概率统计和随机过程平稳过程
概率统计和随机过程_南京邮电大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
概率统计和随机过程_南京邮电大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
1.设随机过程【图片】【图片】, 其中【图片】是常数，【图片】,且【图片】
与【图片】相互独立. 则随机过程【图片】 (填是/不是)平稳过程；且平均功率= .
参考答案:
是，2.8
2.将2个红球4个白球任意放入两个罐子中,其中每个罐子中有3个球.每一次
我们从两个罐子中都随机抽取一个球并交换它们.用【图片】表示经过【图
片】次交换后左边罐子中白球的个数, 则【图片】是一齐次马氏链, 概率【图片】等于( )
参考答案:
16/135
3.设【图片】是参数为2的维纳过程, 则【图片】的自相关函数【图片】( ).
参考答案:
4
4.设随机过程【图片】其中【图片】为常数，【图片】与【图片】相互独立，
且【图片】【图片】.则随机过程【图片】 (填是/不是)平稳过程；均值（填具有/不具有）各态历经性.
参考答案:
是，具有。
平稳随机过程的概念
平稳随机过程的概念引言在随机过程中，平稳随机过程是一个非常重要的概念。
它是随机过程中的一种特殊情况，具有统计性质保持不变的特点。
本文将对平稳随机过程的概念进行全面、详细、完整且深入地探讨。
什么是随机过程？随机过程是一种随时间变化的随机现象。
它可以用数学模型来描述，在数学上通常用随机函数的集合来表示。
随机过程通常包括一个样本空间、一个时间索引集和一组定义在样本空间上的随机变量。
平稳随机过程的定义平稳随机过程是指在统计平均意义下不随时间变化的随机过程。
也就是说，对于平稳随机过程的任意时刻，其统计性质都保持不变。
具体而言，平稳随机过程要求满足以下两个条件：1.均值稳定性：随机过程的均值在时间上保持不变。
2.自相关性稳定性：随机过程的自相关函数在时间上保持不变。
平稳随机过程的类型根据时间独立性和样本独立性的条件，平稳随机过程可以分为以下几种类型：宽平稳随机过程宽平稳随机过程是指在任意时间点上，随机过程的统计性质都保持不变，并且在不同时刻的随机变量之间是独立的。
宽平稳随机过程是最理想的平稳随机过程，但在实际中很难满足宽平稳的条件。
严平稳随机过程严平稳随机过程是指在任意时间点上，随机过程的统计性质都保持不变，但随机变量之间不一定是独立的。
严平稳随机过程是宽平稳随机过程的一种特殊情况。
近似平稳随机过程近似平稳随机过程是指在短时间尺度上，随机过程的统计性质是平稳的，但在长时间尺度上可能出现变化。
近似平稳随机过程在实际中比较常见。
平稳随机过程的性质平稳随机过程具有一些独特的性质，下面是其中一些重要的性质：平均值稳定性平稳随机过程的均值不随时间变化，这意味着随机过程的平均水平保持不变。
自相关性稳定性平稳随机过程的自相关函数不随时间变化，这意味着随机过程的相关性保持不变。
谱密度稳定性平稳随机过程的谱密度函数不随时间变化，这意味着随机过程的频谱特性保持不变。
时不变性平稳随机过程在时间上是不变的，这意味着随机过程的统计性质与时间无关。
随机过程的概念及分类方法
随机过程的概念及分类方法随机过程的概念及分类方法随机过程是描述随机现象的数学模型。
它可以看作是一个随机函数，它的输出值依赖于时间和样本空间中的随机变量。
随机过程的研究可追溯到19世纪末20世纪初，当时数学家们开始研究大量的样本统计规律。
随机过程在经济学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
随机过程的分类方法主要有以下几种：1. 马氏性质：马氏性质是指在一个随机过程中，给定过去的状态和未来的状态，当前的状态与过去的状态是独立的。
如果一个随机过程满足马氏性质，那么它被称为马氏过程。
常见的马氏过程有马尔可夫链、泊松过程等。
2. 独立增量：独立增量是指在一个随机过程中，任意两个时间点上的增量是独立的。
如果一个随机过程满足独立增量性质，那么它被称为独立增量过程。
常见的独立增量过程有布朗运动和泊松过程。
3. 平稳性：平稳性是指随机过程的统计特性在时间上是不变的。
如果一个随机过程满足平稳性质，那么它被称为平稳过程。
常见的平稳过程有伊索和无记忆过程。
4. 高斯过程：高斯过程是指随机过程中的任意有限个随机变量满足多维高斯分布。
高斯过程在概率论和统计学中有着重要的应用，常见的高斯过程有布朗运动和高斯白噪声过程。
5. 跳跃过程：跳跃过程是指随机过程中存在不连续的跳跃现象。
跳跃过程在金融学和通信工程中有着重要的应用，常见的跳跃过程有泊松过程和利维过程。
除了以上的分类方法，随机过程还可以按照时间的连续性分为连续时间随机过程和离散时间随机过程。
