克罗内克与康托尔--数学的欺骗

克罗内克与康托尔--数学的欺骗

欧几里得几何的核心部分用了很多著名的定义、公理和符号。这个自成体系的数学分支用它的精确和有序启发了一代又一代的数学家。欧几里得广为人知的一个“普遍观念”是：整体大于部分。这个观念历经2000多年都没有受到质疑。

后来，在19世纪70年代早期，一个不知名的数学家开始宣称：对数和数论来说，整体不一定大于它的一部分。这似乎是一个离经叛道的主张，如果它不是由天才而执著的德国年轻人格奥尔格·康托尔提出来，会很容易被人忽略。但它只是康托尔众多震动数学界的断言之一，另一个与这个神秘观念有关的是无穷。

对这个神秘的观念，长期以来，数学家和哲学家们一直关注着，缓慢地取得了一些进展，但始终没有深入。一些人，比如伽利略，主张“从根本上来说，无穷是我们无法理解的”。卡尔·弗里德里希·高斯（Karl Friederich Gauss）写信给另一位数学家说：“我反对把无穷量当作实体来用，数学中从来不允许这样做。无穷仅仅是一个说法而已。”康托尔不仅主张一个实在、具体的无穷概念，还坚持认为有很多种不同规格的无穷，他甚至找到了一种在数学上处理这个观念的方法。

康托尔的工作有多重要？他创造了集合论，这成为拓扑学、分形论和其他很多现代科学的基础。康托尔在集合上的成就所推动数学的进步帮助微积分打下了坚实的基础。将集合论和无穷这两个观念结合起来，他提出了无穷集。这个观念让其他人激动，为很多人开拓了新研究领域，也让他自己陷入了悲喜交加的境地。

康托尔的新数论将影响他那个时代整整一代人，并对他们的数学观念形成挑战。它引发了一场动摇数学根基的批判性的数学内审。另外，它的蕴意和矛盾还会继续影响接下来的几代数学家，直到现在。后来，杰出的德国数学家戴维·希尔伯特形容康托尔的工作为“数学思想中最惊人的成果，纯智力领域中人类活动最完美的实现”。

提出一项新成果，从而面临反对，这并非不寻常的事。但康托尔的遭遇似乎特别严重和不幸。约瑟夫·W·道本可能是美国最重要的康托尔研究者，他把康托

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尔的遭遇与布鲁诺被宗教裁判所施以火刑进行对比。他写道：“现在的数学家没有谁敢尝试从一个封闭的数学世界闯入一个奇异的、复杂的、无限的数学世界。有一个人曾经被烧死在火刑柱上，格奥尔格·康托尔的遭遇没有那么激烈，但他遭受了很多同时代人的审查和抵制。”

这些反对者中，最重要的是利奥波德·克罗内克。他是一位地位颇高、有着极大影响力的数学家。克罗内克曾经是康托尔的老师之一，实际上，在早些时候，他还支持过康托尔的工作，甚至给康托尔的早期论文提过一些建设性的批评。但当康托尔的研究脱离正统时，克罗内克越来越反对康托尔本人和他的研究工作。道本说：在他们的冲突达到顶点时，“克罗内克认为康托尔是一个科学骗子、叛徒、‘败坏青年者’。”

克罗内克

利奥波德·克罗内克1823年生于一个富有的德国犹太家庭，受过良好的早期教育。条件优越的他，只要想学数学，就可以一直学下去。在家乡李格尼茨（Liegnitz，现在是波兰的莱格尼察，Legnica）的学校，他跟恩斯特·爱德华·库墨尔（Ernst Eduard Kummer）学数学，后者后来在算法和几何方面取得了很高成就，并一直是克罗内克的密友。1841年，克罗内克进入当时的世界数学中心柏林大学，跟随当时最优秀的几位数学家学习。他们是：P·G·勒尤恩·狄利赫莱（P.

G. Lejeune Dirichlet）、卡尔·古斯塔夫·雅可比（Carl Gustav Jacobi）和费迪南德·哥特霍尔德·艾森斯坦（Ferdinand Gotthold Eisenstein）。1845年，他获得博士学位。但这时他从数学领域转到了陷入困境的家族商业中，长达10年。这段时间里，他结婚生子，但始终没有间断数学研究工作，虽然仅仅是作为业余爱好。

1855年，他和他的家庭搬到柏林，他才由此开始了职业数学生涯，接下来，他的事业发展很快。

这个时候，德国数学发生了很重要的变化。狄利赫莱在哥廷根大学的请求下，离开了柏林大学，库默尔填补了留下的空缺。在库默尔的推荐下，卡尔·特奥多尔·魏尔斯特拉斯（Karl Theodor Weierstrass）也进入柏林大学任教。魏尔斯特拉斯是一位成功的中学教师，刚刚在方程的幂级数表示法上发表了一篇广受好评的论文。虽然克罗内克还没有成为柏林大学的教员，但他写出了一些水平很高的

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论文，渐长的声誉使他成为位于柏林的皇家科学院的成员，这使他有了在大学讲课的资格。

1866年，哥廷根大学向克罗内克提供了一个很好的职位。但他留恋柏林的幸福生活，拒绝了这个邀请。然而到1883年库默尔退休时，他还是成为了柏林大学的一名教授。不过，从19世纪60年代起，这三位数学家——库默尔，魏尔斯特拉斯和克罗内克——成为支配德国数学界的三巨头，时间超过25年。在柏林科学界，克罗内克尤其活跃。在招募很多国内国外最重要的数学家方面，他扮演了极其重要的角色。这些数学家中，有西尔维斯特和理查德·戴德金（Richard Dedekind）。对于后者，我们将在以后详细讨论。

克罗内克还是几个其他学会的成员。当国内和国外有空缺的数学职位时，有关人员经常会征求他的意见。1880年，他成为奥古斯特·利奥波德·克列尔（August Leopold Crelle）出版的《纯粹与应用数学杂志》（Journal for Pure and Applied Mathematics）的编辑。这本杂志通常简称为《克列尔杂志》（Crelle's Journal），它可能是当时最受尊敬的数学杂志。

克罗内克的成就主要在于他在整合算术、代数和分析学上的努力，以及他在椭圆方程上的贡献。他在代数和数论方面做出了很多改进，也提出了很多新观念和新定理，例如他在无穷级数收敛上的定理。

有趣的是，克罗内克有点特立独行。比如，他相信所有的算术可以建立在整数的基础上。因此，他认为在算术中，分数仅仅是派生出来的，只有充当符号的用途。除了几何和机械之外，他对所有的数学学科进行了分类，但他把代数和分析归入算术一类。因为他相信所有的算术都可以建立在整数的基础上，他认为不仅是分数，无理数和复数也都是错误和虚幻的观念，它们是运用一些错误的数学逻辑得出来的。

于是，当费迪南德·林德曼（Ferdinand Lindemann）写了一篇论文，里面有证明超越数存在的内容时，克罗内克会评论说：“你对数π的漂亮研究有什么用？无论如何无理数根本就不存在，为什么要在这样的问题上费脑子？”他相信最终会找到一个办法重组这些“不自然”的形式，得到一个只包含自然数的更基本的形式。他说过一句漂亮的俏皮话：“上帝创造了整数，所有其他的数都是人造的。”

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