一元二次方程韦达定理的应用
浅谈韦达定理在高中数学学习中的应用
浅谈韦达定理在高中数学学习中的应用【摘要】韦达定理是高中数学中重要的定理之一，通过证明和相关推导可以帮助学生理解其原理。
在解决高中数学题目中，韦达定理的应用不仅能够简化计算，还能够提高解题效率。
特别是在几何问题中，利用韦达定理可以更快速地找到解答。
韦达定理与其他数学定理之间也存在联系，通过举例说明可以更好地理解其实际应用。
总结来看，韦达定理在高中数学学习中扮演着重要的角色，展望未来，它仍有着广阔的应用前景，将继续为学生提供帮助和启发。
【关键词】韦达定理、高中数学、引言、正文、结论、证明、推导、应用、几何问题、联系、实际应用、作用、应用前景1. 引言1.1 介绍韦达定理的基本概念韦达定理是代数学中一个非常重要的定理，它可以用来解决关于多项式方程的根的问题。
韦达定理由法国数学家韦达于16世纪提出，至今仍然被广泛应用于数学领域。
韦达定理的核心思想是：对于一个n 次多项式方程，它的n个根之和等于多项式方程的一次项系数的相反数，而且这n个根两两之间的乘积等于多项式方程的二次项系数的相反数。
具体来说，对于一个n次多项式方程\[a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0\]其n个根分别为\(x_1, x_2, ..., x_n\)，则有\[x_1 + x_2 + ... + x_n = - \frac{a_{n-1}}{a_n}\]\[x_1x_2 + x_1x_3 + ... + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}\]韦达定理在高中数学学习中的应用非常广泛，可以帮助学生更好地理解多项式方程的根与系数之间的关系，从而更加深入地理解代数学的相关知识。
通过学习韦达定理，学生可以更加灵活地解决各种数学问题，为以后的学习打下坚实的基础。
1.2 韦达定理在高中数学学习中的重要性在高中教学中，韦达定理的学习不仅有助于拓展学生的数学思维，更可以培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
专题12 韦达定理及其应用(解析版)
专题12 韦达定理及其应用1.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，acx x =21。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
2.根与系数的关系的应用，主要有如下方面： （1）验根；（2）已知方程的一根，求另一根； （3）求某些代数式的值； （4）求作一个新方程。
【例题1】（2020•泸州）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣7＝0的两个实数根，则x 12+4x 1x 2+x 22的值是 ． 【答案】2【分析】根据根与系数的关系求解． 【解析】根据题意得则x 1+x 2＝4，x 1x 2＝﹣7 所以，x 12+4x 1x 2+x 22＝（x 1+x 2）2+2x 1x 2＝16﹣14＝2【对点练习】（2019湖北仙桃）若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ） A ．12 B ．10 C ．4 D ．﹣4【答案】A【解析】∵方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12【例题2】（2020•江西）若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为．【答案】-2【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．【解析】∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，=−2．∴x1•x2=ca∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，∴另一个根为﹣2÷1＝﹣2．【对点练习】已知方程的一个根是-1/2，求它的另一个根及b的值。
【答案】x1=3 b=-5【解析】设方程的另一根为x1，则由方程的根与系数关系得：解得：【点拨】含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。
一元二次方程韦达定理法
一元二次方程韦达定理法韦达定理是解一元二次方程的一种方法，它利用方程的根与系数之间的关系来求解方程。
它的全名叫做“韦尔斯特拉斯定理”，是一个非常有用的数学定理，对于解二次方程有着很大的帮助。
下面我将详细介绍一下韦达定理的原理和具体的应用步骤。
首先，我们来看一元二次方程的一般形式：ax^2+bx+c=0，其中a、b、c是已知的实数，且a≠0。
这里的x代表未知数，我们的目标是求出方程的根。
根据韦达定理，给定方程ax^2+bx+c=0，可以得到以下两个重要的等式：1.方程的两个根的和等于-b/a，即x1+x2=-b/a；2.方程的两个根的乘积等于c/a，即x1*x2=c/a。
这两个等式被称为韦达定理。
那么，我们该如何利用韦达定理来解二次方程呢？下面我将通过几个例子来说明具体的步骤和计算方法。
例1：求解方程x^2-5x+6=0首先，根据韦达定理，我们可以得到两个等式：1. x1+x2=5/1=5；2. x1*x2=6/1=6。
接下来，我们可以利用这两个等式来解方程。
为了找到满足这两个等式的数对(x1,x2)，我们需要考虑所有可能的因式分解形式。
根据等式1，我们可以得到以下数对(x1,x2)的和等于5：(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)根据等式2，我们可以得到以下数对(x1,x2)的乘积等于6：(1,6),(2,3),(3,2),(6,1)接下来，我们需要进一步检验这些数对是否满足原方程。
我们将每一个数对代入方程，观察方程的左右两边是否相等。
通过检验，我们发现数对(2,3)满足原方程。
所以，方程的解为x=2，x=3。
