天津大学网络教育学院概率论与数理统计复习资料
(完整版)概率论与数理统计复习提纲
1.基本思想: 用样本矩（原点矩或中心矩）代替相应的总体矩.
2.求总体X的分布中包含的m个未知参数 的矩估计步骤：
① 求出总体矩,即 ；② 用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程：
③ 解上述方程（或方程组）得到 的矩估计量为：
④ 的矩估计值为：
3. 矩估计法的优缺点：
优点：直观、简单; 只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式.
（1） 分布的 分位点 （2） 分布的 分位点 其性质：
（3） 分布的 分位点 其性质
（4）N(0,1)分布的 分位点 有
第六章 参数估计
一、点估计:设 为来自总体X的样本， 为X中的未知参数， 为样本值，构造某个统计
量 作为参数 的估计，则称 为 的点估计量， 为 的估计值.
2.常用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法.
合概率函数（或联合密度函数） （或
称为似然函数.
3. 求最大似然估计的步骤：
（1）求似然函数:X离散： X连续：
（2）求 和似然方程：
（3）解似然方程，得到最大似然估计值：
（4）最后得到最大似然估计量：
4. 最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法，但是它需要知道总体X的分布形式.
四、估计量的评价标准
4.伯努利概型：
1.事件的对立与互不相容是等价的。（X）
2.若 则 。（X）
3. 。(X)
4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为 。(∨)
5.n个事件若满足 ，则n个事件相互独立。(X)
6.当 时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（∨）
第二章 随机变量及其分布
一、随机变量的定义：设样本空间为 ，变量 为定义在 上的单值实值函数，则称 为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。
-频率和概率的关系，概率的基本性质。
-古典概型和几何概型的概念。
-条件概率和乘法定理。
-全概率公式和贝叶斯公式。
-随机变量和概率分布函数的概念。
-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。
2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。
-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。
-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。
3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。
-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。
4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。
-样本统计量和抽样分布的概念。
-点估计和区间估计的概念。
-假设检验的基本思想和步骤。
-正态总体的参数的假设检验和区间估计。
5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。
-矩估计的原理和方法。
-最小二乘估计的原理和方法。
-一般参数的假设检验和区间估计。
6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。
-回归分析的一般原理。
-简单线性回归的估计和检验。
7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。
-秩相关系数的计算和检验。
8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。
-正态总体参数的拟合优度检验。
-贝叶斯估计的基本思想和方法。
9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。
-时间序列预测的方法和模型。
-质量控制的基本概念和控制图的应用。
以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。
概率论与数理统计 天津大学网考复习题库及答案
概率论与数理统计复习题（特别提示：该课程有答疑视频，请参照视频与复习资料进行复习）一、单项选择题1、设()0.4,()0.5P A P B ==，且A, B 互不相容，则()P A B ⋃=（ C ） (A) 0.7 (B) 0.2 (C) 0.9 (D) 0.32、3个人独立地破译一个密码，每个人能译出的概率都为14，则他们能将此密码译出的概率为（ D ）(A) 14 (B) 164 (C) 2764 (D) 37643、设连续型随机变量X 的概率密度为3,01,()0,,Ax x f x ⎧<<=⎨⎩其他则A=（ A ）(A) 4 (B) 2 (C)14(D) 3 4、在正态总体~(30,4)X N 中随机抽取一个容量为16的样本，X 为样本均值，则{2931}P X <<=（ B ） （(0.5)0.6915,(2)0.9770Φ=Φ=） (A) 0.383 (B) 0.954 (C) 0 (D) 15、设X 服从参数为λ的Poisson 分布，即~()X P λ，则()()E X D X =（ A ） (A) 1 (B) λ (C)1λ(D) 0 6、设随机变量~(2,4),~(0,1),,X N Y N X Y 且相互独立，2Z X Y =+，则~Z （ B ） (A) N(6,8) (B) N(2,8) (C) N(0,6) (D) N(0,46)7、一批产品中有正品也有次品，从中随机抽取三件，设A ，B ，C 分别表示抽出 