力矩平衡

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力矩是改变物体转动状态的原因。力的作用线与轴平行时,此力对物体绕该 轴转动没有作用。若力 F 不在与轴垂直的平面内,可先将力分解为垂直于轴的分 量 F 和平行于轴的分量 F∥ ,F∥ 对转动不起作用,这时力 F 的力矩为 M Fd 。通常规定 绕逆时方向 转动的力矩为正。当物体受到多个力作用时,物体所受的总力矩等于各个力产生力矩的代数和。
第 10 讲 力矩平衡
10.1 力矩平衡 量
知识点睛
1.力矩 力的三要素是大小、方向和作用点。由作用点和力的方向所确定的射线称为
力的作用线。力作用于物体,常能使物体发生转动,这时外力的作用效果不仅取 决于外力的大小和方向,而且取决于外力作用线与轴的距离——力臂( d )。
力与力臂的乘积称为力矩,记为 M ,则 M Fd ,如图 1, O 为垂直于纸面 的固定轴,力 F 在纸面内。
B. T1 T3 T2 D. T1 T2 T3
【例18】如图所示,重力为100N 的物体在水平面上向右运动,物体与水平面的运动摩擦系数为 0.2 ,
与此同时物体受到一个水平向右的力 F 10N ,那么物体受到的合力是
A. 30N ,水平向左
B. 30N ,水平向右
C.10N ,水平向右
D.10N ,水平向左
【解析】此题要看清楚相关条件和无关条件.整个系统对 B 点的力矩只有两个:
球的重力力矩,和 A 端所求的力的力矩.球重力力矩为 mgR ,所以 A 点最小应加 mg 的力。
2
【例7】 如图所示,质量为 m 的运动员站在质量为 m 的均匀长板 AB 的中点,板 位于水平地面上,可绕通过 A 点的水平轴无摩擦转动.板的 B 端系有 轻绳,轻绳的另一端绕过两个定滑轮后,握在运动员的手中。当运动员
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2.出现翻倒
如 0 时物体将要翻倒,则物体必是绕通过下角处的 A 轴翻 转如图.这时支承力 FN 与摩擦力 Ff 都通过 A 轴,不产生对 A 轴 的力矩.翻倒的临界条件是
可得 因此,得出结论:
ba 2 Gx 2 Gy
bmg sin0 amg cos0
sin
cos2
【例5】 (04 上海交大自主招生)半径为 R 的匀质半球体置于水平面上,其重心在球心 O 正下方 C 点
处.OC 3R ,半球质量为 m 。在半球的平面上放一质量为 m 的物体,它与半球平面间的动
8
8
摩擦系数为 0.2 ,如图所示,则物体刚要开始滑动时离球心的最大距离为

【解析】设临界情况下直径与水平面夹 角,如图所示。对整体有
【解析】分别求出开始出现滑动和出现翻倒倒计时的0 。 1.出现滑动
设重力 G mg 沿斜面与垂直于斜面的两个分力为 Gx 与 Gy ,斜面对物
体的支承力为 FN ,摩擦力 Ff ,如 0 时物体开始滑动如图,必有 Gx Ff FN , Gy FN
用 Gx mg sin0 , Gy mg cos0 代入,得 mg sin0 mg cos tan0
【注意】转轴可以随意选取,力矩计算的核心技巧是巧选转轴,总的原则是 未知力作用线不能通过转轴,其次是其他未知力作用线尽量过轴。 通常不考虑形变的物体都称作刚体, 刚体平衡必须满足两个条件其 一:力的矢量和等于零,即 Fi 0 这就保证了刚体没有平动. 其二:作用于刚体的力对于矩心 O 的合力矩也为零,即 Mi 0
尖端学生计划培养班·第 10 讲·教师版 1
例题精讲
【例1】 如图所示,将粗细均匀、直径相同的均匀棒 A 和 B 粘合在一起,并在粘合
处用绳悬挂起来,恰好处于水平位置而平衡,如果 A 的密度是 B 的 2 倍,
那么 A 的重力大小是 B 的______倍。
【解析】 设
A 长 lA

