高三数学理科阶段测试卷及答案

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高三数学试卷理科及答案

一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若存在实数a，使得f(a) = 0，则a的取值范围是（）。

A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 02. 下列函数中，是奇函数的是（）。

A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = x^2 + 13. 在等差数列{an}中，若a1 = 2，d = 3，则第10项an的值为（）。

A. 27B. 28C. 29D. 304. 若等比数列{bn}中，b1 = 2，b3 = 8，则公比q的值为（）。

A. 2B. 4C. 8D. 165. 下列命题中，正确的是（）。

A. 函数y = log2(x + 1)的图像在y轴上无定义B. 函数y = e^x的图像在第一象限内单调递减C. 函数y = sin(x)的周期为πD. 函数y = tan(x)的图像在y轴上无定义6. 已知直线l的方程为2x - y + 3 = 0，点P(1, 2)到直线l的距离为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 47. 在直角坐标系中，点A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 6)构成三角形ABC，则三角形ABC的面积S为（）。

A. 2B. 3C. 4D. 58. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 2，f(2) = 4，则f(3)的值为（）。

A. 6B. 8C. 10D. 129. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，d = 2，则前n项和Sn的表达式为（）。

A. Sn = n^2 + 2nB. Sn = n^2 + 3nC. Sn = n^2 + 4nD. Sn = n^2 + 5n10. 已知等比数列{bn}中，b1 = 3，b3 = 27，则前n项和Tn的表达式为（）。

A. Tn = 3^nB. Tn = 3^(n+1)C. Tn = 3^(n-1)D. Tn = 3^(n-2)二、填空题（每小题5分，共25分）11. 若函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，则a的取值范围是__________。

高三数学理科真题试卷答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 函数y=2^x在R上的单调性是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 无单调性答案：A解析：指数函数y=2^x的底数大于1，因此其在R上单调递增。

2. 已知函数f(x)=x^2+2x-3，其图像的对称轴是（）A. x=-1B. x=1C. x=-3D. x=3答案：B解析：二次函数f(x)=x^2+2x-3的对称轴为x=-b/2a，即x=-2/2=-1。

3. 若向量a=(2,3)，向量b=(-3,4)，则向量a与向量b的数量积是（）A. 0B. -1C. 1D. 6答案：B解析：向量a与向量b的数量积为a·b=2(-3)+34=-6+12=6，故选B。

4. 已知等差数列{an}的公差d=3，且a1+a5=24，则a3=（）B. 12C. 15D. 18答案：A解析：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，由题意得a5=a1+4d，代入a1+a5=24得2a1+4d=24，解得a1=6，代入an=a1+(n-1)d得a3=6+23=9。

5. 下列不等式中，正确的是（）A. |x|<1B. |x|≤1C. |x|>1D. |x|≥1答案：B解析：绝对值不等式|x|≤1表示x的取值范围在-1到1之间，包括-1和1。

6. 已知函数f(x)=x^3-3x，其图像在x=0处的切线斜率为（）A. 0B. -3C. 3D. 6答案：B解析：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-3，代入x=0得f'(0)=-3。

7. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z的实部是（）A. 0B. 1D. 2答案：A解析：复数z在复平面上的几何意义为点z到点1和点-1的距离相等，即点z位于点1和点-1的中垂线上，因此z的实部为0。

8. 已知函数f(x)=ln(x+1)，其定义域是（）A. (-1, +∞)B. [-1, +∞)C. (-∞, -1)D. (-∞, -1]答案：A解析：对数函数的定义域要求对数内的值大于0，因此x+1>0，解得x>-1。

高三数学(理科)试题及答案

高三数学(理科)试题及答案高三数学(理科)试题及答案试题一：1. 解方程：(1) 解方程 $3x - 5 = 4x + 7$(2) 解方程 $2x^2 + 5x - 3 = 0$2. 已知函数 $f(x) = \frac{3}{x+1}$，求 $f(2) \cdot f(-2)$ 的值。

3. 已知 $\triangle ABC$，$AB = 3$，$BC = 4$，$AC = 5$。

求$\angle BAC$ 的大小。

4. 已知等差数列 $a_1 = 3$，$d = 4$。

求前10项的和 $S_{10}$。

5. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = x^2 - 2x - 3$。

求顶点坐标和焦点坐标。

答案：1.(1) 将 $4x + 7$ 移项得 $3x - 4x = 7 + 5$，化简得 $x = -12$。

(2) 使用因式分解法或配方法，将方程 $2x^2 + 5x - 3 = 0$ 化简为$(2x - 1)(x + 3) = 0$。

解得 $x = \frac{1}{2}$ 或 $x = -3$。

2. 代入函数 $f(x)$ 的定义，得到 $f(2) \cdot f(-2) = \frac{3}{3} \cdot \frac{3}{1} = 3$。

3. 根据余弦定理，$AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot\cos(\angle BAC) = BC^2$。

代入已知条件，解得 $\cos(\angle BAC) = -\frac{7}{25}$。

因为 $\angle BAC$ 是锐角，所以 $\angle BAC =\arccos\left(-\frac{7}{25}\right)$。

4. 使用等差数列的求和公式 $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，其中$S_{10}$ 是前10项的和，$n = 10$，$a_1 = 3$，$d = 4$。

高三数学试卷(理科)答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数$f(x) = 2^x - 1$，则$f(-1)$的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A2. 在三角形ABC中，$A=45^\circ$，$B=60^\circ$，$a=6$，则$cosC$的值为（）A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$C.$\frac{1}{2}$ D. $\frac{\sqrt{6}}{4}$答案：B3. 已知等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1=3$，公差$d=2$，则第10项$a_{10}$的值为（）A. 17B. 18C. 19D. 20答案：A4. 函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$的对称中心为（）A. (1, -3)B. (1, 3)C. (-1, -3)D. (-1, 3)答案：A5. 已知向量$\vec{a} = (2, 3)$，$\vec{b} = (1, 2)$，则$\vec{a} \cdot\vec{b}$的值为（）A. 7B. 5C. 4D. 3答案：A6. 下列命题中，正确的是（）A. 函数$f(x) = \frac{1}{x}$在定义域内单调递增B. 向量$\vec{a}$与$\vec{b}$垂直的充分必要条件是$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$C. 二次函数$y = ax^2 + bx + c$的开口方向由系数$a$决定D. 等差数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = a_1 + (n-1)d$答案：D7. 已知函数$f(x) = \log_2(x+1)$，则$f^{-1}(2)$的值为（）A. 1B. 0C. -1D. 3答案：B8. 在等比数列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，公比$q=3$，则第5项$a_5$的值为（）A. 54B. 27C. 18D. 9答案：A9. 已知直线$l: x - 2y + 1 = 0$与圆$x^2 + y^2 = 1$相切，则圆心到直线$l$的距离为（）A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$B. $\sqrt{2}$C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ D. $\sqrt{3}$答案：B10. 函数$f(x) = e^x + e^{-x}$的极值点为（）A. $x=0$B. $x=\frac{\pi}{2}$C. $x=\pi$D. 无极值点答案：A二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

天一大联考顶尖联盟2024届高三阶段性测试(二)(老教材版)理科数学试题(含答案)

