克罗内克与康托尔--数学的欺骗
数学的三次危机——第三次数学危机
三、第三次数学危机数学基础的第三次危机是由1897年的突然冲击而出现的，从整体上看到现在还没有解决到令人满意的程度。
这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。
由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论已经成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。
1897年，福尔蒂揭示了集合论的第一个悖论；两年后，康托发现了很相似的悖论，它们涉及到集合论中的结果。
1902年，罗素发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。
罗素，英国人，哲学家、逻辑学家、数学家。
1902年著述《数学原理》，继而与怀德海合著《数学原理》(1910年～1913年)，把数学归纳为一个公理体系，是划时代的著作之一。
他在很多领域都有大量著作，并于1950年获得诺贝尔文学奖。
他关心社会现象，参加和平运动，开办学校。
1968～1969年出版了他的自传。
罗素悖论曾被以多种形式通俗化，其中最著名的是罗索于1919年给出的，它讲的是某村理发师的困境。
理发师宣布了这样一条原则：他只给不自己刮胡子的人刮胡子。
当人们试图答复下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：“理发师是否可以给自己刮胡子？”如果他给自己刮胡子，那么他就不符合他的原则；如果他不给自己刮胡子，那么他按原则就该为自己刮胡子。
罗素悖论使整个数学大厦动摇了，无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷本末尾写道：“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了。
当本书等待付印的时候，罗素先生的一封信把我就置于这种境地”。
狄德金原来打算把《连续性及无理数》第3版付印，这时也把稿件抽了回来。
发现拓扑学中“不动点原理”的布劳恩也认为自己过去做的工作都是“废话”，声称要放弃不动点原理。
自从在康托的集合论和发现上述矛盾之后，还产生了许多附加的悖论。
集合论的现代悖论与逻辑的几个古代悖论有关系。
康托尔与集合论
Word文档可进行编辑康托尔与集合论康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大得数学家,集合论得创立者.是数学史上最富有想象力,最有争议得人物之一.19世纪末他所从事得关于连续性和无穷得研究从全然上背离了数学中关于无穷得使用和解释得传统,从而引起了激烈得争论乃至严厉得责备.然而数学得进展最终证明康托是正确得.他所创立得集合论被誉为20世纪最伟大得数学制造,集合概念大大扩充了数学得研究领域,给数学结构提供了一个基础,集合论不仅妨碍了现代数学,而且也深深妨碍了现代哲学和逻辑.1．康托尔得生平1845年3月3日,乔治·康托生于俄国得一个丹麦—犹太血统得家庭.1856年康托和他得父母一起迁到德国得法兰克福.像许多优秀得数学家一样,他在中学时期就表现出一种对数学得特别敏感,并不时得出令人惊奇得结论.他得父亲力促他学工,因而康托在1863年带着那个目地进入了柏林大学.这时柏林大学正在形成一个数学教学与研究得中心.康托非常早就向往这所由外尔斯托拉斯占据着得世界数学中心之一.因此在柏林大学,康托受了外尔斯特拉斯得妨碍而转到纯粹得数学.他在1869年取得在哈勒大学任教得资格,不久后就升为副教授,并在1879年被升为正教授.1874年康托在克列勒得《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论得第一篇革命性文章.数学史上一般认为这篇文章得发表标志着集合论得诞生.这篇文章得制造性引起人们得注意.wwWcoM 在以后得研究中,集合论和超限数成为康托研究得主流,他一直在这方面发表论文直到1897年,过度得思维劳累以及强列得外界刺激曾使康托患了精神分裂症.这一难以消除得病根在他后来30多年间一直断断续续妨碍着他得生活.1918年1月6日,康托在哈勒大学得精神病院中去世.2．集合论得背景为了较清晰地了解康托在集合论上得工作,先介绍一下集合论产生得背景.集合论在19世纪诞生得差不多缘故,来自数学分析基础得批判运动.数学分析得进展必定涉及到无穷过程,无穷小和无穷大这些无穷概念.在18世纪,由于无穷概念没有精确得定义,使微积分理论不仅遇到严峻得逻辑困难,而且还使实无穷概念在数学中信誉扫地.19世纪上半叶,柯西给出了极限概念得精确描述.在这基础上建立起连续、导数、微分、积分以及无穷级数得理论.正是这19世纪进展起来得极限理论相当完美得解决了微积分理论所遇到得逻辑困难.然而,柯西并没有完全完成微积分得严密化.柯西思想有一定得模糊性,甚至产生逻辑矛盾.19世纪后期得数学家们发觉使柯西产生逻辑矛盾得咨询题得缘故在奠定微积分基础得极限概念上.严格地讲柯西得极限概念并没有真正地摆脱几何直观,确实地建立在纯粹严密得算术得基础上.因此,许多受分析基础危机妨碍得数学家致力与分析得严格化.在这一过程中,都涉及到对微积分得差不多研究对象─连续函数得描述.在数与连续性得定义中,有涉及关于无限得理论.因此,无限集合在数学上得存在咨询题又被提出来了.这自然也就导致寻求无限集合得理论基础得工作.总之,为寻求微积分完全严密得算术化倾向,成了集合论产生得一个重要缘故.3．集合论得建立康托在柏林大学得导师是外尔斯托拉斯,库曼和克罗内克.库曼教授是数论专家,他以引进理想数并大大推动费马大定理得研究而闻名遐迩是.克罗内克是一位大数学家,当时许多人都以得到他得赞许为荣.外尔斯托拉斯是一位优秀教师也是一位大数学家.他得演讲给数学分析奠定了一个精确而稳定得基础.例如,微积分中闻名得观念确实是他首先引进得.正是由于这些人得妨碍,康托对数论较早产生兴趣,并集中精力对高斯所留下得咨询题作了深入得研究.他得毕业论文确实是关于++=0得素数咨询题得.这是高斯在《算术研究》中提出而未解决得咨询题.这片论文写得相当出色,它足以证明作者具有深刻得洞察力和对优秀思想得继承能力.然而,他得超穷集合论得创立,并没有受惠于早期对数论得研究.相反,他非常快同意了数学家海涅得建议转向了其他领域.海涅鼓舞康托研究一个十分有味,也是较困难得咨询题：任意函数得三角级数得表达式是否唯一?对康托来讲那个咨询题是促使他建立集合论得最直截了当缘故.函数可用三角级数表示,最早是1822年傅立叶提出来得.此后关于间断点得研究,越来越成为分析领域中引人注目得咨询题,从19世纪30年代起,很多杰出得数学家从事着对不连续函数得研究,同时都在一定程度上与集合这一概念挂起了钩.这就为康托最终建立集合论制造了条件.1870年,海涅证明,假如表示一个函数得三角级数在区间[-π,π]中去掉函数间断点得任意小邻域后剩下得部分上是一致收敛得,那么级数是唯一得.至于间断点得函数情况如何,海涅没有解决.康托开始着手解决那个以如此简洁得方式表达得唯一性咨询题.于,他跨出了集合论得第一步.康托一下子就表现出比海涅更强得研究能力.他决定尽可能多地取消限制,所以这会使咨询题本身增加难度.为了给出最有普遍性得解,康托引进了一些新得概念.在其后得三年中,康托先后发表了五篇有关这一题目得文章.1872年当康托将海涅提出得一致收敛得条件减弱为函数具有无穷个间断点得情况时,他差不多将唯一性结果推广到同意例外值是无穷集得情况.康托1872年得论文是从间断点咨询题过度到点集论得极为重要得环节,使无穷点集成为明确得研究对象.集合论里得中心,难点是无穷集合那个概念本身.