是假命题.例2【答案】解 (1)真命题, 因为x 2-x +1=(x -12)2+34≥34>12.(2)真命题,如α=π4,β=π2,符合题意.(3)假命题,例如x =1,y =5,但x -y =-4 N . (4)真命题,例如x 0=0,y 0=3符合题意.变式迁移2【答案】 C【解析】 由于∀x ∈R 都有x 2≥0,因而有x 2+3≥3,所以命题“∀x ∈R ,x 2+3<0”为假命题; 由于0∈N ,当x =0时,x 2≥1不成立,所以命题“∀x ∈N ,x 2≥1”为假命题; 由于-1∈Z ,当x =-1时,x 5<1,所以命题“∃x ∈Z ,使x 5<1”为真命题;由于使x 2=3成立的数只有±3,而它们都不是有理数,因此没有任何一个有理数的平方能等于3,所以命题“∃x ∈Q ,x 2=3”为假命题.例3【答案】解 (1)﹁p :∃x ∈R ,x 2-x +14<0,这是假命题,因为∀x ∈R ,x 2-x +14=(x -12)2≥0恒成立,即p 真,所以﹁p 假.(2)﹁q :至少存在一个正方形不是矩形,是假命题.(3)﹁r :∀x ∈R ,x 2+2x +2>0,是真命题,这是由于∀x ∈R ,x 2+2x +2=(x +1)2+1≥1>0成立.(4)﹁s :∀x ∈R ,x 3+1≠0,是假命题,这是由于x =-1时,x 3+1=0.变式迁移3【答案】D【解析】本题考查全称命题与特称命题的否定.原命题为特称命题,其否定应为全称命题,而“≤”的否定是“>”,所以其否定为“对任意的x ∈R,2x >0”.转化与化归思想的应用例【答案】解由“p且q”是真命题,则p为真命题,q也为真命题.[3分]若p为真命题,a≤x2恒成立,∵x∈[1,2],∴a≤1. [6分]若q为真命题,即x2+2ax+2-a=0有实根,Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a≥1或a≤-2,[10分]综上,所求实数a的取值范围为a≤-2或a=1. [12分]【突破思维障碍】含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假,求出参数存在的条件,命题p转化为恒成立问题,命题q转化为方程有实根问题,最后再求出含逻辑联结词的命题成立的条件.若直接求p成立的条件困难,可转化成求﹁p成立的条件,然后取补集.【易错点剖析】“p且q”为真是全真则真,要区别“p或q”为真是一真则真,命题q就是方程x2+2ax+2-a =0有实根,所以Δ≥0.不是找一个x0使方程成立.。
1.3简单的逻辑联结词(2)导学案
文华高中高二数学选修1-1§1.3《简单的逻辑联结词》导学案(2)学习目标:1.理解逻辑联结词“非”的含义,能写出简单命题的“⌝p”命题.2.逻辑联结词“或”“且”“非”的初步应用重点难点:重点:逻辑联结词“非”的含义难点:命题的否定与否命题的区别。
学习方法:从逻辑联结词“非”的含义理解命题的否定(非命题),也可以利用补集来理解命题的否定。
情感态度与价值观:通过本节的学习体会“正难则反”的思想方法培养批判思维能力. 学习过程一.知识链接集合P的“补”的含义:设U为全集,P⊆U,若a∈P 则;若a∉P 则 .二.自主学习:阅读教材P16-P17有关内容解决下列问题:1.命题的否定一般地,对一个命题p,就得到一个新命题,记作”⌝p”,读作“”或“”.2.命题⌝p的真假若p是真命题,则⌝p必是;若p是假命题,则⌝p必是.三:合作探究:探究点一⌝p命题逻辑联结词“非”的含义是什么?答案:“非”与日常用语中的“非”含义一致,表示“否定”“不是”“问题的反面”等;也可以从集合的角度理解“非”:若命题p对应集合A,则⌝p对应集合A在全集U中的补集∁U A. 例1写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)p:3是有理数;(2)p:5不是15的约数;(3)p:2<3;(4)p:8+7≠15;(5)p:空集是任何非空集合的真子集(6)面积相等的三角形都是全等三角形;(7)若m2+n2+a2+b2=0,则实数m、n、a、b全为零;(8)若xy=0,则x=0或y=0.小结:因为⌝p是对命题p的全盘否定,所以对一些词语的正确否定是写⌝p的关键,如“都”的否定是“不都”,“至多两个”的反面是“至少三个”、“p∧q”的否定是“⌝p∨⌝q”等.探究点二命题的否定与否命题例2 已知命题p:平行四边形的对角线相等,分别写出命题p的否命题和命题p的否定,并加以辨析.四:课堂展示1.写出下列各命题的否定及其否命题,并判断它们的真假.(1)若x、y都是奇数,则x+y是偶数;(2)若xy=0,则x=0或y=0.小结: 1.命题的否定是对命题的全盘否定,否定的是命题的结论,其真假性和原命题相反;2.否命题对条件、结论均进行否定,其真假性和原命题的真假性没有关系五.课堂小结:1.若命题p为真,则“⌝p”为假;若p为假,则“⌝p”为真,类比集合知识,“⌝ p”就相当于集合p在全集U中的补集∁U p.2.命题的否定只否定结论,否命题既否定结论又否定条件,注意区别.3.填写并记住下表中常见词语的否定形式:本节课我学到的知识是:我存在的疑惑有:文华高中高二数学选修1-1《简单的逻辑联结词》节节过关达标检测班级:------------ 组名:------------ 学生姓名:----------1.已知命题p:3≥3,q:3>4,则下列判断正确的是()A.p∨q为真,p∧q为真,⌝p为假B.p∨q为真,p∧q为假,⌝p为真C.p∨q为假,p∧q为假,⌝p为假D.p∨q为真,p∧q为假,⌝p为假2.全集为R,A⊆R,B⊆R,若命题p:x∈A∩B,则“非p”是()A.x∈AB.x∈∁R BC.x∉(A∪B)D.x∈(∁R A)∪(∁R B)3.若命题“非p或非q”是假命题,则下列各结论中,正确的为()①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧q”是假命题;③命题“p∨q”是真命题;④命题“p∨q”是假命题.A.①③B.②④C.②③D.①④4.若集合P={1,2,3,4},Q={x|x≤0或x≥5},则P是⌝Q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知p:x2-x≥6,q:x∈Z,若“p∧q”“⌝q”都是假命题,则x的值组成的集合为____________.6.给出两个命题:命题甲:关于x的不等式x2+(a-1)x+a2≤0的解集为∅,命题乙:函数y=(2a2-a)x为增函数.分别求出符合下列条件的实数a的范围.(1)甲、乙至少有一个是真命题;(2)甲、乙中有且只有一个是真命题.。
人教版高中数学1-1选修1.3简单的逻辑联结词教案(2)
简易逻辑复习总结课教案教学目标对第一章集合与简易逻辑两个单元的基础知识进行复习总结,帮助学生把这部分知识系统化,精确化,通过一些综合性例题,把知识相关联结,使学生对知识的理解和应用更加巩固和深入.教学重点和难点重点是对全章知识体系的全面了解和理解,对一些重要知识点的准确掌握.难点是对基础知识的相互沟通和联系.教学过程设计教师上课后首先对上节课布置给学生的复习总结表进行检查,并从中发现几份总结的较全面较深刻的表,在展示学生总结表的基础上,教师加以补充、修改、完善,完成第一章两个单元的总结复习.然后展示给学生.一、知识体系(一)集合(二)简易逻辑二、基础知识 (一)集合(二)简易逻辑三、综合例题{4},p、q∈E,试求p+g的值和A∪B.这时,∴p+q=-1,A∪B={2,3,4},点评:准确掌握交集,并集,补集的概念,是解题的关键.的实根的充分必要条件是ac<0.分析:方根根的状况的判断应从判别式及根与系数的关系去入手考虑,这里要注数a的值.解题时,首先求出A={0,-4},根据A∪B=A,用分类讨论的思想,分别当B={0},即方程有两个等根为零时,综合以上情况,若A∪B=A,则a≤-1,或a=1.分析:此题可先将p和q的m取值范围解出,然后再根据p或q为真,p且q为假知此题是要p和q中必一真一假时的m的取值范围.解:∵p或q为真,p且q为假.∴p为真,q为假,或p为假,q为真.解得m≥3或1<m≤2.例5、用反证法证明:若a、b、c、d均为小于1的正数,且x=4a(1-b),y=4b(1-c),z=4c(1-d),t=4d(1-a),则x、y、z、t四个数中,至少有一个不大于1.分析:结论的正面情况较多,较为复杂,但结论的反面情况唯一,而四个数都大于1,故宜用反证法.证明:假设x>1,y>1,z>1,t>1,则xyzt>1.又因xyzt=256a(1-a)·b·(1-b)·c(1-c)·d·(1-d)且a>0,b>0,c>0,d>0,1-a>0,1-b>0,1-c>0,1-d >0.∴假设不成立,原命题正确.。