试卷类型：老教材版2024届高中毕业班第二次考试理科数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()1i 35i z -=+，则z 的共轭复数z =（）A ．44i+B ．44i-C ．14i-+D ．14i--2．已知集合{}{}21log 3,25A x x B x x x *=∈≤<=<≥N 或，则()A B =R ð（）A ．{}1,2,3B ．{}2,3C ．{}2,3,4D ．{}2,3,4,53．已知向量()()()3,4,2,,2,1a b m c =-=-= ，若()a b c +⊥，则m =（）A ．2-B ．2C ．6-D ．64．设函数()21f x x =+，数列{}n a ，{}n b 满足()(),n n a f n f b n ==，则2a =（）A ．7b B ．9b C ．11b D ．13b 5．记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a bc ，分别以,,a b c 为边长的正三角形的面积依次为123,,S S S ，且12334S S S bc --=，则A =（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π6．通过验血诊断某疾病的误诊率（将未患病者判定为阳性的概率）为()01p p <<，漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为()01q q <<，现对2名未患病者和1名患病者进行验血，每人的诊断结果互不影响，则诊断结果均为阴性的概率为（）A ．()21p q-B ．()21p q -C ．()21p q -D ．()21p q -7．斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，…，这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，小李以前6项数字的某种排列作为他的银行卡密码，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为（）A ．144B ．120C ．108D ．968．函数()21log xf x x-=的单调递增区间为（）A ．()0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭c ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭9．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，如图所示，某陀螺可以视为由圆锥SO 和圆柱1OO 组合而成，点,M N在圆锥SO 的底面圆周上，且SMN △74MSN ∠=，圆锥SO 的侧面积为，圆柱1OO 的母线长为3，则该几何体的体积为（）A ．403πB ．443πC ．523πD ．563π10．已知函数()sin 2sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．311．已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上除顶点外的一点，123PF PF =，且1260F PF ∠>︒，则C 的离心率的取值范围是（）A ．7,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．7,32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．)12．已知01a <<，若函数()ln e x f x a a x =-有两个不同的零点，则a 的取值范围是（）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知椭圆2221(3)9x y m m+=>的离心率为12，则m =______．14．已知,x y 满足约束条件30,35030,x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是______．15．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,4AB AA ==，平面α与棱1111,,,AA BB CC DD 分别交于点,,,M E N F ，其中,E F 分别是11,BB DD 的中点，且1AC ME ⊥，则1A M =______．16．已知0,,,222x y πππ⎛⎫⎛⎫∈∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()()tan tan 4sin2x y x y x ++-=，则cos cos x y 的最小值为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）随着寒冷冬季的到来，羽绒服进入了销售旺季，某调查机构随机调查了400人，询问他们选购羽绒服时更关注保暖性能还是更关注款式设计，得到以下的22⨯列联表：更关注保暖性能更关注款式设计合计女性16080240男性12040160合计280120400（Ⅰ）是否有95%的把握认为男性和女性在选购羽线服时的关注点有差异？（Ⅱ）若从这400人中按男女比例用分层抽样的方法抽取5人进行采访，再从这5人中任选2人赠送羽线服，记X 为抽取的2人中女生的人数，求X 的分布列和数学期望．附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．()20P K k ≥0.100.050.0100k 2.7063.8416.63518．（12分）如图，矩形ABCF 与梯形FCDE 所在的平面垂直，,,1DE CF EF FC AF EF DE ⊥===∥，2,AB P =为AB 的中点．（Ⅰ）求证：平面EPF ⊥平面DPC ；（Ⅱ）求二面角B CD P --的余弦值．19．（12分）在数列{}n a 中，已知()112242,4n n a a n n a -=-+≥=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}24n nn a ⋅-的前n 项和．20．（12分）已知()4,4M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上的一点，F 为C 的焦点，O 为坐标原点．（Ⅰ）求MOF △的面积；（Ⅱ）若,A B 为C 上的两个动点，直线MA 与MB 的斜率之积恒等于2-，作,MN AB N ⊥为垂足，证明：存在定点Q ，使得NQ 为定值．21．（12分）已知函数()e x f x x =．（Ⅰ）若存在唯一的负整数0x ，使得()()001f x m x <-，求m 的取值范围；（Ⅱ）若0a >，当()1,x ∈-+∞时，()()213ln 8a x af x ++≥，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，已知直线2cos ,:sin x t l y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），α为l 的倾斜角，l 与x 轴交于点P ，与y轴正半轴交于点Q ，且OPQ △的面积为233．（Ⅰ）求α；（Ⅱ）若l 与曲线22:1C x y -=交于,A B 两点，求11PA PB+的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()f x x a x b =++-．（Ⅰ）当2,3a b ==时，求不等式()6f x ≥的解集；（Ⅱ）设0,1a b >>，若()f x 的最小值为2，求111a b +-的最小值．理科数学（老教材版）答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1．答案D命题意图本题考查复数的基本概念和运算．解析35i14i 1iz +==-+-，故14i z =--．2．答案C命题意图本题考查集合的运算．解析因为{}{}[)*2R 1log 32,3,4,5,6,7,2,5A x x B =∈≤<==N ð，所以(){}R 2,3,4A B = ð．3．答案B命题意图本题考查平面向量的数量积．解析()1,4a b m +=- ，因为()a b c +⊥，所以240m +-=，得2m =．4．答案C命题意图本题考查数列的概念与性质．解析由题意知()121,12n n a n b n =+=-，可知2115a b ==．5．答案C命题意图本题考恒三角形的面积公式和余弦定理．解析由题意得222123,,444S a S b S c ===，则2221234444S S S a b c bc --=--=，所以222a b c bc --=，故2221cos 22b c a A bc +-==-，又0A π<<，所以23A π=．6．答案A 命题意图本题考查概率的计算．解析未患病者的诊断结果为阴性的概率为1p -，患病者的诊断结果为阴性的概率为q ，所以对2名未患病者和1名患病者进行验血，诊断结果均为阴性的概率为()21p q -．7．答案A 命题意图本题考查排列与组合的应用．解析先排数字2，3，5，8，有44A 种排法，4个数字形成5个空当．第一类：若两个1相邻，则从可选择的3个空当中选出一个放入两个1，有3种排法；第二类：若两个1也不相邻，则从可选择的3个空当中选出两个分别放入数字1，有3种排法．所以密码个数为()4433144A ⨯+=．命题意图本题考查函数的单调性．解析由10x x ->，得01x <<，所以()f x 的定义域为()0,1．设()2211log log 1x g x x x -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，易得()g x 在()0,1上单调递减．当11x x ->，即102x <<时，()0g x >，此时()()f x g x =单调递减，当101x x -<<，即112x <<时，()0g x <，此时()()f x g x =-单调递增，所以()f x 的单调递增区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．9．答案B命题意图本题考查圆柱与圆锥的结构特征．解析设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则SMN △的面积为117sin 224SM SN MSN l l ⨯∠=⨯⨯=解得l =因为圆锥SO的侧面积为rl r π==，所以2,2r SO ===．故该几何体的体积为144434233V V V πππ=+=⨯+⨯⨯=圆柱圆锥．10．答案D命题意图本题考查三角函数的图象与性质．解析令()0f x =，得sin 2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫+=±- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又222333x x πππ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以只能是()2233x x k k πππ⎛⎫⎛⎫++-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，得()4k x k π=∈Z ，在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内，有,0,44ππ-共3个零点．11．答案A 命题意图本题考查双曲线的性质．解析设2112(0),3,PF m m PF m F PF θ=>=∠=，显然60180θ︒<<︒，则12F F ===，所以C 的离心率12122106cos 22F F c c e a a PF PF ====-．由于60180θ︒<<︒，所以1cos 1,2θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2的取值范围是,22⎛⎫⎪⎝⎭．命题意图本题考查函数的零点、导数的几何意义．解析()f x 有两个不同的零点，等价于曲线ln x y a a =与e y x =有两个不同的交点，当0x >时，ln 0,e 0x a a x <>，二者不可能有交点，只需考虑0x <时的情况．设()ln x g x a a =，若1ea =，则()1e xg x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知曲线1e xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与直线e y x =在点()1,e --处相切；若10e a <<，当0x <时，1,ln 1e xxa a ⎛⎫><- ⎪⎝⎭，所以1ln e xx xa a a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭，所以曲线()y g x =与直线e y x =没有交点；若11e a <<，则1e,ln 1a a <>-，所以()ln 11e a g a a-=>->-，曲线()y g x =与直线e y x =有两个交点．综上可得，满足条件的a 的取值范围是1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．答案命题意图本题考查椭圆的性质．解析因为3m >，所以912m m =，解得m =14．答案3-命题意图本题考查简单的线性规划问题．解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，直线20x y z +-=过点()3,0-时z 取得最小值，且min 303z =-+=-．15．答案3命题意图本题考查空间位置关系的判断以及相关计算．解析因为平面α经过棱11,BB DD 的中点，所以四边形MENF 为菱形，且易证1A C EF ⊥．又因为1AC ME ⊥，所以1AC ⊥平面MENF ，所以1AC MN ⊥，且MN 经过1A C 的中点．在矩形11A ACC 中利用三角形相似可计算得13A M =．16．答案12命题意图本题考查三角恒等变换的应用．解析由题意知()()()()()()()()()()sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y +-+-+-++=+-+-()()sin 24sin 2cos cos xx x y x y ==+-，由题意知sin20x ≠，因此()()1cos cos 4x y x y +-=．所以()()11cos cos cos cos 22x y x y x y =++-≥=⎡⎤⎣⎦，当且仅当()()1cos cos 2x y x y +=-=，即,03x y π==时等号成立．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．命题意图本题考查独立性检验和超几何分布的相关计算．解析（Ⅰ）因为22400(1604080120)2003.17524016028012063K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，因为3.175 3.841<，所以没有95%的把握认为男性和女性在选购羽线服时的关注点有差异．（Ⅱ）选出的男性人数为16052400⨯=，选出的女性人数为24053400⨯=，由题意可得X 的所有可能取值为0，1，2，()()()21122233222555C 1C C 3C 30,1,2C 10C 5C 10P X P X P X =========，故X 的分布列为X 012P11035310所以X 的数学期望()1336012105105E X =⨯+⨯+⨯=．18．命题意图本题考查面面垂直的证明以及二面角的计算．解析（Ⅰ）因为EF FC ⊥，平面EFCD ⊥平面ABCF ，所以EF⊥平面ABCF ，又因为PC ⊂平面ABCF ，所以EF PC ⊥．在矩形ABCF 中，1,2,AF AB P ==为AB 的中点，所以2FP CP FC ===，根据勾股定理可得FP PC ⊥．因为EF FP F = ，所以PC ⊥平面EPF ，所以平面EPF⊥平面DPC ．（Ⅱ）以F 为坐标原点，,,FA FC FE 所在直线分别为,,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,1,1,0,2,0,1,2,0,1,1,0D C B P ．所以()()()0,1,1,1,0,1,1,1,1DC DP DB =-=-=-．设平面DPC 的法向量为(),,n x y z = ，由0,0,n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,0,y z x z -=⎧⎨-=⎩令1y =，则()1,1,1n =．同理可得平面BCD 的一个法向量为()0,1,1m =．设二面角B CD P --的平面角为θ，故cos 3m n m nθ⋅=== ，即二面角B CD P --的余弦值为3．19．命题意图本题考查递推关系与等比数列的性质，以及错位相减法的应用．解析（Ⅰ）因为()12242n n a a n n -=-+≥，所以()()122212n n a n a n n --=--≥⎡⎤⎣⎦．所以{}2n a n -是首项为2，公比为2的等比数列．所以22nn a n -=，即22nn a n =+．（Ⅱ）由（Ⅰ）知1242n n n n a n +⋅-=⋅．设前n 项和为n T ，则23411222322n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，345221222322n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，两式相减可得()223412221222222212n n n n n T n n +++--=+++⋅⋅⋅+-⨯=-⨯-()222242124n n n n n +++=--⨯=--，所以()2124n n T n +=-+．20．命题意图本题考查抛物线的性质，抛物线与直线的位置关系．解析（Ⅰ）由题可得168p =，解得2p =，所以()110,1,14222MOF M F S OF y ==⨯⨯=△．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知C 的方程为24y x =．由题意可知直线AB 不与x 轴平行，设直线AB 的方程为221212,,,,44y y x my b A y B y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则124y y ≠±．联立方程得2,4,x my b y x =+⎧⎨=⎩整理可得2440y my b --=，则2Δ16160m b =+>，且124y y m +=①，124y y b =-②．121144444MA y k y y -==+-，同理可得244MB k y =+．由题意得1244244MA MB k k y y ⨯=⨯=-++，即()12124240y y y y +++=，将①②代入可得164240m b -+=，即46b m =+．故直线AB 的方程可化为46x my m =++，即()64x m y -=+，直线AB 过定点()6,4D -．因为MN AB ⊥于点N ，所以点N 在以MD 为直径的圆上，故存在MD 的中点Q ，即()5,0Q ，使得2MD NQ ==，为定值．21．命题意图本题考查利用导数研究函数性质．解析（Ⅰ）()()1e x f x x +'=，可得()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增．令()()1h x m x =-，作出()f x 与()h x 的大致图象如图所示，因为存在唯一的负整数0x ，使得()()00f x h x <，则01x =-，故()()()()11,22,f h f h ⎧-<-⎪⎨-≥-⎪⎩即2213e2e m ≤<，故m 的取值范围为221,3e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭．（Ⅱ）根据题意，()()213ln 8a x af x ++≥对()1,x ∈-+∞恒成立，等价于()e ln 12ln 3ln23x ax x a -+≥--对()1,x ∈-+∞恒成立．令()()e ln 1,1x F x ax x x =-+>-，则有()()1e e 1x x F x a x x =+-+'，令()()()1e e ,11x x G x F x a x x x =-+'=+>-，则()()212e 0(1)x G x a x x =++>+'，所以()F x '在()1,-+∞上单调递增，又1x →-时，(),F x x →-∞'→+∞时，()F x '→+∞，从而存在唯一的()01,x ∈-+∞，使得()00F x '=，即()00001e e 01x x a x x +-=+，可得()()000201,ln 2ln 11e x a a x x x ==-+-+，当()01,x x ∈-时，()()0,F x F x '<在()01,x -上单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()()0,F x F x '>在()0,x +∞上单调递增，故()()()0000e ln 1x F x F x ax x ≥=-+，故原不等式恒成立只需()()()00000020e ln 122ln 13ln231e x x x x x x x ⋅-+≥-+---⎡⎤⎣⎦+，即()()000203ln 123ln2301x x x x +++++≥+．构造函数()()23ln 123ln23,1(1)x H x x x x x =+++++>-+，可得()2331335422(1)1(1)x x x H x x x x -++=++=+'+++，当1x >-时，令()2354u x x x =++，因为Δ2548230=-=-<，从而可得()0H x '>在()1,x ∈-+∞时恒成立，又102H ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()0H x ≥的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．又因为()00ln 2ln 1a x x =-+-，令()()2ln 1v x x x =-+-，易得()v x 在定义域内单调递减，所以111ln 2ln 1ln4222a ⎛⎫≤--++=+ ⎪⎝⎭，所以1ln42e a ≤=故a的取值范围为(．22．命题意图本题考查方程的互化、直线的参数方程的应用．解析（Ⅰ）由l 的参数方程可知()2,0P -，由题意知11232223OPQ S OP OQ OQ ==⨯=△，所以233OQ =，即230,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以l 的斜率为()23033023-=--，所以6πα=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2,2:12x t l y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入221x y -=，得到260t -+=．设,A B 对应的参数分别为12,t t，则121260t t t t +==>，故121211233t t PA PB t t ++==．23．命题意图本题考查绝对值不等式的解法及性质．解析（Ⅰ）将2,3a b ==代入()6f x ≥，得236x x ++-≥，等价于2,126,x x ≤-⎧⎨-≥⎩或23,56,x -<<⎧⎨≥⎩或3,216,x x ≥⎧⎨-≥⎩得52x ≤-或无解或72x ≥．所以不等式()6f x ≥的解集为57,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ ．（Ⅱ）()()()f x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+，因为()f x 的最小值为2，且0,1a b >>，所以2a b +=．()1111111a b a b a b ⎛⎫+=++- ⎪--⎝⎭12241b a a b -=++≥+=-，当且仅当11b a a b -=-，即1a b =-，也即13,22a b ==时取等号，所以111a b +-的最小值为4．。

高三数学阶段性试卷及答案

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$，则$f(x)$的对称中心是：A. $(0, 4)$B. $(1, 2)$C. $(1, 0)$D. $(0, 0)$2. 若复数$z = a + bi$（其中$a, b \in \mathbb{R}$）满足$|z - 1| = |z + 1|$，则实数$a$的取值为：A. $0$B. $1$C. $-1$D. 无解3. 在$\triangle ABC$中，$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$，则$\sin A$的值为：A. $\frac{3}{5}$B. $\frac{4}{5}$C. $\frac{5}{3}$D. $\frac{3}{4}$4. 下列命题中，正确的是：A. 若$a > b$，则$a^2 > b^2$B. 若$a > b$，则$\log_a b < 1$C. 若$a > b$，则$\sqrt{a} > \sqrt{b}$D. 若$a > b$，则$a^3 > b^3$5. 已知函数$y = \log_2(x + 1)$的图象上一点$P(x, y)$，若点$P$到直线$y = x$的距离为1，则$x$的值为：A. $1$B. $\sqrt{3} - 1$C. $\sqrt{3} + 1$D. $\frac{1}{\sqrt{3}}$6. 若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_5 = 20$，$S_8 = 56$，则公差$d$的值为：A. 2B. 3C. 4D. 57. 在直角坐标系中，若点$A(1, 2)$关于直线$x + y = 1$的对称点为$B$，则$B$的坐标为：A. $(2, -1)$B. $(1, -2)$C. $(-2, 1)$D. $(-1, 2)$8. 已知等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1 = 1$，$S_3 = 7$，则公比$q$的值为：A. 2B. $\frac{1}{2}$C. 3D. $\frac{1}{3}$9. 若函数$y = ax^2 + bx + c$的图象开口向上，且顶点坐标为$(h, k)$，则下列不等式中正确的是：A. $a > 0$B. $b > 0$C. $c > 0$D. $ah^2 + bh + c > 0$10. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6$，则$f(x)$的极值点为：A. $x = 1$B. $x = 2$C. $x = 3$D. $x = 4$二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2$，则$f'(x) =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\。

南阳市第一中学2023届高三上学期第三次阶段测数学(理)试卷(PDF版,含解析)

