天津大学化工原理第5讲伯努利方程的应用
伯努利及伯努利方程的应用
第30卷 第7期2001年7月 中学物理教学参考Ph ysics T each ing in M iddle Schoo l Vo l.30 No.7J u l.2001●教材教法●伯努利及伯努利方程的应用余学昌(河南省罗山县高级中学 464200) 高中《物理》(试验必修)教材中,增加了伯努利方程为选学内容.笔者在此对伯努利与伯努利方程的运用略作介绍如下.一、伯努利与伯努利方程1700年1月29日,伯努利出生于瑞士尼德兰的格罗宁根.他曾在海得尔贝格斯脱思堡和巴塞尔等大学学习哲学、伦理学、医学. 1721年取得医学硕士学位.在1725～1732年,伯努利在圣彼得堡大学教数学.1733年他担任巴塞尔大学解剖学教授,1750年成为物理学教授.他不仅是一位物理学家,还是一位数学家.18世40年代末,他出版了著名的著作《流体力学》一书.书中用能量守恒定律解决流体的流动问题,他分析流体流动时压强和流速的关系并得出方程,这就是后来以他的名字命名的“伯努利方程”.书中伯努利还明确叙述了分子动理论,认为气体作用在器壁上压力可以用大量的分子快速来回运动来解释.他还发表了海水潮汐、弦振动问题等论文.在有关微积分、微元方程和概率论等数学方面,他也做出了卓越的贡献.在1725～1749年期间,伯努利曾十次荣获法国科学院年度奖.1782年3月17日,伯努利在瑞士巴塞尔逝世.伯努利通过实验得出:理想流体在做稳定流动时,流速大的地方压强小,流速小的地方压强大(但并非反比关系).其数学表达式为p+Θv2�2+Θg h=常量.(推导见课本,这里从略)这就是著名的伯努利方程.二、伯努利方程的应用在日常生活和工程技术方面,伯努利方程的应用非常广泛正因如此,将这部分知识写进教材内容,体现了编者的独具匠心之处.下面笔者介绍几种比较重要的和常见的应用.11确定静止液面下深度为h处的压强如图1所示,在装着液体的容器里取液面图1上的点A和在液面下深h处的点B来研究.以点B处的水平面作为零(势能)参考面,则h A=h,h B=0,p A=p0,又因液体静止,v1=v2=0,代入伯努利方程,得p B=p A+Θg h=p0+Θg h.21计算液体从小孔中流出的流速设在液面下深为h的容器壁上有一小孔,图2液体从小孔中流出,如图2所示.取在液面上点A和小孔处点B来研究,因为容器的截面比小孔的截面大得多,所以容器中水面的下降很慢,点A处的液体微粒的流速可以不计,即v A=0,以点B处高度为零,则h A=h,h B=0,点A、B处与大气接触,所以p A=p B=p0(大气压),代入伯努利方程,得p0+Θg h=p0+12Θv B2,即v B=2g h.任何液体质粒从小孔中流出的速度与它由高度h处自由落下的速度相等.31测量流体的流速测量流体在管里的流速时,可用如图3所示的仪器,因它常用来测量气流速度,所以又叫做气流速度计分别把必多管(必多管是..A12一根一端封闭的弯管,封闭端A 光滑微尖,并图3在靠近封闭端的侧面上开着很多的小孔)和一个管口朝向气流的管子B (动压管)接在U 形管压强计上,根据U 形管两边的液柱的高度差便可求出气体的流速.假设气体稳定流动的速度是v ,气体的密度是Θ,压强计内液体的密度是Θ0,在管A 上小孔处气体的压强是p A ,管B 中气体的压强是p B ,管B 中气体因受管里液体的阻碍,它的流速等于零,由于管A 与管B 的端口均在同一高度上且处于气体的流动的同一流线上,根据伯努利方程,得p A -Θv 2�2=p B +0,故p B -p A =Θv 2�2.根据U 形管两边的高度差h ,可求出两管中的气体的压强差为p B -p A =Θ0gh ,由以上各式,得 v =2Θ0g h �Θ.因此,测量出h 就可以求出气流的速度.41液流和气流的空吸作用如图4所示,若在水平管的细颈外开一小孔A ,用细管接入容器B 中液体内,流动液体不但不会流出,而且容器B 中液体可以被吸上去,为研究此原理,做如下计算:设左上方容器图4E 很大,流体流动时,液面无显著下降,液面与出液孔的高度差为h ,S A 和S F 分别表示水平管上小孔A 与出液孔F 处的横截面积,用Θ表示液体的密度,液体为理想流体,取容器中液面上的点和水平管上小孔以及出液孔F 处的水作为研究对象,根据伯努利方程,有p C +Θg h =p A +12Θv A 2=p F +12Θv F 2,①又因为p C =p F =p 0,代入①式,有v F 2=Θg h ,②p A -p 0=12Θ(v F 2-v A 2),③根据流体在水平管中做稳定流动时,管中各处的流量Q =ΘvS t 不变,有v F v A =S AS F,④由②、③、④式及S F >S A ,得p A -p 0=12Θg h (1-S F 2S A2)<0.