双十字相乘法精编版

双十字相乘法

分解形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f 的二次六项式在草稿纸上，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）

例：3x²+5xy-2y²+x+9y-4=（x+2y-1）（3x-y+4）

分解二次五项式

要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，

例：ab+b2+a-b-2

=0×1×a2+ab+b2+a-b-2

=（0×a+b+1）（a+b-2）

=（b+1）（a+b-2）

分解四次五项式

提示：设x2=y，用拆项法把cx2拆成mx2与ny之和。

例：2x4+13x3+20x2+11x+2

=2y2+13xy+15x2+5y+11x+2

=（2y+3x+1）（y+5x+2）

=（2x^2+3x+1）（x^2+5x+2）

=（x+1）（2x+1）（x^2+5x+2）

因式分解法

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式

（ax2+bxy+cy2+dx+ey+f），我们也可以用十字相乘法分解因式．

例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作数，于是上式可变形为

2x2-（5+7y)x-（22y2-35y+3），

可以看作是关于x的二次三项式．

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

即

-22y2+35y-3=（2y-3）（-11y+1）．

再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

所以

原式=〔x+（2y-3）〕〔2x+(-11y+1）〕

=(x+2y-3）（2x-11y+1）．

这就是所谓的双十字相乘法．也是俗称的“主元法”

用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

⑴用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图（有两列）；

⑵把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一列、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．

双十字相乘法(因式分解)

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式

(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．可分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．

例如，分解因式．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，

可以看作是关于x的二次三项式．

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．

再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］

=(x+2y-3)(2x-11y+1)．

上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：

它表示的是下面三个关系式：

(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；

(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；

(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．

这就是所谓的双十字相乘法．

用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；

(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．

分解因式：

(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；

(2)x2-y2+5x+3y+4；

(3)xy+y2+x-y-2；

(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．

(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．

(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．

(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．

(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．

(4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．

1、x2-y2＋2yz-z2

2、(1-xy)2-(y-x)2

3、x2y2-x2-y2-6xy＋4

4、x3＋3x2-4

5、4x2＋8x＋3

6、9x2-30x＋25

7、39x2-38x＋8

8、4x2-6ax＋18a2

9、20a3bc-9a2b2c-20ab3c

10、x2＋ax-12＝(x＋b)(x-2）

11、2x＋1是不是4x2＋5x-1的因式？12、若x＋2是x2＋kx-8的因式，求k

13、若2x3＋11x2＋18x＋9＝(x＋1)(ax ＋3)(x＋b)，则a-b＝

14、若a2＋b2＋c2＋4a-8b-14c＋69＝0，求a＋2b-3c的值

15、mx2-m2-x＋1

16、a2-1-2ab＋b2

17、ab(x2-y2)＋xy(a2-b2)

18、xy2-2xy-3x-y2-2y-1

19、7(x-1)2＋4(x-1)(y＋2)-20(y+2)2

20、x2+3xy+2y2+4x+5y+3

21、2x2-7xy-22y2-5x+35y-3