2023届年高三第三次阶段性测试理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a ib i i+=+，则复数a bi −的模等于（） A ．2B ．3C ．5D ．62.设集合3(,)2,,1y A x y x y R x −⎧⎫==∈⎨⎬−⎩⎭，{}(,)4160,B x y x ay x y R =+−=∈，若A B ⋂=∅，则实数a 的值为（） A ．4B ．2−C ．4或2−D ．4−或23．在等比数列{}n a 中，12318a a a =，且86434a a a =+，则3a =（）A ．1B ．2C ．±1D ．2±4．若点(cos ,)P sin αα在直线2y x =−上，则cos(2)2πα+的值等于A ．45−B ．45C ．35-D ．355．设,a b 为两条直线，,αβ为两个平面，下列四个命题中真命题是（）A ．若,a b 与α所成角相等，则//a bB ．若//,//,//a b a ααβ，则b β//C ．若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβD ．若,,a b αβαβ⊥⊥⊥，则a ⊥b6．如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（） A ．221x y x =−− B ．2sin y x x =⋅C. ln xy x=D ．2(2)x y x x e =−⋅ 7. 给定两个长度为2的平面向量OA u u u r 和OB u u u r，它们的夹角为120°.如图所示.点C 在以O 为圆心2为半径的圆弧AB 上运动.则的最小值为 A. 4− B. 2− C. 0 D. 28．下列四个结论中正确的个数是 ①若22am bm <，则a b <②“已知直线m ，n 和平面α、β，若m n ⊥，m α⊥，n β∥，则αβ⊥”为真命题③3m =是直线()320m x my ++−=与直线650mx y −+=互相垂直的充要条件A ．1B ．2C ．3D ．49．已知函数()()213cos sin 222x f x x ϕϕ+=−++22ππϕ⎛⎫−<< ⎪⎝⎭，函数()f x 图象的一个对称中心为,03π⎛−⎫⎪⎝⎭，现将()f x 图象上各点的横坐标缩小到原来的13（纵坐标不变），纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当5,1818x ππ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，函数()g x 的值域为（）A ．(]1,2B ．(]1,2−C ．1,12⎛⎤− ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎤−⎢⎥⎣⎦10.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为332，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为（） A ．3 B ．2 C ．()9322− D ．32211．已知实数a ，b 满足312log 4log 9a =+，51213a a b +=，则下列判断正确的是（） A ．2a b >>B ．2b a >>C ．2b a >>D ．2a b >>12. 已知正方体ABCD A B C D ''''−的棱长为4，E ，F ，G 分别为BB '，C D ''，AA '的中点，点P 在平面ABB A ''中，25=PF ，点N 在线段AE 上，则下列结论正确的个数是（） ①点P 的轨迹长度为2π；②FP 的轨迹平面A B CD ''的交线为圆弧； ③NP 的最小值为65105−；④若CG P D ⊥'，则tan BPC ∠的最大值为5． A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.12200cos 1πxdx x dx +−=⎰⎰.14.2．已知，，且与的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是______．15. 在ABC V 中，若22(sin 3cos )40a a B B −++=，27b =，则的面积为_____．16.已知函数()()e sin 0xf x a x x =−>有两个零点，则正实数a 的取值范围为______．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17．（12分）在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1*2n a n b n N +=∈.（1）求数列{}n b 及{}n a 的通项公式；（2）若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S .18. （12分）如图所示，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，四边形BCC 1B 1为菱形，BC ＝2，∠BCC 1＝3π，D 为B 1C 1的中点．（1）证明：B 1C 1⊥平面A 1DB ；（2）若AC 1＝2，求二面角C 1﹣A 1B 1﹣C 的余弦值．19．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 所对的边，1sin cos sin 23cos 2a A C c Ab A +=.（1）求角A ；（2）已知D 是AB 上一点，2AB AD AC =<，7CD =3AC =，求BDC ∆的面积.20．（12分）已知圆C 的方程为22840x y x y +−+=，12,l l 是经过(0,2)P −且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆C 于,M N 两点，2l 交x 轴于Q 点． (1)若8MN =，求直线1l 的方程； (2)求面积的最小值．21. （12分）已知函数()()2121ln 1f x x x a x x x ⎛⎫=−+−−+ ⎪⎝⎭.其中()a ∈R(1)当0a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若对于任意0x >，都有()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在平面直角坐标系中，点()5,0P，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为223645cos ρθ=+，1F ，2F 是曲线C 的下、上焦点．（1）求曲线C 的标准方程和直线2PF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2PF 垂直的直线l 交曲线C 于A 、B 两点，求11AF BF −的值．23．已知函数()|1||3|f x x x =−+−.(1)解不等式()1f x x ≤+；(2)设函数()f x 的最小值为c ，实数,a b 满足0,0,a b a b c >>+=，求证：22111a ba b +≥++.高三第三次阶段性测试理科数学试题解析版一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a ib i i+=+，则复数a bi −的模等于（） A 2B 3C 5D 6【答案】C2．设集合3(,)2,,1y A x y x y R x −⎧⎫==∈⎨⎬−⎩⎭，{}(,)4160,B x y x ay x y R =+−=∈，若A B ⋂=∅，则实数a 的值为（） A ．4 B ．2− C ．4或2− D ．4−或2【答案】C【分析】本题先化简集合A 、集合B ，再结合A B ⋂=∅，确定直线21y x =+与4160x ay +−=平行或直线4160x ay +−=过点(1,3)，最后求实数a 的值.【详解】解：集合A 表示直线32(1)y x −=−，即21y x =+上的点，但除去点(1,3)，集合B 表示直线4160x ay +−=上的点，当A B ⋂=∅时，直线21y x =+与4160x ay +−=平行或直线4160x ay +−=过点(1,3)，所以42a−=或43160a +−=，解得2a =−或4a =．故选：C.3．在等比数列{}n a 中，1238a a a =，且86434a a a =+，则3a =（）A ．1B ．2C ．±1D ．2±【答案】C4．若点(cos ,)P sin αα在直线2y x =−上，则cos(2)2πα+的值等于A ．45−B ．45C ．35-D ．35【答案】B5．设,a b 为两条直线，,αβ为两个平面，下列四个命题中真命题是（ D ）A ．若,a b 与α所成角相等，则//a bB ．若//,//,//a b a ααβ，则b β//C ．若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβD ．若,,a b αβαβ⊥⊥⊥，则a ⊥b6．如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（）． D A ．221x y x =−− B ．2sin y x x =⋅ C. ln xy x=D ．2(2)x y x x e =−⋅u u u r u u u rA. 4−B. 2−C. 0D. 2【答案】B 【解析】【分析】设([0,120])AOC αα︒∠=∈，以,OA OB u u u r u u u r为平面内一组基底，根据平面向量的加法的几何意义、平面向量数量积的定义和运算性质，结合辅助角公式、余弦函数的单调性进行求解即可. 【详解】设([0,120])AOC αα︒∠=∈，因此有2()()CB CA CO OB CO OA CO CO OA OB CO OB OA ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2CO OC OA OB OC OB OA =−⋅−⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r422cos 22cos(120)22cos120αα︒︒=−⨯−⨯⋅−+⨯⋅44cos 4cos(120)2αα︒=−−−− 24cos 2cos 23ααα=−+− 22cos 23αα=−−24cos(60)α︒=−−，因为[0,120]α︒∈，所以60[60,60]α︒︒︒−∈−，所以当600α︒︒−=时，即60α︒=，CB CA ⋅u u u r u u r有最小值，最小值为242−=−. 故选：B8．下列四个结论中正确的个数是 ①若22am bm <，则a b <②“已知直线m ，n 和平面α、β，若m n ⊥，m α⊥，n β∥，则αβ⊥”为真命题 ③3m =是直线()320m x my ++−=与直线650mx y −+=互相垂直的充要条件 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A9．已知函数()()213cos 22x f x x ϕϕ+=−+22ππϕ⎛⎫−<< ⎪⎝⎭，函数()f x 图象的一个对称中心为,03π⎛−⎫⎪⎝⎭，现将()f x 图象上各点的横坐标缩小到原来的13（纵坐标不变），纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数ππA ．(]1,2B ．(]1,2−C ．1,12⎛⎤− ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎤−⎢⎥⎣⎦【答案】B ()()21cos 22x f x x ϕϕ+=−+ ()()1cos sin 26x x x πϕϕϕ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ∵函数()f x 的一个对称中心为,03π⎛−⎫ ⎪⎝⎭，∴36k ππϕπ−++=，∴6k πϕπ=+，∵22ππϕ−<<，∴6π=ϕ，∴()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()f x 图象上各点的横坐标缩小到原来的13（纵坐标不变），纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()sin 332g x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，∵51818x ππ−<<，73636x πππ<+<，所以函数()g x 的值域为(]1,2−.故选：B .10.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为2，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为（）BA ．3 BC．92D．211．已知实数a ，b 满足312log 4log 9a =+，51213a a b +=，则下列判断正确的是（） A ．2a b >> B ．2b a >> C ．2b a >> D ．2a b >>【详解】由题意，31333323log 92lo 12g 4log 9log 4log 4log 1log 4a =+=+=++，所以3322log 421log 4a −=+−+()333log log 1g 4144lo =+−，因为3log 41>，所以()333414log log 01log 4>+−，即2a >.所以2213512512169b a a >==++,即21313b >，所以2b >.再来比较,a b 的大小：因为20a −>，所以222512135144122511693a a a a a a −−−++⨯−=⨯−⨯22212144122516913a a a −−−<⨯−⨯+⨯221691216931a a −−=−⨯⨯()2216912301a a −−=−<，所以b a <.综上所述，2a b >>. 故选：A.12. 已知正方体ABCD A B C D ''''−的棱长为4，E ，F ，G 分别为BB '，C D ''，AA '的中点，点P 在平面ABB A ''中，25=PF ，点N 在线段AE 上，则下列结论正确的个数是（） ①点P 的轨迹长度为2π；②FP 的轨迹平面A B CD ''的交线为圆弧； ③NP 的最小值为65105−；④若CG P D ⊥'，则tan BPC ∠的最大值为5． A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】D【详解】解：根据正方体的性质知，F 到平面''ABB A 的距离为4，因为254PF =>，所以FP 的轨迹为圆锥的侧面，P 点在圆锥底面的圆周上，圆锥的底面的圆半径为()222542−=，圆锥的高为4，母线25=PF ，对于①，点P 的轨迹长度为224ππ⨯=，故①错误，对于②，由题意知，平面''A B CD 与圆锥的高不垂直，所以平面''A B CD 截圆锥所形成的曲线为椭圆，所以FP 的轨迹与平面''A B CD 的交线不是圆弧，故②错误，对于③，以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，以'AA 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，所以()0,0A ，()4,2N ，P 点所在的圆的圆心为()2,4O ，所以圆的标准方程为()()22244x y −+−=，AE 所在的直线方程为12y x =，所以圆心到直线的距离为222465512−⨯=+，所以圆上的点到直线的距离最小值为6525−，即NP 的最小值为65105−，故③正确；则(0,D 0，0)，'(0,D 0，4)，(0,C 4，0)，(4,G 0，2)，(4,B 4，0)设(4,P y ，)z ，因为'D P CG ⊥，所以'0D P CG =g u u u u r u u u r，即()164240y z −+−=，对于P ，()()22244y z −+−=，tan BC BPC BP∠=，即求BP 的最小值，()222452432BP y z y y =−+=−+，由二次函数的性质知，当24 2.425y −=−=⨯时，BP 取得最小值455，又因为42BC =，所以10BC BP=，所以tan BPC ∠的最大值为10，所以④错误，故选：D ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 12200cos 1πxdx x dx +−=⎰⎰. 