三角函数的应用专题复习.ppt
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三角函数的应用ppt课件
D 系,在转动一周的过程中,H 关于 t 的函数解析式为( )
A.
H
55
sin
π 15
t
π 2
,
x 0, 30
C.
H
55
sin
π 15
t
π 2
55 ,
x 0, 30
B.H
55
sin
π 15
t
π 2
,
x 0, 30
D.H
55
sin
π 15
t
π 2
65,
x 0, 30
解析：因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min ，所 以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要15min ， 又因为摩天轮最高点距离地面高度为120m ，所以t 15 时， H 120 ，
i
Asin
t
来刻画，其中
2π
表示频率，A
表示振幅，
表示初相.
解：
（1）由图可知，电流最大值 5A，因此 A=5；电流变化的周期为 1 s,频率为 50Hz， 50
即 50 ，解 得 100π ；再 由初始状 态（ t=0）的 电流约为 4.33A，可 得
2π
sin
0.866
，因此
约为
π 3
.所以电流 i
解析：设角速度
k
sin (k
0)
，故旋转一周所用的时间t
k
2
sin
.当
90
2
时，
t
24
，故
k
12
，所以
t
24
sin
.故当“傅科摆”处于北纬
40
时，
A.
H
55
sin
π 15
t
π 2
,
x 0, 30
C.
H
55
sin
π 15
t
π 2
55 ,
x 0, 30
B.H
55
sin
π 15
t
π 2
,
x 0, 30
D.H
55
sin
π 15
t
π 2
65,
x 0, 30
解析：因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min ，所 以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要15min ， 又因为摩天轮最高点距离地面高度为120m ，所以t 15 时， H 120 ，
i
Asin
t
来刻画，其中
2π
表示频率，A
表示振幅，
表示初相.
解：
（1）由图可知，电流最大值 5A，因此 A=5；电流变化的周期为 1 s,频率为 50Hz， 50
即 50 ，解 得 100π ；再 由初始状 态（ t=0）的 电流约为 4.33A，可 得
2π
sin
0.866
，因此
约为
π 3
.所以电流 i
解析：设角速度
k
sin (k
0)
，故旋转一周所用的时间t
k
2
sin
.当
90
2
时，
t
24
，故
k
12
，所以
t
24
sin
.故当“傅科摆”处于北纬
40
时，
三角函数的综合应用+课件-2025届高三数学一轮复习
(2)由题意，得 f(A)＝2sin 2A－π3－ 3＝0，即 sin 2A－π3＝ 23，
∵A∈0，π2， 则 2A－π3∈－π3，23π， ∴2A－π3＝π3，∴A＝π3.
在△ABC 中， 由 a2＝b2＋c2－2bc cos A＝42＋32－2×4×3×12＝13， 可得 a＝ 13， 又∵12bc sin A＝12AD×a，即12×4×3× 23＝21AD× 13， ∴AD＝61339，故 BC 边上的高 AD 的长为61339.
(2)根据正弦定理得sina A＝sinc C＝sinb
B＝
4 ＝8 3
3
3，
2
所以
a＝8
3
3 sin
A，c＝8
3
3 sin
C.
所以
a＋c＝8
3
3 (sin
A＋sin
C).
因为 A＋B＋C＝π，B＝π3，所以 A＋C＝23π，
所以 a＋c＝8
3
3 sin
A＋sin
23π－A＝8
3
33 2sin
A＋
23cos
A
＝8sin A＋π6.
因为 0＜A＜23π，
所以 A＋π6∈π6，56π，所以 sin A＋π6∈12，1，则 a＋c∈(4，8].
所以 a＋c 的取值范围是(4，8].