连续时间随机过程是指随机变量的索引集为连续集合，如实数集；离散时间随机过程是指随机变量的索引集为离散集合，如整数集。
另外，在实际应用中，为了更好地描述随机过程的行为，人们还可以使用数学方法对随机过程进行建模。
常见的建模方法有马尔可夫模型、自回归模型、移动平均模型等。
总结起来，随机过程是描述随机现象的数学模型，可以分为马氏过程、独立增量过程、平稳过程、高斯过程和跳跃过程等。
此外，随机过程还可根据时间的连续性分为连续时间随机过程和离散时间随机过程。
平稳过程的条件
平稳过程的条件什么是平稳过程？在统计学中，平稳过程（Stationary Process）是指随机过程的统计特性在时间上保持不变的过程。
具体来说，对于一个平稳过程，它的均值、方差和自协方差都不随时间变化。
平稳过程是许多统计模型中的基础假设，它为我们分析和预测时间序列数据提供了方便和可靠的工具。
在金融领域、气象学、信号处理等许多领域中，平稳过程都有着广泛的应用。
平稳过程的条件要判断一个随机过程是否为平稳过程，需要满足以下三个条件：1. 时序均值不变对于一个平稳过程，其均值在时间上是不变的。
也就是说，随机变量在不同时间点上的期望值相同。
数学上可以表示为：E(X t)=μ，其中X t表示随机变量在时刻t的取值，μ表示常数。
这个条件意味着随机变量在不同时间点上具有相同的中心趋势。
2. 时序方差不变除了均值不变，平稳过程的方差也在时间上保持不变。
也就是说，随机变量在不同时间点上的方差相同。
数学上可以表示为：Var(X t)=σ2，其中X t表示随机变量在时刻t的取值，σ2表示常数。
这个条件意味着随机变量的波动性在不同时间点上是稳定的。
3. 自协方差只依赖于时间差对于一个平稳过程，自协方差函数只与时间差有关，与具体的时间点无关。
也就是说，随机变量之间的相关性只取决于它们之间的时间间隔。
数学上可以表示为：Cov(X t,X t+ℎ)=C(ℎ)，其中X t和X t+ℎ分别表示随机变量在时刻t和t+ℎ的取值，C(ℎ)表示自协方差函数。
这个条件意味着随机变量之间的相关性是稳定的，并且只与它们之间的时间间隔有关。
平稳过程与非平稳过程通过判断一个随机过程是否满足以上三个条件，我们可以将其分类为平稳过程或非平稳过程。
非平稳过程可能存在以下情况：•时序均值随时间变化：随机变量的期望值随时间发生显著变化，表现为趋势或季节性。
•时序方差随时间变化：随机变量的波动性随时间发生显著变化，表现为异方差性。
•自协方差与时间点有关：随机变量之间的相关性与具体的时间点有关，表现为非平稳相关性。
平稳随机过程
平稳随机过程1．平稳随机过程（1）严平稳随机过程的定义若ξ(t)的任意有限维概率密度函数与时间起点无关，即对于任意的正整数n和所有实数Δ，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。
①一维概率密度与时间t无关，即②二维分布函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即（2）严平稳随机过程ξ(t)的数字特性①均值均值与t无关，为常数a，即（3-1-1）②自相关函数自相关函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即R(t1，t1＋τ)＝R(τ)。
即（3-1-2）（3）广义平稳随机过程把同时满足式（3-1-1）和式（3-1-2）的过程定义为广义平稳随机过程。
（4）严平稳随机过程与广义随机过程的关系严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。
2．各态历经性（1）各态历经性的定义随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态称为各态历经性。
（2）各态历经性的意义具有各态历经性的平稳随机过程的统计均值等于其任一次实现的时间均值。
（3）各态历经性与平稳随机过程的关系具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。
（4）各态历经性的实现如果平稳过程使成立，则称该平稳过程具有各态历经性。
3．平稳过程的自相关函数（1）自相关函数的定义设ξ(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数为（2）自相关函数的性质①R(0)＝E[ξ2(t)]，表示ξ(t)的平均功率；②R(τ)＝R(－τ)，表示τ的偶函数；③｜R(τ)｜≤R(0)，表示R(τ)的上界；④，表示ξ(t)的直流功率；这是因为当时，与没有任何依赖关系，即统计独立。
所以⑤R(0)－R(∞)＝σ2，σ2是方差，表示平稳过程ξ(t)的交流功率。
当均值为0时，有R(0)＝σ2。