2022年高中数学新人教版A版精品教案《1.3简单的逻辑联结词》
简单的逻辑联结词教学目标:知识与技能:1 理解逻辑联结词“或〞、“且〞、“非〞的含义;2了解“或〞、“且〞、“非〞的复合命题的构成;3会三种形式的复合命题的写法“且q〞,“或q〞“非〞及其真假的判定方法。
过程与方法:尽量多的让学生举例,培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性的解决问题的能力。
情感态度与价值观:通过学生亲身经历举例的过程,激发学生数学学习的积极性,培养了他们的观察能力;通过逻辑联结词的学习,使学生初步体会数学语言的严密性,准确性,并在今后数学学习和交流中,能够准确运用逻辑联结词。
教学重点:三种形式的复合命题的真假的判断教学难点:写出有些命题的否认教学方法:半开放式、启发式教学具体细化重、难点内容:在初中数学中,学生已经学习了一些关于命题的初步知识,但是,对命题和语句的区别往往搞不清楚。
因此,应首先让学生弄懂命题的含义,以便其掌握复合命题,由于逻辑中的“或〞、“且〞、“非〞与日常用语中的“或〞、“且〞、“非〞的意义不完全相同,故要直接讲清楚它们的意义,比拟困难。
因此,开始时,不必深讲,可以在学习了有关复合命题的真值表之后,再要求学生根据复合命题的真值表,对“或〞、“且〞、“非〞加以理解,这样处理有利于掌握重点,突破难点。
为了加深对“或〞、“且〞、“非〞的理解,最后应设计一系列的习题加以稳固、深化对知识的认识程度。
教学过程:一、问题情境生活中,我们要经常用到许多有自动控制功能的电器。
例如,洗衣机在甩干时,如果“到达预定的时间〞或“机盖被翻开〞,就会停机,即当两个条件至少有一个满足时,就会停机。
与此对应的电路,就叫或门电路。
又如,电子门在“钥匙插入〞且“密码正确〞两个条件都满足时,才会开启。
与此对应的电路,就叫与门电路。
随着高科技的开展,诸多科学领域均离不开类似以上的逻辑问题。
因此,我们有必要对简易逻辑加以研究。
二、活动尝试前面,我们学习了命题的概念,命题的构成和命题的形式等简单命题的根本框架,知道可以判断真假的语句叫作命题。
高中数学 1.3 简单的逻辑联结词学案 新人教A版选修21
高中数学 1.3 简单的逻辑联结词学案 新人教A 版选修21
学习目标:1、理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义;2、掌握,,p q p q p ∧∨⌝的真假性的判断;3、正确掌握p ⌝的意义,区别p ⌝与p 的否命题;4、,,p q p q p ∧∨⌝的真假性的判断,关键在于p 与q 的真假的判断。
一、主要知识:
1、“且”的意义:
“或”的意义:
“非”的意义:
2、命题的真假性的判断
3、命题的否定与否命题的区别:
二、典例分析:
〖例1〗:分别指出下列复合命题的形式及构成它们的简单命题:
(1)24既是8的倍数,也是6的被数;(2)李强是篮球运动员或跳高运动员;(3)平行线不相交。
〖例2〗:分别写出下列各组命题构成的,,p q p q p ∧∨⌝形式的命题,并判断它们的真假。
(1):p 平行四边形的对角线互相平分,:q 平行四边形的对角线相等。
(2):p 菱形的对角线互相垂直,:q 菱形的对角线互相平分;
(3):p 35是15的倍数,:q 35是7的倍数。
〖例3〗:
〖例4〗::p 关于x 的不等式()244210x m x +-+>,对一切x R ∈恒成立;:q 函数()21
f x x mx =++在()1,-+∞上单调递增,若p q ∨为真,p q ∧为假,求实数m 的取值范围。
三、课后作业:
:p 关于x 的不等式2240x ax ++>,对一切x R ∈恒成立;:q 函数()()lg 52x
f x a =-是增函数,若p q ∨为真,p q ∧为假,求实数a 的取值范围。
高中数学 1.3《简单的逻辑联结词》学案 新人教A版选修2-1
河北省高碑店市第三中学2015高中数学 1.3《简单的逻辑联结词》学案 新人教A 版选修2-1 一、学习目标1. 了解“或”“且”“非”逻辑联结词的含义;2. 掌握,,p q p q p ∧∨⌝的真假性的判断;3. 正确理解p ⌝的意义,区别p ⌝与p 的否命题;4. 掌握,,p q p q p ∧∨⌝的真假性的判断,关键在于p 与q 的真假的判断.二、学习重难点真值表、命题的否定与否命题三、学习方法自学指导法四、学习过程(一)阅读课本P14-16并回答下列问题复习1:什么是充要条件?复习2:已知{|A x x =满足条件}p ,{|B x x =满足条件}q(1)如果A B ⊆,那么p 是q 的什么条件;(2) 如果B A ⊆,那么p 是q 的什么条件;(3) 如果A B =,那么p 是q 的什么条件.(二)讲授新知1、“且“的意义问题:下列三个命题有什么关系?(1)12能被3整除;(2)12能被4整除;(3)12能被3整除且能被4整除.新知:1.一般地,用逻辑联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来就得到一个新命题,记作“ ”,读作“ ”.试试:判断下列命题的真假:(1)12是48且是36的约数;(2)矩形的对角线互相垂直且平分.∧的真假性的判断,关键在于p与q的真假的判断.反思:p q2、“或“的意义问题:下列三个命题有什么关系?(1) 27是7的倍数;(2)27是9的倍数;(3)27是7的倍数或是9的倍数.新知:1.一般地,用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来就得到一个新命题,记作“”,读作“”.试试:判断下列命题的真假:(1)47是7的倍数或49是7的倍数;(2)等腰梯形的对角线互相平分或互相垂直.∨的真假性的判断,关键在于p与q的真假的判断.反思:p q3、“非“的意义问题:下列两个命题有什么关系?(1) 35能被5整除;(2)35不能被5整除;新知:1.一般地,对一个命题的全盘否定就得到一个新命题,记作“”,读作“”或“”2.规定:试试:写出下列命题的否定并判断他们的真假:(1)2+2=5;(2)3是方程290x -=的根;(31=-反思:p ⌝的真假性的判断,关键在于p 的真假的判断.(三) 典型例题例1 将下列命题用“且”联结成新命题并判断他们的真假:(1)p :平行四边形的对角线互相平分,q :平行四边形的对角线相等;(2)p :菱形的对角线互相垂直,q :菱形的对角线互相平分;(3)p :35是15的倍数,q :35是7的倍数变式:用逻辑联结词“且”改写下列命题,并判断他们的真假:(1)1既是奇数,又是素数;(2)2和3都是素数.小结:p q ∧的真假性的判断,关键在于p 与q 的真假的判断.例2 判断下列命题的真假(1) 22≤;(2) 集合A 是A B 的子集或是A B 的子集;(3) 周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.变式:如果p q ∧为真命题,那么p q ∨一定是真命题吗?反之,p q ∨为真命题,那么p q ∧一定是真命题吗?小结:p q ∨的真假性的判断,关键在于p 与q 的真假的判断.例3 写出下列命题的否定,并判断他们的真假:(1)p :sin y x =是周期函数;(2)p :32<(3)空集是集合A 的子集.小结:p ⌝的真假性的判断,关键在于p 的真假的判断.当堂练习1. “p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.命题P :在ABC ∆中,C B ∠>∠是sin sin C B >的充要条件;命题q :a b >是22ac bc >的充分不必要条件,则( ).A.p 真q 假B.p 假q 假C.“p 或q ”为假D.“p 且q ”为真3.命题:(1)平行四边形对角线相等;(2)三角形两边的和大于或等于第三边;(3)三角形中最小角不大于60︒;(4)对角线相等的菱形为正方形.其中真命题有( ).A.1B.2C.3D.44.命题p :0不是自然数,命题q :π是无理数,在命题“p 或q ”“p 且q ”“非p ”“非q ”中假命题是 ,真命题是 .5. 已知p :2||6x x -≥,q :,,x Z p q q ∈∧⌝都是假命题,则x 的值组成的集合为课后作业1. 写出下列命题,并判断他们的真假:(1)p q ∨,这里p :4{2,3}∈,q :2{2,3}∈;(2)p q ∧,这里p :4{2,3}∈,q :2{2,3}∈;(3) p q ∨,这里p :2是偶数,q :3不是素数;(4) p q ∧,这里p :2是偶数,q :3不是素数.2.判断下列命题的真假:(1)52>且73> (2)78≥(3)34>或34<。
