《一元二次方程根的判别式》优秀课件
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一元二次方程的根的判别式(教学课件201908)
基于HOG特征和SVM分类器的行人检测研究作者：岳鑫来源：《科技创新与应用》2016年第05期摘 ;要：行人检测目前是机器视觉领域研究中一个热门技术。
文章利用梯度直方图特征和支持向量机对不同场景下的样本图片进行检测。
检测结果表明：在真实的应用场景中，该方法可以满足大部分的行人检测需求，但不同的光照、不同的遮挡和不同的样本复杂度对检测结果有一定影响。
关键词：HOG特征;SVM分类器;行人检测行人检测技术是计算机视觉领域中的一个重要的分支，在智能交通、智能监控、行人行为分析以及智能机器人领域有着广泛的应用，是通过判断图片或视频序列中是否有行人出现，并给出准确位置的一项图像理解技术。
行人检测主要分两大类方法[1]分别为基于背景建模的方法[2]和基于统计学习的方法[3]。
前者主要利用图像差分的思想，分割出前景，提取其中的运动目标，从而达到目标检测的目的。
该方法对背景的要求比较苛刻，在下雨、下雪、背景中树叶的晃动、光线不稳定的场景中该方法的抗干扰能力较差。
基于统计学习的方法，首先对目标进行特征提取，然后训练相应的分类器，再通过滑窗技术，把训练好的分类器应用于图像中，检测用户感兴趣的目标[4]。
文章使用基于统计学习的方法利用HOG特征和SVM分类器进行行人检测。
1 行人检测原理1.1 梯度直方图特征描述梯度直方图特征主要是用来描述图像局部重叠区域的一种描述符，将图像中局部区域像素的梯度方向直方图来做为人体的特征，该特征可以很好的描述出人体的边缘，并且不敏感于光照条件和微小的偏移。
图像中任意一像素点（x，y）的梯度表示为：（1）其中Gx（x，y）、Gy（x，y）和H（x，y）分别表示图像中在（x，y）处的水平方向梯度、垂直方向梯度和像素值。
像素点（x，y）处的梯度幅值和梯度方向分别由下面公式计算可得：（2）在梯度直方图特征-简称HOG的提取过程中，Dalal曾提出：对于一个样本图像，我们可以将它看成若干个像素的单元，图像像素的梯度方向平均可以分割为9个区间，用直方图来统计每个像素单元里面所有像素梯度方向的所有方向区间，这样就可以得到一个比较直观的9维特征向量，块是由每4个相邻的单元构成，再把这个块中4个特征向量连接起来，就可以得到方便理解的36维特征向量，然后以一个单元作为步长用块进行扫描样本图像，最终串联起所有块的特性，人体特征就得到了。
一元二次方程根的判别式-公开课课件(1)教学提纲
一元二次方程根的判别式-公开 课课件(1)
1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程； 2.能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行
有关的推理论证； 3.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数
的范围.
一元二次方程的一般形式：
ax2bxc0(a0)
二次项系数 a，一次项系数b ，常数项c .
解一元二次方程的方法： 直接开平方法 配方法
问题一：不解方程，判断下列方程是否有解？
（1） 2x2 5x 7 0 ； （2） 3x2 x 0 ； （3） x2 4kx 2k 3。 提示：步骤：第一步：写出判别式△；第二步 根据△的正负写结论。
解：（1）因为△=b2-4ac=52-4×2×7=-31<0,
所以原方程无解。
（2）因为△ = b24ac=10，所以原方 程有两个不等的实根。
提示：分类讨论：当 a=0 时，方程变为：
5x50
当 a≠0 时，方程为一元二次方程，再利用△确
定方程的根的个数，用求根公式求出解。
解： 当a=1时，x=1.
当a≠0时，方程为一元二次方程.
△=25-20a.
当△>0，即
a<
5 4
时，
x
5
25 20a
2a
；
5
当△=0，即 a= 4 时，x=2；
当△<0，即
因式分解法公式法对于 Nhomakorabea元二次方程 ax2bxc0(a0)一定有解
吗？
用配方法变形上述方程得到：a(x b )2 b2 c ，
2a 4a
即 (x b )2 b2 4ac 。
2a
4a2
一元二次方程的根的情况：
1.当 b24ac0时，方程有两个不相等的实数根 2.当 b24ac0时，方程有两个相等的实数根 3.当 b24ac0时，方程没有实数根
1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程； 2.能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行
有关的推理论证； 3.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数
的范围.
一元二次方程的一般形式：
ax2bxc0(a0)
二次项系数 a，一次项系数b ，常数项c .
解一元二次方程的方法： 直接开平方法 配方法
问题一：不解方程，判断下列方程是否有解？
（1） 2x2 5x 7 0 ； （2） 3x2 x 0 ； （3） x2 4kx 2k 3。 提示：步骤：第一步：写出判别式△；第二步 根据△的正负写结论。
解：（1）因为△=b2-4ac=52-4×2×7=-31<0,
所以原方程无解。
（2）因为△ = b24ac=10，所以原方 程有两个不等的实根。
提示：分类讨论：当 a=0 时，方程变为：
5x50
当 a≠0 时，方程为一元二次方程，再利用△确
定方程的根的个数，用求根公式求出解。
解： 当a=1时，x=1.