4．平稳过程的功率谱密度（1）功率谱密度的定义平稳过程ξ(t)的功率谱密度Pξ(f)定义为（2）功率谱密度的特性①平稳过程的平均功率为②各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。
平稳过程的条件
平稳过程的条件平稳过程的条件一、引言在统计学中，平稳过程是指随机过程的统计性质不随时间的变化而改变。
例如，如果一个时间序列的均值和方差不随时间变化，则该序列是平稳的。
平稳过程是许多统计学方法的基础，因此了解什么是平稳过程以及如何识别它们非常重要。
二、什么是平稳过程？平稳过程是指随机过程在统计上具有不变性。
具体来说，如果一个时间序列的均值、方差和自协方差函数不随时间变化，则该序列被认为是弱平稳的；如果自协方差函数只依赖于时间间隔而与起始时间无关，则该序列被认为是强平稳的。
三、如何判断一个时间序列是否为平稳过程？1. 观察图形通过绘制时序图、自相关图和偏自相关图进行观察。
如果时序图呈现出明显的趋势或周期性，则该序列不是平稳的。
自相关图和偏自相关图可以帮助我们确定是否存在任何显著的自相关或偏自相关。
2. 统计检验使用单位根检验（ADF检验）等方法对时间序列进行统计检验。
如果序列的单位根检验的p值小于0.05，则说明该序列不是平稳的。
3. 模型拟合使用ARIMA模型等方法对时间序列进行拟合。
如果模型的残差具有自相关性，则说明该序列不是平稳的。
四、平稳过程的条件1. 均值不变性平稳过程在时间上保持均值不变性，即随机过程在任何时刻t的均值都相同。
这意味着，在任何时刻t，随机过程与其在另一个时刻t'（t≠t'）的均值相同。
2. 方差不变性平稳过程在时间上保持方差不变性，即随机过程在任何时刻t的方差都相同。
这意味着，在任何时刻t，随机过程与其在另一个时刻t'（t≠t'）的方差相同。
3. 自协方差函数只依赖于时间间隔自协方差函数只依赖于时间间隔而与起始时间无关，即Cov(X_t,X_{t+h})=Cov(X_{s},X_{s+h})，其中s、t和h为任意实数。
4. 自相关系数只依赖于时间间隔自相关系数只依赖于时间间隔而与起始时间无关，即Corr(X_t,X_{t+h})=Corr(X_{s},X_{s+h})，其中s、t和h为任意实数。
随机过程的马尔可夫性与平稳性
随机过程的马尔可夫性与平稳性在概率论与数理统计中，随机过程是一种描述随机事件随时间变化的数学模型。
随机过程的马尔可夫性与平稳性是两个重要的概念，对于理解和分析随机过程的特性具有重要意义。
一、马尔可夫性马尔可夫性是指在一个随机过程中，当前状态的概率分布只与前一个状态有关，与过去的状态或未来的状态无关。
马尔可夫性可以用以下的数学表达式来表示：P(X_{n+1}=x_{n+1}|X_n=x_n,X_{n-1}=x_{n-1},...,X_0=x_0) =P(X_{n+1}=x_{n+1}|X_n=x_n)其中，X_n表示随机过程的第n个状态，x_n表示状态X_n的取值。
马尔可夫性的特点是简化了随机过程的描述，使得问题的求解更加方便。
通过假设当前状态只与前一个状态有关，我们可以使用转移概率矩阵来描述状态之间的转移情况。
具体而言，转移概率矩阵P定义如下：P_{ij} = P(X_{n+1}=j|X_n=i)其中，P_{ij}表示从状态i到状态j的转移概率。
马尔可夫链是一种具有马尔可夫性的随机过程，它的状态空间是有限的或可数无穷的集合。
马尔可夫链可以通过转移概率矩阵的迭代来描述其状态的演化过程。
对于任意k，我们可以计算出转移概率矩阵P^k，表示经过k步转移后的状态分布。
通过马尔可夫性，我们可以研究各种与状态转移概率相关的问题，例如平稳分布、转移概率的收敛性等。
二、平稳性在马尔可夫链中，若存在一个概率向量π，满足以下条件：π = πP其中，π是一个行向量，P是转移概率矩阵。
则称π为平稳分布。
平稳分布的意义在于，它表示了马尔可夫链在长时间演化后的状态分布。
通过求解πP=π，我们可以得到平稳分布π的数值解。
在实际应用中，平稳分布常常具有稳定性和唯一性。
平稳性的研究对于了解一些随机过程的基本性质具有重要作用。
通过平稳分布，我们可以计算一些与状态相关的统计量，例如平均值、方差等，从而进一步分析随机过程的性质。
三、应用实例马尔可夫性与平稳性在许多领域有着广泛的应用，例如：1. 金融市场分析：使用马尔可夫链模型可以描述金融资产的价格或收益率的变化趋势，从而对市场走势进行预测和风险评估。
概率论第三章 平稳随机过程
严平稳过程只要均方值有界， 就是广义平稳的， 但反之则不一定。
当我们同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时，若它 们的互相关函数仅是单变量τ 的函数，即
RX Y (t1, t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )] RXY ( ), t2 t1,
