高中数学不完全归纳法证明题

數學歸納法的迷思

數學歸納法可說是高中數學裡最令同學納悶的一部份了，數學歸納法學的不錯的同學，大概都能謹遵老師交待要寫出以下2步驟:

1、 步驟1:證明n=1時，敘述成立。(不一定從1開始)

2、 步驟2:假設n=k 時，敘述成立；證明n=k+1時，敘述也成立

由數學歸納法得證，n 為任意自然數時都成立。

完整寫出以上2步驟，並且遇到數學歸納法的證明題時，操作以上步驟，算是達到了學習數學歸納法的最基本要求。只是能操作數學歸納法的基本步驟，不一定代表了解數學歸納法的原理，因此容易造成誤用，而不知道錯在何處，或者是雖然做出了正確的証明，但終究對於這樣的証明方法存疑，先說存疑之處:「只知道n=k 和n=k+1成立，仍不知道後面幾項是否成立」、「用假設來證明很沒說服力，萬一假設不成立呢?」、「怎麼可以假設n=k 成立呢?」這是學習數學歸納法常會出現的疑問，所以再複習一下數學歸納法的基本原理，皮亞諾(G.Peano)在西元1889年提出的自然數的序數理論，包含5條公理:

(1)1是一個自然數

(2)每一個自然數a 都有一個後繼元素

(3)1沒有生成元素

(4)如果a 與b 的後繼元素相等，則a=b

(5)若一個由自然數所組成的集合S 包含1，並且當S 包含某一自然數a 時，它一定也含有a 的後繼元素，則S 就包含有全體自然數。

數學歸納法原理就是皮亞諾的第5條公理，無需證明。數學歸納法實際上是一種演繹方法，由於我們無法證明所有自然數均滿足於某一條件，所以我們用邏輯遞推的方式，先證明有一個起始值合於條件(步驟1)，接下來證明所滿足的條件是可以遞推的，若n=k 成立⇒n=k+1成立(步驟2)。就以老師上課常講的以骨牌為例，假設我們有無限多顆骨牌，因為數量是無限多，所以我們無法實際操作，看到所有骨牌倒下，但是我們可以確認的兩件事就是第一顆骨牌會倒，以及若骨牌倒了，後一顆骨牌也必倒，這兩件事確定了，我們不必眼見所有骨牌倒下，也知道所有骨牌都會倒，這就是數學歸納法的原理。

同學在學習數學歸納法常見的錯誤上大致有以下二種:

(一)忽略起始值與遞推過程的互相配合，以證明n n 22<，N n ∈為例:

1、 當1=n 時，1221<，成立

2、 設k n =時k k 22<成立；當1+=k n 時

1

2122)12(22)1(2222221--=--->++-⋅=+-+k k k k k k k k k k 01)2(>--=k k ⇒122)1(+<+k k ，由數學歸納法得証。

以上證明犯了很明顯的錯誤，就是01)2(>--=k k 的條件必須3≥k ，所以用k=1當起始值就與證明過程沒有配合，仔細再檢視一遍，4,3,2=n ，均不符合，

n n 22<，N n ∈，所以本題的起始值應從n=5開始才成立。若題目沒事先設好條件5≥n ，恐怕就會落入這樣的謬誤。

(二)證明n=k+1成立時，與假設n=k 成立完全無關

數學歸納法第二步驟假設n=k 時成立推至n=k+1時成立是ㄧ個遞推步驟，所以n=k+1成立的証明必須建立於n=k 成立的基礎上，不能單獨證明n=k+1成立，但這也是同學證明時常犯的錯誤，例如:證明19.0<(這個結論是錯的)

假設n 代表小數點後9的個數

1、 n =1時0.9<1成立

2、 設n=k 時0.999….9<1(k 個9)成立；則當n=k+1時0.999…..9<1(k+1個9)成立，

由數學歸納法得証。

以上證明所犯的錯誤就是忽略n=k 時與n=k+1時的遞推關係，上述證明並無遞推關係。

再舉另一個例子:

N n n n n ∈+≥+≥∀,52)1(,22

1、 n =2時，5229)12(2+⋅==+成立

2、 設n=k 時52)1(2+≥+k k 成立；當n=k+1時

5)1(2)11(2-+-++k k =

)2(0)1)(3(325224422≥>-+=-+=---++n k k k k k k k ，由數學歸納法得証。

以上證明結論雖然正確，但是根本不需用到數學歸納法，況且步驟2沒利用到n=k 與n=k+1之間的遞推關係，所以誤用了數學歸納法。