的第一件、第二件、第三件是正品，下列事件不能描述“正品不多于两件”的是 （ C ）（A ）ABC（B ）ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ⋃⋃⋃⋃⋃⋃ （C ）A B C ⋂⋂（D ）A B C ⋃⋃8、设总体~(3,16)X N ，1216,,,X X X L 为来自总体X 的一个样本，X 为样本均值，则( A )(A) 3~(0,1)X N - (B) 4(3)~(0,1)X N - (C)3~(0,1)4X N - (D) 3~(0,1)16X N - 9、在假设检验中，0H 表示原假设，1H 表示对立假设，则犯第一类错误的情况为( C )（A ）0H 真，接受0H （B ）0H 不真，接受0H （C ）0H 真，拒绝0H （D ）0H 不真，拒绝0H10、设1234,,,X X X X 是来自均值为μ的总体的样本，其中μ未知，则下列估计量中不是μ 的无偏估计的是( B )（A ）1123411()()63T X X X X =+++ （B ）123422345X X X X T +++=（C ）123434X X X X T +++= （D ）4123411112488T X X X X =+++11、已知1()4P A =,1()6P B =,1()2P B A =,则()P A B ⋃=（ C ）(A) 16 (B) 14 (C) 13 (D) 1212、有一大批糖果，设袋装糖果的质量近似地服从正态分布()2,N μσ，其中2,μσ均未知。
统计学复习资料概率论与数理统计重点知识点整理
统计学复习资料概率论与数理统计重点知识点整理概率论与数理统计是统计学的基础课程之一，也是应用最为广泛的数学工具之一。
下面将对概率论与数理统计的重点知识点进行整理，以供复习使用。
一、概率论的基本概念1. 样本空间和事件：样本空间是指随机试验的所有可能结果构成的集合，事件是样本空间的子集。
2. 古典概型和几何概型：古典概型是指样本空间中的每个结果具有相同的概率，几何概型是指采用几何方法进行分析的概率模型。
3. 概率公理和条件概率：概率公理是概率论的基本公理，条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
4. 独立事件和全概率公式：独立事件是指两个事件的发生与否互不影响，全概率公式是用于计算复杂事件的概率的公式。
5. 随机变量和概率分布函数：随机变量是对样本空间中的每个结果赋予一个数值，概率分布函数是随机变量的分布情况。
二、概率分布的基本类型1. 离散型概率分布：包括二项分布、泊松分布和几何分布等。
2. 连续型概率分布：包括正态分布、指数分布和均匀分布等。
三、多维随机变量及其分布1. 边缘分布和条件分布：边缘分布是指多维随机变量中的某一个或几个变量的分布，条件分布是指在已知某些变量取值的条件下，其他变量的分布。
2. 二维随机变量的相关系数：相关系数用于刻画两个随机变量之间的线性关系的强度和方向。
3. 多维随机变量的独立性：多维随机变量中的各个分量独立时，称为多维随机变量相互独立。
四、参数估计与假设检验1. 参数估计方法：包括点估计和区间估计，点估计是通过样本数据得到参数的估计值，区间估计是对参数进行一个范围的估计。
2. 假设检验的基本概念：假设检验是用于对统计推断的一种方法，通过与某个假设进行比较来得出结论。
3. 假设检验的步骤：包括建立原假设和备择假设、选择显著性水平、计算检验统计量和做出统计决策等步骤。
五、回归分析与方差分析1. 简单线性回归分析：简单线性回归分析是研究两个变量之间的线性关系的方法，通过建立回归方程来拟合数据。
《概率论与数理统计》综合复习资料全
《概率论与数理统计》综合复习资料一、填空题1、一个盒子中有10 个球，其中有 3 个红球， 2 个黑球， 5 个白球，从中取球两次，每次取一个（无放回），则：第二次取到黑球的概率为；取到的两只球至少有一个黑球的概率为。
2、 X 的概率密度为 f ( x)1 e x2 2 x 1(x) ，则DX。
3、已知随机变量X ~N(1，1)，Y~N(3，1) 且 X 与Y 相互独立，设随机变量Z 2X Y 5，则EX；DX。
4、已知随机变量X 的分布列为X-102P k0.40.2p则： EX=；DX =。
5、设X与Y独立同分布，且X~N(2,22) ，则D( 3X2Y) =。
6、设对于事件A、B、 C有 P(A)P(B)1，P(ABC)1P(C)，412P( AB) P( BC )P(AC)1。
，则 A 、 B、 C 都不发生的概率为87、批产品中一、二、三等品各占60% 、30%、 10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是二等品的概率为。
8、相互独立，且概率分布分别为1，1 y 3f (x)e ( x 1)x) ；( y)(，其它则：E(X Y)=；E(2X3 2 )=。
Y9 、已知工厂A、 B 生产产品的次品率分别为2%和1%，现从由A、 B 工厂分别占30%和70%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品是 B 工厂的概率为。
10、设X、Y的概率分布分别为， 1 x 54e4 y，y01/ 4( x)；( y)，，其它0y0则： E(X 2Y) =；(X 2 4 ) =。
E Y二、选择题1、设X 和 Y 相互独立，且分别服从N(1,22) 和N (1,1)，则。
A ．P{ X Y 1}1/ 2B．P{ X Y0}1/ 2C ．P{ X Y0}1/ 2D．P{ X Y 1}1/ 22、已知P( A)0.4，P(B)0.6，P(B | A)0.5 ，则P( A B)。
A ．1B．0.7C ．0.8D ．0.53、设某人进行射击，每次击中的概率为1/3，今独立重复射击10 次，则恰好击中 3 次的概率为。
《概率论与数理统计》期末复习重点总结
概率论与数理统计第一章：掌握概率的性质、条件概率公式、全概率公式和贝叶斯公式，会用全概率公式和贝叶斯公式计算问题。