则称X(t)和Y(t)宽平稳相依，或称这两个随机过程 是联合宽平稳的。
例3.1 设随机过程 X (t) a cos(0 t )
式中a，ω0为常数，Φ是在区间(0，2π)上均匀分 布的随机变量, 这种信号通常称为随相正弦波。求 证X(t)是宽平稳的。
二、各态历经（遍历）随机过程
在上面的讨论中，每当谈到随机过程时，就意味 着所涉及的是大量的样本函数的集合。要得到随机过 程的统计特性，就需要观察大量的样本函数。
ln
p( X
/
mX
)
K
N 1
exp
i0
(xi
mX
2
2 X
)2
均值估计
让对数似然函数取最大值
ln p( X / mX ) 0 m X
得到均值的最大似然估值
mˆ X
1 N
N 1
xi
i0
此式说明，可用N个观测值的算术平均作为均值mX的估值。
估计量的性质（工程）
1．有偏估计与无偏估计
由于估计量依赖于观测结果，因此估计量本身是 随机变量，于是它也存在其均值和方差。
定义1：取对应于ρX(τ)=0．05的那个时间为相关 时间τ
0
定义2：用图3.6中的矩形(高为ρX(0)=1，底为τ0的
矩形)面积等于阴影面(ρX(τ)积分的一半)来定义
τ0，即
平稳过程的定义
平稳过程的定义平稳过程是概率论和统计学中的重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍平稳过程的定义、特性以及其在实际中的应用。
一、平稳过程的定义平稳过程是指在统计意义上具有不变性的随机过程。
换句话说，无论观察这个随机过程的哪一段，其统计特性都是不发生变化的。
具体而言，平稳过程要满足两个条件：其一是均值不变性，即随机过程的均值在时间上是恒定的；其二是自协方差函数不变性，即随机过程的自协方差函数只与时间差有关，而与具体的时间点无关。
二、平稳过程的特性平稳过程具有许多重要的特性，下面将逐一介绍。
1. 均值不变性：平稳过程的均值在时间上是恒定的，即随机过程的均值不随时间变化而变化。
2. 自协方差函数不变性：平稳过程的自协方差函数只与时间差有关，而与具体的时间点无关。
这意味着随机过程的协方差结构是不变的，不会随时间的推移而发生变化。
3. 自相关函数的性质：平稳过程的自相关函数具有一些特殊的性质。
首先，自相关函数是偶函数，即关于时间差的自相关系数关于原点对称。
其次，自相关函数在时间差为零时达到最大值，随着时间差的增加逐渐减小。
4. 平稳过程的谱密度函数：平稳过程的谱密度函数是描述随机过程在频域上的性质的函数。
对于平稳过程，其谱密度函数是实数函数，并且具有正定性和对称性。
三、平稳过程的应用平稳过程在许多领域中都有广泛的应用，下面将介绍其中几个典型的应用。
1. 金融领域：平稳过程在金融领域中有着重要的应用。
例如，股票价格的随机波动可以用平稳过程来建模，从而为投资者提供决策依据。
此外，利率、汇率等金融指标的变动也可以通过平稳过程来进行建模和预测。
2. 信号处理：平稳过程在信号处理领域中被广泛应用。
例如，通过分析语音信号的平稳过程，可以实现语音识别和语音合成等功能。
此外，平稳过程还可以用于图像处理、雷达信号处理等领域。
3. 通信系统：平稳过程在通信系统中也有重要的应用。
例如，通过建立信道模型的平稳过程，可以分析和优化通信系统的性能。
平稳随机过程的概念
平稳随机过程的概念
平稳随机过程是指具有固定统计特性的随机过程。
具体而言，平稳随机过程在时间上的统计性质不随时间变化而变化，即其概率密度函数、平均值、自相关函数等都不受时间起点的影响。
平稳随机过程分为弱平稳和强平稳两种类型。
弱平稳是指随机过程的均值和自相关函数不随时间变化而变化，而强平稳还要求联合分布函数不随时间变化而变化。
对于弱平稳随机过程，其特点是平均值和自相关函数只与时间差有关，与时间起点无关。
具体来说，对于平稳随机过程X(t)，其平均值为E[X(t)]，自相关函数为R(t1,t2):
1. 平稳随机过程的平均值不随时间变化而变化，即对于任意t，有E[X(t)]= E[X(0)]。
2. 平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，即对于任意
t1,t2，有R(t1,t2) = R(t1-t2)。
强平稳过程除了满足弱平稳条件外，还要求联合分布函数不随时间变化而变化，即对于任意t1,t2和任意k1,k2，有联合分布
函数F(x1,x2,t1,t2) = F(x1,x2,t1+k,t2+k)。
这意味着在时间上的
任意平移，联合分布函数都保持不变。
平稳随机过程在实际应用中具有广泛的应用，例如信号处理、通信系统、金融市场等领域。
由于其统计特性不随时间变化而变化，使得对时间序列进行建模和预测更加稳定、可靠。
随机过程关于平稳过程中的各态历经性的综述
关于平稳过程中的各态历经性的综述首先要介绍一下什么是平稳过程，平稳过程是一类统计特性不随时间推移而变化的过程。
