态密度g(E)=dzdE能量E附近单位能量间隔内电子的量子状态数
半导体物理课后习题答案(精)
第一章习题1．设晶格常数为a的一维晶格，导带极小值附近能量Ec(k)和价带极大值附近能量EV(k)分别为：h2k2h2(k-k1)2h2k213h2k2Ec= +,EV(k)=-3m0m06m0m0m0为电子惯性质量，k1=（1）禁带宽度;（2）导带底电子有效质量;（3）价带顶电子有效质量;（4）价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化解：（1）导带：2 2k2 2(k-k1)由+=03m0m03k14d2Ec2 22 28 22=+=>03m0m03m0dk得：k=所以：在k=价带：dEV6 2k=-=0得k=0dkm0d2EV6 2又因为=-<0,所以k=0处，EV取极大值2m0dk2k123=0.64eV 因此：Eg=EC(k1)-EV(0)=412m02=2dECdk23m0 8πa,a=0.314nm。
试求： 3k处，Ec取极小值4 (2)m*nC=3k=k14(3)m*nV 2=2dEVdk2=-k=01m06(4)准动量的定义：p= k所以：∆p=( k)3k=k14 3-( k)k=0= k1-0=7.95⨯10-25N/s42. 晶格常数为0.25nm的一维晶格，当外加102V/m，107 V/m的电场时，试分别计算电子自能带底运动到能带顶所需的时间。
解：根据：f=qE=h(0-∆t1=-1.6⨯10∆k ∆k 得∆t= ∆t-qEπa)⨯10)=8.27⨯10-13s2-19=8.27⨯10-8s (0-∆t2=π-1.6⨯10-19⨯107第三章习题和答案100π 21. 计算能量在E=Ec到E=EC+ 之间单位体积中的量子态数。
*22mLn31*2V（2mng(E)=(E-EC)2解232πdZ=g(E)dEdZ 单位体积内的量子态数Z0=V22100π 100h Ec+Ec+32mnl8mnl1*2（2mn1V Z0=g(E)dE=⎰(E-EC)2dE23⎰VEC2π EC 23100h*2 =V（2mn2(E-E)Ec+8m*L2Cn32π2 3Ecπ =10003L32. 试证明实际硅、锗中导带底附近状态密度公式为式（3-6）。
半导体物理学（刘恩科第七版）前五章课后习题解答
半导体物理学（刘恩科第七版）前五章课后习题解答( ) 半导体物理学(刘恩科第七版)前五章课后习题解答第一章习题1．设晶格常数为a 的一维晶格，导带极小值附近能量Ec(k)和价带极大值附近能量EV(k)分别为：h 2 k 2 h 2 ( k ? k1 ) 2 h 2 k 21 3h 2 k 2 Ec= + , EV (k ) = ? 3m0 m0 6m 0 m0 m0 为电子惯性质量，k1 =（1）禁带宽度; （2）导带底电子有效质量; （3）价带顶电子有效质量; （4）价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化解：（1）导带：由2? 2 k 2? 2 (k ? k1 ) + =0 3m0 m0π, a = 0.314nm。
试求：a3 k14 d 2E 2? 2 2? 2 8? 2 又因为：2c = + = >0 3m0 m0 3m0 dk 得：k = 所以：在k = 价带：3 k处，Ec取极小值4dEV 6? 2 k =? = 0得k = 0 dk m0 d 2 EV 6? 2 又因为=? < 0, 所以k = 0处，EV 取极大值m0 dk 22 k123 因此：E g = EC ( k1 ) ? E V (0) = = 0.64eV4 12m0 ?2 = 2 d EC dk 2 3 = m0 83 k = k1 4(2)m* nC* (3)mnV =2 d 2 EV dk 2=?k = 01m0 6(4)准动量的定义：p = ?k 所以：?p = (?k )3 k = k1 43 ? (?k ) k =0 = ? k1 ? 0 = 7.95 × 10 ? 25 N / s 42. 晶格常数为0.25nm 的一维晶格，当外加102V/m，107 V/m 的电场时，试分别计算电子自能带底运动到能带顶所需的时间。
解：根据：f = qE = h ? (0 ??k ?t 得?t = ??k ? qEπ ) a ?t1 = = 8.27 × 10 ?8 s ?19 2 ? 1.6 × 10 × 10 π ? (0 ? ) a ?t 2 = = 8.27 × 10 ?13 s ?19 7 ? 1.6 × 10 × 10第二章习题1. 实际半导体与理想半导体间的主要区别是什么？答：（1）理想半导体：假设晶格原子严格按周期性排列并静止在格点位置上，实际半导体中原子不是静止的，而是在其平衡位置附近振动。
状态密度的计算
2 kx nx L 2 ky ny L 2 kz nz L
K空间中的量子态分布图
计算不同半导体的状态密度
导带底E(k)与k的关系（单极值，球形等能面）
2k 2 E (k ) Ec * 2mn 把能量函数看做是连续的,则能量E～E+dE之间包含的k空 间体积为4πk·dk,所以包含的量子态总数为
状态密度
dZ g (E) dE
定义：能带中能量E附近单位能量范围内的电子状态数（量子 态数） 计算步骤 – 计算单位k空间中的量子态数(即k空间的量子态密度)； – 计算单位能量范围所对应的k空间体积； – 计算单位能量范围内的量子态数； – 求得状态密度。
