信号与系统课件第五章
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信号与系统-第5章
第5 章非周期信号实频域分析本章内容傅里叶变换傅里叶变换的概念典型非周期信号的频谱傅里叶变换的性质线性性质，时移性质，频移性质，尺度变换性质，对称性，卷积定理，时域微分积分特性，频域微分积分特性，调制特性非周期信号作用下的系统分析傅里叶变换非周期信号f(T F(jω)∫+∞∞−−=tet f F td )()j (j ωωωωπωd )j (21)(j teF t f ∫+∞=傅里叶反变换=说明：F∫∞−2122d sin )(d cos )()(⎥⎤⎢⎡⎟⎞⎜⎛+⎟⎞⎜⎛=∫∫∞∞t t t f t t t f j F ωωω所以：∫∫∞∞−∞∞−−=tt t f t t t f d sin )(j d cos )(ωωπ2∫∞−π2∞−∫∫∞∞−+=ωωϕωωπd)](cos[)j(21tFωωϕωωd)](sin[)j(j∫∞++tF典型非周期信号的频谱矩形脉冲信号单边指数信号双边指数信号直流信号单位冲激信号符号信号矩形脉冲信号02τ−τ2τE矩形脉冲信号（续）F)(ωj单边指数信号0t单边指数信号（续）1双边指数信号0t双边指数信号（续）直流信号有些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，ε(t ) 等，但傅里叶变换却存在。
2202lim )j (ωααωα+=→F )0()0(≠=ωω因此，直流信号的频谱函数可能为一冲激函数，下面求其大小。
π2=1)(=t f )(∞<<−∞t 不满足绝对可积条件ωωααd 222∫∞∞−+)(d )(122αωαω∫∞∞−+=∞∞−=αωarctan 2直接用定义式不好求解，可用间接的方法。
如：直流信号的频谱函数可看作双边指数信号频谱在α→0时的极限:⎩⎨⎧∞+=0直流信号（续）所以，直流信号的频谱是：单位冲激信号=t fδ)(t)(t符号函数⎩⎨⎧<−>==0101)sgn()(t t t t f 构造函数：[=t11−0可积条件符号函数（续）[] F傅里叶变换对eαjω+本章内容傅里叶变换傅里叶变换的概念典型非周期信号的频谱傅里叶变换的性质线性性质，时移性质，频移性质，尺度变换性质，对称性，卷积定理，时域微分积分特性，频域微分积分特性，调制特性非周期信号作用下的系统分析傅里叶变换的性质线性性质时移性质频移性质尺度变换性质对称性卷积定理时域微分积分特性频域微分积分特性调制特性线性性质== [[解：22‖例：已知f(t), 求F(jω)‖-解： f (t) = f1(t) –g2(t)f1(t) = 1 ↔2πδ(ω)可知：g2(t) ↔2Sa(ω)∴F( jω) = 2πδ(ω) -2Sa(ω)由gτ(t) ↔τSa(ωτ/2)时移性质=[解：‖例求F (j ω)。
信号与系统第5章
0 1 as s e F a a
t
பைடு நூலகம்
f1(t) 1 0 1 f2(t) 1 t
求如图信号的单边拉氏变换. 例1:求如图信号的单边拉氏变换. 求如图信号的单边拉氏变换 解:f1(t) = ε(t) –ε(t-1),f2(t) = ε(t+1) –ε(t-1) ε , ε 1 F1(s)= (1 es ) s F2(s)= F1(s)
第5-4页
■
湖南人文科技学院通信与控制工程系
信号与系统 解
5.1 拉普拉斯变换
因果信号f 求其拉普拉斯变换. 例1 因果信号 1(t)= eαt ε(t) ,求其拉普拉斯变换.
e ( s α )t ∞ 1 F1b ( s) = ∫ eαt e st d t = = [1 lim e (σ α )t e jω t ] 0 0 t →∞ (s α ) (s α ) 1 s α , Re[ s ] = σ > α jω = 不定 , σ =α 无界 , σ <α
F ( s) = 1 e sT
st
+e
2 st
+e
3 st
+ )
特例: 特例:δT(t) ←→ 1/(1 – e-sT)
第5-13页 13页
■
湖南人文科技学院通信与控制工程系
信号与系统 已知f 例2:已知 1(t) ←→ F1(s), 已知 求f2(t)←→ F2(s)
5.2
拉普拉斯变换性质
∞
可见,对于因果信号, 可见,对于因果信号,仅当 Re[s]=σ>α时,其拉氏变换存 σ α 收敛域如图所示. 在. 收敛域如图所示.
0
α
σ
收敛边界
第5-5页
t
பைடு நூலகம்
f1(t) 1 0 1 f2(t) 1 t
求如图信号的单边拉氏变换. 例1:求如图信号的单边拉氏变换. 求如图信号的单边拉氏变换 解:f1(t) = ε(t) –ε(t-1),f2(t) = ε(t+1) –ε(t-1) ε , ε 1 F1(s)= (1 es ) s F2(s)= F1(s)
第5-4页
■
湖南人文科技学院通信与控制工程系
信号与系统 解
5.1 拉普拉斯变换
因果信号f 求其拉普拉斯变换. 例1 因果信号 1(t)= eαt ε(t) ,求其拉普拉斯变换.
e ( s α )t ∞ 1 F1b ( s) = ∫ eαt e st d t = = [1 lim e (σ α )t e jω t ] 0 0 t →∞ (s α ) (s α ) 1 s α , Re[ s ] = σ > α jω = 不定 , σ =α 无界 , σ <α
F ( s) = 1 e sT
st
+e
2 st
+e
3 st
+ )
特例: 特例:δT(t) ←→ 1/(1 – e-sT)
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■
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信号与系统 已知f 例2:已知 1(t) ←→ F1(s), 已知 求f2(t)←→ F2(s)
5.2
拉普拉斯变换性质
∞
可见,对于因果信号, 可见,对于因果信号,仅当 Re[s]=σ>α时,其拉氏变换存 σ α 收敛域如图所示. 在. 收敛域如图所示.