从希腊时代以来,无穷集合非常自然地引起数学家们和哲学家们得注意.而这种集合得本质以及看来是矛盾得性质,非常难象有穷集合那样来把握它.因此对这种集合得理解没有任何进展.早在中世纪,人们差不多注意到如此得事实：假如从两个同心圆动身画射线,那么射线就在这两个圆得点与点之间建立了一一对应,然而两圆得周长是不一样得.16世纪,伽俐略还举例讲,能够在两个不同长得线段ab与cd之间建立一一对应,从而想象出它们具有同样得点.他又注意到正整数能够和它们得平方构成一一对应,只要使每个正整数同它们得平方对应起来就行了:1234……n……234……n……但这导致无穷大得不同得“数量级”,伽俐略以为这是不可能得因为所有无穷大都一样大.不仅是伽俐略,在康托之前得数学家大多不赞成在无穷集之间使用一一对应得比较手段,因为它将出现部分等于全体得矛盾高斯明确表态：“我反对把一个无穷量当作实体,这在数学中是从来不同意得.无穷只是一种讲话得方式……”柯西也不承认无穷集合得存在.他不能同意部分同整体构成一一对应这件事.所以,潜无穷在一定条件下是便于使用得,但若把它作为无穷观则是片面得.数学得进展表明,只承认潜无穷,否认实无穷是不行得.康托把时刻用到对研究对象得深沉考虑中.他要用事实来讲明咨询题,讲服大伙儿.康托认为,一个无穷集合能够和它得部分构成一一对应不是什么坏事,它恰恰反应了无穷集合得一个本质特征.对康托来讲,假如一个集合能够和它得一部分构成一一对应,它确实是无穷得.它定义了基数,可数集合等概念.同时证明了实数集是不可数得代数数是可数得康托最初得证明发表在1874年得一篇题为《关于全体实代数数得特征》得文章中,它标志着集合论得诞生.随着实数不可数性质得确立,康托又提出一个新得,更大胆得咨询题.1874年,他考虑了能否建立平面上得点和直线上得点之间得一一对应.从直观上讲,平面上得点显然要比线上得点要多得多.康托自己起初也是如此认识得.但三年后,康托宣布：不仅平面和直线之间能够建立一一对应,而且一般得n维连续空间也能够建立一一对应！这一结果是出人意外得.就连康托本人也觉得“简直不能相信”.然而这又是明摆着得事实,它讲明直观是靠不住得,只有靠理性才能发觉真理,幸免谬误.既然n维连续空间与一维连续统具有相同得基数,因此,康托在1879到1884年间集中于线性连续统得研究,相继发表了六篇系列文章,汇合成《关于无穷得线性点集》.前四篇直截了当建立了集合论得一些重要结果,包括集合论在函数论等方面得应用.其中第五篇发表于1883年,它得篇幅最长,内容也最丰富.它不仅超出了线性点集得研究范围,而且给出了超穷数得一个完全一般得理论,其中借助良序集得序型引进了超穷序数得整个谱系.同时还专门讨论了由集合论产生得哲学咨询题,包括回答反对者们对康托所采取得实无穷立场得非难.这篇文章对康托是极为重要得.1883年,康托将它以《集合论基础》为题作为专著单独出版.《集合论基础》得出版,是康托数学研究得里程碑.其要紧成果是引进了作为自然数系得独立和系统扩充得超穷数.康托清醒地认识到,他如此做是一种大胆得冒进.“我非常了解如此做将使我自己处于某种与数学中关于无穷和自然数性质得传统观念相对立得地位,但我深信,超穷数终将被承认是对数概念最简单、最适当和最自然得扩充.”《集合论基础》是康托关于早期集合理论得系统阐述,也是他将做出具有深远妨碍得特别贡献得开端.康托于1895年和1897年先后发表了两篇对超限数理论具有决定意义得论文.在该文中,他改变了早期用公理定义(序)数得方法,采纳集合作为差不多概念.他给出了超限基数和超限序数得定义,引进了它们得符号；依势得大小把它们排成一个“序列”；规定了它们得加法,乘法和乘方…….到此为止,康托所能做得关于超限基数和超限序数理论已臻于完成.然而集合论得内在矛盾开始暴露出来.康托自己首先发觉了集合论得内在矛盾.他在1895年得文章中遗留下两个悬而未决得咨询题：一个是连续统假讲；另一个是所有超穷基数得可比较性.他尽管认为无穷基数有最小数而没有最大数,但没有明显叙述其矛盾之处.一直到1903年罗素发表了他得闻名悖论.集合论得内在矛盾才突出出来,成为20世纪集合论和数学基础研究得动身点.4．对康托集合论得不同评价康托得集合论是数学上最具有革命性得理论.他处理了数学上最棘手得对象---无穷集合.因此,他得进展道路也自然非常不平坦.他抛弃了一切经验和直观,用完全得理论来论证,因此他所得出得结论既高度地另人吃惊,难以置信,又确确实实,毋庸置疑.数学史上没有比康托更大胆得设想和采取得步骤了.因此,它不可幸免地遭到了传统思想得反对.19世纪被普遍承认得关于存在性得证明是构造性得.你要证明什么东西存在,那就要具体造出来.因此,人只能从具体得数或形动身,一步一步通过有限多步得出结论来.至于“无穷”,许多人更是认为它是一个超乎于人得能力所能认识得世界,不要讲去数它,确实是它是否存在也难以确信,而康托难道“漫无边际地”去数它,去比较它们得大小,去设想没有最大基数得无穷集合得存在……这自然遭到反对和斥责.集合论最激烈得反对者是克罗内克,他认为只有他研究得数论及代数才最可靠.因为自然数是上帝制造得,其余得是人得工作.他对康托得研究对象和论证手段都表示强烈得反对.由于柏林是当时得数学中心,克罗内克又是柏林学派得首领人物,因此他对康托及其集合论得进展前途得阻碍作用是特别大得.另一位德国得知觉主义者魏尔认为,康托把无穷分成等级是雾上之雾.法国数学界得权威人物庞加莱曾预言：我们得“后一代将把（康托得）集合论当作一种疾病”等等.由于两千年来无穷概念数学带来得困难,也由于反对派得权威地位,康托得成就不仅没有得到应有得评价,反而受到排斥.1891年,克罗内克去世之后,康托得处境开始好转.另一方面,许多大数学家支持康托得集合论.除了狄德金以外,瑞典得数学家米大格---列夫勒在自己创办得国际性数学杂志上把康托得集合论得论文用法文转载,从而大大促进了集合论在国际上得传播.1897年在第一次国际数学家大会上,霍尔维次在对解析函数得最新进展进行概括时,就对康托得集合论得贡献进行了阐述.三年后得第二次国际数学大会上,为了捍卫集合论而勇敢战斗得希尔伯特又进一步强调了康托工作得重要性.他把连续统假设列为20世纪初有待解决得23个要紧数学咨询题之首.希尔伯特宣称:“没有人能把我们从康托为我们制造得乐园中驱逐出去.”专门自1901年勒贝格积分产生以及勒贝格得测度理论充实了集合论之后,集合论得到了公认,康托得工作获得崇高得评价.当第三次国际数学大会于1904年召开时,“现代数学不能没有集合论”已成为大伙儿得看法.康托得声望差不多得到举世公认.5．集合论得意义集合论是现代数学中重要得基础理论.它得概念和方法差不多渗透到代数、拓扑和分析等许多数学分支以及物理学和质点力学等一些自然科学部门,为这些学科提供了奠基得方法,改变了这些学科得面貌.几乎能够讲,假如没有集合论得观点,非常难对现代数学获得一个深刻得理解.因此集合论得创立不仅对数学基础得研究有重要意义,而且对现代数学得进展也有深远得妨碍.康托一生受过磨难.他以及其集合论受到粗暴攻击长达十年.康托虽曾一度对数学失去兴趣,而转向哲学、文学,但始终不能放弃集合论.康托能不顾众多数学家、哲学家甚至神学家得反对,坚决地捍卫超穷集合论,与他得科学家气质和性格是分不开得.康托得个性形成在非常大程度上受到他父亲得妨碍.他得父亲乔治·瓦尔德玛·康托在福音派新教得妨碍下成长起来.是一位精明得商人,明智且有天份.他得那种深笃得宗教信仰强烈得使命感始终带给他以勇气和信心.正是这种坚决、乐观得信念使康托义无返顾地走向数学家之路并真正取得了成功.今天集合论已成为整个数学大厦得基础,康托也因此成为世纪之交得最伟大得数学家之一.。
世纪之交最伟大的数学家——集合统帅康托尔
康托尔提起“集合”，除了像“集合起来搞事情”的意思，作为名词，上过高中的小伙伴们可能都还记得，这是高中数学最开始学的知识。