k空间中量子态的分布
先计算单位k空间的量子态密度 对于边长为L，晶格常数为a的立方晶体 kx = 2πnx/L ,ky = 2πny/L, kz = 2πnz/L (nx ,ny,,nz = 0, ±1, ±2, …) 由每一组整数(nx，ny，nz)决定一个波矢k，代表电子不同的能 量状态，k在空间分布是均匀的，每个代表点的坐标，沿坐标轴 3 方向都是2π/L的整数倍，对应着k空间中一个体积为 V / 8 的立方体。也就是说，单位体积的k空间可以包含的量子状态 3 为 8 / V 。如果考虑电子的自旋，则单位k空间包含的电子 3 量子状态数即单位k空间量子态密度为 2V / 8
• 价带顶附近状态密度
3
* n 3
3
2( E Ec )12V ( 2m ) gv ( E) 2 2
* p 3
2
( Ev E )
1
2
其中
2V 2 dZ 3 4k dk 8
* 1/ 2 * (2mn ) ( E Ec )1/ 2 mn dE k kdk 2
状态密度的计算
由每一组整数(nx，ny，nz)决定一个波矢k，代表电子不同的能 量状态，k在空间分布是均匀的，每个代表点的坐标，沿坐标轴
方向都是2π/L的整数倍，对应着k空间中一个体积为 V / 8 3
状态密度 g(E) dZ dE
定义：能带中能量E附近单位能量范围内的电子状态数（量子 态数）
计算步骤 – 计算单位k空间中的量子态数(即k空间的量子态密度)； – 计算单位能量范围所对应的k空间体积； – 计算单位能量范围内的量子态数； – 求得状态密度。
精品PPT
k空间中量子态的分布
先计算单位k空间的量子态密度 对于边长为L，晶格常数为a的立方晶体
的立方体。也就是说，单位体积的k空间可以包含的量子状态
为 8 3 /V 。如果考虑电子的自旋，则单位k空间包含的电子 量子状态数即单位k空间量子态密度为 2V / 8 3
精品PPT2
ky L ny
kz
2
L
nz
K空间中的量子态分布图
精品PPT
计算不同半导体的状态密度
导带底E(k)与k的关系（单极值，球形等能面）
• 根据公式，各向同性半导体导带底附近状态密度：
gc (E)
dZ dE
V
2
2
(2mn* ) 32 3
(E
1
Ec ) 2
• 价带顶附近状态密度
gv (E)
V
2 2
(2m*p ) 32 3
(Ev
1
E) 2
精品PPT
精品PPT
2k 2 E(k) Ec 2mn* 把能量函数看做是连续的,则能量E～E+dE之间包含的k空 间体积为4πk·dk,所以包含的量子态总数为
半导体物理第三章1
第三章 半导体中载流子的统计半导体靠电子和空穴传导电流，为了了解和描述半导体的导电过程，必须首先了解其中电子和空穴按能量分布的基本规律，掌握用统计物理学的方法求解处于热平衡状态的一块半导体中的载流子密度及其随温度变化的规律。
这就是本章要讨论的主要问题。
§3.1 状态密度为了计算半导体中热平衡载流子的密度及其随温度变化的规律，我们需要两方面的知识：第一，载流子的允许量子态按能量如何分布；第二，载流子在这些允许的量子态中如何分布。
一、 热平衡状态下的电子和空穴1、 热平衡状态在一定温度下，如果没有其他外界作用，半导体中能量较低的价带和施主能级上的电子依靠热激发跃迁到能量较高的受主或（和）导带，分别在价带和导带中引入可以导电的空穴和电子。
同时，高能量状态上电子也有一定的几率退回到它原来的低能量状态。
于是，电子和空穴在所有允许量子态间的可逆跃迁达到稳定的动态平衡，使导带和价带分别具有稳定的电子密度和空穴密度，这种状态即是热平衡状态。
处于热平衡状态下的导带电子和价带空穴称为热平衡载流子。
热平衡载流子具有稳定的、与温度相关的密度。
因此，需要解决如何计算确定温度下半导体热平衡载流子密度的问题。
2、 热平衡状态下的载流子密度由于导电电子和空穴分别分布在导带和价带的量子态中，所以电子和空穴的密度必取决于这些状态的密度分布，以及电子和空穴占据这些状态的几率。
如果状态密度是与能量无关的常数N C 和N V ，则电子和空穴的热平衡密度n 0和p 0直接由N C 和N V 分别与相应的几率函数相乘得出；如果状态密度是能量的函数g C (E) 和g V (E)，则载流子密度的计算须采用积分方式，即dE E f E g n CE C )()(0⎰∞=；dE E f E g p VE V )()(0⎰∞-=因此，须了解态密度函数和几率函数的具体函数形式。
二、 态密度的定义及求解思路假定在能带中无限小的能量间隔d E 内有d Z 个量子态，则状态密度g (E )定义为dE dZ E g /)(=也就是说，状态密度g (E )就是在能带中能量E 的附近每单位能量间隔内的量子态数。
半导体物理学第四版答案
半导体物理学第四版答案【篇一：半导体物理学第四章答案】. 300k时，ge的本征电阻率为47?cm，如电子和空穴迁移率分别为3900cm2/( v.s)和1900cm/( v.s)。
试求ge 的载流子浓度。
解：在本征情况下，n?p?ni,由??1/??211知 ?nqun?pqupniq(un?up)ni?1113?3??2.29?10cm?19?q(un?up)47?1.602?10?(3900?1900)2. 试计算本征si在室温时的电导率，设电子和空穴迁移率分别为1350cm2/( v.s)和500cm2/( v.s)。
当掺入百万分之一的as后，设杂质全部电离，试计算其电导率。