14π+14.已知(),2a k =−r ，() 3,5b =−r ，且a r 与b r的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是______．【答案】1066,,355⎛⎫⎛⎫−⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;15. 在中，若22(sin 3cos )40a a B B −++=，27b =，则的面积为_____．【答案】3【详解】解：由题得24sin()403a a B π−++=，因为方程有解，所以2216sin ()160,sin ()133B B ππ∆=+−≥∴+≥,所以sin()13B π+=±,因为0.333B B πππππ<<∴<+<+,所以24402a a a −+=∴=，. 由余弦定理得22328=4+22,23240,432c c c c c −⨯⨯⨯∴−−=∴=. 所以的面积为111sin 24323222S ac B ==⨯⨯⨯=. 故答案为：2316.已知函数()()e sin 0xf x a x x =−>有两个零点，则正实数a 的取值范围为______．【答案】944(2e ,2e )ππ【分析】由已知可得方程e sin x a x =其中()2,2N x k k k πππ∈+∈，有两个根，利用导数研究e sin xy x=，()2,2N x k k k πππ∈+∈，的单调性，作出其函数图象，观察图象可求出a 的取值范围.【详解】因为函数()()e sin 0,0xf x a x x a =−>>有两个零点，所以方程()e sin 00,0xa x x a −=>>有两个根，所以()2,2N x k k k πππ∈+∈，所以方程e sin xa x =其中()2,2N x k k k πππ∈+∈，有两个根，设e ()sin xg x x=，()2,2N x k k k πππ∈+∈，，所以2e sin cos e ()sin x xx x g x x−'=，令()0g x '=可得e sin cos e 0x x x x −=，化简可得24x k ππ=+，N k ∈，所以当22,N 4k x k k πππ<<+∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当22,N 4k x k k ππππ+<<+∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，作函数()g x 的图象可得，由图象可得，当9()()g a g ππ<<时，直线y a =与函数e()xg x =，()2,2N x k k k πππ∈+∈，，的图象有且仅有所以当9442e 2e a ππ<<时，函数()()e sin 0xf x a x x =−>()0a >有两个零点，故答案为：944(2e ,2e )ππ．题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17．（12分）在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1*2n a n b n N +=∈.（1）求数列{}n b 及{}n a 的通项公式；（2）若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 17．解：（1）依题意12b =,3328b ==,设数列{}n b 的公比为q ,由120n a n b +=>,可知0q >,由223128b b q q =⋅=⨯=,得24q =,又0q >,则2q =,故111222n n n n b b q−−==⨯=,┅┅┅┅┅┅4分又由122n a n +=,得1n a n =−. ┅┅┅┅┅┅6分（2）依题意1(1)2n n c n −=−⨯.┅┅┅┅┅┅7分01221021222(2)2(1)2n n n S n n −−=⨯+⨯+⨯+⋯+−⨯+−⨯,①则12312021222(2)2(1)2n n n S n n −=⨯+⨯+⨯+⋯+−⨯+−⨯,②①-②得12122222(1)2(1)212nn nn n S n n −−−=+++−−⨯=−−⨯−…,┅┅┅┅┅┅10分即2(2)2n n S n −=−+−⨯,故2(2)2nn S n =+−⨯.┅┅┅┅┅┅12分18. 如图所示，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，四边形BCC 1B 1为菱形，BC ＝2，∠BCC 1＝3π，D 为B 1C 1的中点．（1）证明：B 1C 1⊥平面A 1DB ；（2）若AC 1＝2，求二面角C 1﹣A 1B 1﹣C 的余弦值．【答案】（1）证明见解析（215（1）证明：由AB ＝AC ，则有A 1B 1＝A 1C 1. ∵D 为B 1C 1的中点，∴A 1D ⊥B 1C 1. 由BC ＝2，则有B 1D ＝1，BB 1＝2， ∵1113B BC C BC π=∠=∠，∴2222111112cos21221332BD B B B D B B B D π=+−⋅=+−⨯⨯⨯= ∴BD 2+B 1D 2＝BB 12，∴BD ⊥B 1C 1，∵A 1D ∩BD ＝D ，∴B 1C 1⊥平面A 1DB . ┅┅┅┅┅┅6分（2）取BC 中点为E ，连接AE ，C 1E ，由AB ⊥AC ，得AE ＝12BC ＝1，由题意得C 1E ＝BD ＝3，∴222114AE C E AC +==，∴AE ⊥C 1E ，又可知AE ⊥BC ，AE ∩C 1E ＝E ，则AE ⊥平面BB 1C 1C ，如图，以E 为坐标原点，1C E BE AE u u u u r u u u r u u u r，，分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，┅┅┅┅┅┅7分则C （0，﹣1，0），B 1（3，2，0），A 1（3，1，1），B （0，1，0），D （3，1，0），由A 1D ∥AE ，得A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，∴BD ⊥B 1C 1，∵BD ⊥B 1C 1，A 1D ∩B 1C 1＝D ，∴BD ⊥平面A 1B 1C 1， ∴平面A 1B 1C 1的法向量BD u u u r＝（3，0，0），┅┅┅┅┅┅8分设平面A 1B 1C 的法向量n r＝（x ，y ，z ），则，不妨取x ＝﹣3，得n r＝（﹣3，3，3），┅┅┅┅┅┅9分设二面角C 1﹣A 1B 1﹣C 的平面角为θ，由图示θ为锐角. ┅┅┅┅┅┅10分则cosθ＝，┅┅┅┅┅┅11分 ∴二面角C 1﹣A 1B 1﹣C 的余弦值为155．┅┅┅┅┅┅12分 19．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 所对的边，1sin cos sin 23cos 2a A C c Ab A +=. （1）求角A ；（2）已知D 是AB 上一点，2AB AD AC =<，7CD =，3AC =，求BDC ∆的面积.19．（1）∵1sin cos sin 23cos 2a A C c Ab A +=， ∴sin cos sin cos 3cos a A C c A A b A +=，由正弦定理得()sin sin cos cos sin 3sin cos A A C A C B A +=， ∴()sin sin 3sin cos A A C B A +=，即sin sin 3sin cos A B B A =， ∵0B π<<，∴sin 0B ≠，∴sin 3cos A A =，显然cos 0A ≠，∴tan 3A =，∵0A π<<，∴3A π=.┅┅┅┅┅┅6分（2）在ADC ∆中，由余弦定理知，2222cos DC AD AC AD AC A =+−⋅，即()222173232AD AD =+−⨯⨯⨯，解得1AD =或2AD =（舍），∵2AB AD =，∴1BD AD ==，∴133313224BDC ACD S S ∆∆==⨯⨯⨯=.┅┅┅┅┅┅12分20．已知圆C 的方程为22840x y x y +−+=，12,l l 是经过(0,2)P −且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆C 于,M N 两点，2l 交x 轴于Q 点．(1)若8MN =，求直线1l 的方程； (2)求面积的最小值．20.（1）圆C 的方程为22(4)(2)20x y −++=，圆心(4,2)C −，半径25r =．若1l 垂直于x 轴，则4MN =不合题意，┅┅┅┅┅┅2分故1l 斜率存在，设为k ，则1l 的方程为2y kx =−，即20kx y −−=．┅┅┅┅┅┅3分8MN =，C 到1l 的距离()222542d =−=，242221k k +−=+，解得33k =±，┅┅┅┅┅┅4分故直线1l 的方程为323y x =±−，即3360x y ±−−=．┅┅┅┅┅┅5分（2）由已知，2l 斜率不为0，故1l 斜率存在．┅┅┅┅┅┅6分当2l 斜率不存在时，2l 方程为0x =，则(0,0)Q ，此时1l 方程为=2y −，此时45MN =， 1452452QMN S =⨯⨯=△．┅┅┅┅┅┅7分当2l 斜率存在时，设1:2l y kx =−即20kx y −−=，则圆心C 到直线MN 的距离为241k k +．┅┅┅┅┅8分()222222216420522524111k k k MN k k k ++=−==+++，┅┅┅┅┅┅9分 2l 方程为12y x k =−−，即20x ky ++=，()2,0Q k −，则点Q 到MN 的距离为22221k k−−+．┅┅┅┅┅┅10分22222122454545211QMNk k S k k k ++=⨯⨯=+>++△.┅┅┅┅┅┅11分综上：面积的最小值为45．┅┅┅┅┅12分21. 已知函数()()2121ln 1f x x x a x x x ⎛⎫=−+−−+ ⎪⎝⎭.其中()a ∈R(1)当0a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若对于任意0x >，都有()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 解：（1）()12ln 1f x x x ⎛⎫'=+− ⎪⎝⎭，令其为()p x ，则()21120p x x x ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭┅┅┅┅┅┅1分所以可得()p x ，即单调递增，┅┅┅┅┅┅2分而()10f '=，则在区间()0,1上，，函数()f x 单调递减；┅┅┅┅┅┅3分在区间上，函数()f x 单调递增┅┅┅┅┅┅4分（2）()()2112ln x f x x x a x ⎛⎫−=−+ ⎪⎝⎭，令()212ln x h x x ax −=+，可知()10h =. ()222ax x a h x x++'=，令()22,0g x ax x a x =++>，┅┅┅┅┅┅5分 ①当1a ≤−时，结合()g x 对应二次函数的图像可知，()0g x ≤，即()0h x '≤，所以函数()h x 单调递减，∵()10h =，∴()0,1∈x 时，()0h x >，()1,∈+∞x 时，()0h x <，可知此时()0≤f x 满足条件；┅┅┅┅┅┅7分②当0a ≥时，结合()g x 对应的图像可知，()0h x '>，()h x 单调递增， ∵()10h =，∴()0,1∈x 时，()0h x <，()1,∈+∞x 时，()0h x >，可知此时()0≤f x 不恒成立，┅┅┅┅┅┅9分 ③当10a −<<时，研究函数()22g x ax x a =++.可知()10g >.对称轴11x a=−>. 那么()g x 在区间11,a ⎛⎫−⎪⎝⎭大于0，即()h x '在区间11,a ⎛⎫− ⎪⎝⎭大于0， ()h x 在区间11,a ⎛⎫− ⎪⎝⎭单调递增，()()10h x h >=，可知此时()0f x >.所以不满足条件. ┅┅┅┅┅11分综上所述：1a ≤−.┅┅┅┅┅┅12分（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系中，点)P，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为223645cos ρθ=+，1F ，2F 是曲线C 的下、上焦点．（1）求曲线C 的标准方程和直线2PF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2PF 垂直的直线l 交曲线C 于A 、B 两点，求11AF BF −的值．解：由223645cos ρθ=+得()2245cos 36ρρθ+=，即()2224536y x x ++=，所以229436x y +=，即22149x y +=，┅┅┅┅┅┅2分∴(2F ，∴直线2PF 1=，即0x y +=；┅┅┅┅┅┅4分（2）解：由（1）知(10,F ，直线l的直角坐标方程为y x =，直线l的参数方程为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程代入曲线C的标准方程可得：213320t −−=，┅┅┅┅┅┅6分设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则12t t +=123213t t =−，∴1t ，2t 异号，┅┅┅┅┅┅8分∴111213AF BF t t −=+=．┅┅┅┅┅┅10分 23．已知函数()|1||3|f x x x =−+−.(1)解不等式()1f x x ≤+；(2)设函数()f x 的最小值为c ，实数,a b 满足0,0,a b a b c >>+=，求证：22111a ba b +≥++.23．(1)()1f x x ≤+，即131x x x −+−≤+.当1x <时，不等式可化为421x x −≤+，解得：1≥x 又∵1x <，∴x ∈∅； ┅┅┅┅┅┅1分当13x ≤≤时，不等式可化为21x ≤+，解得：1≥x 又∵13x ≤≤，∴13x ≤≤.┅┅┅┅┅┅2分当3x >时，不等式可化为241x x −≤+，解得：5x ≤ 又∵3x >，∴35x <≤.┅┅┅┅┅┅3分综上所得，13x ≤≤或35x <≤，即15x ≤≤.┅┅┅┅┅┅4分 ∴原不等式的解集为[]1,5.┅┅┅┅┅┅5分(2)由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x −+−≥−−−=， ∴2c =，即2a b +=.┅┅┅┅┅┅6分令1,1a m b n +=+=，则1,1m n >>，114a m b n m n =−=−+=,,，┅┅┅┅┅┅7分()()2222211114441112m n a b m n a b m n m n mn m n −−+=+=+++−=≥=+++⎛⎫ ⎪⎝⎭， ┅┅┅┅┅┅9分当且仅当2m n ==即1a b ==时等号成立.原不等式得证. ┅┅┅┅┅┅10分。

