1.3 简单的逻辑连结词-王后雄学案
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1.3 简单的逻辑联结词
教材知识检索
考点知识清单
1.“p 且q ”就是用联结词“ ① ”把命题p 和命题q 联结起来,得到的新命题.
2.“p 或q ”就是用联结词“ ② ”把命题p 和命题q 联结起来,得到的新命题.
3.对一个命题p ③ ,得到的新命题,记作ip ,读作“ ④ ”或“ ⑤ ”.
4.已知p 、q 的真假时,常用下列表格判断“p 且q ”“p 或q ”“非p ”的真假.
要点核心解读
一、逻辑联结词“且”
1.定义:用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来,就得到一个新命题,记作,q p ∧读作”,且q p
其中符号“∧”读作“合取”.
2.判断命题“p 且q”的真假:当p 、q 都是真命题时,“p 且q”为真命题;当p 、q 两个命题中只要有一个命题为假命题时,“p 且q”就为假命题.
[注意].逻辑联结词“且”与集合中“交集”的概念有关,与A x x B A x ∈=∈|{
且}B x ∈中的“且”意义相同,即”“A x ∈”“B x ∈这两个条件都要满足,
举一个与“且”有关的实际例子:电子保险门在“钥匙插入”且“密码正确”两个条件都满足时,才会开启,相应的电路,就叫与门电路.
二、逻辑联结词“或”
1.定义:用逻辑联结词“或”把命题 p 和命题q 联结起来,就得到一个新命题,记作,q p ∨读
作“p 或q”,其中符号“∨”读作“析取”.
2.判断命题“p 或q”的真假:当p 、q 两个命题中,只要有一个命题为真命题时,“p 或q”就为真命题;当p 、q 两个命题都为假命题时,“p 或q”为假命题.
[注意] 对“或”的理解,可联想并集的概念,”“B A x ∈是指”“A x ∈或”“B x ∈其中至少有一
个是成立的,即为”“A x ∈且”B x ∉还可以为A x ∉且”B x ∈也可以为”“A x ∈且”B x ∈逻辑联结词中
的“或”的含义与“并集”中的“或”的含义是一致的,它们都不同于生活用语中的“或”的含义,生活
用语中的“或”表示“不兼有”,例如“你去图书馆或去游泳馆”,两者不可能同时发生;再如,日常生活中,我们认为“苹果是长在树上或长在地里”这句话是不妥的,而我们在数学中所研究的“或”则表示“可兼有但不必须兼有”,由“或”联结两个命题p 和q 构成的复合命题“p 或q ”,在“p 真q 假”“p 假q 真”“p 真q 真”时,“p 或q ”都为真.
三、逻辑联结词“非”
1.定义:对一个命题p 全盘否定,得到一个新命题,记作,p ⌝读作“非p”或“p 的否定”.
2.判断命题p ⌝的真假:若p 为真命题,则p ⌝必为假命题;若p 为假命题,则p ⌝必为真命题.
3.对“非”的理解,可联想集合中补集的概念,若将命题p 对应集合P ,则命题“非p”就对应集合P 在全集U 中的补集.P C U 例如,“0.5是非整数”是对命题“0.5是整数”进行否定而得出的新命题,一般地,写一个命题的否定,往往需要对正面叙述的词语进行否定,下面把常用的一些词语和它的否定词语对照列表如下:
[注意] (1)“都是”的否定词是“不都是”;“一定是”的否定词是“一定不是”,而不是“不一定是”.在逻辑中,“一定”只是个语气词,不能对它否定.
(2)“p 且q ”的否定为”,
或且(“)()()q p q p ⌝⌝=⌝“且”变为“或”;“p 或q ”的否定为)q p 或(“⌝”,
且)()(q p ⌝⌝=“或”变为“且”. (3)“命题的否定”与“否命题”:这是两个完全不同又极易混淆的概念,命题的否定是,,p ⌝形式的命题,它已经不再是简单命题的形式了,它是复合命题;而否命题是对条件和结论分别都进行了否定,如果原命题是简单命题,那么它的否命题仍是简单命题.命题的否定的真假与原来的命题相反,而否命题的真假与原命题无关.
四、复合命题
1.定义
一般地,把不含逻辑联结词的命题称为简单命题,简单命题是不含其他命题作为其组成部分(在结构上不能再分解成其他命题)的命题.由简单命题和逻辑联结词所构成的命题称为复合命题.