第二章：一维随机变量包括离散型和连续型；离散型随机变量分布律的性质；连续性随机变量密度函数的性质；常见的三种离散型分布及连续型分布；会计算一维随机变量函数的分布（可以出大题）；第三章：多维随机变量掌握离散型和连续型变量的边缘分布；条件分布及两个变量独立的定义；重点掌握两个随机变量函数的分布（掌握两个随机变量和、差的密度函数的求法；了解两个随机变量乘、除的分布；掌握多个随机变量最大、最小的分布的密度函数的求法）；第四章：重点掌握期望、方差、协方差的计算公式、性质；了解协方差矩阵的构成；第六章：掌握统计量的定义、三大分布的定义和性质；教材142页的四个定理及式3.19、3.20务必记住；第七章：未知参数的矩估计法和最大似然估计法是考点，还要掌握估计量的无偏性、有效性的定义；教材的例题及习题：19页例5；26页19、23、24、36；43页例1；51页例2；53页例5；58页25、36；63页例2；66页例2；77页例1、例2；87页22；99页例12；114页6；147页4、6；151页例2、例3；153页例4、例5；173页5、11样题一、填空1. 设A ，B 相互独立，且2.0)(,8.0)(==A P B A P ，则=)(B P __________.2. 已知),2(~2σN X ，且3.0}42{=<<X P ，则=<}0{X P __________.3．已知B A ,两个事件满足条件()()B A P AB P =，且()p A P =，则()=B P _________.4．设随机变量X 的密度函数为()2,01,0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他，用Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21X 出现的次数，则()2P Y == . 5、设连续型随机变量X 的分布函数为 ， ，则A=B= ；X 的密度函数为 。
非常全面的《概率论与数理统计》复习材料
《概率论与数理统计》复习大纲第一章随机事件与概率事件与集合论的对应关系表古典概型古典概型的前提是Ω={ω1, ω2,ω3,…, ωn,}, n为有限正整数，且每个样本点ωi出现的可能性相等。
例1设3个球任意投到四个杯中去，问杯中球的个数最多为1个的事件A1，最多为2个的事件A2的概率。
[解]：每个球有4种放入法，3个球共有43种放入法，所以|Ω|=43=64。
(1)当杯中球的个数最多为1个时，相当于四个杯中取3个杯子，每个杯子恰有一个球，所以|A1|= C433！=24；则P(A1)=24/64 =3/8. (2) 当杯中球的个数最多为2个时，相当于四个杯中有1个杯子恰有2个球(C41C32)，另有一个杯子恰有1个球(C31C11)，所以|A2|= C41C32C31C11=36；则P(A2)=36/64 =9/16例2从1,2,…,9，这九个数中任取三个数，求：(1)三数之和为10的概率p1；(2)三数之积为21的倍数的概率p2。
[解]：p1=4C93=121, p2=C31C51+C32C93=314P(A)=A包含样本总个数样本点总数=|A||Ω|几何概型前提是如果在某一区域Ω任取一点，而所取的点落在Ω中任意两个度量相等的子区域的可能性是一样的。
若A⊂Ω，则P(A)=A的度量Ω的度量例1把长度为a的棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率。
[解]：设折得的三段长度分别为x,y和a-x-y，那么，样本空间，S={(x,y)|0≤x≤a,0≤y≤a,0≤a-x-y≤a}。
而随机事件A：”三段构成三角形”相应的区域G应满足两边之和大于第三边的原则，得到联立方程组，⎩⎪⎨⎪⎧a-x-y<x+yx<a-x-y+yy<a-x-y+x解得0<x<a2, 0<y<a2,a2<x+y<a 。
即G={(x,y)| 0<x<a2, 0<y<a2,a2<x+y<a }由图中计算面积之比，可得到相应的几何概率P(A)=1/4。
《概率论与数理统计》综合复习资料
《概率论与数理统计》综合复习资料《概率论与数理统计》综合复习资料一、填空题1．由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A ）的概率为4/15，刮风（记作事件B ）的概率为7/15，刮风又下雨（记作事件C ）的概率为1/10。
则：=)|(B A P ；=)(B A P 。
2．一批产品共有8个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。
则：（1）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为；（2）恰有一次取到次品的概率为。
3．设随机变量)2,1(~2N X 、)3(~P Y （泊松分布），且相互独立，则：)2(Y X E += ； )2(Y X D + 。
4．设随机变量X 的概率分布为X －1 0 1 2 p k 0.1 0.2 0.3 p 则： =EX ；DX = ；Y X =-21的概率分布为。
5．设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是二等品的概率为。
6．设Y X 、相互独立，且概率分布分别为 2)1(1)(--=x ex f π(-∞<<+∞x ) ； ?≤≤=其它，，0312/1)(y y ?则：)(Y X E += ； )32(2Y X E -= 。
7．已知随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 P k 0.3 0.5 0.2 则：随机变量X 的期望EX = ；方差DX = 。
8．已知工厂A B 、生产产品的次品率分别为2%和1%，现从由A B 、工厂分别占30%和70%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品是B 工厂的概率为。
9．设Y X 、的概率分布分别为≤≤=其它，，0514/1)(x x ?；?()y e y y y =>≤-40004，，则：)2(Y X E += ；)4(2Y XE -= 。
10．设随机变量X 的概率密度为≤=其它，，02cos )(πx x A x f ，则：系数A = 。
