统计学-第九章直线回归与相关精品PPT课件
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医学统计学PPT：直线相关和回归
r X X Y Y
l XY
X X 2 Y Y 2
l XX lYY
X 的离均差平方和:
2
lXX X X
Y 的离均差平方和:
2
lYY Y Y
X与Y 间的离均差积和: lXY X X Y Y
离均差平方和、离均差积和的展开：
lXX
2
XX
X2
相关系数的抽样分布( = 0)
300 200 100
0 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
相关系数的抽样分布( =0.8)
300 200 100
0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
R.A. Fisher(1921) 的 z 变换
150
100
50
0
-2
-1
0
1
2
相关系数的z 值的抽样分布( = 0.8)
200
150
100
50
0
0
1
2
3
4
相关系数的可信区间估计
➢ (1) 将 r 变换为 z ； ➢ (2) 根据 z 服从正态分布，估计 z 的可信区间；
1 z u sz z u n 3
➢ (3) 再将 z 变换回 r 。
1 1
0.7221
lup
e2z 1 e2z +1
e22.6650 e22.6650
1该可0信.99区0间4 有1 什么含义？
7.3 直线回归
直线回归是把两个变量之间的关系用适当的方 程式表达出来，可以从一个自变量推算另一个 应变量。
直线回归的定义
➢ Y 因变量，响应变量 (dependent variable, response variable)
西南财经大学向蓉美、王青华《统计学》第三版——第9章：相关与回归分析
相关关系（例）
▪ 单位成本(y)与产量(x) 的关系…… ▪ 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系 ▪ 社会商品零售额(y)与居民可支配收入(x)之
间的关系 ▪ 收入 (y)与文化程度(x)之间的关系 ▪ 商品销售量(y)与广告费支出(x1)、价格(x2)
之间的关系 ▪ 需要PPT配套视频，请加VX：1033604968
简单相关系数（简单线性相关系数） 对两个变量（定量变量）之间线性相关程 度的度量。 也称直线相关系数, 常简称相关系数。
等级相关（秩相关）
对两个定序变量之间线性相关程度的度量。
9--19
相关系数（Pearson’s
correlation coefficient）
有总体相关系数与样本相关系数之分：
• 总体相关系数ρ
变量间的相互依存关系有 两种类型：
——函数关系 ——相关关系
9--3
函数关系
1. 指变量之间确定性的数量依存关系；
2. 当变量 x 取某个数值时，
y 有确定的值与之对应， 则称 y 是 x 的函数 y = f
(x)
• 通常将作为变动原因的变 量 x 称为自变量，作为变
Y
动结果的变量y 称为因变量
将两个变量成对的观测数据在坐标图上标示出来， 变量 x 的值为横坐标，另一个变量 y 对应的数值 为纵坐标，一对观测值对应一个点，样本数据若 有n 对观测值，则相应的 n 个点形成的图形就称为 散点图。
如果一个是解释变量另一个是被解释变量，则通常 将解释变量放在横轴。
有助于分析者判断相关的有无、方向、形态、密 切程度。
9--5
相关关系
1. 指变量间数量上不确定的依存关系；
2. 一个变量的取值不能唯一地由 另一个变量来确定。当变量 x 取某个值时，与之相关的 变量 y 的取值可能有若干个 （按某种规律在一定范围内
统计学--第九章直线回归与相关
若无充分理由证明超过自变量取值范围还 是直线，应该避免外延
第五节 相关
一、相关系数的意义
说明两变量(x,y)间关系密切程度的统计指标
叫相关系数coefficient of correlation,用r表
示
r lxy
l xx l yy
r2
l
2 xy
blxy
lxxlyy lyy
r是说明具有直线关系的两个变量间，相关 关系的密切程度与相关方向的指标。
1 r
1 r
Z值亦可直接查附表9－2
Z值标准误的近似值为：
Sz
1 n3