⑤即小孔C 处有一定的真空度,因此可将容器B 中液体吸入,这种现象叫做空吸作用,如果容器E 中液面与出水孔处的高度差和S FS A的比值足够大,且在细颈小孔A 处用的细管接在一封闭的容器上,那么,封闭容器里的空气会被逐渐抽出,最后封闭容器内的气压随之减小,即达到抽真空之目的.不但液流有空吸作用,气流也同样有空吸作用,所遵循的规律也相同.空吸作用的应用很广,化学实验室中的水流抽气机、内燃机的汽化器、蒸汽锅加水所用的射水器都是根据这个原理制成的.51日常生活中的实例飞机能够飞上蓝天,是因飞机机翼上方空气流速大于下方,产生向上的压强差,从而获得向上的压力.河里航行的船只总是被迫向水流较急的一面靠拢,是因当水的流速较大一面压强较小,流速小的一面压强较大,船体受到指向流速较大的一面的水的压力.疾速的汽车在公路上行驶时,路旁的纸屑常吸向汽车,是因高速运动的汽车带动周围的空气运动,在其后尾部形成一低气压区,与周边的空气存在压强差,故路旁的纸屑被迫吸向汽车.高速公路上同向行驶的汽车,河流中并排同向行驶速度较大的船只,均有相互碰撞的危险.究其原因,均可用伯努利方程来解释(收稿日期)E C A .:2000-02-2822。
化工原理伯努利方程
化工原理伯努利方程
嘿，朋友们！今天咱来唠唠化工原理里超级重要的伯努利方程！
你说这伯努利方程啊，就像是化工世界里的一把神奇钥匙。
它能解开好多让人摸不着头脑的现象呢！
咱就打个比方哈，就好比水流。
你看那水在管子里流啊流，有时候快，有时候慢，这是为啥呢？伯努利方程就能告诉你答案！它说呀，能量是守恒的，动能、势能和压力能它们之间会相互转化呢。
这就好像你兜里的钱，有时候你拿去买好吃的了，那买零食的钱就多了，其他地方能花的就少了，一个道理嘛！
再想想，飞机能飞起来，这里边也有伯努利方程的功劳呢！飞机翅膀上面的空气跑得快，下面的空气跑得慢，这一快一慢，压力就不一样啦，这不就把飞机给托起来了嘛！是不是很神奇？
在化工厂里，伯努利方程那也是大显身手啊！管道里的流体流动，各种设备的运行，都得靠它来指导呢！要是没有它，那可真是乱套啦！
你说咱生活中到处都有它的影子，咱能不好好研究研究它吗？它就像是一个隐藏在幕后的大功臣，默默地发挥着巨大的作用。
咱再想想，如果咱能把伯努利方程玩得特别溜，那在化工领域岂不是能横着走啦？哈哈，开个玩笑啦！但真的，掌握了它，好多难题都能迎刃而解呢！
所以啊，朋友们，可别小瞧了这伯努利方程，它虽然看起来就是几个公式，但里面蕴含的道理可深着呢！咱得好好琢磨琢磨，把它的奥秘都给挖出来。
这样咱在化工的道路上才能走得更稳、更远，不是吗？这伯努利方程啊，真的是太有意思啦，太重要啦！。
伯努利方程及其应用
伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用一、伯努利简介1.生平简介：伯努利，d．(danielbernoulli1700～1782)瑞士物理学家、数学家、医学家。
1700年2月8日生于荷兰格罗宁根。
著名的伯努利家族中最杰出的一位。
他是数学家j．伯努利的次子，和他的父辈一样，违背家长要他经商的愿望，坚持学医，他曾在海得尔贝格、斯脱思堡和巴塞尔等大学学习哲学、论理学、医学。
1721年取得医学硕士学位。
努利在25岁时(1725)就应聘为圣彼得堡科学院的数学院士。
8年后回到瑞士的巴塞尔，先任解剖学教授，后任动力学教授，1750年成为物理学教授。
在1725～1749年间，伯努利曾十次荣获法国科学院的年度奖。
1782年3月17日，伯努利在瑞士巴塞尔逝世，终年82岁。
2.成就简介：(1)在物理学方面：①1938年出版发行了《流体动力学》一书，共13章。
这就是他最重要的著作。
书中用能量守恒定律化解流体的流动问题，写下了流体动力学的基本方程，后人称作“伯努利方程”，明确提出了“流速减少、应力减少”的伯努利原理。
②他还提出把气压看成气体分子对容器壁表面撞击而生的效应，建立了分子运动理论和热学的基本概念，并指出了压强和分子运动随温度增高而加强的事实。
③从1728年起至，他和欧拉还共同研究触感而存有弹性的链和梁的力学问题，包含这些物体的均衡曲线，还研究了弦和空气柱的振动。
④他曾因天文测量、地球引力、潮汐、磁学、洋流、船体航行的平衡、土星和木星的圆形运动和振动理论等成果而得奖。
（2）在数学方面：有关微积分、微分方程和概率论等，他也做了大量而重要的工作二、伯努利方程1.定义：充分反映理想流体运动中速度、应力等参数之间关系的方程式。
伯努利方程就是理想流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。
2.伯努利方程概述：理想单轴流体在有势体积力促进作用UX21LI2677E定常运动时，运动方程沿流线分数而获得的抒发运动流体机械能动量的方程。
伯努利方程的推导及其实际应用
楼主：西北荒城时间：2015-03-03 14:08:00 点击：1091 回复：0一，伯努利方程的推导1726年，荷兰科学家丹尼尔·伯努利提出了描述理想流体在稳流状态下运动规律伯努利原理，并用数学语言将之精确表达出来，即为伯努利方程。