高中数学第一章1.3简单的逻辑联结词学案含解析新人教A版选修75
1.3 单的逻辑联结词[提出问题如图所示,有三种电路图.问题1:甲图中,什么情况下灯亮?提示:开关p闭合且q闭合.问题2:乙图中,什么情况下灯亮?提示:开关p闭合或q闭合.问题3:丙图中,什么情况下灯不亮?提示:开关p不闭合时.[导入新知]1.“且”含义的理解联结词“且”与日常用语中的“并且”“和”“同时”等词语等价,表示的是同时具有的意思.2.“或”含义的理解联结词“或”与日常用语中的“或者”“可能”等词语等价,它有三层含义,如“p或q”表示:要么是p不是q;要么是q不是p;要么是p且q.3.“非”含义的理解联结词“非”与日常用语中的“不是”“否定”“全盘否定”“问题的反面”等词语等价.[如“知识点一”中的图,若开关p,q的闭合与断开分别对应命题p、q的真与假,则灯亮与不亮分别对应着p∧q,p∨q,綈p的真与假.问题1:什么情况下,p∧q为真?提示:当p真,q真时.问题2:什么情况下,p∨q为假?提示:当p假,q假时.问题3:什么情况下,綈p为真?提示:当p假时.[导入新知]“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假判断[化解疑难]命题“p∧q”“p∨q”“綈p”真假的记忆(1)对于“p∧q”,简称为“一假则假”,即p,q中只要有一个为假,则“p∧q”为假;(2)对于“p∨q”,简称为“一真则真”,即p,q中只要有一个为真,则“p∨q”为真.[例1](1)p:梯形有一组对边平行,q:梯形有一组对边相等;(2)p:-1是方程x2+4x+3=0的解,q:-3是方程x2+4x+3=0的解.[解] (1)p∧q:梯形有一组对边平行且有一组对边相等.p∨q:梯形有一组对边平行或有一组对边相等.綈p:梯形没有一组对边平行.(2)p∧q:-1与-3是方程x2+4x+3=0的解.p∨q:-1或-3是方程x2+4x+3=0的解.綈p:-1不是方程x2+4x+3=0的解.[类题通法]用“或”“且”“非”联结两个简单命题时,要正确理解这三个联结词的意义,通常情况下,可以直接使用逻辑联结词联结,有时为了通顺也可以适当添加词语或省略联结词.如甲是运动员兼教练员,就省略了“且”.[活学活用]指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题:(1)方程2x2+1=0没有实数根;(2)12能被3或4整除.解:(1)是“綈p”形式,其中p:方程2x2+1=0有实根.(2)是“p或q”形式,其中p:12能被3整除;q:12能被4整除.[例2]断其真假.(1)p:等腰梯形的对角线相等,q:等腰梯形的对角线互相平分;(2)p:函数y=x2-2x+2没有零点,q:不等式x2-2x+1>0恒成立.[解] (1)p∨q:等腰梯形的对角线相等或互相平分,真命题.p∧q:等腰梯形的对角线相等且互相平分,假命题.綈p:等腰梯形的对角线不相等,假命题.(2)p∨q:函数y=x2-2x+2没有零点或不等式x2-2x+1>0恒成立,真命题.p∧q:函数y=x2-2x+2没有零点且不等式x2-2x+1>0恒成立,假命题.綈p:函数y=x2-2x+2有零点,假命题.[类题通法]1.命题结构的两种类型及判断方法(1)从含有联结词“且”“或”“非”或者与之等价的词语上进行判断.(2)若命题中不含有联结词,则从命题所表达的数学意义上进行判断.2.判断命题真假的三个步骤(1)明确命题的结构,即命题是“p∧q”“p∨q”,还是“綈p”;(2)对命题p和q的真假作出判断;(3)由“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假判断方法给出结论.[活学活用]分别写出下列含有逻辑联结词的命题的形式,并判断其真假. (1)等腰三角形顶角的平分线平分且垂直于底边; (2)1或-1是方程x 2+3x +2=0的根; (3)A(A ∪B ).(1)这个命题是“p ∧q ”的形式,其中p :等腰三角形顶角的平分线平分底边,q :等腰三角形顶角的平分线垂直于底边,因为p 真,q 真,则“p ∧q ”真,所以该命题是真命题.(2)这个命题是“p ∨q ”的形式,其中p :1是方程x 2+3x +2=0的根,q :-1是方程x 2+3x +2=0的根,因为p 假,q 真,则“p ∨q ”真,所以该命题是真命题.(3)这个命题是“綈p ”的形式,其中p :A ⊆(A ∪B ),因为p 真,则“綈p ”假,所以该命题是假命题.2+4(m +2)x +1=0无实数根.若“p 或q ”为真命题,求实数m 的取值范围.[解] “p 或q ”为真命题,则p 为真命题或q 为真命题. 当p 为真命题时,有⎩⎪⎨⎪⎧Δ=m 2-4>0,x 1+x 2=-m >0x 1x 2=1>0,,解得m <-2; 当q 为真命题时, 有Δ=16(m +2)2-16<0, 解得-3<m <-1.综上可知,实数m 的取值范围是(-∞,-1). [类题通法]解决此类问题的方法,一般是先假设p ,q 分别为真,化简其中的参数取值范围,然后当它们为假时取其补集,最后确定参数的取值范围.当p ,q 中参数的范围不易求出时,也可以利用綈p 与p ,綈q 与q 不能同真同假的特点,先求綈p ,綈q 中参数的范围.[活学活用]对命题p :1是集合{x |x 2<a }中的元素;q :2是集合{x |x 2<a }中的元素,则a 为何值时,“p 或q ”为真?a 为何值时,“p 且q ”为真?解:若p 为真,则1∈{x |x 2<a }, 所以12<a ,即a >1;若q 为真,则2∈{x |x 2<a },即a >4. 若“p 或q ”为真,则a >1或a >4,即a >1; 若“p 且q ”为真,则a >1且a >4,即a >4.1.求解含联结词命题中的参数[典例] (12分)已知命题p:函数y=x2+2(a2-a)x+a4-2a3在[-2,+∞)上单调递增,q:关于x的不等式ax2-ax+1>0解集为R.若p∧q假,p∨q真,求实数a的取值范围.[解题流程][活学活用]若命题p:函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,写出綈p,若綈p是假命题,则a的取值范围是什么?解:綈p:函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上不是减函数.因为綈p为假命题,所以p为真命题.因此-(a-1)≥4.故a≤-3,即所求a的取值范围是(-∞,-3].[随堂即时演练]1.p :点P 在直线y =2x -3上,q :点P 在抛物线y =-x 2上,下面使“p ∧q ”为真命题的一个点P (x ,y )是( )A .(0,-3)B .(1,2)C .(1,-1)D .(-1,1)解析:选C 使“p ∧q ”为真命题的点即为直线y =2x -3与抛物线y =-x 2的交点. 2.已知命题p :设x ∈R ,若|x |=x ,则x >0,命题q :设x ∈R ,若x 2=3,则x =3,则下列命题为真命题的是( )A .p ∨qB .p ∧qC .(綈p )∧qD .(綈p )∨q解析:选D 由|x |=x 应得x ≥0而不是x >0,故p 为假命题;由x 2=3应得x =±3,而不只有x =3,故q 为假命题.因此綈p 为真命题,从而(綈p )∨q 也为真命题.3.命题p :2∉{1,3},q :2∉{x |x 2-4=0},则命题p ∧q :2∉{1,3}且2∉{x |x 2-4=0}是________(填“真”或“假”)命题,命题p ∨q :____________,是________(填“真”或“假”)命题.解析:命题p :2∉{1,3}是真命题. 因为{x |x 2-4=0}={-2,2},所以命题q :2∉{x |x 2-4=0}是假命题. 答案:假 2∉{1,3}或2∉{x |x 2-4=0} 真4.