在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生有着很强的影响。
有这样重要的一类随机过程，即所谓平稳随机过程，它的特点是：过程的统计特性不随时间的推移而变化。
严格地说，如果对于任意的n （=1，2…），12,,t t t T ∈n …,和任意实数h,当12,,n t h t h t h T+++∈…,时，n 维随机变量（X(1t ),X(2t ),…,X(t n )）和 （X （1t h +）,X （2t h +）,…,X （n t h +）） 具有相同的分布函数，则称随机过程{}X ∈（t ）,t T 具有平稳性，并同时称此过程为平稳随机过程，或简称平稳过程。
在实际工作中，确定随机过程的均值函数和相关函数是很重要的。
而要确定随机过程的数字特征一般来说需要知道过程的一﹑二维分布，这在实际问题中往往不易办到，因为这时要求对一个过程进行大量重复的实验，以便得到很多的样本函数。
但是由于平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化，就会提出这样一个问题：能否从一个时间范围内观察到的样本函数或一个样本函数在某些时刻的取值来提取过程的数字特征呢？所谓各态历经，是指可以从过程的一个样本函数中获得它的各种统计特性；具有这一特性的随机过程称为具有各态历经性的随机过程，只要有一个样本函数就可以表示出它的数字特征。
定义 设X （t ）是均方连续平稳随机过程，如果它沿整个时间上的平均值即时间平均值〈X （t ）〉存在，即〈X （t ）〉=1lim()2T TT X t dtT-→∞⎰存在，而且〈X （t ）〉=E ｛X （t ）｝=X μ依概率1相等。
即〈X （t ）〉依概率1等于X μ= E ｛X （t ）｝, X μ代表随机过程的集平均（或称统计平均），则称该过程的均值具有各态历经性。
平稳过程
, xn ; t1 , t2 ,
, tn ) , tn )
, xn , t1 , t2 ,
则称X(t)为严平稳随机过程。 研究平稳过程的意义在于：该过程在任何时刻计 算它的统计结果都是相同的。由定义知平稳随机 过程的n维概度密度函数不随时间而变化，这一 特性具体反映在随机过程的一、二维概率密度及 数字特] (t ) f ( )d
0 T
T
0
1 S (t ) d T
1 t T 1 T E [ X (t )] S ( )d S ( )d 常数 T t T 0
又∵
RX (t1 , t2 ) RX (t , t ) E [ X (t ) X (t )] E [ S (t ) S (t )] S (t ) S (t ) f ( )d
定义宽平稳过程：给定随机过程X(t)，如
果
且
E [ X (t )] M X 常数
E [ X 2 (t )] , RX (t1 , t2 ) E [ X (t1 ) X (t2 )] RX ( )
t2 t1
则称X(t)为宽平稳过程（广义平稳过程）。
显然由宽平稳定义可知，要求 E [ E (t )], RX (t1 , t2 )
1 RX (t1 , t2 ) xk (t1 ) xk (t2 ) n k 1 来计算，显然这种用近似计算的方法来估计随机过 程的数学期望及协方差函数要求n很大，即样本函数 xk(t)很多。但这在实际工程又常常又很难做到，于 是人们自然想到能不能够通过测试一个样本函数如 xi (t ), i 1, 2,
性质4.2
随机过程的稳定性与平稳性
随机过程的稳定性与平稳性随机过程是概率论和随机过程理论中的重要概念，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
随机过程的稳定性与平稳性是其中关键的性质，对于分析、建模和预测随机过程的行为具有重要意义。
一、随机过程的稳定性随机过程的稳定性是指在某些条件下，随机过程的统计特性保持不变。
稳定性可以分为强稳定性和弱稳定性两种。
强稳定性是指随机过程的所有阶矩都存在且有界。
对于一个随机过程X(t)，如果对于任意正整数n，存在一个正常数Kn使得E[|X(t)|\^n]< Kn，则称X(t)为强稳定的随机过程。
强稳定性是稳定性的最高级别，保证了随机过程的所有矩都能在某种程度上受控制。
弱稳定性是指随机过程的均值和自相关函数不随时间而改变。
对于一个随机过程X(t)，如果X(t)的均值E[X(t)]和自相关函数R(t1,t2)只依赖于时间差|t1-t2|，则称X(t)是弱稳定的随机过程。
弱稳定性是一种比较常见的稳定性，在时间序列分析和信号处理中经常应用。
稳定性是研究随机过程行为的基本性质之一，不同的稳定性概念适用于不同的应用场景。
在实际问题中，通过对随机过程的稳定性进行判断和分析，可以为系统建模、预测和控制提供有力的参考。