0
α
σ
收敛边界
第5-5页
信号与系统第5章
3）波形图表示
时间 离散
幅值 离散
5
5.1.2 基本离散信号 1．单位样值信号 又称单位样值序列
6
2．单位阶跃序列u(n) u(n) 与单位阶跃信号 u(t) 相对应，可以看成 是u(t)的抽样信号
7
3．单位斜变序列R(n) R(n)可以看成是单位斜变信号R(t)的抽样信号
4．矩形序列Gk(n) Gk(n)又称门函数序列
1 t1 1 0 t2 1
0
-1
2
-4 1 0 4
相加
-4 4 -1
-6 -4
1
0 -1 4
0
22
例2 两个离散信号相乘
不进位
23
5.2.3 信号的差分
离散信号f(n)的前向差分运算为：
当前时刻
后一时刻
离散信号f(n)的后向差分运算为：
当前时刻
之前时刻
本课主要讨论离散信号f(n)的后向差分
24
5.2.4 信号的求和 信号的求和运算是对某一离散信号进行历 史推演求和过程。f(n)的求和运算为：
k<0 左移位
k>0 右移位
27
移位前后波形或样值没有变化，即没有失真
5.2.7 信号的尺度变换 • 尺度变换： 其中a为实常数，即将原信号在时间轴上进 行压缩或扩展。 当|a|>1时，原信号被压缩。
a=2压缩
波形或样值发生变化，说明有失真
a=2
28
当0<|a|<1时，原信号被扩展。
a=0.5扩展
8
5．单边指数序列 单边指数序列一般指右边序列
（a）衰减指数序列
（b）增长指数序列
（c）单位阶跃序列
信号与系统-第五章概要
1
(a)
2
1 4
f (k)
y(k 2)
D
y(k 1)
D
y(k)
1
(b)
2
1 4
(a) y(k) f (k) 1 y(k 1) 1 y(k 2)
2
4
y(k) 1 y(k 1) 1 y(k 2) f (k)
2
4
为二阶差分方程 (后向差分 )
(b) y(k 2) f (k) 1 y(k 1) 1 y(k)
N=5
N=6
(5) 复指数序列
f (k) e jk cos k j sin k
同正弦序列一样，若复指数序列是一个周期序列，则 2
应为整数或有理数，否则不是周期序列。
二. 序列的基本运算与波形变换 (1) 相加
f (k) f1(k) f2 (k)
f1 (k )
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 k
或：y(k 1) (1－T ) y(k) Tf (k)
y(k 1) (1－T ) y(k ) Tf (k )
利用计算机来求解 微分方程就是根据 这一原理来实现的
y(0) (1T ) y(1) Tf (1) y(1) (1T ) y(0) Tf (0) y(2) (1T ) y(1) Tf (1)
一个周期的正弦信号，经抽样后得到的正弦序列是否
也是周期信号呢？ 周期序列的定义：
f (k N) f (k) N为序列的周期，只能为整数。
Asin[(k N ) ] Asin[k N ]
在什么情况下等于 Asin[k＋]? N 2 即N 2 / ，对于周期序列 N必须为整数
■ 当正弦序列的2 / 为整数时，该序列为周期序列，周期为N。
信号与系统讲义第五章1引言及无失真传输条件
无失真：时域波形传输不变
e(t )
e(t)
线性网络
t
H ( j)
R( j) KE( j)e jt0 R( j) E( j)H ( j)
r (t )
t t0
r(t) K e(t t0 )
H ( j) R( j) Ke jt0 E( j)
频域无失真条件： H ( j) Ke jt0
H( j) K () t0
r(t) e(t)*h(t)
R( j) E( j)H( j) H ( j) LT[h(t)] H ( j) R( j)
E( j)
对稳定系统
H (s)
H ( j) H (s) s j
系统函数还可以通过对微分方程取傅氏变换而得到
求矩形脉冲通过低通滤波器的响应
v1 (t )
E
t
0
输入信号波形
R
傅里叶变换在现代通信系统中的应用非常多，典 型的应用就是——滤波、调制与解调、抽样
频域系统函数——系统的频率响应函数H(jw)
稳定系统：s域系统函数→频域系统函数
频域系统函数H(jw)描述了系统对信号的各频率
成份的加权
傅氏变换将信号分解为无穷多项ejwt信号的叠加
S域系统函数H(s)描述系统对复指数信号est的加
5.3 无失真传输
信号通过系统传输，由于系统对信号中各频率分 量幅度产生不同程度的衰减，使得响应中各频率 分量的相对幅度产生变化，引起幅度失真。
同样地，由于系统对输入信号各频率分量产生的 相移，信号也会出现失真，称为相位失真
频域由相于移系→统时对域信延号时各频率分量产生的相移不与频
输 输
入 出率成yx正((t相t))比对，ss位iinn使((置响11t产t )应生的s1变)in各(化s频i2，nt率()而分2t引量起在2的) 时失间真轴上的
信号与系统第五章
信号分配的作用。
P289
➢ 仅有输出支路，而无输入支路的节点称为源点（或输入结
点），如图中的 x1 。
➢ 仅有输入支路，而无输出支路的结点称为汇点（或输出结
点），如图中的 x5。
➢ 既有输入支路又有输出支路的结点称为混合结点，如图中
的x2 、x3 和x4 。
➢ 从任一结点出发沿支路箭头方向连续经过各相连的不同的 支路和结点，到达另一结点的路径称为通路。
梅逊公式为
H1
k
gkk
式中： 1 La LbLc Ld LeLf L
a
b,c
d ,e, f
称为信号流图的特征行列式； La是所有不同环路的增益
之和；
Lb
Lc
a
是所有两两互不接触环路的增益乘积之和；
b,c
Ld LeLf 是所有三个互不接触环路的增益乘积之和；…
d ,e, f
H 1
流图所描述的方程是
x2 ax1 x3 bx2 ex5 x4 cx2 dx3 x5 fx4 x6 x5
联立求解后，可得 x6 Hx1 ，结果完全同上。
b.化简信号流图的具体步骤可不同，但最终结果必相同。 即不同结构的框图可实现同一功能。
3.信号流图的Mason（梅逊）公式 P293