比本征si的电导率增大了多少倍？解：300k时，un?1350cm2/(v?s),up?500cm2/(v?s)，查表3-2或图3-7可知，室温下si的本征载流子浓度约为ni?1.0?1010cm?3。
本征情况下，??nqun?pqup?niq(un?up)?1?1010?1.602?10-19?(1350+500)?3.0?10?6s/cm11金钢石结构一个原胞内的等效原子个数为8??6??4?8个，查看附录b知si的晶格常数为820.543102nm，则其原子密度为822?3。
?5?10cm?73(0.543102?10)1?5?1016cm?3，杂质全部电离后，nd??ni，1000000掺入百万分之一的as,杂质的浓度为nd?5?1022?这种情况下，查图4-14（a）可知其多子的迁移率为800 cm2/( v.s) ??ndqun?5?1016?1.602?10-19?800?6.4s/cm?6.4??2.1?106倍比本征情况下增大了?6?3?103. 电阻率为10?.m的p型si样品，试计算室温时多数载流子和少数载流子浓度。
解：查表4-15(b)可知，室温下，10?.m的p型si样品的掺杂浓度na约为1.5?1015cm?3,查表3-2或图3-7可知，室温下si的本征载流子浓度约为ni?1.0?1010cm?3,na??nip?na?1.5?1015cm?3ni(1.0?1010)24?3n???6.7?10cm15p1.5?104. 0.1kg的ge单晶，掺有3.2?10-9kg的sb，设杂质全部电离，试求该材料的电阻率??n=0.38m2/( v.s),ge的单晶密度为5.32g/cm3,sb原子量为121.8?。
状态密度的计算
• 13、无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异 纸上画饼充饥，无补于事。Tuesday, March 22, 202222-
Mar-2222.3.22
• 14、我只是自己不放过自己而已，现在我不会再逼自 己眷恋了。22.3.2218:30:5322 March 202218:30
•
5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 22.3.22 22.3.22 18:30:5 318:30: 53Mar ch 22, 2022
•
6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2022年 3月22 日星期 二下午6 时30分 53秒18 :30:532 2.3.22
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谢 谢 大 家 022 6:30 PM3/22/2022 6:30 PM22.3.2222.3.22
• 12、这一秒不放弃，下一秒就会有希望。22-Mar-2222 March 202222.3.22
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7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 22年3 月下午6 时30分 22.3.22 18:30 March 22, 2022
•
8、业余生活要有意义，不要越轨。20 22年3 月22日 星期二6 时30分 53秒18 :30:532 2 March 2022
•
9、一个人即使已登上顶峰，也仍要自 强不息 。下午 6时30 分53秒 下午6时 30分18 :30:532 2.3.22
•
2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。18:3 0:5318: 30:5318 :303/2 2/2022 6:30:53 PM
什么是状态密度
g(E)=dZ dE其中，g(E)表示状态密度（即单位能量间隔内的量子态数），dZ表示E~E+dE能量间隔内的量子态。
理解记忆：如下图，假设高度为dE的容器中装了体积为dZ的水，则单位高度间隔内的水体积为dZdE知道了状态密度的定义，那么，如何计算呢？一般按照如下“套路”即可计算：知道了计算方法，那么我们就以计算导带底附近的状态密度为例，来做题练习一下呗。
1.计算单位k空间的的量子态数波失k具有量子数的作用，它描述晶体中电子共有化运动的量子状态。
根据周期性边界条件，波失k只能取分立的数值。
k x=2πn xL(n x=0,1,2…)k y=2πn yL(n y=0,1,2…)k z=2πn zL(n z=0,1,2…)其中，L是半导体晶体的线度，L3=V。
因为k描述了电子的量子状态，而且在k空间内，一组整数（n x,n y,n z）决定一点，并对应一个波失，该点就是电子的一个允许能量状态的代表点。
所以，电子有多少允许的量子态，在k空间内就要多少代表点。
每一个代表点的体积为(2πL )3,则单体积中的代表点为(L2π)3，加上电子的自旋，则在k空间内，电子允许的态密度为2V8π32. 计算E~E+dE对应的k空间的体积在k空间中,以∣k∣为半径作一球面,它就是能量为E(k)的等能面;再以k+dk 为半径所作的球面,它是能量为(E+dE)的等能面,则这两个球壳之间的体积是4πk2dk。
3. 计算k 空间内一共的量子态数（dZ）要计算能量在E ~ (E+dE)之间的量子态数,只要计算这两个球壳之间的量子态数即可。