二、随机过程的平稳性随机过程的平稳性是指随机过程在时间上的统计特性保持不变。
平稳性可以分为强平稳性和弱平稳性两种。
强平稳性是指随机过程的联合概率分布不随时间的平移而改变，即任意时刻的概率分布都相同。
对于一个随机过程X(t)，如果对于任意正整数n和任意时间序列t1,t2,...,tn，它们的联合概率分布相同，即P[X(t1)=x1,X(t2)=x2,...,X(tn)=xn] =P[X(t1+τ)=x1,X(t2+τ)=x2,...,X(tn+τ)=xn]，其中τ是时间平移常数，则称X(t)为强平稳的随机过程。
强平稳性是平稳性的最高级别，保证了随机过程的概率分布随着时间不变。
弱平稳性是指随机过程的均值和自相关函数只依赖于时间差|t1-t2|。
随机过程的统计特性和平稳随机过程
随机变量的统计特性
随机过程的概率分布 随机过程的数字特征 •均值 •方差 •相关函数 •协方函数
mX (t ) E{ X (t )} xf X ( x, t )dx
FX ( x, t ) P{X (t ) x}
FX ( x1 , x2 , t1 , t2 ) P{X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 }
2 2 X (t ) E{[ X (t ) mX (t )]2} E{X 2 (t )} mX (t )
RX (t1 , t2 ) E{X (t1 ) X (t2 )}
K X (t1 , t2 ) E{[ X (t1 ) mX (t1 )][X (t2 ) mX (t2 )]}
0
50
100
150
200
伪随机序列
一、随机过程的概率分布
1、一维概率分布
FX ( x, t ) P{X (t ) x}
连续随机过程：
FX ( x, t ) f X ( x, t ) x
FX ( x, n) P{X (n) x}
随机序列：
FX ( x, n) f X ( x, n ) x
RX (t1 , t2 ) 0 ，则称 X (t1 ) 和 X (t 2 ) 是相互正交的。如果
f X ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) f X ( x1 , t1 ) f X ( x2 , t 2 ) ，则称随机过程在
t1
和 t 2 时刻的状态是相互独立的。
离散随机过程数字特征
X ( n)
0
p
0 1 2 3
4 5
n
概率论与随机过程第3章
平稳随机过程X(t)的统计特性不随时间平移而变化， X(t)与X(t+Δt)具有相同的概率分布及数字特征， 但X(t) ≠X(t+ Δt) 尽管 PX ( x; t1 ) = PX ( x; t2 ) ，但 X (t1 ) ≠ X (t2 ) 。 X(t)=Y←只是个平稳随机过程的一个特例。
14
上 海 大 学 通 信 学 院
所以X1(t)是平稳过程。
E[ X 2 (t )] = E[t ⋅ Y ] = t ⋅ mY RX 2 (t , t + τ ) = E[ X 2 (t ) X 2 (t + τ )] = E[tY ⋅ (t + τ )Y ]
2 = t (t + τ )ψ Y
所以X2(t)是非平稳过程。
13
上 海 大 学 通 信 学 院
+∞ 2 ( x1 − m X )2 pX ( x1 )dx1 = σ X
+∞ +∞
−∞
RX (t1, t2 ) = ∫−∞ ∫−∞ x1 x2 pX (x1, x2;t1, t2 )dxdx = ∫−∞ ∫−∞ x1 x2 pX (x1, x2;τ )dxdx 1 2 1 2
+∞ +∞
= RX (τ ), τ = t2 − t1
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各态历经 的平稳过 mx+σ 程
X
mx mx-σ
Xi(t) t1 Xi(t) t
不是各态 历经的平 稳过程
mx+σ mx mx-σ
t1
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判断各态历经性的准则：
1、必须是平稳过程。 必要条件，各态历经过程一定是平稳过程； 反之，不成立。 2、时间平均等于集合平均。（充要条件）
数理统计与随机过程ch12平稳随机过程
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2
平稳随机过程的定义
定义1 设{X(t), t T }是随机过程，如果对任 意常数 h 和正整数 n，
t1, t2,, tnT, t1+h, t2 +h,,tn+h T， 若(X(t1), X(t2),, X(tn))与
(X(t1+h), X(t2 +h),, X(tn+h))
(1.1)
强震阶段的地震波幅;
船舶的颠簸过程;
照明电网中电压的波动过程;
各种噪声和干扰等等.