高三数学试卷理科答案解析

一、选择题1. 答案：D解析：本题考查函数的奇偶性。

根据函数的定义域关于原点对称，可得f(-x) = -f(x)，即函数为奇函数。

所以正确答案为D。

2. 答案：B解析：本题考查数列的通项公式。

由等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，代入a1 = 2，d = 3，得an = 2 + 3(n-1)。

当n = 10时，an = 2 + 3(10-1) = 29。

所以正确答案为B。

3. 答案：A解析：本题考查导数的应用。

由题意，f(x)在x = 1处的导数为0，则f'(1) = 0。

所以正确答案为A。

4. 答案：C解析：本题考查复数的运算。

将复数z = 1 + i写成极坐标形式，得z =√2(cos(π/4) + isin(π/4))。

所以正确答案为C。

5. 答案：B解析：本题考查二项式定理的应用。

根据二项式定理，(a + b)^n = Σ(nCk)a^(n-k)b^k，其中k = 0, 1, ..., n。

代入n = 4，a = x，b = 2，得(2x + 1)^4 =16x^4 + 32x^3 + 24x^2 + 8x + 1。

所以正确答案为B。

二、填空题6. 答案：-1/2解析：本题考查三角函数的周期性。

由题意，sin(2x + π/6) = -1/2。

因为sin函数的周期为2π，所以2x + π/6的取值范围为[2kπ - 5π/6, 2kπ + π/6]，其中k为整数。

解得x的取值范围为[kπ - π/2, kπ - π/6]，其中k为整数。

所以x的值为-1/2。

7. 答案：-2解析：本题考查一元二次方程的根。

根据一元二次方程的求根公式，x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)。

代入a = 1，b = -2，c = 1，得x = (2 ± √(4 - 4)) / 2 = 1。

所以正确答案为-2。

8. 答案：3π/2解析：本题考查向量积的应用。

高三理科数学试卷+答案

理科数学试题一、选择题（每题5分，共60分）1.已知i 是虚数单位,复数z 满足2(1i)1i z-=+则z =()B.2C.12.已知全集{}2|230,{3}U x x x A =+-≤=-,则U A =ð()A.(,3](1,)-∞⋃+∞B.(3,1]- C.[3,1)- D.[3,1]-3.已知0.30.3121,log 0.3,0.32a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小关系是()A.a b c<< B.c a b<< C.a c b << D.a c b<<4.函数2()cos ln f x x x =的图象大致为()A. B.C.D.5.已知向量,a b 的夹角为π4,且2,a b == ,则a b -= ()A.1B.2C.4D.66.若曲线e 1xy =+在0x=处的切线,也是ln y x b =+的切线,则b =()A.-1B.2C.4D.37.在等差数列{}n a 中,12018a =-,其前n 项和为n S ,若151051510S S -=则2020S =()A.0B.2018C.-2019D.20208、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.8π3+ B.8π+ C.82π3+D.89.如图,已知点()2,2A 与反比例函数2y x=,在正方形ABOC 内随机取一点P ,则点P 取自图中阴影部分的概率为()10.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,过F 且倾斜角为120的直线与抛物线C 交于,A B 两点,若,AF BF 的中点在y 轴上的射影分别为,M N ,且||43MN =,则抛物线C 的准线方程为()A.32x =-B.2x =- C.3x =- D.4x =-11.已知函数2,0()2ln ,0x x f x x x ⎧⎪<=⎨⎪>⎩,若函数()()1g x f x kx =--有且只有三个零点,则实数k 的取值范围()A.21(0,)eB.1(,0)2- C.(0,e)D.211(,)2e-12.已知等边ABC △的边长为23,,M N 分别为,AB AC 的中点,将AMN △沿MN 折起得到四棱锥A MNCB -.点P 为四棱锥A MNCB -的外接球球面上任意一点,当四棱锥A MNCB -的体积最大时,P 到平面MNCB 距离的最大值为()A.1312+ B.1312+ C.33+ D.35+二、填空题（每题5分，共20分）13.太极图被称为"中华第一图".从孔庙大成殿梁柱,到楼观台,三茅宫等的标记物,太极图无不跃居其上,这种广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而被称为"阴阳鱼太极图".在如图所示的阴阳鱼图案中,阴影部分的区域可用不等式组222240(1)1x y x x y ⎧+⎪≤≤≥⎨⎪++⎩或22(1)1x y +-≤来表示,设(),x y 是阴影中任意一点,则z x y =+的最大值为_______.A.ln 22B.1ln 22+ C.2ln 22- D.1ln 22-14.某校举行歌唱比赛,高一年级从6名教师中选出3名教师参加,要求李老师,王老师两名老师至少有一人参加,则参加的三名老师不同的唱歌顺序的种数为______.(用数字作答)15.已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>满足π2,(π)04f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭,且()f x 在区间ππ(,43上单调,则ω的值有_____个.16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左,右顶点12,A A ,右焦点为1,F B 为虚轴的上端点,在线段1BF 上(不含端点)有且只有一点P满足120PA PA ⋅=,则双曲线的离心率为________.三、解答题（共70分）17、（本题12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且12n na a +=，149a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()12121log log 1n n n a b a S ++=⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18、（本题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒，PA PB PC ==.（1）证明：PBD △为直角三角形；（2）若2PD =，E 是PC 的中点，且二面角P AB E --的余弦值为5714，求三棱锥P ABE -的体积.19、（本题12分）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A B B C C D D E +++、、、、、、、共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为371624241673％、％、％、％、％、％、％、％．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[]91,100、[]81,90、[]71,80、[]61,70、[]51,60、[]41,50、[]31,40、[]21,30八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布()60,169N ．（1）求物理原始成绩在区间()47,86的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[]61,80的人数，求X 的分布列和数学期望．（附：若随机变量()2,N ξμσ~，则()0.682P μσξμσ-<<+=，()220.954P μσξμσ-<<+=，()330.997P μσξμσ-<<+=）20、（本题12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，下顶点为M ，直线2MF 与E 的另一个交点为P ，连接1PF ，若1PMF △的周长为12PF F △的面积为313b .(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线:(1)l y kx m m =+≠-与椭圆E 交于A ，B 两点，当m 为何值时，MA MB ⊥恒成立？21、（本题12分）已知函数213()e3x a f x x -=-，其中常数a ∈R .(1)若()f x 在(0,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)当1a =时，求证：导函数()y f x '=与函数241y x x =-+的图象有两个交点.22.（本题10分）在平面直角坐标系xOy 中,曲线C的参数方程为4cos 24sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数),以O 为极点以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为π6θ=.(1)求曲线C 的极坐标方程;(2)设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点,求AB 的值.理科数学参考答案1.答案：A 解析：复数z 满足2(1i)1i z -=+,2(1i)2i 2i(1i)1i 1i 1i 2z ----∴====--++,||z ∴==2.答案：B 解析：全集{|(3)(1)0}[3,1],{3}U x x x A =+-≤=-=-,则(3,1]U A =-ð.3.答案：B 解析：0.3.311221110.31,log 0.3log 1222a ⎛⎫⎛⎫<<=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,c a b ∴<<.4.答案：C解析：易知()(),()f x f x f x -=∴为偶数,当(0,1)x ∈时,2cos 0,ln 0x x ><,所以当(0,1)x ∈时,()0f x <,故只有C 选项满足条件.5.答案：B解析：||82a b -===+= 6.答案：D解析： e 1x y =+的导数为'e x y =,曲线 e 1x y =+在0x =处的切线斜率为1k =,则曲线 e 1x y =+在0x =处的切线方程为2,ln y x y x b -==+的导数为1y x '=设切点为(),m n .则11m=解得1,3m n ==,即有3ln1b =＋解得3b =.7.答案：D 解析：设等差数列{}n a 的公差为d ,由等差数列的性质可得112n S n a d n -=+为等差数列,n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为2d .15105,5515102S S d -=∴⨯=.解得2d =.则2020202020192020(2018)220202S ⨯=⨯-+⨯=.8.答案：A 解析：该几何体是由一个四棱锥和一个圆柱的一半组成的几何体,体积为2118π12222π233⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+.9.答案：D解析：由题意可得正方形的面积为4,联立,22y y x =⎧⎪⎨=⎪⎩解得12x y =⎧⎨=⎩.所以阴影部分面积为221122d 22ln (42ln 2)(20)22ln 2x x x x ⎛⎫-=-=---=- ⎪⎝⎭⎰,所以所求概率22ln 21ln 242P --==.10.答案：C 解析：抛物线2(:20)C y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,过F 且倾斜角为120的直线方程设为)2py x =-联立抛物线的方程可得2220py +-=.设A 的纵坐标为1y ,B 的纵坐标为2y ,,M N 的纵坐标为1211,22y y ,可得21212y y y p +==-,则121||2y y -=,可得()212124192y y y y +-=,即为22192443p p =+解得6p =,则抛物线的准线方程为3x =-.11.答案：A解析：如图,作出函数,0()2ln ,0xx f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪>⎩的图象,函数()()1g x f x kx =--有且只有三个零点,则函数()f x 与函数1y kx =+的图象有且只有三个交点,函数1y kx =+图象恒过点()0,1则直线1y kx =+在图中阴影部分内时,函数()f x 与1y kx =+有三个或两个交点.当直线1y kx =+与ln y x =的图象相切时,设切点为()00,ln x x 切线斜率为000011,ln 1k x x x x =∴=⋅+解得202211e ,,0,e ex k k ⎛⎫=∴=∴∈ ⎪⎝⎭.12.答案：A 解析：如图,由题意,易知,CM BM BN CN ⊥⊥,所以取BC 的中点E ,则E 是等腰梯形MNCB 外接圆圆心.AMN △为等边三角形,所以取MN 中点D ,连接AD ,在AD 上取点F 使2AF FD =,所以点为F AMN △外心.易知13,,1,.22AD MN DE MN DF AF DE ⊥⊥===设点O 为四棱锥A MNCB -的外接球球心OE ∴⊥平面MNCB ,OF ⊥平面AMN .当四棱锥A MNCB -的体积最大时,平面AMN ⊥平面MNCB .π31,,222ADE OF ED OE FD ∴∠=====设四棱锥A MNCB -的外接球半径R,则222134R AF OF =+=.所以当四棱锥A MNCB -的体积最大时,P 到平面MNCB距离的最大值为max d R OE =+=.13.答案：1解析：依题意,,,z x y y x z z =+∴=-+表示直线y x z =-+在y 轴上的截距,所以当直线y x z =-+与圆22(1)1x y +-=切于如图的点A 时,z 最大(1)z >.因为直线y x z =-+与圆相切,所以点()0,1到直线0x y z +-=的距离为1,即11z =>,1=,解得1z =+.14.答案：96解析：第一步:先选3人,李老师与王老师至少有一人参加,用间接法,有3364C C 20416-=-=种;第二步,将3人排序,有336A =种.故不同发言顺序的种数为16696⨯=.15.答案：9解析：由π2,(π)04f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭知,*π3ππ,N 4244T kT k +=-=∈,*3π2(12),,N 123k T k k ω+∴==∈+又因为()f x 在区间ππ(,)43上单调,ππ342T ∴-≤故π2π,126T Tω≥∴=≤,即2(12)1712,32k k +≤∴≤,*N ,0,1,2,8k k ∈∴= 符合条件的ω的值有9个.16.解析：由题意1(,0),(0,)F c B b ,则直线1BF 的方程为0bx cy bc +-=,在线段1BF 上(不含端点)有且只有一点满足120PA PA ⋅=,则1PO BF ⊥,且PO a =,a ∴=即22222222b c a a b c b c =⋅+=+ ,42244230,310c a c a e e ∴-+=-+=,解得2351522e e ++=∴=.17.答案：（1）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且12n na a +=，149a a +=.∴数列{}n a 为等比数列，公比2=q ,又149a a +=，11a ∴=.因此数列{}n a 的通项公式为12n n a -=,*n N ∈.（2）由()12121log log 1n n n a b a S ++=⋅+，得1221111(1)1log 2log 2n n n b n n n n +===-++.11111122311n n T n n n =-+-+-=++ .18.解析：（1）因为四边形ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒，所以AD BD CD ==，取AB 的中点M ，连接DM ，PM ，易知DM AB ⊥，因为PA PB =，所以PM AB ⊥，因为PM DM M ⋂=，所以AB ⊥平面PDM ，又PD ⊂平面PDM ，所以PD AB ⊥.取BC 的中点N ，连接DN ，PN ，同理得PD BC ⊥，又AB BC B ⋂=，所以PD ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥，故PBD △为直角三角形.（2）由（1）可知，直线DM ，DC ，DP 两两垂直，故可以D 为坐标原点，DM ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示.设AB a =，则,,02a A ⎫-⎪⎪⎝⎭，,,02a B ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,,0)C a ，(0,0,2)P ，因为E 是PC 的中点，所以0,,12a E ⎛⎫⎪⎝⎭，则(0,,0)AB a =，,,222aPA a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,12BE a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面PAB 的法向量为()111,,x y z =m ，则0,0,AB PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 得11110,320,22ay a ax y z =⎧--=⎪⎩令12x =，则2a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭m .设平面ABE 的法向量为()222,,x y z =n ，则0,0,AB BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得2220,30,2ay z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩令21x =，则⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n，所以2324|cos ,|a +〈〉=m n .令2314t a =+，则14=，解得73t =或4t =，所以237143a +=或23144a +=，所以43a =或2a =.连接AC ，因为12P ABC P ABCD V --=，12E ABC P ABC V V --=，所以2111344312P ABE E ABC P ABCD V V AB DM PD a ---===⨯⨯⨯⨯=.当2AB =时，三棱锥P ABE -；当43AB =时，三棱锥P ABE -19.答案：（1）因为物理原始成绩()260,13N ξ~，所以()()()478647606086P P P ξξξ<<=<<+≤<()()1160136013602136021322P P ξξ=-<<++-⨯≤<+⨯0.6820.95422=+0.818=．所以物理原始成绩在()47,86的人数为20000.8181636⨯=（人）．（2）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[]61,80内的概率为25．所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，且23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()332705125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()21323541C 55125P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭；()22323362C 55125P X ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭；()32835125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．所以X 的分布列为X 0123P2712554125361258125所以数学期望()26355E X =⨯=．20.解析：(1)设122F F c =.由椭圆的定义可知，1PMF △的周长为4a =a =直线2MF 的方程为by x b c =-，与22221x y a b +=联立可得点2322222,a c b P a c a c ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，12PF F ∴△的面积为333222112223b b c c b a c c ⨯⨯==++，即232c c =+，解得1c =或2c =(舍)，则2221b a c =-=，∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=.(2)联立22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222214220k x kmx m +++-=，()228210k m ∆=-+>.由(1)可知(0,1)M -，设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222422,2121km m x x x x k k -+=-=++，()212122242222121k m my y k x x m m k k +=++=-+=++，()()()2212121212y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++()22222222222242212121k m k m m k m k k k --=-+=+++，()()1122,1,1 MA MB x y x y ∴⋅=+⋅+uuu r uuu r ()()121211x x y y =+++1212121x x y y y y =++++22222222221212121m m k mk k k --=++++++.由MA MB ⊥得0MA MB ⋅=uuu r uuu r ，故23210m m +-=，解得13m =或1m =-(舍)，∴当13m =时，MA MB ⊥恒成立.21.解析：(1)因为()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以212()2e 0x f x ax -'=-≥在(0,)+∞上恒成立，即212e 2x a x -≤恒成立，只需使212mine 2x a x -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可.设212e ()(0)x h x x x -=>，则2122121432e 2e 2(1)e ()x x x x x x h x x x -----'==.当(0,1)x ∈时，()0h x '<，函数()h x 在(0,1)上单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，所以()h x 的最小值为(1)e h =，所以e 2a≤，解得2e a ≤，故实数a 的取值范围是(,2e]-∞.(2)证明：当1a =时，212()2e x f x x -'=-.令()221()()412e 41x g x f x x x x -'=--+=--，则21()44x g x e -'=-.令()0g x '>得12x >；令()0g x '<得12x <，所以()g x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()g x 在12x =处取极小值，1102g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭.因为32(1)410e g -=+->，3(2)290g e =->，所以存在12111,,,222x x ⎛⎫⎛⎫∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()()120,0g x g x ==，所以()g x 有两个零点，即导函数()y f x '=与函数241y x x =-+的图象有两个交点.22.答案：(1)曲线C 的参数方程为4cos 24sin x y αα=+⎧⎨=⎩.得曲线C 的普通方程为224120x y x +--=.所以曲线C 的极坐标方程为24cos 12ρρθ-=.(2)设,A B 两点的极坐标方程分别为12ππ(,,66ρρ,12||AB ρρ=-,又,A B 在曲线C 上,则12,ρρ是2π4cos 1206ρρ--=的两根.12121212,||AB ρρρρρρ∴+==-∴=-=.23.答案：(1).∵0,0a b >>,1a b +=由基本不等式得:2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭,当且仅当12a b ==时等号成立,由ab m ≤恒成立,14m ∴≥(2).∵(),0,a b ∈+∞()4141459b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥ ⎪⎝⎭故要使41212x x a b+≥--+恒成立,第7页共7页则2129x x --+≤当2x ≤-时,不等式化为:1229x x -++≤,解得62x -≤≤-当122x -<<时,不等式化为:1229x x ---≤,解得122x -<<当12x ≥时,不等式化为:2129x x ---≤,解得1122x ≤≤故 x 的取值范围[]6,12-.。

深圳中学高三数学第一次阶段性测试及其答案

深圳中学高三年级第一次阶段性测试数学（理科）本试卷共4页，22小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案. 答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效. 5．考生必须保持答题卡的整洁.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1. 已知全集U =R , 集合{}2|20N A x x x =∈-≤, {}2,3B =, 则=)(B C A U(A)∅ (B){}0 (C){}1 (D){}0,1 2．函数()()121log 21f x x =+的定义域为(A)1(,0)2-(B)1(,)2-+∞(C)()1(,0)0,2-+∞(D)1(,2)2- 3．设,,x y ∈R 则“222x y +≥”是“1x ≥，且1y ≥”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 4．根据下列条件,能确定ABC ∆有两解的是(A)︒===120,20,18A b a (B)︒===60,48,3B c a (C)︒===30,6,3A b a (D)︒===45,16,14A b a 5．已知tan 2α=，则2sin 2cos αα+=(A)35 (B)35- (C) 35-或1 (D)16．把函数())4f x x π=-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的4倍，再向左平移3π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递减区间为 (A)57[,]66ππ-(B)719[,]66ππ (C)24[,]33ππ-(D)175[,]66ππ-- 7．函数23ln(44)()(2)x x f x x -+=-的图象可能是(A) (B) (C) (D) 8．若函数()()2log 8a f x x ax=-在区间221,4a a ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，则a 的取值范围是(A) 2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ (B)⎫⎪⎪⎝⎭(C) ((D) (]1,29．已知函数()cos f x x x =，其中π,3x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若()f x 的值域是[]1,2-，则实数m 的取值范围是 (A) π,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ (B) ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ (C) 2ππ,32⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ (D) ππ,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦10．已知 e πa =，π3b =,πe c =，则它们的大小关系是(A)a b c >> (B)c b a >> (C)b c a >> (D)c a b >>11．已知定义在R 上的函数()f x 对任意x ∈R 满足：()(2)f x f x =-，当1x ≤时，()e 1x f x =-，则方程()|1|10f x x +--=的实根个数为(A)2 (B)3 (C)4 (D)512．已知函数()e ln x f x a x x =-，存在N n ∈，使得函数()f x 在区间(,2)n n +上有两个极值点，则实数a 的取值范围是（A ）3ln 3e 1(,)e e （B ）错误！未指定书签。