伯努利方程是流体力学领域里最重要的方程之一，学习伯努利方程有助于我们更深刻的理解流体的运动规律，并可以利用它对生活中的一些现象作出解释。
同时，作为土建专业的学生，我们将来在实际工作中，很可能要与水、油、气等流体物质打交道，因此，学习伯努利方程也有一定的实际意义。
作为将近300岁高龄的物理定律，伯努利方程的理论是非常成熟的，因此不大可能在它身上研究出新的成果。
在本文中，笔者只是想结合自己的理解，用自己的方式推导出伯努利方程，并应用伯努利方程解释或解决现实生活中的一些问题。
既然要推导伯努利方程，那么就首先要理解一个概念：理想流体。
所谓理想流体，是指满足以下两个条件的流体：1，流体内部各部分之间无黏着性。
2，流体体积不可压缩。
需要指出的是，现实世界中的各种流体，其内部或多或少都存在黏着性，并且所有流体的体积都是可以压缩的，只是压缩的困难程度不同而已。
因此，理想流体只是一种理想化的模型，其在现实世界中是不存在的。
但为了对问题做简化处理，我们可以讲一些非常接近理想流体性质的流体视为理想流体。
假设有某理想流体在某细管中做稳定流动。
如图，在细管中任取一面积为s1的截面，其与地面的相对高度h1,，流体在该截面上的流速为v1，并且该截面上的液压为p1。
某一时刻，有流体流经s1截面，并在dt时间内发生位移dx1运动到新截面s2。
由于细管中的水是整体移动的，现假设细管高度为h2处有一截面s3，其上流体在相同的时间内同步运动到了截面s4，流速为v2，共发生位移dx2。
则有如下三个事实：1：截面s1、s2之间流体的体积等于截面s3、s4之间流体的体积，即s1dx1=s2dx22：截面s1、s3之间流体的体积等于截面s2、s4之间流体的体积（由事实1可以推知）3：细管中相应液体的机械能发生了变化。
大学物理伯努利方程及其应用
1 2 1 2 P v1 gh1 P2 v2 gh2 1 2 2 1 2 或 P v gh C 2
上式即为伯努利方程的数学表达式。
二、伯努利方程的意义
（1）伯努利方程的实质是功能原理在流体力学中的应用
表示单位体积流体流过细流管 S1 S 2 外压力所做的功； P 1 P 2
A1 F1v1t P 1S1v1t P 1V A2 F2v2 t P2 S2v2 t P2 V
由功能原理 ：
Δt
S1
S2
P h2p 即
h1
1 2 2 (P P ) V ( v v 1 2 2 1 ) V g ( h2 h1 ) V 2
（3）注意统一单位，为国际单位。适用于理想流体的定常流动。 （4）P、h、v 均为可测量，他们是对同一流管而言的。
（5）它是流体力学中的基本关系式，反映各截面处，P、h、v 之间的关系。
三、伯努利方程的应用
小孔流速 如图所示，且SB＜＜SA，以 A、B 两点为参考点， 由伯努利方程：
SA
SB
SB S A v A S B v B 可知， v A v B 0 SA 选取hB处为参考点，其 hB=0, hA=h 得
得 v2 = 4v1 = 4 m•s-1
又由 得
1 2 1 2 p1 v1 p 2 v2 2 2 1 2 p1 p2 v2 v12 2 1 1.0 103 4 2 12 7.5 103 Pa 2
例 水从图示的水平管道1中流入，并通过支管2和3流入管4。 如管1中的流量为900cm3•s-1. 管1、2、3的截面积均为15cm2, 管4的截面积为10cm2,假设水在管内作稳恒流动， 求 （1）管2、3、4的流量; （2）管2、3、4的流速;
天津大学化工原理第5讲伯努利方程的应用
1、伯努利方程的应用主要有以下几个方面 ①确定管道中流体的流量。 ②确定容器间的相对位置。 ③确定输送设备的有效功率。 ④确定管路中流体的压强。
2、伯努利方程的解题要点
（1） 作图与确定衡算范围 根据题意画出流动系统的示意图，并标明流体的流动方
3）确定输送设备的有效功率
例1-14 用泵将贮液池中常温下的水送至吸收塔顶部，贮槽 内液面维持恒定，各部分相对 位置如附图所示。输送管直径 为φ76×3mm，排水管出口喷 头连接处的压强为6.15×104Pa （表压），送水量为34.5m3/h， 水流经全部管道（不包括喷头） 的能量损失为160J/kg，试求泵 的有效功率。
（3） 基准水平面的选取 基准水平面可以任意选取，但必须与地面平行。z值是
指截面中心点至基准水平面的垂直距离，选取的目的是为了 确定位能的大小。为简化计，水平管道，可选管道中心轴线
为基准水平面，则 z 0 。基准水平面也可选择通过其中
任一截面，则该截面上z=0。 （4） 两截面上的压强 两截面的压强除要求单位一致外，还要求表示方法一致。 （注：绝压或表压强，若为真空，表压强计为“-”值）。
1000kg / m3,hf 160J / kg
u2
4Vs
d2
434.5 3600 3.14 0.072
2.49m / s
将以上数据代入伯努利方程，得：
We
gZ2