两个Z值差别的标准误为：
S ( z1 z2 )
S2 z1
S2 z2
u Z1 Z2 S( z1 z2 )
11 n1 3 n2 3
五、总体相关系数的区间估计
将r进行Z转换，对Z用正态法估计95％可信 区间，最后将Z作反变换，得相关系数95％ 可信区间
z u / n 3
r
e2Z e2Z
1 1
六、相关和回归的关系
(一)区别：
1、资料要求不同：
– 回归要求应变量Y服从正态分布，X是可以精确 测量和严格控制的变量，一般称为I型回归。
– 相关要求两个变量服从双变量正态分布，这种 资料若进行回归分析，称II型回归。可得到由X 推Y和由Y推X两个回归方程
S S y.x
1 n
x2 (xi x)2
五、两条回归线高度差别的统计意义检验
当两条回归线的回归系数的差别无统计意义时， 可以用一公共的斜率来拟合此两条回归线。(见 P121，一般了解)
第四节 直线回归方程的应用
一、描述两变量的依存关系 二、利用回归方程进行预测 三、利用回归方程进行统计控制 统计控制：是利用回归方程进行逆估计， 如要求应变量在一定范围波动，可以通过 自变量的取值来实现。 四、应用直线回归方程应注意的问题 1、作回归分析要有实际意义，不能把毫无
直线相关与回归-PPT
相关得类型
相关与回归
25
相关系数概念
相关系数(correlation coefficient), 又称simple correlation coefficient, coefficient of product – moment correlation, 或 Pearson’s correlation coefficient 、
相关与回归
6
相关与回归
图 1078对父子身高间得关系
7
直线回归就就是用来描述一个变量 如何依赖于另一个变量得统计方法。
dependent variable(应变量) indepentent variable(自变量)
相关与回归
8
回归方程
❖ 直线回归得任务就就是要找出因变量随自变量变 化得直线方程,我们把这个直线方程叫做直线回归 方程。
14
(1)回归系数得方差分析
P(X ,Y)
Y
总情况(Y Y )
(Y Yˆ)剩余部分
(Yˆ Y )回归部分
y
X
Y Y Y Yˆ Yˆ Y
相关与回归
15
Y得离均差平方和得分解
由于：(Y Y ) (Y Yˆ) (Yˆ Y ) 可以证明：
(Y Y ) 2 (Y Yˆ)2 (Yˆ Y )2
5、相关、回归若无统计学意义,不等于无任何关系。
相关与回归
36
相关与回归得区别
❖ 1、应用 :研究两变量得相互关系,用相关分析,即在两个变量中,任何一个得变
化都会引起另一个得变化,就是一种双向变化得关系。回归就是反映两个变量得 依存关系,一个变量得改变会引起另一个变量得变化,就是一种单向得关系。
❖ 2、资料要求:回归分析要求Y呈正态分布;相关分析要求资料呈双变量正态分布
第九章 相关与回归分析 《统计学原理》PPT课件
［公式9—4］
r xy n • xy
x y
［公式9—5］
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第三节 回归分析的一般问题
一、回归分析的概念与特点
(一)回归分析的概念
现象之间的相关关系，虽然不是严格 的函数关系，但现象之间的一般关系值， 可以通过函数关系的近似表达式来反映， 这种表达式根据相关现象的实际对应资料， 运用数学的方法来建立，这类数学方法称 回归分析。
单相关是指两个变量间的相关关系，如 自变量x和因变量y的关系。
复相关是指多个自变量与因变量间的相关 关系。
(二)相关关系从表现形态上划分，可分为 直线相关和曲线相关
直线相关是指两个变量的对应取值在坐标 图中大致呈一条直线。
曲线相关是指两个变量的对应取值在坐 标图中大致呈一条曲线，如抛物线、指数曲线、 双曲线等。
0.578
a y b x 80 0.578 185 3.844
n
n7
7
yˆ 3.844 0.578x
二、估计标准误差 (一)估计标准误差的概念与计算 估计标准误差是用来说明回归直线方程 代表性大小的统计分析指标。其计算公式为：
Syx
y yˆ 2
n
［公式9—8］
实践中，在已知直线回归方程的情况下， 通常用下面的简便公式计算估计标准误差：
［例９—２］ 根据相关系数的简捷公式计算有：