用化简信号流图的方法求系统输入输出间的系统函数比较 复杂。若利用梅逊公式可直接由初始的、未经化简的信号流 图很方便地求得输入输出间的系统函数。
若将式
dy t
dt
a0
y
t
b0
x
t
与
dy t
dt
a0
y
t
b1
dx t
dt
b0
x
t
P289
➢ 仅有输出支路，而无输入支路的节点称为源点（或输入结
点），如图中的 x1 。
➢ 仅有输入支路，而无输出支路的结点称为汇点（或输出结
点），如图中的 x5。
➢ 既有输入支路又有输出支路的结点称为混合结点，如图中
的x2 、x3 和x4 。
➢ 从任一结点出发沿支路箭头方向连续经过各相连的不同的 支路和结点，到达另一结点的路径称为通路。
梅逊公式为
H1
k
gkk
式中： 1 La LbLc Ld LeLf L
a
b,c
d ,e, f
称为信号流图的特征行列式； La是所有不同环路的增益
之和；
Lb
Lc
a
是所有两两互不接触环路的增益乘积之和；
b,c
Ld LeLf 是所有三个互不接触环路的增益乘积之和；…
d ,e, f
H 1
流图所描述的方程是
x2 ax1 x3 bx2 ex5 x4 cx2 dx3 x5 fx4 x6 x5
联立求解后，可得 x6 Hx1 ，结果完全同上。
b.化简信号流图的具体步骤可不同，但最终结果必相同。 即不同结构的框图可实现同一功能。
3.信号流图的Mason（梅逊）公式 P293
用化简信号流图的方法求系统输入输出间的系统函数比较 复杂。若利用梅逊公式可直接由初始的、未经化简的信号流 图很方便地求得输入输出间的系统函数。
若将式
dy t
dt
a0
y
t
b0
x
t
与
dy t
dt
a0
y
t
b1
dx t
dt
b0
x
t
信号与系统PPT 第五章 连续时间信号的抽样与量化
pt
他抽样方式，如零阶抽样
1
保持。
O Ts
t
M1
fs0 t
f t
M2
fs0 t
1
O Ts
t
p1 t
1．零阶抽样信号的频谱
设零阶抽样信号fs0t Fs0
fs t f t t nTs
n
Fs
1 Ts
n
F
ns
此线性系统必须 具有如下的单位 冲激响应
fs (t) 保 持得到fso (t).
f (t)
F
1
0 f (t)
t
s 2m
m m
1 Fs
Ts
0
TS f (t)
t
s m
m
s
s 2m
1 Fs
Ts
0
t
s m m s
TS
采样频率不同时的频谱
5.2.2 时域抽样定理 （1）时域抽样定理
一个频带受限的信号f (t)，若频谱只占据 m ~ m
的范围，则信号f t可用等间隔的抽样值来惟一地表示。
即： fs (t) f (t) p(t)
设连续信号 抽样脉冲信号 抽样后信号
f t F (m m)
pt P , fst Fs
复习
周期信号的傅里叶变换
令周期信号f(t)的周期为T1，角频率为1=2f1
f t F 2π Fn1 n1
n
其中：
F n1
1 T1
T1
2 T1
F (
s
)
S a0F ( )
S a
s
2
F (
s
)
设: 1,
Ts 2
s
信号与系统第五章-4
第5章 连续时间信号与系统的频域分析
5.3.3 傅里叶逆变换
前面介绍了傅里叶变换的主要内容和方法。对给定信号或系 统进行分析时，有时需要在时域中进行，有时需要在变换域 (如频域)中进行。在频域中分析系统的性能比较方便，求解 系统的输出响应也比较简单，但频域中的系统输出响应不便 于理解，需要变换回时域中进行分析，这种从频域到时域的 变换就是傅里叶逆变换。 1. 傅里叶逆变换的定义 按照傅里叶变换及逆变换的定义，若已知某信号的傅里叶变 换为 F ( j ) F [ f (t )] f (t )e dt (5-115) 则其傅里叶逆变换的计算公式如下
(2) 部分分式展开法 如果系统在信号作用下的输出响应为 j 的有理分式，则可 将其按部分分式的方式进行展开(展开方法同拉普拉斯展开 法一样，只需将 j 换成即可。具体内容见“连续时间系统 的复频域分析”)，然后再对各项分别求其傅里叶逆变换即 可。在对部分分式进行展开和求其逆变换时，常常会用到以 下的傅里叶逆变换结果。 F 1[( j )n ] ( n) (t ) n 0,1, 2, L (5-120) 1 t n 1 t F 1 e u (t ) 0, n 0,1, 2, L (5-121) n ( j ) (n 1)! 【例5-13】 已知 2( j ) F ( j ) ( j 1)( j 3) 1 求 F (j ) 的傅里叶逆变换 F [ F ( j )] 。 解： F (j ) 可展开成以下的部分分式
2
∞
令 s j ，即可将其化为以下的复变函数积分
1 j∞ F ( s)e st ds f (t ) j2 j∞
(5-122) 利用复变函数积分的留数法即可对上述积分进行求解，具体 求解过程略。 葡京娱乐城官网
5.3.3 傅里叶逆变换
前面介绍了傅里叶变换的主要内容和方法。对给定信号或系 统进行分析时，有时需要在时域中进行，有时需要在变换域 (如频域)中进行。在频域中分析系统的性能比较方便，求解 系统的输出响应也比较简单，但频域中的系统输出响应不便 于理解，需要变换回时域中进行分析，这种从频域到时域的 变换就是傅里叶逆变换。 1. 傅里叶逆变换的定义 按照傅里叶变换及逆变换的定义，若已知某信号的傅里叶变 换为 F ( j ) F [ f (t )] f (t )e dt (5-115) 则其傅里叶逆变换的计算公式如下
(2) 部分分式展开法 如果系统在信号作用下的输出响应为 j 的有理分式，则可 将其按部分分式的方式进行展开(展开方法同拉普拉斯展开 法一样，只需将 j 换成即可。具体内容见“连续时间系统 的复频域分析”)，然后再对各项分别求其傅里叶逆变换即 可。在对部分分式进行展开和求其逆变换时，常常会用到以 下的傅里叶逆变换结果。 F 1[( j )n ] ( n) (t ) n 0,1, 2, L (5-120) 1 t n 1 t F 1 e u (t ) 0, n 0,1, 2, L (5-121) n ( j ) (n 1)! 【例5-13】 已知 2( j ) F ( j ) ( j 1)( j 3) 1 求 F (j ) 的傅里叶逆变换 F [ F ( j )] 。 解： F (j ) 可展开成以下的部分分式