例2：求解方程2x^2-7x+3=0同样地，根据韦达定理，我们可以得到两个等式：1. x1+x2=7/2；2. x1*x2=3/2。
为了找到满足这两个等式的数对(x1,x2)，我们需要考虑所有可能的因式分解形式。
根据等式1，我们可以找到数对(1/2,7/2)、(7/2,1/2)的和等于7/2。
一元二次方程韦达定理的应用条件
一元二次方程韦达定理的应用条件一元二次方程是高中数学中非常重要的一个知识点，而韦达定理则是解一元二次方程的一种常用方法。
了解一元二次方程韦达定理的应用条件对于提高数学解题的效率和准确性非常有帮助。
在本文中，我将详细介绍一元二次方程韦达定理的应用条件，并结合具体的数学例子进行讲解，以便你更全面地理解这一知识点。
一元二次方程通常具有如下形式：\[ax^2 + bx + c = 0\]其中，\(a\)、\(b\)、\(c\)为已知常数，\(x\)为未知数。
而韦达定理是指，对于一元二次方程：\[ax^2 + bx + c = 0\]其根可以表示为：\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\]\[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\]下面我们来具体看一下一元二次方程韦达定理的应用条件。
对于一元二次方程来说，应当满足以下条件：1. 方程的二次项系数\(a\)不为0，即\(a \neq 0\)；2. 方程的根是实数根或者虚数根（复数形式），即\(\Delta = b^2 - 4ac \geq 0\)或\(\Delta = b^2 - 4ac < 0\)；3. 方程的根是有理数根或者实根，即\(\frac{b^2 - 4ac}{a}\)是一个平方数或者一个完全平方数，或者判别式\(\Delta\)为完全平方数。
举个例子，对于一元二次方程 \(2x^2 + 3x - 2 = 0\)，我们可以应用韦达定理进行求解。
首先根据公式 \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) 和\(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)，代入系数，可以求得该方程的两个根。
这样，我们就可以利用韦达定理来快速求解一元二次方程的根。
了解一元二次方程韦达定理的应用条件对于解题非常重要。
只有在满足特定条件的情况下，我们才能够有效地使用韦达定理来求解一元二次方程的根。
希望通过本文的讲解，你能更加深入地理解一元二次方程韦达定理的应用条件，并在实际解题中灵活运用。
初中数学 一元二次方程的韦达定理有什么应用
初中数学一元二次方程的韦达定理有什么应用一元二次方程的韦达定理是数学中一个重要的定理，它提供了一种快速计算一元二次方程根的和与积的方法。
韦达定理在实际生活中有着广泛的应用，下面将详细介绍一些常见的应用场景。
1. 判定方程根的性质：韦达定理可以用来判定方程的根的性质。
通过计算根的和与积，我们可以得到关于根的一些信息。
例如，当根的和与根的积都为正数时，说明方程的两个根都是正数；当根的和为负数而根的积为正数时，说明方程的两个根一个为正数一个为负数。
这种信息对于解决实际问题非常有用，可以帮助我们了解方程的解的情况。
2. 求解方程的根：韦达定理可以用于求解一元二次方程的根。
通过将方程的系数带入韦达定理的公式，我们可以计算出方程的根的和与积。
进一步求解根的具体数值，可以使用一些代数方法，如配方法、因式分解或求根公式。
韦达定理为我们提供了一个快速计算根的和与积的方法，从而更方便地解决一元二次方程。
3. 拟合数据：韦达定理可以用于数据的拟合。
通过找到满足给定数据点的一元二次方程，我们可以使用韦达定理计算方程的根的和与积。
根的和与积可以提供关于数据的整体趋势和特征的信息。
这种方法在统计学和数据分析中非常有用，可以帮助我们找到最佳拟合曲线并预测未知数据的值。
4. 解决实际问题：韦达定理在解决实际问题中起到重要的作用。
例如，在物理学中，我们可以使用韦达定理来计算自由落体运动中物体的最大高度和落地时间；在经济学中，韦达定理可以用来分析成本和收益之间的关系，帮助我们做出合理的决策；在工程学中，韦达定理可以用于计算电路中的电流和电压，从而设计合适的电路。
总结：一元二次方程的韦达定理是数学中一个重要的定理，它提供了一种快速计算方程根的和与积的方法。
韦达定理在判定方程根的性质、求解方程的根、拟合数据以及解决实际问题等方面有着广泛的应用。
了解韦达定理及其应用可以帮助我们更好地理解和解决一元二次方程相关的数学问题，同时也可以在实际生活中应用这些知识来解决各种问题。
利用韦达定理求一元二次方程的根
利用韦达定理求一元二次方程的根一、关于韦达定理的性质1. 韦达定理：假设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a .2. 推导：（法一）根据一元二次方程的求根公式x ＝－b ±b 2－4ac 2a不妨假设 x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ， x 2＝－b －b 2－4ac 2a不难得出 x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a .（法二）若一元二次方程的两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 a (x －x 1)(x －x 2)＝0 (a ≠0) （双根式） 按照x 的次数降幂排列，得 ax 2－a (x 1＋x 2)x ＋ax 1x 2＝0 对比一元二次方程的一般式ax 2＋bx ＋c ＝0，得b ＝－a (x 1＋x 2)，c ＝ax 1x 2，∴ x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a .3. 推论：（一）当二次项系数为1时，即一元二次方程满足x 2＋px ＋q ＝0的形式假设方程的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q .