因为这两个球壳之间的体积是4πk2dk，而k空间中,量子态密度是2v/8π3,所以,在能量E(E+De)之间的量子态数为dZ=2V8π3×4πk2dk在导带底附近，E(k)=E c+ℏ2k22m n∗，则有,k=(2m n∗)1/2（E−E c）1/2ℏkdk=m n∗dEℏ2所以，最终dZ=2V8π3×4π(2mn∗)12(E−E c)12ℏm n∗dEℏ2 =V2π3(2mn∗)32ℏ3(E−Ec)12dE4. 计算状态密度g(E)g(E)=dZ dE=V2π3(2mn∗)32ℏ3(E−Ec)12Ok!!搞定。
半导体物理课后习题答案(精)
半导体物理课后习题答案(精)第一章习题1．设晶格常数为a的一维晶格，导带极小值附近能量Ec(k)和价带极大值附近能量EV(k)分别为：h2k2h2(k-k1)2h2k213h2k2Ec= +,EV(k)=-3m0m06m0m0m0为电子惯性质量，k1=（1）禁带宽度;（2）导带底电子有效质量;（3）价带顶电子有效质量;（4）价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化解：（1）导带：2 2k22(k-k1)由+=03m0m03k14d2Ec2 22 28 22=+=>03m0m03m0dk得：k=所以：在k=价带：dEV6 2k=-=0得k=0dkm0d2EV6 2又因为=-<0,所以k=0处，EV取极大值2m0dk2k123=0.64eV 因此：Eg=EC(k1)-EV(0)=412m02=2dECdk23m0 8πa,a=0.314nm。
试求： 3k处，Ec取极小值4 (2)m*nC=3k=k14 (3)m*nV 2=2dEVdk2=-k=01m06(4)准动量的定义：p= k所以：∆p=( k)3k=k14 3-( k)k=0= k1-0=7.95⨯10-25N/s42. 晶格常数为0.25nm的一维晶格，当外加102V/m，107 V/m的电场时，试分别计算电子自能带底运动到能带顶所需的时间。
解：根据：f=qE=h(0-∆t1=-1.6⨯10∆k ∆k 得∆t= ∆t-qEπa)⨯10)=8.27⨯10-13s2-19=8.27⨯10-8s (0-∆t2=π-1.6⨯10-19⨯107第三章习题和答案100π 21. 计算能量在E=Ec到E=EC+ 之间单位体积中的量子态数。
*22mLn31*2V（2mng(E)=(E-EC)2解 232πdZ=g(E)dEdZ 单位体积内的量子态数Z0=V22100π 100h Ec+Ec+32mnl8mnl1*2（2mn1VZ0=g(E)dE=⎰(E-EC)2dE23⎰VEC2π EC 23100h*2 =V（2mn2(E-E)Ec+8m*L2 Cn32π2 3Ecπ =10003L32. 试证明实际硅、锗中导带底附近状态密度公式为式（3-6）。
第3章-半导体中载流子的统计分布
3.1 状态密度
• 1、k空间量子态的分布 • 2、状态密度
1.5 载流子的运动 载流子 参与导电的电子和空穴统称为半导体的载流子。
载流子的产生 本征激发 电子从价带跃迁到导带，形成导带电子和价带空穴 杂质电离 当电子从施主能级跃迁到导带时产生导带电子；
当电子从价带激发到受主能级时产生价带空穴
载流子数目增加
(3-27)
所以，导带底附近的状态密度为:
gC
(E)
dZ dE
4V
2mn 3/ 2
h3
E EC 1/ 2
此式表明，状态密度随电子的能量呈抛物线关系。
对于等能面为椭球面的情况，仍选极值能量为
Ec,E(k)与k的关系：
E(k)
Ec
h2 2
k12
k
2 2
mt
k
2 3
ml
考虑到晶体的对称性，导带底极值附近对应椭球不止
能量为E的空穴状态密度 mp* 空穴的有效质量 EV 价带顶
有效质量
晶体中的电子除了受到外力作用外，还受到晶格原子和 其他电子的作用，为了把这些作用等效为晶体中的电子质 量，所以引入有效质量的概念。（当电子在外力作用下运 动时，它一方面受到外电场力的作用，同时还和半导体内 部原子、电子相互作用着，电子的加速度应该是半导体内 部势场和外电场作用的综合效果。但是要找出内部势场的 具体形式并且求出加速度遇到一定的困难，引进有效质量 后可使问题变得简单，直接把外力和电子的加速度联系起 来，而内部势场的作用则由有效质量加以概括。特别是有 效质量可以直接由试验测定，因而可以很方便地解决电子 的运动规律。）
对于P型半导体，随着受主杂质浓度的增加，费 米能级从禁带中线逐渐移向价带顶附近。
半导体物理课后习题答案
第一章习题1．设晶格常数为a的一维晶格，导带极小值附近能量Ec(k)和价带极大值附近能量EV(k)分别为：h2k2h2(k-k1)2h2k213h2k2Ec= +,EV(k)=-3m0m06m0m0m0为电子惯性质量，k1=（1）禁带宽度;（2）导带底电子有效质量;（3）价带顶电子有效质量;（4）价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化解：（1）导带：2 2k2 2(k-k1)由+=03m0m03k14d2Ec2 22 28 22=+=>03m0m03m0dk得：k=所以：在k=价带：dEV6 2k=-=0得k=0dkm0d2EV6 2又因为=-<0,所以k=0处，EV取极大值2m0dk2k123=0.64eV 因此：Eg=EC(k1)-EV(0)=412m02=2dECdk23m0 8πa,a=0.314nm。