若p :不等式ax +b >0的解集为xx >-ba,q :关于x 的不等式(x -a )(x -b )<0的解集为{x |a <x <b },且“p ∧q ”为真命题,则a ,b 满足__________.解析:因为命题“p ∧q ”为真命题, 所以p 、q 均为真命题,于是a >0,且a <b . 答案:0<a <b5.判断下列命题的真假:(1)函数y =cos x 是周期函数并且是单调函数; (2)x =2或x =-2是方程x 2-4=0的解.解:(1)由p :“函数y =cos x 是周期函数”,q :“函数y =cos x 是单调函数”,用联结词“且”联结后构成命题p ∧q .因为p 是真命题,q 是假命题,所以p ∧q 是假命题.(2)由p :“x =2是方程x 2-4=0的解”,q :“x =-2是方程x 2-4=0的解”,用“或”联结后构成命题p ∨q .因为p ,q 都是真命题,所以p ∨q 是真命题.[课时达标检测]一、选择题1.“xy ≠0”是指( )A .x ≠0且y ≠0B .x ≠0或y ≠0C .x ,y 至少一个不为0D .x ,y 不都是0 解析:选A xy ≠0是指x ,y 均不能为0,故选A. 2.若命题“p 且q ”为假,且綈p 为假,则( ) A .p 或q 为假 B .q 假 C .q 真 D .p 假解析:选B 綈p 为假,则p 为真,而p ∧q 为假,得q 为假.3.已知全集U =R ,A ⊆U ,B ⊆U ,如果命题p :3∈(A ∪B ),则命题“綈p ”是( ) A.3∉A B.3∈(∁U A )∩(∁U B ) C.3∈∁U B D.3∉(A ∩B )解析:选B 由p :3∈(A ∪B ),可知綈p :3∉(A ∪B ),即3∈∁U (A ∪B ),而∁U (A ∪B )=(∁U A )∩(∁U B ),故选B.4.由下列各组命题构成p 或q 、p 且q 、非p 形式的新命题中,p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,非p 为真命题的是( )A .p :3是偶数,q :4是奇数B .p :3+2=6,q :5>3C .p :a ∈{a ,b },q :{a a ,b }D .p :,q :N =N解析:选B 由p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,非p 为真命题可知p 为假命题且q 为真命题,选项中符合要求的只有B.5.若命题p :函数y =x 2-2x 的单调递增区间是[1,+∞),命题q :函数y =x -1x的单调递增区间是[1,+∞),则( )A .p ∧q 是真命题B .p ∨q 是假命题C .綈p 是真命题D .綈q 是真命题解析:选D 因为函数y =x 2-2x 在[1,+∞)上是增函数,所以其单调递增区间是[1,+∞),所以p 是真命题;因为函数y =x -1x的单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞),所以q 是假命题.所以p ∧q 为假命题,p ∨q 为真命题,綈p 为假命题,綈q 为真命题.故选D.二、填空题6.命题“若a <b ,则2a <2b”的否命题是__________,命题的否定是________________________.解析:命题“若p ,则q ”的否命题是“若綈p ,则綈q ”,命题的否定是“若p ,则綈q ”.答案:若a ≥b ,则2a ≥2b 若a <b ,则2a ≥2b7.已知p :x 2-x ≥6,q :x ∈Z.若“p ∧q ”“綈q ”都是假命题,则x 的值组成的集合为________________________________________________________________________.解析:因为“p ∧q ”为假,“綈q ”为假, 所以q 为真,p 为假.故⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x <6,x ∈Z ,即⎩⎪⎨⎪⎧-2<x <3,x ∈Z.因此,x 的值可以是-1,0,1,2. 答案:{-1,0,1,2}8.已知条件p :(x +1)2>4,条件q :x >a ,且綈p 是綈q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是________.解析:由綈p 是綈q 的充分不必要条件,可知綈p ⇒綈q ,但綈q ⇒/ 綈p ,由一个命题与它的逆否命题等价,可知q ⇒p 但p ⇒/ q ,又p :x >1或x <-3,可知{x |x >a x |x<-3或x >1},所以a ≥1.答案:[1,+∞) 三、解答题9.指出下列命题是简单命题还是含逻辑联结词的命题,若是含逻辑联结词的命题,写出构成它的简单命题.(1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;(2)若x ∈{x |x <1或x >2},则x 是不等式(x -1)(x -2)>0的解.解:(1)“p 且q ”形式的命题,其中p :两个角是45°的三角形是等腰三角形,q :两个角是45°的三角形是直角三角形.(2)“p 或q ”形式的命题,其中p :若x ∈{x |x <1},则x 是不等式(x -1)(x -2)>0的解,q :若x ∈{x |x >2},则x 是不等式(x -1)(x -2)>0的解.10.命题甲:关于x 的不等式x 2+(a -1)x +a 2≤0的解集为∅,命题乙:函数y =(2a 2-a )x为增函数.分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围:(1)甲、乙至少有一个是真命题;(2)甲、乙中有且只有一个是真命题. 解:甲命题为真时,Δ=(a -1)2-4a 2<0, 即a >13或a <-1,①乙命题为真时,2a 2-a >1, 即a >1或a <-12.②(1)甲、乙至少有一个是真命题, 即为a <-12或a >13,∴甲、乙至少有一个是真命题时,a 的取值范围是aa <-12或a >13.(2)甲、乙有且只有一个是真命题,有两种情况:甲真乙假时,13<a ≤1,当甲假乙真时,-1≤a <-12.∴甲、乙中有且只有一个真命题时,a 的取值范围是。
人教版数学高二学案 1.3 简单的逻辑联结词
§1.3简单的逻辑联结词学习目标 1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义,会判断含有这类逻辑联结词的命题的真假.2.结合具体实例,在了解“且”“或”“非”含义的基础上掌握这类联结词的用法.知识点一用逻辑联结词构成新命题思考观察下面四个命题:①12能被3整除;②12能被4整除;③12能被3整除且能被4整除;④12能被3整除或12能被4整除.请分析命题①②与命题③④分别有什么关系?答案③是由①、②用“且”联结而成的;④是由①、②用“或”联结而成的.梳理构成新命题记作读作用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就得到一p∧q p且q个新命题用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一p∨q p或q个新命题对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题¬p非p或p的否定知识点二含逻辑联结词的命题的真假判断p q p∧q p∨q¬p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真特别提醒:(1)对逻辑联结词的理解①“且”表示同时的意思,可联系集合中“交集”的概念.②“或”表示至少一个,可联系集合中“并集”的概念.③“非”表示对原命题否定,可联系集合中“补集”的概念.(2)命题“p∧q”“p∨q”“¬p”真假的记忆①对于“p∧q”,简称为“一假即假”,即p,q中只要有一个为假,则“p∧q”为假;②对于“p∨q”,简称为“一真即真”,即p,q中只要有一个为真,则“p∨q”为真.1.当p是真命题时,“p∧q”为真命题.(×)2.“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充要条件.(×)3.命题“p∨(¬p)”是真命题.(√)4.命题的否定与否命题是相同的概念.(×)类型一含有逻辑联结词的命题的构成与真假判断命题角度1p∧q命题及p∨q命题例1分别写出下列命题构成的“p∧q”“p∨q”的形式,并判断它们的真假.