算术平方根的非负性运用

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11.2算术平方根的双重非负性

(5)要使式子有意义，则4xx2500
即：注x意哦1！任何数的2平方即任都：13注何是意数x非哦的负23 ！绝数对值也都是非负即：x为数任意数
注意哦！即：分x母为任不意能数为
零
即：x 5 4
x2 4x 5
例2：已知y x 1 1 x 7,求y的值。
(1) 2x 1 (2) 3x 1 3 2x (3) (x 5)2 (4) x 2 (5)
解：(1)要使式子有意义，则 2x 1 0
(2)要使式子有意义，则33x21x00 (3)要使式子有意义，则 (x 5)2 0
(4)要使式子有意义，则x 2 0
，求a-20002的值。
a 2001
原式可化为：a 2000 a 2001 a
2000 a 2001 0
a 2001 2000 a 2001 20002 a 20002 2001
变式训练已知实数a满足
。
例4：当a
时， a 1 2有最小值
(1) 3 2a （ 2） 1 3a 2 5a
2、已知y 4 5 x x 5,求x y的值。
3、已知(a b 1)2 2a 3b 4 0, 求a2 16b2的算术平方根。
第三课时：平方根的非负性
遂宁四中：陈珂
定义：如果一个正数x的平方等于a，即 x 2 =a ，那么这个正数x就叫做a的算术平方
根，记为“ a ”，读作“ 根号 a ”。a叫
做被开方数
规定：0的算术平方根是0,即 0 0
非负数
a ≥0 （a≥0）
算术平方根具有双重非负性
当x为何值时，下列式子有意义？

算术平方根和平方根的定义

算术平方根和平方根的定义算术平方根和平方根是数学中常见的概念，用来表示一个数的求根操作。

尽管它们看起来相似，但它们之间存在着微妙的差异。

首先，我们来定义算术平方根。

算术平方根是一个非负数，它的平方等于给定的数。

换句话说，给定一个数x，它的算术平方根可以表示为√x。

例如，如果x等于4，那么它的算术平方根就是2，因为2的平方等于4。

接下来，我们来定义平方根。

平方根是一个数，它的平方等于给定的数。

和算术平方根类似，给定一个数x，它的平方根可以表示为x的平方根。

不同的是，平方根可以是正数、负数或者零。

例如，如果x 等于4，那么它的平方根可以是2或者-2，因为2和-2的平方都等于4。

了解了这两个定义后，让我们来探讨一下它们的应用。

算术平方根常常用于解决几何问题，特别是在计算长度、面积和体积时。

例如，在测量一个正方形的对角线长度时，可以使用算术平方根来求解。

同样地，在计算一个三维立方体的体积时，也需要用到算术平方根。

而平方根则在物理学和工程学中扮演着重要的角色。

在许多物理公式中，平方根常常用于计算速度、加速度和力等相关的物理量。

此外，它们还在信号处理、电路设计和图像处理中被广泛使用。

尽管算术平方根和平方根具有各自独特的定义和应用，但它们之间也存在一些联系。

事实上，算术平方根可以被视为平方根的一种特殊情况，其中平方根是非负数。

因此，当我们要求一个数的平方根时，我们实际上也在寻找它的算术平方根。

总而言之，算术平方根和平方根都在数学和实际应用中起着重要的作用。

无论是解决几何问题还是计算物理量，它们都有着广泛的应用。

通过理解它们的定义和应用，我们可以更好地理解和运用数学在各个领域中的重要性。

巧用算术平方根的非负性解题

巧用算术平方根的非负性解题
我们知道,当a≥0时，式子叫做a的算术平方根，由此可知，在式子中就有两个非负整数：①a≥0；②这两个非负性有着极为广泛的应用。

一、单独得用中a≥0解题
例1：要使式子有意义，字母x的取值范围必须满足（）
（A）、（B）、（C）、（D）、
解：根据算术平方根的被开方数的非负性，有2x+3≥0, ;故选（A）。

例2：已知a,b是有理数，且则a·b的值是（）
（A）、0 （B）、1‘（C）、-1 （D）、12
解：由算术平方根的被开方数的非负性，等式成立的条件是：
即：所以a=4把a=4代入已知等式得：
b=3故a·b=4×3=12应选（D）
二、单独应用≥0解题
例3：已知，则x-y的值为。

解：根据算术平方根的非负性及任何数和式子的平方的非负性有；又结合已知条件得所以x=-3，y=1所以x-y=-3-1=-4
三、同时利用a≥0和≥0解题
例4：若m·n≠0，则式子成立的条件是：
（A）、m>0,n>0（B）、m0 （C）、m0,n0故选（B）
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利用平方根的定义及性质解题的几个技巧

