全等三角形模型教案

教学过程

一、课堂导入

【问题】如图，你能感觉到哪两个三角形全等吗？

【思考】△ABD≌△ACE

二、复习预习

【问题】工人师傅常用角尺平分一个任意角，作法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON．移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合．则过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的角平分线，为什么？请你说明理由．

【解答】OP平分∠AOB

理由如下：

∵OM=ON，PM=PN，OP=OP

∴△MOP≌△NOP（SSS）

∴∠MOP=∠NOP

∴OP平分∠MON

（即OP是∠AOB的角平分线）

三、知识讲解

考点1

全等三角形性质：

全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的高、中线相等，对应角的平分线相等。

考点2

全等三角形的判定：

所有三角形SAS、ASA、AAS、SSS；直角三角形HL

四、例题精析

【例题1】

【题干】如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．求证：AE=BF．

【解析】根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AGB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABG与∠BAG的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAG与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案．

【例题2】

【题干】如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；

（2）求证：AE⊥CF．

【解析】（1）利用△AEB≌△CFB来求证AE=CF．

（2）利用全等三角形对应角相等、对顶角相等、等量代换即可证明．

【例题3】

【题干】（2014•顺义区一模）已知：如图1，△MNQ中，MQ≠NQ．

（1）请你以MN为一边，在MN的同侧构造一个与△MNQ全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法；（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：

如图2，在四边形ABCD中，∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D．求证：CD=AB．

【答案】：（1）如图1，以N 为圆心，以MQ 为半径画圆弧；以M 为圆心，以NQ 为半径画圆弧；两圆弧的交点即为所求．

主要根据“SSS”判定三角形的全等．

（2）如图3，

延长DA至E，使得AE=CB，连结CE．

∵∠ACB+∠CAD=180°，∠DAC DAC +∠EAC=180°∴∠BAC BCA =∠EAC

在△EAC和△BAC中，

AE CE

AC CA

EAC BCN

=

⎧

⎪

=

⎨

⎪∠=∠

⎩

∴△AECEAC≌△BCA （SAS），∴∠B=∠E，AB=CE ∵∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∴CD=AB．

则△MNF为所画三角形．

（2）延长DA至E，使得AE=CB，连结CE．证明△EAC≌△BCA，得：∠B =∠E，AB=CE，根据等量代换可以求得答案．

【例题4】

【题干】问题背景：

如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；

探索延伸：

∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

AE AG

EAF GAF

AF AF

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；

实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，

∵∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=1

2

∠AOB，

又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°，

∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF=AE+BF成立，即EF=1.5×（60+80）=210海里．

五、课堂运用

【基础】

1.在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE，BH，两线交于M．求证：（1）BH=DE．

（2）BH⊥DE．

【答案】证明：（1）在正方形ABCD与正方形CEFH中，

BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，

∴∠BCD+∠DCH=∠ECH+∠DCH，即∠BCH=∠DCE，

在△BCH和△DCE中，

BC CD

BCH DCE CE CH

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

，

∴△BCH≌△DCE（SAS），∴BH=DE；（2）∵△BCH≌△DCE，∴∠CBH=∠CDE，

又∵∠CGB=∠MGD，∴∠DMB=∠BCD=90°，

∴BH⊥DE．

【解析】（1）根据正方形的性质可得BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，然后求出∠BCH=∠DCE，再利用“边角边”证明△BCH和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；

（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBH=∠CDE，然后根据三角形的内角和定理求出∠DMB=∠BCD=90°，再根据垂直的定义证明即可．