试求： 3k处，Ec取极小值4 (2)m*nC=3k=k14(3)m*nV 2=2dEVdk2=-k=01m06(4)准动量的定义：p= k所以：∆p=( k)3k=k14 3-( k)k=0= k1-0=7.95⨯10-25N/s42. 晶格常数为0.25nm的一维晶格，当外加102V/m，107 V/m的电场时，试分别计算电子自能带底运动到能带顶所需的时间。
解：根据：f=qE=h(0-∆t1=-1.6⨯10∆k ∆k 得∆t= ∆t-qEπa)⨯10)=8.27⨯10-13s2-19=8.27⨯10-8s (0-∆t2=π-1.6⨯10-19⨯107第三章习题和答案100π 21. 计算能量在E=Ec到E=EC+ 之间单位体积中的量子态数。
*22mLn31*2V（2mng(E)=(E-EC)2解232πdZ=g(E)dEdZ 单位体积内的量子态数Z0=V22100π 100h Ec+Ec+32mnl8mnl1*2（2mn1V Z0=g(E)dE=⎰(E-EC)2dE23⎰VEC2π EC 23100h*2 =V（2mn2(E-E)Ec+8m*L2Cn32π2 3Ecπ =10003L32. 试证明实际硅、锗中导带底附近状态密度公式为式（3-6）。
半导体物理分章答案第三章
（5） （6）
2、n型半导体的载流子浓度
假设只含有一种n型杂质。
在热平衡条件下，半导体是电中性的：
n0 = p0 + nD+
（7）
EC EF
而
n0 N C e k0T
EF EV
p0 N V e k0T
将上两式和（5）式一起代入（7）式中，即
ECEF
EFEV
NCe k0T NVe k0T
•电子占据施主能级ED的几率
•空穴占据受主能级EA的几率
f
D
(E)
1
1
1
ED EF
e k0T
2
（1）
•杂质能级上未电离的载流子浓度
施主能级上的电子浓度：
nD=NDfD(E)
（3）
•电离杂质的浓度
f
A(E)
1
1
1
EF EA
e k0T
2
（2）
受主能级上的空穴浓度：
pA=NAfA(E)
（4）
电离施主的浓度：nD+=ND-nD=ND[1-fD(E)] 电离受主的浓度：pA-=NA-pA=NA[1-fA(E)]
（3） （4）
可以见到：NC T3/2 和 NV T3/2
且，
E CE V
E g
n0p0N CN Ve k0T N CN Vek0T
（5）
§3.3 本征半导体的载流子浓度
Carriers Density of Intrinsic Semiconductors
本征半导体满足：n0=p0=ni 。本征载流子浓度是温 度T的函数。
（2）过渡区 特征：本征激发不能忽略，杂质全电离。 电中性条件为：n0=p0+ND
半导体物理学(第7版)第三章习题和答案
第三章习题和答案1. 计算能量在E=E c 到 之间单位体积中的量子态数。
2*n 2C L 2m 100E E π+=解：2. 试证明实际硅、锗中导带底附近状态密度公式为式（3-6）。
322233*28100E 21233*22100E 0021233*231000L 8100)(3222)(22)(1Z VZZ )(Z )(22)(2322C22CL E m h E E E m V dE E E m V dE E g Vd dEE g d E E m V E g cn c C nlm h E C nlm E C nn c n c πππππ=+-=-====-=*++⎰⎰**）（）（单位体积内的量子态数）（)(21)(,)"(2)()(,)(,)()(2~.2'213''''''2'21'21'21'2222222C a a lt tz y x ac c zla z y t ay x t a xz t y x C C e E E m hk V m mm m k g k k k k k m h E k E k m m k k m m k k m m k mlk m k k h E k E K IC E G si -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∙=+++====+++=*****系中的态密度在等能面仍为球形等能面系中在则：令）（关系为）（半导体的、证明：[]3123221232'2123231'2'''')()2(4)()(111100)()(24)(4)()(~ltn c nc l t t z m m sm VE E hm E sg E g si V E E h m m m dE dz E g dkk k g Vk k g d k dE E E =-==∴-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∙∙==∴∙=∇∙=+**πππ）方向有四个，锗在（旋转椭球，个方向，有六个对称的导带底在对于即状态数。
状态密度的计算
E(k)
Ec
2k2 2mn*
把能量函数看做是连续的,则能量E～E+dE之间包含的k空
间体积为4πk·dk,所以包含的量子态总数为
其中
dZ82V3 4k2dk
k(2m n *)1/2( EE c)1/2 kdm k n *d 2 E
A
4
代入得到： dZ2V 3(2m n *3)32(EEc)12dE
状态密度 g(E) dZ dE
定义：能带中能量E附近单位能量范围内的电子状态数（量子 态数）
计算步骤 – 计算单位k空间中的量子态数(即k空间的量子态密度)； – 计算单位能量范围所对应的k空间体积； – 计算单位能量范围内的量子态数； – 求得状态密度。
A
1
k空间中量子态的分布