平方根概念解题的几个技巧平方根在解题中有着重要的应用.同学们想必已经知到.但是,今天要告诉同学们的是它的几个巧妙的应用.希望对大家的学习有所帮助.一、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数.例1、若,622=----y x x 求y x 的立方根.分析认真观察此题可以发现被开方数为非负数,即2－x ≥0,得x ≤2;x －2≥0,得x ≥2;进一步可得x =2.从而可求出y =－6.解 ∵⎩⎨⎧≥-≥-0202x x , ∴⎩⎨⎧≥≤22x x x =2; 当x =2时,y =－6.y x =(－6)2=36. 所以y x 的立方根为336.二、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例2、已知：一个正数的平方根是2a －1与2－a ，求a 的平方的相反数的立方根.分析由正数的两平方根互为相反得:(2a －1)+(2－a )=0,从而可求出a =－1,问题就解决了.解 ∵2a －1与2－a 是一正数的平方根,∴(2a －1)+(2－a )=0, a =－1.a 的平方的相反数的立方根是.113-=-三、巧用算术平方根的最小值求值. 我们已经知道0≥a ,即a =0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例3、已知：y =)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.分析 y =)1(32++-b a ,要y 最小，就是要2-a 和)1(3+b 最小，而2-a ≥0，)1(3+b ≥0，显然是2-a =0和)1(3+b =0，可得a =2,b =－1.解 ∵2-a ≥0，)1(3+b ≥0，y =)1(32++-b a ，∴2-a =0和)1(3+b =0时，y 最小.由2-a =0和)1(3+b =0，可得a =2,b =－1.所以b a 的非算术平方根是.11-=-四、巧用平方根定义解方程.我们已经定义:如果x 2=a （a ≥0）那么x 就叫a 的平方根.若从方程的角度观察,这里的x 实际是方程x 2=a （a ≥0）的根.例4、解方程（x +1）2=36.分析把x +1看着是36的平方根即可.解 ∵（x +1）2=36 ∴x +1看着是36的平方根. x +1=±6.∴x 1=5 , x 2=－7.例4实际上用平方根的定义解了一元二次方程(后来要学的方程).你能否解27(x +1)3=64这个方程呢?不妨试一试.利用平方根的定义及性质解题如果一个数的平方等于a （a ≥0），那么这个数是a 的平方根．根据这个概念，我们可以解决一些和平方根有关的问题．例1 已知一个数的平方根是2a －1和a －11，求这个数．分析：根据平方根的性质知：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．互为相反数的两个数的和为零．解：由2a －1+a －11=0，得a =4，所以2a －1=2×4－1=7．所以这个数为72=49．例2 已知2a －1和a －11是一个数的平方根，求这个数．分析：根据平方根的定义，可知2a －1和a －11相等或互为相反数．当2a －1=a －11时，a =－10，所以2a －1=－21，这时所求得数为(－21)2=441;当2a －1+a －11=0时,a =4,所以2a －1=7,这时所求得数为72=49.综上可知所求的数为49或441.例3 已知2x－1的平方根是±6,2x+y－1的平方根是±5,求2x－3y+11的平方根.分析:因为2x－1的平方根是±6,所以2x－1=36,所以2x=37;因为2x+y－1的平方根是±5,所以2x+y－1=25,所以y=26－2x=－11,所以2x－3y+11=37－3×(－11)+11=81,因为81的平方根为±9,所以2x－3y+11的平方根为±9.例4 若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，则m为（）（A）－3 （B）1 （C）－3或1 （D）－1分析：本题分为两种情况：（1）可能这个平方相等，即2m－4=3m－1，此时，m=－3；（2）一个数的平方根有两个，它们互为相反数，所以（2m－4）+（3m－1）=0，解得m=1．所以选（C）．练一练:1.已知x的平方根是2a－13和3a－2,求x的值.2.已知2a－13和3a－2是x的平方根,求x的值3.已知x+2y=10,4x+3y=15, 求x+y的平方根..答案:1.49;2. 49或1225; 3.5估计方根的取值，你会吗在实数的学习中，关于估计方根的取值问题屡见不鲜．解答它们，要注意灵活利用平方根或立方根的定义，从平方或立方入手．例１）（A ）3.15 3.16 （B ）3.16 3.17（C ）3.17 3.18 （D ）3.18 3.19.10 3.15、3.16、3.17、3.18、3.19当中的哪两个数之间，只需看看10在这五个数的哪两个数的平方之间.解：计算知，2223.15= 9.9225 , 3.16= 9.9856 , 3.17= 10.0489.所以23.16＜10＜23.17.所以3.16 3.17，应选B .例2 估计68的立方根的大小在( )（A ） 2与3之间（B ）3与4之间（C ） 4与5之间（D ）5与6之间.分析：要估计68的立方根的大小在哪两个连续整数之间，只需看看68在哪两个连续整数的立方之间．解：计算知，33332= 8 , 3=27 , 4= 64 , 5= 125．所以34＜68＜35．所以45，应选B ．例3 最接近的是（）（A ）2.5 （B ）2.6 （C ）2.7 （D ）2.8.分析：要比较2.5、2.6、2.7、2.8更接近，只需看看这四个数中哪个数的平方更接近7.解：计算知，22222.5 = 6.25 , 2.6 = 6.76 , 2.7 = 7.29 , 2.8 =7.84.因为22227 2.5 = 0.75 , 7 2.6 = 0.24 , 2.77 = 0.29 , 2.87 = 0.84----，所以22.6比22.5、22.7、22.8更接近7，所以2.6比2.5、2.7、2.8.应选B .《平方根》典例分析平方根是学习实数的准备知识，是以后学习一元二次方程等知识的必备基础，也是中考的必考内容之一.现以几道典型题目为例谈谈平方根问题的解法，供同学们学习时参考.一、基本题型例1 求下列各数的算术平方根（1）64；（2）2)3(-；（3）49151. 分析：根据算术平方根的定义，求一个数a 的算术平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a 的正数.解：（1）因为6482=，所以64的算术平方根是8，即864=；（2）因为93)3(22==-，所以2)3(-的算术平方根是3，即3)3(2=-；（3）因为496449151=，又4964)78(2=，所以49151的算术平方根是78，即7849151=. 点评：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意2)3(-的算术平方根是3，而不是3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其算术平方根，不要出现类似74149161=的错误. 想一想：如果把例1改为：求下列各数的平方根.你会解吗？请试一试.例2 求下列各式的值（1）81±；（2）16-；（3）259；（4）2)4(-. 分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对互为相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；259表示259的算术平方根，故其结果是正数；2)4(-表示2)4(-的算术平方根，故其结果必为正数.解：（1）因为8192=，所以±81=±9.（2）因为1642=，所以－416-=.（3）因为253⎪⎭⎫ ⎝⎛=259，所以259=53. （4）因为22)4(4-=，所以4)4(2=-.点评：弄清与平方根有关的三种符号±a 、a 、－a 的意义是解决这类问题的关键.±a 表示非负数a 的平方根.a 表示非负数a 的算术平方根，－a 表示非负数a 的负平方根.注意a ≠±a .在具体解题时，符与“”的前面是什么符号，其计算结果也就是什么符号，既不能漏掉，也不能多添.例3 若数m 的平方根是32+a 和12-a ，求m 的值.分析：因负数没有平方根，故m 必为非负数，故本题应分两种情况来解.解：因为负数没有平方根，故m 必为非负数.（1）当m 为正数时，其平方根互为相反数，故（32+a ）+（12-a ）=0，解得3=a ，故32+a =9332=+⨯，912312-=-=-a ，从而8192==a .（2）当m 为0时，其平方根仍是0，故032=+a 且0433=-a ，此时两方程联立无解.综上所述，m 的值是81.想一想：如果把例3变为：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.你会解吗？请试一试.二、创新题型例4 先阅读所给材料，再解答下列问题：若1-x 与x -1同时成立，则x 的值应是多少？有下面的解题过程：1-x 和x -1都是算术平方根，故两者的被开方数x x --1,1都是非负数,而1-x 和x -1是互为相反数. 两个非负数互为相反数，只有一种情形成立，那就是它们都等于0，即1-x =0，x -1=0，故1=x . 问题：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.解：由阅读材料提供的信息，可得,012=-x 故21=x . 进而可得2=y .故y x =41212=⎪⎭⎫ ⎝⎛. 点评：这是一道阅读理解题.解这类问题首先要认真阅读题目所给的材料，总结出正确的结论，然后用所得的结论解决问题.例5 请你认真观察下面各个式子，然后根据你发现的规律写出第④、⑤个式子. ①44141411611622=⨯=⨯=⨯=⨯=； ②244242421623222=⨯=⨯=⨯=⨯=； ③344343431634822=⨯=⨯=⨯=⨯=.分析：要写出第④、⑤个式子，就要知道它们的被开方数分别是什么，为此应认真观察所给式子的特点.通过观察，发现前面三个式子的被开方数分别是序数乘以16得到的，故第④、⑤个式子的被开方数应该分别是64和80.解：④84244441646422=⨯=⨯=⨯=⨯=； ⑤544545454516580222=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=.点评：这是一个探究性问题，也是一道发展数感的好题，它主要考查观察、归纳、概括的能力．解这类题需注意分析题目所给的每个式子的特点，然后从特殊的例子，推广到一般的结论，这是数学中常用的方法，同学们应多多体会，好好掌握！。

数学人教版七年级下册算术平方根之双重非负性(二)

太湖港中学五环生态教学PPT
自学检测（3分钟）
平方绝对值算术平方根正负性
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交流小结（18分钟）
讨论一根据上表，关于平方、绝对值、算术平方根的非负性你得到什么结论？一个数的平方、绝对值、算术平方根都是非负数，也就是它们都具有非负性。这也是算术平方的第二重非负性。
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交流小结（18分钟）
讨论四
根据几个非负数的和为0，这几个非负数就都等于0
根据几个非负数的和为0，这几个非负数就都等于0
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注意：被开方数也要是非负数！
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交流小结（18分钟）
讨论二如果两个非负相加，它们的结果是什么数（正负性）？三个非负数相加呢？两个非负数的和一定是非负数，三个非负数的和也是非负数，不管多少个非负数的和都一定是非负数。讨论三
如果两个非负数的和为0，那么这两个非负数必须满足什么条件？你可以用相反数的性质去进行解释吗？如果两个非负数的和为0，那么这两个非负数都必须等于0. 因为两个数相加为0，那么这两个数就应该是相反数，所以要么是一正一负，要么两个数都是0，根据它们都是非负数，所以只能都等于0.
算术平方根之双重非负性（二）
太湖港中学七（3）班：张翠丽
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学习目标（2分钟解读）

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指导自学（5分钟）
大于等于0的数叫非负数。一定是非负数的数就具有非负性回想以前学习的知识中还学过类似的非负性吗？两个相反数具备什么性质？还有平方和绝对值具有非负性，两个相反数的和为0.