2
∞
令 s j ，即可将其化为以下的复变函数积分
1 j∞ F ( s)e st ds f (t ) j2 j∞
(5-122) 利用复变函数积分的留数法即可对上述积分进行求解，具体 求解过程略。 葡京娱乐城官网
信号与系统第5章
s a n 1 s
n 1
... a 1 s a 0
若m≥n （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分 解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。
F (s) P (s)
第5-9页
■
B0 (s) A(s)
©南京信息工程大学滨江学院
信号与系统
F (s) s 8 s 25 s 31 s 15
5.3
拉普拉斯逆变换
直接利用定义式求反变换---复变函数积分，比较困难。 通常的方法 （1）查表:直接利用拉普拉斯逆变换表 （2）利用性质 （3） 部分分式展开 -----结合 若象函数F(s)是s的有理分式，可写为
F (s) bm s
n m
b m 1 s
m 1
.... b1 s b 0
F (s) 1 e
sT
sT
e
2 sT
e
3 sT
＋)
特例：T(t) ←→ 1/(1 – e-sT)
第5-5页
■
©南京信息工程大学滨江学院
信号与系统
5.2
拉普拉斯变换性质
四、复频移（s域平移）特性
若f(t) ←→F(s) , Re[s]>0 , 且有复常数sa=a+ja, 则f(t)esat ←→ F(s-sa) , Re[s]>0+a 例1:已知因果信号f(t) 的象函数F(s)=
第5-1页
■
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信号与系统
5.1
拉普拉斯变换
四、常见函数的拉普拉斯变换
1、(t) ←→1，> -∞
’(t) ←→s，> -∞
2、(t)或1 ←→1/s ，> 0 3、指数函数e-s0t ←→
《信号与系统》第五章讲稿
第五章傅里叶变换应用于通信系统——滤波、调制与解调5.1 系统的频域分析一．系统响应的付氏变换解法利用卷积定理，可以分析信号在系统中的传输。
设输入信号为e(t),系统的冲激响应为h(t)，则系统的零状态响应为：r(t) = e(t) * h(t)令e(t) ⇔ E(ω)h(t)⇔ H(ω)由时域卷积定理得r(t)的付氏变换为：R(ω) = H(ω)⋅E(ω)1.系统函数在频域分析中，将激励用其频谱函数表示，系统用频率特性表示，则系统的输出信号频谱函数就是激励的频谱与系统频率特性的乘积。
系统的功能相当于一个频谱变换器。
H(ω)一般是ω的复函数，可以表示为：2. 系统函数的求法：a) h(t) ⇔ H(ω)b) 从微分方程求得对上式取付氏变换：c) 从电路模型直接写出H(ω)：A ： R i R (t)-u R (t)B ：C i C (t)+u C (t)C ： L i L (t)+ -u L (t)例5-1：如图5-1，求h(t)R+2(t)-图5-1解：将上图转换成付氏变换形式：(ω)例5-2：求阶跃信号作用于图5-2所示RC网络的零状态响应u R( t )--图5-2 RC网络从以上两个例子可以看出，利用傅里叶变换形式的系统函数H(jω)从频谱改变的观点解释了激励与响应波形的差异，物理概念比较清楚，但求解过程不如拉普拉斯变换方法简便。
引出H(jω)的重要意义在于研究信号传输的基本特性、建立滤波器的基本概念并理解频响特性的物理意义以下两节研究这方面的问题。
这些理论内容在信号传输和滤波器设计等实际问题中具有十分重要的指导意义。
3．传输函数H(jω)可实现的条件（1）在时域中必须满足当t < 0时，h( t ) = 0，即系统必须是因果系统。
（2）在频域中，其必要条件是∣ H(jω)∣≠ 0，即必须满足佩利—维纳准则：见书P2805.2 信号的无失真传输系统对于信号的作用是多种多样的，如放大、滤波、时延、移相等。
第5章 信号与系统(二版)于慧敏9
图5-10 零阶保持输出信号的重建滤波器的模和相位特性
5.1.2 用样值序列重建或表示连续时间 信号
如果对零阶保持所给出的粗糙 内插不够满意，可以通过选择 h(t)，使用其他各种平滑的内插 手段。当h(t)取如图所示的三角 脉冲时，可求得被称为一阶保 持或线性内插的重建信号xr(t)。
x r (t ) x p (t ) * h(t ) ( x(nT ) (t nT )) * h(t )
x p (t )
序列至冲 激串的转换
n
x(nT ) (t nT )
–c
H ( j )
T
c
x r (t )
图5-4 恢复系统
内插：用样本来重建某一连续时间（某一变量）函数的过程。 这一重新过程结果既可以是近似的，也可以是精确的。 我们可以用上图所示的恢复系统来考虑上述问题。如果图中 的 H ( j ) 为满足抽样定理的理想低通滤波器，则所得结果是 精确重建。
X (e
j
1 ) T
k
X ( j( 2k ) / T )
当满足 s 2 M时，X (e j )频谱没有重叠，只要将 X (e j )乘以T 倍和作 T 的线性映射，就可以精确重现原信号的频谱结构。因 此，在 s 2 M 条件下， x (t ) 的样值序列 x[n] 保留了其原始信 号的所有信息。
由傅里叶变换的相乘性质：
1 2 1 X p ( j ) [ X ( j ) * P( j )] X ( j ( k s ))， s T T k 2
X p ( j ) 是频域上的周期函数，满足 X p ( j ) X p ( j ( s )) ，
《信号与系统》第五章
1 l = −∞ − 2π
l) +
... +
c ∑ 2πδ (Ω − ( N − 1)2π / N
l)
例5－9，例5－10
离散时间信号
的傅立叶变换为（ ）
A.
B.
C.
D.