u22 2
p2
hf
9.81 26 2.492 6.15104 160
2
1000
伯努利方程及其应用
第一节 伯努利定理
在流体静力学中，我们曾引入过压力函数的概念，现在在推导伯 努利方程之前，我们先对压力函数的性质在作进一步的分析。
一、压力函数分析
在流体静力学中，对于密度仅是压力 的函数的正压流体，引入了压力函数：
我们考察流场中的任意一条曲线L，规定线上的某点o为原点，因 此曲线L上的任意一点能用该点到o弧长 l 表示,而dl 表示曲线弧的微 元长度。显然，在曲线L上，密度和压力是弧长 l 的函数，并且在不 同的曲线L上，其函数也是不同的，这样速度和压力就可表示为：
五、总结
1、伯努利方程的形式
p1 1 1 V12 gz1 p2 V2 2 gz2 2 2
I、
物理意义：单位体积流体的能量守恒。压力能、动能、势能。 II、
V12 p1 V2 2 p2 gz1 gz2 2 2
物理意义：单位质量流体的能量守恒。（焓表示）
三、汽油机化油器的流动
1、风道进口流动问题。如图所示一直径为D的圆柱形通风管，假设B 截面的速度分布均匀，空气密度为air，并已知通风流量Q，求B点的 压力pB。
设A点远离进口，则VA=0，pA=pa
B点的流速为： 写出A、B两点间的柏努力方程：
所以：
2、化油器的流动。化油器结构如图，已知D、d、pB，以及油箱油面 到汽化器轴线的垂直高度h，油面压力为pa，求将汽油吸入汽化器的空 air , oil 气流量。设空气与汽油的密度分别为： 欲使汽油被吸入汽化器，C截面必须要有 一定的真空度，其最小真空度所对应的 油柱高度应为h。即： (a)
截面C处的真空度又与流过该截面的空气 流量有关。写出B与C截面的伯努利方程： (b) 连续方程：
(c)
由 (a)： 由 (b)： 另外，由
化工原理 伯努利方程
伯努利方程流体宏观运动机械能守恒原理的数学表达式。
1738年瑞士数学家D.伯努利在《水动力学──关于流体中力和运动的说明》中提出了这一方程。
它可由理想流体运动方程（即欧拉方程）在定态流动条件下沿流线积分得出；也可由热力学第一定律导出。
它是一维流动问题中的一个主要关系式，在分析不可压缩流体的定态流动时十分重要，常用于确定流动过程中速度和压力之间的相互关系。
方程的形式 对于不可压缩的理想流体，密度不随压力而变化，可得：Zg+22u P +ρ＝常数式中Z 为距离基准面的高度;P 为静压力;u 为流体速度;ρ为流体密度;g 为重力加速度。
方程中的每一项均为单位质量流体所具有的机械能，其单位为N ·m/kg ，式中左侧三项，依次称为位能项、静压能项和动能项。
方程表明三种能量可以相互转换，但总和不变。
当流体在水平管道中流动时Z 不变，上式可简化为：ρPu +22＝常数 此式表述了流速与压力之间的关系:流速大处压力小,流速小处压力大。
对于单位重量流体,取管道的1、2两截面为基准,则方程的形式成为：gu g P Z g u g P Z 2222222111++=++ρρ 式中每一项均为单位重量流体的能量，具有长度的因次，三项依次称为位头、静压头和动压头（速度头）。
对于可压缩理想流体，密度随压力而变化。
若这一变化是可逆等温过程，则方程可写成下式：1211222211ln 22P PP u gZ u gZ ρ++=+若为可逆绝热过程，方程可写为：1211222211ln 22P PP u gZ u gZ ρ++=+式中γ为定压比热容Cp 和定容比热容Cv 之比，即比热容比，也称为绝热指数。
对于粘性流体，流动截面上存在着速度分布，如用平均流速u 表达动能项，应对其乘以动能校正系数d ο。
此外,还需考虑因粘性引起的流动阻力,即造成单位质量流体的机械能损失h f ，若在流体流动过程中，单位质量流体又接受了流体输送机械所做的功W ，在这些条件下,若取处于均匀流段的两截面1和2为基准，则方程可扩充为：α值可由速度分布计算而得, 流体在圆管内作层流流动时α=2；作湍流流动时，α≈1.06。
伯努利方程的原理及其应用
伯努利方程的原理及其应用摘要：伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，是流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。
伯努利方程对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。
关键词：伯努利方程发展和原理应用1.伯努利方程的发展及其原理：伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。
对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。
伯努利方程的原理，要用到无黏性流体的运动微分方程。