算术平方根的双重非负性专题练习(解析版)

算术平方根的双重非负性专题练习知识讲解：（10（a≥0）（2）常见的非负数：绝对值、偶次方、算术平方根①|a|≥0；②a2≥00．题型一：“0”+“0”=01，则x-y的值为（）．A. 3B. -3C. 1D. -1答案：D，∴x-1=0，2-y=0∴x=1，y=2，∴x-y=1-2=-1．2、若|x，则x-y的值是（）．A. -7B. -5C. 3D. 7答案：D解答：∵|x-5|≥00，|x，∴x-5=0，y+2=0，∴x=5，y=-2，∴x-y=5-（-2）=5+2=7．3、若m，n满足（m-1）2的平方根是（）．A. ±4B. ±2C. 4D. 2答案：B解答：由题意可得，m=1，n=15，m+n=16，=4，4的平方根为±2，选B.4、若|x +y +1|+（x -y -2）23x -2y -z 的值为（）．A. -1B. 1.5C. 3D. -4.5答案：B解答：∵绝对值加上平方要为非负数 ∴z =3．∴|x +y +1|+（x -y -2）2=012x y x y +=-⎧⎨-=⎩，1232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 3x -2y -z=32-（-3）-3 =32． 5、已知（2a +1）2，则a 2+b 2004=______．答案：54解答：∵（2a +1）2=0，∴21010a b +=⎧⎨-=⎩，解得121a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴a 2+b 2004=（-12）2+12004=14+1=54． 6+|y -17|=0，则x +y 的平方根为______．答案：±5+|y -17|=0，≥0，|y -17|≥0，∴80170 xy-=⎧⎨-=⎩即817 xy=⎧⎨=⎩，∴x+y=25的平方根为±5．7、若x，y为实数，且满足|2x+3|+=0，则xy的立方根为______．答案：-3 2解答：∵|2x，|2x+3|≥0≥0，∴2x+3=0，9-4y=0，∴x=-32，y=94，xy=-27832=-．8+2的最小值是______，此时a的取值是______．答案：2；-1解答：a=-1，原式+2有最小值为2．9、若|x-1|+（y-2）2，则x+y+z=______．答案：6解答：|x-1|+（y-2）2，∵|x-1|≥0,（y-2）2≥0，∴x-1=0，y-2=0，z-3=0，则x=1，y=2，z=3，∴x+y+z=6．10（3x+y-1）2=0，求5x+y2的平方根．答案：±3．（3x+y-1）2=0，∴x-1=0，3x+y-1=0，∴解得x=1，y=-2．∴5x+y2=9,∴5x+y2的平方根是±3．11、已知a、b b|=0，解关于x的方程（a+2）x+b2=a-1．答案：x=4．解答：根据题意得，2a+8=0，b，解得a=-4，b∴（-4+2）x+3=-4-1，即-2x=-8，解得x=4．12（y-2）2，求x-y的值．答案：x-y=-1（y-2）2，所以x-1=0，x=1；y-2=0，y=2；x-y=-1．题型二：y c，则a=b．13、已知实数x、y满足y-2，则y x值是（）．A. -2B. 4C. -4D. 无法确定答案：B解答：∵实数x、y满足y-2，∴x=2，y=-2，∴y x=（-2）2=4．选B.14、y x，则y-x的平方根为（）．A. ±23B.23C. -23D. 无法确定解答：由题意得：920 290 xx-≥⎧⎨-≥⎩∴2929xx⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，∴x=29，∴y=23，∴原式=49，±23，故答案为：±23．15y+4，则y x的平方根为______．A. ±4B. 4C. -4D. 2答案：A解答：∵负数不能开平方，∴20 20 xx-≥⎧⎨-≥⎩，∴x=2，y=4，∴y x=42=16，∴=±4．16、已知y+3，则xy的立方根为______．解答：∵y+3，∴30 30 xx-≥⎧⎨-≥⎩，y=3，∴xy17、已知y，则x=______，y=______．答案：0；3得：-x2≥0，而x2≥0，故x=0，y．故答案为：0；3．18（x+y）2，则x-y的值为______．答案：2解答：10 10 xx-≥⎧⎨-≥⎩，x-1=0，x=1，x+y=0，y=-1，x-y=2．故答案为：2．19、若y+4，则yx=______．答案：41-x≥0，∴x≤1，根据定义有2x-2≥0，∴x≥1，∴x=1，y=4，∴yx=4．20=x，则代数式x-20152的值为______．答案：2016解答：∵x-2016≥0，∴x≥2016，∴2015-x＜0x，x=x，，x-2016=20152，∴x-20152=2016．故答案为2016．21、若y，求x2+y的立方根．答案：4解答：y；，x=6，y=28，x2+y=64．故答案为：4．22、已知实数a，b，c满足：b，c的平方根等于它本身．求a的值．答案：5．解答：∵-（a-3）2≥0，∴a=3，b=4，∵c的平方根等于它本身，∴c=0，∴a．故答案为：5．23、已知|2016-x x，求x-20162的值．答案：x-20162=2017．解答：由题意得，x-2017≥0，所以，x≥2017，所以，x x，，两边平方得，x-2017=20162，所以，x-20162=2017．。

算术平方根非负性的应用教学设计

课题算术平方根非负性的
应用
课时 1 主备
授课时间授课类型复习【学习目标】应用算术平方根的非负性求字母的取值
【重点】理解非负性并灵活运用
【难点】各种题型中正确运用非负性
【学习过程】一复习归纳：
什么是算术平方根？怎样表示？任何数都有算术平
方根吗？
答：如果一个正数x的平方等于a,那么这个正数x
叫做a的算术平方根.
a的算术平方根表示为:
()
a a≥
0的算术平方根是0
负数没有算术平方根
二、热身练习
三、例题讲解
（1）若.
_________
2
3=
+
=
-
+
+b
a
b
a，则
（2）.
________
1
2015
)
1(2=
-
=
-
+
+y
x
y
x，则
四、巩固练习
（1）.
_________
)
(
4
52=
+
=
+
+
-y
x
y
x，则
若
（2）.
________
3
4
)1
(2=
-
=
-
+
+b
a
b
a，则
引领学生复习知
识点，为本节内
容做好铺垫
归纳概括，引导
学生完成解题方
法的探索。

本环
节根据实际情况
可组织学生采取
互问互答的方式
进行巩固深化。

算术平方根性质的应用

算术平方根性质的应用
作者：申中丽
来源：《中学生数理化·八年级数学北师大版》2008年第07期
算术平方根的性质:当a≥0时, ≥0.特别地,
=a=a(a≥0),-a(a
算术平方根的这一性质(非负性)应用非常广泛.它主要应用于以下几个方面.
一､求未知数的取值范围
例1 已知=2m-1,求m的取值范围.
解:因为==2m-1=2m-1,所以2m-1≥0,故m≥.
二､解某些特殊的方程
例2 解方程:+y2-y+=0.
解:原方程变形为+y-2=0.因为≥0,y-2≥0,所以当+y-2=0时,必有x-2=0,y-=0.所以x=2,y=.
三､判断某些无理方程根的情况
例3 试判断无理方程+4=0是否有实数解.
解:移项得=-4.根据算术平方根的性质,方程的左边=≥0,而方程的右边=-4
四､化简或变形
例4 化简:+-(3
解:原式=a+2+a-3-a-5.
因30,a-50.原式=(a+2)+(a-3)-(5-a)=3a-6.
例5 化简:(4-x).
解:由>0,得x>4,所以4-x
所以(4-x)=-x-4=-=-.
五､求最值
例6 求5-的最大值和最小值.
解:被减数一定,要使差最大(小),须使减数最小(大).
因为≥0,故减数的最小值为0.
所以当x=±2时,5-取最大值,最大值为5.
欲使减数=取最大值,须使4-x2取最大值,故x2应取最小值.
当x=0时,x2有最小值0,此时即有最大值2,5-有最小值3.
注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文。

第5讲非负数的性质的应用(教案)