r
n xy x y
n x2 x2 n y2 y2
7 218018580
0.978
7 5003 1852 7 954 802
再求回归直线方程：
yˆ a bx
b
n xy x y
n x2 x2
7 2180 18580 7 50031852
直线回归与相关分析PPT课件
变量
关系
反）
性质：正（负）相关——方向一致（相
相关
一元直线相关（简单相关）
第9页/共72页
将计算回归方程为基础的统计分析方法称为回 归分析，将计算相关系数为基础的统计分析方 法称为相关分析。
原则上两个变数中Y含有试验误差而X不含试验 误差时着重进行回归分析；Y和X均含有试验误
差时则着重去进行相关分析。
• 已知： b=－1.0996,
第29页/共72页
yˆ a bx
yy
SSy ( y y)2 [(y yˆ) x
SSy ( y y)2 [(y yˆ) ( yˆ y)]2
[( y yˆ)2 2( y yˆ)( yˆ y) ( yˆ y)2 ]
( y yˆ)2 2 ( y yˆ)( yˆ y) ( yˆ y)2
• b2
(x x)2 b2[
x2 (
x)2 n
]
b2 SS x
b
(x
x)(
y
y)
b[
xy
x
n
y
]
bSP
[ (x x)( y y)]2 (x x)2
[
xy
x
n
y
x2
( x)2
n
]2
SP 2 SS x
第35页/共72页
• ∴ S2回＝SdSf回回
sy x
＝SS回 ,
Q n2
SS2d离Sf离＝离
第4页/共72页
2. 自变数与依变数
回归关系（因果关系）
两个变数间的关系若具有原因和反应(结果)的性质，则称这 两个变数间存在因果关系，并定义原因变数为自变数(independent
variable)，以 X 表示；定义结果变数为依变数(dependent variable)， 以 Y 表示。
九章直线回归和相关
定(31.7，13.69)和(44.2，-0.05)这两个点，再连接
之，即为 yˆ=48.5485-1.0996x的直线图象。注意：
此直线必通过点( x， )y，它可作为制图是否正确的
核对。最后，将实测的各对(xi，yi)数值也用坐标点
标于图9.3上。
x，3月下旬至4月中旬旬平均温度累积值图
旬平均温度累积值和一代三化螟盛发期的关系
相反；前者Y 随X 的增大而增大，表示两个变数的关 系是正的，后者Y 随X 的增大而减小，表示关系是负
的。② 图9.1A的各个点几乎都落在一直线上，图
9.1B则较为分散；因此，图9.1A中X 和Y 相关的密 切程度必高于图9.1B。③ 图9.1C中X 和Y 的关系是 非直线型的；大约在x≤(6—7)时，Y 随X 的增大而 增大，而当x＞(6—7)时，Y 随X 的增大而减小。
直线是综合9年结果而得出的一般趋势，所以其代表 性比任何一个实际的坐标点都好。当然，这种估计 仍然有随机误差，下文再作讨论。
(四)直线回归的估计标准误
Q 就是误差的一种度量，称为离回归平方和(sum
of squares due to deviation from regression)或 剩余平方和。
均温度累积值(x，旬·度)和水稻一代三化螟盛发期(y，
以5月10日为0)的关系，得结果于表9.1。试计算其 直线回归方程。 首先由表9.1算得回归分析所必须的6个一级数据(即 由观察值直接算得的数据)：
表9.1 累积温和一代三化螟盛发期的关系
x累积温
35.5 34.1 31.7 40.3 36.8 40.2 31.7 39.2 44.2
建立回归方程时用了a 和b 两个统计数，故Q 的自
由度 n 2
之，即为 yˆ=48.5485-1.0996x的直线图象。注意：
此直线必通过点( x， )y，它可作为制图是否正确的
核对。最后，将实测的各对(xi，yi)数值也用坐标点
标于图9.3上。
x，3月下旬至4月中旬旬平均温度累积值图
旬平均温度累积值和一代三化螟盛发期的关系
相反；前者Y 随X 的增大而增大，表示两个变数的关 系是正的，后者Y 随X 的增大而减小，表示关系是负
的。② 图9.1A的各个点几乎都落在一直线上，图
9.1B则较为分散；因此，图9.1A中X 和Y 相关的密 切程度必高于图9.1B。③ 图9.1C中X 和Y 的关系是 非直线型的；大约在x≤(6—7)时，Y 随X 的增大而 增大，而当x＞(6—7)时，Y 随X 的增大而减小。