天津市考研数学复习资料概率论与数理统计重要概念总结与例题讲解
天津市考研数学复习资料概率论与数理统计重要概念总结与例题讲解天津市考研数学复习资料——概率论与数理统计重要概念总结与例题讲解概率论与数理统计是数学中的重要分支，对于考研数学的备考来说，也是一个重要的考点。
在这里，我们将为大家总结概率论与数理统计中一些重要的概念，并结合例题进行详细讲解，希望能够对大家的数学复习有所帮助。
一、概率论重要概念总结1. 随机事件与样本空间随机事件是描述一个实验中出现的一种结果，样本空间是指所有可能结果的集合。
通常用S表示样本空间，用A、B、C等表示随机事件。
2. 概率的基本定义概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，表示为P(A)，其中A是一个随机事件。
概率的取值范围是[0, 1]。
3. 事件的关系与运算事件的关系包括包含关系、互斥关系、对立关系等。
事件的运算包括并、交、差、余等运算。
4. 条件概率与乘法法则条件概率表示在已知某一事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
乘法法则用于计算多个事件同时发生的概率。
5. 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式用于计算一个事件的概率，贝叶斯公式用于在已知某些条件下，计算另一事件的概率。
二、概率论例题讲解1. 例题一随机事件A与B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，求P(A并B)。
解析：由于A与B互斥，所以P(A并B)=0。
2. 例题二在一副有52张牌的扑克牌中，随机抽取一张，求抽到红心牌的概率。
解析：红心牌共有13张，所以概率为P(红心牌)=13/52=1/4。
三、数理统计重要概念总结1. 随机变量与概率分布随机变量是指随机事件在数值上的映射，概率分布描述随机变量取值的概率情况。
常见的概率分布有离散型概率分布和连续型概率分布。
2. 数理统计中的参数估计与假设检验参数估计用于利用样本数据推断总体的参数，假设检验用于验证关于总体参数的假设。
3. 常见的概率分布常见的离散型概率分布有伯努利分布、二项分布、泊松分布等；常见的连续型概率分布有均匀分布、正态分布等。
天津大学001012[概率论与数理统计]
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概率论与数理统计复习题一、单项选择题1、设()0.4,()0.5P A P B ==，且A, B 互不相容，则()P A B ⋃=（ C ）。
(A) 0.7 (B) 0.2 (C) 0.9 (D) 0.32、3个人独立地破译一个密码，每个人能译出的概率都为14，则他们能将此密码译出的概率为（ D ）。
(A) 14 (B) 164 (C) 2764 (D) 37643、设连续型随机变量X 的概率密度为3,01,()0,,Ax x f x ⎧<<=⎨⎩其他则A=（ A ）。
(A) 4 (B) 2 (C)14(D) 3 4、在正态总体~(30,4)X N 中随机抽取一个容量为16的样本，X 为样本均值，则{2931}P X <<=（ B ）。
（(0.5)0.6915,(2)0.9770Φ=Φ=） (A) 0.383 (B) 0.954 (C) 0 (D) 15、设X 服从参数为λ的Poisson 分布，即~()X P λ，则()()E X D X =（ A ）。
(A) 1 (B) λ (C)1λ(D) 0 6、设随机变量~(2,4),~(0,1),,X N Y N X Y 且相互独立，2Z X Y =+，则~Z （ B ）。
(A) N(6,8) (B) N(2,8) (C) N(0,6) (D) N(0,46)7、一批产品中有正品也有次品，从中随机抽取三件，设A ，B ，C 分别表示抽出 的第一件、第二件、第三件是正品，下列事件不能描述“正品不多于两件”的是 （ C ）。
（A ）ABC（B ）ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ⋃⋃⋃⋃⋃⋃ （C ）A B C ⋂⋂ （D ）A B C ⋃⋃8、设总体~(3,16)X N ，1216,,,X X X 为来自总体X 的一个样本，X 为样本均值，则( A )(A) 3~(0,1)X N - (B) 4(3)~(0,1)X N - (C)3~(0,1)4X N - (D) 3~(0,1)16X N - 9、在假设检验中，0H 表示原假设，1H 表示对立假设，则犯第一类错误的情况为( C )（A ）0H 真，接受0H （B ）0H 不真，接受0H （C ）0H 真，拒绝0H （D ）0H 不真，拒绝0H10、设1234,,,X X X X 是来自均值为μ的总体的样本，其中μ未知，则下列估计量中不是μ 的无偏估计的是( B )。
概率论与数理统计总复习
随
机 试 验
可能结果
基 本 事 件
Ai
只有两个
不含任何ω Φ
Ai Aj 完
不可能 i j 备 Ai任何组合事件A p(Ai ) 0事
Ai
i
必然
Ωi
Ai
件 组
Ai
等
1 P(A i) n
概 完
i 1,2, n 备
事
件
可能结果
条件：
组
贝努利试验
n次重复
定义 随机变量 X 的取值可以一一列举（有限或无限）
称X 为离散型随机变量。
分布律（分布列） 表示法
公式法
PX xk pk
k 1,2,
列表法 X x1 x2
xk
xn
pk p1 p2
pk
pn
性质
1. PX xk 0 k 1,2,
n
2. pk 1
7 7
k 1
2、连续性随机变量 定义 对于随机变量X，若存在非负函数
将 F( y) 用 F[h( y)] 及有关函数表述出来。
利用 F '( y) f ( y) 求出Y的密度函数。
f
(
y)
F
(h(
y))'
h(
y)
h'
(
y)
0
y
其他
14
14
三、二维随机变量及其分布
（一）二维随机变量（X,Y) 的分布函数
定义 对于任意实数 x, y 二元函数
F(x, y) P{X x,Y y}
X为离散型其分布列为 PX xk pk
k 1,2,, n.