内容不多，原理也比较简单，更是高考数学的送分题（做对了送分，做不对送命）。
不过大家可能对集合背后的这个神秘男子不太了解，今天浪子老师就给大家扒一扒“集合论”的创始人：康托尔大神和他的传奇故事。
1.天才求学康托尔（Georg Ferdinand Philip Cantor，1845～1918），德国数学家，集合论的创始者，与其他天才一样，还在幼年时代，康托尔就表现出对数学的强烈兴趣。
1862年，17岁的康托尔离开双亲，考入瑞士苏黎世大学，第二年转入柏林大学，兴趣开始转移到纯数学方面。
于1868年以数论方面的论文获博士学位，1869年进入哈勒大学担任讲师，之后发表多篇论文，1879年成为哈勒大学的教授……巴拉巴拉等，反正都是些数学家的正常操作。
2.集合论诞生康托尔的研究主要是在无穷集合领域，无穷这个东西，看不见摸不着，也数不过来，到底能不能拿来计算，怎么个用法，大家争论很大。
因此大多数数学家，包括像高斯、柯西这样的大数学家，只好对无穷集合采取避而远之的态度。
但是老康却把无穷当作了自己的珍爱，他夜以继日地苦读、研究、计算、论证。
最终，康托尔得出了许多惊人的结论，起初他都不敢相信自己的眼睛，他说，“我见到了，但我不相信。
”按照康托尔研究的理论，下述观点是完全正确的——1厘米长的线段内的点，和太平洋内的点，和地球内部的点竟是“一样多”！这种整体等价于局部的理论，在世人眼里，就好比郭敬明和姚明同时站在你面前，你非得说他俩一样高。
但是天才就是天才，在进行了严密的论证后，他证明了郭敬明和姚明一样高，不对，是发现自己的理论无懈可击。
这样，在1874年，年仅29岁的康托尔在《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性论文。
这篇论文的发表，标志着集合的诞生。
当时老康估计像这张照片上一样，意气风发，帅的掉渣。
希尔伯特旅馆悖论
希尔伯特旅馆悖论带你走进一个不一样的数学世界牛顿的无限而又静止的宇宙引起不少佯谬，比如之前所介绍的夜黑佯谬。
当这些宇宙是否无穷的问题令物理学家们头疼的年代，数学家们却正在欣赏“无穷”的美妙。
古代与中世纪哲学著作中记载过关于无限的思想。
公元前1000年左右的印度梵文书中说：“如果你从无限中移走或添加一部分，剩下的还是无限。
”不久前才发现并解读的古希腊羊皮书中的记载表明，古希腊的阿基米德就已经进行了有关无穷大的计算。
康托1874年在他有关集合论的第一篇论文中提出的“无穷集合”概念，引起数学界的极大关注，震撼了学术界。
康托并且导出了关于数的本质的新的思想模式，建立了处理数学中的无限的基本技巧，因此，希尔伯特说：“没有人能够把我们从康托尔建立的乐园中赶出去。
”为了更好地解释无限集合与有限集合的区别，希尔伯特在他1924年1月的一次演讲中，举了一个有趣的具有无穷多个房间的“希尔伯特旅馆”的例子，下面是根据希尔伯特的说法编出来的故事。
鲍勃是芝加哥大学的学生，圣诞节快到了，他从芝加哥开车回家到波士顿。
原来计划一天开到的，傍晚8点左右，鲍勃感觉太累了，还得开4小时左右才能到达呢。
于是，鲍勃来到纽约州一个小镇，决定找个旅馆住一晚再说。
不过不知道为什么，今天这个小镇上好像特别热闹，镇上大大小小的旅馆都给住满了。
鲍勃正要发动汽车上高速公路去下一个地点找住处，却被一条醒目的广告吸引住了：“已经客满，但永远接受新客人，因为我们是希尔伯特无限旅馆！”鲍勃看不懂这句话是什么意思，但既然这个旅馆还可以接受新客人，就去试试吧。
旅馆经理很高兴地为鲍勃办理了入住手续，将他安排在1号房间。
鲍勃很好奇地问经理：“不是客满了吗？为什么1号又是空的呢？”于是，经理兴致勃勃地向鲍勃解释他的这个“希尔伯特无限旅馆”。
希尔伯特旅馆与别的旅馆不同的地方是：它的房间数目是无限多。
其他的旅馆如果客满了，那就再也不能接受新客人了。
可房间数目无限多的旅馆不一样，“客满”不等于“不能接受新客人”！鲍勃瞪大眼睛，似懂非懂。
伟大的康托尔与集合论
简介集合论或集论是研究集合（由一堆抽象物件构成的整体)的数学理论,包含集合、元素和成员关系等最基本数学概念。
在大多数现代数学的公式化中,集合论提供了要如何描述数学物件的语言.集合论和逻辑与一阶逻辑共同构成了数学的公理化基础，以未定义的“集合”与“集合成员”等术语来形式化地建构数学物件.在朴素集合论中，集合是被当做一堆物件构成的整体之类的自证概念。
在公理化集合论中，集合和集合成员并不直接被定义，而是先规范可以描述其性质的一些公理。
在此一想法之下，集合和集合成员是有如在欧式几何中的点和线，而不被直接定义。
对集合论的异议一开始，有些数学家拒绝将集合论当做数学的基础，认为这只是一场含有奇幻元素的游戏。
埃里特·比修普驳斥集合论是“上帝的数学,应该留给上帝"。
而且，路德维希·维特根斯坦特别对无限的操作有疑问，这也和策梅罗—弗兰克尔集合论有关。
维特根斯坦对于数学基础的观点曾被保罗·贝奈斯所批评，且被克里斯平·赖特等人密切研究过. 对集合论最常见的反对意见来自结构主义者，他们认为数学是和计算些微相关着的，但朴素集合论却加入了非计算性的元素。
拓朴斯理论曾被认为是传统公理化集合论的另一种选择。
拓朴斯理论可以被用来解译各种集合集的替代方案,如结构主义、模糊集合论、有限集合论和可计算集合论等。
集合论（Set theory)作用按现代数学观点，数学各分支的研究对象或者本身是带有某种特定结构的集合如群、环、拓扑空间，或者是可以通过集合来定义的（如自然数、实数、函数）。
从这个意义上说，集合论可以说是整个现代数学的基础.历史集合论作为数学中最富创造性的伟大成果之一,是在19世纪末由德国的康托尔（1845－1918）创立起来的。
但是，它萌发、孕育的历史却源远流长，至少可以追溯到两千多年前.无穷集合的早期研究概念集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论。
集合作为数学中最原始的概念之一，通常是指按照某种特征或规律结合起来的事物的总体。
格奥尔格·康托尔简介
格奥尔格·康托尔简介康托尔（Georg Cantor，1845-1918，德）德国数学家，集合论的创始者。
1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。
其父为迁居俄国的丹麦商人。
康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。
1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于E.E.库默尔、K.（T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内克。
1866年曾去格丁根学习一学期。
1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。
1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。
大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和数学分析感兴趣。
哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。
他于1870、1871、1872年发表三篇关于三角级数的论文。
在1872年的论文中提出了以基本序列（即柯西序列）定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集合的分类准则。
函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴趣和要求。