当a≠0时，方程为一元二次方程.
△=25-20a.
当△>0，即
a<
5 4
时，
x
5
25 20a
2a
；
5
当△=0，即 a= 4 时，x=2；
当△<0，即
因式分解法公式法对于 Nhomakorabea元二次方程 ax2bxc0(a0)一定有解
吗？
用配方法变形上述方程得到：a(x b )2 b2 c ，
2a 4a
即 (x b )2 b2 4ac 。
2a
4a2
一元二次方程的根的情况：
1.当 b24ac0时，方程有两个不相等的实数根 2.当 b24ac0时，方程有两个相等的实数根 3.当 b24ac0时，方程没有实数根
人教版九年级数学上册《解一元二次方程——一元二次方程的根的判别式》教学课件
2
2 −2 + = 3 − 1；
2
解： 化方程为 2 + 2 − 1 = 0.
= 2， = 2， = −1.
2
2
= − 4 = 2 −4 × 2 × (−1)
= 4 + 8 = 12 > 0.
∴ 此一元二次方程有两个不相等的实数根.
归纳
归纳
不解方程，判断一元二次方程根的情况的一般步骤：
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
例1 不求出一元二次方程的根，判断下列方程根的情况：
2
= − 4
2
1 2 − 5 + 1 = 0；
2
2 −2 + = 3 − 1；
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2 + 6 = 0.
9
；
2
2
= − 4 = − 2 + 1
= 2 + 1
2
2
−4××2
− 8
2
= 4 + 4 + 1 − 8
2
= 4 − 4 + 1
= 2 − 1
2
2
≥ 0.
所以 − 2 + 1 + 2 = 0 ≠ 0 有实数根.
例3 在不解方程的情况下，判断下列关于 的方程
2
变式2 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
没有实数根，求 的取值范围.
2
变式1 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
有两个不相等的实数根，求 的取值范围.
2 −2 + = 3 − 1；
2
解： 化方程为 2 + 2 − 1 = 0.
= 2， = 2， = −1.
2
2
= − 4 = 2 −4 × 2 × (−1)
= 4 + 8 = 12 > 0.
∴ 此一元二次方程有两个不相等的实数根.
归纳
归纳
不解方程，判断一元二次方程根的情况的一般步骤：
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
例1 不求出一元二次方程的根，判断下列方程根的情况：
2
= − 4
2
1 2 − 5 + 1 = 0；
2
2 −2 + = 3 − 1；
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2 + 6 = 0.
9
；
2
2
= − 4 = − 2 + 1
= 2 + 1
2
2
−4××2
− 8
2
= 4 + 4 + 1 − 8
2
= 4 − 4 + 1
= 2 − 1
2
2
≥ 0.
所以 − 2 + 1 + 2 = 0 ≠ 0 有实数根.
例3 在不解方程的情况下，判断下列关于 的方程
2
变式2 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
没有实数根，求 的取值范围.
2
变式1 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
有两个不相等的实数根，求 的取值范围.
(课件7)22.2一元二次方程根的判别式
2 2
4m 4m 1 4m 16m 16 20m 15 （1）要使方程有两个不等实根，只需 3 即 m 20m 15 0
4
所以当m>3/4时，方程Байду номын сангаас两个不等的实根。
2 2m1 x m 22 0 例2 已知关于的方程，x
解：原方程可化为： m2 y2 4mny n2 0 4
b2 4ac 4mn 44m2n2
2
16m2n2 16m2n2
0
所以此方程有两个相等的实数根。
不解方程，判断方程根的情况时： 1.先计算判别式的值； 2.再确定判别式的取值范围，从而判断方程根 的情况，（要注意二次项系数不为0）.
系数不为0”.
动手试一试吧！
若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n=____.
1.(2004年· 西宁市)若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0 有实数根，则m的取值范围是 (D ) A.m＜1 B. m＜1且m≠0 C.m≤1 D. m≤1且m≠0 2.(2004年· 昆明)已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0 有实数根，则k的取值范围是 ( A) A.k≤1 B.k≥1 C.k<1 D.k>1 3.(2004年· 桂林市)如果方程组 y 2 数解，那么m的值为 A. -3/8 B.3/8 C. -1
ax 2 b c x 2 ( b c ) 2 a
2 2 2
有两个等根，试判断△ABC的形状. 解：利用Δ ＝0，得出a=b=c. ∴△ABC为等边三角形.