X为连续型其密度函数为 f (x).
《概率论与数理统计》总复习资料
《概率论与数理统计》总复习资料概率论部分1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。
例1：袋中有4个白球，5个黑球，6个红球，从中任意取出9个球，求取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球的概率.解：设B ＝｛取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球｝样本空间的样本点总数：915C n ==5005事件B 包含的样本点：563514C C C r ==240，则P (B )=240/5005=0.048例2：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？解：考虑次序.基本事件总数为：410A =5040，设B ={能排成一个四位偶数}。
若允许千位数为0，此时个位数可在0、2、4、6、8这五个数字中任选其一，共有5种选法；其余三位数则在余下的九个数字中任选，有39A 种选法；从而共有539A =2520个。
其中，千位数为0的“四位偶数”有多少个？此时个位数只能在2、4、6、8这四个数字中任选其一，有4种选法；十位数与百位数在余下的八个数字中任选两个，有28A 种选法；从而共有428A =224个。
因此410283945)(A A A B P -==2296/5040=0.4562．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。
例1：事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.5，P (B )=0.6，求：P (AB )，P (A －B )，P (A B )解：P (AB )=P (A )P (B )=0.3，P (A －B )=P (A )－P (AB )=0.2，P (A B )=P (A )＋P (B )－P (AB )=0.8例2：若P (A )=0.4，P (B )=0.7，P (AB )=0.3，求：P (A －B )，P (A B )，)|(B A P ，)|(B A P ，)|(B A P 解：P (A －B )=0.1，P (A B )=0.8，)|(B A P =)()(B P AB P =3/7，)|(B A P =)()()()()(B P AB P B P B P B A P -==4/7，|(B A P =)(1)()()(B P B A P B P B A P -==2/33．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。
概率论与数理统计复习资料
概率论与数理统计复习资料概率论与数理统计复习资料概率论与数理统计是数学中的重要分支，广泛应用于各个领域。
无论是在自然科学、社会科学还是工程技术领域，概率论与数理统计都扮演着重要的角色。
为了更好地理解和应用这门学科，我们需要进行系统的复习和总结。
本文将为大家提供一些有关概率论与数理统计的复习资料，帮助大家更好地掌握这门学科。
一、概率论概率论是研究随机事件发生的可能性的数学学科。
它以概率为基础，通过建立数学模型来描述随机事件的规律性。
在概率论的学习中，我们需要掌握以下几个重要概念：1. 随机事件：随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
例如，掷硬币的结果、骰子点数的出现等都属于随机事件。
2. 概率：概率是描述随机事件发生可能性的数值。
它的取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示必然发生。
3. 随机变量：随机变量是指随机事件的结果所对应的数值。
它可以是离散型的，也可以是连续型的。
离散型随机变量的取值是有限或可数的，例如掷骰子的点数；连续型随机变量的取值是无限的，例如身高、体重等。
4. 概率分布：概率分布是随机变量所有可能取值及其对应的概率的分布规律。
离散型随机变量的概率分布可以用概率质量函数来描述，连续型随机变量的概率分布可以用概率密度函数来描述。
5. 期望：期望是随机变量取值的平均值，反映了随机变量的平均水平。
对于离散型随机变量，期望可以通过加权平均的方式计算；对于连续型随机变量，期望可以通过积分的方式计算。
二、数理统计数理统计是研究如何从样本中获取总体信息的学科。
它通过对样本数据进行分析和推断，来对总体进行估计和推断。
在数理统计的学习中，我们需要掌握以下几个重要概念：1. 总体与样本：总体是指研究对象的全体，样本是从总体中抽取的一部分个体。
样本是对总体的一种观察和研究。
2. 统计量：统计量是样本数据的函数，用于对总体参数进行估计。
例如，样本均值、样本方差等都是统计量。
3. 抽样分布：抽样分布是指统计量的分布规律。
《概率论与数理统计》(公共)复习提纲
概率论与数理统计（公共课）复习提纲 注：方框标示的内容为重点。
第1章 随机事件及其概率1. 样本点与样本空间、事件的关系与运算；2. 事件的运算规律；(1) 交换律 A ∪B =B ∪A , A ∩B =B ∩A ;(2) 结合律 (A ∪B )∪C =A ∪(B ∪C ), (A ∩B )∩C =A ∩(B ∩C );(3) 分配律 (A ∪B )∩C =(A ∩C )∪(B ∩C ), (A ∩B )∪C =(A ∪C )∩(B ∪C)3. 事件概率的定义及其性质、古典概型的概率计算；条件概率 P (B |A ) = P (AB ) / P (A )；乘法公式 P (AB ) = P (A )P (B |A ) 或 P (AB ) = P (B )P (A |B )全概率公式 P (B ) = P (A 1)P (B |A 1) + … + P (A n )P (B |A n ) + …n = 2的情形(样本空间被对立事件划分) )|()()|()()(A B P A P A B P A P B P += n = 3的情形 )|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++=贝叶斯公式(已知事件B 发生后，求其由A i 所引起的概率),...2,1,)|()()|()()()()|(===∑i A B P A P A B P A P B P B A P B A P jj j i i i i事件的独立性 P (AB ) = P (A )P (B )；9．有限事件的两两独立与相互独立；伯努利概型及其概率计算；随机变量及其分布与数字特征1. 常用离散型概率分布两点分布(0-1分布) P { X = x 1 } = p , P { X = x 2 } = 1 – p (0 < p < 1) E (X ) = p , D (X ) = p (1 – p )二项分布 X ~ b (n , p ) n k p p C k X P k n k k n ,...,1,0,)1(}{=-==-E (X ) = np , D (X ) = np (1 – p )泊松分布 X ~ P (λ) ,...2,1,0,!}{===-k e k k X P k λλE (X ) = D (X ) = λ2. 二项分布的泊松近似100,10,!)1(><=≈---n np e k p p C kk n k kn λλλ 3. 随机变量的分布函数(1) 定义：F (x ) = P { X ≤ x };(2) 性质：a. 单调非减；b. F (-∞) = 0、F (+∞) = 1；c. 右连续；4. 