1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金，此后时常往来并通信讨论。
1873年他估计，虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应，但全体正实数似乎不能。
他在1874年的论文《关于一切实代数数的一个性质》中证明了他的估计，并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应，这就证明了超越数是存在的而且有无穷多。
在这篇论文中，他用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则。
在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷?从1874年初起,康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。
经过三年多的探索，论文于1878年发表后引起了很大的怀疑。
P.D.G.杜布瓦－雷蒙和克罗内克都反对，而戴德金早在1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系，而不能有连续的一一对应。
最杰出的26位数学家及其主要成就
最杰出的26位数学家及其主要成就卡尔-弗里德里希-高斯（Karl Friedrich Gauss）卡尔-弗里德里希-高斯被认为是历史上最伟大的三位数学家中的第一位。
他因仅用圆规和尺子就构建了一个有17个边的正多边形而闻名。
他的结论是，任何边数等于费马素数的多边形都可以被构造出来（仅用圆规和尺子）。
•前4个费马数是素数，4294967297 = 641 × 6700417高斯还发展了模数符号，发现了代数基本定理，计算了谷神星的轨道以及关于电磁学和大地测量学的各种成就。
不幸的是，由于害怕被否定，他从未发表过关于非欧几里德几何的思想。
对于许多数学家来说，他被认为是庞加莱之前的最后一个“系统型人才”。
艾萨克-牛顿（Isaac Newton）艾萨克-牛顿是历史上三个最伟大的数学家中的第二位。
他还是物理学家、天文学家、神学家和作家，也是最有影响力的科学家之一。
他是被称为启蒙运动的哲学革命的关键人物。
他的著作《自然哲学的数学原理》于1687年首次出版，建立了经典力学。
牛顿还对光学做出了开创性的贡献，并与德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨共同发现了微积分。
阿基米德（Archimedes）阿基米德是历史上三位最伟大的数学家中的第三位。
他是希腊语数学家、物理学家、工程师、天文学家和发明家。
虽然他的生平鲜为人知，但他被认为是古代历史上最伟大的数学家，阿基米德通过应用无穷小的概念和穷举法来推导和严格证明一系列几何学，从而奠定了现代微积分和分析的基础。
莱昂纳德-欧拉（Leonhard Euler）莱昂哈德·欧拉是瑞士数学家、物理学家、天文学家、地理学家、逻辑学家和工程师。
他创立了图论和拓扑学的研究，并在解析数论、复分析和微积分等数学的许多分支中做出了开拓性的发现。
他引入了许多现代数学术语和符号，包括数学函数的概念。
他还以其在力学、流体动力学、光学、天文学和音乐理论方面的研究而闻名。
数学家康托尔
格奥尔格·康托尔格奥尔格·费迪南德·路德维希·菲利普·康托尔（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor，1845年3月3日－1918年1月6日），出生于俄国的德国数学家（波罗的海德国人）。
创立了现代集合论作为实数理论以至整个微积分理论体系的基础。
他还提出了集合的势和序的概念。
由于研究成果得不到认可，并受到以利奥波德·克罗内克为首的众多数学家的长期攻击，患抑郁症，最后精神失常。
自1869年任职于哈勒大学，直到1918年，在德国哈勒大学附属精神病院去世。
当代数学家绝大多数接受康托尔的理论，并认为这是数学史上一次重要的变革。
大卫·希尔伯特说：“没有人能够把我们从康托尔建立的乐园中赶出去。
”康托尔出生于俄国圣彼得堡，他的父亲是丹麦商人，母亲是俄国音乐家。
1856年他们全家搬到德国，康托尔在德语学校继续学业，1867年他于柏林大学获得博士学位。
康托尔提出了通过一一对应的方法对无限集合的大小进行比较，并将能够彼此建立一一对应的集合称为等势，即可以被认为是“一样大”的。
他引入了可数无穷的概念，用来指与自然数集合等势的集合，并证明了有理数集合是可数无穷，而实数集合不是可数无穷，这表明无穷集合的确存在着不同的大小，他称与实数等势（从而不是可数无穷）的集合为不可数无穷。
原始证明发表于1874年，这个证明使用了较为复杂的归纳反证法。
1891年他用对角线法重新证明了这个定理。
另外，他证明了代数数集合是可数集，以及n维空间与一维空间之间存在一一对应。
在上述理论的基础上，康托尔又系统地研究了序数理论，提出了良序原理，即可以给任何集合内的所有元素定义一个大小关系，使得任意两个元素都可以比较大小，且该集合的任意子集都有最小元素。
康托尔晚年致力于证明他自己提出的连续统假设，即任意实数的无穷集合或者是可数无穷或者是不可数无穷，二者必居其一，但没有成功。
康托尔生平简介
康托尔(1845-1918) （德国）德国数学家，19世纪数学伟大成就之一集合论的创始者,集合论已被公认为是全部数学的基础 。
17岁时入瑞士苏黎世大学,后转入柏林大学,主修数学，从学于库默尔,维尔斯特拉斯和克罗内克。
23岁在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。
1874年康托尔的有关无穷的概念，震撼了知识界。
康托凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质新的思想模式，建立了处理数学中的无限的基本技巧，从而极大地推动了分析与逻辑的发展。
他研究数论和用三角函数唯一地表示函数等问题，发现了惊人的结果：证明有理数是可列的，而全体实数是不可列的。
由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为 “ 悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。
在1874 - 1876年期间，他成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。
这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都 “ 一样多 ” ，后来几年，康托对这类 “ 无穷集合 ” 问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论。
康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突, 遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂。
有人说，康托的集合论是一种 “ 疾病 ” ，甚至说康托是 “ 疯子 ” 。
来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。
他在集合论方面许多非常出色的成果，都是在精神病发作的间歇时期获得的。
真金不怕火炼，康托的思想终于大放光彩。
1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托的工作 “ 可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。