先计算单位k空间的量子态密度
• 根据公式，各向同性半导体导带底附近状态密度：
gc(E)d dE Z 2V2(2m n * 3)32(EEc)12
• 价带顶附近状态密度
gv(E)2V 2(2m * p 3)32(EvE)12
A
5
A
6
对于边长为L，晶格常数为a的立方晶体
kx = 2πnx/L ,ky = 2πny/L, kz = 2πnz/L (nx ,ny,,nz = 0, ±1, ±2, …)
由每一组整数(nx，ny，nz)决定一个波矢k，代表电子不同的能
量状态，k在空间分布是均匀的，每个代表点的坐标，沿坐标轴
方向都是2π/L的整数倍，对应着k空间中一个体积为 V /83
的立方体。也就是说，单位体积的k空间可以包含的量子状态
为 83 /V 。如果考虑电子的自旋，则单位k空间包含的电子
量子状态数即单位k空间量子态密度为 2V/83
半导体中的热平衡载流子
问题： （1）寻找半导体中载流子浓度随 温度变化规律
（2）计算热平衡下载流子的浓度
热平衡是一种动态平衡，载流子在各个 能级之间跃迁，但它们在每个能级上出 现的几率是不同的。
§3.1 能量状态密度、费米能 级和载流子分布
1、 k空间的状态密度
假设在能带中能量E与E+dE 之间的能量间 隔内有量子态dZ 个，则定义状态密度 :
当绝对温度为零时，能量比 EF 低 的量子态被电子占据的概率为100％，能 量比 EF高的量子态被电子占据的概率为 零。
2. 波尔兹曼分布函数
在半导体中，最常遇到的情况是费米能级位于禁 带内，而且与导带底或价带顶的距离远大于 k0T ，所 以，对导带中的所有量子态来说，被电子占据的几率，
一般都满足 f n (E) 1 ，故半导体电子中的电子分
• 电子和空穴也可以通过杂质电离方式产 生，当电子从施主能级跃迁到导带时产 生导带电子；当电子从价带激发到受主 能级时产生价带空穴等。与此同时，还 存在着相反的过程，即电子也可以从高 能量的量子态跃迁到低能量的量子态， 并向晶格放出一定能量，从而使导带中 的电子和价带中的空穴不断减少，这一
过程称为载流子的复合。
•
安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20. 10.2917 :59:371 7:59Oc t-2029- Oct-20
•
加强交通建设管理，确保工程建设质 量。17:59:3717 :59:371 7:59Th ursday , October 29, 2020
•
安全在于心细，事故出在麻痹。20.10. 2920.1 0.2917:59:3717 :59:37 October 29, 2020
上式表示：热平衡系统中，增加一个电子 引起系统自由能的变化，等于系统的化 学势，也就等于系统费米能级。
半导体物理基础课后习题--南邮
2
Chapter 2
1. What are the differences between actual crystals and ideal crystals?
3 k k min k1 4
h 2 k1 ； 4m0
根据
dEv (k ) 6h 2 k 0 ，可以看出，对应价带能量极大值 Emax 的 k 值为：kmax = 0； dk m0 h 2 k12 h 2 k12 h2 ，所以 Eg Emin Emax 6m0 12m 0 48m0 a 2
2. Assume the lattice constant of one-dimensional crystal is a, the minimum value
of Ec ( k ) at conduction band and the maximum value of Ev ( k ) at valence band are
答：--Atoms are not fixed on the lattice. --Impurity The additional potential field makes the periodic potential field destruction. Impurity energy level Locates in the forbidden band. --Defects Point defects（vacancie，interstitial atom） Line defects（dislocation） Plane defects（fault，grain boundary） (1) 实际半导体中原子并不是静止在具有严格周期性的晶格的格点位置上，而是在其平衡位 置附近振动； (2) 实际半导体材料并不是纯净的，而是含有若干杂质，即在半导体晶格中存在着与组成半 导体材料的元素不同的其他化学元素的原子； (3) 实际半导体晶格结构并不是完整无缺的， 而存在着各种形式的缺陷， 如点缺陷、 线缺陷、 面缺陷等。
态密度计算
态密度计算态密度（Density of States，DOS）是材料科学中常用的一个概念，用来描述材料中不同能级上的电子数目。
它是研究材料电子结构和相关物理性质的重要参数。
在固体材料中，电子的能级是连续的，而不是离散的。
态密度可以用来描述在给定能量范围内的电子能级的分布情况。
简单来说，态密度表示的是单位能量范围内存在的电子能级的数量。
态密度可以分为两类：自由电子态密度和带态密度。
自由电子态密度是指在不考虑晶格影响的情况下，单个电子在能量空间内的分布情况。
带态密度则是考虑了晶格效应，描述的是固体材料中电子能级的分布情况。