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4
平稳过程数字特征的特点.
设平稳过程X(t)的均值函数E[X(t)]存在. 对n=1, 在(1.1)式中, 令h= - t1 , 由平稳性 定义, X(t1)和X(0) 同分布. 于是
E[X(t)] = E[X(0)], 记为 X
例3 X(t) =Ycos(t)+Zsin(t), t > 0, Y, Z相 互独立, E(Y) = E(Z) = 0, D(Y) =D(Z) =2. 讨论随机过程{X(t), t > 0}的平稳性.
解 E [X (t) ]E [Y co t) sZ (sitn )]( co t)E s(Y () sitn )E ((Z )0 .
• 相对地, 前述按分布函数定义的平稳过程称为 严平稳过程或狭义平稳过程.
• 一个严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳过程. 但反过来, 一般是不成立的.
• 特例: 一个宽平稳的正态过程必定也是严平稳.
• 泊松过程和维纳过程是非平稳过程.
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8
若T为离散集, 称平稳过程{X(t), t T }为 平稳序列.
特别地, 令 =0,由上式,有
平稳随机过程
平稳随机过程平稳随机过程的是一种特殊而又广泛应用的随机过程。
一、平稳随机过程定义1.狭义平稳定义随机过程的维分布函数或维概率密度函数与时间起点无关，即对于任何和，随机过程的维概率密度函数满足则称是在严格意义下的平稳随机过程。
简称严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。
平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而不同。
它的一维概率密度函数与时间无关，即而二维概率密度函数仅依赖于时间间隔有关，即 2.广义平稳定义：若随机过程的数学期望及方差与时间无关，而自相关函数仅与时间间隔有关，即则称为广义平稳随机过程或宽平稳随机过程。
通信系统中所遇到的信号及噪声大多数可视为广义平稳随机过程。
以后讨论平稳随机过程除特殊说明外均指广义平稳随机过程。
二、各态历经性各态历经性是平稳随机过程在满足一定条件下的一个非常重要的特性。
设是平稳随机过程中任取的一个样本函数，若的数字特征（统计平均）可由的时间平均值替代，即则称随机过程具有各态历经性。
“各态历经”的含义：从随机过程中得到的任何一个样本函数，都经历了随机过程的所有可能状态。
因此，可用一个样本函数得统计特性来了解整个过程的统计特性，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。
注意：只有平稳随机过程才可能具有各态历经性，但在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经性条件。
三、平稳随机过程的相关函数与功率谱密度1.平稳随机过程自相关函数的性质平稳随机过程自相关函数的定义式性质：（1）（的平均功率）（2）（是偶函数）（3）（时有最大值，为上界值）（4）（的直流功率）（5）（方差，为的交流功率）由上述性质可知，用自相关函数可表述的几乎所有的数字特征，因而具有实用意义。
例3.3.1 设随机过程，其中是在内均匀分布的随机变量。
试证明：（1）是广义平稳的；（2）试说明它的自相关函数的性质。
证明：(1)按题意，随机相位的概率密度函数为则的数学期望为的自相关函数为令，得。
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4
四. 严平稳过程的数字特征的性质
设{X (t),t T}为连续状态严平稳过程
E[ X (t)] xf1 (x,t)dx xf1 (x)dx X (常数);
E[X 2 (t)]
x
2
f1
(
x,
t
)dx
x 2
f1 ( x)dx
X2
(常数);
D[ X (t)] E[ X 2 (t)] (E[ X (t)]) 2
则称 X (t) 为广义平稳过程,或称宽平稳过程, 简称平稳过程.
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参数集 T 为整数集或可列集的平稳过程
又称为平稳序列,或称平稳时间序列.
(二) 广义平稳过程的数字特征的性质
设{X (t),t T}是平稳过程,则
(1) E[X (t)X (t )] RX ( ) 仅依赖于 ,而与 t 无关;
R(t1,t2 ) E(Z (t1)Z (t2 ))
而与 t1, t2 本身无关.