[注意] 判断一个命题是简单命题还是复合命题时,不能只从字面上看有没有“或”“且”“非”,如“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线重合”,此命 题字面上无“且”,但可改成“等腰三角形的顶角平分线既是底边上的中线又是底边上的高线”,所以它是复合命题;又如“5的倍数的末位数字不是0就是5”,此命题字面上无“或”,但它也是复合命题.
2.复合命题的真假判定
判断复合命题的真假,可按如下步骤进行:(1)确定复合命题的构成形式;(2)判断其中简单命题的真假;(3)根据其真值表判断复合命题的真假.
复合命题的真值表:
[注意] 我们可以把上面的真值表概括为:对于“p 或q ”形式的复舍命题“有真必真”,即命题p 与命题q 两个命题只要有一个为真命题,复合命题“p 或q ”就是真命题;对于“ p 且g ”形式的复合命题“有假必假”,即命题p 与命题q 两个命题只要有一个为假命题,复合命题“p 且q ”就是假命题;对于“非p ”形式的复合命题“真假相反”, 即p 真则“非p ”假,p 假则“非P ”真.
典例分类剖析
考点1复合命题的构成
命题规律
1.用逻辑联结词“或”“且”“非”构成一个复合命题.
2.分析一个复合命题的构成部分,
[例1] 分别写出由下列命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p”形式的新命题.
(l)p:π 是无理数,q:e 不是无理数.
(2)p :方程0122=++x x 有两个相等的实数根,q :方程0122
=++x x 两根的绝对值相等.
(3)p :正△ABC 三内角都相等,q :正△ABC 有一个内角是直角.
[答案] (l)p 或q :π 是无理数或e 不是无理数.p 且g :π是无理数且e 不是无理数,非p:π不是无理数.
(2)p 或q :方程0122=++x x 有两个相等的实数根或两根的绝对值相等.
p 且q :方程0122=++x x 有两个相等的实数根且两根的绝对值相等.
非p :方程0122=++x x 没有两个相等的实数根.
(3)p 或q :正△ABC 三内 角都相等,或有一个内角是直角;
p 且q :正△ABC 三内角都相等,且有一个内角是直角;
非p :正△ABC 三个内角不都相等:
[点拨] 解答这类问题,应先用逻辑联结词将两个简单命题连起来,再用数学语言综合叙述.注意在写否命题时,否定词语必须添加在正确位置上.检验由简单命题构成复合命题是否正确的依据是:构成后的复合命题的真假漫.否符合真值表.
母题迁移 1.分别写出由下列各组命题构成的“p 或q”“p 且q”,“非p”形式的新命题,并判断其真假.
(1)p :3是9的约数,q :3是18的约数.
(2)p :菱形的对角线一定相等.
q :菱形的对角线互相垂直.
(3)p :方程012=-+x x 的两实根符号相同.
q :方程012=-+x x 的两实根绝对值相等.
(4)p: π是有理数,q :π是无理数.
[例2] 判断下列命题中是否含有逻辑联结词“且”“或”“非”,若含有,请指出其中p 、q 的基本命题.(1)菱形的对角线互相垂直平分;
(2)2是4和6的约数;
(3)不等式0652>+-x x 的解为x>3或x<2. [答案](1)是“p 且q ”形式的命题,其中p :菱形的对角线互相垂直;q :菱形的对角线互相平分.
(2)是“p 且q ”形式的命题,其中
P :是4的约数;q:2是6的约数.
(3)是简单命题,而不是用“或”联结的复舍命题“不等式0652
>+-x x 的解为x>3或不等式 0652>+-x x 的解为x<2”,因为前者(原命题)是真命题,而后者(用“或”联结的复合命题)是假命题.
[感悟] 对于用逻辑联结词“或”“且”“非”联结的新命题的结构特点不能仅从字面上看它是否含有“且”“或”“ 非 ”等逻辑联结词,而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题,如“四边相等且四角相等的由速形是正方形”不是“且”联结的新命题,因为它是真命题,而用“且”联结的命题“四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题.事实上,它 是一个复合条件的简单命题.
母题迁移 2.分别指出下列复合命题的形式及构成的简单命题.
(1)李明是老师,赵山也是老师;
(2)1是合数或质数;
(3)他是运动员兼教练员;
(4)这些文学作品不仅艺术上有缺点,而且语法上也有错误,
考点2复合命题真假的判定
命题规律
1.判定一个复合命题的真假.
2.利用真值表进行逻辑推理.
[例3] 指出下列命题的真假.
(1)不等式Ix +2{≤0没有实数解;
(2) -1是偶数或奇数;
2)3(属于集合Q ,也属于集合R ;
).()4(B A A ⊆/
[答案] (1)此命题是”
“p ⌝的形式,其中p :不等式+x |0|2≤有实数解,因为2-=x 是该不等式的一个解,所以命题p 为真命题,即p ⌝为假命题,所以原命题为假命题.