高三数学十一月阶段性检测题(理科)

高三数学十一月份阶段性检测题(理科)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N 等于( C )A ．{x |x ＜－2}B ．{x |x ＞3}C ．{x |－1＜x ＜2}D ．{x |2＜x ＜3}2.已知a 、,R ∈b 那么“122<+b a ”是“b a ab +>+1”的（B ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件3．若关于x 的不等式2log (17)x x a +--≤的解集为R ，则a 的取值范围是（ A ）A ．3a ≥B ．3a >C ．3a ≤D ．3a <4．已知a ，b ，c 成等比数列，a ，m ，b 和b ，n ，c 分别成两个等差数列，则a m ＋c n 等于 ( C )A ．4B ．3C ．2D ．15．已知53415,0,,===<⋅==∆∆S b a b CA a CB ABC ABC 中，，则与的夹角为（D ）A.65π-B.6πC.6π或65πD.65π6．若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是（ D ）A ．1-BC ．12-D ．127．已知函数)(x f 是),(+∞-∞上的偶函数，若对于0≥x ，都有)()2(x f x f -=+，且当[)2,0∈x 时， )2010()2009(),1(log )(2-++=f f x x f 则的值为（ C ）A ．-2B ．-1C ．1D ．28．已知向量a ，b 满足|a|=2|b|≠0，且关于x 的函数f(x)= 21x 3+21|a|x 2+a ·bx 在R 上单调递增，则a ，b 的夹角的取值范围是（B ） A ．[0,2π) B ． [0, 3π] C ．(3π，2π] D ．(3π，32π] 9、定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，我们称{a n }为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝2，则a 2009a 2006的个位数字是( C )A ．3B ．4C ．6D ．810、某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（ A ）A 、5km 处B 、4km 处C 、3km 处D 、2km 处二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分.将答案填在题中横线上)11、在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，a ＝2(3＋1)，那么△ABC 的面积为__6＋23______12．读下面的流程图，若输入的值为－5时，输出的结果是_2_______.13．已知函数f(x)=-x 3+ax 2+bx(a ，b ∈R)的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为121，则a 的值为___－1_________．14．设函数()f x x x a =-，若对于任意21,x x 21),,3[x x ≠+∞∈，不等式0)()(2121>--x x x f x f 恒成立，则实数a 的取值范围是 3a ≤ ．15. 已知等差数列{}n a 中，若,m n a a a b ==则有m n am bna m n +-=-，则在等比数列{}nb 中，若,m n b p b q ==会有类似的结论：1()m m n m nn p b q-+=______.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．（本题满分12分）设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。

河南省三门峡市2022-2023学年高三上学期11月阶段性考试数学(理)试题含答案

三门峡市2022—2023学年度高三11月阶段性考试数学（理科）（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}{}20,40P x x Q x x =+==+=∣∣，则集合()(){}240xx x ++≠=∣（）A.()RP Q ðI B.()R P Q⋃ð C.()()RRP Q ⋂痧 D.()()RRP Q ⋃痧【答案】C 【解析】【分析】根据集合之间的交并补运算，即可求解.【详解】因为{}{}{}{}202,404P xx Q x x =+==-=+==-∣∣，而()(){}{}2402-4xx x x x x ++≠=≠-≠∣∣且所以()(){}()()240x x x P Q ++≠=⋂R R∣痧，故选:C.2.“1a =-”是“函数221y ax x =+-与x 轴只有一个交点”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据函数221y ax x =+-与x 轴的交点转换为方程2210ax x +-=得实根，从而可分类得a 的值，故可判断两个条件之间的关系.【详解】解：若函数221y ax x =+-与x 轴只有一个交点，即方程2210ax x +-=只有一个实根则0a =或2Δ240a a ≠⎧⎨=+=⎩，所以0a =或1a =-，因此“1a =-”是“函数221y ax x =+-与x 轴只有一个交点”的充分不必要条件.故选：C.3.设函数()()2log 1,223,2xx x f x x ⎧->=⎨-≤⎩，若()5f m =，则m =（）A.3B.4C.32D.33【答案】D 【解析】【分析】分两种情况，代入相应的函数进行求解.【详解】当m>2时，()2log 15m -=，解得：33m =，符合要求，当2x ≤时，231x -≤，故不可能等于5，综上：33m =故选：D4.已知正项等比数列{}n a 首项为1，且5344,,2a a a 成等差数列，则{}n a 前6项和为（）A.31B.3132C.6332D.63【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式及等比数列的前n 项和公式即可求解.【详解】∵5344,,2a a a 成等差数列，∴354242a a a =+，∴243111242a q a q a q =+，即2210q q +-=，解得12q =或1q =-，又∵0n a >，∴12q =，∴()66161111263113212a q S q ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦===--，故选：C.5.已知向量()1,2a =-- ，()2,b λ= ，且a 与b的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（）A.(),1-∞- B.()1,-+∞ C.()1,4- D.()()1,44,-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】由a 与b的夹角为钝角得0a b ⋅< ，且,a b 不共线，再按照向量的坐标运算求解即可.【详解】因为向量()1,2a =-- ，()2,b λ= ，且a 与b夹角为钝角，由上述条件得，0a b ⋅< ，且a ，b不反向，由0a b ⋅<得，220λ--<，1λ>-.当a ，b 共线时有，212λ=--，4λ=.此时a ，b 反向，因此实数λ的取值范围()()1,44,-⋃+∞.故选:D.6.在ABC 中，已知cos cos a c A b c B +=+，则ABC 的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形【答案】D 【解析】【分析】由余弦定理化角为边，然后通过代数式的变形可得．【详解】因为cos cos a c A b c B +=+，所以22222222b c a a c b a b b a +-+-+=+，222222222()2()a b a b c a ab b a c a ++-=++-，222()()0a b c a b ---=，所以a b =或222c a b =+，所以ABC 为等腰三角形或直角三角形．故选：D ．7.函数()21cos 21x x f x x -=+在33,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】设函数()2121x x g x -=+，由奇函数的定义可得()y g x =为奇函数，由cos y x =为偶函数，可判断()y f x =为奇函数，排除C ，D ，由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，排除A ，从而可得答案.【详解】设函数()2121x x g x -=+，则()()21122121x xx x g x g x -----===-++，则()y g x =为奇函数，因为cos y x =为偶函数，所以()y f x =为奇函数，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，故选：A ．8.数列{}n a 中，112a =，且对任意,N m n *∈都有m n m n a a a +=，若19111k k k a a a +++++ 15522=-，则k =（）A.2B.3C.4D.5【答案】D 【解析】【分析】由题意，令1m =，则112n n a a +=，由此得到{}n a 是一个等比数列，由等比数列的性质知1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，用等比数列的求和公式计算即可.【详解】由任意,m n *∈N 都有m n m n a a a +=，所以令1m =，则11n n a a a +=，且112a =，所以{}n a 是一个等比数列，且公比为12，则1910155191112222222k k k k k k k k a a a ++++++++=+++=-=- 所以5k =，故选：D.9.ABC 中，点M 为AC 上的点，且3AM MC =，若BM BA BC λμ=+ (,R)λμ∈，则λμ-=（）A.13-B.12-C.13D.12【答案】B 【解析】【分析】选定基向量，根据向量的加减法，用基底表示出向量BM ，结合条件即可求得13,44λμ==，可得答案.【详解】由题意可得33()44BM BA BA AC BA BC B AM A =+=+=+-1344BA BC +=,又BM BA BC λμ=+ ，故13,44λμ==，故12λμ-=-，故选:B10.已知点()3,P a 在角θ的终边上，点()2,4Q a 在角π4θ-的终边上，则实数a 的值为（）A.1-B.6C.6或1- D.6-或1【答案】B 【解析】【分析】易得0a ≠，再根据三角函数的定义结合两角差的正切公式即可得解.【详解】若0a =，则()()3,0,0,4P Q ，角θ的终边位于x 轴的正半轴，角π4θ-的终边位于y 轴的正半轴，而ππ44θθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，矛盾，所以0a ≠，则πtan tanπ424tan ,tan π3421tan tan 4a a a θθθθ-⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭+，即12313a a a -=+，解得6a =或1-，当1a =-时，()3,1P -位于第四象限，()2,4Q -位于第二象限，不符题意；当6a =时，()()3,6,12,4P Q 都位于第一象限，符合题意，所以6a =.故选：B.11.锐角ABC 中，若()2b a ac =+，则()2sin sin AB A -的取值范围是（）A.20,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.12,22⎛ ⎝⎭C.1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D.30,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件及余弦定理，再利用正弦定理、三角形内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角形的为锐角三角形得出角的范围即可求解【详解】由()2b a ac =+，得22b a ac =+，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2222cos a c ac B a ac =+-+，即2cos a a B c +=，由正弦定理得sin 2sin cos sin A A B C +=,因为()πC A B =-+,所以()2sin cos sin sin cos cos sin sin A B A B A B A B A =+=++,即()si sin n A A B =-.因为ABC 为锐角三角形，ππππ0,0,2222A B B A ∴<<<<∴-<-<所以A B A =-或πA B A +-=，解得2B A =或B π=（舍），因为ABC 为锐角三角形，πππππ0,02,0π3,22264A A A A ∴<<<<<-<∴<<.所以()22sin sin 1sin ,sin sin 22A AA B A A ⎛⎫==∈ ⎪ ⎪-⎝⎭.故选：B.12.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若()12f x -，()2f x '+均为偶函数，对于以下结论①()10f =，②()30f '-=，③()()24f f -=，④()()24f f ''-=-.其中正确的结论个数为（）A.0 B.1C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】根据偶函数的性质和导数的运算性质逐一判断即可.【详解】因为()12f x -是偶函数，所以有()()()()33121212122422f x f x f f f f ⎛⎫⎛⎫-=+⇒-⨯=+⨯⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故③正确；因为()2f x '+是偶函数，所以()()()()2231f x f x f f '''+=-+⇒-='，由()()()()()()12122122121212f x f x f x f x f x f x ''''-=+⇒--=+⇒--=+()()()()111030f f f f ''''⇒-=⇒=⇒-=，因此②正确，由()()()()121224f x f x f f ''''--=+⇒--=，因此④正确，由等式()()1212f x f x -=+不能确定()1f 的值，故选：D【点睛】关键点睛：本题的关键是利用偶函数的性质以及对由偶函数性质得到的等式进行求导.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.若“x a >”是“39x >”的必要条件，则a 的取值范围是________．【答案】2a ≤【解析】【分析】根据题意39x >解得：2x >，得出()()2,,a +∞⊆+∞，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】根据题意39x >解得：2x >，由于“x a >”是“39x >”的必要条件，则()()2,,a +∞⊆+∞，2a ∴≤.因此，实数a 的取值范围是：2a ≤.故答案为：2a ≤.14.设等差数列{}n a 的公差d 不为0，116a d =，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k 等于______.【答案】5【解析】【分析】根据题意得到212k k a a a =⋅，即()()2111121a k d a a k d +-=⋅+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，再解方程即可.【详解】因为k a 是1a 与2k a 的等比中项，所以212k k a a a =⋅，即()()2111121a k d a a k d +-=⋅+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()()2221516215k d k d +=+.因为0d ≠，所以22150k k --=，即()()530k k -+=，解得5k =或3k =-（舍去）.故答案为：515.窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆O 是某窗的平面图，O 为圆心，点A 在圆O 的圆周上，点P 是圆O 内部一点，若2OA =，且2OA AP ⋅=-，则OA OP + 的最小值是______．【答案】3【解析】【分析】利用向量的线性运算，结合数量积2OA AP ⋅=-，可求得1cos OP AOP=∠ ，确定其取值范围,再根据OA OP +平方后的式子，即得.【详解】因为AP OP OA =-，所以()22⋅=⋅-=⋅-=- OA AP OA OP OA OA OP OA ，所以2OA OP ⋅=，即cos 2OA OP AOP ⋅∠= ，则1cos OP AOP=∠ ．因为点P 是圆O 内部一点，所以12cos OP AOP =<∠ ，所以1cos 12AOP <∠≤，则()22221289cos OA OP OA OA OP OP AOP+=+⋅+=+≥∠ ，当且仅当cos 1AOP ∠=时，等号成立，故OA OP +的最小值是3．故答案为：3.16.若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________.【答案】[,]33-【解析】【分析】求出函数()f x 的导数，由给定条件可得242sin sin 33a x x ≤+恒成立，再分类讨论作答.【详解】因函数()f x 在(),-∞+∞内单调递增，则R x ∀∈，42()cos 2sin 033f x x a x '=--≥，即42sin cos 233a x x ≤-，整理得242sin sin 33a x x ≤+，当sin 0x =时，则203≤成立，R a ∈，当sin 0x >时，42sin 33sin a x x ≤+，而4221sin (2sin )33sin 3sin x x x x +=+≥当且仅当12sin sin x x =，即2sin 2x =时取“=”，则有423a ≤，当sin 0x <时，42sin 33sin a x x ≥+，而4221sin [(2sin )]33sin 3sin x x x x +=--+≤--，当且仅当12sin sin x x -=-，即2sin 2x =-时取“=”，则有423a ≥-，综上得，33a -≤≤所以实数a的取值范围是[,]33-.故答案为：,33⎡-⎢⎣⎦【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+．（1）求函数()f x 的最大值；（2）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的单调递减区间【答案】（1）4；（2）π2π2π,2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z .【解析】【分析】（1）根据降幂公式，结合余弦函数的最值性质进行求解即可；（2）根据余弦型函数图象的变换性质，结合余弦型函数的单调性进行求解即可.【小问1详解】()221cos 2352cos sin 21cos 22cos 2222x f x x x x x -=-+=+-+=+∴当cos 21x =时()f x 取得最大值4；【小问2详解】因为把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图象，所以()3π5cos 232g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令π2π2ππ(Z)3k x k k ≤+≤+∈，可得函数()g x 的单调递减区间为π2π2π,2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Z k ∈．18.设{}n a 是等比数列，其前n 项的和为n S ，且22a =，2130S a -=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若48n n S a +>，求n 的最小值.【答案】（1）12n n a -=；（2）6.【解析】【分析】（1）由题意易得2120a a -=，根据等比数列的定义，可求出{}n a 的公比为2q =，由此即可求出{}n a 的通项公式；（2）由（1）可求21n n S =-，进而求出n n S a +的表达式，再根据48n n S a +>，列出关于n 不等式，解不等式，即可求出结果.【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，因为2130S a -=，所以2120a a -=，所以212a q a ==，又22a =，所以11a =，所以1112n n n a a q --==.（2）因为()11211n n n a q S q -==--，所以11212321n n n n n S a --+=-+=⋅-，由132148n -⋅->，得13249n -⋅>，即14923n ->，解得6n ≥，所以n 的最小值为6.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n 项和的求法和应用，属于基础题.19.已知函数()()()2log 123()x x x m f x x m ⎧+=⎨->⎩ ，其中0m >.若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有两个不同的实数根.（1）求m 的整数值；（2）设函数()2,g x x a x t t =+-取m 的最大整数值.若()g x 在[)0,∞+上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1或2（2）[]4,0-【解析】【分析】（1）判断函数的单调性，结合简图求出m 的整数值；（2）把()g x 化为分段函数，结合分段函数的单调性求出结果.【小问1详解】当x m ≤时，()()2log 1f x x =+，是增函数.当x >m 时，()23x f x =-，也是增函数.画图可知，当“点()()2,log 1A m m +在点(),23m B m -上方”时，存在实数b ，使直线y b =与曲线()y f x =有两个交点，即存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有两个不同的实数根.所以()2log 123mm +>-，解得1,2m =，故m 的整数值是1或2.【小问2详解】由（1）可得2t =；()22222,222,2x ax a x g x x a x t x a x x ax a x ⎧+-≥=+-=+-=⎨-+<⎩在[)2,+∞上，()22f x x ax a =+-单调递增，等价于22a -≤，即4a ≥-.在[)0,2上，()22f x x ax a =-+单调递增，等价于02a ≤，即0a ≤.综上知，实数a 的取值范围是[]4,0-.20.已知等差数列{}n a 的公差为-1，且2712-6a a a ++=.（1）求数列{}n a 的通项公式n a 与前n 项和n S ；（2）若将数列{}n a 的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前3项，记{}n b 的前n 项和为n T .若对任意m ，n ∈*N ，都有n m S T λ<+恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）5n a n =-，(9)2n n n S -=（2）2λ≥【解析】【分析】（1）先利用27126a a a ++=-以及等差数列的性质，求出72a =-，再把公差代入即可求出首项，写出通项公式和前n 项和n S ；（2）由已知求出等比数列的首项和公比，代入求和公式得m T ，并利用函数的单调性求出其范围；再利用（1）的结论以及n m S T λ<+恒成立，即可求实数λ的取值范围．【详解】（1）由27126a a a ++=-得736a =-，所以72a =-，所以716(1)2a a =+⨯-=-，解得14a =，5n a n ∴=-，从而(9)2n n n S -=.（2）由题意知1234,2,1b b b ===，设等比数列{}n b 的公比为q ，则2112b q b ==，14121811212m m m T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦∴==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，1(2m y = 随m 递减，m T ∴为递增数列，得48m T < ，又()22(9)11981922224n n n S n n n ⎡⎤-⎛⎫==--=---⎢ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故()45max 10n S S S ===，若存在m ∈*N ，使对任意n ∈*N 总有n m S T λ<+，则108λ≤+，解得2λ≥.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，通项公式，等比数列的定义，前n 项和，函数的单调性，最值，属于难题．21.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，△ABC 的面积214S c =．（1cos B b =-，求sin sin A B的值；（2）求a b 的取值范围．【答案】（111（2）1]【解析】【分析】（1cos B b =-可得π4C =，由214S c =2c =，结合余弦定理得221a a b b+=，换元a t b =求出其值，由正弦定理即可得答案;（2）由214S c =得22sin ab C c =，结合余弦定理得22πsin()4a b C +=+，变形为22π1sin()4a a Cb b +=⨯+，换元a t b =，可得2πsin(4C =+，结合三角函数的性质可得不等式212-<≤，即可求得答案.【小问1详解】cos B b =-cos sin C B A B =-，cos )sin C B B C B =+-,cos sin B C B =，因为sin 0B ≠1C =，即2cos 2C =，由(0,π)C ∈得：π4C =;由214S c =得：211sin 24ab C c =，即22144ab c =2c =，由余弦定理可得：222222cos a ab C c b a b =+-=+-=，故22+=a b ，则221a a b b +=，令a t b =，则21t +=，解得1t =，由正弦定理得：sin sin A a B b =，故sin sin A B 1+1；【小问2详解】由214S c =得：211sin 24ab C c =，即22sin ab C c =，由余弦定理可得：2222cos 2sin a ab C ab b C c =+-=，即22π2(sin cos )sin()4a b ab C C C +=+=+，故22π1sin()4a a Cb b +=⨯+，令a tb =，则2π1sin()4t C +=+2πsin()4C =+,由(0,π)C ∈得ππ54π,44C ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故πsin()(,1]42C +∈-，故212-<≤11t -≤≤，故a b 的取值范围是1].22.已知函数()ln 1m f x n x x =++（,m n 为常数）的图象在1x =处的切线方程为20x y +-=.(1)判断函数()f x 的单调性；(2)已知()0,1p ∈，且()2f p =，若对任意(),1x p ∈，任意1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()3222f x t t at ≥--+与()3222f x t t at ≤--+中恰有一个恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）单调递减；（2）15][,)84∞+∞ （-,-.【解析】【分析】（1）由已知求得12,2m n ==-，代回函数的导函数可得函数导数恒小于零，故函数在定义域上递减；（2）原不等式等价于32221t at --+≤或32222t t at -++≥，分离常数得212a t t t≥-+，或22a t t ≤-对任意1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，利用导数求得21t t t-+的最大值，利用二次函数求最值的方法求得2t t -的最小值，由此可求得a 的取值范围.【详解】解：（1）∵函数()ln 1m f x n x x =++的定义域为()0+∞，，∴()()21mn f x x x +'=-+，由条件得()114m f n =-+=-'，把1x =代入20x y +-=得1y =，∴()112m f ==，即2m =，12n =-.∴()21ln 12f x x x =-+，()()221'21f x x x =--+.∵0x >，∴()0f x '<，∴()f x 在()0+∞，上单调递减.（2）由（1）知，()f x 在[],1p 上单调递减，∴()f x 在[],1p 上的最小值为()11f =，最大值为()2f p =，∴只需32221t t at --+≤或32222t t at --+≥，即212a t t t ≥-+或22a t t ≤-对任意1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.令()21g t t t t =-+，则()()()222121121t t t g t t t t -++=--='，令()0g t '=得1t =，而2210t t ++>恒成立，∴当112t ≤<时，()0g t '<，()g t 单调递减；当12t <≤时，()0g t '>，()g t 单调递增.∴()g t 的最大值为()1max ,22g g ⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭.而1724g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()522g =，显然()122g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴()g t 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()522g =，又21,24t t ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴522a ≥或124a ≤-，即54a ≥或18a ≤-.∴实数a 的取值范围是][15,84⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，.【点睛】方法点睛：对于参数问题，常用的有分离参数法和分类讨论，要根据已知情况灵活选择，提高解题效率.。