B 长 lB
,那么
尖端学生计划培养班·第 10 讲·教师版 5
A.接触面光滑 【答案】 BD
B.光滑斜面 C.物体冲上粗糙斜面 D.一起向右匀速
【例12】三个力大小分别为 6N 、10N 、14N ,则它们合力的最小值为
A. 0
B. 4N
C. 2N
【答案】 A
D. 8N
【例13】 物理关系式不仅反映了物理量之间的关系,也确定了单位间的关系,则根据单位间的关系可 以判断物理关系式是否可能正确。某组同学在探究“声速 v 与空气压强 P 和空气密度 的关
度);两个拉力力矩,一个在 B 点向上拉,一个在中点(即人手处)向上拉,力矩分别为T1 和
T1 。列出方程即为 mgl 3T1 ,可解出 T 。
2
2
【点评】 有的同学会选择长板作为受力分析对象。这样也是可行的,不过千万不能忽略人对长板的压
力.同学们会发现,计算人对长板的压力时,又要对人进行受力分析,这样就分析了两次,
用力拉绳子时,滑轮两侧的绳子都保持在竖直方向,则要使板的 B 端离 开地面,运动员作用于绳的最小拉力是______。
【解析】 此题重点在于选对受力分析的对象。我们要求的是绳中的拉力,与绳相互作用的物体有人,
长板,和滑轮。滑轮作为改变拉力方向的装置,不是问题的关键。那么把人和长板一起作为
整体进行受力分析,绕 A 点的力矩共有四个:两个重力力矩,大小均为 mgl ,(设 l 为长板长 2
【答案】 D
来自百度文库
【例19】 如图所示,一个大人单独提起一桶水和两个小孩共同提起一桶水,则 下列说法中正确的是 A.大人的拉力可以看作两个小孩拉力的合力 B.大人的拉力一定等于两个小孩拉力的大小之和 C.两个小孩两手臂夹角 越大,则小孩的拉力越小 D.两个小孩两手臂夹角 越大,则小孩的拉力越大
【答案】 AD
【解析】 此题似乎所给的条件不多,乍看起来无从下手.所求的角度应该是
用 L 和 R 表示的.对杆做受力分析:杆的中点处有重力, A 处指向圆心的压力, B 处垂直杆
方向的压力.这是一个三力平衡问题.细杆受力如图.
例平衡方程:
F1 cos 2 F2 sin 0
F1 sin 2 F2 cos G 0
体求出 A 处弹力 NA 和摩擦力 f 。
【解析】地面对杆的作用力(弹力和摩擦力的合力,即为全反力)必和 NB 、mg 交于一点,如图所示. 以 A 点为轴,有
NBa sin
mg
L 2
cos

NA NB cos mg ,
f NB sin ,

f
mgL 2a
sin2
cos

NA
mg
mgL 2a

B
为轴:
F1
2R cos
sin
G
2R
cos
L 2
cos
0
或以
A 为轴:
G
L 2
cos
F2
2R cos
0
【答案】 arccos
L
16R
L 16R
2
1 2
2 尖端学生计划培养班·第 10 讲·教师版
【例4】 (09 清华自主招生)如图所示,均匀直杆一端放在地上,一端斜靠在立方体上( B 入光滑) 作图画出对杆作用力的方向。如果杆长 L ,重 mg ,立方体边长为 a ,杆与水平面成 角,具
mg
3R 8
sin
mg 8
x
cos

得 x 3R tan
而对物体有
mg 8
sin
mg 8
cos

得 tan ,
所以 x 3R 0.6R 。
尖端学生计划培养班·第 10 讲·教师版 3
【例6】 如图所示,一个质量为 m 、半径为 R 的球,用长为 R 的绳悬挂在 L 形 的直角支架上,支架的重力不计, AB 长为 2R ,BC 长为 2 3R ,为使 支架不会在水平桌面上绕 B 点翻倒,应在 A 端至少加多大的力?
【答案】 BCDEFG
【例15】一汽车以 20m/s 的速度沿平直公路匀速行驶,突然发现前方有障碍物,立即刹车,汽车以大
小是 5m/s2 的加速度做匀减速直线运动,则刹车后 2s 内与刹车后 5s 内汽车通过的位移之比为
A.1∶1
B. 3∶4
C. 3∶1
D. 4∶3
【答案】 B
【例16】 一颗子弹沿水平方向射来,恰穿透固定在水平面上三块相同的木 板,设子弹穿过木板时的加速度恒定,则子弹穿过三块木板所用的 时间之比
【解析】
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【答案】 ( 3 2) : ( 2 1) :1
【例17】在下图所示的三种情况中,砝码的质量均为 M ,不计一切摩擦和弹簧秤的重力,则三个弹簧 秤的示数 T1 、 T2 、 T3 的关系是
A. T1 T2 T3 C. T1 T2 T3
【答案】 A
【例20】如图所示,在粗糙水平面上有质量为 m 的物体,被一劲度系数为 k 的轻 弹簧连接在左侧墙上,物体在 O 点静止时,弹簧恰为自然长度;物体只 有在 A 、 B 之间才能处于静止状态,则下列说法中正确的是 A.物体静止在 AB 之间时,离 O 越近,受到的摩擦力越小 B.物体静止在 AB 之间时,离 O 越近,受到的摩擦力越大 C.物体在 AO 之间运动时,受到的摩擦力方向一定向右 D.用水平拉力将物体从 A 位置块速拉到 B 位置,在此过程中,物体受到地面的摩擦力保持 不变
A 所受的重力的力矩为
GAla 2