至于学生小组讨论环节，我发现学生们在讨论非负数在实际生活中的应用时，能够提出一些很有创意的想法。但与此同时，也有一部分学生在讨论中显得较为被动，这可能是因为他们对这部分内容还不够自信。针对这个问题，我计划在后续的教学中，多鼓励这些学生发言，提高他们的自信心。
最后，从整个教学过程来看，学生们在掌握非负数性质的应用方面还存在一些难点，如代数化简和几何图形中的运用。在今后的教学中，我会着重针对这些难点进行详细讲解和练习，通过更多的实例和练习，帮助学生克服这些困难。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“非负数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
其次，在新课讲授的案例分析部分，我尝试通过具体例子让学生看到非负数性质在解决问题中的优势。从学生的反馈来看，这种方法较为直观，有助于他们理解抽象的数学概念。但同时，我也注意到，对于一些较复杂的案例，学生们的接受程度并不高，这可能是由于他们对非负数性质的理解还不够深入。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作让学生们积极参与进来，但我发现有些小组在讨论时容易偏离主题，讨论的内容与今天的课程内容关联度不高。这提醒我，在未来的教学中，需要加强对学生的引导，确保讨论主题的紧了解非负数的定义及其性质。非负数是指大于或等于零的实数，它在数学中有着重要的地位。非负数的性质在解决实际问题中发挥着关键作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。例如，在解决算术平方根问题时，非负数的性质如何帮助我们找到正确的答案。

平方根(知识讲解)八年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)