高三数学理科试卷含答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的对称中心为：A. (0, 0)B. (1, 0)C. (0, -3)D. (1, -3)2. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项a10的值为：A. 19B. 21C. 23D. 253. 函数y = log2(3x - 1)的定义域为：A. x > 0B. x ≥ 0C. x > 1/3D. x ≥ 1/34. 已知复数z = 2 + 3i，则|z|的值为：A. 5B. 6C. 7D. 85. 下列不等式中，正确的是：A. x^2 > 0B. x^2 ≥ 0C. x^2 < 0D. x^2 ≤ 06. 函数y = e^x在定义域内是：A. 单调递减B. 单调递增C. 先增后减D. 先减后增7. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 3，则第5项b5的值为：A. 54B. 48C. 42D. 368. 下列各式中，正确的是：A. sin(π/2) = 1B. cos(π/2) = 1C. tan(π/2) = 1D. cot(π/2) = 19. 函数y = |x|的图像是：A. 抛物线B. 双曲线C. 直线D. 双曲线的一部分10. 下列各式中，正确的是：A. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2C. (a + b)^2 = a^2 - 2ab + b^2D. (a - b)^2 = a^2 + 2ab - b^2二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。

）11. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点为______。

12. 等差数列{an}的首项a1 = 5，公差d = -3，则第10项a10 = ______。

高三数学理科试卷真题答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 函数f(x) = 2x - 3在定义域内的单调性是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增答案：A2. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项an的值为（）A. 29B. 30C. 31D. 32答案：C3. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则z在复平面上的轨迹是（）A. 一条直线B. 一条圆C. 一条抛物线D. 一条双曲线答案：A4. 下列不等式中，正确的是（）A. |x| < xB. |x| > xC. |x| ≥ xD. |x| ≤ x答案：D5. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），若f(-1) = 0，f(1) = 0，则f(0)的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A6. 下列命题中，正确的是（）A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则ac > bcC. 若a > b，则a + c > b + cD. 若a > b，则a - c > b - c答案：C7. 已知数列{an}的通项公式为an = 3^n - 2^n，则数列{an}的前5项和S5为（）A. 126B. 128C. 130D. 132答案：A8. 已知等比数列{an}的首项为2，公比为1/2，则第10项an的值为（）A. 1/2B. 1/4C. 1/8D. 1/16答案：B9. 下列函数中，在定义域内连续的是（）A. f(x) = |x|B. f(x) = x^2C. f(x) = x^3D. f(x) = 1/x答案：C10. 已知函数f(x) = log2(x + 1)，则f(-1)的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 无定义答案：C二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。

高中理科数学试题及答案

高中理科数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(1)的值。

A. 0B. 1C. -2D. 2答案：B2. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，求第5项的值。

A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A3. 函数y = sin(x)的周期是：A. 2πB. πC. 4πD. 6π答案：A4. 直线l：y = 2x + 3与x轴的交点坐标为：A. (3/2, 0)B. (-3/2, 0)C. (0, 3)D. (0, -3)答案：B5. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a^2 + b^2 = c^2，下列哪个条件能判断三角形ABC是直角三角形？A. a = bB. b = cC. c = 2aD. a = 2b答案：C6. 函数y = ln(x)的定义域是：A. (0, +∞)B. (-∞, 0)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)答案：A7. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∩B的元素个数。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B8. 函数y = x^3 - 3x^2 + 2的导数是：A. 3x^2 - 6x + 2B. 3x^2 - 6xC. x^3 - 3x^2D. 3x^2 - 6x + 1答案：A9. 已知双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的焦点在x轴上，且a=2，b=1，则该双曲线的离心率e为：A. √2B. √3C. √5D. 2答案：B10. 已知向量a=(2, -1)，b=(1, 3)，求向量a与向量b的数量积。

A. 1B. 3C. -1D. 5答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(-1)的值。

答案：512. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9，求该圆的半径。

高三数学理科试卷及答案

一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列函数中，在其定义域内为奇函数的是（）A. $ f(x) = x^2 $B. $ f(x) = x^3 $C. $ f(x) = \sqrt{x} $D. $ f(x) = \frac{1}{x} $2. 已知数列$ \{a_n\} $的通项公式为$ a_n = 2^n - 1 $，则$ a_{10} $的值为（）A. 1023B. 1024C. 2047D. 20483. 函数$ f(x) = x^3 - 3x $的图像在（）A. $ x = 0 $处取得极小值B. $ x = 0 $处取得极大值C. $ x = -1 $处取得极小值D. $ x = -1 $处取得极大值4. 若$ \triangle ABC $中，$ a = 3 $，$ b = 4 $，$ c = 5 $，则$ \cos A $的值为（）A. $ \frac{3}{5} $B. $ \frac{4}{5} $C. $ \frac{5}{12} $D. $ \frac{12}{5} $5. 已知复数$ z = 1 + i $，则$ |z|^2 $的值为（）B. 3C. 4D. 56. 下列不等式中，正确的是（）A. $ 2^x > 3^x $对所有$ x > 0 $成立B. $ \log_2 x > \log_3 x $对所有$ x > 1 $成立C. $ \sin x > \cos x $对所有$ x \in (0, \frac{\pi}{2}) $成立D. $ \tan x > \sec x $对所有$ x \in (0, \frac{\pi}{2}) $成立7. 设$ f(x) = ax^2 + bx + c $（$ a \neq 0 $），若$ f(1) = 2 $，$ f(-1) = 0 $，$ f(0) = 1 $，则$ a + b + c $的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 58. 已知等差数列$ \{a_n\} $的公差为$ d $，首项为$ a_1 $，则$ a_{10} - a_5 $的值为（）A. 5dB. 4dC. 3dD. 2d9. 若函数$ f(x) = \ln x $在区间$ [1, e] $上的最大值为$ M $，则$ M $的值为（）A. 1C. $ \ln 2 $D. $ \ln e $10. 已知向量$ \vec{a} = (1, 2) $，$ \vec{b} = (2, 3) $，则$ \vec{a} \cdot \vec{b} $的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（每小题5分，共25分）11. 函数$ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1} $的值域为______。