【反思感悟】已知三角形一边及其对角，求取值范围的问题 的解法
(1)(不妨设已知 a 与 sin A 的值)根据 2R＝sina A求出三角形外接
∴a2＋c2 b2＝sin2Asi＋n2Csin2B＝cos22sCin＋2Ccos2C ＝(1－2sin2Cs)in2＋2C(1－sin2C)＝2＋4sins4iCn2－C 5sin2C
高三数学总复习优秀ppt课件(第26讲)三角函数的应用(50页)
思路2
消元思想，将 cosx 转化为 sinx ．
求解过程
解 f ( x) 2cos 2 x 2sin x 2 2sin 2 x 2sin x
令t sin x ，
2sin 2 x 2sin x 2,
易错点
由 0 ≤ x ≤ ，得 0 ≤ sin x ≤1，即 0 ≤ t ≤1． 2 1 2 5 2 t [0,1] ， 则 y 2t 2t 2 2(t ) 2 2 1 1 2 5 t [0,1], y 2(t ) 在[0,1]上递减， 2 2 2
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx
2
o
-1
3
4
5
6
x
经典例题1
例1
①求函数 f ( x) 2cos x 2sin x ， x [0， ] 2
2
的最大值和最小值．
②求函数 f ( x) 2cos x 2sin x cos x ， x [0， ] 2
(2,3] 忽视三角函 数的有界性
y o
9 得值域为{ y | 3 ≤ y ≤ }． 5 由t [3,2) (2,3]，
9 得值域为{ y | y ≤ 3或y ≥ }． 5
的最大值和最小值．
思路1 思路2
消元思想，化同名． 难以实现 降次，二次变一次．
结构特征：二次齐次结构． 解题策略：用倍角公式或降幂公式降次．
求解过程
解 f ( x) 2cos2 x 2sin x cos x 1 cos2 x sin 2 x
2 2 1 2( cos 2 x sin 2 x) 2 2 易错点 1 2 sin(2 x ). 4 3 2 由 0 ≤ x ≤ ，得 ≤ 2 x ≤ ， ≤ sin(2 x ) ≤1， 2 4 4 4 2 4 y 得1 2 ≤ 1 2 sin(2 x ) ≤ 2 ， 函数 y 的值域． 3sin x 2 sin x 1 ②求函数 y 的最大值和最小值． cos x 2
第五章 5.7 三角函数的应用 课件(共39张PPT)
（1）小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？ （2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多 少？ （3）经过多长时间小球往复振动一次？
解析：列表如下，
t
0
π π 7π 5π 12 3 12 6
2t＋π3
π 3
π 2
π
3π 2
2π
sin2t＋π3
3 2
1 0 －1 0
s
2 3 4 0 －4 0
题型二 三角函数在实际生活中的应用[教材 P245 例 2] 例 2 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫 潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶 进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下表是某港口某 天的时刻与水深关系的预报.
时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m 0：00 5.0 9：18 2.5 18：36 5.0 3：06 7.5 12：24 5.0 21：42 2.5 6：12 5.0 15：30 7.5 24：00 4.0
【解析】 （1）由已知数据，描出曲线如图：
易知函数 y＝f(t)的周期 T＝12，振幅 A＝3，b＝10， ∴ω＝2Tπ＝π6，∴y＝3sinπ6t＋10.(0≤t≤24)
（2）由题意，该船进出港时，水深应不小于 5＋6.5＝11.5 米，
（2）在建立变量关系这一关键步骤上，要充分运用数形结合 的思想、图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想解决问 题．
（3）实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门 学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应 当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知 识来帮助解决问题．
状元随笔 观察问题中所给出的数据，可以看出，水深的变化具有周期性， 根据表中的数据画出散点图，如图 1.从散点图的形状可以判断，这 个港口的水深与时间的关系可以用形如 y＝Asin(ωx＋φ)＋h 的函数 来刻画，其中 x 是时间，y 是水深．根据数据可以确定 A，ω，φ， h 的值．
解析：列表如下，
t
0
π π 7π 5π 12 3 12 6
2t＋π3
π 3
π 2
π
3π 2
2π
sin2t＋π3
3 2
1 0 －1 0
s
2 3 4 0 －4 0
题型二 三角函数在实际生活中的应用[教材 P245 例 2] 例 2 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫 潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶 进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下表是某港口某 天的时刻与水深关系的预报.