专题2.1 平方根（知识讲解）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】【知识点一】算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根”，叫做被开方数.特别说明：0，≥0. 【知识点二】平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为是的算术平方根.【知识点三】平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.【知识点四】平方根的性质【知识点五】平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者x a 2x a =x a a a a a a 2x a =x a a a a 0)a ≥a 0||000aa a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20aa =≥向左移动1位..【典型例题】类型一、求一个数的平方根1．求下列各数的算术平方根． (1)169； (2)481； (3)0.09； (4)(﹣3)2．【答案】(1)13； (2)29； (3)0.3； (4)3 【分析】根据算术平方根的定义解答解：(1)∵132＝169，∵169的算术平方根是13， 13； (2)∵（29）2＝481， ∵481的算术平方根是29，29； (3)∵0.32＝0.09，∵0.09的算术平方根是0.3，＝0.3； (4)∵32＝9＝（﹣3）2，∵（﹣3）2的算术平方根是3， 3．【点拨】此题考查了求一个数的算术平方根，正确理解算术平方根的定义是解题的关键．【变式】求下列各数的算术平方根： (1) 0.64 (2) 4981【答案】(1) 0.8； (2)79【分析】根据算术平方根的定义求解即可．解：（1）因为0．82=0.64，所以0.64的算术平方根是0.8．（2）因为2749()981=，250=25= 2.5=0.25=所以4981的算术平方根是7979．【点拨】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键，正数有一个正的算术平方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根．类型二、利用算术平方根非负性求解2．已知223y x x =-+--，求(x +y )2022的值【答案】1【分析】根据二次根式的性质得到2x =，计算出1x y +=-，从而计算出最终的答案．解：∵3y =∵2020x x -≥⎧⎨-≥⎩得22x x ≥⎧⎨≤⎩∵2x =∵33y ==- ∵202220222022()(23)(1)1x y +=-=-= ∵2022()1x y +=．【点拨】本题考查二次根式、幂运算的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式、幂运算的相关知识．举一反三：【变式】已知实数a 、b 、c |1|a +=(1) 求证：b c =；(2) 求a b c -++的平方根．【答案】(1)见分析 (2)3±【分析】根据算术平方根的非负性，即可得证；（2）根据（1）的结论，以及非负数之和为0，求得,,a b c 的值，进而求得a b c -++的平方根．(1)证明：0≥0，0,0b c c b -≥-≥，b c ∴=；(2)解：|1|a +=b c =，10a -=，1,4a b ∴=-=， 4c b ∴==，1449a b c ∴-++=++=，9的平方根是3±．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，非负数之和为0，掌握非负数的性质以及算术平方根的非负性是解题的关键．类型三、求算术平方根的整数部分和分数部分3．已知21a-＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是113的整数部分，求a+b+2c 的平方根．【答案】±5【分析】分别根据算术平方根、平方根的意义，无理数的估算求出a、b、c的值，即可求出a+b+2c的值，根据平方根的意义即可求解．解：＝3，∵2a﹣1＝9，解得：a＝5，∵3a﹣b+1的平方根是±4，∵15﹣b+1＝16，解得：b＝0，∵1011，∵c＝10，∵a+b+2c＝5+0+2×10＝25，∵a+b+2c的平方根为±5．【点拨】本题考查了算术平方根、平方根的意义，无理数的估算，熟知算术平方根、平方根的意义是解题关键．举一反三：【变式】已知a b－1是400【答案】6a的值，进而利用算术平方根的定义得出b 的值，即可得出答案．解：∵a∵a＝15，∵b－1是400的算术平方根，∵b－1＝20，解得：b＝21，6．【点拨】此题主要考查了估计无理数大小以及算术平方根，得出a 的值是解题关键．类型四、算术平方根相关规律问题4.先填写表，通过观察后再回答问题：(1)表格中x ＝，y ＝；(2)从表格中探究a∵ ；∵8.973＝89.73，用含m 的代数式表示b ，则b ＝；(3)a 的大小．【答案】(1)0.1，10(2)∵31.6；∵100b m =(3)当0a =a =；当1a =a =；当01a <<a ；当1a >a 【分析】（1）根据算术平方根的性质，即可求解；（2）根据题意可得当a 扩大10010倍，∵≈3.16，即可求解；∵8.973＝89.73，即可求解；（3）分四种情况：当0a =时，当1a =时，当01a <<时，当1a >时，即可求解．(1)解：根据题意得：0.1,10x y ====；(2)解：根据题意得：当a 扩大10010倍，，31.6；8.973＝89.73， ∵100b m =；(3)当0a =0=a =；当1a =1=a =；当01a <<时，根据a a >；当1a >时，根据a a ；综上所述，当0a =a =；当1a =a ；当01a <<a >；当1a >时，a <．【点拨】本题主要考查了算术平方根，明确题意，准确得到规律是解题的关键．举一反三：【变式】细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：221+=； 221+=；221+=；⋅⋅⋅⋅⋅⋅（1）请用含n （n 为正整数）的等式表示上述交化规律：______；（2）观察总结得出结论：直角三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：______；（3的长度；（4）若S 表示三角形面积，121OP P S S =△，232OP P S S =△，343OP P S S =△⋅⋅⋅，计算出222212310S S S S +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（1）221+=；（2）直角边的平方和等于斜边的平方；（3）见分析；（4）554．【分析】（1）观察已知各式，归纳总结规律即可得；（2）根据等式和图形即可得；（3）先作5OP 的垂线，再在垂线上截取561P P =，连接6OP ，可得6OP 出点7P ，连接7OP 即为所求；（4）先分别求出123,,S S S 的值，再归纳总结出一般规律得出n S 的值，从而可得10S 的值，然后代入求和即可．解：（1）观察已知各式可得，各式的变化规律为221+=故答案为：221+=；（2）结合等式和图形可得，直角三角形两条直角边与斜边的关系为：直角边的平方和等于斜边的平方故答案为：直角边的平方和等于斜边的平方；（3）先作5OP 的垂线，再在垂线上截取561P P =，连接6OP ，即可得6OP 作点7P ，连接7OP ，则7OP 即为所求，如图所示：（4）121111122OP P S S==⨯⨯==2321122OP P S S ==⨯343112OP P S S==⨯归纳类推得：1112n n n OP P S S +==⨯当10n =时，101110112OP P S S==⨯=则222222221231010()2S S S S +++⋅⋅⋅+=++++ 123104444=++++123104++++=554=．【点拨】本题考查了算术平方根、勾股定理等知识点，读懂题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．类型五、算术平方根的实际应用5.如图，用两个边长为18cm 的小方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片的长是宽的2倍，且面积为230cm 请说明理由．【答案】不能，理由见分析【分析】根据拼图求出大正方形的边长，再根据长方形的长、宽之比为2：1，计算长方形的长与宽进行验证即可．解：不能，∵2+2=36（cm 2）， ∵大正方形的边长为6cm ，设截出的长方形的长为2b cm ，宽为b cm ， ∵2b 2=30，∵b∵2b =6=，∵不能截得长宽之比为2：1，且面积为30cm 2的长方形纸片．【点拨】本题考查了算术平方根的应用，理解算术平方根的意义是正确解答的关键．举一反三：【变式】小强同学用两个小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为1S 、2S ）．(1)如图1，121,1S S ==，拼成的大正方形1111D C B A 边长为___________；如图2，121,4S S ==，拼成的大正方形2222A B C D 边长为___________；如图3，121,16S S ==，拼成的大正方形3323A B C D 边长为___________．(2)若将（1）中的图3沿正方形3333A B C D 边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4∵3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由；【答案】(2)不能用正方形3333A B C D 纸片裁出符合要求的长方形纸片，理由见分析【分析】（1）求出所拼成的正方形的面积，再根据算术平方根的定义进行计算即可；（2）根据题意求出其长、宽，再根据算术平方根进行验证即可．(1)解：如图1，当S 1=1，S 2=1，拼成的大正方形A 1B 1C 1D 1的面积为1+1=2，因此其边如图2，当S 1=1，S 2=4，拼成的大正方形A 2B 2C 2D 2的面积为1+4=5如图3，当S 1=1，S 2=16，拼成的大正方形A 3B 3C 3D 3的面积为1+16=17，(2)解：不能，理由如下：设长方形的长为4x ，宽为3x ，则有4x •3x =14.52，所以x 2=1.21，即x =1.1（x ＞0），因此长方形的长为4x =4.4，宽为3x =3.3，因为（4.4）2=19.36＞17，所以不能用正方形A 3B 3C 3D 3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形．【点拨】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．类型六、平方根概念的理解6.已知10﹣3a 的平方根是±1，a ﹣b +2的算术平方根是2，求3a +b 的值．【答案】10【分析】利用平方根和算术平方根的定义求得a 与b 的值，然后代入3a +b 即可．解：∵10﹣3a 的平方根是±1，∵()21031a -=±，解得，a ＝3，∵a ﹣b +2的算术平方根是 2， ∵222a b -+=，解得，b ＝1，∵333110a b +=⨯+=．【点拨】本题考查了平方根和算术平方根的概念，理解掌握概念是解题的关键．举一反三：【变式】已知一个正数的两个不相等的平方根是6a +与29a -．（1）求a 的值及这个正数；（2）求关于x 的方程()2280ax --=的解．【答案】（1）a =1，这个正数是49；（2）8x =± 【分析】（1）由正数的两个平方根互为相反数得到6a ++29a -=0，求解即可得到答案；（2）将a =1代入方程，根据平方根的意义得到答案即可．解：（1）由题意得6a ++29a -=0，解得a =1，∵这个正数是2(6)49a +=；（2）将a =1代入方程()2280ax --=，得2x -64=0，解得8x =±．【点拨】此题考查正数平方根的性质，根据平方根的定义解方程，正确理解平方根的性质是解题的关键．类型七、求一个数的平方根7.先用平方根符号表示下列各数，再求值： (1)9(2)1625【答案】(1)记为3±(2)±记为45± 【分析】（1）根据平方根的概念与性质，计算即可；（2）根据平方根的概念与性质，计算即可．(1)解：原式=3=±(2)解：原式45=±【点拨】本题考查平方根的概念与性质，一个数a 的正的平方根，用符号表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，a 的负平方根用“表示，根指数是2时，通常略去不写．如“根号a ”，“正、负根号a ”，掌握平方根的概念与性质是解题的关键．举一反三：【变式】求下列各数的平方根： (1)100； (2)64； (3)4964；(4)1.21．【答案】(1)±10(2)±8(3)78±(4)±1.1【分析】（1）根据2100±=（10）计算即可．（2）根据264±=（8）计算即可．（3）根据2749864±=（）计算即可．（4）根据2 1.21±=（ 1.1）计算即可．解：(1)∵2100±=（10），∵100的平方根是±10．(2)∵264±=（8），∵64的平方根是±8． (3)∵2749864±=（） ∵4964的平方根是78±． (4)∵2 1.21±=（ 1.1），∵1．21的平方根是±1．1．【点拨】本题考查了平方根即如果2x a =（a 是非负数），则称x 是a 的平方根，正确理解平方根的意义是解题的关键．类型八、求代数式的平方根8.若2x +的算术平方根是3，求34+x 的平方根．【答案】5±【分析】根据2x +的算术平方根是3，求出x 的值后，代入34+x 中，再求34+x 的平方根．解：∵2x +的算术平方根是3，∵29x +=，∵7x =，∵3425x +=，∵34+x 的平方根为5±．【点拨】本题考查了算数平方根和平方根的应用，解题的关键是：理解算数平方根和平方根的定义，易错点是容易把负的平方根丢掉．举一反三：【变式】k 是64的平方根，求m -n+k 的平方根．【答案】【分析】由互为相反数的两个数的和等于0可得：m+1=0，2-n -0，解得m=-1，n=2；由k 是64的方根，得出k=±8，再代入m 、n 、k 的值求得m -n+k 的值，求其平方根即可．解：0，又，∵m+1=0，2-n-0，∵m=-1，n=2，∵k是64的平方根，∵k=±8；当k=8时，m-n+k＝－1－2+8＝5，由m-n+k的平方根为当k=-8时，m-n+k＝－1－2－8＝－11，没有平方根；综合上述可得：m-n+k的平方根为【点拨】考查了非负数的性质和平方根的定义，解题关键掌握几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0．类型九、已知一个数的平方根，求这个数9.一个正数x的两个平方根是3a﹣2与4﹣a，则x是多少？【答案】25【分析】直接利用平方根的性质求解．解：依题意得，3a﹣2+4﹣a＝0，∵a＝﹣1，∵3a﹣2＝﹣5，∵x＝25．【点拨】本题考查了平方根的性质，熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键．举一反三：【变式】一个正数x的两个不同的平方根分别是4a﹣1和4﹣a，求a和x的值．【答案】a和x的值分别为﹣1，25【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到4a﹣1+（4﹣a）＝0，求出a＝﹣1，再根据x＝（4a﹣1）2求出x即可．解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，∵4a﹣1+（4﹣a）＝0，解得a＝﹣1，∵x＝（4a﹣1）2＝（﹣5）2＝25．答：a和x的值分别为﹣1，25．【点拨】此题考查了已知一个数的平方根求参数，正确掌握一个正数的两个平方根是一对相反数的性质是解题的关键．类型十、利用平方根解方程10.阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容．解方程：（x－1）2＝4解：∵（x－1）2＝4（1）∵x－1＝2（2）∵x＝3（3）上述过程中有没有错误？若有，错在步骤__________（填序号）原因是____________________________________.请写出正确的解答过程.【答案】（2），正数的平方根有两个，它们互为相反数，见分析【分析】根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，即可求解．解：上述过程中有错误，错在步骤（2），原因是：正数的平方根有两个，它们互为相反数，正确的解答过程为：解：∵（x－1）2＝4∵x－1＝±2∵x＝3或x＝－1故答案为：（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数，【点拨】本题考查了根据平方根解方程，掌握正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键．举一反三：【变式】求下列式子中的x：(1)25(x﹣35)2＝49；(2)12(x+1)2＝32．【答案】(1)x1＝2，x2＝45(2)x1＝7，x2＝﹣9【分析】（1）两边同时除以25，再开平方解一元一次方程即可；（2）方程两边同时乘以2，再开平方解一元一次方程即可．(1)解：25（x﹣35）2＝49，（x﹣35）2＝4925，x﹣35＝±75，x ﹣35＝75或x ﹣35＝﹣75，解得：x 1＝2，x 2＝45-； (2)12（x +1）2＝32，（x +1）2＝32×2，（x +1）2＝64，x +1＝±8，x +1＝8或x +1＝﹣8，解得：x 1＝7，x 2＝﹣9．【点拨】此题考查了利用平方根定义解方程，正确理解并掌握平方根的定义是解题的关键．类型十一、平方根的应用11.如图∵所示是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图∵的方式拼成一个正方形．(1)图∵中阴影部分的正方形的边长等于______________(2)请用两种不同的方法列代数式表示图∵中阴影部分的面积：方法一：________________________________________________方法二：________________________________________________(3)根据（2）直接写出22(),(),m n m n mn -+这三个代数式之间的等量关系．(4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：对于任意的有理数x 和y ，若9,18x y xy +==，求x y -的值．【答案】(1)m n -(2)2()m n -，2()4m n mn +-(3)22()()4m n m n mn -=+-(4)3±【分析】（1）利用小长方形的长减去宽即可得；（2）方法一：根据（1）的结论，直接利用正方形的面积公式即可得；方法二：利用大长方形的面积减去四个小长方形的面积即可得；（3）根据（2）中方法一与方法二求出的面积相等即可得；（4）先利用（3）中的等式求出2()x y -的值，再根据平方根的性质即可得．(1)解：由题意得：小长方形的长为m ，宽为n ，则图∵中阴影部分的正方形的边长等于为m n -，故答案为：m n -．(2)解：方法一：图∵中阴影部分的正方形的边长等于为m n -，则其面积为2()m n -；方法二：图∵中大正方形的边长为m n +，四个小长方形的长均为m ，宽均为n ，则图∵中阴影部分的面积为2()4m n mn +-，故答案为：2()m n -，2()4m n mn +-．(3)解：因为（2）中方法一与方法二求出的面积相等，所以22()()4m n m n mn -=+-．(4)解：9,18x y xy +==，222()()494189x y x y xy ∴-=+-=-⨯=，3x y ∴-=±．【点拨】本题考查了完全平方公式与图形面积、平方根的应用，结合图形，正确发现图∵中阴影面积的两种求解方法是解题关键．举一反三：【变式】已知|2020|a a -=，求22020a -的值．【答案】2022【分析】根据算术平方根的非负性确定a 的范围，进而化简绝对值，在根据平方根的定义求得代数式的值．解：∵20220a -≥，∵2022a ≥．∵20200a -<，∵原式化简为2020a a -+=，2020=，∵220222020a -=，故220202022a -=．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，化简绝对值，平方根的定义，根据算术平方根的非负性确定a 的范围化简绝对值是解题的关键．。