直线是综合9年结果而得出的一般趋势，所以其代表 性比任何一个实际的坐标点都好。当然，这种估计 仍然有随机误差，下文再作讨论。
(四)直线回归的估计标准误
Q 就是误差的一种度量，称为离回归平方和(sum
of squares due to deviation from regression)或 剩余平方和。
均温度累积值(x，旬·度)和水稻一代三化螟盛发期(y，
以5月10日为0)的关系，得结果于表9.1。试计算其 直线回归方程。 首先由表9.1算得回归分析所必须的6个一级数据(即 由观察值直接算得的数据)：
表9.1 累积温和一代三化螟盛发期的关系
x累积温
35.5 34.1 31.7 40.3 36.8 40.2 31.7 39.2 44.2
建立回归方程时用了a 和b 两个统计数，故Q 的自
由度 n 2
医学统计学课件-直线回归
03
医学统计学在直线回归分析中具有重要作用，提供了多种统计方法和指标，如简单相关系数、标准误、置信区间等，用于评估回归关系的强度、预测精度和可靠性。
优点
直线回归模型简单易懂，易于解释和实施。同时，该模型能够准确地描述两个变量之间的线性关系，并可以用于预测因变量的趋势。此外，直线回归分析还具有较高的灵敏度和特异性。
模型检验
模型假设与检验
选择合适的估计方法
直线回归模型的参数估计方法有多种，例如最小二乘法、加权最小二乘法等。选择合适的估计方法需要考虑数据的性质和研究目的。例如，如果数据的误差项具有异方差性，则应该使用加权最小二乘法等方法进行估计。
软件实现
可以使用多种统计软件来实现直线回归模型的参数估计，例如SPSS、R、Stata等。通过软件操作可以方便快捷地得到模型的估计结果。
散点图
直线回归模型有一些假设条件，例如误差项的独立性、同方差性和无序列相关性等。这些假设条件必须满足，否则模型的估计结果会受到影响。
模型假设
在进行直线回归分析之前，需要对数据进行检验，以确保数据满足模型假设条件。例如，可以通过相关性检验、残差分析等方法来检验数据是否满足同方差性和无序列相关性等假设条件。
样本量和数据质量
03
样本量的大小会影响结果的稳定性和可靠性。样本量越大，结果越可靠。同时，数据质量也很重要，例如数据的完整性、准确性和真实性等。
绘制散点图
将研究因素和结果的数据点在二维平面上表示出来，形成散点图。通过散点图可以大致观察到因素和结果之间的关系趋势。
判断线性关系
在散点图中，如果因素和结果之间的关系大致呈线性趋势，则可以考虑使用直线回归模型来描述它们之间的关系。如果关系呈非线性趋势，则需要选择其他的回归模型。
第九章 直线回归与相关分析
ˆ L1 = y − t0.05 s y = 19.0645 − 2.447 × 2.1603 = 13.7782 ˆ L2 = y + t0.05 s y = 19.0645 + 2.447 × 0.8559 = 24.3508
第三节 直线相关
一、相关系数和决定系数 如果两个变量间呈线性关系，又不需要由x来估计 如果两个变量间呈线性关系，又不需要由 来估计 y，只需了 和y相关以及相关的性质，可通过计算 相关以及相关的性质， ，只需了x和 相关以及相关的性质 x和y相关程度和性质的统计数－相关系数来进行 相关程度和性质的统计数－ 和 相关程度和性质的统计数 研究。 研究。 相关系数r为 相关系数 为： SP
ˆ L1 = y − t0.05 s y = 19.0645 − 2.447 × 0.8559 = 16.9701 ˆ ˆ L2 = y + t0.05 s y = 19.0645 + 2.447 × 0.8559 = 21.1589 ˆ
（四）单个y值的置信区间
单个y观测值的标准误为： 单个 观测值的标准误为： 观测值的标准误为
2
ˆ L1 = y − t a s y ˆ ˆ L2 = y + t a s y ˆ
根据例1，估计出黏虫孵化历期平均温度为 ℃ 根据例 ，估计出黏虫孵化历期平均温度为15℃时， 历期天数为多少（ 置信区间）。 历期天数为多少（取95%置信区间）。 置信区间
x = 15 df = n − 2 = 8 − 2 = 6 ˆ y = a + bx = 57.04 + (−2.5317) × 15 = 19.0645 sy = sy / x ˆ 1 ( x − x )2 1 (15 − 16.8375) 2 + = 1.9835 × + = 0.8559 n SS x 8 55.1788