对于自由电子态密度，可以通过简单的数学推导得到。
在三维情况下，自由电子的态密度可以表示为：D(E) = V/(2π²)(2m/ħ²)^(3/2)√(E)其中，D(E)表示态密度，V表示体积，m表示电子质量，ħ表示约化普朗克常数，E表示能量。
在带态密度中，由于晶格的影响，电子的能级会发生分裂，形成能带结构。
带态密度的计算则需要考虑晶格的周期性。
对于简单的晶体，可以通过布里渊区的积分来计算带态密度。
带态密度的计算可以使用第一性原理方法，如密度泛函理论（DFT）等。
在DFT中，通过求解电子的薛定谔方程，可以得到材料的能带结构和带态密度。
态密度的计算在材料科学中有着广泛的应用。
例如，在设计新型材料时，通过计算不同能级上的态密度，可以预测材料的电子行为和物理性质。
在能源领域，态密度的计算可以帮助我们了解材料的导电性、光学性质等，从而指导材料的设计和优化。
总结起来，态密度是描述材料中电子能级分布情况的重要参数。
通过计算态密度，可以帮助我们了解材料的电子行为和物理性质，对材料的设计和优化具有重要意义。
无论是自由电子态密度还是带态密度，计算方法都有其特定的推导和应用。
态密度的研究将在材料科学领域中持续发展，为我们提供更多的理论基础和实验指导。
态密度g(E)=dzdE能量E附近单位能量间隔内电子的量子状态数
( ED EF ) / k B T
Ec ED 0.05ev
n N D nD N D
D
假设不合理
11.4% N D
Exs. 7, 18, 19
态密度
态密度g(E)=dz/dE
能量E附近单位能量间隔内电子的量子状态数
(2m ) gc ( E ) 4V0 h
* n 3 3 2
( E Ec )
1
2
gv ( E ) 4 V0
(2m ) h
* p 3
3
2
( Ev E )
1
2
Fermi能级
Fermi分布函数
( EF Ei )/ kBT
n型半导体：Fermi能级在Ei上方，ND越大越靠近导带底 p型半导体：Fermi能级在Ei下方，NA越大越靠近价带顶
n0 ni e
( Ei EF )/ kBT
( EF Ei )/ kBT p n e , 0 i
本征载流子浓度
对本征半导体： n0 p0 ni , EF Ei
ni Nc e ( Ec Ei )/ kBT Nv e( Ei Ev )/ kBT
ni2 Nc Nve
Eg / kBT
n0 p0 Nc Nv e
Eg / kBT
n0 Nc e
p0 N v e
( Ec EF ) / kBT
(2 m k T ) , Nc 2 h
, Nv 2 (2 m k BT )
* p
3
( EF Ev ) / k BT
2
h3
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本征激发不可忽略
（饱和区） 低温弱电离区 中间电离区
强电离区 过渡区 高温激发区 T 低温弱电离区：温度很低，只有少量施主杂质电离 中间电离区：随着温度的升高，部分施主杂质电离 强电离区：温度到达一定值时，施主杂质几乎全部电离。此时载 流子浓度为定值，因此，此区也称为饱和区 过渡区：随着温度升高，本征激发不可忽略。载流子一部分源于 杂质电离，还有一部分源于本征激发 高温激发区：温度到达某个值时（极限温度），本征激发载流子 浓度很大（远大于杂质电离提供的载流子浓度），此时，以本征 激发为主，忽略杂质电离提供的载流子
1 1 2e
( ED EF ) / k B T
Ec ED 0.05ev
n N D nD N D
D
假设不合理
11.4% N D
Exs. 7, 18, 19
根据量子统计理论，能量为E的一个量子态被一个电子占据 的概率f(E)为
f (E)
1 e ( E EF ) / k B T 1
Boltzman分布函数
导带上能量E的量子态被电子占据的概率为 e
价带上能量E的量子态被空穴占据的概率为 e
( E EF ) / kBT
( EF E ) / kBT
n0 n p0 , n
D
D
1 2e ( E D E F ) / k B T
ND
强电离区（饱和区）
本征激发忽略 p0 0 gt;>kBT，即Fermi能级位于ED下面
是温度和杂质浓度的函数
导带中电子的浓度
(2 m k T ) n0 2 h
* n B 3 3 2
e ( Ec EF ) / kBT
Nc 导带底电子的有效态密度，是温度的函数
n0 Nc e( Ec EF ) / kBT
f ( Ec ) 导带底Ec上量子状态被电
子占据的概率
pA N A pA N A
n型半导体的载流子浓度（只掺一种杂质）
n0 nD p0 , n0 p0 ni2
n N D nD N D
D
1 1 2e ( ED EF ) / kBT
* n B 3 3 2
Nc e( Ec Ei )/ kBT Nv e( Ei Ev )/ kBT
m* Ec Ev kBT Nv Ec Ev 3kBT p Ei ln ln * 2 2 Nc 2 4 mn
本征半导体的Fermi能级基本上在禁带的中线处
硅：780 C, 270 C, 3000 C 锑化铟：本征Fermi能级靠近导带底
ni2
E g / 2 k BT
本征载流子浓度：ni ( N c N v ) 2 e
1
对一定的半导体材料，ni随温度的升高而升高 对不同的半导体材料，在相同温度下，Eg越大则ni越小
本征Fermi能级
对本征半导体：n0 p0 ni , EF Ei
一般掺杂：Nc(1019)>ND(1016)EF<Ec