(1)p:函数y=3x2是偶函数,q:函数y=3x2是增函数;(2)p:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,q:三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角;(3)p:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根,q:方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等.考点“p∧q”形式的命题题点“且(∧)”命题概念的理解解(1)p∧q:函数y=3x2是偶函数且函数y=3x2是增函数.∵p真,q假,∴p∧q为假.p∨q:函数y=3x2是偶函数或函数y=3x2是增函数.∵p真,q假,∴p∨q为真.(2)p∧q:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.∵p真,q真,∴p∧q为真.p∨q:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.∵p真,q真,∴p∨q为真.(3)p∧q:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根且方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等.∵p真,q真,∴p∧q为真.p∨q:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根或方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等.∵p真,q真,∴p∨q为真.反思与感悟(1)判断p∧q形式的命题的真假,首先判断命题p与命题q的真假,然后根据真值表“一假则假,全真则真”进行判断.(2)判断p∨q形式的命题的真假,首先判断命题p与命题q的真假,只要有一个为真,即可判定p∨q形式命题为真,而p与q均为假命题时,命题p∨q为假命题,可简记为:有真则真,全假为假.跟踪训练1分别用“p∨q”“p∧q”填空.(1)“菱形的对角线互相垂直平分”是________形式.(2)“3≥3”是________形式.(3)“△ABC是等腰直角三角形”是________形式.考点“p∧q”形式的命题题点“且(∧)”命题概念的理解答案(1)p∧q(2)p∨q(3)p∧q命题角度2命题的否定与否命题例2写出下列命题的否定形式和否命题.(1)若abc=0,则a,b,c中至少有一个为零;(2)等腰三角形有两个内角相等;(3)自然数的平方是正数.考点“非”命题的概念题点辨析命题的否定与否命题解(1)否定形式:若abc=0,则a,b,c全不为零.否命题:若abc≠0,则a,b,c全不为零.(2)否定形式:等腰三角形的任意两个内角都不相等.否命题:若某三角形不是等腰三角形,则它的任意两个内角都不相等.(3)否定形式:自然数的平方不是正数.否命题:不是自然数的数的平方不是正数.反思与感悟(1)原命题是“若A,则B”,其否定是“若A,则¬B”,条件不变,否定结论;其否命题是“若¬A,则¬B”,既要否定条件,又要否定结论.(2)命题p与¬p的真假性相反,命题p与其否命题的真假性无关.跟踪训练2写出下列命题的否定与否命题,并判断其真假.(1)p:若x>y,则5x>5y;(2)p:若x2+x<2,则x2-x<2;(3)p:正方形的四条边相等;(4)p:已知a,b为实数,若x2+ax+b≤0的解是非空实数集,则a2-4b≥0.考点“非”命题的概念题点辨析命题的否定与否命题解(1)¬p:若x>y,则5x≤5y;假命题.否命题:若x≤y,则5x≤5y;真命题.(2)¬p :若x 2+x <2,则x 2-x ≥2;假命题. 否命题:若x 2+x ≥2,则x 2-x ≥2;假命题.(3)¬p :存在一个正方形,它的四条边不全相等;假命题.否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等;假命题.(4)¬p :存在两个实数a ,b ,虽然满足x 2+ax +b ≤0的解是非空实数集,但使a 2-4b <0;假命题.否命题:已知a ,b 为实数,若x 2+ax +b ≤0的解是空集,则a 2-4b <0;真命题. 类型二 逻辑联结词的应用例3 已知p :方程x 2+mx +1=0有两个不等的负实数根;q :方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实数根,若“p ∨q ”为真命题,且“p ∧q ”是假命题,求实数m 的取值范围. 考点 “p ∨q ”形式的命题题点 由命题p ∨q ,p ∧q 的真假求参数范围解 p :方程x 2+mx +1=0有两个不等的负实数根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ=m 2-4>0,-m <0,解得m >2.q :方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实数根⇔Δ=16(m -2)2-16<0,得1<m <3. 所以¬p :m ≤2,¬q :m ≤1或m ≥3.因为“p ∨q ”为真命题,且“p ∧q ”是假命题, 所以p ,q 一真一假.①当p 为真且q 为假时,即p 为真且¬q 为真,所以⎩⎪⎨⎪⎧m >2,m ≤1或m ≥3,解得m ≥3;②当p 为假且q 为真时,即¬p 为真且q 为真,所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2,1<m <3,解得1<m ≤2.综上所述,实数m 的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).引申探究若本例条件变为(¬p )∨(¬q )为假命题,其他条件不变,求实数m 的取值范围. 解 由例题解可知p :m >2,q :1<m <3, 若“(¬p )∨(¬q )”为假命题,即p ∧q 为真命题,所以⎩⎪⎨⎪⎧m >2,1<m <3,解得2<m <3.所以实数m 的取值范围是(2,3).反思与感悟 解决逻辑联结词的应用问题,一般是先假设p ,q 分别为真,化简其中的参数的取值范围,然后当它们为假时取其补集,最后确定参数的取值范围.当p ,q 中参数的范围不易求出时,也可以利用¬p 与p ,¬q 与q 不能同真同假的特点,先求¬p ,¬q 中参数的范围. 跟踪训练3 已知命题p :|m +1|≤2成立,命题q :方程x 2-2mx +1=0有实数根.若¬p 为假命题,p ∧q 为假命题,求实数m 的取值范围. 考点 “p ∨q ”形式的命题题点 由命题p ∨q ,p ∧q 的真假求参数范围 解 |m +1|≤2⇒-2≤m +1≤2⇒-3≤m ≤1, 即命题p :-3≤m ≤1.方程x 2-2mx +1=0有实数根⇒Δ=(-2m )2-4≥0 ⇒m ≥1或m ≤-1, 即q :m ≥1或m ≤-1.因为¬p 为假命题,p ∧q 为假命题, 所以p 为真命题,q 为假命题. ¬q 为真命题,¬q :-1<m <1,由⎩⎪⎨⎪⎧-3≤m ≤1,-1<m <1⇒-1<m <1.即m的取值范围是(-1,1).1.命题“梯形的两对角线互相不平分”的命题形式为()A.p或q B.p且qC.非p D.简单命题考点“非”命题的概念题点“非”命题概念的理解答案C解析记命题p:梯形的两对角线互相平分,而原命题是“梯形的两对角线互相不平分”,是命题p的否定形式,故选C.2.若命题p∧q为假,且¬p为假,则()A.p或q为假B.q为假C.p为假D.不能判断q的真假考点“p∨q”形式的命题题点判断“p∨q”形式命题的真假答案B解析∵¬p为假,∴p为真,又p∧q为假,∴q为假.3.在一次跳高比赛前,甲、乙两名运动员各试跳了一次.设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”,命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”,则命题p∨q表示()A.甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米B.甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米C.甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米D.甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米考点“p∨q”形式的命题题点“或(∨)”命题概念的理解答案 D解析 ∵命题p 表示“甲的试跳成绩超过2米”,命题q 表示“乙的试跳成绩超过2米”, ∴命题p ∨q 表示“甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米”,故选D.4.已知命题p :若x >y ,则-x <-y ;命题q :若x <y ,则x 2<y 2.在命题①p ∧q ,②p ∨q ,③p ∧(¬q ),④(¬p )∨q 中,真命题是( ) A .①③ B .①④ C .②③D .②④考点 “p ∨q ”形式的命题 题点 判断“p ∨q ”形式命题的真假 答案 C解析 根据不等式的性质可知,若x >y ,则-x <-y 成立,即p 为真命题; 当x =-1,y =1时,满足x <y ,但x 2<y 2不成立,即命题q 为假命题.则①p ∧q 为假命题;②p ∨q 为真命题;③p ∧(¬q )为真命题;④(¬p )∨q 为假命题.故选C. 5.已知命题p :函数f (x )=(2a -1)x +b 在R 上是减函数;命题q :函数g (x )=x 2+ax 在[1,2]上是增函数,若p ∧q 为真,则实数a 的取值范围是________. 考点 “p ∧q ”形式的命题题点 已知p 且q 命题的真假求参数(或其范围) 答案 ⎣⎡⎭⎫-2,12 解析 命题p :由函数f (x )在R 上为减函数得2a -1<0,解得a <12,命题q :由函数g (x )=x 2+ax 在[1,2]上是增函数, 得-a2≤1,解得a ≥-2.由p ∧q 为真得p ,q 都为真,故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫-∞,12∩[-2,+∞),即为⎣⎡⎭⎫-2,12.1.正确理解逻辑联结词是解题的关键,日常用语中的“或”是两个中任选一个,不能都选,而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个.2.判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤(1)逐一判断命题p,q的真假;(2)根据“且”“或”的含义判断“p∧q”,“p∨q”的真假.p∧q为真⇔p和q同时为真,p∨q为真⇔p和q中至少一个为真.3.若命题p为真,则“¬p”为假;若p为假,则“¬p”为真,类比集合知识,“¬p”就相当于集合P在全集U中的补集∁U P.因此(¬p)∧p为假,(¬p)∨p为真.4.注意区别命题的否定与否命题,命题的否定只否定结论,否命题既否定结论又否定条件.。
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1.3 简单的逻辑联结词教材知识检索考点知识清单1.“p 且q ”就是用联结词“ ① ”把命题p 和命题q 联结起来,得到的新命题.2.“p 或q ”就是用联结词“ ② ”把命题p 和命题q 联结起来,得到的新命题.3.对一个命题p ③ ,得到的新命题,记作ip ,读作“ ④ ”或“ ⑤ ”.4.已知p 、q 的真假时,常用下列表格判断“p 且q ”“p 或q ”“非p ”的真假.要点核心解读一、逻辑联结词“且”1.定义:用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来,就得到一个新命题,记作,q p ∧读作”,且q p其中符号“∧”读作“合取”.2.判断命题“p 且q”的真假:当p 、q 都是真命题时,“p 且q”为真命题;当p 、q 两个命题中只要有一个命题为假命题时,“p 且q”就为假命题.[注意].逻辑联结词“且”与集合中“交集”的概念有关,与A x x B A x ∈=∈|{且}B x ∈中的“且”意义相同,即”“A x ∈”“B x ∈这两个条件都要满足,举一个与“且”有关的实际例子:电子保险门在“钥匙插入”且“密码正确”两个条件都满足时,才会开启,相应的电路,就叫与门电路.二、逻辑联结词“或”1.定义:用逻辑联结词“或”把命题 p 和命题q 联结起来,就得到一个新命题,记作,q p ∨读作“p 或q”,其中符号“∨”读作“析取”.2.判断命题“p 或q”的真假:当p 、q 两个命题中,只要有一个命题为真命题时,“p 或q”就为真命题;当p 、q 两个命题都为假命题时,“p 或q”为假命题.[注意] 对“或”的理解,可联想并集的概念,”“B A x ∈是指”“A x ∈或”“B x ∈其中至少有一个是成立的,即为”“A x ∈且”B x ∉还可以为A x ∉且”B x ∈也可以为”“A x ∈且”B x ∈逻辑联结词中的“或”的含义与“并集”中的“或”的含义是一致的,它们都不同于生活用语中的“或”的含义,生活用语中的“或”表示“不兼有”,例如“你去图书馆或去游泳馆”,两者不可能同时发生;再如,日常生活中,我们认为“苹果是长在树上或长在地里”这句话是不妥的,而我们在数学中所研究的“或”则表示“可兼有但不必须兼有”,由“或”联结两个命题p 和q 构成的复合命题“p 或q ”,在“p 真q 假”“p 假q 真”“p 真q 真”时,“p 或q ”都为真.三、逻辑联结词“非”1.定义:对一个命题p 全盘否定,得到一个新命题,记作,p ⌝读作“非p”或“p 的否定”.2.判断命题p ⌝的真假:若p 为真命题,则p ⌝必为假命题;若p 为假命题,则p ⌝必为真命题.3.对“非”的理解,可联想集合中补集的概念,若将命题p 对应集合P ,则命题“非p”就对应集合P 在全集U 中的补集.P C U 例如,“0.5是非整数”是对命题“0.5是整数”进行否定而得出的新命题,一般地,写一个命题的否定,往往需要对正面叙述的词语进行否定,下面把常用的一些词语和它的否定词语对照列表如下:[注意] (1)“都是”的否定词是“不都是”;“一定是”的否定词是“一定不是”,而不是“不一定是”.在逻辑中,“一定”只是个语气词,不能对它否定.(2)“p 且q ”的否定为”,或且(“)()()q p q p ⌝⌝=⌝“且”变为“或”;“p 或q ”的否定为)q p 或(“⌝”,且)()(q p ⌝⌝=“或”变为“且”. (3)“命题的否定”与“否命题”:这是两个完全不同又极易混淆的概念,命题的否定是,,p ⌝形式的命题,它已经不再是简单命题的形式了,它是复合命题;而否命题是对条件和结论分别都进行了否定,如果原命题是简单命题,那么它的否命题仍是简单命题.命题的否定的真假与原来的命题相反,而否命题的真假与原命题无关.四、复合命题1.定义一般地,把不含逻辑联结词的命题称为简单命题,简单命题是不含其他命题作为其组成部分(在结构上不能再分解成其他命题)的命题.由简单命题和逻辑联结词所构成的命题称为复合命题.[注意] 判断一个命题是简单命题还是复合命题时,不能只从字面上看有没有“或”“且”“非”,如“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线重合”,此命 题字面上无“且”,但可改成“等腰三角形的顶角平分线既是底边上的中线又是底边上的高线”,所以它是复合命题;又如“5的倍数的末位数字不是0就是5”,此命题字面上无“或”,但它也是复合命题.2.复合命题的真假判定判断复合命题的真假,可按如下步骤进行:(1)确定复合命题的构成形式;(2)判断其中简单命题的真假;(3)根据其真值表判断复合命题的真假.复合命题的真值表:[注意] 我们可以把上面的真值表概括为:对于“p 或q ”形式的复舍命题“有真必真”,即命题p 与命题q 两个命题只要有一个为真命题,复合命题“p 或q ”就是真命题;对于“ p 且g ”形式的复合命题“有假必假”,即命题p 与命题q 两个命题只要有一个为假命题,复合命题“p 且q ”就是假命题;对于“非p ”形式的复合命题“真假相反”, 即p 真则“非p ”假,p 假则“非P ”真.典例分类剖析考点1复合命题的构成命题规律1.用逻辑联结词“或”“且”“非”构成一个复合命题.2.分析一个复合命题的构成部分,[例1] 分别写出由下列命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p”形式的新命题.