【例5】 已知：m、n为整数，关于x的二次方程x2+(7m)x+3+n=0有两个不相等的实数解，x2+(4+m)x+n+6=0 有两个相等的实数根，x2-(m-4)x+n+1=0没有实数根，求 m、n的值. 解：∵方程x2+(4+m)x2+n+6=0有两个相等的实根， ∴(4+m)2-4(n+6)=0，即m2+8m-8=4n. 又方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不等的实根， 方程x2-(m-4)x+n+1=0无实根， ∴(7-m)2-4(3+n)＞0，(m-4)2-4(n+1)＜0. 把4n=m2+8m-8代入上两式得 ∵m为整数∴m=2，从而n=3.
4m 4m 1 4m 16m 16 20m 15 （1）要使方程有两个不等实根，只需 3 即 m 20m 15 0
4
所以当m>3/4时，方程Байду номын сангаас两个不等的实根。
2 2m1 x m 22 0 例2 已知关于的方程，x
解：原方程可化为： m2 y2 4mny n2 0 4
b2 4ac 4mn 44m2n2
2
16m2n2 16m2n2
0
所以此方程有两个相等的实数根。
不解方程，判断方程根的情况时： 1.先计算判别式的值； 2.再确定判别式的取值范围，从而判断方程根 的情况，（要注意二次项系数不为0）.
系数不为0”.
动手试一试吧！
若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n=____.
1.(2004年· 西宁市)若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0 有实数根，则m的取值范围是 (D ) A.m＜1 B. m＜1且m≠0 C.m≤1 D. m≤1且m≠0 2.(2004年· 昆明)已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0 有实数根，则k的取值范围是 ( A) A.k≤1 B.k≥1 C.k<1 D.k>1 3.(2004年· 桂林市)如果方程组 y 2 数解，那么m的值为 A. -3/8 B.3/8 C. -1
ax 2 b c x 2 ( b c ) 2 a
2 2 2
有两个等根，试判断△ABC的形状. 解：利用Δ ＝0，得出a=b=c. ∴△ABC为等边三角形.
【例5】 已知：m、n为整数，关于x的二次方程x2+(7m)x+3+n=0有两个不相等的实数解，x2+(4+m)x+n+6=0 有两个相等的实数根，x2-(m-4)x+n+1=0没有实数根，求 m、n的值. 解：∵方程x2+(4+m)x2+n+6=0有两个相等的实根， ∴(4+m)2-4(n+6)=0，即m2+8m-8=4n. 又方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不等的实根， 方程x2-(m-4)x+n+1=0无实根， ∴(7-m)2-4(3+n)＞0，(m-4)2-4(n+1)＜0. 把4n=m2+8m-8代入上两式得 ∵m为整数∴m=2，从而n=3.
湘教九年级数学上册《一元二次方程根的判别式》课件(18张PPT)
（1） x2+3x-1=0； （2） x2-6x+9=0；
（3）2y2-3y+4=0；
（4） x2+5=25x.
（1） x2+3x-1=0
解 因为 Δ = b24ac= 32-4 × 1 ×（-1）
= 9 + 4 = 13＞0， 所以，原方程有两个不相等的实数根.
（2） x2-6x+9=0
解 因为 Δ= b24ac =（-6）2-4 ×1 ×9
例
不解方程，利用判别式判断下列方程根的 情况：
（1）3x2+4x-3=0 （2）4x2=12x-9 （3）7y=5(y2+1)
（1） 3x2+4x-3=0
解 因为 Δ= b24ac= 42-4 × 3 ×（-3）
=16 + 36 = 52 ＞0， 所以，原方程有两个不相等的实数根.
（2） 4x2=12x-9
因为 Δ= b24ac= （-7）2 -4×5×5 = 49-100 = -51＜0，
所以，原方程没有实数根.
练习
1.一元二次方程 x2x10的根的情况为 (D ) （A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）只有一个实数根 （D）没有实数根
2.不解方程，利用判别式判别下列方程的根的情况：
综上可知，我们不难发现一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a≠0) 的根的情况可由Δ= b24ac 来判断：
当Δ > 0 时，原方程有两个不相等的实数根，其根为 x1b2 ba 24ac,x2b2 ba 24ac；
当Δ = 0 时，原方程有两个相等的实数根，其根为 x1x22ba；
当Δ < 0 时，原方程没有实数根.
（3）2y2-3y+4=0；
（4） x2+5=25x.
（1） x2+3x-1=0
解 因为 Δ = b24ac= 32-4 × 1 ×（-1）
= 9 + 4 = 13＞0， 所以，原方程有两个不相等的实数根.
（2） x2-6x+9=0
解 因为 Δ= b24ac =（-6）2-4 ×1 ×9
例
不解方程，利用判别式判断下列方程根的 情况：
（1）3x2+4x-3=0 （2）4x2=12x-9 （3）7y=5(y2+1)
（1） 3x2+4x-3=0
解 因为 Δ= b24ac= 42-4 × 3 ×（-3）
=16 + 36 = 52 ＞0， 所以，原方程有两个不相等的实数根.
（2） 4x2=12x-9
因为 Δ= b24ac= （-7）2 -4×5×5 = 49-100 = -51＜0，
所以，原方程没有实数根.