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x)2
n
a y bx y b x
n
n
yˆ ( y bx) bx
P110例9－1： 1)由原始数据绘散点图，各点分布呈直线趋 势，故作下列计算
2)求x, y, x2, y2, xy 3)计算x,y的均数，lxx、lyy和lxy 4)求回归系数b和截距a 5)列出回归方程
t值的自由度为S y.x的自由度n 2
理论上，每个xi对应的y估计值都有一个区 间估计，把这些可信区间的上限和下限连
起来，为两条曲线。把这两条曲线间的空
间称为回归直线的可信区间。
八、截距的误差及总体参数的可信区间 由于截距是x=0时y的估计值，
1
x2
S S y.x
n
(xi x)2
九、单一个体yi值的范围预测
第九章 直线回归与相关
Linear Regression and correlation
第一节 直线回归
一、概述 1、函数关系与回归关系
– 函数关系：自变量取某一数值时，应变量有一 个完全确定的数值与之对应。（多见于物理、 化学等学科，生物医学界不少变量间有一定的 关系，但不是十分明确）
– 回归关系：应变量随自变量的变化而变化，且 呈直线趋势，但并非所有的点子都在一直线上。
总＝回＋剩 总＝n－1，回＝1，剩＝n－2
SS回＝blxy
l
2 xy
lxx
b2lxx
SS剩＝SS 总－SS回
二、实测值围绕回归线的离散度
回归分析时假设：X取某一值时，Y围绕回 归线＋x呈正态分布，Sy.x是其标准差的 估计值。
故可估计出约有95％观测值y在总体回归线 y= ＋x上下1.96个标准估计误差范围内， 见P112图9－3
S y.x
S yˆ ( xi x )
S y.x n
五、 yˆ(xix) 的可信区间 yˆ (xi x) 是总体均数 yˆ (xi x)
的估计值
95％可信区间：
yˆ t S yˆ t S (xi x)
0.05( ) yˆ ( xix )
yˆ ( xi x )
( xi x )
0.05( ) yˆ ( xix )
– 直线回归分析的任务：找出一条最能代表这些 数据关系的一条直线。
– 方法：一般采用最小二乘法least square method找出一条各实测点与它的纵向距离的平 方和为最小的直线回归方程。又称作最小二乘 回归
– 变量y随变量x而变化，称x为自变量 independent variable，y为应变量dependent variable.
6)直线回归方程图示：在自变量x的实测全 距范围内任取相距较远且易读的两x值，代 入回归方程求y的估计值，在图绘出两点连 成直线。
注意：所绘直线必然通过 (x, y) ，若纵坐
标、横坐标无折断号时，将此直线左端延 长与纵轴相交，交点的纵坐标必然等于截 距a，这两点可用来核对回归线绘制是否正 确。
第二节 直线回归分析中误差及 可信区间
2、直线回归方程
– 直线方程：y=a+bx – 直线回归方程：
yˆ a bx
– a：为回归直线在Y轴上的截距intercept，a>0 表示直线与纵轴的交点在原点的上方，a<0交 点在原点的下方。a=0则回归直线通过原点
– b：回归系数regression coefficient，为直线的 斜率slope，b>o直线从左下走向右上, b<0从左 上走向右下, b=0直线与横轴平行。意义：x每 增(减)一单位，Y平均改变b个单位
一、标准估计误差
– 估计误差error of estimate：在直线回归中，各
实际值y与由回归方程计算出的估计值之间有一
定的误差，称～。这种离差可以用类似标准差
的式子进行计算，称为标准估计误差standard
error of estimate。由于 数，所以自由度为n-2
yˆ
Sy.x
决定于均数和回归系
三、回归系数的标准误
表示：样本回归系数b对总体回归系数进 行估计时误差的大小
Sb
S y.x (x x)2
求的95％可信区间 bt0.05()Sb ，自由度=n-2
四 y的、标yˆ (x准i x误) 的本标应准由误Sy/n求得，但因在直线回 归当中x的影响被扣除后，y方面的变异减
