数学必修二第一章知识点总结+习题

第一章 空间几何体
1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台； 常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。

(2)简单组合体的构成形式：
一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图1.1-11中（1）（2）物体表示的几何体； 一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图1.1-11中（3）（4）物体表示的几何体。

练习1．下图是由哪个平面图形旋转得到的（ ） A B C D
2、柱、锥、台、球的结构特征
（1）棱柱：
定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱'
'
'
'
'
E D C B A ABCDE 或用对角线的端点字母，如五棱柱
'AD
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
简单组合体
表示：用各顶点字母，如五棱锥'
''''E D C B A P - 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似。

(3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：用各顶点字母，如五棱台'
'
'
'
'
E D C B A P -
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点
练习2．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。

3.空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。

（1）定义：
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图； 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图； 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。

几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”
练习3．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )
A.棱台
B.棱锥
C.棱柱
D.都不对
练习4．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．
主视图 左视图 俯视图
练习5． 图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成;
图（2）中的三视图表示的实物为_____________。

练习6．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为：
A. 224cm π，212cm π
B. 215cm π，2
12cm π C. 2
24cm π，2
36cm π 4、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.
斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''x O y ∠=450
（或1350
），注意它们确定的平面表示水平平面；
③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘
轴，且长度保持
不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘
轴，且长度变为原来的一半；
用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图
练习7．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是( )． A ．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形 B ．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同 C ．水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D ．水平放置的圆的直观图是椭圆
练习8．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为0
45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ） A ． 22+
B ．
221+ C ． 2
2
2+ D ． 21+ 5、空间几何体的表面积与体积
6
5
图（1） 图（2）
⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面 S 侧＝2πr ∙l
AB=2πr
r
r
l l
A
B
⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面 A L θ∙l (注：扇形的弧长等于圆心角乘以半径.提醒圆心角
为弧度角，例如60° π
3
弧度，
45° π4弧度，90° π2
弧度等等)
圆锥的侧面展开图是扇形，扇形面积S 扇形 12 弧长 半径
的长
图中：扇形的半径长为l ，圆心角为θ，弧AB θl
l l h r
B
V
⑶圆台侧面积：l R l r S ⋅⋅+⋅⋅=ππ侧面 O 2
O 1h l
r
R
练习9．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A. 3 B. 23 C. 33 D. 43
说明： 正三棱锥是锥体中底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。

正三棱锥不等同于正四面体，正四面体必须每个面都是全等的等边三角形。

正三棱锥的性质：1． 底面是等边三角形。

2． 侧面是三个全等的等腰三角形。

3． 顶点在底面的射影是底面三角形的中心（也是重心、垂心、外心、内心）。

6体积公式：
h S V ⋅=柱体h S V ⋅=
31
锥体()
1
3
V h S S S S =+⋅+下下
台体上上
练习10．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为1V 和2V ，则12:V V =
C A. 1:3 B. 1:1 C. 2:1 D. 3:1
练习11．在△ABC 中，0
2, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周，则所形
成的几何体的体积是（ ）
A.
92π B. 72π C. 52π D. 32
π
练习12．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）
A
3R B
3R C
3R D 3R 练习13．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，
//EF AB ,3
2
EF =
,且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为（ ）
A ．
92 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．152
练习14．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，
圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（ ） A ．7 Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．3 7.球的表面积和体积 32
3
44R V R S ππ=
=球球，. 练习15．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。

练习16．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）
A ．25π
B ．50π
C ．125π
D ．都不对
练习17．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A
B
2 C
．2
3
练习18（如图）在底半径为2，母线长为4
求圆柱的表面积。