下面说法中正确的是( ) A. 离散时间信号 x[n]的绝对可和是其离散时 间傅立叶变换存在的充分条件。 B. 非周期离散时间信号 x[n]的偶部：频谱为 的实偶函数。 C. 非周期离散时间信号 x[n]的虚部：频谱为 的虚奇函数。 D. x[n]是实值的，则其频谱X(Ω)的模是Ω的 奇函数。
x[n] =
k =< N >
∑
c k ϕ k [ n] =
k =< N >
∑
ck e jk 2πn / N
（5－29）
¾ 将周期序列表示成式（5－29）的形式，即一组成谐波关系的复指 数序列的加权和，称为离散傅里叶级数（Discrete Time Fourier Series），而系数 k 则称为离散傅里叶系数。
3 时域抽样定理
时域抽样定理：设x(t)是一个有限带宽信号，即在 | ω |> ωm时, X (ω) = 0 ，若 ω > 2ω 或T < 1/ 2 f ，则x(t)可以唯一地由其样 s m m 本x(nT)确定。
最低抽样频率 2ω m 称为奈奎斯特抽样率
练习：信号 x(t) =
sin2π t πt
的奈奎斯特抽样间隔为(
)
时域抽样（采样）定理的具体应用 ¾若已知x(t)，可通过以下办法得到x(t) 的样本 x(nT)并重建x(t): 1)将周期冲激串 p(t)与x(t)相乘，得到一冲激串 xp (t) 2） x p (t) 的依次冲激强度得到样本值x(nT) 3)将冲激串通过一个增益为T，截至频率大于 ω m 而小于 ωs −ωm 的 理想低通滤波器，那么该滤波器 的输出就是x(t)
l) +
... +
c ∑ 2πδ (Ω − ( N − 1)2π / N
l)
例5－9，例5－10
离散时间信号
的傅立叶变换为（ ）
A.
B.
C.
D.
下面说法中正确的是( ) A. 离散时间信号 x[n]的绝对可和是其离散时 间傅立叶变换存在的充分条件。 B. 非周期离散时间信号 x[n]的偶部：频谱为 的实偶函数。 C. 非周期离散时间信号 x[n]的虚部：频谱为 的虚奇函数。 D. x[n]是实值的，则其频谱X(Ω)的模是Ω的 奇函数。
x[n] =
k =< N >
∑
c k ϕ k [ n] =
k =< N >
∑
ck e jk 2πn / N
（5－29）
¾ 将周期序列表示成式（5－29）的形式，即一组成谐波关系的复指 数序列的加权和，称为离散傅里叶级数（Discrete Time Fourier Series），而系数 k 则称为离散傅里叶系数。
3 时域抽样定理
时域抽样定理：设x(t)是一个有限带宽信号，即在 | ω |> ωm时, X (ω) = 0 ，若 ω > 2ω 或T < 1/ 2 f ，则x(t)可以唯一地由其样 s m m 本x(nT)确定。
最低抽样频率 2ω m 称为奈奎斯特抽样率
练习：信号 x(t) =
sin2π t πt
的奈奎斯特抽样间隔为(
)
时域抽样（采样）定理的具体应用 ¾若已知x(t)，可通过以下办法得到x(t) 的样本 x(nT)并重建x(t): 1)将周期冲激串 p(t)与x(t)相乘，得到一冲激串 xp (t) 2） x p (t) 的依次冲激强度得到样本值x(nT) 3)将冲激串通过一个增益为T，截至频率大于 ω m 而小于 ωs −ωm 的 理想低通滤波器，那么该滤波器 的输出就是x(t)
信号与系统第5章 拉普拉斯变换与系统函数
实际上，基于傅里叶变换的频域分 析技术使我们能够用正弦激励的稳态响 应来了解系统对非周期信号的响应，物 理概念非常清晰，因此在信号分析、系 统频率响应、系统带宽等问题上，成为 不可或缺的必要分析工具。
但是，任何一种分析工具都存在其局 限性，基于傅里叶变换的频域分析技术也 是如此。 具体来说，它还存在着如下的不足。
（1）对于工程问题中经常遇到的两类因果 信号，即t的指数函数et和t的正幂函数t （＞0），傅里叶变换不存在。一个典 型的例子是工程中极为常见的斜坡信号 t· ε(t)。
（2）在将输出信号频谱求反变换以得到时 域输出时，由于傅里叶反变换涉及的是沿 虚轴即j轴的无穷积分，往往遇到数学上 的困难。
1 j∞ st X ( s )e ds t ≥ 0 x(t ) 2πj j∞ t0 0
（5-11）
从物理意义上讲，式（5-11）也可 理解为将x(t)视为形如 e t e jt 的幅度随 指数形式增长或衰减的正弦波的线性组 合。
但与傅里叶变换相比，X(s)不能像 X ( j ) 一样具有明确的物理意义，因此， X(s)在这个正弦波线性组合中的作用难 以得到物理解释。
e
0 ∞Leabharlann t st1 e dt s
1 e dt s
Re s Re s
e
t
(t )e dt
e
t st
图5-1
f1(t)、f2(t)的双边拉普拉斯变换及其收敛域
5.2.3 拉普拉斯反变换
双边拉普拉斯变换的反变换表达式 的推导要用到复变函数的很多知识，这 里不予细述，感兴趣的读者可参看相关 书籍。 反变换的表达式为 ∞ 1 st x(t ) X ( s)e ds （5-9） 2πj ∞
信号与系统第五章 离散信号与系统的时域分析
f1(k) f (n)
6
n
3 2
1
1 1 2 3 k
3
1
1 1 2 3 4 k
《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
返回
ZB
5.1.3 常用的离散信号
(k)
1. 单位函数 (k)
(k)
1 0
k0 k0
1
1 1 2 3 k
(k n)
(k
n)
1 0
k n kn
1
1 0 1 2 n k
整理，得 y(k 2) 3y(k 1)＋2y(k)＝0