常用连续型概率分布均匀分布 X ~ U (a , b )密度函数：b x a a b x f <<-=,1)(，分布函数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=bx b x a ab a x a x x F ,1,,0)( 2)(a b X E -=， 12)()(2a b X D -= 指数分布 X ~ e(λ)密度函数：0,)(>=-x ex f x λλ，分布函数：⎩⎨⎧>-=-其它,00,1)(x e x F x λ λ1)(=X E ， 21)(λ=X D正态分布 X ~ N (μ, σ2) μ=)(X E ， 2)(σ=X D标准正态分布 X ~ N (0, 1)，E (X ) = 0, D (X ) = 1；5. 随机变量函数 Y = f ( X ) 的分布离散型：列出分布律；连续型：（1）用概率的方法求出函数 Y 的分布函数后，再求其密度函数；（2）如果函数 Y = f (X ) 满足严格单调，则可使用公式直接求 Y 的密度函数： 的反函数为其中)()(,|,)(|))(()(x f y y h y y h y h f y f X Y =<<'=βα6. 随机变量函数 Y = f ( X ) 的数学期望离散型：∑==ii i p x g X g E X E )()]([)(连续型：⎰+∞∞-==x x f x g X g E X E d )()()]([)( 7. 方差的计算D (X ) =E [ X – E (X ) ]2 = E (X 2) – [E (X )]28. 数学期望与方差的性质(E (X ), E (Y ), D (X ), D (Y )均存在)E (aX ± bY ) = aE (X ) ± bE (Y ) D (aX ± bY ) = a 2D (X ) + b 2D (Y )9. 中心极限定理定理3 设随机变量 X 1, X 2, …, X n , … 相互独立，服从同一分布，且 E (X i ) = μ, D (X i ) = σ2, ( i = 1, 2, …)，则)(lim 1x x n n X P n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→σμ或),(~2n n N X X n i i σμ ∑= 即n 个随机变量的和的极限分布是正态分布。
《概率论与数理统计》复习资料要点总结
《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则（1）BAAB A B B A =⋃=⋃ （2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃（3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃（4）BA AB B A B A ⋃==⋃ 3．概率)(A P 满足的三条公理及性质：（1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP （3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）（4）0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤（7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率6．条件概率（1）定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2）乘法公式：)|()()(B A P B P AB P =若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有（3）全概率公式：∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(（4）Bayes 公式：∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7．事件的独立性：B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分布1．离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑iip=1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2．连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P 3．几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布),1(p B p X P ==)1(，pq X P -===1)0(p pq 二项式分布),(p n B n k q p C k X P kn k k n ,2,1,0,)(===-，npnpqPoisson 分布)(λP,2,1,0,!)(===-k k e k X P kλλλλ几何分布)(p G,2,1 ,)(1===-k p qk X P k p 12p q 均匀分布),(b a U b x a a b x f ≤≤-= ,1)(，2b a +12)(2a b -指数分布)(λE 0,)(≥=-x e x f x λλλ121λ正态分布),(2σμN 222)(21)(σμσπ--=x ex f μ2σ4．分布函数)()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续；（4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>；（5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5．正态分布的概率计算以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有（1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==>6．随机变量的函数)(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。
天津大学《概率论与数理统计》随机变量函数
y b a
1 FX
y b a
yba2
fY(y)fXya b1 a
1
2ae
2(a)2
综上得 Y~Nab,a2
2021/8/17
14
定理
正态随机变量的线性函数服从正态分布。
设 X~N (,2), YaXb(a0),则 Y~N (ab,(a)2)
推论
若 X~N (,2), 则 X ~N (0 ,1 )
hy
fX xdx
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于是得Y的概率密度
fY(y) fXh 0 (y)h(y)
y
其他
若g(x)<0, 同理可证
fY(y) fX h 0 (y)h (y)
y
其他
合并两式，即得证。
若ƒ(x)在有限区间[a，b]以外等于零，则只需假
设在[a，b]上恒有g(x)>0(或恒有g(x)<0)，
第二步 fY(y)F Y (y)
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11
例2 设 随 机X变 的量 概 率 密 度 为
fX(x)8x, 0,
0x4,求 其 .他
随
机Y1. 变 2求 X量 F8Y的 ( y)；概
率 .
