大连理工大学 高等数值分析 抛物型方程有限差分法

抛物型方程有限差分法

1. 简单差分法

考虑一维模型热传导方程 (1.1)

)(22x f x

u

a t u +∂∂=∂∂，T t ≤<0 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类：

第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： （1.2） ()()x x u ϕ=0,,

∞<<∞-x

第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件：

()13.1 ()()x x u ϕ=0,, l x l <<-

及边值条件

()23.1 ()()0,,0==t l u t u ，

T t ≤≤0

假定()x f 和()x ϕ在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。

现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近 取

N

l

h =

为空间步长，M

T =

τ为时间步长，其中N ，M 是

自然数，

jh x x j ==, ()N j ,,1,0 =；

τ

k y y k ==, ()M k ,,1,0 =

将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 ()j i y x ,表

示网格节点；

h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合；

h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合； h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。

k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。 注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系

（(,)k

j k j u u

x t t t

∂∂⎛⎫≡ ⎪

∂∂⎝⎭）： ()()

()ττ

O t u t x u t x u k

j k j k j +⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂=-+,,1 ()()

()2112,,ττ

O t u t x u t x u k j

k j k j +⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂=--+

()()()h O x u h t x u t x u k

j k j k j +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=-+,,1

()()

()h O x u h

t x u t x u k

j k j k j +⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂=--,,1 ()()

()2112,,h O x u h

t x u t x u k j

k j k j +⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂=--+

()()()

()2

222

11,,2,h O x u h

t x u t x u t x u k

j

k j k j k j +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+--+

可得到以下几种最简差分格式

（一） 向前差分格式

()14.1 =-+τ

k j

k j u u 1j k

j k j k j f h u u u a

++--+2

1

12

()()j j x f f =

()24.1

()j j j x u ϕϕ==0，

k u 0

=k

N u =0 其中1,,1,0-=N j ，1,,1,0-=M k 。取2

h

a r τ=为网比，则进一步有

()14.1'

1+k j u =k j ru 1++()r 21-k j u +k

j ru 1-+j f τ

此差分格式是按层计算：首先，令0=k ，得到

1j u =01+j ru +()r 21-0j u +0

1-j ru +j f τ

于是，利用初值()j j j x u ϕϕ==0和边值k u 0=k

N u =0，可算出第一层的

1j u ，1,,1,0-=N j 。再由()14.1'取1=k ，可利用1j u 和k u 0

=k

N u =0算出

2j

u ，

1

,,1,0-=N j 。如此下去，即可逐层算出所有

k j

u （1,,1,0-=N j ，1,,1,0-=M k ）。

由于第()1+k 层值可以通过第()k 层值直接得到，如此的格式称为显格式。并视k j u 为()k j t x u ,的近似值。

若记

()T

k

N k k k u u u 1

21,,,-= u ，()()()()T

N x x x 1

2

1

,,,-=ϕϕϕϕ ，()()()()T N x

f x f x f 1

2

1

,,,-=τττ f

则显格式()14.1'可写成向量形式

⎩⎨⎧=-=+=+ϕ

11

,,1,0,u f Au u M k k k 其中

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----=r r r r r r r r r r

21002100210021

A 若记

2

2x

u

a t u Lu ∂∂-∂∂=

()

--=

+τ

k j

k j k

j

h u u u L 112

1

12h

u u u a

k

j k j k j -++-

那末截断误差

（1.5）()=u R k

j

()

()[]k j

k j h Lu t x u L -,1=()ττO t x t u r k j +⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛--)~,~(2112122=()2

h O +τ 其中(,)j k x

t 是矩形11+-<

u R k j k

j

x u ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂222τ+()

2

τO k

j

x u

h a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-442ˆ12 =

k

j

x u ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂222τ+()

2

τO ()2

222

2ˆ1

12τO t u a h a k

j

+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅⋅

⋅-

=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-211212ττa h ()2

22~τO t u k

j

+⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21121r τ()2

22~τO t u k

j

+⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=()2

h O +τ。

这里

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂222244x u x

a x u a ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅∂∂=t u a x a 122

⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂∂∂=t u x 22

t

x u ∂∂∂=23

22t u ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=t u t 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=22x u a t t

x u

∂∂∂=23

故22t u ∂∂44

244x u a x u a a ∂∂=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂⋅=，从而=∂∂44x u 2

21t

u

a ∂∂⋅