（二）已知一元二次方程两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0.4. 实质：韦达定理告诉了我们一元二次方程的根与系数的关系.二、利用韦达定理求一元二次方程的根例如，求一元二次方程x 2―22x ―6＝0的根.很明显，根据我们所学习惯，首选方法是十字相乘法.（法一）因式分解，得 (x －32)(x ＋2)＝0，解得， x 1＝32， x 2＝－ 2.当然，利用十字相乘法很难凑数时，我们就会选用求根公式法.（法二） a ＝1，b ＝－22，c ＝－6，∴ b 2－4ac ＝8＋24＝32，∴ x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝22±422＝2±22， 于是有 x 1＝32， x 2＝－ 2.结合以上两种方法，我们发现，十字相乘法计算速度快，但是凑数的过程十分灵活，若每一个系数都是整数，且满足x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0形式的方程可以很快算出来，但如果系数是分数、根式我们发现利用这种方法解方程是十分困难的，而且这种方法并不是对一切一元二次方程都适用. 而利用求根公式解一元二次方程时，虽然是一种万能的方法，但有时会给我们带来无比的计算量. 那有什么方法既可以减少计算量，使运算变得简单快捷，同时又可以用来解一切的一元二次方程呢？接下来，我们看以下解法.（法三）已知方程x2―22x―6＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝22，x1x2＝―6.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝2＋a，x2＝2－a，（满足条件x1＋x2＝22）且(2＋a)(2－a)＝―6. （满足条件x1x2＝―6）于是有2－a2＝―6，则a2＝8，因此a＝2 2∴x1＝2＋22＝32，x2＝2－22＝－ 2.上述解法中a取正取负并不影响计算的最终结果，为了方便，习惯上可以假定a为正数. 观察以上解法，我们可以发现，这种解法并不像十字相乘法需要有凑数的灵感，也不像求根公式法会带来无比的计算量，反而还结合两者的优点，计算快捷且万能通用. 当然我们也可以看以下例子.例1：解方程x2―6x―25＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝6，x1x2＝―25.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝3＋a，x2＝3－a，（满足条件x1＋x2＝6）且(3＋a)(3－a)＝―25. （满足条件x1x2＝―25）于是有9－a2＝―25，则a2＝34，因此a＝34∴x1＝3＋34，x2＝3－34.例2：解方程x2＋24x―63＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝－24，x1x2＝―63.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝－12＋a，x2＝－12－a，（满足条件x1＋x2＝－24）且(－12＋a)(－12－a)＝―63. （满足条件x1x2＝―63）于是有144－a2＝―63，则a2＝207，因此a＝207∴x1＝－12＋207，x2＝－12－207.例3：解方程x2―14x＋48＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝14，x1x2＝48.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝7＋a，x2＝7－a，（满足条件x1＋x2＝14）且(7＋a)(7－a)＝48. （满足条件x1x2＝48）于是有49－a2＝48，则a2＝1，因此a＝1∴x1＝7＋1＝8，x2＝7－1＝6.例4：解方程x2＋18x＋40＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝－18，x1x2＝40.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝－9＋a，x2＝－9－a，（满足条件x1＋x2＝－18）且 (－9＋a )(－9－a )＝40 （满足条件x 1x 2＝40）于是有81－a 2＝40， 则a 2＝41， 因此a ＝41∴ x 1＝－9＋41， x 2＝－9－41.通过以上4个例子，我们可以熟悉，若二次项系数为1时，利用韦达定理解一元二次方程的流程. 实际上当一元二次方程二次项系数不为1时，我们也可以离此流程解一元二次方程. 如例5：解方程2x 2＋9x ―5＝0，（法一）根据韦达定理有x 1＋x 2＝－92，x 1x 2＝―52.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得x 1＝－94＋a ， x 2＝－94－a ， （满足条件x 1＋x 2＝－92）且 (－94＋a )(－94－a )＝―52. （满足条件x 1x 2＝―52）于是有 8116－a 2＝―52， 则a 2＝12116， 因此a ＝114∴ x 1＝－94＋114＝12， x 2＝－94－114＝－5.（法二）a ＝2，b ＝9，c ＝－5，∴ b 2－4ac ＝81＋40＝121，∴ x ＝－b ±b 2－4ac 2a＝9±114， 于是有x 1＝12， x 2＝－5.当然，当二次项系数不为1时，运用韦达定理或求根公式解方程的计算量差不太多，因此当系数都是整数、分数时可根据实际情况讨论；若系数出现根式可考虑用韦达定理.。
一元二次方程的判别式、韦达定理应用举例
一元二次方程的判别式、韦达定理应用举例抛物线
1. 判别式：
判别式是用来判别一元二次方程的根（解）是实根、重根还是无解的
一个实用公式，它是欧拉定理的重要应用。
判别式的表达式为：D=b²-4ac。
其中a、b、c分别为一元二次方程中的系数：ax²+bx+c=0。
2. 韦达定理应用举例：
韦达定理是欧几里得几何中的重要定理，可以用来证明几何图形的线