” 可是这时康托仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。
1918年1月6日，康托在一家精神病院去世。
人教版高中数学必修1数学视野：为数学而疯的康托尔
数学视野——为数学而疯的康托尔康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家，集合论的创立者，是数学史上最富有想象力，最有争议的人物之一．他对数学的贡献是集合论和超穷数理论．年轻的康托尔在27岁的时候，就在数学上表现出优秀的数学天赋，他用有理数列构造实数R，在数学发展历史上，这是“前无古人”的创意．无穷理论的研究，在当时一直是一个世界性的难题，由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度．从1874年开始，康托尔向神秘的“无穷”宣战，他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应．这样看起来，1 厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”．后来几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论．然而，康托尔在学术上的成就，在最开始，并没有得到同行的认可，尤其是当时欧洲最杰出的数学家之一，也是他的老师——克罗内克，早已流露过不满．1877年，康托尔将发现“所有连续的直线、平面或曲面都是相同等级的无穷”的论文，又投给了《克列尔杂志》．本来，杂志编辑同意发表，但克罗内克一再阻止，导致发表的时间拖到了第二年．这个敏感而卑微的年轻人，面对权威的批评毫无回击之力，加上年轻的康托尔自己过激冲动的情绪．39岁的康托尔，经历了人生第一次精神崩溃，使康托尔曾一度患精神分裂症，被送进精神病诊所．由于生性容易激动，这不仅加剧了他的病情，也让他失去了不少朋友．在康托尔的余生中，多次遭受不同程度的精神崩溃．他不得不一次次出入精神病院．然而，这位伟大的数学家并没有因为自己患病而放弃对数学的探索，在精神状态好的时候，他完成了关于无穷理论的最好的那部分工作．都说，真金不怕火炼，是金子总会发光的，在1897 年举行的第一次国际数学家会议上，康托尔的思想终于大放光彩，他的成就得到承认．伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”．希尔伯特(Hilbert David，1862.1.23-1943.2.14)高度赞誉康托尔的集合论“是数学天才最优秀的作品”，“是人类纯粹智力活动的最高成就之一”．在1900年第二届国际数学家大会上，希尔伯特高度评价了康托尔工作的重要性，并把康托尔的连续统假设列入20世纪初有待解决的23个重要数学问题之首．当康托尔的朴素集合论出现一系列悖论时，克罗内克的后继者布劳威尔（1881.2.27－1966.12.2）等人借此大做文章，希尔伯特用坚定的语言向他的同代人宣布：“没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来”．康托尔在数学上的功绩，以及敢于向无穷大冒险迈进的精神，不仅在当时影响引起巨大的反响，为如今数学理论的发展，做出了不朽的贡献．。
康托尔悖论
康托尔悖论“康托尔悖论”是哥德巴赫猜想的一种特殊情况。
“康托尔悖论”主要内容：设n， k≥2。
如果对于任意的n， k ≥1，则（ 1）若存在不小于n且不大于k的自然数x， y，则对于任意的(x， y)，总有c∈n(x， y)≥0，（ 2）若存在不小于n且不大于k的自然数x， y，使得c∈n(x， y)≥0，则必存在不大于n且不小于k的自然数z，使得x+z≥k。
也就是说，（ 1） x=k-1，（ 2）x=k+1。
在猜想被证明之前，人们习惯将它称为“无解之谜”。
我认为，“康托尔悖论”是一个伪命题。
“康托尔悖论”又称“魔鬼之谜”。
一些研究数学家认为，“康托尔悖论”本身不是悖论，而是一个错误的观点。
但事实上，“康托尔悖论”只是对一类数学问题研究方式的一种限制。
从某种意义上讲，它更像是一个带有语言陷阱的悖论。
比如说，有些问题只能用相应的“解答”而不能用其他解答。
或者说，有些问题需要“定理”而没有“定义”。
对此，我认为，应该首先做到两点：第一，证明问题中的每一步都是合理的，而不是仅仅依靠最后的结论。
第二，先写出正确的结论，再找到它所需要的条件，然后用逻辑推理和证明的方式得出这个结论。
第二种看法：“康托尔悖论”，本质上是一种伪命题。
也就是说，它是一个思维陷阱。
即，它考察了正方形边长的“无限”这个假设的可能性，却忽略了正方形边长有无限多种可能的现实性。
因为一个人的思维具有一定的局限性，我们不能够考虑所有的事情。
我们要关注的只是那些能够解决问题的事物，那些对问题的解决有利的因素。
另外，在有些时候，我们会把某些不切实际的，违背科学发展规律的东西强加给事物。
“康托尔悖论”就属于这一类。
由于缺乏逻辑推理，所以当我们考虑问题的时候，常常犯这样的错误。
“康托尔悖论”可以有两种解决办法：第一种，只证明“康托尔悖论”的“第一种”，而不考虑“康托尔悖论”的“第二种”，这也就是我们所说的，只有一个版本的“康托尔悖论”。
当然，这种看法，并不是没有争议的。
康托尔悖论
康托尔悖论“康托尔悖论”是一个有名的悖论，悖论内容如下： 1、在物理学中，某些自然界实验被看作是无法解释的奇迹，但他们能够成功地加以控制。
我们认为这种超常行为与那些有能力操纵我们观察者的大脑的人没有什么关系。
2、很多古怪事情正在发生，有一些无法解释，例如彩虹和双彩虹的出现。
即使把这些事件与不知名的量子力学联系起来也是令人难以置信的，而且他们会回到各自的极端分支上去。
牛顿因受“康托尔悖论”的启发，想到了质点。
“康托尔悖论”对牛顿产生了深刻的影响，并启发了牛顿从事数学研究，他从“康托尔悖论”中获得的最主要的灵感，就是有关“质点”的思想。
1、哥白尼提出日心体系，人类进入太空时代。
如果你站在地球上观测，太阳位于天空中央，光线照亮了地球；如果你坐在飞船里向太阳飞去，飞船的一面永远对着太阳，另一面永远背向太阳。
不管怎样，地球总是倾斜的。
牛顿提出万有引力定律后，发现地球运动速度与太阳速度一致。
2、 20世纪60年代，量子理论横空出世，颠覆了牛顿力学的绝对时空观念。
3、因为量子力学有粒子数守恒，爱因斯坦的相对论被否定，爱因斯坦晚年忧郁，这个理论解释不了，地球为什么总是倾斜的？哥白尼想到了日心说，那么在牛顿力学体系下地球是否也应该是倾斜的呢？地球处于两个引力源之间，两个引力源相互吸引，其中一个离开，引力变小，所以看上去地球是倾斜的。
如果一个更靠近地球的星球，比如太阳，它在膨胀，那么在它附近，包括地球，都会看到地球向着太阳移动。
从此太阳系天体由自转变成公转，时间也由自转变成公转。
万有引力从地球绕太阳转变成太阳绕地球转。
4、公元1707年，丹麦天文学家第谷提出著名的哥白尼日心说，提出太阳位于宇宙中心。
地球围绕太阳运转。
一千多年来，人们接受了这一日心说，对自然科学产生巨大的影响。
这就是有名的“康托尔悖论”。
4、用“对应法则”来说明这一现象，牛顿的万有引力定律是对整个宇宙，而不是地球或者太阳。
一个天体发生爆炸，不可能炸毁所有的天体，只会摧毁距离它较近的天体。
克罗内克定理二维形式
克罗内克定理二维形式摘要：一、克罗内克定理简介1.克罗内克定理的提出背景2.克罗内克定理的基本内容二、克罗内克定理二维形式1.二维克罗内克定理的概念2.二维克罗内克定理的证明方法3.二维克罗内克定理的应用领域三、克罗内克定理与其他数学理论的联系1.克罗内克定理与素数分布的关系2.克罗内克定理与黎曼假设的联系正文：克罗内克定理是数论中一个非常重要的定理，它为我们研究整数分割问题提供了一个基本方法。