无黏性流体的运动微分方程：无黏性元流的伯努利方程：实际恒定总流的伯努利方程：z1++=z2+++h w总流伯努利方程的物理意义和几何意义：Z----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的位能，位置高度或高度水头；----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的压能，测压管高度或压强水头；----总流过流断面上单位重量流体的平均动能，平均流速高度或速度水头；hw----总流两端面间单位重量流体平均的机械能损失。
总流伯努利方程的应用条件：（1）恒定流；（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流。
（5）总流的流量沿程不变。
（6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。
（7）式中各项均为单位重流体的平均能（比能），对流体总重的能量方程应各项乘以ρgQ。
2.伯努利方程的应用:伯努利方程在工程中的应用极其广泛，下面介绍几个典型的例子：※文丘里管：文丘里管一般用来测量流体通过管道时的流量。
新一代差压式流量测量仪表，其基本测量原理是以能量守恒定律——伯努力方程和流动连续性方程为基础的流量测量方法。
化工原理伯努利方程
化工原理伯努利方程
伯努利方程是描述流体在运动过程中能量守恒的基本原理之一。
根据伯努利方程，流体在稳态条件下沿着流线的总能量保持不变，即由速度势、静压力和流动压力组成的总能量在流体运动过程中保持恒定。
具体而言，伯努利方程可以写作：
P + 0.5ρv^2 + ρgh = 常数
其中，P是流体的静压力，ρ是流体的密度，v是流体的速度，g是重力加速度，h是流体的高度。
伯努利方程的原理可以通过下面的推导来理解。
考虑一个流经管道的流体元素，在单位时间内，流体元素穿过任意两个横截面之间的流体量是相等的。
由于质量守恒，流体密度是恒定的，所以这一流体元素在不同横截面位置上的体积速度亦是相等的。
根据动量定理，单位时间内流体元素受到的外力和单位时间内动量的改变量之间存在关系。
在伯努利方程中，流体受到的外力可以分为静压力和流动压力两部分。
静压力即为流体在静止不动时的压力，而流动压力则是流体在运动过程中产生的额外压力。
由于单位时间内流体元素的动量改变量为0，所以伯努
利方程成立。
根据伯努利方程，我们可以得到一些重要的结论。
首先，当流体的速度增加时，流体的静压力会下降，即压力和速度之间存在负相关关系。
其次，当流体的速度增加时，流体的动能也会
增加，即速度和动能之间存在正相关关系。
最后，当流体高度增加时，流体的静压力也会增加。
总之，伯努利方程是描述流体运动过程中能量守恒的重要原理，对于分析和理解流体力学问题具有重要意义。
化工原理 伯努利方程的应用
2 u1
u2 Hf 2g
2
32 0.752 0.26 2 9.8
0.17m水柱
因倒U型管中为空气，若不 计空气质量，P3=P4=P
P P 水 gh 1
P2 P 水 g (h R)
P2 P gR 1
P2 P 1 R g
P2 P 1 0.17m水柱 170mm水柱 R g
都必须是已知的或者可以通过其它关系式计算出来。
3）基准水平面的选取
所以基准水平面的位置可以任意选取，但必须与地面平 行，为了计算方便，通常取基准水平面通过衡算范围的两个 截面中的任意一个截面。如衡算范围为水平管道，则基准水 平面通过管道中心线，Δ Z=0。 4）单位必须一致 在应用柏努利方程之前，应把有关的物理量换算成一致 的单位，然后进行计算。两截面的压强除要求单位一致外， 还要求表示方法一致。
分析： 求流量Vh 已知d 求u 直管
Vh 3600u
判断能否应用？
4
d
2
任取一截面
气体
柏努利方程
解：取测压处及喉颈分别为截面1-1’和截面2-2’
截面1-1’处压强 ：
P Hg gR 13600 9.81 0.025 3335Pa(表压） 1
截面2-2’处压强为 ：
P2 gh 1000 9.81 0.5 4905Pa(表压）
流经截面1-1’与2-2’的压强变化为：
P P2 (101330 3335) (10330 4905) 1 P (101330 3335) 1
0.079 7.9% 20%
在截面1-1’ 和2-2’ 之间列柏努利方程式。以管道中心线 作基准水平面。 由于两截面无外功加入，We=0。 能量损失可忽略不计Σhf=0。 柏努利方程式可写为：
化工原理伯努利方程
伯努利方程流体宏观运动机械能守恒原理的数学表达式。
1738年瑞士数学家D.伯努利在《水动力学──关于流体中力和运动的说明》中提出了这一方程。
它可由理想流体运动方程（即欧拉方程）在定态流动条件下沿流线积分得出；也可由热力学第一定律导出。
它是一维流动问题中的一个主要关系式，在分析不可压缩流体的定态流动时十分重要，常用于确定流动过程中速度和压力之间的相互关系。