段关系。
举例说明：
假设有ABC三角形，设三点的坐标分别为A（2，3），B（-1，-4），C（1，-1），根据韦达定理可得：
d(AB)² + d(BC)² =d(AC)²
即求出d(AB)² + d(BC)² 与d(AC)²的值，如果相等，证明该三角形
是等腰的。
3. 抛物线：
抛物线是第二次多项式函数的一类，表达式为：y=ax²+bx+c，其中a、b、c分别为常数，x为变量。
抛物线的性质：当a>0时，抛物线是一条开
口向上的“U”形线，当a<0时，抛物线是一条开口向下的“∩”形线。
一元二次方程、韦达定理及应用
专题 一元二次方程及韦达定理【基本知识】1．一元二次方程符合三个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为；③整式方程。
任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成下面的形式：ax 2＋bx ＋c = 0（a 、b 、c 是常数，且a ≠0）2．了解形如（x ＋m ）2= n （n ≥0）的一元二次方程的解法 —— 直接开平方法3．用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）把常数项移到方程右边；（2）在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；（3）利用直接开平方法解之。
4．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式：242b b ac x a -±-= （240b ac -≥） 5．一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a≠0）的根的情况可由b 2－4ac 来判定：当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当b 2－4ac = 0时，方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜ 0时，方程没有实数根。
我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0的根的判别式。
6． 设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如下关系： 12b x x a +=-，12c x x a⋅=； 7、用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程？（一审、二找、三设、四列（列代数式、列方程）、 五解、六验、七答）8． 用一元二次方程解决问题的关键是什么？（寻找题中的等量关系）巩固练习1．关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，则（ ）A ．0p >且0q >B ．0p >且0q <C ．0p <且0q >D ．0p <且0q < 2．若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ，且满足1212x x x x +=⋅。
一元二次方程根与系数的关系及应用-强方法
一元二次方程根与系数的关系及应用【定理内容】一、韦达定理1.()002≠=++a c bx ax 的求根公式： 当042≥-ac b 时，a ac b b x 242-±-= 2.定理的内容：若1x ，2x 为()002≠=++a c bx ax 的两根：则 =+21x x ab - ，=⋅21x x ac [注：这就是一元二次方程根与系数的关系，常称为韦达定理]二、韦达定理的应用（一）已知一根，求另一根。
1.已知方程23520x x +-=的一个根是2-，求另一个根。
512,3321(2,)33aa a a a -+=-=-=-=解：设另一根为由韦达定理得 设出另一根，由韦达定理直接解得。
亦可用于验根，确定根的符号。
（二）求关于两根的代数式的值。
（常见题型）1. 设1x ，2x 方程0522=--x x 的两个根，求下列代数式的值。
（先写1x +2x =?，1x 2x =?）（1）2221x x + （2）2111x x + （3）222111x x + （4）122221x x x x ⋅+⋅ （5）()221x x - （6）21x x -12122221212121212122221212122222212121215,22(1)()211(2)()211(3)()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +==-+=+-++=++-+==解：由韦达定理22122112122222121212121212(4)()(5)()2()4(6)||x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⋅+⋅=+-=+-=+--==借助完全平方公式变形之后，代入即可。
2.已知：α、β是方程012=--x x 的两实根，求：βα34+． 224210=+1+=1=13(+1)3(1)5x x αβαααββααβαα--=∴∴-∴+=+-=解：、是方程的两个根，（三）确定方程中待定字母的值1.已知关于x 的方程02)1(2=+++-k x k x 的两个实数根的平方和等于6，求k 的值。
一元二次方程根的判别式与韦达定理的应用