密
度
解F Y ( 第y ) 一 步P P { { 求 2 Y X Y y 8 } 2 X y }8的 PX 分 2. yf布 2F YY (8(yy))函 .Fy Y28(数 fyX)(.x)dx
连续型——概率密度 归一性 概率计算
分布函数与概率密度的互变
正态分布的概率计算
均匀分布U(a,b) 正态分布N(a, 2 )
指数分布E（)
29
练习:已知随机变量X的概率密度为
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概率论与数理统计填空题1. 一箱中有6个球，其中有红色球2个，白色球4个，从中任取出3个球，X 表示取出的3只球中的红球数，求： （1）X 的分布律；（2）X 的分布函数()F x ；（3）期望()E X ；（4）方差()D X 。
答案：（1）X 的分布律为：34361{0}5C P X C ===，1224363{1}5C C P X C ===， 2124361{2}5C C P X C === （2）X 的分布函数为0,01,015()4,1251,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩（3）()=1E X（4）27()=5E X ，2()=5D X2.设随机变量X 的分布律为111{1},{0},{1}442P X P X P X =-=====；Y 的分布律为21{0},{1},P Y P Y ====且X 与Y 独立, 令Z X Y =+，则Z 的分布律为答案：3.设,A B 为随机事件，且()0.5,()0.6,()0.8,P A P B P B A ===则()P A B ⋃= 。
答案：0.74.设随机变量(,)X Y 的联合概率密度为23,02,01(,),20,xy x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它则()E XY = 。
答案：15.设X 服从参数为1的指数分布(1)e ，Y 服从二项分布(10,0.5)B ， 则()()D Y D X = 。
答案： 2.56.设总体X 服从均匀分布(,2)U θθ+，其中0θ>为未知参数，1,,n X X 为来自总体X 的样本，X 为样本均值，则θ的矩估计量为 。
答案：1X -7.随机变量X 与Y 独立同分布，且X 的分布律为{1}0.2,P X =={2}0.8P X ==，则{3}P X Y +≤= 。
答案：0.368.设A,B,C 为三个随机事件，则“A,B,C 中只有一个发生”可表示为 。
答案：AB C ABC A BC ⋃⋃9.某袋中有9个红球、3个白球，甲乙二人依次从袋中取一球，每人取后不放回，则乙取到白球的概率为 。
答案：0.2510.设 A ，B ，C 为随机事件，用A,B,C 的关系表示“A,B 都发生，而C 不发生”为 。
答案： ABC11.设 A ，B ，C 为随机事件，用A,B,C 的关系表示“A,B,C 都发生”为 。
答案： ABC12.已知()0.8,()0.4P A B P A ⋃==，且A ，B 相互独立，则()P B = 。
答案：2313.已知()0.9,()0.4P A B P B ⋃==，且A ，B 相互独立，则()P A = 。
答案：5614.设随机变量X 的密度为2,02()0,Ax x f x ⎧≤≤=⎨⎩其它，则常数A= 。
答案：3815.设随机变量X 的密度为2,12()0,Ax x f x ⎧-≤≤=⎨⎩其它，则常数A= 。
答案：1316.设随机变量X 的分布函数为30,0(),01x F x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩1,其它.则1{1}2P X -<<= 。
答案：1817.随机变量X 的分布函数为20,0(),01x F x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩1,其它，则1{0}3P X <<= 。
答案：1918.设,X Y 为随机变量，()25,()36,D X D Y ==0.4XY ρ=，则()D X Y += 。
答案：8519.设随机变量(,)X Y 的联合密度为3,01,0(,)0,x x y xf x y <<<<⎧=⎨⎩其它，则()E XY = 。
答案：0.320.设随机变量(,)X Y 的联合密度为6,01,0(,)0,x y x yf x y <<<<⎧=⎨⎩其它，则()E XY = 。
答案：0.421.设A,B,C 为三个随机事件，则“A,B,C 中至少有一个发生”可表示为 。
答案：A B C ⋃⋃设A,B,C 为三个随机事件，则“A,B,C 中只有两个发生”可表示为 答案：ABC ABC A BC ⋃⋃某袋中有7个红球、3个白球，甲乙二人依次从袋中取一球，每人取后不放回，则乙取到红球的概率为 。
答案：0.7。
答案：3.76设X 的概率密度函数为23,12()70,x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，则当12x <<时，X 的分布函数()F x = 。
答案：、31(1)7x -设随机变量~(2,3)X N ，Y ＝2X ＋1，则~Y 。
答案：N(5,12)一箱中有同类产品8件，其中6件为正品，2件为次品。
从中任取2件，X 表示取出的正品数。
则X 的数学期望()E X = 。
答案：3222.设X 的分布函数为0, 0 0.4, 01()0.6, 121, 2x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，则X 的方差()D X = 。