练习
1.一元二次方程 x2x10的根的情况为 (D ) （A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）只有一个实数根 （D）没有实数根
2.不解方程，利用判别式判别下列方程的根的情况：
综上可知，我们不难发现一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a≠0) 的根的情况可由Δ= b24ac 来判断：
当Δ > 0 时，原方程有两个不相等的实数根，其根为 x1b2 ba 24ac,x2b2 ba 24ac；
当Δ = 0 时，原方程有两个相等的实数根，其根为 x1x22ba；
当Δ < 0 时，原方程没有实数根.
人教版九年级数学课件《一元二次方程根的判别式》
典例解析
人教版数学九年级上册
例3 不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x－3=0； （2）4x2=12x－9;
(3) 7y=5(y2+1).
解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3, ∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根．
（2）方程化为：4x2－12x+9=0, ∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.
解：(2m+1)2 －4 (m−2)2 ≥0
4m2 ＋4m＋1－ 4m2 ＋16m－16≥0
20m≥15
m≥ 34 又∵ (m−2)2 ≠0 ∴m≠2 ∴m≥ 34 且m≠2
针对练习
人教版数学九年级上册
7.在等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程 x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.
解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根， 所以Δ=b2－4ac=(b+2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0. 所以b=-10或b=2. 将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4； 将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）；
所以△ABC 的三边长为4，4，5， 其周长为4+4+5=13.
=4m2-4m+1-4m2+4m=1＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
（2）解方程x2-（2m-1）x+m2-m=0
得x=m或x=m-1，
∵a＞b，m＞m-1，
17.3一元二次方程的根的判别式课件(共14张PPT)
系数含有字 母的方程
8k 2 4k 2 4k 2
∵ k 2 0,4k 2 0，即 0,
方程有两个实数根.
不解方程，判别关于 x 的方程 a2x2 ax 1 0a 0
的根的情况.
解： (a)2 4a2 (1) 5a2,且a 0 5a2 0,即 0 所以，原方程有两个不相等的实数根。
课堂小结
对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) ：
当 ＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 =0 时，方程有两个相等的实数根； 当 ＜0 时，方程没有实数根.
反之，同样成立！
b2 4ac 0
3)带入求根公式 x b b2 4ac
计算方程的根
2a
温故而知新
一般地，对于一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
如果b2 4ac 0，那么方程的两个根为
b b2 4ac x
2a
合作探究
活动：探究一元二次方程根的判别式 如何把一元二次方a程x2 bx c 0(a 0)
写成 （x+h)2=k 的形式？
ax2 bx c 0
配方法
x2 b x c 0 aa
x2 b x c aa
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
数学衔接课程专题 一元二次方程根的判别式(共7张PPT)
4．不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况： (1)3x2－2x－1＝0；
解：Δ>0，∴方程有两个不相等的实数根
(2)x2＋3＝2 2x；
解：Δ<0，∴方程没有实数根
(3)16y2＋9＝24y.
解：Δ＝0，∴方程有两个相等的实数根
知识点二：根据根的情况，确定字母系数的取值范围
5．(2014·广东)关于 x 的一元二次方程 x2－3x＋m＝0 有两个不相
(2)当Δ＝0时，原方程有_____两_个__相___等___实数根，其根为x1＝x2＝ ____－__2b_a_____．
(3)当Δ<0时，原方程____没__有___实数根． 注意：在运用一元二次方程根的判别式时，要注意二次项系数
a____≠__0__的条件．
知识点一：不解方程，判断根的情况
1．一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的情况是( D )
等的实数根，则实数 m 的取值范围为( B )
A．m>94
B．m<94
C．m＝94
D．m<－94
6．(易错题)(2014·益阳)一元二次方程 x2－2x＋m＝0 总有实数根，
则 m 应满足的条件是( A．m>1
D)
B．m＝1
C．m<1
D．m≤1
7．(易错题)关于 x 的一元二次方程(a＋1)x2－4x－1＝0 有两个不相等的
(3)x2－2mx＋2m－1＝0； 解：Δ＝4(m－1)2≥0，∴方程有两个实数根
(4)12x2－mx＋m－4＝0. 解：Δ＝(m－1)2＋7>0，∴方程有两个不相等的实数根
3．已知关于 x 的方程 x2－(2k＋1)x＋4(k－12)＝0，求证：这个方 程总有两个实数根．
1一元二次方程根的判别式课件
x1
x2
. 2
适时小结：
1.根据方程根的情况,可得到判别式的取值 范围;
2. 求根的判别式的前提是一元二次方程的一 般式；在求方程的根时，可以把已确定的字 母系数的值代入原方程，再求不含字母系数 的方程的根.
自主探究：
怎样的条件才能得到 有实数根？
当k 为何值时,关于x的方程 x2 4kx （2k 1）2 0 有实数根?并求出这时方程的根.(用含k 的代数 式表示)
当x2m取(m何值2时)x，关1 于m2x的1方程0
解：
(m
2)2
4
(
1
4
m2
1)
4
4m 8
(1)当 4m 8 0,即m 2时,方程有两个不相等的实数根.