第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理的应用一、 内容提要1.一元二次方程的根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b 2－4ac当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系：(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x 1，x 2，那么a b x x -=+21，ac x x =21 (2)如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=－P ，x 1x 2=qx 1x 2=q(3)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．二、 热身练习1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边,且关于x 的一元二次方程(c －b )x 2+2(b －a )x +(a －b )=0有两个相等的实根,则这个三角形是（ ）A. 等边三角形B. 直角三角形 C 等腰三角形 D. 不等边三角形2．关于x 的一元二次方程2(21)(1)10a x a x -+++=的两个根相等，那么a 等于（ ）Ａ．1-或5- Ｂ．1-或5 Ｃ．1或5- Ｄ．1或5 3．已知方程032=+-m x x 的一个根是1，则它的另一个根是 ，m 的值是 。
4．方程x 2－2x －1=0的两个实数根分别为x 1，x 2，则（x 1－1）（x 2－1）=_________。
5．已知α、β是一元二次方程x 2－4x －3=0的两实数根，则代数式（α－3）（β－3）= ．6．已知一元二次方程)2110x x -=的两根为1x 、2x ,则1211x x +=________. 7．已知一个直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B ＝90°，判断关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x b cx x a 的根的情况。
一元二次方程-韦达定理地应用及问题详解
一元二次方程韦达定理的应用知识点：一元二次方程根的判别式 ：当△>0 时________方程_____________，当△=0 时_________方程有_______________ ，当△<0 时_________方程___________ .韦达定理的应用：1.方程的一个根，求另一个根和未知系数3.方程两根满足某种关系， 确定方程中字母系数的值4.两数的和与积， 求这两个数例 1.关于 x 的一元二次方程 2223840x mx m m --+-=.求证： 当 m>2 时,原方程永远有两个实数根.例 2.关于 x 的方程22(1)10kx x x k -++-=有两个不相等的实数根.(1)求 k 的取值X 围;(2)是否存在实数 k ， 使此方程的两个实数根的倒数和等于 0?假如存在， 求出 k 的值;假如不存在， 说明理由.例 3.关于 x 的方程222(3)410x k x k k --+--=(1)假如这个方程有实数根， 求 k 的取值X 围;(2)假如这个方程有一个根为 1， 求 k 的值;例 4.关于 x 的一元二次方程21(2)302x m x m +-+-= (1)求证： 无论m 取什么实数值， 这个方程总有两个不相等的实数根。
(2)假如这个方程的两个实数根12,x x 满足1221x x m +=+， 求 m 的值。
例 5.当 m 为何值时， 方程28(1)70x m x m --+-=的两根：(1) 均为正数; (2)均为负数; (3)一个正数， 一个负数; (4)一根为零; (5)互为倒数; (6)都大于 2.例 6. a,b,c,是△ ABC 的三边长， 且关于 x 的方程 22(1)2(1)0b x ax c x --+-=有两个相等的实根， 求证： 这个三角形是直角三角形。
例 7.假如 n>0 ，关于 x 的方程21(2)04x m n x mn ---=有两个相等的正的实数根， 求m n的值。
利用韦达定理解一元二次方程
利用韦达定理解一元二次方程韦达定理，听上去是不是有点复杂？别担心，我们来把它捋一捋，轻松聊聊一元二次方程。
大家都知道，一元二次方程的标准形式就是ax² + bx + c = 0。
这玩意儿其实就像生活中的一场闹剧，总是让人觉得扑朔迷离，想要找到解决的办法。
我们在解方程时，像在追一场影子，心里想着：这根本就没有线索啊！但是，韦达定理就像是那一束闪亮的光，带我们走出了迷雾。
韦达定理到底是什么呢？简单来说，它告诉我们，方程的两个根加起来等于 b/a，两个根的乘积等于 c/a。
这句话听上去有点抽象，但咱们可以把它想象成一对神奇的双胞胎，他们的性格和命运都跟这个方程紧紧相连。
就好比你和你的小伙伴，一起玩游戏，最后的结果可不是由单独一个人决定的，而是你们的默契和配合。
韦达定理就是在告诉我们，根与系数之间的那种默契，简直是亲密无间，密不可分。
想象一下，如果我们有一个方程2x² 8x + 6 = 0，来试试这位神奇的韦达老师。
我们先算出这个方程的根，别急，这里可以用公式法，或者简单点直接套用韦达定理。
咱们先看看根的和，也就是 (8)/2 = 4，然后根的乘积就是 6/2 = 3。
这两个数字简直就像是探险中的藏宝图，根与根之间的关系在这里呼之欲出。
好啦，假设这两个根就是 a 和 b。
你会发现 a + b = 4，而 ab = 3。
咱们把这个方程写成 (x a)(x b) = 0，这样就能轻松得出结果了。
是不是感觉特别简单？真的是很酷啊，韦达定理简直就像一个老朋友，总是能在关键时刻给你提个醒。
再举个例子，想象一下你在超市里选水果，买了两个苹果，价格是 3 元和 5 元。
你把这两个价格加起来就是 8 元，乘起来就是 15 元，这样你就能知道自己花了多少钱，买了多少东西。
这就跟韦达定理一样，帮助你快速理解各种信息。
生活中也有很多方程，比如我们在计划一个派对，预算是 1000 元，邀请了 10 个人。
如果每个人的花费是 x，那就可以用x² 10x + 100 = 0 来表示这件事。
韦达定理在一元二次方程中的应用
例 ：已知二次函数y＝-x²＋p x＞β,求证：p＋q＞1．
（1）一元二次方程y＝-x²＋p x＋q中,两根α、 β.利用韦达定理求得根与系数的关系式： α+β =p, αβ=-q． （2）求得等式关系 p +q= α+β - αβ. （3）要想p＋q＞1．相当于求α+β – αβ ＞1. 将α+β – αβ因式分解为-(α-1)(β -1)+1. （4）利用α、β的大小关系α＞1＞β得出结论.