时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m 0：00 5.0 9：18 2.5 18：36 5.0 3：06 7.5 12：24 5.0 21：42 2.5 6：12 5.0 15：30 7.5 24：00 4.0
【解析】 （1）由已知数据，描出曲线如图：
易知函数 y＝f(t)的周期 T＝12，振幅 A＝3，b＝10， ∴ω＝2Tπ＝π6，∴y＝3sinπ6t＋10.(0≤t≤24)
（2）由题意，该船进出港时，水深应不小于 5＋6.5＝11.5 米，
（2）在建立变量关系这一关键步骤上，要充分运用数形结合 的思想、图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想解决问 题．
（3）实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门 学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应 当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知 识来帮助解决问题．
状元随笔 观察问题中所给出的数据，可以看出，水深的变化具有周期性， 根据表中的数据画出散点图，如图 1.从散点图的形状可以判断，这 个港口的水深与时间的关系可以用形如 y＝Asin(ωx＋φ)＋h 的函数 来刻画，其中 x 是时间，y 是水深．根据数据可以确定 A，ω，φ， h 的值．
三角函数公式及其应用拓展模块复习课件
练习：计算
1.cos750 _______,tan150 ______ tan 750 ________ 2.cos700 cos100 sin 700 sin100 ____________ 3.sin700 cos100 cos700 sin100 ____________
4. 3 tan150 ___________ 1 3 tan150
变形：a 2R sin A, b 2R n B, c 2R sin C
a : b : c sin A : sin B : sin C A B a b sin A sin B
余弦定理：
a 2 b 2 c 2 2bc cos A b2 a 2 c 2 2ac cosB c 2 a 2 b2 2ab cosC
5
（1）.sin2 2sincos，sin 2sin cos
22
（2）已知cos 1 ,求sin 2 和cos2 的值
2
2
2
（3）已知函数y sinx cosx 的周期为2，求的值.
6 6
二倍角公式
（2）.cos2 cos2 sin 2
（cos sin )cos sin
1.x _________,则x ________ y ______,第一个点为________ 2.x _________,则x ________ y ______,第二个点为________ 3.x _________,则x ________ y ______,第三个点为________ 4.x _________,则x ________ y ______,第四个点为________ 5.x _________,则x ________ y ______,第五个点为________
1.cos750 _______,tan150 ______ tan 750 ________ 2.cos700 cos100 sin 700 sin100 ____________ 3.sin700 cos100 cos700 sin100 ____________
4. 3 tan150 ___________ 1 3 tan150
变形：a 2R sin A, b 2R n B, c 2R sin C
a : b : c sin A : sin B : sin C A B a b sin A sin B
余弦定理：
a 2 b 2 c 2 2bc cos A b2 a 2 c 2 2ac cosB c 2 a 2 b2 2ab cosC
5
（1）.sin2 2sincos，sin 2sin cos
22
（2）已知cos 1 ,求sin 2 和cos2 的值
2
2
2
（3）已知函数y sinx cosx 的周期为2，求的值.
6 6
二倍角公式
（2）.cos2 cos2 sin 2
（cos sin )cos sin
1.x _________,则x ________ y ______,第一个点为________ 2.x _________,则x ________ y ______,第二个点为________ 3.x _________,则x ________ y ______,第三个点为________ 4.x _________,则x ________ y ______,第四个点为________ 5.x _________,则x ________ y ______,第五个点为________
高中《三角函数的应用》PPT课件
周期 T 分别是( )
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英语课件：/kejian/ying yu/ 美术课件：/kejian/me ishu/
科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wul i/
化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/she ngwu/
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语文课件：/kejian/yuw en/ 数学课件：/kejian/shuxue/
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高考数学一轮复习 4.5三角函数的综合应用课件
∪[1,+∞, 13 ).
或1 y≥1.
