上海中学高一上期末详解(2020.1)

上海中学高一上期末数学试卷

2020.01

一、填空题

1．方程lg(21)lg 1x x +-=的解为 ．

2．函数y =的值域为 ．

3．若幂函数图像过点(8,4)，则此函数的解析式是y = ． 4．若指数函数x y a =的定义域和值域都是[2,4]，则a = ． 5．函数2()4(0)f x x x x =-≤的反函数为1()f x -= ．

6．若2

33log 03a a

+<+，则实数a 的取值范围是 ．

7．已知函数()f x 定义域为R ，且恒满足()(2)0f x f x +-=，1

(1)()

f x f x +=-，则函数()f x 的奇偶性为 ．

8．函数225

x

y x x =++单调递增区间为 ．

9．函数42()21x x x c

f x ++=+在定义域上单调递增，则c 的取值范围为 ．

10．关于x 的方程22|8||2|x m x -=+有两个不同解，则m 的取值范围为 ． 11．已知函数23()4f x ax =+

，()a

g x x x

=+，对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得12()()f x g x ≥恒成立，则a 的取值范围为 ．

12．已知函数()||1||3|1|f x x x =----，若2(46)(4)f a a f a +=，则实数a 的取值范围 为 ．

二、选择题

13．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(,0)-∞递增，下列一定正确的是（ ） A ．233

2(0)2)2f f f

--⎛⎫⎛⎫

>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．233

2

322(log 4)f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．233

2322(log 4)f f

f --⎛⎫⎛⎫

>> ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

D ．233

2

31log 224f f

f --⎛⎫⎛⎫⎛

⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭

⎝⎭

14．函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ）

A ．(1)f x +

B ．(1)f x -

C ．()1f x +

D ．()1f x -

15．设方程3|ln |x x -=的两个根12,x x ，则（ ）

A ．120x x <

B ．121x x =

C ．121x x >

D ．1201x x << 16．已知函数()y f x =定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当(0,2]x ∈时，()(2)f x x x =-，若对任意(,]x m ∈-∞，都有32

()9

f x ≤

恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．13,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．14,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．17,3⎛

⎤-∞ ⎥⎝

⎦

三、解答题

17．已知函数()f x 定义域为R ，当0x >时，2()lg 2f x x x x =--． （1）若()f x 是偶函数，求0x <时()f x 的解析式； （2）若()f x 是奇函数，求x ∈R 时()f x 的解析式．

18．设关于x 的方程1936(5)0x x k k k +-+-=． （1）若常数3k =，求此方程的解；

（2）若该方程在[0,2]内有解，求k 的取值范围．

19．某环线地铁按内、外线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异）．新调整的方案要求内环线列车平均速度为20千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时，现内、外环线共有18列列车全部投入运行，其中内环投入x 列列车． （1）写出内、外环线乘客的最长候车时间（分钟）分别关于x 的函数解析式；

（2）要使内、外环线乘客的最长候车时间之差距不超过1分钟，问内、外环线应各投入几列列车运行？

（3）要使内、外环线乘客的最长候车时间之和最小，问内、外环线应各投入几列列车运行？

20．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在实数t ，使得 (2)()(2)f t f t f +=+．

（1）判断函数()f x kx =（k 为常数）是否属于集合M ； （2）若2()ln

1

a

f x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x 属于集合M ．

21．对于函数3

f x x x c

=--+．

()3||1

（1）当0

c=，()

g x的零点；

g x，求函数()

f x向下和向左各平移一个单位，得到函数()

（2）对于常数c，讨论函数()

f x的单调性；

（3）当0

c=，若对于函数()

+>恒成立，求实数a的取值范围．

f x满足()()

f x a f x

参考答案

一、填空题

1．1

8

x = 2．[0,)+∞ 3．2

3x 4．2 5．24(0)x x -+≥ 6．(0,1)

7．错题！ 8．[5,5]- 9．(,1]-∞ 10．1,14⎛⎤ ⎥⎝⎦ 11．9,4⎡⎫

+∞⎪⎢⎣⎭

12．31331313,,24

⎡⎤---+⎧⎫⎡⎫

+∞⎨⎬⎢⎥⎪⎢⎩⎭⎣⎭⎣⎦U U 【第7题解析】111

(1)(2)()1()(1)()

f x f x f x f x f x f x +=-

⇒+=-=-=+-

，()f x 的周期为2

于是()(2)0()()0f x f x f x f x +-=⇒+-=，据此可能会得出该函数为奇函数的错误结论， 由函数的定义域为R 且()0f x ≠，若其为奇函数，则必有(0)0f =，∴不存在这样的函数． 【第8题解析】0x ≠，125

y x x =

++，易得25x

x ++在[5,0)-和(0,5]上单调递减， ∴1

2

5

y x x =

++在[5,0)-和(0,5]上单调递增，又注意到0x <时，0y <，0x =时，0y =，0x >时，0y >，∴函数的单调递增区间为[5,5]-．

【第9题解析】令21(1)x

t t =+>，于是2(1)(1)1t t c c

y t t t

-+-+==+-，

由复合函数单调性知，内层函数21x t =+在x ∈R 上为增函数，要使得复合函数

4221x x x c y ++=+在x ∈R

上为增函数，则其外层函数()1c

g t t t =+-在(1,)t ∈+∞上必为增函数， 任取121t t <<，则1212121212

()()()1010c c

g t g t t t c t t t t t t ⎛⎫-=--<⇒-

>⇒< ⎪⎝⎭， 由于121t t <<，∴12(1,)t t ∈+∞，∴1c ≤．

【第10题解析】转化为2|8|y m x =-与22|2|2y x x =+=+ 有两个交点，显然，01m <≤，（1m >时，当x →∞时， 2|8|y m x =-图像更靠近y 轴，两函数图像有四个交点），

结合图像，还必须满足82m >，∴

1

14

m <≤． 【第11题解析】即min min ()()f x g x ≥，（*）

①0a <时，()f x 在[1,2]x ∈单调递减，()g x 在[1,2]x ∈单调递增，（*）式即(2)(1)f g ≥， 解得1

12

a ≥

，该情况无解；