(2)此命题是,,q p ∨的形式,其中p :-1是偶数;q :-1是奇数.因为命题P 为假命题,命题q 为真命题,所以”
∨“q p 为真命题,故原命题为真命题. (3)此命题是“”∧q p 的形式,其中.2:p 属于集合2:;q Q 属于集合R .因为命题p 为假命题,命题q 为真命题,所以“”∧q p 为假命题,故原命题为假命题.
(4)此命题是”
“p ⌝的形式,其中),(:B A A p
⊆因为p 为真命题,所以p ⌝为假命题,故原命题为假命题,
母题迁移 3.(2010年全国高考题)已知命题:1p 函数x x y --=22在R 内为增函数;:2p 函数 x x y -+=22在R 内为减函数.
则在命题:∧和∨∧∨14213212211:)(:,:,:p q p p q p p q p p q ⌝)(2p ⌝中,真命题是( ). 42413231,..........,.......,........,q q D q q C q q B q q A ⋅⋅⋅⋅
[例4] 以下判断是否正确:
(1)命题_p 和q 都是简单命题,那么:
①命题p 真,则命题“p 且q”一定真;
②命题p 假,则命题“p 且q”不一定假;
③命题 “P 且q”真,则命题p 一定真;
④命题“p 或q”假,则命题p 一定假.
(2)命题“p 或q”与命题“p 且q”都是真命题,那么:
①命题q 一定是真命题;
②命题q 不一定是真命题;
③命题p 不一定是真命题;
④命题p 与q 真假相同.
(3)命题“p 或g”与命题“p 且q”都是假命题,那么:
①命题“非p”与命题“非q ”真假不同;
②命题“非p”与命题“非q”至少有一个是假命题;
③命题“非p 且非q”是真命题;
④命题q 与命题“非p”真假相同.
[答案] (1) ∵对于“p 且q”一假必假,∴①②错,③正确,而对于“p 或q”一真必真,因此④正确.
(2) ∵p 或q”与“p 且q”都是真命题,∴p 与q 均为真命题,..,①④正确,②③错误. .
(3)∵ p 或q”与“p 且q”都是假命题,∴p 与q 均为假命题,而“p ⌝”的真假相反.因此①②④错,③正确 .
[点拨] 解答这类逻辑推理问题关键在于充分利用真值表进行分析,也就是由给出复合命题的真假情况,利用真值表逆向思考,从而推断出组成复合命题的简单命题的真值情况,再判断相关命题正确与否. 母题迁移 4.是否存在同时满足下列三个条件的命题p 和命题q?若存在,试构造出一组这样的命题;若不存在,请说明理由.
,,)1(q p ∨⋅为真;(2),,q p ∧为假;(3)
”“p ⌝为假, 考点3 命题的否定与否命题
命题规律
1.“命题的否定”与?否命题”的辨析.
2. 准确地写出一个命题的否命题.
[例5] 写出下列命题的否定形式和否命题:
(1)若,0=abc 则a 、b 、c 中至少有一个为零;
(2)若.,02
2=+y x 则x 、y 全为零;
(3)等腰三角形有两个内角相等;
(4)自然数的平方是正数.
[答案] (1)否定形式:若abc =O ,则a 、b 、c 全不为零;否命题:若abc ≠0,则a 、b 、c 全不为零.
(2)否定形式:若,022=+y x 则x 、y 不全为零;否命题:若,022=/+y x 则x 、y 不全为零.
(3)否定形式:等腰三角形的任意两个内角都不相等;
否命题:不是等腰的三角形的任意两个内角都不相等.
(4)否定形式:自然数的平方不是正数;
否命题:不是自然数的数的平方不是正数.
[辨析] 命题的否定(即p ⌝)与否命题是容易混淆的两个概念,准确把握它们之间的联系与区别. (1) 区别:①概念:命题的否定形式是直接对命题进行否定;而否命题则是原命题的条件和结论分别
否定后所组成的命题.
②构成:对于“若p ,则q ”形式的命题,其否定形式为“若p ,则q ⌝”也就是不改变条件,而否定结论;而其否命题则为“若q p ⌝⌝则,”,也就是条件和结论都否定.
③真值:否定命题的真值与原命题相反;而否命题的真值与原命题无关.
(2)联系:①它们都是把原命题的条锌或结论否定后组成的新命题.