小，故y的标准误，即x=x时y^的标准误为
3、最小二乘法
– 样本含量为n的的样本资料标在(x,y)平面上，可 得n个点，故可确定很多直线，直线回归的主 要目标之一是用实测的x估计y，所以希望估计 的y与实测的y间的误差愈小愈好。即从所有直 线中找到一条直线使估计误差平方和达最小。
– 即
( y yˆ )2 最小
二、求直线回归方程的基本方法
( y yˆ )2
n2
(y
yˆ )2
lyy
lx2y lxx
(
y
y)2
[
(x x
(x
)(
y x
)2
y)]2
lyy的分析: p点的纵坐标被回归线、均数y 截成三段
SS总＝SS回＋SS剩 SS总＝ （y y)2：
说明未考虑x与Y的回归关系时Y的变异
SS回＝ （yˆ y)2：回归平方和
第三节 回归系数和截距的统计 意义检验
一、回归系数的t检验
tb
b Sb
,
n
2
Sb
S y.x (x x)2
二、回归系数的方差分析
F MS回 ＝ SS回 /回 MS剩 SS剩 / 剩
所得结论与t检验相同
三、两个回归系数差别的统计意义检验
t值的自由度为S y.x的自由度n 2
六、 yˆi 的标准误
当xix时， yˆi 的变异不仅决定于y的误差， 也与回归系数b的误差有关
S 2 yˆ i
S
[ 2
y.x
1 n
(
xi (xj
x
)2 x)2
]
七、 yˆ ( x xi )
(个体y值)的可信区间
yˆ i t S 0.05( ) yˆi yˆ ( xxi ) yˆ i t0.05( ) S yˆi
说明在Y的总变异中由于X与Y的直线关系 而使Y变异减少的部分，即总平方和中可以 用X解释的部分
SS剩＝ ( y yˆ )2：剩余平方和
反映X对Y的线性影响之外的一切因素 对Y的变异的作用，即总平方和中 无法用X解释的部分
P y - ^y
Y
y-y
^y - y-
y
X
各实测点离回归直线越近，剩余平方和愈 小，说明直线回归的估计误差愈小
n
a y bx y b x
n
n
yˆ ( y bx) bx
P110例9－1： 1)由原始数据绘散点图，各点分布呈直线趋 势，故作下列计算
2)求x, y, x2, y2, xy 3)计算x,y的均数，lxx、lyy和lxy 4)求回归系数b和截距a 5)列出回归方程
t值的自由度为S y.x的自由度n 2
理论上，每个xi对应的y估计值都有一个区 间估计，把这些可信区间的上限和下限连
起来，为两条曲线。把这两条曲线间的空
间称为回归直线的可信区间。
八、截距的误差及总体参数的可信区间 由于截距是x=0时y的估计值，
1
x2
S S y.x
n
(xi x)2
九、单一个体yi值的范围预测
第九章 直线回归与相关
Linear Regression and correlation
第一节 直线回归
一、概述 1、函数关系与回归关系
– 函数关系：自变量取某一数值时，应变量有一 个完全确定的数值与之对应。（多见于物理、 化学等学科，生物医学界不少变量间有一定的 关系，但不是十分明确）
– 回归关系：应变量随自变量的变化而变化，且 呈直线趋势，但并非所有的点子都在一直线上。
总＝回＋剩 总＝n－1，回＝1，剩＝n－2
SS回＝blxy
l
2 xy
lxx
b2lxx
SS剩＝SS 总－SS回
二、实测值围绕回归线的离散度
回归分析时假设：X取某一值时，Y围绕回 归线＋x呈正态分布，Sy.x是其标准差的 估计值。
故可估计出约有95％观测值y在总体回归线 y= ＋x上下1.96个标准估计误差范围内， 见P112图9－3
S y.x
S yˆ ( xi x )
S y.x n
五、 yˆ(xix) 的可信区间 yˆ (xi x) 是总体均数 yˆ (xi x)
的估计值
95％可信区间：
yˆ t S yˆ t S (xi x)
0.05( ) yˆ ( xix )
yˆ ( xi x )
( xi x )
0.05( ) yˆ ( xix )
– 直线回归分析的任务：找出一条最能代表这些 数据关系的一条直线。
– 方法：一般采用最小二乘法least square method找出一条各实测点与它的纵向距离的平 方和为最小的直线回归方程。又称作最小二乘 回归
– 变量y随变量x而变化，称x为自变量 independent variable，y为应变量dependent variable.