3
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14
三角函数最值的求法 1.涉及正、余弦函数以及asin x+bcos x,利用有界性处理. 2.y=asin2x+bsin x+c可利用换元法转化为二次函数,通过配方结合三角函数 的有界性求解. 3.形如y= c o s的x 函a 数问题,一般利用直线的斜率,通过数形结合求解.
课标版 理数 § 4.5 三角函数的综合应用
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1
知识梳理
1.当函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈(0,+∞))表示一个振动量时,A叫做①
振幅 ,T= 2 叫做② 周期 , f= 1 叫做③ 频率 ,ωx+φ叫做④ 相
ω
T
位 ,φ叫做⑤ 初相 .
2.三角函数模型的应用 (1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象. (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
4
2
8
(2)令t=sin
x,则y=t2+t-1=
t
-1
2
2 ,t∈5 [-1,1],
4
∴y∈
5.
4
,
1Hale Waihona Puke (3)y=3-cosx-2sin2x=2cos2x-cos
x+1=2
co s+x
.1
4
2
7 8
由x∈
6
,,7得6 -1≤cos
x≤
.3
2
∴当cos x= 1 时,ymin=7 ;当cos x=-1时,ymax=4.
1 tan α tan β 1 1 3 1
三角函数公开课(高三复习) PPT课件 图文
(2)由S＝12bcsin A＝12bc·23＝ 43bc＝5 3，得bc＝20.又b＝ 5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋16－20＝ 21，故a＝ 21.
又由正弦定理得sin Bsin C＝basin A·acsin A＝bac2sin2A＝2201 ×34＝57.
(1)求ω的值； (2)求 f(x)在区间 π，32π 上的最大值和最小值．
[自主解答]
(1)f(x)＝ 3－ 3sin2ωx－sin ωxcos ωx 2
＝ 3－ 2
3·1－cos 2
2ωx－12sin
2ωx
＝
3cos 2
2ωx－1sin 2
2ωx＝－sin
2ωx－π 3
.
因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π， 4
入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 2．三角恒等变换的“五遇六想” (1)遇正切，想化弦；(2)遇多元，想消元；(3)遇差异，想联
系；(4)遇高次，想降次；(5)遇特角，想求值；(6)想消元，引辅 角．
——————————————————————
练习 1.(2013·北京高考)已知函数 f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋ 1cos 4x. 2
(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数 的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化 为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后再求解．
(2)对于形如y＝asin ωx＋bcos ωx型的三角函数，要通过
引入辅助角化为y＝ a2＋b2 sin(ωx＋φ) cos φ＝ a2a＋b2，
b
＝cos C，求函数 f(A)的取值范围． cos B
备战 中考数学基础复习 第21课 三角函数及其应用课件（47张ppt）
【解析】如图,作DF⊥AB于点F,作DE⊥BC交BC的延长线于点E,由题意 得,∠ADF=28°,CD=45,BC=60, 在Rt△DEC中, ∵山坡CD的坡度 i=1∶0.75, ∴ DE＝ 1, ＝4
EC 0.75 3
设DE=4x,则EC=3x, 由勾股定理可得CD=5x, 又CD=45,即5x=45,∴x=9, ∴EC=3x=27,DE=4x=36=FB, ∴BE=BC+EC=60+27=87=DF, 在Rt△ADF中, AF=tan 28°×DF≈0.53×87=46.11, ∴AB=AF+FB=46.11+36=82.11.
【解析】(1)∵△ABF≌△CBE, ∴∠ABF=∠CBE, ∵∠ABF+∠CBF=90°, ∴∠CBF+∠CBE=90°,∴∠EBF=90°; (2)∵△ABF≌△CBE,∴∠AFB=∠CEB, ∵∠FGA=∠EGB,∴∠FAC=∠EBF=90°, ∵正方形边长为1,CE=2. ∴AC= 2,AF=CE=2. ∴tan ∠AFC= AC . 2
二、特殊角的三角函数值
α sin α
30°
1
__2__
cos α
3
__2___
tan α
3
___3__
45°
2
__2____
2
___2____
_1_
60°
3
__2___
1
___2___
___3___
三、直角三角形中的边角关系
1.三边之间的关系:____a_2_+_b_2=_c_2__.