《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS ZB
例：每月存入银行 A 元，设月息为 ，试确定第 k 次存
款后应有的存款额 y(k) 的方程。
解：第 k＋1 次存入后应有的存款额为
A y(k) y(k)
即 y(k 1) y(k) y(k) A
(1) 筛选特性 f (k) (k n) f (n)
k
(2) 加权特性 f (k) (k n) f (n) (k n)
应用此性质，可以把任意离散信号 f (k) 表示为一系 列延时单位函数的加权和，即
f (k) f (2) (k 2) f (1) (k 1)
返回《信号f与(0)系 (统k) 》fS(1IG) N(kAL1)SANDSnYSTfE(Mn)S
一阶后向差分
f (k) f (k) f (k 1)
二阶后向差分
f (k) 2 f (k) f (k) f (k 1)
《信号与系统》SIGf (Nk)AL2SfA(kND1)SYfS(TkEM2)S
返回
ZB
6. 序列的求和（累加） (对应于连续信号的积分)
清华大学信号与系统课件第五章S域分析、极点与零点
2019/11/15
课件
22
本节作业
• 5-1，5-3，5-8，5-10， • 5-6*，5-9*，5-11* ， • 5-13，
2019/11/15
课件
23
§5.2- 暂态响应与稳态响应
• 系统H(s)的极点一般是复数，讨论它们 实部和虚部对研究系统的稳定性很重要
• 不稳定系统 Repi0增幅
j
0
p1
h(t)
0
et t
H(s) 1
S
h(t) et
2019/11/15
课件
7
（2） 几种典型的极点分布——
(d)一阶共轭极点在虚轴上
j
p1 j1
h(t)
0
0
t
p 2 j1
H(s) 1
h(t)sin 1t.u(t)
2019/11/15
S 2
2
0 p1 t
H (s) 1 S
2019/11/15
h(t)u(t)
课件
5
（2） 几种典型的极点分布—— (b)一阶极点在负实轴
j
0
p1
h(t)
e t
t
H(s) 1
S
h(t) et
2019/11/15
课件
6
（2） 几种典型的极点分布—— (c)一阶极点在正实轴
幅度该变
相位偏移
2019/11/15
课件
34
H(j0)H0ej0
H(j)H(j)ej(j)
若 0 换成 变量
系统频率
特性
幅频特性 相位特性
2019/11/15
信号与系统(精编版)第5章 离散信号与系统的时域分析
26
5.2 LTI离散系统的自由响应、强迫响应
与零输入响应、零状态响应
5.2.1 离散信号的差分运算与累和运算 1.序列的差分运算 与连续信号微分运算相对应，离散信号有差分运算。一
阶前向、后向差分运算本来的定义式分别应为 因为离散信号变量k为整变量，所以前向差分定义式中前向变 量增量Δk=(k+1)－k=1，后向差分定义式中后向变量增量
第5章 离散信号与系统的时域分析
20
例5.1-1 计算和式
解
第5章 离散信号与系统的时域分析
21
例5.1-2 计算换元移动累和式
解 考虑单位脉冲序列的偶函数性及式(5.1-6)关系，所以
这一结果正确吗？
第5章 离散信号与系统的时域分析
22
参看图5.1-8，当k－2<3即k＜5时有
(5.1-15)
第5章 离散信号与系统的时域分析
6
图5.1-2 复杂序列用单位阶跃序列表示
第5章 离散信号与系统的时域分析
7
图5.1-3 序列与ε(k)相乘被截取
第5章 离散信号与系统的时域分析
8
5.1.2 单位脉冲序列 单位脉冲序列定义为
(5.1-2)
其波形如图5.1-4所示。它与连续信号δ(t)的定义有着显著的区 别：δ(k)只在k＝0处定义函数值为1，而在k等于其余各整数时 函数值均为零。
(5.1-12)
(5.1-13)
第5章 离散信号与系统的时域分析
17
令k－m＝n并代入上式，考虑m＝0时n＝k，m＝∞时 n＝－∞，得
(5.1-14)
第5章 离散信号与系统的时域分析
18
图5.1-7 换元移动累和示意图
第5章 离散信号与系统的时域分析
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第五章 连续时间系统的付里叶分析
§5.1 引言
第一章 信号与系统的基本定义和分类 第二章 连续时间系统的时域分析 第三章 离散时间系统的时域分析 第四章 连续时间信号的付里叶分析 第五章 连续时间系统的付里叶分析，注意一
点：它仍然是连续时间，但第四章是 对信号，而第五章是对系统。
例如：已知输入x(t)，系统的单位冲激响应h(t), 求y(t) ？
二、H(jω)的计算
1、从微分方程入手：
例：
d 2 y(t) dy(t)
dt 2
4 dt
3 y(t)
dx(t) 2x(t) dt
方程两边进行付氏变换为：
(jω)2Y(jω)+4(jω)Y(jω)+3Y(jω)=jωX(jω)+2X(jω)
[(jω)2+4(jω)+3]Y(jω)=[jω +2]X(jω)
A
1
1 j
0
1
Z 1
j
j 1
e e uct
E
1
1t
ut
E
1
1
t t
0
u
t
t0
uc t 的波形如右:
uC (t )
x(t )
E
E
t
t
t0
t0
5)结果分析 ①当RC愈大，τ愈大，电路的惰性愈大，波形上 升的愈慢， RC愈小， τ愈小，电路的惰性愈 小，波形上升的快一些。
②从信号通过系统，系统对输入信号进行频率加 权，前沿不徒，高频削弱，而低频（平顶）仍 然保留，即低通滤波器，RC越大，滤波器的通 带愈宽，对高频削弱更厉害.