(2)当 4m 8 0,即m 2时, 方程有两个相等的实数根.
(3)当 4m 8 0,即m 2时, 方程没有实数根.
适时小结：由方程根的情况得到判别式的取值范围， 进而求出方程中一个字母系数的取值范围.
上述结论反过来也能成立，所以可以得到：
0
方程有两个不相等的实数根.
0
方程有两个相等的实数根.
0
方程没有实数根.
判别式的符号
根的情况
新知学习
当m取何值时，关于x的方程
x2 (m 2)x 1 m2 1 0 4
怎样的条件才能 得到相应的根的 情况？
（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？
答： (b2 +c2 a2 )2 4b2c2
(b c a)(b c a) (b c a)(b c a)
由三角形的三边关系得：b c a, a b c, a c b 即b c a 0,b c a 0,b c a 0,
初中数学沪教版八年级上册一元二次方程根的判别式 课件PPT
逆定理的用途是： 在已知方程根的情况下，用逆定理来确定△
值的符号，进而可求出系数中某些字母的取值范 围。
注意： 运用定理和逆定理时，必须把所给的方
程化成一般形式后方可使用。
1.不解方程，判断下列方程根的情况. (1)2x2－5x－4=0； (2)7t2－5t+2=0； (3)x(x+1)=3； (4)3y2+25=10 3y.
①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值，计算△。
②用配方法等将△变形，使之符号明朗化后，判断△ 的符号。 ③根据根的判别式定理，写出结论。
例3、利用一元二次方程的判别式求字母的取值范围
已知关于x的方程x2－3x＋k＝0，问k取何值时， 这个方程：
(1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？
记住了， 别搞错!
我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程
ax2 bx c 0a 0 的根的判别式，
用符号“ ”表示，即 b2 4ac
对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
你能谈论一下它的根的情况吗? (1)在什么情况下，一元二次方程有解? (2)有什么样的解?它的解是多少？ (3)什么情况下一元二次方程无解?
2、同步练习17.3
x b b2 4ac b2 4ac 0 2a
老师的 “绝活”
不解一元二次方程，就能很快 知道它的根的大致情况。 你相信吗？
1、用公式法解下列方程
（1）x2 3x 2 0 （2）x2 8x 16 0
（3）3y2 10 2 y
2、一元二次方程根的判别式
初中数学沪教版八年级上册 《一元二次方程根的判别式》
值的符号，进而可求出系数中某些字母的取值范 围。
注意： 运用定理和逆定理时，必须把所给的方
程化成一般形式后方可使用。
1.不解方程，判断下列方程根的情况. (1)2x2－5x－4=0； (2)7t2－5t+2=0； (3)x(x+1)=3； (4)3y2+25=10 3y.
①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值，计算△。
②用配方法等将△变形，使之符号明朗化后，判断△ 的符号。 ③根据根的判别式定理，写出结论。
例3、利用一元二次方程的判别式求字母的取值范围
已知关于x的方程x2－3x＋k＝0，问k取何值时， 这个方程：
(1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？
记住了， 别搞错!
我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程
ax2 bx c 0a 0 的根的判别式，
用符号“ ”表示，即 b2 4ac
对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
你能谈论一下它的根的情况吗? (1)在什么情况下，一元二次方程有解? (2)有什么样的解?它的解是多少？ (3)什么情况下一元二次方程无解?
2、同步练习17.3
x b b2 4ac b2 4ac 0 2a
老师的 “绝活”
不解一元二次方程，就能很快 知道它的根的大致情况。 你相信吗？
1、用公式法解下列方程
（1）x2 3x 2 0 （2）x2 8x 16 0
（3）3y2 10 2 y
2、一元二次方程根的判别式
初中数学沪教版八年级上册 《一元二次方程根的判别式》
一元二次方程根的判别式ppt课件
2.3 一元二次方程根的判别式
第2章 一元二次方程
基础主干落实 重点典例探析 5+2思维赋能
基础主干落实
一元二次方程根的判别式 1．定义：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，记作 “Δ”，即Δ＝b2－4ac. 2．与一元二次方程的根的关系
判别式 Δ>0
Δ=0 Δ<0
【挑战】(2021·邵阳中考)在平面直角坐标系中，若直线 y＝－x＋m 不经过第一象限，
则关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 的实数根的个数为( D )
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．1 或 2 个
【解析】∵直线 y＝－x＋m 不经过第一象限， ∴m≤0， 当 m＝0 时，方程 mx2＋x＋1＝0 是一次方程，有一个根，当 m＜0 时， ∵关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0， ∴Δ＝12－4m>0， ∴关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 有两个不相等的实数根．
【自主解答】由关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 可知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋ 2)2， 分情况讨论： 当 k＝－2 时，Δ＝0，方程有两个相等实根 当 k≠－2 时，Δ>0，方程有两个不相等的实根．