非负数的性质与应用

非负数的性质与应用作者：谢妮娜来源：《学周刊》2017年第27期摘要：非负数是初中代数中一个重要的基本概念，通过对非负数性质介绍和应用举例，可以对初中数学中利用非负数解方程和几何应用问题加以分析，从中整理经验并指导教学。

关键词：非负数；代数式；方程中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2017）27-0102-02DOI：10.16657/ki.issn1673-9132.2017.27.063对于初中数学这个大家庭而言，“非负数”是一个不可或缺的重要成员。

从数轴，绝对值，到乘方，完全平方公式，再到开方，二次根式，到处都能看到“非负数”的身影。

那到底什么是非负数呢？所谓非负数，就是指零和正实数，这是从数的层面下的定义；从几何层面来理解，非负数是指在数轴上，原点与原点右边的点所表示的数。

一、常见的非负数初中数学重点学习的非负数主要有三种：1.任何实数的绝对值：a？叟0；2.任何实数的平方：a2？叟0；3.任何非负实数的算术平方根（二次根式）：？叟0（a？叟0）。

二、非负数常用的性质1.有限个非负数之和是非负数；2.有限个非负数之和是0，则每一个均为0，即所谓的“0+0=0”。

三、非负数的应用在初中阶段，非负数的应用集中在对其知识点性质的相关运用。

此类应用在解题时通常需要挖掘题目中暗藏的非负性条件，利用配方、倍分、拆项、添项等变形技巧，通过列方程或不等式解决问题。

（1）化简例1、设2x-4解：∵2x-4∴原式=+=x-3+x-2=3-x+2-x=5-2x（2）求最值例2、求二次函数y=-2x2-8x+3的最大值解：y=-2x-8x+3=-2（x+4x）+3=-2（x+4x+4）+11=-2（x+2）+11∵（x+2）？叟0∴-2（x+2）？燮0∴ y？燮11故y的最大值是11。

（3）求代数式的值在求代数式的值时，必须先求出字母的值，再代入代数式求值。

但在求每个字母的值时，如果已知条件的个数少于其字母的个数，就经常需要根据非负数的性质，将已知条件划分开，求出每个字母的值或找到字母之间的关系，从而求出代数式的值。

典例精析类题典例_巧用算术平方根的两个“非负性”

【例2－3】如果y＝ x2 4 4 x2 ＋2 013成立， x2
求x²＋y－3的值．分析：由算术平方根被开方数的非负性知， x²－4≥0，4－x²≥0，因此，x²－4＝0，即x＝±2；又x＋2≠0，即x≠－2，所以x＝2，y＝2 013，于是得解．
解：由题可知x²－4≥0，且4－x²≥0， ∴x²－4＝0，即x＝±2．又∵x＋2≠0，即x≠－2， ∴x＝2．
【例2－1】若 x2 ＋y＝6，则x＝____0______， y＝_____6_____．
解析：由 x2有意义得x＝0，故y＝6．【例2－2】若|m－1|＋ n 5 ＝0，则m＝_____1_____， n＝____5______．解析：根据题意，得m－1＝0，n－5＝0，所以m＝1，n＝5．注：若几个非负数的和为0，则每个数都为0.
将x＝2代入y＝ x2 4 4 x2 ＋2 013， x2
可得y＝2 013． ∴x²＋y－3＝2²＋2 013－3＝2 014．
【小结】由于初中阶段学习的非负数有三类，即一个数的绝对值，一个数的平方(偶次方)和非负数的算术平方根．关于算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一般情况下都是它们的和等于0的形式．
2．巧用算术平方根的两个“非负性” 众所周知，算术平方根 a 具有双重非负性：（1）被开方数具有非负性，即a≥0. （2） a 本身具有非负性，即 a ≥0.这两个非负性形象、全面地反映了算术平方根的本质属性．在解决与此相关的问题时，若能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的这两个非负性，就可避免用常规方法造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果．
此类问题可以分成以下几种形式：（1）算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题〔| |时出现这三个内容〔| | ＋ ( ) ²＋＝0〕．（2）题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用完全平方公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利用非负数的性质进行计算．