方程的形式 对于不可压缩的理想流体，密度不随压力而变化，可得：Zg+22u P +ρ＝常数式中Z 为距离基准面的高度;P 为静压力;u 为流体速度;ρ为流体密度;g 为重力加速度。
方程中的每一项均为单位质量流体所具有的机械能，其单位为N ·m/kg ，式中左侧三项，依次称为位能项、静压能项和动能项。
方程表明三种能量可以相互转换，但总和不变。
当流体在水平管道中流动时Z 不变，上式可简化为：ρPu +22＝常数 此式表述了流速与压力之间的关系:流速大处压力小,流速小处压力大。
对于单位重量流体,取管道的1、2两截面为基准,则方程的形式成为：gu g P Z g u g P Z 2222222111++=++ρρ 式中每一项均为单位重量流体的能量，具有长度的因次，三项依次称为位头、静压头和动压头（速度头）。
对于可压缩理想流体，密度随压力而变化。
若这一变化是可逆等温过程，则方程可写成下式：1211222211ln 22P PP u gZ u gZ ρ++=+若为可逆绝热过程，方程可写为：1211222211ln 22P PP u gZ u gZ ρ++=+式中γ为定压比热容Cp 和定容比热容Cv 之比，即比热容比，也称为绝热指数。
对于粘性流体，流动截面上存在着速度分布，如用平均流速u 表达动能项，应对其乘以动能校正系数d ο。
此外,还需考虑因粘性引起的流动阻力,即造成单位质量流体的机械能损失h f ，若在流体流动过程中，单位质量流体又接受了流体输送机械所做的功W ，在这些条件下,若取处于均匀流段的两截面1和2为基准，则方程可扩充为：α值可由速度分布计算而得, 流体在圆管内作层流流动时α=2；作湍流流动时，α≈1.06。
天津大学化工原理第5讲伯努利方程的应用概要
p2=1.4×105Pa（均为表压），Σhf=10.6J/kg；取
水的密度为1000kg/m3，得：
2 u12 1.69 105 u2 1.4 105 9.811.5 10.6 2 1000 2 1000
由连续性方程：
u2 d1 2 0.3 2 ( ) ( ) 4 u2 4u1 u1 d2 0.15
（3） 基准水平面的选取 基准水平面可以任意选取，但必须与地面平行。z值是 指截面中心点至基准水平面的垂直距离，选取的目的是为了 确定位能的大小。为简化计，水平管道，可选管道中心轴线
为基准水平面，则 z 0 。基准水平面也可选择通过其中
任一截面，则该截面上z=0。 （4） 两截面上的压强 两截面的压强除要求单位一致外，还要求表示方法一致。
2）确定设备间相对位置 例1-13 有一输水系统，如本题附图所示，水箱内的水面维
持恒定，输水管直径φ60×3mm，输水量为18.3m3/h，水流经
全部管道（不包括排出口）的能量损失可按Σhf=15u2计算，式 中u为管道内水的流速（m/s）。试求: (1)水箱内的液面必须高出 排出口的高度H； (2)若输水量增加5%，管道 的直径及其布置不变，管路 损失仍按上式计算，则水
代入，得：
u 1.69 10 9.811.5 1.4 105 10.6 1000
解得： u1 0.701m / s
Ws u1 A1
d12
4
u1
3.14 0.32 0.7011000 49.55kg / s 1.78 105 kg / h 4
（注：绝压或表压强，若为真空，表压强计为“-”值）。 （5）单位必须一致
伯努利方程式中各项的单位必须统一。建议采用SI制。
伯努利方程的实际应用
生活中与伯努利方程有关 的现象
安全相关
两船并行时保持一定距 离
铁路旁设置警告线
交通工具中的应用
飞机机翼的设计制造 汽车等工具的车身设计
球类运动
乒乓球中的旋球、弧线 球
足球中的香蕉球
其它
利用流速大、压强小的 原理可以制成喷雾器和 汽油发动机的化油器
利用伯努利方程解释部 分现象
飞机飞行时机翼周围 空气的流线分布是指机 翼横截面的形状上下不 对称，机翼上方的流线 密，流速大；下方的流 线疏，流速小。
香蕉球，旋球等
用过伯努利定理，我们可以推出马格努斯效应。感觉马格努 斯效应我们就可以很清楚的知道为什么球会以弧线运动。以 及乒乓球中的上旋球和下旋球的高度变化。
应用3 安全相关 船吸现象
当两艘船平行着向前航 行时，在两艘船中间的水比 外侧的水流得快，中间水对 两船内侧的压强，也就比外 侧对两船外侧的压强要小。 于是，在外侧水的压力作用 下，两船渐渐靠近，最后相 撞。
以上有不当之处，请大家给与批评指正，谢谢大家！
13
应用1 飞机的翼型升力
飞机为什么能够飞上天？ 因为机翼受到向上的升力。
飞机飞行时机翼周围空气的流 线分布是指机翼横截面的形状上下 不对称，机翼上方的流线密，流速 大；下方的流线疏，流速小。
应用2 香蕉球 (弧线球)
马格努斯效应
根据伯努利定理，流体速度增加将导致压强减小，流体速度 减小将导致压强增加，这样就导致旋转物体在横向的压力差， 并形成横向力。同时由于横向力与物体运动方向相垂直，因 此这个力主要改变飞行速度方向，即形成物体运动中的向心 力，因而导致物体飞行方向的改变。在这个横向力的作用下 物体飞行轨迹发生偏转的现象称作马格努斯效应。