6)直线回归方程图示：在自变量x的实测全 距范围内任取相距较远且易读的两x值，代 入回归方程求y的估计值，在图绘出两点连 成直线。
注意：所绘直线必然通过 (x, y) ，若纵坐
标、横坐标无折断号时，将此直线左端延 长与纵轴相交，交点的纵坐标必然等于截 距a，这两点可用来核对回归线绘制是否正 确。
第二节 直线回归分析中误差及 可信区间
2、直线回归方程
– 直线方程：y=a+bx – 直线回归方程：
yˆ a bx
– a：为回归直线在Y轴上的截距intercept，a>0 表示直线与纵轴的交点在原点的上方，a<0交 点在原点的下方。a=0则回归直线通过原点
– b：回归系数regression coefficient，为直线的 斜率slope，b>o直线从左下走向右上, b<0从左 上走向右下, b=0直线与横轴平行。意义：x每 增(减)一单位，Y平均改变b个单位
一、标准估计误差
– 估计误差error of estimate：在直线回归中，各
实际值y与由回归方程计算出的估计值之间有一
定的误差，称～。这种离差可以用类似标准差
的式子进行计算，称为标准估计误差standard
error of estimate。由于 数，所以自由度为n-2
yˆ
Sy.x
决定于均数和回归系
三、回归系数的标准误
表示：样本回归系数b对总体回归系数进 行估计时误差的大小
Sb
S y.x (x x)2
求的95％可信区间 bt0.05()Sb ，自由度=n-2
四 y的、标yˆ (x准i x误) 的本标应准由误Sy/n求得，但因在直线回 归当中x的影响被扣除后，y方面的变异减
小，故y的标准误，即x=x时y^的标准误为
3、最小二乘法
– 样本含量为n的的样本资料标在(x,y)平面上，可 得n个点，故可确定很多直线，直线回归的主 要目标之一是用实测的x估计y，所以希望估计 的y与实测的y间的误差愈小愈好。即从所有直 线中找到一条直线使估计误差平方和达最小。
– 即
( y yˆ )2 最小
二、求直线回归方程的基本方法
( y yˆ )2
n2
(y
yˆ )2
lyy
lx2y lxx
(
y
y)2
[
(x x
(x
)(
y x
)2
y)]2
lyy的分析: p点的纵坐标被回归线、均数y 截成三段
SS总＝SS回＋SS剩 SS总＝ （y y)2：
说明未考虑x与Y的回归关系时Y的变异
SS回＝ （yˆ y)2：回归平方和
第三节 回归系数和截距的统计 意义检验
一、回归系数的t检验
tb
b Sb
,
n
2
Sb
S y.x (x x)2
二、回归系数的方差分析
F MS回 ＝ SS回 /回 MS剩 SS剩 / 剩
所得结论与t检验相同
三、两个回归系数差别的统计意义检验
t值的自由度为S y.x的自由度n 2
六、 yˆi 的标准误
当xix时， yˆi 的变异不仅决定于y的误差， 也与回归系数b的误差有关
S 2 yˆ i
S
[ 2
y.x
1 n
(
xi (xj
x
)2 x)2
]
七、 yˆ ( x xi )
(个体y值)的可信区间
yˆ i t S 0.05( ) yˆi yˆ ( xxi ) yˆ i t0.05( ) S yˆi
说明在Y的总变异中由于X与Y的直线关系 而使Y变异减少的部分，即总平方和中可以 用X解释的部分
SS剩＝ ( y yˆ )2：剩余平方和
反映X对Y的线性影响之外的一切因素 对Y的变异的作用，即总平方和中 无法用X解释的部分
P y - ^y
Y
y-y
^y - y-
y
X
各实测点离回归直线越近，剩余平方和愈 小，说明直线回归的估计误差愈小