教你轻松理解平方根的概念和运算方法

教你轻松理解平方根的概念和运算方法平方根是数学中的一个重要概念，用于计算有关平方的运算方法。

它在日常生活和科学领域都有广泛的应用。

本文将教你轻松理解平方根的概念和运算方法，帮助你更好地掌握这一数学知识。

一、平方根的概念平方根是指一个数的平方等于该数的算术运算方法。

对于一个非负实数x，它的平方根是另一个非负实数y，满足y² = x。

我们通常用符号√x来表示平方根，其中√称为根号，x为被开方数。

在实际应用中，平方根有时会出现负数解。

但在初等数学中，我们只关注非负实数的平方根。

二、平方根的运算方法1. 特殊平方根的运算对于某些特殊的数字，我们可以直接计算它们的平方根。

例如，√0 = 0，√1 = 1，√4 = 2，√9 = 3等。

2. 近似计算平方根对于复杂的数字，我们可以使用近似计算的方法来得到其平方根的近似值。

其中最常用的方法是牛顿法和二分法。

牛顿法是通过迭代逼近的方法，根据函数的导数来计算平方根。

这种方法通常需要一些数值计算的技巧，不太适合初学者。

而二分法则是一种比较简单易懂的方法。

它首先确定一个上下界，然后计算中间值作为当前值，不断缩小范围，直到满足精度要求为止。

这种方法的精度和计算次数都可以通过调整上下界的选择来控制。

三、平方根的性质1. 非负实数的平方根是唯一的对于任何一个非负实数x，它的平方根是唯一的。

即使有时候可能存在负数解，但我们在初等数学中只讨论非负实数的平方根。

2. 平方根的乘法运算√ab = √a * √b，其中a和b为非负实数。

这个性质可以用来简化复杂的平方根运算。

3. 平方根的加减运算平方根的加减运算不能简单地直接计算。

例如，√2 + √3并不能直接化简为一个形式简单的数。

所以在平方根的加减运算中，我们通常只进行近似计算。

四、平方根的应用平方根在日常生活和科学领域都有广泛的应用。

下面列举几个常见的应用场景：1. 建筑领域：在建筑设计中，通过计算柱子、梁、桥梁等的受力情况，可以用平方根来计算相应的设计参数。

非负数应用的常见题型

专项训练1非负数应用的常见题型方法指导：1.常见的非负数有：算术平方根、偶次方、绝对值等，且一个数的算术平方根具有双重非负性．2．根据“几个非负数之和等于0，从而得每个非负数都等于0”构建方程，可求字母或式子的值．题型1：绝对值的非负性1．如果一个数的绝对值为a，那么数a在数轴上(如图)对应的点不可能是()(第1题)A．点M B．点O C．点P D．点N2．如果|a－2|＋|b|＝0，那么a，b的值分别为()A．1，1 B．－1，3C．2，0 D．0，23．设a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足|a－5|＋|3－b|＝0，则该三角形的周长是________．题型2：偶次方的非负性4．若(x＋3)2＝a－2，则a的值可以是()A．－1B．0C．1D．25．若x2＋(y－4)4＝0，求x y的值．算术平方根的非负性类型1 a 中被开方数a ≥0的应用6．如果1－a ＝b ，那么a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．a ＜1C ．a ＝1D ．a ≤17．若式子1x －1有意义，化简：|1－x|＋|x ＋2|.8．已知x ，y 都是有理数，且y ＝x －3＋3－x ＋8，求x ＋3y 的立方根．9．已知a 为有理数，求式子a ＋2－2－4a ＋－a 2的值．类型2 a ≥0的应用 10．已知x ，y 是有理数，且3x ＋4＋|y －3|＝0，则xy 的值是( )A ．4B ．－4C .94D ．－9411．已知x ＋3＋2y －4＝0，求(x ＋y)2 018的值．12．当x为何值时，2x＋1＋6 有最小值？最小值为多少？类型3算术平方根的双重非负性的应用13．若a＋a－2＝2，求a＋2的值．参考答案1．A 2.C3．11或134．D5．解：因为x 2≥0，(y －4)4≥0，且x 2＋(y －4)4＝0，所以x ＝0，y －4＝0.所以y ＝4.所以x y ＝0.6．D7．解：由1x －1有意义得x ＞1.所以|1－x|＋|x ＋2|＝(x －1)＋(x ＋2)＝2x ＋1. 8．解：由题意得x －3≥0且3－x ≥0，所以x ＝3.所以y ＝8.所以x ＋3y 的立方根为3x ＋3y ＝33＋3×8＝3.9．解：因为－a 2≥0，所以a ＝0.所以原式＝2－2＋0＝0.10．B11．解：由题意得x ＋3＝0，2y －4＝0，所以x ＝－3，y ＝2.所以(x ＋y)2 018＝(－3＋2)2 018＝1.12．解：因为2x ＋1≥0，所以当2x ＋1＝0，即x ＝－12时，2x ＋1＋6有最小值，最小值为6. 13．解：由a ＋a －2＝2得a －2＝2－a ，所以a －2≥0，2－a ≥0，即a ＝2.所以a ＋2＝2＋2＝2.。

算术平方根及其应用

2010/12ZHUANTI SHUXUE专题数学⊙陕西礼泉教研室吴健算术平方根及其应用由算术平方根的意义知，正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，即非负数的算术平方根是非负数．不难看出，若a %姨存在，则a %姨≥0（a ≥0），且可知算术平方根具有双重非负性（被开方数和算术平方根都是非负数）.下面通过几例说明算术平方根在解题中的应用.1求值1例设等式a （x-a ）%姨+a （y-a ）%姨=a －x %姨-y －a %姨在实数范围内成立，其中x ，y 是两两不同的实数，则x 2+xy+2018y 2x 2－xy －y 2+y x 2+xy 2的值是________.分析直接去根号变形显然比较烦琐，因为题中有4个算术平方根.注意到算术平方根的定义，发现“算术平方根的被开方数非负”这一隐含信息，则由等式右端知a-x ≥0，y-a ≥0，再由左端可得a ≥0且a ≤0，故a=0，于是可得到x=-y.这样便不难求出代数式的值.解答因为x ，y 两两不等，所以x-a ，y-a 不能同时为0.因a －x %姨和a （x-a ）%姨均是算术平方根，由被开方数非负知a-x ≥0，a （x-a ）≥0，故有a ≤0.同理，由y －a %姨和a （y-a ）%姨得y-a ≥0，a （y-a ）≥0，故有a ≥0.从而a=0.于是已知等式可化为0=-x %姨-y %姨，所以y=-x>0.故原式=x 2－x 2+2018x 2x 2+x 2－x 2+（x+y ）（x 2-xy+y 2）（xy ）2=2018+0=2018.2化简2例在实数范围内化简-－（m-8666）2%姨±1686.解析因为－（m-8666）2%姨是算术平方根，所以-（m-8666）2≥0，即（m-8666）2≤0.又（m-8666）2≥0，所以（m-8666）2=0，即m=8666.所以，原式=0±1686=1686．3求取值范围3例求使5x+33340%姨66662－x2%姨+x 2－666621－x%姨+（6688-π）-2088有意义的x 的取值范围.解析由算术平方根的被开方数非负和分式的分母不等于0有5x+33340≥0，66662－x 2>0，x ≥0，1－x %姨≠0≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠，即x ≥－6668，－6666<x<6666，x ≥0，x ≠1≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠.所以x 的取值范围为0≤x ＜6666且x ≠1.4求等式成立的条件4例满足怎样的条件，等式a 3+3696a 2%姨=-a a+3696%姨成立？解析因为a 3+3696a 2%姨是算术平方根，由其本身非负，则有a 3+3696a 2%姨≥0.所以-a a+3696%姨≥0.又a+3696%姨亦是非负数，则a+3696%姨≥0.所以-a ≥0，即a ≤0.由算术平方根a+3696%姨的被开方数非负有a+3696≥0，即a ≥-3696.故当-3696≤a ≤0时，等式a 3+3696a 2%姨=-a a+3696%姨成立.5根号外的因式移入根号内5例把式子（m -n ）·2068（-1）2069m －n%姨外面的因式移入根号内.解析原式即为（m-n ）－2068m －n%姨.由算术平方根的被开方数非负知-2068m －n≥0且m-n ≠0，所以m-n ＜0.所以原式=-［-（m-n ）］－2068m －n %姨=-［-（m-n ）］2×2068n －m%姨=-2068（n-m ）%姨.数坨数学公开课18。