韦达定理在一元二次方程中的应用
韦达定理最重要的贡献是对代数学的推进， 它最早系统地引入代数符号，推进了方程论 的发展，用字母代替未知数，指出了根与系 数之间的关系。韦达定理为数学中的一元方 程的研究奠定了基础，对一元方程的应用创 造和开拓了广泛的发展空间。利用韦达定理 可以快速求出两方程根的关系，韦达定理应 用广泛，在初等数学、解析几何、平面几何、 方程论中均有体现。
证明：由题意可知方程-x² +px+q＝0的两根为
α 、 β. 由韦达定理得 α+β =p, αβ=-q． 于是 p +q= α+β - αβ, =-（αβ-α-β +1)+1 =-(α-1)(β -1)+1＞1(因为α＞1＞ β)．
1.学会用韦达定理求代数式的值。 2.理解并掌握用韦达定理求待定系数。 3.理解并掌握应用韦达定理构建方程，解 方程。
一元二次方程根与系数关系的应用
一元二次方程根与系数关系的应用一元二次方程根与系数的关系，又名韦达定理，是中学数学方程中根与系数的重要关系，它在训练学生数学思维、培养学生模型思想、创新意识、运用知识解决问题能力等方面有着十分重要的意义。
因此，多年来，运用一元二次方程根与系数关系解答的试题一直是中考和初中数学竞赛的重要内容，其题型多样，灵活性大，思路广阔，针对性强，是考查学生能力的重要题型。
一、定理的内容设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根，由求根公式得：x1+x2=-，x1x2=。
这就是一元二次方程的根与系数的关系，也称为韦达定理。
二、韦达定理几种常见变形1.x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2。
2.（x1-x1）2=（x1+x2）2-４x1x2。
3.（x1+a）（x2+a）=x1x2+a（x1+x2）+a2。
4.|x1-x2|=（x1+x2)2+4x1x2。
5. ＋=。
6.＋＝=－2。
三、运用韦达定理构建一元二次方程若x1、x2是一元二次方程的两个实数根，且x1+x2=a，x1x2=b。
那么以x1、x2为根的一元二次方程为x2-ax+b=0。
下面谈谈定理的应用：1.关于两根的对称式求值。
关于两根的对称式求值，常常将代数式化为含有两根和与两根积的式子，再代入求值。
例1.若x1、x2是一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值：①＋；②＋；③（x1-2）（x2-2）;④x12+x22;⑤（x1-x2）2；⑥|x1-x2|。
例中6个小题是上面几种常见变形的直接运用，熟悉这几种变形，不难求出相应的结果。
2.关于两根的非对称式的求值。
对于含有两根的非对称式子，常常根据根的定义降次，化高次为低次，化不对称为对称；或根据定理构造对称式，化分为整，化繁为简，从而求解问题。
（1）运用根的定义降次，化为对称式。
例2.设x1、x2是一元二次方程x2-x-2013=0的两个实数根，求x13+2014x2-2013的值。
韦达定理的应用及推广
韦达定理的应用及推广 一、 韦达定理概述根据记载，在韦达那个年代，有一个角落们的比例是数学家提出了一个45次方程各国数学家挑战各国数学家挑战。
法国国王便将这个充满挑战的问题交给了韦达，韦达当即就得出了一个正根，再由他研究了一晚上时间就得出了23个正根（另外的22个负根被他舍了），消息传开，让当时整个数学界都为之震惊。
在他阶梯式发现方程的根似乎与某些系数有关联，因此他就对此进行了一系列的研究，在不久以后发现了伟大的韦达定理。
韦达定理：在一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，当∆≥b 2−4ac 时，则原方程的两根满足以下规律{x 1+x 2=−bax 1x 2=ca 韦达定理的逆定理：如果x 1，x 2满足{x 1+x 2=−ba x 1x 2=c a，那么x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根 二、 韦达定理的证明 1.求根公式法：根据将ax 2+bx+c=0（a ≠0）配方得到的x 1,2=−b±√b 2−4ac2a可得x 1+x 2=−b +√b 2−4ac 2a +−b −√b 2−4ac 2a =−2b 2a =−bax 1×x 2=(−b +√b 2−4ac 2a ×−b −√b 2−4ac 2a )=b 2−（b 2−4ac)4a 2=4ac 4a 2=ca2. 同解方程法 ： 若ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根为x 1，x 2，那么知道ax 2+bx+c=a(x −x 1)(x −x 2)左边=ax 2−ax ×x 1−ax ×x 2+ax 1x 2=ax 2−a(x 1+x 2)x +ax 1x 2 比较系数知：−a (x 1+x 2)=b ax 1x 2=c ⟹ x 1+ x 2=−ba ，x 1×x 2=c a与韦达定理有关的推论：|x 1−x 2|=√b 2−4ac |a|三、 韦达定理的应用1. 