汽油发动机的化油器
化工原理 伯努利方程
伯努利方程流体宏观运动机械能守恒原理的数学表达式。
1738年瑞士数学家D.伯努利在《水动力学──关于流体中力和运动的说明》中提出了这一方程。
它可由理想流体运动方程（即欧拉方程）在定态流动条件下沿流线积分得出；也可由热力学第一定律导出。
它是一维流动问题中的一个主要关系式，在分析不可压缩流体的定态流动时十分重要，常用于确定流动过程中速度和压力之间的相互关系。
方程的形式 对于不可压缩的理想流体，密度不随压力而变化，可得：Zg+22u P +ρ＝常数式中Z 为距离基准面的高度;P 为静压力;u 为流体速度;ρ为流体密度;g 为重力加速度。
方程中的每一项均为单位质量流体所具有的机械能，其单位为N ·m/kg ，式中左侧三项，依次称为位能项、静压能项和动能项。
方程表明三种能量可以相互转换，但总和不变。
当流体在水平管道中流动时Z 不变，上式可简化为：ρPu +22＝常数 此式表述了流速与压力之间的关系:流速大处压力小,流速小处压力大。
对于单位重量流体,取管道的1、2两截面为基准,则方程的形式成为：gu g P Z g u g P Z 2222222111++=++ρρ 式中每一项均为单位重量流体的能量，具有长度的因次，三项依次称为位头、静压头和动压头（速度头）。
对于可压缩理想流体，密度随压力而变化。
若这一变化是可逆等温过程，则方程可写成下式：1211222211ln 22P PP u gZ u gZ ρ++=+若为可逆绝热过程，方程可写为：1211222211ln 22P PP u gZ u gZ ρ++=+式中γ为定压比热容Cp 和定容比热容Cv 之比，即比热容比，也称为绝热指数。
对于粘性流体，流动截面上存在着速度分布，如用平均流速u 表达动能项，应对其乘以动能校正系数d ο。
此外,还需考虑因粘性引起的流动阻力,即造成单位质量流体的机械能损失h f ，若在流体流动过程中，单位质量流体又接受了流体输送机械所做的功W ，在这些条件下,若取处于均匀流段的两截面1和2为基准，则方程可扩充为：α值可由速度分布计算而得, 流体在圆管内作层流流动时α=2；作湍流流动时，α≈1.06。
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解：1、选取衡算截面及基准水平面
取水箱水面为上游截面1-1’ ，排出管口内侧为下游截面2-2’ ，
并以截面2-2’ 的管道中心线为基准水平面，则有Z1= H；Z2=0
2、在1-1’与2-2’之截面间列伯努利方程
gz1
u12 2
p1
We
gz2
u22 2
p2
hf
已知：p1=p2=0 , (均为表压) ,u1≈0，Σhf=15u2，We=0
（5）单位必须一致 伯努利方程式中各项的单位必须统一。建议采用SI制。
2、伯努利方程的应用示例 1）确定管道中流体的流量
例1-12 水在如本图所示的管道内由 下而上自粗管内流入细管，粗管内径为 0.3m，细管内径为0.15m。已测得图中11’及2-2’ 面上的静压强分别为1.69×105Pa 及1.4×105Pa（均为表压），两测压口垂 直距离为1.5m，流体流过两测压点的阻 力损失为10.6J/kg，试求水在管道中的质 量流量为多少(kg/h)？
第5讲 1.3.5 伯努利方程式的应用
教学内容：1、掌握管内稳态流动的连续性方程及其 应用； 2、掌握伯努利方程及其应用。
教学重点：1、伯努利方程的解题要点； 2、伯努利方程的实际应用过程计算。
教学难点：伯努利方程应用中衡算截面的选取。
伯努利方程的几种表达形式
1) 以单位质量流体（1kg流体）为衡算基准。
u2
Vs A
4Vs
d2
418.3 3600 3.14 0.0542
2.22m / s
9.81H 2.222 15 2.222 76.39 H 7.79m 2
即水箱内的水面至少应高出管道排出口7.79m。
（2）输水量增加后，水箱内水面上升的高度。
Vs' u' A 1.05Vs 1.05uA u' 1.05u 1.05 2.22 2.33m / s
2 1000
解得： u1 0.701m / s
Ws
u1 A1
d12
4
u1
3.14 0.32 0.7011000 49.55kg / s 1.78 105 kg / h 4
2）确定设备间相对位置
例1-13 有一输水系统，如本题附图所示，水箱内的水面维 持恒定，输水管直径φ60×3mm，输水量为18.3m3/h，水流经 全部管道（不包括排出口）的能量损失可按Σhf=15u2计算，式 中u为管道内水的流速（m/s）。试求: (1)水箱内的液面必须高出 排出口的高度H； (2)若输水量增加5%，管道 的直径及其布置不变，管路 损失仍按上式计算，则水 箱内的水面将升高多少米?