三.(1)离散状态随机过程 X (t) ,严平稳性条件
P{X (t1 ) x1, X (t2 ) x2 , , X (tn ) xn}
P{X (t1 ) x1, X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn}
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3
(2)连续状态随机过程 X (t) ,严平稳性条件
f (x1, x2 , , xn ;t1, t2 , , tn ) f (x1, x2, , xn;t1 ,t2 , ,tn )
一维概率密度函数
f1(x1;t1) f1(x1;t1 ) f1(x1;0) f1(x1) 二维概率密度函数
f2 (x1, x2 ;t1,t2 ) f2 (x1, x2 ;t1 ,t2 ) f2 (x1, x2;0, ) f2 (x1, x2; )
第十二章 平稳过程
平稳过程是一类特殊的随机过程,它的应用极为广泛.
第一节 严平稳过程
一．定义1 随机过程{X (t),t T} ，如果对任意 n 维
分布函数,任意实数 ,满足:
F (x1, x2 , , xn ;t1, t2 , , tn )
F(x1, x2 ,, xn;t1 ,t2 ,,tn ) n 1,2,
X2
2 X
2 X
(常数);
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5
E[ X (t) X (t )] x1x2 f2 (x1, x2 ;t, t )dx1dx2
x1x2 f 2 (x1, x2 ; )dx1dx2 RX ( )
(仅依赖于 ,而不依赖于 t );
E{[X (t) EX(t)][X (t ) EX(t )]}
E[X (t)X (t )] E[X (t)]E[X (t )]
RX
(
)
2 X
C X ( )
于是得到
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6
定理一 设{X (t),t T}是严平稳过程,如果过程的二 阶矩存在,那么
(1) E[X (t)] X E[X 2 (t)] X2
D[
X
(t
)]
2 X
均为常数,与参数 t 无关;
f
(
z;
t
)
1 2t
exp{
z 2t
}
z0
0
z0
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9
第二节 广义平稳过程
(一) 广义平稳过程的定义 定义2 设随机过程 X (t) ,对于任意 t T ,满足:
(1) E[ X 2 (t)] 存在且有限;
(2) E[X (t)] X是常数;
(3)E[X (t)X (t )] RX ( )仅依赖于 ,而与 t 无关,
F2 (x1, x2 ;t1,t2 ) F2 (x1, x2 ;t1 ,t2 ) F2 (x1, x2;0, ) F2 (x1, x2; )
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2
上式表明:严平稳过程的一维分布函数 F1(x1) 不依赖
于参数 t ,
二维分布函数F2 (x1, x2 ; ) 仅依赖于参数间距 t2 t1
E[X (t)X (t )] E[X (t)]E[X (t )]
RX
(
)
2 X
CX ( )
(仅依赖于 ,而与 t 无关)。
问题: RX ( ) ?
( >0)
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12
三.平稳过程的例子 例1 随机相位正弦 波 X (t) a cos(t ), 式中 a 和
是常数, 是(0,2 )上服从均匀分布的随机变量.
则称 X (t)为严平稳过程,或称狭义平稳过程.
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1
严平稳过程的含义是:过程的任何有限维概率分布 与参数的原点选取无关,
二. 严平稳过程的一维,二维分布函数的性质
特殊地,取 t1,t2 t1 一维分布函数
F1(x1;t1) F1(x1;t1 ) F1 (x1;0) F1 (x1 ) 二维分布函数
X n 表示第 n 次试验成功的次数,
试验证 {X n , n 1,2,3,}是严平稳过程. (即， 分布函数不变)
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8
例2 设X ,Y 是相互独立的标准正态随机变量,
Z (t) ( X 2 Y 2 )t, t 0
试验证随机过程 Z (t)不是严平稳过程,Z (t)
的数字特征也不具有平稳性.
(2) E[X (t)] X 是常数;
(3) X2 E[ X 2 (t)] E[X (t)X (t 0)] RX (0) 是常数;
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(4)
D[ X (t)] 2 X
是常数;
(5) CX (t,t ) cov(X (t), X (t ))
验证 X (t) 是平稳过程.
RX (t1,t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
a2 2
cos (t 2
t1 )
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13
例2 随机振幅正弦波Z(t) X cos2t Y sin 2t ,其中
X和 Y 都是随机变量,且EX EY 0, DX DY 1
E(XY) 0. 验证 Z(t)是平稳过程.
(2) E[X (t)X (t )] RX ( )
E{[X (t) EX(t)][X (t ) EX(t )]} CX ( )
仅依赖于参数间距 ,而不依赖于 t .
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数字特征的这一性质也称为平稳性. 定理一的逆定理是不成立的.
例1 (Bernoulli序列) 独立重复地进行某项试验,每次 试验成功的概率为 p(0 p 1) ,失败的概率为1 p .