(l)p:π 是无理数,q:e 不是无理数.(2)p :方程0122=++x x 有两个相等的实数根,q :方程0122=++x x 两根的绝对值相等.(3)p :正△ABC 三内角都相等,q :正△ABC 有一个内角是直角.[答案] (l)p 或q :π 是无理数或e 不是无理数.p 且g :π是无理数且e 不是无理数,非p:π不是无理数.(2)p 或q :方程0122=++x x 有两个相等的实数根或两根的绝对值相等.p 且q :方程0122=++x x 有两个相等的实数根且两根的绝对值相等.非p :方程0122=++x x 没有两个相等的实数根.(3)p 或q :正△ABC 三内 角都相等,或有一个内角是直角;p 且q :正△ABC 三内角都相等,且有一个内角是直角;非p :正△ABC 三个内角不都相等:[点拨] 解答这类问题,应先用逻辑联结词将两个简单命题连起来,再用数学语言综合叙述.注意在写否命题时,否定词语必须添加在正确位置上.检验由简单命题构成复合命题是否正确的依据是:构成后的复合命题的真假漫.否符合真值表.母题迁移 1.分别写出由下列各组命题构成的“p 或q”“p 且q”,“非p”形式的新命题,并判断其真假.(1)p :3是9的约数,q :3是18的约数.(2)p :菱形的对角线一定相等.q :菱形的对角线互相垂直.(3)p :方程012=-+x x 的两实根符号相同.q :方程012=-+x x 的两实根绝对值相等.(4)p: π是有理数,q :π是无理数.[例2] 判断下列命题中是否含有逻辑联结词“且”“或”“非”,若含有,请指出其中p 、q 的基本命题.(1)菱形的对角线互相垂直平分;(2)2是4和6的约数;(3)不等式0652>+-x x 的解为x>3或x<2. [答案](1)是“p 且q ”形式的命题,其中p :菱形的对角线互相垂直;q :菱形的对角线互相平分.(2)是“p 且q ”形式的命题,其中P :是4的约数;q:2是6的约数.(3)是简单命题,而不是用“或”联结的复舍命题“不等式0652>+-x x 的解为x>3或不等式 0652>+-x x 的解为x<2”,因为前者(原命题)是真命题,而后者(用“或”联结的复合命题)是假命题.[感悟] 对于用逻辑联结词“或”“且”“非”联结的新命题的结构特点不能仅从字面上看它是否含有“且”“或”“ 非 ”等逻辑联结词,而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题,如“四边相等且四角相等的由速形是正方形”不是“且”联结的新命题,因为它是真命题,而用“且”联结的命题“四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题.事实上,它 是一个复合条件的简单命题.母题迁移 2.分别指出下列复合命题的形式及构成的简单命题.(1)李明是老师,赵山也是老师;(2)1是合数或质数;(3)他是运动员兼教练员;(4)这些文学作品不仅艺术上有缺点,而且语法上也有错误,考点2复合命题真假的判定命题规律1.判定一个复合命题的真假.2.利用真值表进行逻辑推理.[例3] 指出下列命题的真假.(1)不等式Ix +2{≤0没有实数解;(2) -1是偶数或奇数;2)3(属于集合Q ,也属于集合R ;).()4(B A A ⊆/[答案] (1)此命题是”“p ⌝的形式,其中p :不等式+x |0|2≤有实数解,因为2-=x 是该不等式的一个解,所以命题p 为真命题,即p ⌝为假命题,所以原命题为假命题.(2)此命题是,,q p ∨的形式,其中p :-1是偶数;q :-1是奇数.因为命题P 为假命题,命题q 为真命题,所以”∨“q p 为真命题,故原命题为真命题. (3)此命题是“”∧q p 的形式,其中.2:p 属于集合2:;q Q 属于集合R .因为命题p 为假命题,命题q 为真命题,所以“”∧q p 为假命题,故原命题为假命题.(4)此命题是”“p ⌝的形式,其中),(:B A A p⊆因为p 为真命题,所以p ⌝为假命题,故原命题为假命题,母题迁移 3.(2010年全国高考题)已知命题:1p 函数x x y --=22在R 内为增函数;:2p 函数 x x y -+=22在R 内为减函数.则在命题:∧和∨∧∨14213212211:)(:,:,:p q p p q p p q p p q ⌝)(2p ⌝中,真命题是( ). 42413231,..........,.......,........,q q D q q C q q B q q A ⋅⋅⋅⋅[例4] 以下判断是否正确:(1)命题_p 和q 都是简单命题,那么:①命题p 真,则命题“p 且q”一定真;②命题p 假,则命题“p 且q”不一定假;③命题 “P 且q”真,则命题p 一定真;④命题“p 或q”假,则命题p 一定假.(2)命题“p 或q”与命题“p 且q”都是真命题,那么:①命题q 一定是真命题;②命题q 不一定是真命题;③命题p 不一定是真命题;④命题p 与q 真假相同.(3)命题“p 或g”与命题“p 且q”都是假命题,那么:①命题“非p”与命题“非q ”真假不同;②命题“非p”与命题“非q”至少有一个是假命题;③命题“非p 且非q”是真命题;④命题q 与命题“非p”真假相同.[答案] (1) ∵对于“p 且q”一假必假,∴①②错,③正确,而对于“p 或q”一真必真,因此④正确.(2) ∵p 或q”与“p 且q”都是真命题,∴p 与q 均为真命题,..,①④正确,②③错误. .(3)∵ p 或q”与“p 且q”都是假命题,∴p 与q 均为假命题,而“p ⌝”的真假相反.因此①②④错,③正确 .[点拨] 解答这类逻辑推理问题关键在于充分利用真值表进行分析,也就是由给出复合命题的真假情况,利用真值表逆向思考,从而推断出组成复合命题的简单命题的真值情况,再判断相关命题正确与否. 母题迁移 4.是否存在同时满足下列三个条件的命题p 和命题q?若存在,试构造出一组这样的命题;若不存在,请说明理由.,,)1(q p ∨⋅为真;(2),,q p ∧为假;(3)”“p ⌝为假, 考点3 命题的否定与否命题命题规律1.“命题的否定”与?否命题”的辨析.2. 准确地写出一个命题的否命题.[例5] 写出下列命题的否定形式和否命题:(1)若,0=abc 则a 、b 、c 中至少有一个为零;(2)若.,022=+y x 则x 、y 全为零;(3)等腰三角形有两个内角相等;(4)自然数的平方是正数.[答案] (1)否定形式:若abc =O ,则a 、b 、c 全不为零;否命题:若abc ≠0,则a 、b 、c 全不为零.(2)否定形式:若,022=+y x 则x 、y 不全为零;否命题:若,022=/+y x 则x 、y 不全为零.(3)否定形式:等腰三角形的任意两个内角都不相等;否命题:不是等腰的三角形的任意两个内角都不相等.(4)否定形式:自然数的平方不是正数;否命题:不是自然数的数的平方不是正数.[辨析] 命题的否定(即p ⌝)与否命题是容易混淆的两个概念,准确把握它们之间的联系与区别. (1) 区别:①概念:命题的否定形式是直接对命题进行否定;而否命题则是原命题的条件和结论分别否定后所组成的命题.②构成:对于“若p ,则q ”形式的命题,其否定形式为“若p ,则q ⌝”也就是不改变条件,而否定结论;而其否命题则为“若q p ⌝⌝则,”,也就是条件和结论都否定.③真值:否定命题的真值与原命题相反;而否命题的真值与原命题无关.(2)联系:①它们都是把原命题的条锌或结论否定后组成的新命题.②它们在否定过程中,对其正面叙述的词语的否定叙述都是一样的(如“至多有一个”的否定为“至少有两个”).母题迁移 5.写出下列命题的否定形式和命题的否命题:(1)若a>b ,则;22->-b a(2)到圆心的距离等于半径的点在圆上.考点4 复合命题的应甩命题规律1.给出简单命题及由它们组成的复合命题的真值求参数取值范围.2.复合命题的真值推理的实际应用.[例6] 已知,1,0=/>a a 设p :函数)1(l o g +=x y a 在∈x ),0(+∞内单调递减;q :曲线1)32(2+-+=x a x y 与x 轴交于不同的两点,如果p 和q 有且只有一个正确,求a 的取值范围.[答案] 当10<<a 时,函数)1(log +=x y a 在),0(∞+ 内单调递减;当a>l 时,函数)1(log +=x y a在),0(+∞内不是单调递减.