已知A 、B 为一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根A ≠B (1)求A 2+B 2，A 3+B 3，1A2+1B 2，A −B（2）求以1A、1B 为根的方程和以(A 2+A +1)、(B 2+B +1)为根的方程解(1)：由韦达定理知{A +B =−b aA ×B =c a∴A 2+B 2=(A +B)2−2AB =b 2a2−2c a=b 2−2ac a 2A ３+B ３=(A +B)3−3AB (A +B )=−b 3a 3+3bc a 2=−b 3+3abca 31A 2+1B 2=A 2+B 2A 2B 2=b 2−2ac a 2÷c 2a 2=b 2−2acc 2A −B =|√(A −B )2|=|√A 2+B 2−2AB|=|√b 2−2ac a 2−2ca|=√b 2−4ac a 2=√b 2−4ac|a |解(2)：由韦达定理知{A +B =−ba A ×B =c a⟹ A 2+A +1+B 2+B +1=b 2−2ac a 2−ba+2=b 2−2ac−ab+2a 2a 2(A 2+A +1)(B 2+B +1)=c 2a 2+ac −bc a 2−b a +1+b 2−2ac a 2=a 2+b 2+c 2−ab −bc −caa 2∴此方程为a 2x 2−(b 2+2a 2−2ac −ab )x +(a 2+b 2+c 2−ab −bc −ca)=02. 证明恒等式：x 1n+1+x 2n+1=(x 1+x 2)(x 1n +x 2n )−x 1x 2(x 1n−1+x 2n−2) 证明：设x 1+x 2=A x 1x 2=B ,则x 1、x 2为方程x 2+Ax+B=0的两根∴{x 12=Ax 1−B x 22=Ax 2−B ⟹{x 1n+1=Ax 1n −Bx 1n−1x 2n+1=Ax 2n −Bx 2n−1⟹x 1n+1+x 2n+1=A (x 1n +x 1n)−B(x 1n−1+x 2n−1) ⟹x 1n+1+x 2n+1=(x 1+x 2)(x 1n +x 1n)− x 1x 2(x 1n−1+x 2n−1)3. 已知A 、B 是方程4ax 2−4ax +a +4=0的两个实数根○1适当选取实数a 的值，问能否使(A −2B)(B −2A)的值等于54 ○2求使A 2B2+B 2A 2的值为整数的整数a解○1:此必为一元二次方程，那么a ≠0 △=16a 2-16a(a+4)=-64a ≥0⟹a ≤0由韦达定理知{A +B =−1A ×B =a+44a 若(A −2B )(B −2A )= 54 ⟹ 9AB −2(A +B )2=54⟹9×a+44a−2=54⟹ 52a =36a +36⟹ a =9∵a ≤0又∵a =9>0∴无满足条件的a解○2 原式=(A+B )3−3AB (A+B )AB=1a+44a−3=4a a+4−3a+12a+4=1−16a+4所以a+4被16整除 所以a+4=±1、±2、±4、±8、±16且a ≤0所以满足条件的a=-3，-5，-2，-6，-8，-12，-204. 求证：不存在整数a 、b 、c 使得方程ax 2+bx +c =0与方程(a +1)x 2+(b +1)x +(c +1)=0都有两个整数根。
一元二次方程韦达定理的应用
一元二次方程韦达定理的应用1. 引言一元二次方程，听上去挺复杂的，其实就是形如 (ax^2 + bx + c = 0) 的方程。
今天我们要聊聊韦达定理，这个数学小工具其实蛮厉害的，不仅能帮助我们解决问题，还能让我们觉得数学原来这么有趣！2. 韦达定理是什么？2.1 定义韦达定理是由法国数学家韦达提出的。
简单来说，这个定理告诉我们，给定一元二次方程 (ax^2 + bx + c = 0)，它的两个解 (x_1) 和 (x_2) 有两个非常特别的关系。
首先，它们的和等于 (frac{b}{a})；其次，它们的积等于 (frac{c}{a})。
听起来是不是很神奇？这其实是个非常有用的规律！2.2 为什么重要？韦达定理的伟大之处在于，它能帮助我们在不知道具体解的情况下，推导出一些有用的信息。
如果我们知道了方程的系数 (a)、(b) 和 (c)，就能通过这些定理轻松搞清楚根的关系。
3. 应用示例3.1 找根比如，我们有一个方程 (2x^2 5x + 3 = 0)。
要是我们直接用韦达定理，我们可以先找出两个根的和和积。
根的和就是 (frac{5}{2} = frac{5}{2})，而根的积是 (frac{3}{2})。
这些信息有时候能帮助我们在心里大概知道解的范围，不用费劲去计算具体的根。