一个周期性信号x(t) 的指数付里叶级数展开式
xt
cne jn0t
n
1)对x(t)求付氏正变换
cne
jn0t
n
2cn n0
n
它的付里叶变换为一系列冲激的叠加，它的系数
为2π cn
2) 如果已知H(jω)
则:Y j 2cn n0 H jn0
n
3)y(t)= ℱ 1Y j 它的逆变换仍旧是一个周期
r(t)
j
e
jt
e
j90
e
jt
e
j
90
j
e
j3t
e
j143.2
e
jt
e
j143.2
2
2
sin t 90 sin 3t 143.2
拿出一次项来分析：
e j2 • j 1 j 2 1e j2 • tan1 1,1
2
rt j e jt e j90
2
45
3)用相量法
性函数
例：已知 e(t) sin t sin 3t
H j 1 j
1 j 要求：1、画出它的幅频相频曲线
2、求出r(t)，并比较e(t)与r(t)的波形
解: 1) H j 1 j 1 2 tan1 e j2
1 j 1 2 tan1
设 tan1
2 ( j )
建立在系统的线性时不变性质的基础上
二、计算步骤：
1、首先 x(t) X(jω) 2、再求H(jω) 3、X(jω) H(jω) =Y(jω) 4、求Y(jω)的反变换 Y(jω) y(t)
例1: h(t)= t t0 ，x(t)为输入，则 x(t) H(jω) = e jt0 Y(jω)=e jt0 •X(jω) x(t-t 0)
1
1
jCR
则 H ( j ) 1
RC=τ 为时间常数
1 j
3)
Uc' j
X j H j
1
1 j
E
1
j
4)求 uc' t ℱ
1
U
' c
j
=Eℱ
1
1
j
1
j 1
j
ω=0 代入
=Eℱ
1
1
j
1
j
E ut e1t ut
E
1
e
1
t
ut
1
j 1
A Z 1 j 1 j j 1 j
氏变换
R j kE j e jt0 E j H j
H j e H j jt0 e k jt0
它的幅频，相频曲线即为
H( j ) k , j t0
H( j )
( j )
k
1 21
1
0
信号通过系统的不失真条件为：
t0 21
1)幅频特性为一个常数，亦就是对任意频率的信
§ 5.7 理想滤波器
1、理想滤波器
H j ke jt0
H ( j )
( j )
k
0
C 0 C
0t
保证信号在 C 的范围内幅频特性为k,而相频特
性为一斜直线 。
低通
C
高通
阻带 通带 带通
阻带 通带
2、理想滤波器的冲激响应h(t)
∵ h(t)
H(jω)
∴h(t)就是H(jω) 的付里叶反变换 。
我们从三个不同的角度引出H(jω)的三种定义
方法
1. H(jω)是系统对复指数信号 e jt 响应的复
函数。
假如 x(t)= e jt
则 y(t)=x(t)*h(t)=
h( )e j t d
要注意H(jω)本身是复数
所以，有模有角，因此它将对输出产生幅度
和相位的变化
2、H(jω)是h(t)的付里叶变换式
H jn0 求出在不同谐波情况下，正弦稳态
响应。
2)从以上计算看出，虽然 H j 是一个全通函
数，但是由于相频特性曲线不是直线，输出 波形与输入波形相比仍有很大的失真。
§5.4 无失真传输
1、信号的幅度失真和相位失真
例：xt A1 sin1t 1 A2 sin2t 2
A1和A2，第一种情况 ，第二种情况
第一种方法：y(t)与x(t)的微分方程
如:
d 2 y(t) dy(t)
dt 2
a dt
y(t)
x(t)
第二种方法：
x(t ) h(t ) y(t )
y(t ) x( )h(t )d
如下图：
x(t)h(t)=y(t)
x(t)
h(t)
y(t)
X(jω)
H(jω)
Y(jω)= X(jω) H(jω)
例：
X ( j ) R L C
1 1 1 j C X ( j ) R j L
X ( j ) 1
1
1 j C
R j L
X ( j ) e j ( j )
X ( j )
( j )
0
0
规律： H( j ) 是频率的偶函数。
( j ) 是频率的奇函数。
90
90
四、H(jω)的性质
1、 H(j ω) 具有共轭对称性: H( -j ω)= H*(j ω)
2
4 j
3
3)
Y(jω)=
X(jω)
H(jω)=
A1
1 j 2
1
A2
j
A3
j
3
其中:
A1
j
12
•Y
j
j 1
1 2
A2
d
dj
j j
2 3
j 1
1 4
A3
j
3Y (
j )
j 3
1 4
1
1
1
∴
Y(jω)=
2
j 12
4
j 1
4
j 3
4)
y(t)
1 2
te
t
1 e t
4
1
e
3t
u(t
§ 5.3 付里叶变换分析法
一、引言： 卷积定理：y(t)=x(t) h(t) X(jω) H(jω)= Y(jω) 特点：1、把积分运算化为代数运算
2、对信号通过系统的问题给予了频率域 的分析。要注意是频域，而不是复频域
3、求的是零状态响应，不包括零输入响应 4、卷积运算式，付里叶变换法运算都是
h(t)
H(jω) H(jω)代表了系统
本身固有的性质。
3、H(jω)是系统的零状态响应Y(jω)和激励
信号付里叶变换X(jω)之比。
Y (s) X (s)H (s) H (s) Y ( j ) X ( j )
上述第一个定义方法提供了一种H(jω)的实验 测量方法。
第二个定义方法反映了系统本身频率域 和时间域相互关系。 第三个定义方法是本章用付代变换法分 析系统的关键式。
-
uL
L
di dt
U( j )Biblioteka j LIRR时域 频域
L j L 时域 频域
iC (t)
+
uC (t )
-
例： R
iC
(t
)
C
duC dt
C
IC( j ) Cj UC ( j )
C 1
j C 时域 频域
R
e(t )
C
v2(t) E( j )
1
j C
V2( j )
1
则： H ( j ) V2( j ) j C 1 E( j ) R 1 1 j CR j C
H ( j )
1
0
∴它的幅频特性是一个全通形。
2)用付里叶变换分析法进行r(t)的计算
① et sin t sin 3t
E j j 1 1
j 3 3
② H j e2 j
③ R j E j • H j
e j2 • j 1 1 3 3
§5.1 引言
第一章 信号与系统的基本定义和分类 第二章 连续时间系统的时域分析 第三章 离散时间系统的时域分析 第四章 连续时间信号的付里叶分析 第五章 连续时间系统的付里叶分析，注意一
点：它仍然是连续时间，但第四章是 对信号，而第五章是对系统。
例如：已知输入x(t)，系统的单位冲激响应h(t), 求y(t) ？
二、H(jω)的计算
1、从微分方程入手：
例：
d 2 y(t) dy(t)
dt 2
4 dt
3 y(t)
dx(t) 2x(t) dt
方程两边进行付氏变换为：
(jω)2Y(jω)+4(jω)Y(jω)+3Y(jω)=jωX(jω)+2X(jω)
[(jω)2+4(jω)+3]Y(jω)=[jω +2]X(jω)
A
1
1 j
0
1
Z 1
j
j 1
e e uct
E
1
1t
ut
E
1
1
t t
0
u
t
t0
uc t 的波形如右:
uC (t )
x(t )
E
E
t
t
t0
t0
5)结果分析 ①当RC愈大，τ愈大，电路的惰性愈大，波形上 升的愈慢， RC愈小， τ愈小，电路的惰性愈 小，波形上升的快一些。
②从信号通过系统，系统对输入信号进行频率加 权，前沿不徒，高频削弱，而低频（平顶）仍 然保留，即低通滤波器，RC越大，滤波器的通 带愈宽，对高频削弱更厉害.