2.两锐角之间的关系:____∠__A_+_∠__B_=_9_0_°___.
【考点剖析】
第二章--三角函数的应用ppt课件
第二章 三角函数的应用ppt课件
§2—1 解直角三角形及其应用
节菜单
一、在推导计算公式中的应用 2—1 解直角三角形及其应用
2—2 正弦定理和余弦定理的应用
2—3 三角函数的常用公式及应用
2—4 正弦型函数的图像及应用
2—5 反三角函数及应用
第二章 三角函数的应用ppt课件
§2—1 解直角三角形及其应用
2—5 反三角函数及应用
第二章 三角函数的应用ppt课件
§2—4 正弦型函数的图像及应用
节菜单
二、正弦型函数的图像——1.正弦型曲线的变换作图法 2—1 解直角三角形及其应用
2—2 正弦定理和余弦定理的应用
2—3 三角函数的常用公式及应用
2—4 正弦型函数的图像及应用
2—5 反三角函数及应用
第二章 三角函数的应用ppt课件
第二章 三角函数的应用ppt课件
§2—3 三角函数的常用公式及应用
节菜单
2—1 解直角三角形及其应用 2—2 正弦定理和余弦定理的应用 2—3 三角函数的常用公式及应用 2—4 正弦型函数的图像及应用 2—5 反三角函数及应用
第二章 三角函数的应用ppt课件
§2—4 正弦型函数的图像及应用
节菜单
2—1 解直角三角形及其应用 2—2 正弦定理和余弦定理的应用 2—3 三角函数的常用公式及应用 2—4 正弦型函数的图像及应用 2—5 反三角函数及应用
第二章 三角函数的应用ppt课件
§2—4 正弦型函数的图像及应用
节菜单
一、三角函数的图像及性质
2—1 解直角三角形及其应用
2—2 正弦定理和余弦定理的应用
第二章 三角函数的应用ppt课件
§2—2 正弦定理和余弦定理的应用
《三角函数的应用》三角函数PPT
从0~24时的变化情况,则水面高度h关于时间t的函数关系式
为
.
解析:设 h 关于 t 的解析式为 h=Asin(ωt+φ),
则有 h(0)=0,即 sin φ=0,
因此可取 φ=0;
2π
π
又||=12,取 ω=6,
π
π
则有 h=Asin6t,又 h(3)=Asin2=A=-6,
π
故所求解析式为 h=-6sin6t.
有大小,还有方向.错解中由于对周期的概念理解不清导致周期求
错,另外,混淆了路程与位移直接的区别导致结果错误.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
正解:(1)设振幅为A,
则2A=20 cm,A=10 cm.
设周期为T,则 2 =0.5 s,T=1 s,f=1 Hz.
(2)振子在1T内通过的距离为4A,
的最大值以及最小值即得血压在血压计上的读数从而得(4).
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
2π
2π
解:(1)因为 ω=160π,代入周期公式 T= ,可得 T=
||
160π
1
所以函数 p(t)的周期为80 min.
1
(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率 f==80(次).
=
1
(min),
和水车问题等都是日常生活中的一些周期现象.
3.填空
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用
来研究很多问题,在刻画周期规律、预测未来方面发挥重要作用.
课前篇
自主预习
一
二
为
.
解析:设 h 关于 t 的解析式为 h=Asin(ωt+φ),
则有 h(0)=0,即 sin φ=0,
因此可取 φ=0;
2π
π
又||=12,取 ω=6,
π
π
则有 h=Asin6t,又 h(3)=Asin2=A=-6,
π
故所求解析式为 h=-6sin6t.
有大小,还有方向.错解中由于对周期的概念理解不清导致周期求
错,另外,混淆了路程与位移直接的区别导致结果错误.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
正解:(1)设振幅为A,
则2A=20 cm,A=10 cm.
设周期为T,则 2 =0.5 s,T=1 s,f=1 Hz.