吕梁市2020年11月高三阶段性测试理科数学题与答案

吕梁市2020年11月高三阶段性测试理科数学答案1.【答案】B 【解析】{}}10|{0log |2<<=<=x x x x B }10|{≥≤=x x x B C U 或2. 【答案】D 【解析】全称命题的否定包含两个方面：一是量词改变，二是结论否定！所以选择D3. 【答案】C 【解析】.0,log 3)(:51b a x x f q x <<-=所以有在定义域上是增函数中，对应函数命题4. 【答案】C 【解析】ax c a x b a x a ee x >=<=∴<<=<=<=-∴∈3ln ,ln 2,01-,01ln ln 1ln 1 ),1,1(即 5.【答案】A 【解析】寻找已知角与所求角的联系，利用诱导公式与倍角公式求解。

25725181)4(sin 21)4(2cos )]4(22sin[2sin 2=-=--=-=--=απαπαππα6.【答案】C 【解析】1,0)(2-=⋅∴=⋅+=⋅+b a b a a a b a ，.120,21||||,cos 0的夹角为与b a ∴-=⋅>=<7.【答案】C 【解析】根据函数图象间的区别来选择!①x x y sin =是偶函数，图象关于y 轴对称，故选最左边②x x y cos =是奇函数，图象关于原点对称，且在x>0时，函数值有正有负，故选择从左到右第三个,③|cos |x x y =也是奇函数，图象关于原点对称，但是在x>0时，0≥y ,故选择最右边的.④xx y 2=只有一个零点,故选择从左到右第二个.8．【答案】D 【解析】函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，得)6sin(π+=x y ，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得)62sin(π+=x y .9. 【答案】A 【解析】.4141)(41214121+=-+=+=+=.23)24(41)(41)(412=+=⋅+=⋅+=⋅∴10．【答案】B 【解析】分段函数部分处理即可。

高三年数学试卷(理科)(附答案)

高三年数学试卷（理科）(完卷时间：120分钟；满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、复数i z +=31，i z -=12，则1z ·2z 在复平面内的对应点位于（）A ．第一象限B ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限2、等差数列{}n a 中,若752a a =-,则1715a a -=( ) A ．2- B ．2 C ．1- D ．13、函数)1(121>+=+x y x 的反函数是（）A ．)5(2log 2>-=x x yB ．())5(11log 2>--=x x yC ．)1(2log 2>-=x x yD ． ())1(11log 2>--=x x y 4、为真命题的且为真命题是或""""q p q p 条件 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．既非充分也非必要条件 D ．充要条件 5、一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：A ．201. B ．41. C ．107. D ．21 6、关于x 的不等式0<-b ax 的解集为(1,+∞)，则关于x 的不等式2--x bax >0的解集为( ) A ．(－1,2) B ．(－∞,－1)∪(2,+∞)C ．(1,2)D ．(―∞,―2)∪(1,+∞)7、已知函数)(x f 的导数为,44)(3x x x f -='且)(x f 图象过点（0，－5），当函数)(x f 取得极小值－6时，x 的值应为( ) A ．0B ．－1C ．±1D ． 18、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=)0(log )0(8)31()(3x x x x f x，若f （a ）＞1，则实数a 的取值范围是( )A ．)3,2(-B ．)2,(--∞∪),3(+∞C ．（3，+∞）D ．)3,(--∞∪（0，+∞） 9、已知等差数列｛a n ｝中，若1201210864=++++a a a a a ，则=1515S 项和前 ( ) A ．240- B ．360- C ．240 D ．360 10、已知数列｛n a ｝中，*N n ∈，11-=a ，1121--+=n n n a a （2≥n ），则∞→n lim =+++)(21n a a a ( )A ．2-B ．2C ． 32-D ．3211、已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，函数f (x )则函数f (| x |)的图象是( )A ． B. C. D.12、已知()x f 为偶函数，且()()x f x f -=+22，当02≤≤-x 时()x x f 2=，若*N n ∈，()n f a n =则=2006a （） A ． 2006 B ．4 C ．41D ．4- 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

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沈阳四校协作体-（上）高三阶段测试数学试卷（理）分值：150分时间：120分钟一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1、已知集合M={x|}，N={x|}，则M ∩N= （）A ．{x|-1≤x ＜1｝B ．{x |x>1}C ．{x|-1＜x ＜1｝D ．{x|x ≥-1}2、若定义在R 上的函数f (x )满足f (π3＋x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (x )，则f (x )可以是（）A ．f (x )＝2sin 13xB ．f (x )＝2sin3xC ．f (x )＝2cos 13xD ．f (x )＝2cos3x3、已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11( ) A.1+2i B. 1-2i C.2+i D.2- i4、设1(1,)2OM =，(0,1)ON =，则满足条件01OP OM ≤⋅≤，01OP ON ≤⋅≤的动点P 的变化范围（图中阴影部分含边界）是（）A B C D 5、下列判断错误的是（）A、命题“若q 则p ”与命题“若非p 则非q ”互为逆否命题B 、“am 2<bm 2”是“a<b ”的充要条件 C 、对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则p x R ⌝∀∈为，均有210x x ++≥D 、命题“{}{}2142,1，或∉⊂Φ”为真命题 6、函数y =2x-的图像大致是（）01>+x 011>-x2x7、已知正数a 、b 、c 成等比数列，则下列三数也成等比数列的是 A ．lg a lg b lg c B ．10a 10b 10cC ．lg 5a lg 5b lg 5cD．a 3a 4a8、已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为5，则该几何体的体积是 A.43π B.2π C.83π D.103π9、由函数x y 2log =与函数)2(log 2-=x y 的图象及2-=y 与 3=y 所围成的封闭图形的面积是 A ．15 B ．20 C ．10 D ．以上都不对10、函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值或极小值时的x 值分别为0和31, 则 A. b a 2-＝0 B. b a -2＝0 C. b a +2＝0 D. b a 2+＝011、已知1是与的等比中项，又是与的等差中项，则的值是（） A ．1或B ．1或C ．1或D ．1或12、周期为4的函数21()12m x f x x ⎧-⎪=⎨--⎪⎩ (1,1](1,3]x x ∈-∈其中m>0，若方程3f(x)=x 恰有5个实数解，则m 的取值范围为（）A ．158(,)3B ．48(,)33C ．4(,7)3D ．15(,7) 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若222b c a bc +=-，4AC AB ⋅=-且，2a 2b a 1b 122b a b a ++2121-3131-则ABC ∆的面积等于．14、设AB=2，则如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=AA 1，则AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值为15、在等式的值为16、设函数f(x)=xxa a +1（a ＞0，且a ≠1），〔m 〕表示不超过实数m的最大整数，则实数〔f(x)-21〕+〔f(-x)-21〕的值域是三、解答题：（本题共70分）17、（本小题12分）已知函数2()sin 3sincos444f x x x x πππ=-（1）求()f x 的最大值及此时x 的值（2）求(1)(2)(3)(2010)(2011)f f f f f +++⋅⋅⋅++的值．18、（本小题12分）已知函数()f x kx b =+的图象与x 、y 轴分别相交于点A 、 B ，22AB i j=+(i 、 j 分别是与x 、y 轴正半轴同方向的单位向量), 函数2()6g x x x =--(1) 求k 、b 的值;(2) 当x 满足()()f x g x >时，求函数()1()g x f x +的最小值 19、（本小题12分）如图,四棱锥P-ABCD 是底面边长为1的正方形，PD ⊥BC,PD=1,PC=2. （Ⅰ）求证:PD ⊥面ABCD ；（Ⅱ）求二面角A －PB －D 的大小.m y x y x m y x 则的最小值为若中,65,0,0,94+>>=+PD20、（本小题12分）已知函数f x kx b k f ()()()=+≠=01020，，又f f f ()()()139，，成等比数列。

（1）求函数f x ()的解析式；（2）设a n n f n =+22()，求数列{}a n 的前n 项和S n 。

21、（本小题12分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围；（3）求证：．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 是O 的直径，直线CD 与O 相切于点C ，AC 平分DAB ∠．(1)求证：AD CD ⊥； (2)若2AD =， 5AC =，求AB 的长．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。

（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。

24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲()ln 3(R)f x a x ax a =--∈)(x f )(x f y =))2(,2(f ︒45]2,1[∈t ]2)('[)(23mx f x x x g ++=)3,(t m ln 2ln 3ln 4ln 1(2,N )234n n n n n*⨯⨯⨯⨯<≥∈已知a b c d >>>，求证：1119a b b c c a a d++≥---- 高三12月月考（理科数学）试卷答案一、选择题：C D C A B A C A C D D D 二、填空题：13、 14、4615、30 16、｛-1,0｝三、解答题：17、解：（1）111()cos sin()2222226f x x x x ππππ=-=-+ 4分∴44()3x k k z =-∈时，max 3()2f x = 6分（2）函数的周期4T =， 111111(1)(2),(3)(4)222222f f f f =-=+=+=-，111111(41)(42),(43)(44)222222f k f k f k f k +=+=++=++=- (41)(42)(43)(44)2f k f k f k f k +++++++=(1)(2)(2011)5022(1)(2)(3)1006f f f f f f ++⋅⋅⋅+=⨯+++= 12分18、解：(1) 由已知得(,0)bA k-，(0,)B b ……………………………………………2分则(,)b AB b k =，于是2,2bb k== ……………………………………4分∴1,k b == …………………………………………………………6分(2) 由()()f x g x >，得226x x x +>--，即(2)(4)0x x +-<, 得2x -<<()1()g x f x + = 251222x x x x x --=++-++………………………8分由于20x +>，则()13()g x f x +≥-， 10分其中等号当且仅当21x+=，即1x=-时成立∴()1()g xf x+的最小值是-……12分19、（Ⅰ）证明:1,PD DC PC===,PDC PD CD∴∆⊥是直角三角形即.……2分又,PD BC BC CD C⊥=,……4分∴PD⊥面ABCD………6分（Ⅱ）解:连结BD,设BD交AC于点O,过O作OE⊥PB于点E,连结AE,∵PD⊥面ABCD, ∴AO PD⊥,又∵AO⊥BD, ∴AO⊥面PDB.∴AO⊥PB,∵,AE PB AE AO A⊥=,∴PB AEO⊥平面,从而PB EO⊥,故AEO∠就是二面角A－PB－D的平面角.……………………8分∵PD⊥面ABCD, ∴PD⊥BD,∴在Rt△PDB中, PB===又∵OE OBPD PB=, ∴OE=,………………10分tanAOAEOOE∴∠===∴60AEO∠=.故二面角A－PB－D的大小为60°. …………………12分（也可用向量解）20、（I）函数f x()的解析式是f x x()=2………………6分（II）a nnn=+222………………8分PA BCDOES n n n n nn =+++++++++=-+++444421234432312……()……12分21、（Ⅰ） , 当时，的单调增区间为，减区间为；当时，的单调增区间为，减区间为；当时，不是单调函数-------------------- （Ⅱ）得， ∴，∴-----∵在区间上总不是单调函数，且∴ -------由题意知：对于任意的，恒成立，所以，，∴（Ⅲ）令此时，所以，由（Ⅰ）知在上单调递增，∴当时，即，∴对一切成立， ∵，则有，∴22、(1)证明：连结BC ．∵直线CD 与O 相切于点C ，∴DCA B ∠=∠． ∵AC 平分DAB ∠，∴DAC CAB ∠=∠．)0()1()('>-=x xx a x f 0>a )(x f (]0,1[)1,+∞0<a )(x f [)1,+∞(]0,10=a )(x f 12)2('=-=af 2-=a 32ln 2)(-+-=x x x f x x m x xg 2)22()(23-++=2)4(3)('2-++=x m x x g )(x g )3,(t ()02'g =-⎩⎨⎧><0)3('0)('g t g ]2,1[∈t '()0g t <'(1)0'(2)0'(3)0g g g <⎧⎪<⎨⎪>⎩9337-<<-m 1-=a 3ln )(-+-=x x x f 2)1(-=f 3ln )(-+-=x x x f ),1(+∞),1(+∞∈x )1()(f x f >01ln >-+-x x 1ln -<x x ),1(+∞∈x 2,N*n n ≥∈1ln 0-<<n n nn n n 1ln 0-<<ln 2ln 3ln 4ln 12311(2,N )234234n n n n n n n *-∴⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅⋅=≥∈∴ADC ACB ∠=∠． ∵AB 是O 的直径，∴ 90ACB ∠=．∴90ADC ∠=，即AD CD ⊥．(2)解：∵DCA B ∠=∠，DAC CAB ∠=∠， ∴ADC ACB ．∴AD ACAC AB=，∴2AC AD AB =⋅． ∵2AD =，AC = 52AB =．23、解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,231⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=（2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B的坐标分别为),211,231(11t t A ++)211,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程422=+y x 整理得到02)13(2=-++t t ①因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。