曲线1)32(2+-+=x a x y 与x 轴交于两点等价于,04)32(2>--a 即21<a 或⋅>25a 解法一:(1)若p 正确且q 不正确,即函数)1(lo g +=x y a 在),0(+∞∈x 内单调递减,曲线1)32(2+-+=x a x y 与x 轴不交于两点,因此]),25,1()1,21([)1,0( ∈a 即⋅∈)1,21[a (2)若 p 不正确且q 正确,即函数)1(log +=x y a 在,0(∈x )∞+内不是单调递减,曲线1)32(2+-+=x a x y 与x 轴交于两点,因此 ),1(+∞∈a )],,25()21,0[(+∞ 即∈a ⋅+∞),25( 综上,a 的取值范围为⋅+∞),25()1,21[ 解法二:设====)}(|{),1,0()}(|{a q a B a p a A ⋅+∞),25()21,0(∴ p 和q 有且只有一个正确B A a ∈⇔且,B A a ∉故a 的取值范围为⋅+∞),25()1,21[ [点拨] 解答这类问题,应先由每个简单命题为真,确定参数的取值范围,再由复合命题的真值,得参数所满足的条件,进而确定参数的取值范 围, 在综合参数的取值范围时,有时利用集合来处理,可以简化解题过程.如本例的解法二,就较为简捷,母题迁移 6.已知命题p :方程012=++mx x 有两个不等的正实数根,命题q :方程 01)2(442=+++x m x 无实数根,若“p 或q”为真命题,求实数m 的取值范围,[例7] 现有张三、李四、王五三人,张三说李四在说谎,李四说王五在说谎,王五说张三和李四都在说谎,其中只有一人说真话,请问:张三、李四、王五谁在说谎?谁说的是真话?[解析] 可先假设 其中一人说真话,从而可推知其他人的情况,再进行综合分析,探寻矛盾.[答案] 设张三为A ,李四为 B ,王五为C ,说真话为1,说谎话为0,(1)若A=1,即张三说真话,由于张三说李四说谎,可得;0=B 而李四说王五说谎,所以王五说的为真话,故,1=C 由于王五说张三和李四都说谎,可知,0,0==B A 这与1=A 矛盾,故1=A 不成立.(2)若,0=A 依题意知,1=B 李四说王五说谎,因此,0=C 由于王五说张三和李四都说谎,而由0=C 可知1,1==B A 或,0,11,0====B A B A 或只要这三种情况,中有一种成立,都可说明王五说的是假的,因为在这三种情况中至少有一人说的是真话,由这三种情况可以挑选出0,1,0===C B A 符合要求,结论:张三、王五说谎,李四说真话.[点拨] 解决这类复合命题的真值推理应用问题,一般使用分类讨论方法来处理,即以某命题真与假为分类标准,进行分类讨论,进而研究其他命题的真值,解答这类问题易错地方是忽视其中某种情况.这类问题往往涉及_较多的命题,因此直接分析有时较为复杂,利用真值表有时可简化分析过程,如本例解答的思维过程列表如下:母题迁移 7.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中有一位获奖,有人采访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖”;乙说:“甲未获奖,丙也未获奖”;丙说:“我获奖了”;丁说:“是乙获奖”, 四位歌手的话中有两句是对的,则获奖的歌手是谁?优化分层测训学业水平测试1.命题“2011≥2010”使用逻辑联结词的情况是( ).A .使用了逻辑联结词“或” B.使用了逻辑联结词“且”C .使用了逻辑联结词“非”D .以上都不对2.下列命题中是真命题的为( ).2332.<<且A 1325.<<或B e C ≥π. 321.=/+D3.已知命题p:2是偶数,命题q:2是3的约数,则下列命题为真命题的是( ). q p A ∧⋅ q p B ∨⋅ p C ⌝. )()(q p D --⋅∧4.判断下列命题的形式(从””和“”“p q p q p ⌝∧∨中选填一种). (1)π不是整数::86)2(≤(3)2是偶数且2是素数:5.已知命题,0:R p ∈则p ⌝是6.指出下列 命题各是由哪些命题和逻辑联结词构成的.(1)李强是篮球运动员且是跳高运动员;(2)△ABC 是等腰三角形或△ABC 是直角三角形;⋅22)3(不是分数. 高考能力测试(测试时间:90分钟测试满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,选择一个符合题目要求的选项)1.命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是( ).A.、简单命题 B .“p 或g”形式的复合命题C .“p 且g”形式的复合命题D .“非P”形式的命题2.如果命题“q p ∨”与命题“p ⌝”都是真命题,那么( ).A .命题p 不一定是假命题B .命题q 一定为真命题C .命题q 不一定是真命题D .命题p 与命题q 的真假相同3.命题),,(0:22R b a b a p ∈<+命题),,(0:22R b a b a q ∈≥+下列结论正确的是( ).”∨“q p A .为真 ”∧“q p B .为真 ”“p C ⌝.为假 ”“q D ⌝为真 4.已知全集,,,U B U A R U ⊆⊆=如果命题,:B A a p ∈则命题“非p”是( ).A .非A a p ∉:B .非BC a p U ∈: C .非B A a p ∉:D .非)()(:B C A a p U U ¢∈5.命题p :若,,R b a ∈则1||||>+b a 是1||>+b a 的充分而不必要条件,命题q :函数|2|1--=x y的定义域是,∞-(),,3[]1+∞-则( ). A .“p 或q”为假 B .“p 且q”为真 C.p 真q 假 D.p 假q 真6.(2010年海南、宁夏高考题)已知命题:1p 函数x x y --=22在R 上为增函数,:2p 函数x x y -+=22 在R 上为减函数,则在命题213212211)(,:,:p p q p p q p p q ∨∧∨⌝和∧14:p q )(2p ⌝中,真命题是( ).31,q q A ⋅ 32,q q B ⋅ 41,q q C ⋅ 42,q q D ⋅7.(2008年广东高考题)已知命题p :所有有理数都是实数,命题q :正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是( ).q p A ∨).(⌝ q p B ∧⋅ )().(q p C ⌝⌝∧ )().(q p D ⌝⌝∨8.(2011年北京高考题)若P 是真命题,q 是假命题,则( ).q p A ∧⋅是真命题 q p B ∨⋅是假命题p C ⌝是真命题 q D ⌝.是真命题二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.答案须填在题中横线上)9.若命题p :不等式0>+b ax 的解集为}|{a b x x ->命题q :关于x 的不等式0))((<--b x a x 的解集为},|{b x a x <<则p q p q p ⌝,,∧∨形式的复合命题中的真命题是10.已知命题,:,2|:|2Z x q x x p ∈≤-如果””与““p q p ⌝∧同时为假命题,则x 的取值范围为11.设有两个命题:p:关于x 的不等式0422>++ax x 对一切∈x R 恒成立,q :函数x a y )25(--=在R 上是减函数,若“p 且q”为真命题,则实数a 的取值范围是三、解答题(本大题共4小题,12,13,14题每小题11分,15题12分,共45分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)12.分别写出由下列各组命题构成的p q p q p ⌝、∧、∨形式的复合命题:2:)1(p 是无理数,;12:大于q;0:,:)2(N q Z N p ∈⊆.41:,41:)3(22-<+->+x x q x x p13.分别指出由下列各组命题构成的p 或q 、p 且q 、-p 形式的复合命题的真假:;23:,522:)1(>=+q p(2)p :9是质数,q :8是12的约数;张喜林制 11}.0{:},0{:)3(=∅≠⊂∅q p14.命题p:l 是集合}|{2a x x <中的元素;q:2是集合}|{2a x x <中的元素,则a 为何值时,“p 或q”为真?a 为何值时,“p 且g”为真?15.已知命题p :方程012=++mx x 有两个不等的正实数根,命题q :方程01)2(442=+++x m x 无实数根.若“p 或q”为真命题,求实数m 的取值范围.。