(2)振子在1T内通过的距离为4A,
的最大值以及最小值即得血压在血压计上的读数从而得(4).
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
2π
2π
解:(1)因为 ω=160π,代入周期公式 T= ,可得 T=
||
160π
1
所以函数 p(t)的周期为80 min.
1
(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率 f==80(次).
=
1
(min),
和水车问题等都是日常生活中的一些周期现象.
3.填空
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用
来研究很多问题,在刻画周期规律、预测未来方面发挥重要作用.
课前篇
自主预习
一
二
《章末复习课》三角函数PPT教学课件
19
三角函数的性质
【例 3】 (1)若函数 f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，则 f(x)在[0，
π]上的单调递增区间是( )
A.0，π2 C.π4，π2
B.π2，π D.34π，π
20
(2)已知函数 f(x)＝2sin2x＋π6＋a＋1(其中 a 为常数)． ①求 f(x)的单调区间； ②若 x∈0，π2时，f(x)的最大值为 4，求 a 的值． [思路点拨] (1)先根据函数 f(x)是偶函数，求 θ，再依据单调性求增区 间，最后与[0，π]求交集． (2)①由 2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z 求增区间， 由 2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋32π，k∈Z 求减区间． ②先求 f(x)的最大值，得关于 a 的方程，再求 a 的值．
5
(1)13 [由已知得－sin θ－2cos θ＝0，故tan θ＝－2，
则sin sin
θ＋cos θ－cos
θθ＝ttaann
θθ＋ －11＝－ －22＋ －11＝13.]
(2)[解] ①f(α)＝s－ins2iαn·cαos－α·ttaann αα＝sin α·cos α.
②由f(α)＝sin α·cos α＝18可知，
21
(1)B [因为函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数， 所以θ＝π2，f(x)＝3sin2x＋π2＝3cos 2x， 令2kπ－π≤2x≤2kπ，得kπ－π2≤x≤kπ， 可得函数f(x)的增区间为kπ－π2，kπ，k∈Z， 所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间为π2，π.]
故选D.
14
(2)y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后 得y＝sin2x＋π8＋φ＝sin2x＋π4＋φ.若该函数为偶函数， 则π4＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，故φ＝kπ＋π4.当k＝0时φ＝π4.故选B.]
《三角函数的应用》课件
三角函数的应用领域
01
02
03
物理学
在物理学的振动、波动、 电磁学等领领域中，三角函数用于 解决各种实际问题。
航海学
在航海学中，三角函数用 于计算航行角度、距离等 关键参数。
02
三角函数的基本性质
正弦函数
定义
正弦函数是三角函数的一种，定 义为y=sinx，x∈R。
详细描述
在数学中，三角函数被广泛应用于解决各种 问题，如代数、几何、微积分等。例如，在 求解代数方程时，可以通过三角函数进行因 式分解；在求解几何问题时，可以通过三角 函数计算角度和长度；在微积分中，三角函 数可以用于求解微分方程和积分方程等。
经济问题中的三角函数应用
要点一
总结词
要点二
详细描述
在经济领域中，三角函数的应用相对较少，但在某些特定 问题中仍然有应用。
复数的运算
掌握利用三角函数进行复数的运 算，如乘法、除法、指数运算等。
傅里叶变换
理解傅里叶变换的概念，掌握利 用三角函数进行傅里叶变换的方 法，解决信号处理、图像处理等
领域的问题。
05
总结与展望
三角函数应用的总结
三角函数在数学、物理和工程领域中的应用
三角函数在解决数学问题、分析物理现象和设计工程结构等方面发挥了重要作用。例如，在解析几何中，三角函 数用于研究平面和三维空间中的角和线段；在物理学中，三角函数用于分析振动、波动和电磁波等现象；在工程 学中，三角函数用于设计桥梁、建筑和机械等结构。
三角函数的周期性和奇偶性
周期性
正弦函数、余弦函数和正切函数的 周期分别为2π、2π和π。
奇偶性