1．x 的一元二次方程 x2＋kx－4＝0 根的情况是__有__两__个__不__相___等__的__实__数__根___． 【解析】Δ＝k2－4×(－4)＝k2＋16>0，所以方程有两个不相等的实数根． 2．(变问法)求证：无论 k 取何值，关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 总有实数 根． 【证明】由题意知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋2)2≥0，所以方程总有实数根．
【归纳提升】 根的判别式的应用 1．可以直接用：不解方程，可以判断方程根的情况． 2．可以逆用：知道方程根的情况，从而确定字母系数的取值范围． 3．证明一个方程根的情况．
第2章 一元二次方程
基础主干落实 重点典例探析 5+2思维赋能
基础主干落实
一元二次方程根的判别式 1．定义：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，记作 “Δ”，即Δ＝b2－4ac. 2．与一元二次方程的根的关系
判别式 Δ>0
Δ=0 Δ<0
【挑战】(2021·邵阳中考)在平面直角坐标系中，若直线 y＝－x＋m 不经过第一象限，
则关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 的实数根的个数为( D )
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．1 或 2 个
【解析】∵直线 y＝－x＋m 不经过第一象限， ∴m≤0， 当 m＝0 时，方程 mx2＋x＋1＝0 是一次方程，有一个根，当 m＜0 时， ∵关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0， ∴Δ＝12－4m>0， ∴关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 有两个不相等的实数根．
【自主解答】由关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 可知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋ 2)2， 分情况讨论： 当 k＝－2 时，Δ＝0，方程有两个相等实根 当 k≠－2 时，Δ>0，方程有两个不相等的实根．
1．x 的一元二次方程 x2＋kx－4＝0 根的情况是__有__两__个__不__相___等__的__实__数__根___． 【解析】Δ＝k2－4×(－4)＝k2＋16>0，所以方程有两个不相等的实数根． 2．(变问法)求证：无论 k 取何值，关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 总有实数 根． 【证明】由题意知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋2)2≥0，所以方程总有实数根．
【归纳提升】 根的判别式的应用 1．可以直接用：不解方程，可以判断方程根的情况． 2．可以逆用：知道方程根的情况，从而确定字母系数的取值范围． 3．证明一个方程根的情况．
一元二次方程根的判别式课件(人教版)
x2－2x＝0，解得x1＝0，x2＝2.
整合方法·提升练
14．【中考•岳阳】已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋
m(m＋1)＝0.
Δ＞0
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4m(m＋1)＝1>0， ∴方程总有两个不相等的实数根．
整合方法·提升练
将x＝0代入x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0 m(m＋1)＝0
15
无论k取何值，这个方程 总有实数根；10
答案显示
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 2x2 ＋(－7)x＋(－4)＝0
1．方程7x＝2x2－4化为一般情势ax2＋bx＋c＝0后， a＝__2____，b＝__－__7__，c＝_－__4___，b2－4ac＝ __8_1___．
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 5x2 ＋(－6)x＋8＝0
4[(a＋1) x2＋(a＋1) x]＋1＝0
整合方法·提升练
解：x※(a※x)＝x※(ax＋x)＝x※[(a＋1)x]＝(a＋1)x2＋(a ＋1)x＝－ 1 ，
4
整理，得4(a＋1)x2＋4(a＋1)x＋1＝0. ∵关于x的方程x※(a※x)＝－14 有两个相等的实数根， ∴a＋1≠0，Δ＝16(a＋1)2－16(a＋1)＝0.
解：若分a为类等讨腰论三a＝角4为形底A边BC；的a＝底4边为长腰，，分则别b，确c定为等腰三 角b形、Ac的BC值的，两根腰据三长角，形由的题三意边知关方系程确定有a两、个b、相等的 实c数能根否，组所成三以角Δ＝形0，，再即求k三＝角32.形所的以周方长程. 为x2－4x＋4 ＝0，解得x1＝x2＝2. 即b＝c＝2，不符合三角形三 边关系，故舍去．
人教版 九年级上
整合方法·提升练
14．【中考•岳阳】已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋
m(m＋1)＝0.
Δ＞0
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4m(m＋1)＝1>0， ∴方程总有两个不相等的实数根．
整合方法·提升练
将x＝0代入x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0 m(m＋1)＝0
15
无论k取何值，这个方程 总有实数根；10
答案显示
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 2x2 ＋(－7)x＋(－4)＝0
1．方程7x＝2x2－4化为一般情势ax2＋bx＋c＝0后， a＝__2____，b＝__－__7__，c＝_－__4___，b2－4ac＝ __8_1___．
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 5x2 ＋(－6)x＋8＝0
4[(a＋1) x2＋(a＋1) x]＋1＝0
整合方法·提升练
解：x※(a※x)＝x※(ax＋x)＝x※[(a＋1)x]＝(a＋1)x2＋(a ＋1)x＝－ 1 ，
4
整理，得4(a＋1)x2＋4(a＋1)x＋1＝0. ∵关于x的方程x※(a※x)＝－14 有两个相等的实数根， ∴a＋1≠0，Δ＝16(a＋1)2－16(a＋1)＝0.