答案：0.823.设随机变量X 与Y 独立同分布，且X 的分布律为1{1},4P X =-=3{1}4P X ==，则Z XY =的数学期望()E Z = 。
答案：1424.在正态总体~(30,4)X N 中随机抽取一个容量为16的样本，X 为样本均值，则{2931}P X <<= 。
（(0.5)0.6915,(2)0.9770Φ=Φ=） 答案：0.95425.设总体X 服从（0-1）分布，即~(1,)X B p ，现取得5个样本观测值分别为1,0,0,1,0，则p 的矩估计值为 。
答案：2526.将一枚骰子掷3次，则只有一次出现“6”点的概率为 （化简出值）。
答案：2572选择题1.在正态总体~(30,4)X N 中随机抽取一个容量为16的样本，X 为样本均值，则{2931}P X <<=（ B ）。
（(0.5)0.6915,(2)0.9770Φ=Φ=）(A) 0.383 (B) 0.954 (C) 0 (D) 1 2.设X 服从参数为λ的Poisson 分布，即~()X P λ，则()()E X D X =（ A ）。
(A) 1 (B) λ (C)1λ(D) 0 3.设随机变量~(2,4),~(0,1),,X N Y N X Y 且相互独立，2Z X Y =+，则~Z （ B ）。
(A) N(6,8) (B) N(2,8) (C) N(0,6) (D) N(0,46)4.已知1()4P A =,1()6P B =,1()2P B A =,则()P A B ⋃=（ C ）(A) 16 (B) 14 (C) 13 (D) 125.有一大批糖果，设袋装糖果的质量近似地服从正态分布()2,N μσ，其中2,μσ均未知。
现从中随机地取16袋，测得样本均值x =503(g)，样本标准差s=5(g), 则μ的置信度为0.99的置信区间是 （ B ）(A) 0.0050.00555(503(16),503(16))44t t -+ (B) 0.0050.00555(503(15),503(15))44t t -+(C) 0.010.0155(503(16),503(16))44t t -+ (D) 0.010.0155(503(15),503(15))44t t -+6.每次试验成功率为p ，独立重复进行试验直至第七次试验才取得四次成功的概率为（ B ）(A) 4437(1)C p p - (B) 3436(1)C p p - (C) 4426(1)C p p - (D) 3336(1)C p p -设连续型随机变量X 的概率密度函数为212(1),12().0,x f x x⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：（1）概率3{}2P X >；（2）数学期望()E X ；（3）方差()D X 。
解：（1）2212(13232{}).23x P X dx ->==⎰ (2) 2212(11())32ln 2x x E X dx -==-⎰(3) 222212(118())3x x E X dx -==⎰设甲盒中有3个红球2个白球，乙盒中有个2个红球4个白球，先从甲盒中任取2球放入乙盒，再从乙盒中任取一个球。
求：（1）从乙中取到的是一个白球的概率； （2）若已知从乙中取到的是一个白球，求从甲中取出的是两个白球的条件概率。
解：（1）A: 从乙中取到的是一个白球 :k B k k 从甲中恰取出个白球，=0,1,221122332222205554563()()(|)8885k k k C C C C P A P B P A B C C C ===⋅+⋅+⋅=∑，（2） 222522268()(|)1(|)3()85C C P B P A B P B A P A ⋅===设某种元件的寿命X (单位：小时)服从指数分布，其概率密度为13001,0()3000,0x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩。
（1）求元件寿命超过600小时的概率；（2）若有3个这种元件在独立的工作，求其中至少有2个元件的寿命超过600小时的概率。
解：（1）23006001{600}300xP X e dx e -+∞->==⎰（2）至少有2个元件的寿命超过600小时的概率为 222223463()(1)()32C e e e e e ------+=-设在10只同类型零件中有2只是次品，在其中不放回地取3次，每次任取一只，设X 表示取出次品的只数。
求X 的分布函数()F x 。
解：X 的分布律为：383107(0)15C P X C ===，12283107(1)15C C P X C ===，21283101(2)15C C P X C ===X 的分布函数为0,07,0115()14,12151,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩设总体X 具有密度函数(1), 01(;)0, x x f x θθθ⎧+<<=⎨⎩其它，其中θ是未知参数，1(,,)n X X ⋯ 是来自总体X 的样本。
求：（1）θ的矩估计量； （2）θ的极大似然估计量。
解：（1）11()(1)d 2E X x x x θθθθ+=+=+⎰ 令12X θθ+=+, 解得21ˆ.1X X θ-=- （2）11()(,)(1)(,,),nn i n i L f x x x θθθθ===+∏1ln ()ln(1)ln ni i L n x θθθ==++∑1d ln ()ln 0d 1n ii L nx θθθ==++∑令，解得11.ln nii nxθ==--∑ 所以1ˆ1.ln nii nXθ==--∑设总体X 具有概率密度1,01()0,x f x <<=⎪⎩其他 其中0θ>为未知参数，1,,n X X 为取自总体X 的一个简单随机样本，求: (1)θ的矩估计量；（2）θ的最大似然估计量。