克罗内克定理的提出者是德国数学家利奥波德·克罗内克，他在19世纪末通过引入一种新的数学工具——模形式，成功地解决了高斯提出的素数分布问题。
克罗内克定理的基本内容是：对于任意正整数n，若a、b是整数，那么存在整数x、y使得ax + by = n的解的个数与模n的剩余系中元素的个数相同。
换言之，对于任意整数n，整数a、b的整数解的个数与模n的剩余系中元素的个数相同。
克罗内克定理二维形式是克罗内克定理在二维空间中的推广。
在二维空间中，我们考虑点(x, y)满足ax + by = n的形式。
克罗内克定理二维形式表明，对于任意正整数n，若a、b是整数，那么存在整数x、y使得ax + by = n的解的个数与模n的剩余系中元素的个数相同。
在证明克罗内克定理二维形式时，我们通常采用代数的方法，例如利用模形式、伽罗华理论等数学工具。
此外，二维克罗内克定理在许多领域都有广泛的应用，如计算机科学、密码学、编码理论等。
克罗内克定理与其他数学理论之间也存在着紧密的联系。
例如，克罗内克定理与素数分布问题有关，它为我们研究素数在整数中的分布规律提供了一种方法。
同时，克罗内克定理也与黎曼假设有关，黎曼假设是数论中的一个著名未解决问题，它涉及到素数分布的规律。
克罗内克定理为我们提供了一种从另一个角度研究黎曼假设的方法。
康托尔集合论-罗素悖论-公理化集合论-不完全性定理
康托尔集合论-罗素悖论-公理化集合论-不完全性定理康托尔集合论-罗素悖论-公理化集合论-不完全性定理1. 第⼆次数学危机的解决---集合论成了全部数学的基础。
(第⼆次数学危机详细见参考中三次数学危机.)19世纪，柯西详细⽽有系统地发展了极限理论。
柯西认为把⽆穷⼩量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发⽣⽭盾。
⽆穷⼩量应该是要怎样⼩就怎样⼩的量，因此本质上它是变量，⽽且是以零为极限的量，⾄此柯西澄清了前⼈的⽆穷⼩的概念，另外Weistrass创⽴了 极限理论，19世纪70年代初，外尔斯特拉斯、狄德⾦、康托等⼈独⽴地建⽴了实数理论，⽽且在实数理论的基础上，建⽴起极限论的基本定理.从⽽把⽆穷⼩量从形⽽上学的束缚中解放出来，第⼆次数学危机基本解决。
从⽽使数学分析建⽴在实数理论的严格基础之上。
⽽严密的实数理论可以由集合论推出。
集合论是19世纪70-80年代由德国数学家康托尔创⽴，它建⽴在⼀种⽆限观——“实⽆限”的基础上。
所谓“实⽆限”，即把“⽆限”作为⼀个已经完成了的观念实体来看待。
例如，在集合论中⽤N={n：n是⾃然数}表⽰全体⾃然数的集合就是如此。
需要指出的是，在此之前的⼏千年数学发展史中，占主导地位的是另⼀种⽆限观，即古希腊哲学家亚⾥⼠多德所主张的“潜⽆限”观念。
所谓“潜⽆限”，是把“⽆限”作为⼀个不断发展着的、⼜永远⽆法完成的过程来看待。
例如，把⾃然数看成⼀个不断延伸的⽆穷⽆尽的序列1，2，3，…，n，…就是如此。
集合论是数学观念和数学⽅法上的⼀次⾰命性变⾰，由于它在解释旧的数学理论和发展新的数学理论⽅⾯都极为⽅便，因⽽逐渐为许多数学家所接受。
实数理论奠定在集合论的基础上，⽽且各种复杂的数学概念都可以⽤“集合”概念定义出来，⽽各种数学理论⼜都可以“嵌⼊”集合论之内。
因此，集合论就成了全部数学的基础，⽽且有⼒地促进了各个数学分⽀的发展。
现代数学⼏乎所有的分⽀都会⽤到集合这个概念。
2. 康托尔集合论(现在有⼈也称之为朴素集合论)⾯料挑战.从康托尔创⽴了数学领域中的“集合论”，⽤集合论中的观点来诠释各个数学概念之间的逻辑关系，真可谓是“天⾐⽆缝”。
集合论创始人康托尔简介
集合论创始人康托尔简介康托尔生平简介康托尔是世界上著名的数学家，他出生于1845年，在1918去世。
他是集合论和超穷数理论的创始人，他的成就改变了世界上人们对于数学研究的趋势，解决了长期以来数学家都难以解决的问题。
下面来看康托尔简介：康托尔是德国数学家，但是他的出生地并不在德国，因为他生于在俄国列宁格勒，也就是现在俄罗斯的圣彼得堡。
他是犹太人，他的父亲是一名除恶色的犹太血统的丹麦商人，而母亲也出身高贵，她出身于艺术世家。
康托尔学习成绩优异，所以才会进入著名的德国柏林大学攻读数学和神学。
他的导师是库默尔、维尔斯特拉斯和克罗内克，这几个人都是当时非常著名的人物，在学术上有很高的成就。
从康托尔简介中了解，康托尔在早期数学方面的兴趣并不是他最大的成就，而是数论。
后来康托尔受到了魏尔斯特拉斯的直接影响，所以他的研究方向开始转变，从数论转向严格的分析理论的研究，由于他才能出众，思维方式独特，所以不久就崭露头角。
在后来的研究中康托尔更进一步，将自己的研究进行总结，最终形成了自己的数学理论。
这是当时最伟大的数学成就，因为他总结出了集合论和超穷数理论，这在当时的数学界和神学界引起了极为巨大的反响。
但是康托尔的数学理论当时受到了人们的反对和打击，这一度导致他精神失常，虽然后来经过治疗好转，但是一直被病魔缠身，最终病逝。
康托尔的成就康托尔是德国著名的数学家，他对数学的贡献是无以伦比的，康托尔的成就是集合论和超穷数理论。
这两项理论成为当时世界上最为重要的数学理论，为当时的很多数学家提供了指导，促进了整个数学的发展。
康托尔的成就之一就是集合论，康托尔在寻找函数展开为三角级数表示的唯一性判别准则的研究中发现了不一样，经过他长期的研究终于认识到无穷集合的重要性，于是他就开始了对无穷集合的理论研究。
康托尔为了将有穷集合的元素个数概念推广到无穷集合，他开始使用一一对应的原则，最终提出了超前的集合等价概念。
这是他集合论的原始版本，后来经过他多年的潜心研究，再加上新的理论丰富，他形成了自己的集合论。
悖论、否定式定义与与康托无最大基数定理
二罗素型悖论与康托无最大基数定理山东枣庄二中赵录(emall：****************)先看三条悖论。
一、罗素悖论【注一】1902年6月罗素写信给弗雷格告诉他这样一个悖论。
集合可分为两类：一类是集合A是它本身的元素，即A∈A（本身分子集），如“一切概念的集合”，它本身也是一个概念，它也属于这个集合，“一切集合”也是一个分子集。
第二类是非本身分子集。
试问“一切非本身分子集构成的集合W是哪一种集合”，则得到一个悖论，显见W∈W，当且仅当W W，构成悖论。
二、说谎者悖论。
这虽最古老、最重要的悖论之一。
是语义学悖论中最重要的一个。
这个悖论依欧布里德的叙述形式可以通俗的表示为：“我现在所说的这句话是假的”。
由这句话的真可以推出其为假，由其假又可以推出其为真，矛盾。
美籍波兰数学家逻辑学家A·塔斯基在关于语义学悖论的研究中，对此悖论作了现代形式的严格表述，他首先提出命题真理性定义的T原则：(T)x是真的，当且仅当，P。
(其中P是任意一命题的名称。
)按T原则说谎者悖论可严格表示为：1．命题C：“C不是真的”由T原则有：2．“C不是真的”是真的，当且仅当C不是真的。
3．C是真的，当且仅当C不是真的，矛盾。
这个悖论是用最简单的笔法用一句话构成的悖论――“一步即成奇异的循环”。
所以这个悖论具有最“纯粹”形态的悖论。
它在各个时代以各种不同的方式一再出现，并引起人们经常注意，能解决它，就会随着解决了一切其他悖论。
至今各种解决悖论的方案仍然难于跳出这个由“对立面结合”所形成的“奇异的循环。
”三、理发师悖论。
罗素在二十世纪初提出重要的“罗素悖论”之后，于1916年构造了下列关于“罗素悖论”的通俗提法，称为“理发师悖论”：萨维尔村里的理发师，给自己立了一条店规：他只给村子里自己不刮脸的人刮脸。
于是村子里的人分为两类：一类是自己刮脸的人，另一类是自己不刮脸的人。
村子里的每个人必属于且仅属于其中一类。