T一定时，ND越大，EF越大，即EF向Ec靠近 ND一定时， T越大，EF越小，即EF远离Ec，向Ei靠近
重掺杂：Nc<NDEF>Ec
Fermi能级进入导带区
过渡区 n0=ND+p0
本征激发不可忽略 施主杂质全部电离 载流子由杂质电离和本征激发同时提供
(2 m k T ) Nc 2 h
* n B 3 3 2
, Nv 2
(2 m k T ) h
* p B 3
3
2
浓度乘积为常数
n0 p0 Nc Nv e( Ec Ev )/ kBT Nc Nv e
可见
Eg / kBT
浓度的乘积与Fermi能级EF无关，仅是温度的函数 在一定温度下，浓度的乘积保持恒定，即，若电子浓度增加，则空穴 浓度减少，反之亦然
导带中电子集中在导带底附近，其状态密度为Nc，导带中电子浓度 为Nc中电子占据的量子状态数
价带中空穴的浓度
p0 2 (2 m kBT )
* p 3 2
h3
e ( EF Ev ) / kBT
Nv 价带顶空穴的有效态密度，是温度的函数
p0 Nv e( EF Ev )/ kBT
f D (E) 1 ( ED EF ) / kBT e 1 2
受主杂质能级EA上某个量子状态被空穴 占据的概率为 1
f A (E) 1 ( EF EA ) / kBT e 1 2
杂质能级和 费米能级的相 对位置反映了 电子和空穴占 据杂质能级的 情况
1 2e ( ED EF ) / kBT
ND
N D ( ED E F ) / k B T e 2
Ec ED kBT ND EF ln 2 2 2 Nc
随着温度升高，使得2Nc>ND，则EF<(Ec+ED)/2， 即随着温度升高，杂质电离增多，Fermi能级下降 当EF=ED时，n+D=ND/3，即 此时，只有1/3的杂质电离
本征载流子浓度
对本征半导体： n0 p0 ni , EF Ei
ni Nc e ( Ec Ei )/ kBT Nv e( Ei Ev )/ kBT
ni2 Nc Nve
Eg / kBT
n0 p0 Nc Nv e
Eg / kBT
杂质能级
能级E上某个量子状态被电子占据和不被电子占据 的概率分别为
f (E) 1 e ( E EF ) / k B T 1
1 f (E)
1
被空穴占据
e ( EF E ) / k B T 1
施主杂质能级ED上某个量子状态被电子 占据的概率为 1
n0 nD N c e ( Ec EF ) / kBT
Ec ED kBT ND EF ln 2 2 2 Nc
T~0K时，lim(TlnT)~0，EF=(Ec+ED)/2，即Fermi能级在导带底 和施主能级的中线处
随着T的升高，Fermi能级会怎样变化呢？？
态密度
态密度g(E)=dz/dE
能量E附近单位能量间隔内电子的量子状态数
(2m ) gc ( E ) 4V0 h
* n 3 3 2
( E Ec )
1
2
gv ( E ) 4 V0
(2m ) h
* p 3
3
2
( Ev E )
1
2
Fermi能级
Fermi分布函数
Ec EF ED
小结（n型）：
ND一定时，随着T 升高，载流子从杂 质电离为主要来源 过渡到以本征激发 为主要来源的过程 Fermi能级从位于 杂质能级附近逐渐 靠近禁带中线附近
Ei
EF EA Ev
T
忽略本征激发
本征激发不可忽略
（饱和区）
低温弱电离区
中间电离区
掺杂半导体
ni Nc e( Ec Ei )/ kBT Nv e( Ei Ev )/ kBT
n0 Nce( Ec EF )/ kBT ni e( Ei EF )/ kBT
p0 Nve
( EF Ev )/ kBT
ni e
( EF Ei )/ kBT
n型半导体：Fermi能级在Ei上方，ND越大越靠近导带底 p型半导体：Fermi能级在Ei下方，NA越大越靠近价带顶
n0 ni e
( Ei EF )/ kBT
( EF Ei )/ kBT p n e , 0 i
处在那个区？？
Ex. 9：已知300K硅, ND，Ec-ED=0.01ev，假设杂质全 部电离，求EF, 并利用算出的EF来判断假设是否合理。 （已知Nc=2.8*1019）
ND 1019
EF Ec k BT ln ND Nc
EF Ec 0.015ev ED EF 0.035ev
1 f ( Ev )
价带顶Ev上量子状态被空 穴占据的概率
价带中空穴集中在价带顶附近，其状态密度为Nv，价带中空穴浓度 为Nv中空穴占据的量子状态数
浓度乘积
n0 Nc e( Ec EF ) / kBT , p0 Nv e( EF Ev )/ kBT
n0 Nc e
p0 N v e
( Ec EF ) / kBT
(2 m k T ) , Nc 2 h
, Nv 2 (2 m k BT )
* p
3
( EF Ev ) / k BT
2
h3
讨论Fermi能级在禁带中的位置？
忽略本征激发
施主能级ED和受主能级EA上的电子和空穴的浓度分别为
nD N D f D ( E ),
未电离的施主浓度
pA N A f A ( E )
未电离的受主浓度
已经电离的施主浓度和已经电离的受主浓度分别为
nD N D nD N D
1 1 2e ( ED EF ) / kBT 1 1 2e ( EF EA ) / kBT
n0 ni e( Ei EF )/ kBT , p0 ni e( EF Ei )/ kBT
当ND/2ni较大时，EF距离Ei较远，向饱和区靠近 当ND/2ni较小时，EF距离Ei较近，即接近本征激发情况(向高温激 发区靠近)
高温激发区 EF接近于Ei