正弦函数和正切函数是奇函数， 余弦函数是偶函数。
03
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视线
（1）仰角和俯角
铅
（2）坡度 i ＝
h
垂
α l
=tan
线
α为坡角
仰角 俯角 视线
水平线
北
A
30°
h
（3）方向角
α
l
西
O
东
45°
B
南
测测一测
1.离地面高为h的铁塔顶部观测地面上的一个目标， 俯角为a，则目标到铁塔底部的距离为（ h ）
tan a
2.一段斜坡的垂直高度为8米，水平宽度为16 米，则这段斜坡的坡比i= ( 1 )
题组（一）：
2.实验中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方
向的公路以50 m/min的速度向正东方向行走，在A处测得建筑物C 在北偏东60°方向上，20min后他走到B处，测得建筑物C在北偏 西45°方向上，求建筑物C 到公路AB 的距离．
X=1500-500 3 CD=1000-x=500 3 -500
b c
的关系
tanA＝ a b
Ｂ
c a
bＣ
什么是解直角三角形？
在Rt△ABC中，∠C＝90°， 根据下列条件解直角三角形：
（1）a=4,c=8
(2)c=20, ∠A＝45°
题组（一）：
1. 热气球的探测器显示，从热气球 看一栋高楼顶部的仰角为30°， 看这栋高楼底部的俯角为60°， 热气球与高楼的水平距离为66 m， 这栋高楼有多高？
一、“背靠背”型 这种类型的特点是：两直角三角形是并列关系，有公共 直角顶点和一条公共直角边，其中，这条公共直角边是 沟通两直角三角形关系的媒介。 如图1．
题组（二）：
1. 在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖 两侧A,B两个凉亭之间的距离．现测得BC=70米， AC=30米，∠CAB=120°，请计算A,B两个凉亭之间 的距离。
三角函数的应用 专题复习
知识梳理
A
b
c
C aB
锐角三角函数 特殊角的三角函数
解直角三角形 简单实际问题
学习目标
1.巩固仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等概念。 2.提高综合运用解直角三角形的有关知识来解决 实际问题的能力。 3.感悟化归、方程等数学思想。
在应用三角函数解决实际问题时经常接触到的一些概念
2
3.一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10千米至B港， 然后再沿北偏西30°方向航行10千米至C港。C港在 A港的方向是（ 北偏东15° ）。
直角三角形边角间的关系：
1.两锐角之间的关系:
∠A+∠B=900
解 2.三边之间的关系:
直 a2+b2=c2
角 三 角 形
3.边角之间
Ａ
sinA＝ a
c
cosA＝
题组（二）：
2. 海上有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪 鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60° ，航行12海里到达D点，在D点测得小岛A在北偏东 30°，如果渔船继续向正东方向行驶，问是否有触礁 的危险？
二、“母抱子”型
这种类型的特点是，一个直角三角形包含在另一个直角三 角形中，两直角三角形有公共直角和一条公共直角边，其 中，这条公共直角边是沟通两直角三角形关系的媒介， 如图4．
题组（四）：
某片绿地的形状如图10，其中 ∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD， AB=200m，CD=100m，求AD、 BC的长
四、“斜截”型 这种类型的特点是，在一个直角三角形内，用垂直于斜边的 一条直线去截这个直角三角形， 如图9．新直角三角形与原直角三角形有一个公共锐角，所 剩四边形的对角互补．
题组（三）：
小杨在广场上的A处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕，测得 屏幕下端D处的仰角为30º，然后他正对大楼方向前进5m到达B 处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45º．若该楼高为26.65m，
小杨的眼睛离地面1.65m，广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐 ．求广告屏幕上端与下端之间的距离。
三、“拥抱”型 这种类型的特点是：两直角三角形以交叉方式出现。 如图7．
1、本节学习以后，我们可以得到解直角三角形的基本图形：
2、解直角三角形应用的解题思路：型 作垂线 解直角三角形