可理发师也是这个村的人，他自己应属于哪一类，他该不该给自己刮脸？理发师属于哪一类，当且仅当他不属于这一类，这个矛盾构成“理发师悖论”。
康托尔
康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家，集合论的创立者。
是数学史上最富有想象力，最有争议的人物之一。
19世纪末他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统，从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责。
然而数学的发展最终证明康托是正确的。
他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，集合概念大大扩充了数学的研究领域，给数学结构提供了一个基础，集合论不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑。
康托尔的生平1845年3月3日，乔治·康托尔生于俄国的一个丹麦—犹太血统的家庭。
1856年康托和他的父母一起迁到德国的法兰克福。
像许多优秀的数学家一样，他在中学阶段就表现出一种对数学的特殊敏感，并不时得出令人惊奇的结论。
他的父亲力促他学工，因而康托在1863年带着这个目地进入了柏林大学。
这时柏林大学正在形成一个数学教学与研究的中心。
康托很早就向往这所由外尔斯托拉斯占据着的世界数学中心之一。
所以在柏林大学，康托受了外尔斯特拉斯的影响而转到纯粹的数学。
他在1869年取得在哈勒大学任教的资格，不久后就升为副教授，并在1879年被升为正教授。
1874年康托尔在克列勒的《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章。
数学史上一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生。
这篇文章的创造性引起人们的注意。
在以后的研究中，集合论和超限数成为康托研究的主流，他一直在这方面发表论文直到1897年，过度的思维劳累以及强列的外界刺激曾使康托患了精神分裂症。
这一难以消除的病根在他后来30多年间一直断断续续影响着他的生活。
1918年1月6日，康托在哈勒大学的精神病院中去世。
集合论的背景为了较清楚地了解康托在集合论上的工作，先介绍一下集合论产生的背景。
集合论在19世纪诞生的基本原因，来自数学分析基础的批判运动。
数学分析的发展必然涉及到无穷过程，无穷小和无穷大这些无穷概念。
在18世纪，由于无穷概念没有精确的定义，使微积分理论不仅遇到严重的逻辑困难，而且还使实无穷概念在数学中信誉扫地。
康托——精选推荐
康托目录康托的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂。
有人说，康托的集合论是一种“疾病”，康托的概念是“雾中之雾”，甚至说康托是“疯子”。
来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。
他在集合论方面许多非常出色的成果，都是在精神病发作的间歇时期获得的。
可是，真理是不可战胜的，也有许多卓越的数学家深为康托首创的集合论所起的作用而打动，1897年在苏黎世举行的第一次国际数学家大会上，赫尔维茨与阿达玛两位数学家站出来指出了康托集合论中超限数理论在分析学中的重要应用。
希尔伯特也是最支持康托理论的数学家之一，他大声疾呼：“没有人能把我们从康托为我们创造的乐园中赶走。
”并撰写文章赞誉康托的超限算术为“数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现。
”著名哲学家罗素把康托的工作描述为“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。
”编辑本段用现代的眼光看待集合论现代数学的发展告诉我们，康托的集合论是自古希腊时代以来两千多年里，人类认识史上第一次给无穷建立起抽象的形式符号系统和确定的运算。
并从本质上揭示了无穷的特性，使无穷的概念发生了一次革命性的变化，并渗透到所有的数学分支，从根本上改造了数学的结构，促进了数学许多新的分支的建立和发展，成为实变函数论、代数拓扑、群论和泛函分析等理论的基础，还给逻辑学和哲学也带来了深远的影响。
编辑本段所获成就真金不怕火炼，康托的思想终于大放光彩。
1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。
”可是这时康托仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。
1918年1月6日，康托在一家精神病院去世。
康托康托1845年3月3日生于彼得俄国堡，父亲是个富商。
1856年全家迁居德国法兰克福。
编辑摘要目录康托德国数学家，19世纪数学伟大成就之一——集合论的创立人。
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克罗内克与康托尔--数学的欺骗欧几里得几何的核心部分用了很多著名的定义、公理和符号。
这个自成体系的数学分支用它的精确和有序启发了一代又一代的数学家。
欧几里得广为人知的一个“普遍观念”是：整体大于部分。
这个观念历经2000多年都没有受到质疑。
后来，在19世纪70年代早期，一个不知名的数学家开始宣称：对数和数论来说，整体不一定大于它的一部分。
这似乎是一个离经叛道的主张，如果它不是由天才而执著的德国年轻人格奥尔格·康托尔提出来，会很容易被人忽略。
但它只是康托尔众多震动数学界的断言之一，另一个与这个神秘观念有关的是无穷。
对这个神秘的观念，长期以来，数学家和哲学家们一直关注着，缓慢地取得了一些进展，但始终没有深入。
一些人，比如伽利略，主张“从根本上来说，无穷是我们无法理解的”。
卡尔·弗里德里希·高斯（Karl Friederich Gauss）写信给另一位数学家说：“我反对把无穷量当作实体来用，数学中从来不允许这样做。
无穷仅仅是一个说法而已。
”康托尔不仅主张一个实在、具体的无穷概念，还坚持认为有很多种不同规格的无穷，他甚至找到了一种在数学上处理这个观念的方法。
康托尔的工作有多重要？他创造了集合论，这成为拓扑学、分形论和其他很多现代科学的基础。
康托尔在集合上的成就所推动数学的进步帮助微积分打下了坚实的基础。
将集合论和无穷这两个观念结合起来，他提出了无穷集。
这个观念让其他人激动，为很多人开拓了新研究领域，也让他自己陷入了悲喜交加的境地。
康托尔的新数论将影响他那个时代整整一代人，并对他们的数学观念形成挑战。
它引发了一场动摇数学根基的批判性的数学内审。
另外，它的蕴意和矛盾还会继续影响接下来的几代数学家，直到现在。
后来，杰出的德国数学家戴维·希尔伯特形容康托尔的工作为“数学思想中最惊人的成果，纯智力领域中人类活动最完美的实现”。
提出一项新成果，从而面临反对，这并非不寻常的事。
但康托尔的遭遇似乎特别严重和不幸。
约瑟夫·W·道本可能是美国最重要的康托尔研究者，他把康托1尔的遭遇与布鲁诺被宗教裁判所施以火刑进行对比。
他写道：“现在的数学家没有谁敢尝试从一个封闭的数学世界闯入一个奇异的、复杂的、无限的数学世界。
有一个人曾经被烧死在火刑柱上，格奥尔格·康托尔的遭遇没有那么激烈，但他遭受了很多同时代人的审查和抵制。
”这些反对者中，最重要的是利奥波德·克罗内克。
他是一位地位颇高、有着极大影响力的数学家。
克罗内克曾经是康托尔的老师之一，实际上，在早些时候，他还支持过康托尔的工作，甚至给康托尔的早期论文提过一些建设性的批评。
但当康托尔的研究脱离正统时，克罗内克越来越反对康托尔本人和他的研究工作。