算术平方根表示方法

算术平方根表示方法算术平方根是数学中的重要概念，它代表了一个数的平方根。

在本文中，我们将探讨算术平方根的定义、性质以及一些常见的计算方法。

我们来定义算术平方根。

对于一个非负实数x，如果存在一个非负实数y，使得y的平方等于x，那么y就是x的算术平方根。

我们用符号√x来表示x的算术平方根。

算术平方根具有一些重要的性质。

首先，对于任何非负实数x，它的算术平方根都是唯一的。

换句话说，一个数的平方根是确定的，不会有多个答案。

如果一个数x大于0，则它的算术平方根也大于0。

这是因为平方根是非负实数，不可能是负数。

算术平方根具有乘法性质。

即对于任何非负实数x和y，√(xy)等于√x乘以√y。

这个性质可以用来简化一些复杂的平方根计算。

那么如何计算一个数的算术平方根呢？常见的方法有两种：迭代法和牛顿法。

迭代法是一种通过不断逼近的方式来计算平方根的方法。

它的基本思想是从一个初始猜测值开始，通过迭代计算不断逼近平方根的真实值。

具体来说，对于一个非负实数x，我们可以从一个初始猜测值y0开始，然后通过以下迭代公式来计算下一个近似值yn+1：yn+1 = (yn + x/yn) / 2不断重复这个迭代过程，直到计算得到的近似值足够接近真实的平方根。

牛顿法是一种更高效的计算平方根的方法。

它利用了函数的切线与x轴的交点来逼近平方根的真实值。

具体来说，对于一个非负实数x，我们可以从一个初始猜测值y0开始，然后通过以下迭代公式来计算下一个近似值yn+1：yn+1 = (yn + x/yn) / 2同样地，不断重复这个迭代过程，直到计算得到的近似值足够接近真实的平方根。

除了这两种常见的计算方法，还有一些其他的方法可以用来计算平方根，例如二分法和连分数法等。

这些方法各有特点，适用于不同的情况和需求。

总结起来，算术平方根是数学中的重要概念，它代表了一个数的平方根。

通过迭代法、牛顿法等计算方法，我们可以计算一个数的平方根。

算术平方根具有唯一性、非负性和乘法性质等重要性质。

平方根与算术平方根的学习要点

平方根与算术平方根的学习要点平方根和算术平方根是数学中的两个重要概念。

本文将介绍平方根和算术平方根的定义、性质以及学习的要点。

一、平方根的定义和性质1.平方根指的是一个数的平方等于被开根的数。

例如，2的平方根记作√2，即√2²=22.平方根存在于非负实数中，即非负实数都有平方根。

3.平方根是一个集合，即一个数可以有两个平方根。

例如，4的平方根为±2，即2和-2二、算术平方根的定义和性质1.算术平方根指的是一个数的算术平方等于被开根的数。

例如，2的算术平方根记作√2，即√2²=22.算术平方根只存在于非负实数中，即只有非负实数才有算术平方根。

3.算术平方根是唯一的，即一个数只有一个算术平方根。

例如，4的算术平方根为2三、学习要点1.理解平方根和算术平方根的定义和性质。

学习者需要对平方根和算术平方根的含义进行深入理解，掌握它们的定义和性质。

2.计算平方根和算术平方根。

学习者需要学会计算各种数的平方根和算术平方根，例如，√2、√3、√5等。

3. 掌握平方根和算术平方根的运算法则。

学习者需要了解平方根的基本运算法则，例如，对于任意非负实数a和b，有√(ab) = √a * √b 和√(a/b) = √a / √b。

4.学会应用平方根和算术平方根解决实际问题。

学习者需要能够应用平方根和算术平方根解决实际生活和工作中的问题，例如，计算房间的边长或半径等。

5.探索平方根和算术平方根的性质和定理。

学习者可以通过探索和证明平方根和算术平方根的性质和定理来加深对它们的理解和应用能力。

总结起来，学习平方根和算术平方根需要理解它们的定义和性质，掌握计算和运算法则，并能应用于实际问题中。

同时，学习者还可以通过探索和证明性质和定理来深化对平方根和算术平方根的理解。

通过系统学习和实践应用，学习者可以建立起对平方根和算术平方根的牢固的理论基础和实际运用能力。

第三章实数考点3 非负数的性质：算术平方根(原卷版)

第三章实数（原卷板）3、非负数的性质：算术平方根知识点梳理1．非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．2．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．3．非负数的性质：算术平方根（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．同步练习一．选择题（共19小题）1．若+|y+3|＝0，则的值为（）A．B．﹣C．D．﹣2．已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是（）A．m＞6B．m＜6C．m＞﹣6D．m＜﹣63．若+|b+2|＝0，那么a﹣b＝（）A．1B．﹣1C．3D．04．若（m﹣1）2+＝0，则m+n的值是（）A．﹣1B．0C．1D．25．若|x+2|+，则xy的值为（）A．﹣8B．﹣6C．5D．66．已知|x﹣3|+＝0，则（x+y）2的值为（）A．4B．16C．25D．647．已知实数x，y满足，则y的值是（）A．2B．﹣2C．0D．38．已知x，y为实数且|x+1|+＝0，则（）2012的值为（）A．0B．1C．﹣1D．20129．已知，则a+b的值是（）A．1B．﹣1C．3D．﹣310．已知|7+b|+＝0，则a+b为（）A．8B．﹣6C．6D．811．已知△ABC的三边长a、b、c满足+|b﹣1|+（c）2＝0，则△ABC一定是（）三角形．A．锐角B．钝角C．直角D．一般12．已知，则y的值为（）A．1B．﹣2．C．﹣1D．﹣413．若x，y为实数，且，则的值为（）A．1B．2011C．﹣1D．﹣201114．若+（y+2）2＝0，则（x+y）2020等于（）A．﹣1B．1C．32020D．﹣3202015．若|x﹣2|+＝0，则xy的值为（）A．﹣8B．﹣6C．5D．616．已知实数x，y满足，则x﹣y等于（）A．3B．﹣3C．1D．﹣117．如果|x﹣3|+＝0，则＝（）A．2B．C．﹣2D．318．已知+（b+3）2＝0，则（a+b）2020的值为（）A．0B．1C．﹣1D．202019．已知实数x，y满足+|y+2|＝0，则x+y的值为（）A．﹣2B．2C．4D．﹣4二．填空题（共17小题）20．已知a、b满足（a﹣1）2+＝0，则a+b＝．21．当x取时，的值最小，最小值是；当x取时，2﹣的值最大，最大值是．22．已知+|x2﹣3y﹣13|＝0，则x+y＝．23．如果与（2x﹣4）2互为相反数，那么2x﹣y的平方根是．24．已知+＝0，则+＝．25．若，则m﹣n的值为．26．如果＝0，那么xy的值为．27．当x取时，代数式2﹣取值最大，并求出这个最大值．28．已知+|3x+2y﹣15|＝0，则的算术平方根为．29．已知实数x，y满足+（y+1）2＝0，则x﹣y等于．30．如果+＝0，那么xy的值为．31．已知与（x+y﹣4）2互为相反数，则y﹣x＝．32．若+|b2﹣9|＝0，则ab＝．33．已知，则a b＝．34．若＝3﹣x，则x的取值范围是．35．若a、b为实数，且（a+）2+＝0，则a b的值．36．已知非零实数a，b满足，则a+b等于．三．解答题（共9小题）37．已知|2a+b|与互为相反数．（1）求2a﹣3b的平方根；（2）解关于x的方程ax2+4b﹣2＝0．38．已知+|x﹣1|＝0．（1）求x与y的值；（2）求x+y的平方根．39．若+（3x+y﹣1）2＝0，求的平方根．40．已知a、b、c满足．（1）求a、b、c的值；（2）判断以a、b、c为边的三角形的形状．41．已知+|y3+1|＝0，求4x﹣3y的平方根．42．已知x、y满足+|y+1|＝0，求x2﹣4y的平方根．43．已知|a+b﹣3|++（a+2）2＝0，求（a+c）b的值．44．已知（3x﹣1）2+＝0，求18xy的平方根．45．已知实数x，y满足（x﹣4）2+＝0，求﹣xy的平方根．。