（2） 截面的选取 规定两截面均应与流体流动方向相垂直，并且在两截面
间的流体必须是连续的。所求的未知量应在截面上或在两截面 之间，且截面上的Z、u、p等有关物理量，除所需求取的未知 量外，都应该是已知的或能通过其它关系计算出来。
（3） 基准水平面的选取 基准水平面可以任意选取，但必须与地面平行。z值是
gz1
u12
2
p1
We
gz2
u22
2
p2
hf
式中： hf pf ——单位体积流体的机械能损耗。
注：式中各项单位为N/m2（或Pa)，表示单位体积流 体所具有的能量。
1.3.5 伯努利方程式的应用 概述：对稳态流动体系作质量衡算（物料衡算）→一维稳定
流动的连续性方程，对稳态流动体系作能量衡算→伯努利方程。 这两个方程是解决流体输送问题最重要、最基本的方程。
解：首先选取衡算截面及基准水平面
取水流过的1-1’ 为上游截面， 2-2’为下游
截面， 取1-1’为基准水平面，在1-1’ 和2-2’间列
伯努利方程：
gz1
u12 2Leabharlann p1Wegz2
u22 2
p2
hf
已知：We=0，Z1=0，Z2=1.5，p1=1.69×105 Pa, p2=1.4×105Pa（均为表压），Σhf=10.6J/kg；取 水的密度为1000kg/m3，得：
根据伯努利方程式并整理，则输水量增加后水箱内水面高 于排出口的高度H’为
9.81H '
u'2 2
h'f
2.332 2
15 2.332
84.14 H '
8.58m
即当输水量增加5%时，水箱内水面将要上升8.58-7.79=0.79m。
实际应用：从高位槽向设备输送一定量的料液时，确 定高位槽的安装位置（高度）。
u12 1.69105 9.811.5 u22 1.4 105 10.6
2 1000
2 1000
由连续性方程：
u2 u1
( d1 )2 d2
( 0.3 )2 0.15
4 u2
4u1
代入，得：
u12 1.69105 9.811.5 4u1 2 1.4105 10.6
2 1000
1、伯努利方程的应用主要有以下几个方面 ①确定管道中流体的流量。 ②确定容器间的相对位置。 ③确定输送设备的有效功率。 ④确定管路中流体的压强。
2、伯努利方程的解题要点
（1） 作图与确定衡算范围 根据题意画出流动系统的示意图，并标明流体的流动方
向。选好上、下游截面（1-1’、2-2’截面），以明确流动系 统的衡算范围。
gz1
u12 2
p1
We
gz2
u22 2
p2
hf
式中：We ——流体输送机械对单位质量流体所作的有效功。
h f ——单位质量流体的机械能损耗。
注：式中各项单位为J/kg，表示单位质量流体所具有的能量。
2) 以单位重量流体（1N流体）为衡算基准。将（Ⅲ）式中各
项除以g。
z1
u12 2g
p1
g
We g
z2
u22 2g
p2
g
hf g
或
z1
u12 2g
p1
g
He
z2
u22 2g
p2
g
H
f
位压头 动压头 静压头 有效压头 压头损失
注：式中各项单位为m。“m”的物理意义，表示单位重量 流体所具有的机械能，可以把它自身从基准水平面升举的高度。
3) 以单位体积流体（1m3流体）为衡算基准，则将（Ⅲ）式 各项乘以ρ。得：
指截面中心点至基准水平面的垂直距离，选取的目的是为了 确定位能的大小。为简化计，水平管道，可选管道中心轴线
为基准水平面，则 z 0 。基准水平面也可选择通过其中
任一截面，则该截面上z=0。 （4） 两截面上的压强
两截面的压强除要求单位一致外，还要求表示方法一致。 （注：绝压或表压强，若为真空，表压强计为“-”值）。