一个周期性信号x(t) 的指数付里叶级数展开式
xt
cne jn0t
n
1)对x(t)求付氏正变换
cne
jn0t
n
2cn n0
n
它的付里叶变换为一系列冲激的叠加，它的系数
为2π cn
2) 如果已知H(jω)
则:Y j 2cn n0 H jn0
n
3)y(t)= ℱ 1Y j 它的逆变换仍旧是一个周期
r(t)
j
e
jt
e
j90
e
jt
e
j
90
j
e
j3t
e
j143.2
e
jt
e
j143.2
2
2
sin t 90 sin 3t 143.2
拿出一次项来分析：
e j2 • j 1 j 2 1e j2 • tan1 1,1
2
rt j e jt e j90
2
45
3)用相量法
性函数
例：已知 e(t) sin t sin 3t
H j 1 j
1 j 要求：1、画出它的幅频相频曲线
2、求出r(t)，并比较e(t)与r(t)的波形
解: 1) H j 1 j 1 2 tan1 e j2
1 j 1 2 tan1
设 tan1
2 ( j )
建立在系统的线性时不变性质的基础上
二、计算步骤：
1、首先 x(t) X(jω) 2、再求H(jω) 3、X(jω) H(jω) =Y(jω) 4、求Y(jω)的反变换 Y(jω) y(t)
例1: h(t)= t t0 ，x(t)为输入，则 x(t) H(jω) = e jt0 Y(jω)=e jt0 •X(jω) x(t-t 0)
1
1
jCR
则 H ( j ) 1
RC=τ 为时间常数
1 j
3)
Uc' j
X j H j
1
1 j
E
1
j
4)求 uc' t ℱ
1
U
' c
j
=Eℱ
1
1
j
1
j 1
j
ω=0 代入
=Eℱ
1
1
j
1
j
E ut e1t ut
E
1
e
1
t
ut
1
j 1
A Z 1 j 1 j j 1 j
氏变换
R j kE j e jt0 E j H j
H j e H j jt0 e k jt0
它的幅频，相频曲线即为
H( j ) k , j t0
H( j )
( j )
k
1 21
1
0
信号通过系统的不失真条件为：
t0 21
1)幅频特性为一个常数，亦就是对任意频率的信
§ 5.7 理想滤波器
1、理想滤波器
H j ke jt0
H ( j )
( j )
k
0
C 0 C
0t
保证信号在 C 的范围内幅频特性为k,而相频特
性为一斜直线 。
低通
C
高通
阻带 通带 带通
阻带 通带
2、理想滤波器的冲激响应h(t)
∵ h(t)
H(jω)
∴h(t)就是H(jω) 的付里叶反变换 。
我们从三个不同的角度引出H(jω)的三种定义
方法
1. H(jω)是系统对复指数信号 e jt 响应的复
函数。
假如 x(t)= e jt
则 y(t)=x(t)*h(t)=
h( )e j t d
要注意H(jω)本身是复数
所以，有模有角，因此它将对输出产生幅度
和相位的变化
2、H(jω)是h(t)的付里叶变换式
H jn0 求出在不同谐波情况下，正弦稳态
响应。
2)从以上计算看出，虽然 H j 是一个全通函
数，但是由于相频特性曲线不是直线，输出 波形与输入波形相比仍有很大的失真。
§5.4 无失真传输
1、信号的幅度失真和相位失真
例：xt A1 sin1t 1 A2 sin2t 2
A1和A2，第一种情况 ，第二种情况
第一种方法：y(t)与x(t)的微分方程
如:
d 2 y(t) dy(t)
dt 2
a dt
y(t)
x(t)
第二种方法：
x(t ) h(t ) y(t )
y(t ) x( )h(t )d
如下图：
x(t)h(t)=y(t)
x(t)
h(t)
y(t)
X(jω)
H(jω)
Y(jω)= X(jω) H(jω)
例：
X ( j ) R L C
1 1 1 j C X ( j ) R j L
X ( j ) 1
1
1 j C
R j L
X ( j ) e j ( j )
X ( j )
( j )
0
0
规律： H( j ) 是频率的偶函数。
( j ) 是频率的奇函数。
90
90
四、H(jω)的性质
1、 H(j ω) 具有共轭对称性: H( -j ω)= H*(j ω)
2
4 j
3
3)
Y(jω)=
X(jω)
H(jω)=
A1
1 j 2
1
A2
j
A3
j
3
其中:
A1
j
12
•Y
j
j 1
1 2
A2
d
dj
j j
2 3
j 1
1 4
A3
j
3Y (
j )
j 3
1 4
1
1
1
∴
Y(jω)=
2
j 12
4
j 1
4
j 3
4)
y(t)
1 2
te
t
1 e t
4
1
e
3t
u(t
§ 5.3 付里叶变换分析法
一、引言： 卷积定理：y(t)=x(t) h(t) X(jω) H(jω)= Y(jω) 特点：1、把积分运算化为代数运算
2、对信号通过系统的问题给予了频率域 的分析。要注意是频域，而不是复频域
3、求的是零状态响应，不包括零输入响应 4、卷积运算式，付里叶变换法运算都是
h(t)
H(jω) H(jω)代表了系统
本身固有的性质。
3、H(jω)是系统的零状态响应Y(jω)和激励
信号付里叶变换X(jω)之比。
Y (s) X (s)H (s) H (s) Y ( j ) X ( j )
上述第一个定义方法提供了一种H(jω)的实验 测量方法。
第二个定义方法反映了系统本身频率域 和时间域相互关系。 第三个定义方法是本章用付代变换法分 析系统的关键式。
-
uL
L
di dt
U( j )Biblioteka j LIRR时域 频域
L j L 时域 频域
iC (t)
+
uC (t )
-
例： R
iC
(t
)
C
duC dt
C
IC( j ) Cj UC ( j )
C 1
j C 时域 频域
R
e(t )
C
v2(t) E( j )
1
j C
V2( j )
1
则： H ( j ) V2( j ) j C 1 E( j ) R 1 1 j CR j C
H ( j )
1
0
∴它的幅频特性是一个全通形。
2)用付里叶变换分析法进行r(t)的计算
① et sin t sin 3t
E j j 1 1
j 3 3
② H j e2 j
③ R j E j • H j
e j2 • j 1 1 3 3