道本说：在他们的冲突达到顶点时，“克罗内克认为康托尔是一个科学骗子、叛徒、‘败坏青年者’。
”克罗内克利奥波德·克罗内克1823年生于一个富有的德国犹太家庭，受过良好的早期教育。
条件优越的他，只要想学数学，就可以一直学下去。
在家乡李格尼茨（Liegnitz，现在是波兰的莱格尼察，Legnica）的学校，他跟恩斯特·爱德华·库墨尔（Ernst Eduard Kummer）学数学，后者后来在算法和几何方面取得了很高成就，并一直是克罗内克的密友。
1841年，克罗内克进入当时的世界数学中心柏林大学，跟随当时最优秀的几位数学家学习。
他们是：P·G·勒尤恩·狄利赫莱（P.G. Lejeune Dirichlet）、卡尔·古斯塔夫·雅可比（Carl Gustav Jacobi）和费迪南德·哥特霍尔德·艾森斯坦（Ferdinand Gotthold Eisenstein）。
1845年，他获得博士学位。
但这时他从数学领域转到了陷入困境的家族商业中，长达10年。
这段时间里，他结婚生子，但始终没有间断数学研究工作，虽然仅仅是作为业余爱好。
1855年，他和他的家庭搬到柏林，他才由此开始了职业数学生涯，接下来，他的事业发展很快。
这个时候，德国数学发生了很重要的变化。
狄利赫莱在哥廷根大学的请求下，离开了柏林大学，库默尔填补了留下的空缺。
在库默尔的推荐下，卡尔·特奥多尔·魏尔斯特拉斯（Karl Theodor Weierstrass）也进入柏林大学任教。
魏尔斯特拉斯是一位成功的中学教师，刚刚在方程的幂级数表示法上发表了一篇广受好评的论文。
虽然克罗内克还没有成为柏林大学的教员，但他写出了一些水平很高的1论文，渐长的声誉使他成为位于柏林的皇家科学院的成员，这使他有了在大学讲课的资格。
1866年，哥廷根大学向克罗内克提供了一个很好的职位。
但他留恋柏林的幸福生活，拒绝了这个邀请。
然而到1883年库默尔退休时，他还是成为了柏林大学的一名教授。
不过，从19世纪60年代起，这三位数学家——库默尔，魏尔斯特拉斯和克罗内克——成为支配德国数学界的三巨头，时间超过25年。
在柏林科学界，克罗内克尤其活跃。
在招募很多国内国外最重要的数学家方面，他扮演了极其重要的角色。
这些数学家中，有西尔维斯特和理查德·戴德金（Richard Dedekind）。
对于后者，我们将在以后详细讨论。
克罗内克还是几个其他学会的成员。
当国内和国外有空缺的数学职位时，有关人员经常会征求他的意见。
1880年，他成为奥古斯特·利奥波德·克列尔（August Leopold Crelle）出版的《纯粹与应用数学杂志》（Journal for Pure and Applied Mathematics）的编辑。
这本杂志通常简称为《克列尔杂志》（Crelle's Journal），它可能是当时最受尊敬的数学杂志。
克罗内克的成就主要在于他在整合算术、代数和分析学上的努力，以及他在椭圆方程上的贡献。
他在代数和数论方面做出了很多改进，也提出了很多新观念和新定理，例如他在无穷级数收敛上的定理。
有趣的是，克罗内克有点特立独行。
比如，他相信所有的算术可以建立在整数的基础上。
因此，他认为在算术中，分数仅仅是派生出来的，只有充当符号的用途。
除了几何和机械之外，他对所有的数学学科进行了分类，但他把代数和分析归入算术一类。
因为他相信所有的算术都可以建立在整数的基础上，他认为不仅是分数，无理数和复数也都是错误和虚幻的观念，它们是运用一些错误的数学逻辑得出来的。
于是，当费迪南德·林德曼（Ferdinand Lindemann）写了一篇论文，里面有证明超越数存在的内容时，克罗内克会评论说：“你对数π的漂亮研究有什么用？无论如何无理数根本就不存在，为什么要在这样的问题上费脑子？”他相信最终会找到一个办法重组这些“不自然”的形式，得到一个只包含自然数的更基本的形式。
他说过一句漂亮的俏皮话：“上帝创造了整数，所有其他的数都是人造的。
”1克罗内克和康托尔发生冲突，有什么好奇怪的呢？但克罗内克研究数学的方法也让他和其他一些同行发生了争执。
虽然克罗内克谨慎地不与他视为对手的同行发生激烈争执，也不发表恶毒的评论，但他还是没有做到，照样用下流、伤人的方式行事，在背后诋毁他们。
他中伤的这些人中间，就有他昔日的好友魏尔斯特拉斯。
两人生命的最后几年，他们一直都在为他们的数学观点争执。
魏尔斯特拉斯作为一个杰出教师的巨大成功，也很让克罗内克恼火和沮丧。
从一封1885年魏尔斯特拉斯给他的同行索尼娅·柯瓦列夫斯基（Sonya Kowalevsky）的信中，我们可以了解克罗内克的所作所为。
他写道：但最糟的是，克罗内克利用他的权威宣称，迄今为止，所有致力于建立方程理论的人在主面前都是罪人。
当一个像克里斯托费尔（Elwin B.Christoffel）这样极其古怪的人说二三十年后现有的方程理论将全都过时时……我以耸肩作答。
但［接着］克罗内克下了这样一个定论——我一字不漏地重复他的话：“如果时间和精力允许，我将展示……更严格的方法。
如果我不能亲自做到，接替我的人会……，它们会认同所有当今那些所谓的分析工作的错误。
”一个有着卓越才能和杰出成就的人下出这样一个论断……我由衷地钦佩……像他所有的同事一样。
这不仅对那些诚恳承认犯错的人是一种耻辱……也直接诱导年轻一代抛弃他们的前辈并凑集在他的周围……看到一个曾经无瑕的人，在自我膨胀驱使下，说出这些影响恶劣的话——而这种影响他似乎觉察不到，这种事确实让人伤心，让我内心充满了苦涩与悲痛。
克罗内克身材矮小，而魏尔斯特拉斯身材高大。
数学史家阿米尔·D·阿克泽尔（Amir D. Aczel）这样形容他所说的“这些冲突的滑稽特性”：“这个小个子男人经常攻击这个大个子，就像一只小狗在追一只圣伯纳狗。
”为了躲避和克罗内克的争执，魏尔斯特拉斯甚至想逃到瑞士去。
但他又担心克罗内克极有可能会成为他的继任者，那样人们为了迎合克罗内克，他（魏尔斯特拉斯）的工作就没有人接着做了。
他坚持留了下来。
到1888年，魏尔斯特拉斯让他的几个朋友知道，他和克罗内克的友谊结束了。
但是很显然，克罗内克从来没有意识到自己的言行1对魏尔斯特拉斯的伤害有多深。
后来在好几个场合中，他都称魏尔斯特拉斯是他的朋友之一。
克罗内克还和他长期的朋友兼同事赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz）发生了一场有趣的争执。
施瓦茨是库默尔的女婿，曾经是魏尔斯特拉斯的学生。
记住，魏尔斯特拉斯是一个大个子；而克罗内克不仅很矮，而且对此很忌讳。
1885年，施瓦茨问候他，说了这样的话：“不尊敬矮子的人，不配称作才俊。
”施瓦茨显然认为他在聪明且幽默地对克罗内克致以敬意。
克罗内克却不认为这是一个玩笑，但是之后他没有发出任何尖锐的书面回应，连口头的都没有。
他只是再也不跟施瓦茨打交道了。
因此，康托尔不是唯一一个和克罗内克闹翻的人。
当我们了解一下克罗内克具有的因素——他在数字和无穷上的固执观念；他在学术和出版界的声誉和强大地位；他向人施加影响和权威的能力时，我们会明白为什么康托尔会成为他最大的靶子。
这里还有另外一个争议：他这样对待康托尔，他的对手们怎么看。
施瓦茨，魏尔斯特拉斯，还有其他一些人，都对这事不高兴，但他们也不加干涉。
正如我们在后面要看到的，康托尔在和克罗内克的相处过程中，麻烦不断，差不多一生都摆脱不掉。
康托尔和他的奇怪想法半个世纪前，我们可能会读到这两个人反目成仇的另一个有趣原因。
埃里克·坦普尔·贝尔是20世纪早期的一位康托尔和克罗内克传记作者。
他妙笔生花，想象丰富，是一位很有影响的数学史家。
1937年，他这样写他们（康托尔和克罗内克）的争端：“一个犹太人和另一个犹太人，他们为了纯科学问题发生争议，或者仅仅是其中一位对另一位出于忌妒或担忧。