解：若分a为类等讨腰论三a＝角4为形底A边BC；的a＝底4边为长腰，，分则别b，确c定为等腰三 角b形、Ac的BC值的，两根腰据三长角，形由的题三意边知关方系程确定有a两、个b、相等的 实c数能根否，组所成三以角Δ＝形0，，再即求k三＝角32.形所的以周方长程. 为x2－4x＋4 ＝0，解得x1＝x2＝2. 即b＝c＝2，不符合三角形三 边关系，故舍去．
人教版 九年级上
第17章一元二次方程-根的判别式 课件 22--23学年沪科版八年级下册数学
例6 已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m＋2）x＋2＝0（m≠0）．
（1）求证：方程一定有两个实数根； （2）若此方程的两根为不相等的整数，求整数m的值． 分析（2）利用因式分解法解方程可得出x1＝1，x2＝m2 ，根据整除的性质，结合m为整数即可求出m值． 解答（2）∵方程的两根为不相等的整数，∴ Δ＝(m﹣2)2＞0，∴m≠2，
当m≠0时，则方程mx2﹣4x＋1＝0为关于x的方程为一元二次方程，
∵关于x的一元二次方程mx2﹣4x＋1＝0有实数根，
∴Δ＝(﹣4)2﹣4×m×1＝16﹣4m≥0， 解得：m≤4且m≠0．
综上所述，m的取值范围是m≤4．
易错点：忽略二次项系数可以为零的情况．
对于二次项系数含有参数的方程，要分两种情况考虑，第一种情况是二次项系数为零时，则此方程为一元一次方
A A′
bb
c′ c
⑥ 若a2＋b2＜c2，则△ABC为钝角三角形．
C
a
B
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=a，BC=b，AB=c′
作A′C=AC, 连接A′B
在△ A′ BC中， A′ C=a，BC=b，令A′ B=c
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：AC2+BC2=AB2 ，即a2＋b2=c′2. 因为c＜ c′，所以a2＋b2=c′2＞ c2 此时△ A′ BC为锐角三角形，且满足：a2＋b2＞c2 所以可得结论：若a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形.
根的判别式
知识梳理
一元二次方程根的判别式的定义
ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)
x2 b x c 0 aa
(x≥ 2b0a )2
b＞＜=2 40ac ＞4a02
根的判别式Δ
一元二次方程根的判别式公开课课件
一元二次方程根的判别式公开课课 件
目 录
• 一元二次方程根的判别式的基本概念 • 一元二次方程根的判别式的应用 • 一元二次方程根的判别式的证明 • 一元二次方程根的判别式的扩展 • 一元二次方程根的判别式的练习题与解析
01 一元二次方程根的判别式 的基本概念
定义与公式
定义
一元二次方程的判别式Δ = b² - 4ac，其中a、b、c分别是一元二次方程ax² + bx + c = 0的系数。
题目15
已知一元二次方程$7x^2 - x - 8 = 0$，求该方程的根。
进阶题目解析
题目16
已知一元二次方程$8x^2 + x 7 = 0$，判断该方程的根的情况。
题目17
已知一元二次方程$9x^2 - x 10 = 0$，求该方程的根。
题目18
已知一元二次方程$10x^2 + x 9 = 0$，判断该方程的根的情况。
求解一元二次方程
通过判别式，可以判断一元二次方程实 数根的个数，进而求解方程。
VS
解决实际问题
判别式可以用于解决一些实际问题，例如 判断某个事件是否会发生，或者预测某个 结果的可能性。
判别式的实际应用案例
物理学中的应用
在物理学中，判别式可以用于解决一些与二 次方程相关的问题，例如物体运动轨迹、振 动等问题。
进阶题方程$3x^2 - x - 4 = 0$，求该方程 的根。
题目12
已知一元二次方程$4x^2 + x - 3 = 0$，判断该 方程的根的情况。
进阶题目解析
题目13
已知一元二次方程$5x^2 - x - 6 = 0$，求该方程的根。
题目14
已知一元二次方程$6x^2 + x - 5 = 0$，判断该方程的根的情况。
目 录
• 一元二次方程根的判别式的基本概念 • 一元二次方程根的判别式的应用 • 一元二次方程根的判别式的证明 • 一元二次方程根的判别式的扩展 • 一元二次方程根的判别式的练习题与解析
01 一元二次方程根的判别式 的基本概念
定义与公式
定义
一元二次方程的判别式Δ = b² - 4ac，其中a、b、c分别是一元二次方程ax² + bx + c = 0的系数。
题目15
已知一元二次方程$7x^2 - x - 8 = 0$，求该方程的根。
进阶题目解析
题目16
已知一元二次方程$8x^2 + x 7 = 0$，判断该方程的根的情况。
题目17
已知一元二次方程$9x^2 - x 10 = 0$，求该方程的根。
题目18
已知一元二次方程$10x^2 + x 9 = 0$，判断该方程的根的情况。
求解一元二次方程
通过判别式，可以判断一元二次方程实 数根的个数，进而求解方程。
VS
解决实际问题