②它们在否定过程中,对其正面叙述的词语的否定叙述都是一样的(如“至多有一个”的否定为“至少有两个”).
母题迁移 5.写出下列命题的否定形式和命题的否命题:
(1)若a>b ,则;22->-b a
(2)到圆心的距离等于半径的点在圆上.
考点4 复合命题的应甩
命题规律
1.给出简单命题及由它们组成的复合命题的真值求参数取值范围.
2.复合命题的真值推理的实际应用.
[例6] 已知,1,0=/>a a 设p :函数)1(l o g +=x y a 在∈x ),0(+∞内单调递减;q :曲线1)32(2+-+=x a x y 与x 轴交于不同的两点,如果p 和q 有且只有一个正确,求a 的取值范围.
[答案] 当10<<a 时,函数)1(log +=x y a 在),0(∞+ 内单调递减;当a>l 时,函数)1(log +=x y a
在),0(+∞内不是单调递减.曲线1)32(2+-+=x a x y 与x 轴交于两点等价于,04)32(2>--a 即21<a 或⋅>2
5a 解法一:(1)若p 正确且q 不正确,即函数)1(lo g +=x y a 在),0(+∞∈x 内单调递减,曲线
1)32(2+-+=x a x y 与x 轴不交于两点,因此]),25,1()1,21([)1,0( ∈a 即⋅∈)1,2
1[a (2)若 p 不正确且q 正确,即函数)1(log +=x y a 在,0(∈
x )∞+内不是单调递减,曲线1)32(2+-+=x a x y 与x 轴交于两点,因此 ),1(+∞∈a )],,25()21,0[(+∞ 即∈a ⋅+∞),2
5( 综上,a 的取值范围为⋅+∞),2
5()1,21[ 解法二:设====)}(|{),1,0()}(|{a q a B a p a A ⋅+∞),2
5()21,0(
∴ p 和q 有且只有一个正确B A a ∈⇔且,B A a ∉故a 的取值范围为⋅+∞),25()1,2
1[ [点拨] 解答这类问题,应先由每个简单命题为真,确定参数的取值范围,再由复合命题的真值,得参数所满足的条件,进而确定参数的取值范 围, 在综合参数的取值范围时,有时利用集合来处理,可以简化解题过程.如本例的解法二,就较为简捷,
母题迁移 6.已知命题p :方程012
=++mx x 有两个不等的正实数根,命题q :方程 01)2(442=+++x m x 无实数根,若“p 或q”为真命题,求实数m 的取值范围,
[例7] 现有张三、李四、王五三人,张三说李四在说谎,李四说王五在说谎,王五说张三和李四都在说谎,其中只有一人说真话,请问:张三、李四、王五谁在说谎?谁说的是真话?
[解析] 可先假设 其中一人说真话,从而可推知其他人的情况,再进行综合分析,探寻矛盾.
[答案] 设张三为A ,李四为 B ,王五为C ,说真话为1,说谎话为0,
(1)若A=1,即张三说真话,由于张三说李四说谎,可得;0=B 而李四说王五说谎,所以王五说的为真话,故,1=C 由于王五说张三和李四都说谎,可知,0,0==B A 这与1=A 矛盾,故1=A 不成立.
(2)若,0=A 依题意知,1=B 李四说王五说谎,因此,0=C 由于王五说张三和李四都说谎,而由0=C 可知1,1==B A 或,0,11,0====B A B A 或只要这三种情况,中有一种成立,都可说明王五说的是假的,因为在这三种情况中至少有一人说的是真话,由这三种情况可以挑选出0,1,0===C B A 符合要求,结论:张三、王五说谎,李四说真话.
[点拨] 解决这类复合命题的真值推理应用问题,一般使用分类讨论方法来处理,即以某命题真与假为分类标准,进行分类讨论,进而研究其他命题的真值,解答这类问题易错地方是忽视其中某种情况.这类问题往往涉及_较多的命题,因此直接分析有时较为复杂,利用真值表有时可简化分析过程,如本例解答的思维过程列表如下:
母题迁移 7.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中有一位获奖,有人采访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖”;乙说:“甲未获奖,丙也未获奖”;丙说:“我获奖了”;丁说:“是乙获奖”, 四位歌手的话中有两句是对的,则获奖的歌手是谁?
优化分层测训
学业水平测试
1.命题“2011≥2010”使用逻辑联结词的情况是( ).
A .使用了逻辑联结词“或” B.使用了逻辑联结词“且”
C .使用了逻辑联结词“非”
D .以上都不对
2.下列命题中是真命题的为( ).