3.2 解方程假设你遇到一道题，给了你一个方程 (x^2 4x + 4 = 0)，然后问你它的两个根是什么。
我们知道，根的和是 (frac{4}{1} = 4)，根的积是 (frac{4}{1} = 4)。
那两个根可能就是(2) 和 (2)，因为它们的和和积都符合韦达定理。
这种情况下，我们可以很快找出方程的解，省去不少功夫。
4. 小结总之，韦达定理虽然简单，却是解决一元二次方程的超级好帮手。
它不仅让我们轻松掌握了方程的根与系数之间的关系，还能帮助我们在复杂的数学题目中找到简便的解决方法。
希望你们在今后的数学学习中，多多利用这个小工具，让你的数学之旅更加顺畅！参考资料韦达定理基本概念实际应用案例与示例这样，我们就用一种轻松的方式，深入探讨了韦达定理的奇妙世界。
一元二次方程韦达定理的内容
一元二次方程韦达定理的内容
韦达定理，又称二次方程求根公式，是解一元二次方程的重要工具。
它能帮助我们快速找到方程的根，并且在实际问题中有广泛的应用。
本文将介绍一元二次方程韦达定理的基本概念和应用。
一元二次方程的一般形式为：ax²+bx+c=0，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
我们的目标是求出方程的根，即满足方程的x 值。
根据韦达定理，一元二次方程的根可以通过以下公式求得：
x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)
公式中的±表示两个根的取值情况，√表示平方根。
当b²-4ac大于0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac等于0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac小于0时，方程没有实数根，但可以有复数根。
通过韦达定理，我们可以解决许多与一元二次方程相关的问题。
例如，可以利用韦达定理求解物理学中的抛物线运动问题，或者计算图形的顶点、焦点等重要参数。
然而，在使用韦达定理时，我们需要注意以下几点。
首先，要确保方程是一元二次方程，即次数为2，且系数a不等于0。
其次，要仔细计算方程中的系数，确保不出现计算错误。
最后，要注意方程是否有实数根或复数根，在实际问题中需要对结果进行合理的解释和应用。
总之，一元二次方程韦达定理是解决二次方程的重要方法，具有广泛的应用价值。
通过理解和掌握韦达定理，我们能够更加轻松地解决与一元二次方程相关的问题，并在实际应用中发挥其作用。
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【例6】 若一直角三角形两直角边的长为 若 直角 角形两直角边的长为a、b(a≠b)均为整
a b m 2 数，且满足 ，试求这个直角三角形三 ab 4m 边的长。
超级挑战 －－Only5 O l 5分钟
已知△ABC的 已知 的三边 边a、b、c满足 满足：b＋c＝8， 【挑战3】 bc＝a2－12a＋52，试确定△ABC的形状。
求：a3＋b3的值；a4＋3b的值。
2
已知x＋y＝5，z2＝xy＋y－9，则x＋2y＋3z 【挑战4】 ＝_____。
终极挑战 －－Only6分钟
小测统计 小测统计： QQ：775490962 要求：专题名称＋自 1 0,1 q q 2 0, 且pq≠1，求 【例3】 的值。
pq 1 q
1 5 已知 2m 2 5m 1 0， 2 2 0 【挑战1】 n n 1 1 且m≠n，求 的值。 m n
初级挑战 －－Only6 Onl 6分钟
逆用韦达定理构造一元二次方程 逆用韦达定理构造 元二次方程
韦达定理的综合应用
【例7】 某学生解一道没有实数解的二次方程ax2＋bx＋c＝0 时，因看错了某一项的符号，得到的实数根是 则
bc 的值是_____。 a 1 32185 4
【例8】 (2007 ( 007北京 北京三帆中学月考 帆中学月考)
2m 1 0 已知m是不等式组 的整数解，a、b是 4 3m 0 关于x的方程x2－mx－m＝0的两个实根。
一元二次方程 元二次方程 －－韦达定理的应用 韦达定理的初步应用
已知关于 关 x的方程 的 x2－13＋k＝0的两根是 的 根 a、b，且满 满 【 1】 【例 足a－3b＝1，求k。
如果实数a、b分别满足 a 2 2a 2, , b 2 2b 2, , 【例2】 1 1 求 的值。 a b
求一个一元二次方程，使它的两个根是 【例4】
3 和3。 2
已知方程 x 2 9 x 8 0 ，求作一个一元二次方程， 【例5】 设实数s，t分别满足 19 s 2 99 s 1 0, t 2 99t 19 0, 【挑战2】 st 4 s 1 并且st≠1，求 的值。 t 使它的一个根为原方程两个根的倒数，另一个根为 使 个 原 程 个 倒 ， 个 原方程两个根差的平方。