判别式可以用于解决一些实际问题，例如 判断某个事件是否会发生，或者预测某个 结果的可能性。
判别式的实际应用案例
物理学中的应用
在物理学中，判别式可以用于解决一些与二 次方程相关的问题，例如物体运动轨迹、振 动等问题。
进阶题方程$3x^2 - x - 4 = 0$，求该方程 的根。
题目12
已知一元二次方程$4x^2 + x - 3 = 0$，判断该 方程的根的情况。
进阶题目解析
题目13
已知一元二次方程$5x^2 - x - 6 = 0$，求该方程的根。
题目14
已知一元二次方程$6x^2 + x - 5 = 0$，判断该方程的根的情况。
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解：
（1）5x2－3x－2＝0
∵a＝5 b＝－3 c＝－2 ∴△＝b2－4ac＝（－3）2－4×5×（－2）＝49＞0 ∴原方程有两个不相等的实数根
（（2）2）－－x2x＋2＋2x2－x＝1＝1 0
∵a＝－1 b＝2 c＝－1 ∴△＝b2－4ac＝22－4×（－1）×（－1）＝0 ∴原方程有两个相等的实数根
课题 一元二次方程根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式
①当 △=b2－4ac＞0 时，原方程有两个不相等的实数根 ②当 △=b2－4ac＝0 时，原方程有两个相等的实数根 ③当 △=b2－4ac＜0 时，原 方 程没 有实数根
例1：不解方程，判别下列方程的根的情况
直解： 接 应 用解： △
∴k＞－2 又∵k＋1≠0
∴k≠－1
已知根的情况， 利用△判断字母取
∴k＞－2且k≠－1值范围（或值）
变式： 综合分析法 分类讨论思想
若关于x的方程(m2－1)x2－2(m＋2)x＋1＝0 有实数 根，求m的取值范围．
解：情况一：当 m2－1＝0 且 m＋2≠0 时，则m＝±1 且m≠－2
原方程为一元一次方程，有实数根； 则m＝±1 情况二：当m2－1≠0时，原方程为一元二次方程，依题意，
△＝4(m＋2)2－4(m2－1)≥0，解得m≥
5
综上所述，m≥
4
5
4
1.不解方程， 直接判别一 元二次方程 根的情况
总结
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
△应用方法
不能忽略二 次项系数不
为0
2.已知一元 二次方程根 的情况，确 定方程中某 些字母的取 值(范围)
谢谢!（3）x2－5x＋7源自0∵a＝1 b＝－5 c＝7 ∴△＝b2－4ac＝（－5）2－4×1×7＝－3＜0 ∴原方程有没有实数根
例2：关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2x－1＝0 有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
解：∵方程有两个不相等的实数根
∴ △＝b2－4ac＞0 即 22－4（k＋1）×（－1）＝4k＋8＞0
（1）5x2－3x－2＝0
∵a＝5 b＝－3 c＝－2 ∴△＝b2－4ac＝（－3）2－4×5×（－2）＝49＞0 ∴原方程有两个不相等的实数根
（（2）2）－－x2x＋2＋2x2－x＝1＝1 0
∵a＝－1 b＝2 c＝－1 ∴△＝b2－4ac＝22－4×（－1）×（－1）＝0 ∴原方程有两个相等的实数根
课题 一元二次方程根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式
①当 △=b2－4ac＞0 时，原方程有两个不相等的实数根 ②当 △=b2－4ac＝0 时，原方程有两个相等的实数根 ③当 △=b2－4ac＜0 时，原 方 程没 有实数根
例1：不解方程，判别下列方程的根的情况
直解： 接 应 用解： △
∴k＞－2 又∵k＋1≠0
∴k≠－1
已知根的情况， 利用△判断字母取
∴k＞－2且k≠－1值范围（或值）
变式： 综合分析法 分类讨论思想
若关于x的方程(m2－1)x2－2(m＋2)x＋1＝0 有实数 根，求m的取值范围．
解：情况一：当 m2－1＝0 且 m＋2≠0 时，则m＝±1 且m≠－2
原方程为一元一次方程，有实数根； 则m＝±1 情况二：当m2－1≠0时，原方程为一元二次方程，依题意，
△＝4(m＋2)2－4(m2－1)≥0，解得m≥
5
综上所述，m≥
4
5
4
1.不解方程， 直接判别一 元二次方程 根的情况
总结
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
△应用方法
不能忽略二 次项系数不
为0
2.已知一元 二次方程根 的情况，确 定方程中某 些字母的取 值(范围)
谢谢!（3）x2－5x＋7源自0∵a＝1 b＝－5 c＝7 ∴△＝b2－4ac＝（－5）2－4×1×7＝－3＜0 ∴原方程有没有实数根
例2：关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2x－1＝0 有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
解：∵方程有两个不相等的实数根
∴ △＝b2－4ac＞0 即 22－4（k＋1）×（－1）＝4k＋8＞0