2332.<<且A 1325.<<或B e C ≥π. 321.=/+D
3.已知命题p:2是偶数,命题q:2是3的约数,则下列命题为真命题的是( ). q p A ∧⋅ q p B ∨⋅ p C ⌝. )()(q p D --⋅∧
4.判断下列命题的形式(从”
”和“”“p q p q p ⌝∧∨中选填一种). (1)π不是整数:
:86)2(≤
(3)2是偶数且2是素数:
5.已知命题,0:R p ∈则p ⌝是
6.指出下列 命题各是由哪些命题和逻辑联结词构成的.
(1)李强是篮球运动员且是跳高运动员;
(2)△ABC 是等腰三角形或△ABC 是直角三角形;
⋅2
2)3(不是分数. 高考能力测试
(测试时间:90分钟测试满分:100分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,选择一个符合题目要求的选项)
1.命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是( ).
A.、简单命题 B .“p 或g”形式的复合命题
C .“p 且g”形式的复合命题
D .“非P”形式的命题
2.如果命题“q p ∨”与命题“p ⌝”都是真命题,那么( ).
A .命题p 不一定是假命题
B .命题q 一定为真命题
C .命题q 不一定是真命题
D .命题p 与命题q 的真假相同
3.命题),,(0:22R b a b a p ∈<+命题),,(0:22R b a b a q ∈≥+下列结论正确的是( ).
”∨“q p A .为真 ”∧“q p B .为真 ”“p C ⌝.为假 ”
“q D ⌝为真 4.已知全集,,,U B U A R U ⊆⊆=如果命题,:B A a p ∈则命题“非p”是( ).
A .非A a p ∉:
B .非B
C a p U ∈: C .非B A a p ∉:
D .非)()
(:B C A a p U U ¢∈
5.命题p :若,,R b a ∈则1||||>+b a 是1||>+b a 的充分而不必要条件,命题q :函数|2|1--=x y
的定义域是
,∞-(),,3[]1+∞-
则( ). A .“p 或q”为假 B .“p 且q”为真 C.p 真q 假 D.p 假q 真
6.(2010年海南、宁夏高考题)已知命题:1p 函数x x y --=22在R 上为增函数,:2p 函数x x y -+=22 在R 上为减函数,则在命题213212211)(,:,:p p q p p q p p q ∨∧∨⌝和∧14:p q )(2p ⌝中,真命题是( ).
31,q q A ⋅ 32,q q B ⋅ 41,q q C ⋅ 42,q q D ⋅
7.(2008年广东高考题)已知命题p :所有有理数都是实数,命题q :正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是( ).
q p A ∨).(⌝ q p B ∧⋅ )().(q p C ⌝⌝∧ )().(q p D ⌝⌝∨
8.(2011年北京高考题)若P 是真命题,q 是假命题,则( ).
q p A ∧⋅是真命题 q p B ∨⋅是假命题
p C ⌝是真命题 q D ⌝.是真命题
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.答案须填在题中横线上)
9.若命题p :不等式0>+b ax 的解集为}|{a b x x ->命题q :关于x 的不等式0))((<--b x a x 的解集
为},|{b x a x <<则p q p q p ⌝,,∧∨形式的复合命题中的真命题是
10.已知命题,:,2|:|2
Z x q x x p ∈≤-如果”
”与““p q p ⌝∧同时为假命题,则x 的取值范围为
11.设有两个命题:p:关于x 的不等式0422>++ax x 对一切∈x R 恒成立,q :函数x a y )25(--=在R 上是减函数,若“p 且q”为真命题,则实数a 的取值范围是
三、解答题(本大题共4小题,12,13,14题每小题11分,15题12分,共45分,解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤)
12.分别写出由下列各组命题构成的p q p q p ⌝、∧、∨形式的复合命题:
2:)1(p 是无理数,;12:大于q
;0:,:)2(N q Z N p ∈⊆
.41:,41:)3(22-<+->+x x q x x p
13.分别指出由下列各组命题构成的p 或q 、p 且q 、-p 形式的复合命题的真假:
;23:,522:)1(>=+q p
(2)p :9是质数,q :8是12的约数;
张喜林制 11
}.0{:},0{:)3(=∅≠⊂∅q p
14.命题p:l 是集合}|{2a x x <中的元素;q:2是集合}|{2a x x <中的元素,则a 为何值时,“p 或q”
为真?a 为何值时,“p 且g”为真?
15.已知命题p :方程012=++mx x 有两个不等的正实数根,命题q :方程01)2(442=+++x m x 无实数根.若“p 或q”为真命题,求实数m 的取值范围.。