B
所受的重力力
矩为 GBlB ,二者大小相等,符号相反.由 A 、 B 的密度关系不难推出 GA 2lA ,由此即可列
2
GB lB
方程解出 GA . GB
【答案】 2
【例2】 如图所示,一根重 8 N 的均质直棒 AB ,其 A 端用悬线悬挂在 O 点, 现用 F 6 N 的水平恒力作用于 B 端,当达到静止平衡后,试求:(1)
悬绳与竖直方向的夹角 ;(2)直棒与水平方向的夹角 。
【解析】受力分析如图:tan α= 6 / 8 = 3 / 4,α= 37° 以 A 点为转动轴,由转动平衡可知: G L Cos F LSin 2 解得:β=arctan(2/3)。
【例3】 (03 年北京力学竞赛决赛)如图所示,一个半径为 R 的光滑半球面 固定在水平面上,ABC 代表一刚性均匀细杆,它和 A、B 点接触均 无摩擦,若图示杆所处的位置是平衡位置,已测出 AC=L,那么图 中的 ABC 和水平的角度 可以计算出来为______________。
不如第一个方法方便。当我们把人和长板看成一个整体的时候,就不用考虑这个整体内部的
作用力了。
【例8】 底边长为 a 、高度为 b 的长方形匀质物块置于斜面上。斜面和物 块之间的静摩擦因数为 ,斜面的倾角为 。当 足够小时,物 块静止于斜面上如图,如逐渐将倾角增大,当 取某个临界值0 时,物块或开始滑动,或翻倒。试分别求出发生滑动和翻倒时的 0 ,并说明在什么条件下出现滑动?在什么条件下出现翻倒?
系”时,推导出四个空气中声速的关系式,式中 k 为比例常数,无单位。则可能正确的关系式 是
A. v声 k
P
B. v声 k
P2
C. v声 kP
P
D. v声 k
P
【答案】 A
【例14】 物体做直线运动的速度图象如图所示,则 A.6s 内物体做匀变速直线运动 B.第二个 2 s 内物体做匀变速直线运动 C.3s 末物体的瞬时速度为 0,且改变运动方向 D.4s 末物体的瞬时速度大小为 4 m/s E.物体 6s 内的位移为 0 F.物体前 3s 内的位移为 6 m G.物体前 4s 内的位移为 4 m
tan0
a b
如 a ,则当 增大至 arctan 时物块开始滑动。如 a ,则当 增大至 arctan a 时
b
b
b
物块开始翻倒. a 的情况,不要求讨论。 b
10.2 运动学、静力学复习
例题精讲
选择题(16 小题,每题 4 分,共 64 分)
【例9】 下列各组物理量中,全部是矢量的是 A.位移、力、加速度、速度 B.重力、速度、路程、时间 C.弹力、速率、摩擦力、位移 D.速度、质量、加速度、压力
某个力的力矩定义为力臂与力的叉乘,即 M r F 力矩 M 是矢量,其方向通常按右手螺旋定则确定:力矩 M 同时垂直于力臂 r 与力 F ,当右手螺旋 从 r 的方向转到 F 的方向时大拇指的方向即为 M 的方向. 叉乘 a ×b = c c 称“矢量的叉积”,它是一个新的矢量。叉积的大小: c =absinα,其中 α 为 a 和 b 的夹角。意义:c 的大小对应由 a 和 b 作成的平行 四边形的面积。叉积的方向:垂直 a 和 b 确定的平面,并由右手螺旋定则确定 方向,如图所示。显然, a ×b ≠ b ×a ,但有: a ×b =- b ×a
【答案】 A
【例10】 关于物体运动的速度和加速度的关系,下列说法中正确的是 A.物体的速度为零,加速度必为零 B.做匀变速直线运动的物体,当加速度为负值时,必然做减速运动 C.速度变化量越大,加速度越大 D.速度的方向可能与加速度的方向不在一条直线上
【答案】 D
【例11】 下列“画阴影”的物体受力分析正确的是
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