从组合直角三角形中寻找公共边是解决问题的关键;方程是解 决问题的有效方法。
课堂检测
（1）仰角和俯角
铅
（2）坡度 i ＝
h
垂
α l
=tan
线
α为坡角
仰角 俯角 视线
水平线
北
A
30°
h
（3）方向角
α
l
西
O
东
45°
B
南
测测一测
1.离地面高为h的铁塔顶部观测地面上的一个目标， 俯角为a，则目标到铁塔底部的距离为（ h ）
tan a
2.一段斜坡的垂直高度为8米，水平宽度为16 米，则这段斜坡的坡比i= ( 1 )
题组（一）：
2.实验中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方
向的公路以50 m/min的速度向正东方向行走，在A处测得建筑物C 在北偏东60°方向上，20min后他走到B处，测得建筑物C在北偏 西45°方向上，求建筑物C 到公路AB 的距离．
X=1500-500 3 CD=1000-x=500 3 -500
b c
的关系
tanA＝ a b
Ｂ
c a
bＣ
什么是解直角三角形？
在Rt△ABC中，∠C＝90°， 根据下列条件解直角三角形：
（1）a=4,c=8
(2)c=20, ∠A＝45°
题组（一）：
1. 热气球的探测器显示，从热气球 看一栋高楼顶部的仰角为30°， 看这栋高楼底部的俯角为60°， 热气球与高楼的水平距离为66 m， 这栋高楼有多高？
一、“背靠背”型 这种类型的特点是：两直角三角形是并列关系，有公共 直角顶点和一条公共直角边，其中，这条公共直角边是 沟通两直角三角形关系的媒介。 如图1．
题组（二）：
1. 在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖 两侧A,B两个凉亭之间的距离．现测得BC=70米， AC=30米，∠CAB=120°，请计算A,B两个凉亭之间 的距离。
三角函数的应用 专题复习
知识梳理
A
b
c
C aB
锐角三角函数 特殊角的三角函数
解直角三角形 简单实际问题
学习目标
1.巩固仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等概念。 2.提高综合运用解直角三角形的有关知识来解决 实际问题的能力。 3.感悟化归、方程等数学思想。
在应用三角函数解决实际问题时经常接触到的一些概念
2
3.一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10千米至B港， 然后再沿北偏西30°方向航行10千米至C港。C港在 A港的方向是（ 北偏东15° ）。
直角三角形边角间的关系：
1.两锐角之间的关系:
∠A+∠B=900
解 2.三边之间的关系:
直 a2+b2=c2
角 三 角 形
3.边角之间
Ａ
sinA＝ a
c
cosA＝
题组（二）：
2. 海上有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪 鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60° ，航行12海里到达D点，在D点测得小岛A在北偏东 30°，如果渔船继续向正东方向行驶，问是否有触礁 的危险？
二、“母抱子”型
这种类型的特点是，一个直角三角形包含在另一个直角三 角形中，两直角三角形有公共直角和一条公共直角边，其 中，这条公共直角边是沟通两直角三角形关系的媒介， 如图4．
题组（四）：
某片绿地的形状如图10，其中 ∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD， AB=200m，CD=100m，求AD、 BC的长
四、“斜截”型 这种类型的特点是，在一个直角三角形内，用垂直于斜边的 一条直线去截这个直角三角形， 如图9．新直角三角形与原直角三角形有一个公共锐角，所 剩四边形的对角互补．
题组（三）：
小杨在广场上的A处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕，测得 屏幕下端D处的仰角为30º，然后他正对大楼方向前进5m到达B 处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45º．若该楼高为26.65m，
小杨的眼睛离地面1.65m，广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐 ．求广告屏幕上端与下端之间的距离。
三、“拥抱”型 这种类型的特点是：两直角三角形以交叉方式出现。 如图7．
1、本节学习以后，我们可以得到解直角三角形的基本图形：
2、解直角三角形应用的解题思路：型 作垂线 解直角三角形
从组合直角三角形中寻找公共边是解决问题的关键;方程是解 决问题的有效方法。
课堂检测